Tudo sobre poliedros. Principais tipos de poliedros e suas propriedades

Embora a estereometria seja estudada apenas no ensino médio, todo aluno está familiarizado com o cubo, as pirâmides regulares e outros poliedros simples. O tema “Poliedros” tem aplicações brilhantes, inclusive na pintura e na arquitetura. Além disso, na expressão figurativa do Acadêmico Alexandrov, combina “gelo e fogo”, ou seja, imaginação vívida e lógica estrita. Mas no curso escolar de estereometria pouco tempo é dedicado aos poliedros regulares. Mas para muitos, os poliedros regulares evocam grande interesse, mas não há oportunidade de aprender mais sobre eles em sala de aula. Por isso resolvi falar sobre todos os poliedros regulares que possuem diversos formatos e suas propriedades interessantes.

A estrutura dos poliedros regulares é muito conveniente para estudar as muitas transformações de um poliedro em si mesmo (rotações, simetrias, etc.). Os grupos de transformação resultantes (chamados grupos de simetria) revelaram-se muito interessantes do ponto de vista da teoria dos grupos finitos. A mesma simetria permitiu criar uma série de puzzles em forma de poliedros regulares, que começaram com o “cubo de Rubik” e a “pirâmide da Moldávia”.

Para compilar o resumo, utilizamos a popular revista científica e matemática “Quantum”, da qual foram retiradas informações sobre o que é um poliedro regular, sobre seu número, sobre a construção de todos os poliedros regulares e uma descrição de todas as rotações nas quais o poliedro é combinado com sua posição original. Do jornal "Matemática" recebi informação interessante sobre poliedros regulares estrelados, suas propriedades, descobertas e suas aplicações.

Agora você tem a oportunidade de mergulhar no mundo do correto e do magnífico, no mundo do belo e do extraordinário, que cativa nossos olhos.

1. Poliedros regulares

1. 1 Definição de poliedros regulares.

Um poliedro convexo é chamado regular se suas faces são poliedros regulares iguais e todos os ângulos poliédricos são iguais.

Consideremos possíveis poliedros regulares e, em primeiro lugar, aqueles cujas faces são triângulos regulares. O poliedro regular mais simples é uma pirâmide triangular, cujas faces são triângulos regulares. Três faces se encontram em cada um de seus vértices. Tendo apenas quatro faces, esse poliedro também é chamado de tetraedro regular, ou simplesmente tetraedro, que é traduzido de língua grega significa tetraedro.

Um poliedro cujas faces são triângulos regulares e quatro faces se encontram em cada vértice, sua superfície consiste em oito triângulos regulares, por isso é chamado de octaedro.

Um poliedro no qual cinco triângulos regulares se encontram em cada vértice. Sua superfície consiste em vinte triângulos regulares, por isso é chamado de icosaedro.

Observe que, como mais de cinco triângulos regulares não podem se encontrar nos vértices de um poliedro convexo, não existem outros polígonos regulares cujas faces sejam triângulos regulares.

Da mesma forma, como apenas três quadrados podem convergir nos vértices de um poliedro convexo, então, além do cubo, não existem outros poliedros regulares cujas faces sejam quadradas. Um cubo tem seis faces e, portanto, também é chamado de hexaedro.

Um poliedro cujas faces são pentágonos regulares e três faces se encontram em cada vértice. Sua superfície consiste em doze pentágonos regulares, por isso é chamado de dodecaedro.

Da definição de um poliedro regular segue-se que um poliedro regular é “perfeitamente simétrico”: se você marcar alguma face G e um de seus vértices A, então para qualquer outra face G1 e seu vértice A1 você pode combinar o poliedro consigo mesmo por movendo-se no espaço de modo que a face G fique alinhada com G1 e o vértice A termine no ponto A1.

1. 2. Contexto histórico.

Os cinco poliedros regulares listados acima, muitas vezes também chamados de “sólidos platônicos”, capturaram a imaginação de matemáticos, místicos e filósofos da antiguidade há mais de dois mil anos. Os antigos gregos até estabeleceram uma correspondência mística entre o tetraedro, o cubo, o octaedro e o icosaedro e os quatro princípios naturais - fogo, terra, ar e água. Quanto ao quinto poliedro regular, o dodecaedro, consideraram-no como a forma do Universo. Essas ideias não são apenas coisas do passado. E agora, dois milénios depois, muitos são atraídos pelo princípio estético subjacente.

Os primeiros quatro poliedros eram conhecidos muito antes de Platão. Os arqueólogos encontraram um dodecaedro feito durante a civilização etrusca, pelo menos 500 aC. e. Mas, aparentemente, na escola de Platão o dodecaedro foi descoberto de forma independente. Existe uma lenda sobre Hípases, aluno de Platão, que morreu no mar porque divulgou o segredo da “bola com doze pentágonos”.

Desde os tempos de Platão e Euclides, é sabido que existem exatamente cinco tipos de poliedros regulares.

