Expressões, equações e sistemas de equações
com números complexos

Hoje na aula praticaremos operações típicas com números complexos, e também dominaremos a técnica de resolução de expressões, equações e sistemas de equações que contenham esses números. Este workshop é uma continuação da lição e, portanto, se você não estiver bem versado no assunto, siga o link acima. Bom, para leitores mais preparados sugiro que se aqueçam já:

Exemplo 1

Simplifique uma expressão , Se . Represente o resultado na forma trigonométrica e plote-o no plano complexo.

Solução: então, você precisa substituir a fração na fração “terrível”, fazer simplificações e converter o resultado número complexo V forma trigonométrica. Além de um desenho.

Qual a melhor forma de formalizar a decisão? É mais lucrativo lidar passo a passo com uma expressão algébrica “sofisticada”. Em primeiro lugar, a atenção fica menos distraída e, em segundo lugar, se a tarefa não for aceita, será muito mais fácil encontrar o erro.

1) Primeiro, vamos simplificar o numerador. Vamos substituir o valor nele, abrir os colchetes e fixar o penteado:

...Sim, tal Quasimodo veio de números complexos...

Deixe-me lembrar que durante as transformações são usadas coisas completamente simples - a regra da multiplicação de polinômios e a igualdade que já se tornou banal. O principal é ter cuidado e não se confundir com os sinais.

2) Agora vem o denominador. Se então:

Observe em que interpretação incomum ela é usada fórmula de soma quadrada. Alternativamente, você pode realizar um rearranjo aqui subfórmula Os resultados serão naturalmente os mesmos.

3) E por fim, toda a expressão. Se então:

Para se livrar de uma fração, multiplique o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. Ao mesmo tempo, para efeitos de aplicação fórmulas de diferença quadrada deve primeiro (e já obrigatório!) coloque a parte real negativa em 2º lugar:

E agora a regra principal:

NÃO TEMOS PRESSA! É melhor jogar pelo seguro e dar um passo a mais.
Em expressões, equações e sistemas com números complexos, cálculos verbais presunçosos mais preocupante do que nunca!

Houve uma boa redução na etapa final e isso é um ótimo sinal.

Observação : a rigor, aqui ocorreu a divisão de um número complexo pelo número complexo 50 (lembre-se disso). Fiquei calado sobre essa nuance até agora e falaremos sobre isso um pouco mais tarde.

Vamos denotar nossa conquista com a letra

Apresentamos o resultado obtido na forma trigonométrica. De um modo geral, aqui você pode prescindir do desenho, mas como é obrigatório, é um pouco mais racional fazê-lo agora:

Vamos calcular o módulo de um número complexo:

Se você desenhar em uma escala de 1 unidade. = 1 cm (2 células de caderno), então o valor obtido pode ser facilmente verificado com uma régua comum.

Vamos encontrar um argumento. Como o número está localizado no 2º trimestre de coordenadas, então:

O ângulo pode ser facilmente verificado com um transferidor. Esta é a vantagem indiscutível do desenho.

Assim: – o número necessário na forma trigonométrica.

Vamos checar:
, que era o que precisava ser verificado.

É conveniente encontrar valores desconhecidos de seno e cosseno usando tabela trigonométrica.

Responder:

Um exemplo semelhante para uma solução independente:

Exemplo 2

Simplifique uma expressão , Onde . Desenhe o número resultante no plano complexo e escreva-o na forma exponencial.

Tente não pular os tutoriais. Podem parecer simples, mas sem treinamento “entrar em uma poça” não é apenas fácil, mas muito fácil. Portanto, nós “colocamos as mãos nisso”.

Muitas vezes um problema tem mais de uma solução:

Exemplo 3

Calcule se,

Solução: antes de mais nada, prestemos atenção à condição original - um número é apresentado em forma algébrica e o outro em forma trigonométrica, e até com graus. Vamos reescrevê-lo imediatamente de uma forma mais familiar: .

