Prezentacja z matematyki na temat „testów podzielności liczb”. Prezentacja na temat „testy podzielności” Prezentacja na temat „testy podzielności liczb pierwszych”

Podsumowanie lekcji matematyki w klasie 5

TEMAT: ZNAKI PODZIAŁU PRZEZ 2, 5, 10, 4, 25, 100.

Typ lekcji: lekcja uczenia się nowego materiału.

Cel lekcji: Wyprowadź znaki podzielności liczb przez 2, 5, 10, 4, 25, 100

Cele Lekcji: 1) edukacyjny: uczy, jak ustalić, czy liczba jest podzielna przez 2, 5, 10, 4, 25, 100 bez wykonywania obliczeń

2) edukacyjny: kształcić proces poznawczy

3) rozwojowe: rozwijanie umiejętności analizowania i systematyzowania wiedzy zdobytej poprzez doświadczenie.

Plan lekcji:

Organizowanie czasu(1 minuta)

Aktualizacja wiedza podstawowa(4 minuty)

Omówienie problemu (2 minuty)

„Odkrywanie” nowej wiedzy przez dzieci (18 minut)

Minuta wychowania fizycznego (3 minuty)

Podstawowe utrwalenie zdobytej wiedzy (10 minut)

Podsumowanie lekcji (5 minut)

Inscenizacja Praca domowa(2 minuty)

PODCZAS ZAJĘĆ

1) Moment organizacyjny (1 minuta)

Witam, proszę usiąść. Dziś na lekcji zapoznamy się ze znakami podzielności liczb przez 2, 5, 10, 4, 25, 100. Podczas lekcji każdy z Was będzie miał możliwość zdobycia oceny. Aby to zrobić, musisz podnieść rękę i odpowiedzieć na zadane pytanie.

2) Aktualizacja podstawowej wiedzy (4 minuty)

Zacznijmy więc lekcję. W zeszytach zapisujemy liczbę, pracę klasową, temat lekcji: „Znaki podzielności przez 2, 5, 10, 4, 25, 100”. ( slajd 1)

Pierwsze zadanie: Znajdź dodatkowy ( slajd 2)

Drugie zadanie: Kontynuuj łańcuch ( slajd 3)

3) Omówienie problemu (2 minuty)

Powiedz mi, jak szybko ustalić, czy liczba jest podzielna przez 10, czy nie? ( odpowiedź: kończy się na 0). Oczywiście znasz już ten znak. Szkoła Podstawowa. Jak ustalić, czy liczba jest podzielna przez 2, 5, 10, 4, 25, 100? ( slajd 4).

4) „Odkrywanie” nowej wiedzy przez dzieci (18 minut)

Spróbujmy przeanalizować liczby podzielne przez 2. ( slajd 5)

(dzieci próbują odgadnąć wzór).

Zapiszmy test na podzielność przez 2 ( slajd 6).

Wykonać zadanie ( slajd 7). Co więc musisz wiedzieć, aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez 2? ( odpowiedź: ostatnia cyfra jest parzysta).

Dobrze zrobiony! Zajęliśmy się testem podzielności.

Spróbuj samodzielnie sformułować znak (spróbuj sformułować znak).

Sprawdźmy! ( slajd 9). (Zapisz znak w zeszycie)

Proszę o wykonanie zadania ( slajd 10)

Spróbuj odpowiedzieć na pytanie ( slajd 12) (odpowiedź: podzielna przez 10 i kończąca się na 0).

Zatem: jeszcze raz powtarzamy test podzielności przez 5: (liczba kończy się na 5 lub 0) ( powtórz test podzielności przez 5).

Przyjrzeliśmy się więc znakom podzielności przez ostatnią cyfrę liczby.

Następna grupa znaków podzielności jest podobna do pierwszej.

Wyciągnąć wniosek ( slajd 14)

Wskazówka (spójrz na dwie ostatnie cyfry numeru)

Podobnie znajdź test na podzielność przez 25 ( slajd 15)

Wniosek ( slajd 16)

Wykonaj zadanie ustnie ( slajd 17)

Dobrze zrobiony! Wykonaliśmy zadanie!

5) Minuta wychowania fizycznego (3 minuty)

Liczyliśmy i zmęczyliśmy się

Wszyscy wstaliśmy cicho.

Poklepane ręce

Raz Dwa Trzy.

Tupali nogami,

Raz Dwa Trzy.