Vamos provar esse fato. Sejam todas as faces de um certo poliedro n-gons regulares e k seja o número de faces adjacentes a um vértice (é o mesmo para todos os vértices). Vamos considerar o vértice A do nosso poliedro. Seja M1, M2,. , Mk - extremidades de k arestas saindo dele; como os ângulos diédricos nessas arestas são iguais, AM1M2Mk é uma pirâmide regular: quando girada em um ângulo de 360º/k em torno da altura AN, o vértice M entra em M, o vértice M1 em M2. Mk a M1.

Vamos comparar os triângulos isósceles AM1M2 e HM1M2. Eles têm uma base comum e o lado AM1 é maior que HM1, então M1AM2

Tetraedro 3 3 4 4 6

Cubo 4 3 8 6 12

Octaedro 3 4 6 8 12

Dodecaedro 5 3 20 12 30

Icosaedro 3 5 12 20 30

1. 3. Construção de poliedros regulares.

Todos os poliedros correspondentes podem ser construídos usando um cubo como base.

Para obter um tetraedro regular, basta pegar quatro vértices não adjacentes de um cubo e cortar dele pirâmides com quatro planos, cada um dos quais passa por três dos vértices tomados

Tal tetraedro pode ser inscrito num cubo de duas maneiras.

A intersecção de dois desses tetraedros regulares é apenas um octaedro regular: um poliedro de oito triângulos com vértices localizados nos centros das faces do cubo.

2. Propriedades dos poliedros regulares.

2. 1. Esfera e poliedros regulares.

Os vértices de qualquer poliedro regular estão na esfera (o que não é surpreendente se lembrarmos que os vértices de qualquer polígono regular estão no círculo). Além desta esfera, denominada “esfera circunscrita”, existem mais duas áreas importantes. Uma delas, a “esfera mediana”, passa pelos pontos médios de todas as arestas, e a outra, a “esfera inscrita”, toca todas as faces em seus centros. Todas as três esferas têm um centro comum, chamado centro do poliedro.

Raio da esfera inscrita Nome do poliedro Raio da esfera inscrita

Tetraedro

Dodecaedro

Icosaedro

2. 1. Auto-alinhamento de poliedros.

Que auto-alinhamentos (rotações que se traduzem em si mesmos) o cubo, o tetraedro e o octaedro possuem? Observe que um determinado ponto, o centro do poliedro, se transforma em si mesmo para qualquer autoalinhamento, de modo que todos os autoalinhamentos possuem um ponto fixo comum.

Vamos ver que tipo de rotações existem no espaço com um ponto fixo A. Vamos mostrar que tal rotação é necessariamente uma rotação através de um certo ângulo em torno de alguma linha reta que passa pelo ponto A. É suficiente para o nosso movimento F(c F (A) = A) para indicar uma linha reta fixa. Você pode encontrá-lo assim: considere três pontos M1, M2 = F(M1) e M3 = F(M2), diferentes do ponto fixo A, desenhe um plano através deles e coloque uma perpendicular AN sobre ele - este será o linha reta desejada. (Se M3 = M1, então nossa reta passa pelo meio do segmento M1M2, e F é simetria axial: rotação em um ângulo de 180°).

Assim, o autoalinhamento de um poliedro é necessariamente uma rotação em torno de um eixo que passa pelo centro do poliedro. Este eixo cruza nosso poliedro em um vértice ou no ponto interno de uma aresta ou face. Consequentemente, o nosso auto-alinhamento traduz em si um vértice, aresta ou face, o que significa que traduz em si um vértice, o meio de uma aresta ou o centro de uma face. Conclusão: o movimento de um cubo, tetraedro ou octaedro, combinando-o consigo mesmo, é a rotação em torno do eixo de um dos três tipos: o centro de um poliedro é o vértice, o centro de um poliedro é o meio de uma aresta, o centro de um poliedro é o centro de uma face.

Em geral, se um poliedro está alinhado consigo mesmo quando girado em torno de uma linha reta através de um ângulo de 360°/m, então esta linha reta é chamada de eixo de simetria de ordem m.

2. 2. Movimento e simetria.

O principal interesse nos poliedros regulares é causado pelo grande número de simetrias que possuem.

Ao considerar o autoalinhamento de poliedros, podemos incluir não apenas rotações, mas também quaisquer movimentos que transformem o poliedro nele mesmo. Aqui, movimento é qualquer transformação do espaço que preserva distâncias entre pontos entre pares.

Além das rotações, o número de movimentos também deve incluir movimentos de espelho. Entre eles estão a simetria em relação ao plano (reflexão), bem como a composição da reflexão em relação ao plano e a rotação em torno de uma linha reta perpendicular a ele (isto é Forma geral movimento do espelho tendo um ponto fixo). É claro que tais movimentos não podem ser realizados pelo movimento contínuo do poliedro no espaço.

Vamos dar uma olhada mais de perto nas simetrias do tetraedro. Qualquer linha reta que passe por qualquer vértice e centro do tetraedro passa pelo centro da face oposta. Uma rotação de 120 ou 240 graus em torno desta linha reta é uma das simetrias do tetraedro. Como o tetraedro possui 4 vértices (e 4 faces), obtemos um total de 8 simetrias diretas. Qualquer linha reta que passa pelo centro e ponto médio de uma aresta de um tetraedro passa pelo ponto médio da aresta oposta. Uma rotação de 180 graus (meia volta) em torno dessa linha reta também é simetria. Como o tetraedro tem 3 pares de arestas, obtemos mais 3 simetrias diretas. Por isso, número total existem até 12 simetrias diretas, incluindo a transformação de identidade.Pode-se mostrar que não existem outras simetrias diretas e que existem 12 simetrias reversas. Assim, o tetraedro permite um total de 24 simetrias.