De que forma os cálculos devem ser realizados? A expressão obviamente envolve primeira multiplicação e posterior elevação à 10ª potência Fórmula de Moivre, que é formulado para a forma trigonométrica de um número complexo. Portanto parece mais lógico converter o primeiro número. Vamos encontrar seu módulo e argumento:

Usamos a regra para multiplicar números complexos na forma trigonométrica:
se então

Corrigindo a fração, chegamos à conclusão que podemos “torcer” 4 voltas ( alegre.):

Segunda soluçãoé converter o segundo número na forma algébrica , realize a multiplicação na forma algébrica, converta o resultado para a forma trigonométrica e use a fórmula de Moivre.

Como você pode ver, há uma ação “extra”. Quem quiser pode seguir com a decisão e garantir que os resultados sejam os mesmos.

A condição não diz nada sobre a forma do número complexo final, então:

Responder:

Mas “por beleza” ou sob demanda, o resultado não é difícil de imaginar na forma algébrica:

Por conta própria:

Exemplo 4

Simplifique uma expressão

Aqui precisamos lembrar ações com graus, embora não exista uma regra útil no manual, aqui está: .

E mais uma observação importante: o exemplo pode ser resolvido em dois estilos. A primeira opção é trabalhar com dois números e aceitar frações. A segunda opção é representar cada número como quociente de dois números: E livrar-se da estrutura de quatro andares. Do ponto de vista formal, não importa como você decide, mas há uma diferença substantiva! Por favor, pense cuidadosamente sobre:
é um número complexo;
é o quociente de dois números complexos ( e ), mas dependendo do contexto, você também pode dizer isto: um número representado como o quociente de dois números complexos.

Uma breve solução e resposta no final da lição.

As expressões são boas, mas as equações são melhores:

Equações com coeficientes complexos

Como elas diferem das equações “comuns”? Probabilidades =)

À luz do comentário acima, vamos começar com este exemplo:

Exemplo 5

Resolva a equação

E um preâmbulo imediato “nos calcanhares”: inicialmente o lado direito da equação é posicionado como o quociente de dois números complexos ( e 13) e, portanto, seria uma má forma reescrever a condição com o número (embora isso não cause um erro). Essa diferença, aliás, é mais claramente visível na fração - se, relativamente falando, então esse valor é entendido principalmente como raiz complexa "completa" da equação, e não como divisor de um número, e especialmente não como parte de um número!

Solução, em princípio, também pode ser feito passo a passo, mas neste caso o jogo não vale a pena. A tarefa inicial é simplificar tudo que não contém a incógnita “z”, resultando na redução da equação à forma:

Simplificamos com segurança a fração do meio:

Transferimos o resultado para o lado direito e encontramos a diferença:

Observação : e mais uma vez chamo sua atenção para um ponto significativo - aqui não subtraímos um número de um número, mas trouxemos as frações para um denominador comum! Ressalta-se que já no ANDAMENTO da resolução não é proibido trabalhar com números: , porém, no exemplo em consideração este estilo é mais prejudicial do que útil =)

De acordo com a regra da proporção, expressamos “zet”:

Agora você pode dividir e multiplicar pelo conjugado novamente, mas os números suspeitosamente semelhantes no numerador e no denominador sugerem o próximo passo:

Responder:

Para verificar, vamos substituir o valor resultante no lado esquerdo da equação original e fazer simplificações:

– o lado direito da equação original é obtido, portanto a raiz é encontrada corretamente.

...Agora, agora... vou encontrar algo mais interessante para você... aqui está:

Exemplo 6

Resolva a equação

Esta equação se reduz à forma , o que significa que é linear. Acho que a dica é clara: vá em frente!

Claro... como você pode viver sem ele:

Equação quadrática com coeficientes complexos

Na lição Números complexos para manequins aprendemos que uma equação quadrática com coeficientes reais pode ter raízes complexas conjugadas, após o que surge uma questão lógica: por que, de fato, os próprios coeficientes não podem ser complexos? Deixe-me formular um caso geral:

Equação quadrática com coeficientes complexos arbitrários (1 ou 2 dos quais ou todos os três podem ser, em particular, válidos) Tem dois e apenas dois raiz complexa (possivelmente um ou ambos são válidos). Ao mesmo tempo, as raízes (ambos reais e com parte imaginária diferente de zero) podem coincidir (ser múltiplos).