Usiedli, wstali,

Wstaliśmy i usiedliśmy.

I nie robili sobie nawzajem krzywdy.

Odpoczniemy trochę

(slajd 18)

6) Podstawowa konsolidacja tego, czego się nauczyliśmy (10 minut)

Sprawdźmy teraz, jak opanowałeś materiał.

W zeszytach piszemy TEST. Zapisujemy jedynie odpowiedź.

(slajdy 20 – 24 na slajd 1,5 minuty)

Sprawdźmy: ( slajd 25).

Oceń siebie.

7) Podsumowanie lekcji (5 minut)

Czego nowego nauczyłeś się dzisiaj na zajęciach?

Sformułuj test na podzielność przez 2, 5, 10, 4, 25. ( odpowiedź)

OK, uporaliśmy się z pytaniami.

Oceny z lekcji.

8) Zadawanie zadań domowych (2 minuty)

Dziękuję za lekcję, możesz być wolny!

Opis prezentacji według poszczególnych slajdów:

1 slajd

Opis slajdu:

2 slajd

Opis slajdu:

Powtórz znane znaki podzielności przez 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10. Sformułuj nowe znaki podzielności. Zadania:

3 slajd

Opis slajdu:

Jeśli liczba kończy się na 2, 4, 6, 8, 0, to jest podzielna przez 2 bez reszty. Test podzielności przez 2. Test podzielności przez 5. Jeśli liczba kończy się na 5 lub 0, to jest podzielna przez 5 bez reszty. Znak podzielności przez 10. Jeśli liczba kończy się na 0, to jest podzielna przez 10 bez reszty.

4 slajd

Opis slajdu:

Znaki podzielności przez 3 i 9. Jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 3, to jest ona podzielna przez 3 bez reszty. Jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 9, to jest ona podzielna przez 9 bez reszty. Przykładowo: liczba 432987. suma cyfr: 4+3+2+9+8+7 = 33 33 jest podzielna przez 3, co oznacza, że 432987 jest podzielna przez 3 33 nie jest podzielna przez 9, co oznacza, że 432987 jest niepodzielne do 9.

5 slajdów

Opis slajdu:

Znaki podzielności przez 4 i 8. Jeżeli liczba utworzona przez dwie ostatnie cyfry danej liczby jest podzielna przez 4, to sama liczba jest podzielna przez 4 bez reszty. Jeżeli liczba utworzona przez trzy ostatnie cyfry danej liczby jest podzielna przez 8, to sama liczba jest podzielna przez 8 bez reszty. Na przykład: liczba 235764. liczba składająca się z dwóch ostatnich cyfr 64 jest podzielna przez 4, co oznacza, że 235764 jest podzielna przez 4; liczba składająca się z trzech ostatnich cyfr 764 nie jest podzielna przez 8, co oznacza, że 235764 nie jest podzielna przez 8.

6 slajdów

Opis slajdu:

Test podzielności przez 7. Ostatnią cyfrę liczby należy pomnożyć przez 2 i odjąć ją od „liczby pozostałej bez ostatniej cyfry”. Jeśli otrzymana liczba jest podzielna przez 7, to sama liczba jest podzielna przez 7. Na przykład: liczba 689255. Ostatnia cyfra to 5, co oznacza 68925 – 2,5 = 68915 Ostatnia cyfra to 5, co oznacza 6891 – 2,5 = 6881 ostatnia cyfra to 1, co oznacza 688 – 2,1 = 686 ostatnia cyfra to 6, co oznacza, że 68 – 2,6 = 56 56 – jest podzielne przez 7, co oznacza, że 689255 jest podzielne przez 7.

7 slajdów

Opis slajdu:

Sprawdź podzielność przez 11. Jeżeli suma cyfr zajmujących miejsca nieparzyste jest równa sumie cyfr zajmujących miejsca parzyste lub różni się od niej liczbą podzielną przez 11, to liczba ta jest podzielna przez 11 bez reszty. Przykładowo: liczba 9 163 627 suma cyfr zajmujących miejsca nieparzyste: 9+6+6+7=28, suma cyfr zajmujących miejsca parzyste 1+3+2=6; Różnica między liczbami 28 i 6 wynosi 22, a liczba ta jest podzielna przez 11.