As simetrias diretas dos poliedros regulares restantes podem ser calculadas usando a fórmula [(q - 1)N0 + N1 + (p - 1)N2]/2 + 1, onde p é o número de lados de polígonos regulares que são faces do poliedro, q é o número de faces adjacentes a cada vértice, N0 é o número de vértices, N1 é o número de arestas e N2 é o número de faces de cada poliedro.

O hexaedro e o octaedro têm 24 simetrias cada, e o icosaedro e o dodecaedro têm 60 simetrias cada.

Todos os poliedros regulares possuem planos de simetria (o tetraedro possui 6 deles, o cubo e o octaedro possuem 9 cada, o icosaedro e o dodecaedro possuem 15 cada).

2. 3. Poliedros em estrela.

Além dos poliedros regulares, os poliedros estrelados têm formas bonitas. Existem apenas quatro deles. Os dois primeiros foram descobertos por J. Kepler (1571 - 1630), e os outros dois foram construídos quase 200 anos depois por L. Poinsot (1777 - 1859). É por isso que os poliedros estrelados regulares são chamados de corpos Kepler-Poinsot. Eles são obtidos a partir de poliedros regulares estendendo suas faces ou arestas. O geômetra francês Poinsot em 1810 construiu quatro poliedros estrelados regulares: o pequeno dodecaedro estrelado, o grande dodecaedro estrelado, o grande dodecaedro e o grande icosaedro. Esses quatro poliedros têm faces que se cruzam com poliedros regulares, e dois deles têm cada face que é um polígono que se cruza. Mas Poinsot não conseguiu provar que não existem outros poliedros regulares.

Um ano depois (em 1811), o matemático francês Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) fez isso. Ele aproveitou o fato de que, segundo a definição de um poliedro regular, ele pode ser sobreposto a si mesmo de modo que uma face arbitrária dele coincida com uma previamente escolhida. Segue-se disso que todas as faces do poliedro estrelado são equidistantes de algum ponto central da esfera inscrita no poliedro.

Os planos das faces de um poliedro estrelado, que se cruzam, também formam um poliedro convexo regular, ou seja, um sólido platônico descrito em torno da mesma esfera. Cauchy chamou esse sólido platônico de núcleo desse poliedro estrelado. Assim, um poliedro estrelado pode ser obtido continuando os planos das faces de um dos sólidos platônicos.

É impossível obter poliedros estrelados a partir de um tetraedro, cubo ou octaedro. Vamos considerar o dodecaedro. A continuação de suas arestas leva à substituição de cada face por um pentágono estrelado regular, e o resultado é um pequeno dodecaedro estrelado.

Na continuação das faces do dodecaedro, os dois casos a seguir são possíveis: 1) se considerarmos pentágonos regulares, obteremos um grande dodecaedro.

2) se considerarmos os pentágonos estrelados como faces, obteremos um grande dodecaedro estrelado.

O icosaedro tem uma forma de estrelação única. Quando a borda de um icosaedro regular é estendida, obtém-se um grande icosaedro.

Assim, existem quatro tipos de poliedros estrelados regulares.

Os poliedros estrelas são muito decorativos, o que permite que sejam amplamente utilizados na indústria joalheira na fabricação de todos os tipos de joias.

Muitas formas de poliedros estrelados são sugeridas pela própria natureza. Os flocos de neve são poliedros em forma de estrela. Desde os tempos antigos, as pessoas tentaram descrever todos os tipos possíveis de flocos de neve e compilaram atlas especiais. Vários milhares são agora conhecidos Vários tipos flocos de neve.

Conclusão

O trabalho aborda os seguintes temas: poliedros regulares, construção de poliedros regulares, autoalinhamento, movimento e simetrias, poliedros estrelados e suas propriedades. Aprendemos que existem apenas cinco poliedros regulares e quatro poliedros regulares estrelados, que são amplamente utilizados em vários campos.

O estudo dos sólidos platônicos e figuras relacionadas continua até hoje. E embora os principais motivos pesquisa moderna beleza e simetria servem, elas também têm algum significado científico, especialmente em cristalografia. Cristais de sal de cozinha, tioantimonito de sódio e alúmen de cromo ocorrem na natureza na forma de cubo, tetraedro e octaedro, respectivamente. O icosaedro e o dodecaedro não são encontrados entre as formas cristalinas, mas podem ser observados entre as formas de organismos marinhos microscópicos conhecidos como radiolários.

As idéias de Platão e Kepler sobre a conexão dos poliedros regulares com a estrutura harmoniosa do mundo em nosso tempo encontraram sua continuação interessante hipótese científica, que no início dos anos 80. expresso pelos engenheiros de Moscou V. Makarov e V. Morozov. Eles acreditam que o núcleo da Terra tem a forma e as propriedades de um cristal em crescimento, o que influencia o desenvolvimento de todos os processos naturais que ocorrem no planeta. Os raios deste cristal, ou melhor, seu campo de força, determinam a estrutura icosaedro-dodecaedro da Terra. Ela se manifesta no fato de que nas projeções da crosta terrestre daqueles inscritos em Terra poliedros regulares: icosaedro e dodecaedro.