Uma equação quadrática com coeficientes complexos é resolvida usando o mesmo esquema que equação da "escola", com algumas diferenças na técnica de cálculo:

Exemplo 7

Encontre as raízes de uma equação quadrática

Solução: a unidade imaginária vem primeiro e, em princípio, você pode se livrar dela (multiplicando ambos os lados por), no entanto, não há necessidade particular disso.

Por conveniência, escrevemos os coeficientes:

Não vamos perder o “menos” de um membro gratuito! ...Pode não estar claro para todos - vou reescrever a equação na forma padrão :

Vamos calcular o discriminante:

E aqui está o principal obstáculo:

Aplicação da Fórmula Geral para Extração da Raiz (ver último parágrafo do artigo Números complexos para manequins) complicado por sérias dificuldades associadas ao argumento do número complexo radical (Veja por si mesmo). Mas existe outra maneira, “algébrica”! Procuraremos a raiz no formato:

Vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

Dois números complexos são iguais se suas partes reais e imaginárias forem iguais. Assim, obtemos o seguinte sistema:

O sistema é mais fácil de resolver selecionando (uma maneira mais completa é expressar a partir da 2ª equação - substituir na 1ª, obter e resolver uma equação biquadrática). Supondo que o autor do problema não seja um monstro, levantamos a hipótese de que e são inteiros. Da 1ª equação segue que “x” módulo mais do que "Y". Além disso, o produto positivo diz-nos que as incógnitas têm o mesmo sinal. Com base no exposto, e focando na 2ª equação, anotamos todos os pares que correspondem a ela:

É óbvio que a 1ª equação do sistema é satisfeita pelos dois últimos pares, assim:

Uma verificação intermediária não faria mal:

que era o que precisava ser verificado.

Você pode escolher como raiz “funcional” qualquer significado. É claro que é melhor escolher a versão sem os “contras”:

Encontramos as raízes, não esquecendo, aliás, que:

Responder:

Vamos verificar se as raízes encontradas satisfazem a equação :

1) Vamos substituir:

verdadeira igualdade.

2) Vamos substituir:

verdadeira igualdade.

Assim, a solução foi encontrada corretamente.

Com base no problema que acabamos de discutir:

Exemplo 8

Encontre as raízes da equação

Deve-se notar que a raiz quadrada de puramente complexo números podem ser facilmente extraídos usando a fórmula geral , Onde , portanto, ambos os métodos são mostrados na amostra. A segunda observação útil diz respeito ao facto de a extracção preliminar da raiz de uma constante não simplificar em nada a solução.

Agora você pode relaxar - neste exemplo você vai escapar com um leve susto :)

Exemplo 9

Resolva a equação e verifique

Soluções e respostas no final da lição.

O último parágrafo do artigo é dedicado a

sistema de equações com números complexos

Vamos relaxar e... não fique tenso =) Vamos considerar o caso mais simples - um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas:

Exemplo 10

Resolva o sistema de equações. Apresente a resposta em formas algébricas e exponenciais, represente as raízes no desenho.

Solução: a própria condição sugere que o sistema tem uma solução única, ou seja, precisamos encontrar dois números que satisfaçam para cada equação do sistema.

O sistema realmente pode ser resolvido de forma “infantil” (expressar uma variável em termos de outra) , porém é muito mais conveniente usar Fórmulas de Cramer. Vamos calcular determinante principal sistemas:

, o que significa que o sistema tem uma solução única.

Repito que é melhor não ter pressa e escrever as etapas com o máximo de detalhes possível:

Multiplicamos o numerador e o denominador por uma unidade imaginária e obtemos a 1ª raiz:

Da mesma maneira:

Os lados direitos correspondentes são obtidos, etc.