8 slajdów

Opis slajdu:

Test podzielności przez 13. Należy wziąć ostatnią cyfrę liczby, pomnożyć ją przez 4 i dodać do „liczby pozostałej bez ostatniej cyfry”. Jeśli otrzymana liczba jest podzielna przez 13, to sama liczba jest podzielna przez 13. Na przykład: liczba 112567. Ostatnia cyfra to 7, co oznacza 11256 + 7,4 = 11284 ostatnia cyfra to 4, co oznacza 1128 + 4,4 = 1144 ostatnia cyfra to 4, co oznacza, że 114 + 4 4 = 130 130 jest podzielne przez 13, co oznacza, że 112567 jest podzielne przez 13.

Slajd 9

Opis slajdu:

Znaki podzielności liczb Dzielnik Znak 2 Liczba kończy się na jedną z cyfr: 0, 2, 4, 6, 8 3 Suma cyfr liczby jest podzielna przez 3 4 Dwie ostatnie cyfry liczby to zera lub utworzyć liczbę podzielną przez 4 5 Ostatnią cyfrą liczby jest 0 lub 5 6 Jednocześnie obserwuje się znaki podzielności przez 2 i 3 7 Różnica między liczbą dziesiątek a dwucyfrową jednostką jedności jest podzielna przez 7 8 ostatnie trzy cyfry liczby są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez 8 9 Suma cyfr liczby jest podzielna przez 9 10 Ostatnia cyfra liczby to 0 11 Różnica między sumą cyfr stojących w parzystych miejsc, a sumę cyfr w miejscach nieparzystych dzieli się przez 11 13 Sumę liczby dziesiątek z poczwórną cyfrą jedności dzieli się przez 13

Jedna liczba naturalna nie zawsze daje się podzielić przez inną liczbę naturalną bez reszty. Dzieląc liczbę naturalną, otrzymujemy resztę, popełniamy błędy i przez to tracimy czas. Powstaje potrzeba ustalenia, bez dokonywania podziału, czy dana liczba naturalna jest podzielna przez drugą.

W III wieku p.n.e. aleksandryjski naukowiec Eratostenes odkrył metodę sporządzania list liczby pierwsze, ponieważ wierzył, że liczby pierwsze odgrywają ważną rolę w badaniu wszystkich innych liczb. Jego metodę tworzenia listy liczb pierwszych nazwano sitem Eratostenesa.

Zagadnieniem podzielności liczb zajmowali się pitagorejczycy. W teorii liczb przeprowadzili wielka praca zgodnie z typologią liczb naturalnych. Pitagorejczycy podzielili je na klasy. Wyróżniono klasy: liczby doskonałe (liczba równa sumie swoich dzielników, np.: 6=1+2+3), liczby przyjazne (z których każda jest równa sumie dzielników drugiej, np. 220 oraz 284: 284= ; 220=), liczby figurowe (liczba trójkątna, liczba kwadratowa), liczby pierwsze itp.

Blaise Pascal. Wybitny francuski matematyk i fizyk Blaise Pascal () powraca młodym wieku wyniesiony wspólną cechą podzielność liczb, z której wynikają wszystkie szczególne cechy.

Test Pascala: Liczba naturalna a zostanie podzielona przez inną liczbę naturalną b tylko wtedy, gdy suma iloczynów cyfr liczby a przez odpowiednie reszty otrzymane z dzielenia jednostek cyfr przez liczbę b jest podzielna przez tę liczbę przez 7 , ponieważ 2 6 + 8 2 + 1 3 +4 = 35, 35:7=5 (gdzie 6 to reszta z dzielenia 1000 przez 7; 2 to reszta z dzielenia 100 przez 7, 3 to reszta z dzielenia 10 przez 7)

Wszystkie wymienione znaki podzielności liczb naturalnych można podzielić na 4 grupy: Grupa 1 – gdy o podzielności liczb decyduje ostatnia cyfra(y) – są to znaki podzielności przez 2, przez 5, przez jednostkę cyfrową , przez 4, przez 8, przez 25, na grupę - gdy podzielność liczb określa się przez sumę cyfr liczby - są to znaki podzielności przez 3, przez 9, przez 7, przez 37, przez 11 ( 1 znak). Grupa 3 – gdy podzielność liczb ustala się po wykonaniu pewnych czynności na cyfrach liczby – są to znaki podzielności przez 7, przez 11 (1 znak), przez 13, przez grupę – gdy do określenia innych znaków podzielności stosuje się określić podzielność liczby - są to oznaki podzielności przez 6, przez 15, przez 12, przez 14.