Muitos depósitos minerais estendem-se ao longo de uma grade icosaedro-dodecaedro; Os 62 vértices e pontos médios das arestas dos poliedros, chamados de nós pelos autores, possuem uma série de propriedades específicas que permitem explicar alguns fenômenos incompreensíveis. Aqui estão os centros de culturas e civilizações antigas: Peru, Norte da Mongólia, Haiti, cultura Ob e outros. Nestes pontos são observadas pressões atmosféricas máximas e mínimas e redemoinhos gigantes do Oceano Mundial. Esses nós contêm Loch Ness, triângulo das Bermudas. Estudos posteriores da Terra poderão determinar a atitude face a esta hipótese científica, na qual, como se pode verificar, os poliedros regulares ocupam um lugar importante.

Escultores, arquitetos e artistas também demonstraram grande interesse nas formas dos poliedros regulares. Todos ficaram maravilhados com a perfeição e harmonia dos poliedros. Leonardo da Vinci (1452 - 1519) estava interessado na teoria dos poliedros e frequentemente os representava em suas telas. Salvador Dali na pintura " última Ceia"representado I. Cristo com seus discípulos contra o fundo de um enorme dodecaedro transparente.

Ângulos triédricos e poliédricos:
Um ângulo triédrico é uma figura
formado por três planos delimitados por três raios emanados de
um ponto e não mentir em um
avião.
Vamos considerar alguns planos
polígono e um ponto situado fora
planos deste polígono.
Vamos desenhar raios deste ponto,
passando pelos picos
polígono. Nós vamos conseguir uma figura
que é chamado de poliédrico
ângulo.

Um ângulo triédrico faz parte do espaço
limitado por três ângulos planos com um comum
principal
E
em pares
em geral
festas,
Não
deitado no mesmo plano. Topo comum Sobre estes
cantos
chamado
principal
triedro
canto.
Os lados dos ângulos são chamados de arestas, ângulos planos
no vértice de um ângulo triédrico é chamado de
arestas. Cada um dos três pares de faces de um ângulo triédrico
forma um ângulo diédrico

Propriedades básicas de um ângulo triédrico
1. Cada ângulo plano de um ângulo triédrico é menor que a soma
seus outros dois ângulos planos.
+ > ; + > ; + >
α, β, γ - ângulos planos,
A, B, C - ângulos diédricos formados por planos
ângulos β e γ, α e γ, α e β.
2. A soma dos ângulos planos de um ângulo triédrico é menor
360 graus
3. Primeiro teorema do cosseno
para ângulo triédrico
4. Teorema do segundo cosseno para ângulos triédricos

,
5. Teorema dos senos
Um ângulo poliédrico cuja área interna
localizado em um lado do plano de cada
de suas faces é chamado de poliédrico convexo
ângulo. Caso contrário, ângulo poliédrico
é chamado de não convexo.

Um poliedro é um corpo, uma superfície
que consiste em um número finito
polígonos planos.

Elementos poliedros
As faces de um poliedro são
polígonos que
forma.
As arestas de um poliedro são os lados
polígonos.
Os vértices de um poliedro são
vértices do polígono.
A diagonal de um poliedro é
um segmento conectando 2 vértices,
não pertencendo ao mesmo rosto.

Poliedros
convexo
não convexo

Um poliedro é chamado convexo
se estiver localizado de um lado
plano de cada polígono em seu
superfícies.

ÂNGULOS POLIÉDICOS CONVEXOS

Um ângulo poliédrico é chamado de convexo se for convexo
figura, isto é, juntamente com quaisquer dois de seus pontos, contém inteiramente e
o segmento que os conecta.
A figura mostra exemplos
convexo
E
não convexo
ângulos poliédricos.
Teorema. A soma de todos os ângulos planos de um ângulo poliédrico convexo é menor que 360°.

POLIEDOS CONVEXOS

Um ângulo poliedro é chamado de convexo se for uma figura convexa,
isto é, juntamente com quaisquer dois de seus pontos, contém inteiramente a conexão
seu segmento.
Cubo, paralelepípedo, prisma triangular e pirâmide são convexos
poliedros.
A figura mostra exemplos de pirâmide convexa e não convexa.

PROPRIEDADE 1

Propriedade 1. Em um poliedro convexo, todas as faces são
polígonos convexos.
Na verdade, seja F alguma face do poliedro
M, e os pontos A, B pertencem à face F. Da condição de convexidade
poliedro M, segue-se que o segmento AB está inteiramente contido
no poliedro M. Como este segmento está no plano
polígono F, ele estará inteiramente contido neste
polígono, ou seja, F é um polígono convexo.