Vamos fazer o desenho:

Vamos representar as raízes na forma exponencial. Para fazer isso, você precisa encontrar seus módulos e argumentos:

1) – o arco tangente de “dois” é calculado “mal”, então deixamos assim:

AGÊNCIA FEDERAL DE EDUCAÇÃO

INSTITUIÇÃO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO

EDUCAÇÃO PROFISSIONAL SUPERIOR

"UNIVERSIDADE PEDAGÓGICA DO ESTADO DE VORONEZH"

DEPARTAMENTO DE AGLEBRA E GEOMETRIA

Números complexos

(tarefas selecionadas)

TRABALHO DE QUALIFICAÇÃO DE GRADUAÇÃO

especialidade 050201,65 matemática

(com especialidade adicional 050202.65 ciência da computação)

Concluído por: aluno do 5º ano

física e matemática

Faculdade

Conselheiro científico:

VORONEZH – 2008

1. Introdução……………………………………………………...…………..…

2. Números complexos (problemas selecionados)

2.1. Números complexos na forma algébrica….……...……….….

2.2. Interpretação geométrica de números complexos…………..…

2.3. Forma trigonométrica de números complexos

2.4. Aplicação da teoria dos números complexos à solução de equações de 3º e 4º grau………………..………………………………………………………………

2.5. Números complexos e parâmetros………………………………...….

3. Conclusão………………………………………………………………………….

4. Lista de referências………………………….……………………......

1. Introdução

No currículo escolar de matemática, a teoria dos números é introduzida usando exemplos de conjuntos de números naturais, inteiros, racionais, irracionais, ou seja, no conjunto dos números reais, cujas imagens preenchem toda a reta numérica. Mas já no 8º ano não há oferta suficiente de números reais, resolvendo equações quadráticas com discriminante negativo. Portanto, foi necessário repor o estoque de números reais com o auxílio de números complexos, para os quais faz sentido a raiz quadrada de um número negativo.

A escolha do tema “Números complexos” como tema do meu trabalho de qualificação final é que o conceito de número complexo amplia o conhecimento dos alunos sobre sistemas numéricos, sobre como resolver uma ampla classe de problemas de conteúdo algébrico e geométrico, sobre como resolver problemas algébricos equações de qualquer grau e sobre resolução de problemas com parâmetros.

Esta tese examina a solução para 82 problemas.

A primeira parte da seção principal “Números complexos” fornece soluções para problemas com números complexos na forma algébrica, define as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, a operação de conjugação para números complexos na forma algébrica, a potência de uma unidade imaginária , o módulo de um número complexo, e também estabelece a extração de regras raiz quadrada de um número complexo.

Na segunda parte são resolvidos problemas de interpretação geométrica de números complexos na forma de pontos ou vetores do plano complexo.

A terceira parte examina operações com números complexos na forma trigonométrica. As fórmulas utilizadas são: Moivre e extração da raiz de um número complexo.

A quarta parte é dedicada à resolução de equações de 3º e 4º graus.

Na resolução dos problemas da última parte, “Números complexos e parâmetros”, são utilizadas e consolidadas as informações fornecidas nas partes anteriores. Uma série de problemas neste capítulo é dedicada à determinação de famílias de retas no plano complexo definido por equações (desigualdades) com um parâmetro. Em parte dos exercícios você precisa resolver equações com um parâmetro (sobre o campo C). Existem tarefas em que uma variável complexa satisfaz simultaneamente uma série de condições. Uma característica especial da resolução de problemas nesta seção é a redução de muitos deles à solução de equações (desigualdades, sistemas) de segundo grau, irracionais, trigonométricas com parâmetro.

Uma característica da apresentação do material em cada parte é a introdução inicial dos fundamentos teóricos e, posteriormente, sua aplicação prática na resolução de problemas.

No final da tese há uma lista de referências utilizadas. A maioria deles apresenta material teórico com detalhes suficientes e de forma acessível, considera soluções para alguns problemas e dá tarefas práticas para uma decisão independente. Gostaria de prestar atenção especial a fontes como:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Números complexos e suas aplicações: livro didático. . Material auxílio didático apresentados na forma de palestras e exercícios práticos.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Problemas e teoremas selecionados de matemática elementar. Aritmética e álgebra. O livro contém 320 problemas relacionados à álgebra, aritmética e teoria dos números. Essas tarefas diferem significativamente em natureza das tarefas escolares padrão.

2. Números complexos (problemas selecionados)

2.1. Números complexos em forma algébrica

A solução de muitos problemas de matemática e física se resume à resolução de equações algébricas, ou seja, equações da forma

,

onde a0, a1,…, an são números reais. Portanto, o estudo das equações algébricas é uma das questões mais importantes da matemática. Por exemplo, uma equação quadrática com discriminante negativo não tem raízes reais. A equação mais simples é a equação

.