Znaki podzielności liczb Znaki podzielności przez 4. Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej 2 ostatnie cyfry są podzielne przez 4, ponieważ 56: 4 = 14 Znak podzielności przez 8. Liczba jest podzielna przez 8, jej trzy ostatnie cyfry są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez 8, ponieważ 952: 8 = 119

Znaki podzielności przez 25. Liczba jest podzielna przez 25. Liczba utworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 25, ponieważ 75 jest podzielne przez 25 Znaki podzielności przez 125. Liczba jest podzielna przez 125. Liczba utworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna przez podzielną przez 125, ponieważ 250: 125 = 2

Test podzielności przez 7. Liczba jest podzielna przez 7. Wynik odjęcia dwukrotności ostatniej cyfry od tej liczby bez ostatniej cyfry jest podzielny przez 7, ponieważ 36 – (2 4) = 28, 28: 7 = 4 Test podzielności przez 13. Liczba jest podzielna przez 13, a liczba jej dziesiątek dodana do poczwórnej liczby jednostek dzieli się przez 13, ponieważ (4 5) = 104, 104: 13 = 8

Znaki podzielności metodą. Liczba jest podzielna przez 17, a liczba jej dziesiątek, dodana do liczby jednostek zwiększonej 12 razy, jest podzielna przez 17, ponieważ (3,12) = 2941; (1,12) = 306; 30 + (6 12) = 102; 10 + (2 12) = 34, 34: 17 = 2 2-drożny. Liczba jest podzielna przez 17; różnica między liczbą jej dziesiątek a pięciokrotnością liczby jednostek nie jest podzielna przez 17, ponieważ – (2,5) = 3285, 328 – (5,5) = 328 – 25 = 303, 30 – (3 · 5) = 15, 15 nie jest podzielne przez 17.

Test podzielności przez 19. Liczba jest podzielna przez 19. Liczba jej dziesiątek dodana przez podwójną liczbę jednostek jest podzielna przez 19, ponieważ (2 6) = 76, 76: 19 = 4 Test podzielności przez 23 Liczba jest podzielna przez 23. Jej setki, dodane przez potrójną liczbę jednostek, są podzielne przez 23, ponieważ (3,42) = 414; 4 + (3 14) = 46, 46: 23 = 2

Test podzielności przez 11. Liczba jest podzielna przez 11. Suma cyfr ze znakami naprzemiennymi jest dzielona przez podzielność przez 11, ponieważ =11, 11:11=1 Test podzielności przez 99. Podzielmy liczbę na grupy po 2 cyfry od prawej do lewej (w grupie skrajnie lewej może 1 cyfra) i znajdź sumę tych grup. Suma ta jest podzielna przez 99, sama liczba jest podzielna przez 99, ponieważ = 198, 198: 99 = 2

Sprawdź podzielność przez 101. Podzielmy liczbę na grupy po 2 cyfry od prawej do lewej (grupa skrajnie lewa może mieć 1 cyfrę) i znajdź sumę tych grup ze znakami naprzemiennymi. Suma ta jest podzielna przez 101; sama liczba jest podzielna przez 101, ponieważ 59 – = 101, 101:101 =1

Inne znaki podzielności wynikające z dwóch znaków: Znak podzielności przez 6. Liczba jest podzielna przez 6, dzieli się zarówno przez 2, jak i przez 3. (456) Znak podzielności przez 12. Liczba jest podzielna przez 12, jest to podzielna zarówno przez 3, jak i 4. ( ) Test podzielności przez 14. Liczba jest podzielna przez 14, jest podzielna zarówno przez 2, jak i 7. (364) Test podzielności przez 15. Liczba jest podzielna przez 15, jest podzielna przez oba 3 i 5. (8 445)

Rozwiązanie: Obie wielkości, które należy wyznaczyć, muszą być liczbami całkowitymi, tj. znajdować się wśród dzielników liczby 203. Po rozłożeniu 203 na czynniki otrzymujemy: 203 = Ale podręczników nie może być 29. Ponadto liczba podręczników nie może być równa 1, ponieważ w tym przypadku uczniów byłoby 203. Oznacza to, że piątoklasistów jest 29 i każdy z nich kupił 7 podręczników. Odpowiedź: 29 piątoklasistów; 7 podręczników

ZNACZENIE PRAKTYCZNE Znajomość i wykorzystanie wyżej wymienionych znaków podzielności liczb naturalnych znacznie ułatwia wiele obliczeń, oszczędzając tym samym czas; z wyłączeniem błędów obliczeniowych, które można popełnić podczas wykonywania operacji dzielenia. Polecam zapoznanie się z moją twórczością rówieśnikom, którzy chcą wiedzieć o matematyce więcej niż przeciętny uczeń.