PROPRIEDADE 2

Propriedade 2. Todo poliedro convexo pode ser composto de
pirâmides com um ápice comum, cujas bases formam uma superfície
poliedro.
Na verdade, seja M um poliedro convexo. Vamos pegar um pouco
ponto interno S do poliedro M, ou seja, um ponto dele que não é
não pertence a nenhuma face do poliedro M. Conecte o ponto S com
vértices do poliedro M por segmentos. Observe que devido à convexidade
poliedro M, todos esses segmentos estão contidos em M. Considere pirâmides com
vértice S, cujas bases são as faces do poliedro M. Estes
as pirâmides estão inteiramente contidas em M e todas juntas formam o poliedro M.

Poliedros regulares

Se as faces de um poliedro forem
polígonos regulares com um e
o mesmo número de lados e em cada vértice
poliedro converge o mesmo número
arestas, então um poliedro convexo
chamado correto.

Nomes de poliedros

veio da Grécia antiga,
eles indicam o número de faces:
rosto de "edro";
"tetra" 4;
"hexa" 6;
"okta" 8;
"ikos" 20;
"dodeka" 12.

Tetraedro regular

Arroz. 1
Composto por quatro
equilátero
triângulos. Cada
seu topo é
o topo de três
triângulos.
Portanto, o montante
ângulos planos em
cada vértice é igual
180º.

Octaedro regular
Arroz. 2
Composto por oito
equilátero
triângulos. Cada
vértice do octaedro
é o topo
quatro triângulos.
Portanto, o montante
ângulos planos em
cada vértice tem 240º.

Icosaedro regular
Arroz. 3
Composto por vinte
equilátero
triângulos. Cada
vértice do icosaedro
é o primeiro dos cinco
triângulos.
Portanto, o montante
ângulos planos em
cada vértice é igual
300º.

Cubo (hexaedro)

Arroz.
4
Composto por seis
quadrados. Cada
o vértice do cubo é
o topo de três quadrados.
Portanto, o montante
ângulos planos para cada
o ápice é 270º.

Dodecaedro regular
Arroz. 5
Composto por doze
correto
pentágonos. Cada
vértice do dodecaedro
é o topo de três
correto
pentágonos.
Portanto, o montante
ângulos planos em
cada vértice é igual
324º.

Tabela nº 1
Correto
poliedro
Número
rostos
picos
costelas
Tetraedro
4
4
6
Cubo
6
8
12
Octaedro
8
6
12
Dodecaedro
12
20
30
Icosaedro
20
12
30

Fórmula de Euler
A soma do número de faces e vértices de qualquer
poliedro
igual ao número de arestas aumentado em 2.
G+V=P+2
Número de faces mais número de vértices menos número
costelas
em qualquer poliedro é igual a 2.
G+V P=2

Tabela nº 2
Número
Correto
poliedro
Tetraedro
bordas e
picos
(G + V)
costelas
(R)
4+4=8
6
"tetra" 4;
Cubo
6 + 8 = 14
12
"hexa"
6;
Octaedro
8 + 6 = 14
12
"oktá"
Dodecaedro
12 + 20 = 32
30
dodeka"
12.
30
"Ikosa"
20
Icosaedro
20 + 12 = 32
8

Dualidade de poliedros regulares

Forma de hexaedro (cubo) e octaedro
par duplo de poliedros. Número
faces de um poliedro é igual ao número
vértices do outro e vice-versa.

Pegue qualquer cubo e considere um poliedro com
vértices nos centros de suas faces. Como é fácil
certifique-se de obter um octaedro.

Os centros das faces do octaedro servem como vértices do cubo.

Poliedros na natureza, química e biologia
Os cristais de algumas substâncias que conhecemos têm a forma de poliedros regulares.
Cristal
pirita-
natural
modelo
dodecaedro.
Cristais
culinária
sais são repassados
forma de cubo
Monocristal
Antimônio
Cristal
sulfato de alumínio
(prisma)
alúmen de potássio sódico - tetraedro.
tem a forma
octaedro.
Em uma molécula
metano tem
forma
correto
tetraedro.
O icosaedro tornou-se o foco da atenção dos biólogos em suas disputas a respeito da forma
vírus. O vírus não pode ser perfeitamente redondo, como se pensava anteriormente. Para
para estabelecer sua forma, eles pegaram vários poliedros e direcionaram a luz para eles
nos mesmos ângulos do fluxo de átomos no vírus. Acontece que apenas um
o poliedro dá exatamente a mesma sombra - o icosaedro.
Durante o processo de divisão do ovo, primeiro se forma um tetraedro de quatro células, depois
octaedro, cubo e finalmente a estrutura dodecaédrica-icosaédrica da gástrula. E finalmente,
Talvez a coisa mais importante – a estrutura do DNA do código genético da vida – represente
é um desenvolvimento quadridimensional (ao longo do eixo do tempo) de um dodecaedro em rotação!

Poliedros na arte
"Retrato de Monna Lisa"
A composição do desenho é baseada em ouro
triângulos que são partes
pentágono estelar regular.
gravura "Melancolia"
No primeiro plano da foto
um dodecaedro é representado.
"Última Ceia"
Cristo com seus discípulos é retratado em
fundo de um enorme dodecaedro transparente.