Para que esta equação tenha solução, é necessário expandir o conjunto dos números reais adicionando a ele a raiz da equação

.

Vamos denotar esta raiz por

. Assim, por definição, ou,

por isso,

. chamada de unidade imaginária. Com sua ajuda e com a ajuda de um par de números reais, uma expressão da forma é compilada.

A expressão resultante foi chamada de números complexos porque continha partes reais e imaginárias.

Portanto, os números complexos são expressões da forma

, e são números reais e é um determinado símbolo que satisfaz a condição . O número é chamado de parte real de um número complexo e o número é sua parte imaginária. Os símbolos , são usados ​​para denotá-los.

Números complexos da forma

são números reais e, portanto, o conjunto dos números complexos contém o conjunto dos números reais.

Números complexos da forma

são chamados puramente imaginários. Dois números complexos da forma e são considerados iguais se suas partes reais e imaginárias forem iguais, ou seja, se igualdades, .

A notação algébrica de números complexos permite operações sobre eles de acordo com as regras usuais da álgebra.

O uso de equações é muito difundido em nossas vidas. São utilizados em diversos cálculos, construção de estruturas e até esportes. O homem usava equações nos tempos antigos e, desde então, seu uso só aumentou. Para maior clareza, vamos resolver o seguinte problema:

Calcule \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] se \

Em primeiro lugar, prestemos atenção ao fato de que um número é apresentado na forma algébrica e o outro na forma trigonométrica. Precisa ser simplificado e trazido para o seguinte formato

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

A expressão \ diz que primeiro fazemos multiplicação e elevação à 10ª potência usando a fórmula de Moivre. Esta fórmula é formulada para a forma trigonométrica de um número complexo. Nós temos:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Seguindo as regras para multiplicar números complexos na forma trigonométrica, fazemos o seguinte:

No nosso caso:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Tornando a fração \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] correta, chegamos à conclusão que podemos “torcer” 4 voltas \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Resposta: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Esta equação pode ser resolvida de outra forma, que se resume a trazer o 2º número para a forma algébrica, depois realizar a multiplicação na forma algébrica, converter o resultado para a forma trigonométrica e aplicar a fórmula de Moivre:

Onde posso resolver um sistema de equações com números complexos online?

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Para resolver problemas com números complexos, você precisa entender as definições básicas. a tarefa principal Este artigo de revisão tem como objetivo explicar o que são números complexos e apresentar métodos para resolver problemas básicos com números complexos. Então, um número complexo será chamado de número da forma z = a + bi, Onde um, b- números reais, que são chamados de partes reais e imaginárias de um número complexo, respectivamente, e denotam uma = Re(z), b=Im(z).
eu chamada de unidade imaginária. eu 2 = -1. Em particular, qualquer número real pode ser considerado complexo: uma = uma + 0i, onde a é real. Se uma = 0 E b ≠ 0, então o número é geralmente chamado de puramente imaginário.

Agora vamos apresentar as operações com números complexos.
Considere dois números complexos z 1 = a 1 + b 1 eu E z 2 = a 2 + b 2 eu.

Vamos considerar z = a + bi.

O conjunto dos números complexos estende o conjunto dos números reais, que por sua vez estende o conjunto números racionais etc. Essa cadeia de investimentos pode ser observada na figura: N – números naturais, Z – inteiros, Q – racionais, R – reais, C – complexos.

Representação de números complexos

Notação algébrica.

Considere um número complexo z = a + bi, esta forma de escrever um número complexo é chamada algébrico. Já discutimos essa forma de gravação em detalhes na seção anterior. O seguinte desenho visual é usado com bastante frequência

Forma trigonométrica.

Pela figura pode-se ver que o número z = a + bi pode ser escrito de forma diferente. É óbvio que uma = rcos(φ), b = rssen(φ), r=|z|, por isso z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) é chamado de argumento de um número complexo. Esta representação de um número complexo é chamada forma trigonométrica. A forma trigonométrica de notação às vezes é muito conveniente. Por exemplo, é conveniente usá-lo para elevar um número complexo a uma potência inteira, ou seja, se z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Que z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, esta fórmula é chamada Fórmula de Moivre.