Zadanie 1. Dunno przechwalał się swoją wyjątkową umiejętnością mnożenia liczb „w głowie”. Aby to sprawdzić, Znayka zasugerował, aby napisał jakąś liczbę, pomnożył jej liczby i podał wynik. „1210” – natychmiast wypalił Dunno. "Jesteś w błędzie!" Znayka powiedziała po namyśle. Jak odkrył błąd, nie znając pierwotnego numeru? Rozwiązanie. Gdyby Dunno miał rację, to liczba miałaby dwie „cyfry” 11, ponieważ wśród dzielników liczby 1210 liczba pierwsza 11 występuje dwukrotnie. Odpowiedź. Gdyby Dunno miał rację, liczba zawierałaby dwie „cyfry”: 11.

Zadanie 2. Czy liczba 3905 jest podzielna przez 11? Rozwiązanie. Liczby pojawiające się w nieparzystych miejscach to 3 (na pierwszym miejscu) i 0 (na trzecim miejscu). Liczby na miejscu parzystym to 9 (jest na drugim miejscu) i 5 (jest na czwartym miejscu) Suma cyfr na miejscu nieparzystym jest nierówna sumie cyfr na miejscu parzystym, ale sumy cyfr różnią się dokładnie o 11. Odpowiedź. Zatem 3905 jest podzielne przez 11.

Rozwiązanie. Oczywiście ostatnia cyfra jest większa niż 1. Trzycyfrowa liczba pierwsza nie może kończyć się ani cyfrą parzystą (tj. 0, 2, 4, 6 lub 8), ani cyfrą 5. Jeśli ostatnią cyfrą jest 3 lub 9, to suma wszystkich Liczba cyfr równa dwukrotności ostatniej cyfry jest dzielona przez 3, a następnie sama liczba jest dzielona przez 3. Zatem pozostaje tylko liczba siedem. Odpowiedź. Dopiero o 7.

Wniosek. W trakcie pracy zapoznałem się z historią rozwoju znaków podzielności. Sama poprawnie sformułowała znaki podzielności liczb naturalnych przez 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000..., co znalazła potwierdzenie w dodatkowej literaturze. Pracując z różnymi źródłami, doszedłem do przekonania, że istnieją inne oznaki podzielności liczb naturalnych (przez 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), co potwierdziło słuszność hipotezy o istnieniu innych znaków podzielności liczb naturalnych. Z dodatkowej literatury znalazłem i rozwiązałem problemy, w których stosuje się kryteria podzielności liczb naturalnych.

Perfiłow Egor

Opublikowana prezentacja na temat: „Znaki podzielności” została wykorzystana do obrony pracy na konferencji naukowej Uniwersytetu Narodowego, która odbyła się w 2011 roku. Zawiera dodatkowy materiał na ten temat, którego uczy się w szóstej klasie i który może być wykorzystywany przez nauczycieli na lekcjach lub zajęciach pozalekcyjnych.

Pobierać:

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Temat: „Oznaki podzielności”. Ukończył: Perfilov Egor, uczeń 6. klasy Opiekun: Kirpicheva E.E.

Matematyka jest królową nauk, arytmetyka jest królową matematyki!

Test podzielności – reguła pozwalająca stosunkowo szybko ustalić, czy dana liczba jest wielokrotnością określonej liczby, bez konieczności dokonywania faktycznego dzielenia.

Wybitni matematycy pracujący nad testami podzielności. Leonardo Fibonacci Blaise Pascal (1170 – 1228) (1623 – 1162)

Test Pascala: Liczba naturalna a zostanie podzielona przez inną liczbę naturalną b tylko wtedy, gdy suma iloczynów cyfr liczby a i odpowiednich reszt uzyskanych z dzielenia jednostek cyfr przez liczbę b będzie podzielna przez tę liczbę. 2814 jest podzielne przez 7, ponieważ 2 6 + 8 2 + 1 3 +4 = 35, 35:7=5 (gdzie 6 to reszta z dzielenia 1000 przez 7; 2 to reszta z dzielenia 100 przez 7, 3 to reszta z dzielenia 10 przez 7)