Poliedros na arquitetura
Museus de frutas
Museus de frutas em Yamanashi criados com a ajuda de
modelagem tridimensional.
Pirâmides
Farol Alexandrino
Torre Spasskaya
Kremlin.
Torre Spasskaya de quatro níveis com a Igreja do Salvador
Not Made by Hands - a entrada principal do Kremlin de Kazan.
Construído no século 16 pelos arquitetos de Pskov, Ivan
Shiryaem e Postnik Yakovlev, apelidados
"Barma". Os quatro níveis da torre são
cubo, poliedros e pirâmide.

O conteúdo do artigo

POLIEDRO, uma porção do espaço delimitada por uma coleção de um número finito de polígonos planares conectados de tal forma que cada lado de qualquer polígono é o lado de exatamente um outro polígono (chamado adjacente), com exatamente um ciclo de polígonos existente em torno de cada vértice. Esses polígonos são chamados de faces, seus lados são chamados de arestas e seus vértices são chamados de vértices do poliedro.

Na Fig. 1 mostra vários poliedros bem conhecidos. Os dois primeiros servem de exemplo R-pirâmides de carvão, ou seja, poliedros constituídos por R-um triângulo chamado base, e R triângulos adjacentes à base e tendo um vértice comum (chamado de vértice da pirâmide). No R = 3 (cm. arroz. 1, A) qualquer face da pirâmide pode servir de base. Uma pirâmide cuja base tem a forma de uma pirâmide regular R-gon é chamado regular R-pirâmide de carvão. Então, podemos falar de quadrado, pentagonal regular, etc. pirâmides. Na Fig. 1, V, 1,G e 1, d são dados exemplos de uma determinada classe de poliedros, cujos vértices podem ser divididos em dois conjuntos com o mesmo número de pontos; os pontos de cada um desses conjuntos são vértices R-gon, e os planos de ambos p-gons são paralelos. Se esses dois R-gon (base) são congruentes e localizados de modo que os vértices de um R R-gon por segmentos retos paralelos, então tal poliedro é chamado R- prisma de carbono. Exemplos de dois R-prismas angulares podem servir como um prisma triangular ( R= 3) na Fig. 1, V e um prisma pentagonal ( R= 5) na Fig. 1, G. Se as bases estiverem localizadas de modo que os topos de uma R-gon estão conectados aos vértices de outro R-gon de uma linha quebrada em zigue-zague composta por 2 R segmentos retos, como na Fig. 1, d, então tal poliedro é chamado R- antiprisma de carbono.

Além de dois motivos, R-prismas de carbono estão disponíveis R faces - paralelogramos. Se os paralelogramos têm a forma de retângulos, então o prisma é chamado de linha reta, e se, além disso, as bases são regulares R-gons, então o prisma é chamado de direito regular R- prisma de carbono. R-antiprisma de carbono tem (2 p+ 2) rostos: 2 R faces triangulares e duas p- bases de carvão. Se as bases são regulares congruentes R-gons, e a linha reta que conecta seus centros é perpendicular aos seus planos, então o antiprisma é chamado de linha reta regular R- antiprisma de carbono.

Na definição de um poliedro, a última cláusula é feita para excluir da consideração anomalias como duas pirâmides com um vértice comum. Introduzimos agora uma restrição adicional no conjunto de politopos admissíveis, exigindo que duas faces não se cruzem, como na Fig. 1, e. Qualquer poliedro que satisfaça este requisito divide o espaço em duas partes, uma das quais é finita e é chamada de “interna”. A outra parte restante é chamada externa.

Um poliedro é chamado de convexo se nenhum segmento de linha reta conectando quaisquer dois de seus pontos contém pontos pertencentes ao espaço externo. Poliedros na Fig. 1, A, 1,b, 1,V e 1, d convexo e o prisma pentagonal na Fig. 1, G não convexo, pois, por exemplo, o segmento QP contém pontos situados no espaço externo do prisma.

POLIHEDOS REGULARES

Um poliedro convexo é chamado regular se satisfizer as duas condições a seguir:

283(i) todas as suas faces são polígonos regulares congruentes;

(ii) cada vértice possui o mesmo número de faces adjacentes a ele.

Se todas as arestas estiverem corretas R-gons e q dos quais são adjacentes a cada vértice, então tal poliedro regular é denotado por ( p, q). Esta notação foi proposta por L. Schläfli (1814–1895), um matemático suíço responsável por muitos resultados elegantes em geometria e análise matemática.

Existem poliedros não convexos cujas faces se cruzam e que são chamados de "poliedros estrelados regulares". Como concordamos em não considerar tais poliedros, por poliedros regulares entenderemos poliedros regulares exclusivamente convexos.

Sólidos platônicos.