Forma demonstrativa.

Vamos considerar z = rcos(φ) + rsin(φ)i- um número complexo na forma trigonométrica, escreva-o em outra forma z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, a última igualdade decorre da fórmula de Euler, obtendo assim uma nova forma de escrever um número complexo: z = reiφ, que é chamado indicativo. Esta forma de notação também é muito conveniente para elevar um número complexo a uma potência: z n = r n e emφ, Aqui n não necessariamente um número inteiro, mas pode ser um número real arbitrário. Esta forma de notação é frequentemente usada para resolver problemas.

Teorema fundamental da álgebra superior

Vamos imaginar que temos uma equação quadrática x 2 + x + 1 = 0. Obviamente, o discriminante desta equação é negativo e não tem raízes reais, mas acontece que esta equação tem duas raízes complexas diferentes. Assim, o teorema fundamental da álgebra superior afirma que qualquer polinômio de grau n tem pelo menos uma raiz complexa. Segue-se disso que qualquer polinômio de grau n possui exatamente n raízes complexas, levando em consideração sua multiplicidade. Este teorema é um resultado muito importante em matemática e é amplamente utilizado. Um corolário simples deste teorema é que existem exatamente n raízes diferentes de grau n de unidade.

Principais tipos de tarefas

Esta seção cobrirá os principais tipos tarefas simples para números complexos. Convencionalmente, os problemas que envolvem números complexos podem ser divididos nas seguintes categorias.

• Execução de operações aritméticas simples em números complexos.
• Encontrar as raízes de polinômios em números complexos.
• Elevando números complexos a potências.
• Extraindo raízes de números complexos.
• Usando números complexos para resolver outros problemas.

Agora vamos ver os métodos gerais para resolver esses problemas.

As operações aritméticas mais simples com números complexos são realizadas de acordo com as regras descritas na primeira seção, mas se os números complexos forem apresentados em formas trigonométricas ou exponenciais, neste caso você poderá convertê-los em forma algébrica e realizar operações de acordo com regras conhecidas.

Encontrar as raízes dos polinômios geralmente se resume a encontrar as raízes de uma equação quadrática. Suponha que tenhamos uma equação quadrática, se seu discriminante for não negativo, então suas raízes serão reais e poderão ser encontradas por uma fórmula bem conhecida. Se o discriminante for negativo, ou seja, D = -1∙a 2, Onde aé um certo número, então o discriminante pode ser representado como D = (ia) 2, por isso √D = eu|uma|, e então você pode usar a fórmula já conhecida para as raízes de uma equação quadrática.

Exemplo. Voltemos à equação quadrática mencionada acima x 2 + x + 1 = 0.
Discriminante - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Agora podemos encontrar facilmente as raízes:

A elevação de números complexos a potências pode ser feita de várias maneiras. Se você precisar elevar um número complexo na forma algébrica a uma potência pequena (2 ou 3), poderá fazer isso por multiplicação direta, mas se a potência for maior (em problemas geralmente é muito maior), então você precisa escreva este número em formas trigonométricas ou exponenciais e use métodos já conhecidos.

Exemplo. Considere z = 1 + i e aumente-o à décima potência.
Vamos escrever z na forma exponencial: z = √2 e iπ/4.
Então z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Voltemos à forma algébrica: z 10 = -32i.

Extrair raízes de números complexos é a operação inversa da exponenciação e, portanto, é realizada de maneira semelhante. Para extrair raízes, costuma-se usar a forma exponencial de escrever um número.

Exemplo. Vamos encontrar todas as raízes do grau 3 da unidade. Para fazer isso, encontraremos todas as raízes da equação z 3 = 1, procuraremos as raízes na forma exponencial.
Vamos substituir na equação: r 3 e 3iφ = 1 ou r 3 e 3iφ = e 0 .
Portanto: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, portanto φ = 2πk/3.
Diferentes raízes são obtidas em φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Portanto 1, e i2π/3, e i4π/3 são raízes.
Ou na forma algébrica:

O último tipo de problemas inclui uma grande variedade de problemas e não existem métodos gerais para resolvê-los. Aqui está um exemplo simples de tal tarefa:

Encontre o valor pecado (x) + pecado (2x) + pecado (2x) +… + pecado (nx).