Znaki podzielności liczb Znaki podzielności przez 4. Liczba jest podzielna przez 4, z dwóch jej ostatnich cyfr jest podzielna przez 4. 135 456 jest podzielne przez 4, ponieważ 56: 4 = 14 Znak podzielności przez 8. Liczba jest podzielna przez 8, jej trzy ostatnie cyfry to zera lub tworzą liczbę podzielną przez 8. 21 952 jest podzielne przez 8, ponieważ 952: 8 = 119

Znaki podzielności przez 25. Liczba jest podzielna przez 25. Liczba utworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 25. 652.475 jest podzielna przez 25, ponieważ 75 jest podzielne przez 25 Znaki podzielności przez 125. Liczba jest podzielna przez 125. Liczba utworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna przez 125 354 250 jest podzielna przez 125, ponieważ 250: 125 = 2

Test podzielności przez 7. Liczba jest podzielna przez 7. Wynik odjęcia podwójnej ostatniej cyfry od tej liczby bez ostatniej cyfry jest podzielny przez 7. 364 jest podzielne przez 7, ponieważ 36 – (2 · 4) = 28, 28: 7 = 4 Test podzielności przez 13. Liczba jest podzielna przez 13, a liczba jej dziesiątek dodana do poczwórnej liczby jednostek jest wielokrotnością 13. 845 jest podzielne do 13, ponieważ 84 + (4 5) = 104, 104: 13 = 8

Testy na podzielność przez 17. 1 sposób. Liczba jest podzielna przez 17, liczba jej dziesiątek dodana do liczby jednostek zwiększonej 12 razy, co stanowi wielokrotność 17. 29 053 jest podzielne przez 17, ponieważ 2905 + (3 12) = 2941; 294 + (1 12) = 306; 30 + (6 12) = 102; 10 + (2 12) = 34, 34: 17 = 2 2-drożny. Liczba jest podzielna przez 17; różnica między liczbą jej dziesiątek a pięciokrotnością liczby jednostek jest wielokrotnością 17. Liczba 32 952 nie jest podzielna przez 17, ponieważ 3295 – (2 5) = 3285, 328 – (5 5) = 328 – 25 = 303, 30 – (3 5) = 15, 15 nie jest podzielne przez 17.

Znak podzielności przez 19. Liczba jest podzielna przez 19, liczba jej dziesiątek dodana przez podwójną liczbę jednostek jest wielokrotnością 19. 646 jest podzielne przez 19, ponieważ 64 + (2 · 6) = 76, 76: 19 = 4 Znak podzielności przez 23. Liczba jest podzielna przez 23, a liczba jej setek jest dodana do potrójnej liczby jednostek, czyli wielokrotności 23. 28 842 jest podzielne do 23, ponieważ 288 + (3 42) = 414; 4 + (3 14) = 46, 46: 23 = 2

Test podzielności przez 11. Liczba jest podzielna przez 11, suma cyfr ze znakami naprzemiennymi jest dzielona przez 11. 271 436 jest podzielna przez 11, ponieważ 6-3+4-1+7-2 =11, 11:11=1 Sprawdź podzielność przez 99. Podzielmy liczbę na grupy po 2 cyfry od prawej do lewej (grupa znajdująca się najbardziej na lewo może mieć 1 cyfrę) i znajdź suma tych grup. Kwota ta jest podzielna przez 99, sama liczba jest podzielna przez 99. 56 732 544 dzieli się przez 99, ponieważ 56+73+25+44 = 198, 198: 99 = 2

Sprawdź podzielność przez 101. Podzielmy liczbę na grupy po 2 cyfry od prawej do lewej (grupa skrajnie lewa może mieć 1 cyfrę) i znajdź sumę tych grup ze znakami naprzemiennymi. Kwota ta jest podzielna przez 101, sama liczba jest podzielna przez 101. 590 547 dzieli się przez 101, ponieważ 59 – 05 + 47 = 101, 101:101 =1

Inne znaki podzielności wynikające z dwóch znaków: Znak podzielności przez 6. Liczba jest podzielna przez 6, dzieli się zarówno przez 2, jak i przez 3. (456) Znak podzielności przez 12. Liczba jest podzielna przez 12; jest podzielna zarówno przez 3, jak i 4. ( 589 524) Test na podzielność przez 14. Liczba jest podzielna przez 14. Jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 7. (364) Test na podzielność przez 15. Liczba jest podzielna przez 15; jest podzielna zarówno przez 3, jak i 5. (8 445)

Dziękuję za uwagę!