Na Fig. 2 mostra poliedros regulares. O mais simples deles é um tetraedro regular, cujas faces são quatro triângulos equiláteros e três faces são adjacentes a cada um dos vértices. O tetraedro corresponde à notação (3, 3). Isto nada mais é do que um caso especial de pirâmide triangular. O mais famoso dos poliedros regulares é o cubo (às vezes chamado de hexaedro regular) - um prisma quadrado reto, cujas seis faces são quadradas. Como cada vértice possui 3 quadrados adjacentes, o cubo é designado (4, 3). Se duas pirâmides quadradas congruentes com faces em forma de triângulos equiláteros forem combinadas em suas bases, o resultado será um poliedro denominado octaedro regular. É limitado por oito triângulos equiláteros, cada um dos vértices é adjacente a quatro triângulos e, portanto, a notação (3, 4) corresponde a ele. Um octaedro regular também pode ser considerado um caso especial de um antiprisma triangular regular direto. Consideremos agora um antiprisma pentagonal regular reto, cujas faces têm a forma de triângulos equiláteros, e duas pirâmides pentagonais regulares, cujas bases são congruentes com a base do antiprisma, e as faces têm a forma de triângulos equiláteros. Se essas pirâmides forem fixadas a um antiprisma, alinhando suas bases, obteremos outro poliedro regular. Vinte de suas faces têm a forma de triângulos equiláteros, com cinco faces adjacentes a cada vértice. Tal poliedro é chamado de icosaedro regular e é denotado por (3, 5). Além dos quatro poliedros regulares mencionados acima, existe mais um - um dodecaedro regular, limitado por doze faces pentagonais; cada um de seus vértices é adjacente a três faces, então o dodecaedro é denotado como (5, 3).

Os antigos gregos também estudaram muitas propriedades geométricas dos sólidos platônicos; os frutos de suas pesquisas podem ser encontrados no 13º livro Começou Euclides. O estudo dos sólidos platônicos e figuras relacionadas continua até hoje. Embora a beleza e a simetria sejam as principais motivações da pesquisa moderna, elas também têm algum significado científico, especialmente na cristalografia. Cristais de sal de cozinha, tioantimonito de sódio e alúmen de cromo ocorrem na natureza na forma de cubo, tetraedro e octaedro, respectivamente. O icosaedro e o dodecaedro não são encontrados entre as formas cristalinas, mas podem ser observados entre as formas de organismos marinhos microscópicos conhecidos como radiolários.

Número de poliedros regulares.

É natural perguntar se, além dos sólidos platônicos, existem outros poliedros regulares. Como mostram as considerações simples a seguir, a resposta deve ser negativa. Deixar ( p, q) é um poliedro regular arbitrário. Como suas arestas estão corretas R-gons, seus ângulos internos, como é fácil de mostrar, são iguais (180 – 360/ R) ou 180 (1 – 2/ R) graus. Como o poliedro ( p, q) convexo, a soma de todos os ângulos internos ao longo das faces adjacentes a qualquer um de seus vértices deve ser menor que 360 graus. Mas cada pico é adjacente q faces, portanto a desigualdade deve ser satisfeita

Não é difícil ver isso p E q deve ser maior que 2. Substituindo em (1) R= 3, descobrimos que os únicos valores válidos são q neste caso são 3, 4 e 5, ou seja, obtemos os poliedros (3, 3), (3, 4) e (3, 5). No R= 4 é o único valor válido qé 3, ou seja, poliedro (4, 3), com R= 5 desigualdade (1) também satisfaz apenas q= 3, ou seja poliedro (5, 3). No p> 5 valores válidos q não existe. Consequentemente, não existem outros poliedros regulares, exceto os sólidos platônicos.

Todos os cinco poliedros regulares estão listados na tabela abaixo. As últimas três colunas indicam N 0 – número de vértices, N 1 – número de arestas e N 2 – o número de faces de cada poliedro.

Infelizmente, a definição de um poliedro regular dada em muitos livros de geometria está incompleta. Um erro comum é que a definição requer apenas que a condição (i) acima seja satisfeita, mas negligencia a condição (ii). Entretanto, a condição (ii) é absolutamente necessária, o que é mais facilmente verificado considerando um poliedro convexo que satisfaz a condição (i), mas não satisfaz a condição (ii). O exemplo mais simples Este tipo de tetraedro pode ser construído identificando a face de um tetraedro regular com a face de outro tetraedro congruente ao primeiro. Como resultado, obtemos um poliedro convexo, cujas seis faces são triângulos equiláteros congruentes. No entanto, alguns vértices possuem três faces adjacentes, enquanto outros possuem quatro, o que viola a condição (ii).

CINCO POLIHEDOS REGULARES
Nome	Gravação de Schläfli	N 0 (número de vértices)	N 1 (número de costelas)	N 2 (número de rostos)
Tetraedro
Cubo
Octaedro
Icosaedro
Dodecaedro

Propriedades dos poliedros regulares.

Os vértices de qualquer poliedro regular estão na esfera (o que não é surpreendente se lembrarmos que os vértices de qualquer polígono regular estão no círculo). Além desta esfera, chamada de “esfera descrita”, existem mais duas esferas importantes. Uma delas, a “esfera mediana”, passa pelos pontos médios de todas as arestas, e a outra, a “esfera inscrita”, toca todas as faces em seus centros. Todas as três esferas têm um centro comum, chamado centro do poliedro.

Poliedros duplos.