Embora a formulação deste problema não envolva números complexos, pode ser facilmente resolvido com a ajuda deles. Para resolvê-lo, são utilizadas as seguintes representações:


Se agora substituirmos esta representação na soma, o problema se reduz à soma da progressão geométrica usual.

Conclusão

Os números complexos são amplamente utilizados em matemática; este artigo de revisão examinou as operações básicas em números complexos, descreveu vários tipos de problemas padrão e descreveu brevemente métodos gerais para resolvê-los; para um estudo mais detalhado das capacidades dos números complexos, recomenda-se usar literatura especializada.

Literatura

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Nosso serviço permite que você resolva online até mesmo as equações algébricas mais complexas. Você pode obter uma solução geral para a equação e uma solução específica para os valores numéricos dos coeficientes especificados. Para resolver uma equação algébrica no site, basta preencher corretamente apenas dois campos: o lado esquerdo e o lado direito da equação dada. As equações algébricas com coeficientes variáveis ​​​​possuem um número infinito de soluções e, ao estabelecer certas condições, as parciais são selecionadas do conjunto de soluções. Equação quadrática. A equação quadrática tem a forma ax^2+bx+c=0 para a>0. Resolver equações quadráticas envolve encontrar os valores de x nos quais a igualdade ax^2+bx+c=0 é válida. Para fazer isso, encontre o valor discriminante usando a fórmula D=b^2-4ac. Se o discriminante for menor que zero, então a equação não tem raízes reais (as raízes são do corpo dos números complexos), se for igual a zero, então a equação tem uma raiz real, e se o discriminante for maior que zero , então a equação tem duas raízes reais, que são encontradas pela fórmula: D = -b+-sqrt/2a. Para resolver uma equação quadrática online, basta inserir os coeficientes da equação (inteiros, frações ou decimais). Se houver sinais de subtração em uma equação, você deverá colocar um sinal de menos antes dos termos correspondentes da equação. Você pode resolver uma equação quadrática online dependendo do parâmetro, ou seja, das variáveis ​​nos coeficientes da equação. Nosso serviço online para encontrar soluções gerais. Equações lineares. Para resolver equações lineares (ou sistemas de equações), quatro métodos principais são utilizados na prática. Descreveremos cada método em detalhes. Método de substituição. A resolução de equações usando o método de substituição requer a expressão de uma variável em termos das outras. Depois disso, a expressão é substituída em outras equações do sistema. Daí o nome do método de solução, ou seja, ao invés de uma variável, sua expressão é substituída pelas demais variáveis. Na prática, o método requer cálculos complexos, embora seja fácil de entender, portanto, resolver tal equação online ajudará a economizar tempo e a facilitar os cálculos. Basta indicar a quantidade de incógnitas da equação e preencher os dados das equações lineares, então o serviço fará o cálculo. Método de Gauss. O método baseia-se nas transformações mais simples do sistema para chegar a um sistema triangular equivalente. A partir dele, as incógnitas são determinadas uma a uma. Na prática, é necessário resolver tal equação online com descrição detalhada, graças ao qual você terá uma boa compreensão do método gaussiano para resolver sistemas de equações lineares. Escreva o sistema de equações lineares no formato correto e leve em consideração o número de incógnitas para resolver o sistema com precisão. Método de Cramer. Este método resolve sistemas de equações nos casos em que o sistema possui uma solução única. Principal Operação matematica aqui está o cálculo dos determinantes da matriz. A resolução de equações pelo método Cramer é feita online, você recebe o resultado instantaneamente com uma descrição completa e detalhada. Basta preencher o sistema com coeficientes e selecionar o número de variáveis ​​​​desconhecidas. Método matricial. Este método consiste em coletar os coeficientes das incógnitas da matriz A, das incógnitas da coluna X e dos termos livres da coluna B. Assim, o sistema de equações lineares é reduzido a uma equação matricial da forma AxX = B. Esta equação só tem solução única se o determinante da matriz A for diferente de zero, caso contrário o sistema não tem soluções, ou tem um número infinito de soluções. Resolver equações usando o método matricial envolve encontrar a matriz inversa A.