Mukhamedova Alla

W pracy badane są znaki podzielności przez 7, 11, 13. Prezentację można wykorzystać jako zajęcia fakultatywne lub w ramach koła matematycznego.

Pobierać:

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Znaki podzielności „Świat zbudowany jest na potędze liczb” Pitagoras

Ze wszystkich operacji arytmetycznych najbardziej kapryśnym jest dzielenie. „Natura” dzielenia objawia się nie tylko w odniesieniu do zera. Dzielenie nie zawsze jest możliwe także na liczbach całkowitych. Wszystkie te cechy dzielenia przyczyniły się do powstania takie pojęcia jak liczby pierwsze, GCD, LCM, znaki podzielności liczb Stopniowy rozwój teorii podzielności liczb doprowadził do głębokiego rozwinięcia całej teorii liczb

Algebra bardzo ułatwia znalezienie znaków, dzięki którym można z góry określić, bez wykonywania dzielenia, czy podany numer przez ten czy inny dzielnik. W programie nauczania dzieci uczą się znaków podzielności przez: 2 3 4 5 6 9 10 Ale nie uczą się znaków podzielności przez: 7 11 13 ostatnia cyfra jest podzielna przez 2 suma cyfr jest podzielna przez 3 liczba dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4 ostatnia cyfra jest podzielna przez 5 jest podzielna przez 2 i 3 suma cyfr jest podzielona przez 9, ostatnia cyfra to 0

Siedem razy odciąć raz. Siedem problemów, jedna odpowiedź. Siedem piątków w tygodniu. Jeden z dwójnogiem i siedem z łyżką. Zbyt wielu kucharzy popsuje rosół. Moja teściowa miała siedmiu zięciów... Z jakiegoś powodu liczba 7 stała się bardzo popularna wśród ludzi i przeszła do ich historii? Liczba 7 jest bogata nie tylko w powiedzenia, ale także w różne znaki podzielności 7

13 7 11 Złożony znak podzielności przez 7, 11 i 13 W tabeli liczb pierwszych liczby 7, 11 i 13 znajdują się obok siebie. Ich iloczyn jest równy: 7 * 11 * 13 = 1001 = 1000+1 Jeśli liczbę trzycyfrową pomnożymy przez 1001, to iloczyn zostanie zapisany tymi samymi cyframi, co mnożna, tylko powtórzony dwukrotnie.To znaczy, że wszystkie liczby w formie abcabc są podzielne przez 7, 11 i 13. W szczególności liczba 999999 jest podzielna przez 7, 11 i 13, czyli w przeciwnym razie 1000000 - 1

Na przykład musisz ustalić, czy liczba 42623295 jest podzielna przez 7, 11 i 13. Podzielmy tę liczbę od prawej do lewej na ścianki 3 cyfr. Teraz wyobraźmy sobie tę liczbę w tej postaci: 42 623 295 = 295 + 628 * 1000 + 42 * 1000000 = 295 + 623 (1000 + 1 – 1) + 42 (1000000 – 1 + 1) = (295 – 623 + 42) + Liczba w nawiasie kwadratowym jest koniecznie podzielna przez 7, 11 i 13. Oznacza to, że o podzielności sprawdzanej liczby całkowicie decyduje podzielność liczby zawartej w pierwszym nawiasie 42623295

Jeśli różnica sum ścian danej liczby, wzięta pojedynczo, jest podzielna przez 7, 11 lub 13, to dana liczba jest również podzielna odpowiednio przez 7, 11 lub 13 42623295 Wróćmy do liczba Ustal, która z liczb 7, 11 czy 13 dzieli różnicę sum boków danej liczby: (295 + 42) - 623 = - 286 Liczba 286 jest podzielna przez 11 i 13, ale tak nie jest podzielna przez 7. Dlatego liczba 42 623 295 jest podzielna przez 11 i 13, ale nie jest podzielna przez 7

Pierwszy znak podzielności przez 7 Liczba jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy wynik odjęcia podwójnej ostatniej cyfry od tej liczby bez ostatniej cyfry jest podzielny przez 7. Dowód: Zapiszmy sprawdzaną liczbę w postaci 10x+ y, gdzie x jest liczbą naturalną, niekoniecznie jednocyfrową, a y jest liczbą. Musimy udowodnić, że jeśli x-2y jest podzielne przez 7, to 10x+y jest podzielne przez 7 x – 2y=7a x=7a + 2y 10x=70a + 20y= 70a + 21y-y=7(10a + 3y) – y, czyli 10x + y=7(10a+3y)

Przykłady Sprawdź podzielność liczby 11886 przez 7 1188 – 6*2=1176 117 – 6*2 = 105 10 – 5*2 = 0 0 jest podzielne przez 7, co oznacza, że 11886 jest podzielne przez 7 Sprawdź podzielność liczby 7184 na 7 718 – 4*2 = 710 710 nie jest podzielne przez 7, co oznacza, że 7184 nie jest podzielne przez 7 11886 7184

Teoria reszt aktywnie uczestniczy w dowodzie niektórych testów na podzielność przez 7. Dwie liczby naturalne a i b, których różnica jest wielokrotnością liczby naturalnej m, nazywane są porównywalnym modulo m: a ≡ b (mod m ) Zatem 3 ≡ 1 (mod 2), 7 ≡ 1 (mod 3). Dwie liczby są przystające modulo 2, jeśli obie są parzyste lub nieparzyste. Modulo 1, wszystkie liczby całkowite są ze sobą porównywalne. Jeżeli liczba n jest podzielna przez m, to jest ona porównywalna z zerem modulo m: n ≡ 0 (mod m).

Drugi znak podzielności przez 7 Weźmy do sprawdzenia liczbę 7 5236 Zapisujemy to następująco: Zastąp wszędzie podstawę 10 podstawą 3: Jeśli otrzymana liczba jest podzielna (nie jest podzielna) przez 7, to ta liczba również jest podzielna ( niepodzielne) przez 7 168 jest podzielne przez 7, co oznacza, że 5236 jest podzielne przez 7

Aby udowodnić tę cechę, używamy teorii reszt. Rozważmy liczbę sześciocyfrową: Trzeci znak podzielności przez 7 Mamy:

Bo wtedy wszystko się powtórzy. W rezultacie otrzymujemy następujące dwa wiersze liczb, a pod każdą potęgą dziesięciu znajduje się liczba porównywalna z nią modulo 7: ... 3 1 -2 -3 -1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1 Stąd otrzymujemy:

W rezultacie otrzymujemy następującą regułę: Aby znaleźć resztę z dzielenia liczby naturalnej przez 7, należy podpisać współczynniki pod cyframi tej liczby od prawej do lewej: następnie pomnożyć każdą cyfrę przez współczynnik znajdujący się pod nią i dodaj otrzymane iloczyny: znaleziona suma będzie miała tę samą resztę z dzielenia przez 7, co jest tą samą liczbą, co wzięta liczba...,-1,2,3, 1,-2, -3, -1,2, 3, 1,...

Znajdź resztę 4136 podzieloną przez 7 4136≡4*(-1)+1*2+3*3+6*1=13≡6 (mod 7) Odpowiedź: reszta to 6 Czy liczba 8546216 jest podzielna przez 7 8546216 ≡8* 1+5*(-2)+4*(-3)+6*(-1)+2*2+1*3+6*1=-7 Odpowiedź: liczba 8546216 jest podzielna przez 7 Przykłady 4136 8546216

Test Pascala Blaise Pascal znalazł ogólny algorytm znajdowania testów na podzielność dowolnej liczby całkowitej przez dowolną inną liczbę całkowitą.Liczba naturalna a zostanie podzielona przez inną liczbę naturalną b tylko wtedy, gdy suma iloczynów cyfr liczby a przez odpowiednie reszty otrzymane z dzielenia jednostek cyfr przez liczbę b są podzielne przez tę liczbę

Przykłady Czy 54376 jest podzielne przez 11 Czy 10257 jest podzielne przez 13 54376 10257 Ponieważ -3 nie jest podzielne przez 11, to 54376 nie jest podzielne przez 13 Ponieważ -13 jest podzielne przez 13, to 10257 jest podzielne przez 13

Na zakończenie chciałbym przedstawić 4 bardzo nietypowe liczby.W każdej z nich znajdują się wszystkie liczby od 0 do 9, ale każda cyfra jest tylko raz i każda z tych liczb jest podzielna przez 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 i 18 3785942160 4753869120 4876391520 2438195760

Prezentację przygotowała Alla Mukhamedova