Considere um poliedro regular ( p, q) e sua esfera intermediária S. O ponto médio de cada aresta toca a esfera. Substituindo cada aresta por um segmento perpendicular à linha tangente a S no mesmo ponto obtemos N 1 aresta de um poliedro dual a um poliedro ( p, q). Não é difícil mostrar que as faces do poliedro duplo são regulares q-gons e que cada vértice é adjacente R rostos. Portanto, o poliedro ( p, q) é o dual de um poliedro regular ( q, p). O poliedro (3, 3) é dual a outro poliedro (3, 3), congruente ao original (portanto (3, 3) é chamado de poliedro autodual), o poliedro (4, 3) é dual ao poliedro (3, 4), e o poliedro (5, 3) é dual – poliedro (3, 5). Na Fig. 3 poliedros (4, 3) e (3, 4) são mostrados em dualidade entre si. Além disso, cada vértice, cada aresta e cada face do poliedro ( p, q) corresponde à única face, à única aresta e ao único vértice do poliedro dual ( q, p). Portanto, se ( p, q) Tem N 0 picos, N 1 costela e N 2 faces, então ( q, p) Tem N 2 picos, N 1 costela e N 0 rostos.

Já que cada um N 2 faces de um poliedro regular ( p, q) limitado R arestas e cada aresta é comum a exatamente duas faces, então no total existem pN 2/2 costelas, então N 1 = pN 2/2. O poliedro duplo ( q, p) costelas também N 1 e N 0 rostos, então N 1 = qN 0/2. Então os números N 0 , N 1 e N 2 para qualquer poliedro regular ( p, q) estão relacionados pela relação

Simetria.

O principal interesse nos poliedros regulares é causado pelo grande número de simetrias que possuem. Por simetria (ou transformação de simetria) de um poliedro entendemos seu movimento como um corpo rígido no espaço (por exemplo, rotação em torno de uma determinada linha reta, reflexão em relação a um determinado plano, etc.), que deixa o conjunto de vértices, arestas e faces do poliedro inalteradas. Em outras palavras, sob a ação de uma transformação de simetria, um vértice, aresta ou face mantém sua posição original ou é transferido para a posição inicial de outro vértice, outra aresta ou outra face.

Existe uma simetria comum a todos os poliedros. Estamos falando de uma transformação identitária que deixa qualquer ponto em sua posição original. Encontramos um exemplo menos trivial de simetria no caso de uma linha reta R- prisma de carbono. Deixar eu– uma linha reta conectando os centros das bases. Inversão de marcha eu para qualquer múltiplo inteiro do ângulo 360/ R graus é simetria. Deixemos, ainda, p- um plano passando no meio entre as bases paralelas a elas. Reflexão em relação a um plano p(um movimento que leva qualquer ponto P exatamente Pў, tal que p cruza o segmento PPў em ângulo reto e divide ao meio) - outra simetria. Combinando reflexão em relação a um plano p com uma volta em linha reta eu, obtemos outra simetria.

Qualquer simetria de um poliedro pode ser representada como produto de reflexões. Ao realizar vários movimentos de um poliedro como um corpo rígido, queremos dizer aqui a execução de movimentos individuais em uma determinada ordem pré-determinada. Por exemplo, a rotação acima mencionada através de um ângulo de 360/ R graus em torno de uma linha reta eué o produto das reflexões relativas a quaisquer dois planos contendo eu e formando um ângulo de 180/ um em relação ao outro R graus. Uma simetria que é produto de um número par de reflexões é chamada direta, caso contrário é chamada inversa. Assim, qualquer rotação em torno de uma linha reta é simetria direta. Qualquer reflexão é simetria reversa.

Consideremos com mais detalhes as simetrias do tetraedro, ou seja, poliedro regular (3, 3). Qualquer linha reta que passe por qualquer vértice e centro do tetraedro passa pelo centro da face oposta. Uma rotação de 120 ou 240 graus em torno desta linha reta é uma das simetrias do tetraedro. Como o tetraedro possui 4 vértices (e 4 faces), obtemos um total de 8 simetrias diretas. Qualquer linha reta que passa pelo centro e ponto médio de uma aresta de um tetraedro passa pelo ponto médio da aresta oposta. Uma rotação de 180 graus (meia volta) em torno dessa linha reta também é simetria. Como o tetraedro tem 3 pares de arestas, obtemos mais 3 simetrias diretas. Consequentemente, o número total de simetrias diretas, incluindo a transformação de identidade, chega a 12. Pode-se mostrar que não existem outras simetrias diretas e que existem 12 simetrias reversas. Assim, o tetraedro permite um total de 24 simetrias. Para maior clareza, é útil construir um modelo de papelão de um tetraedro regular e certificar-se de que o tetraedro realmente tem 24 simetrias. Desenvolvimentos que podem ser recortados de papelão fino e dobrados e colados em cinco poliedros regulares são mostrados na Fig. 4.

As simetrias diretas dos poliedros regulares restantes podem ser descritas não individualmente, mas em conjunto. Vamos concordar em entender por ( p, q) qualquer poliedro regular, exceto (3, 3). Uma linha reta que passa pelo centro ( p, q) e qualquer vértice, passa pelo vértice oposto e qualquer rotação por um múltiplo inteiro de 360/ q graus em torno desta linha é simetria. Consequentemente, para cada uma dessas linhas existem, incluindo a transformação de identidade, ( q– 1) simetrias diferentes. Cada uma dessas linhas retas conecta dois dos N 0 vértices; portanto, o número total de tais linhas retas é N 0/2, o que dá ( q – 1) > N 0/2 simetrias. Além disso, a linha que passa pelo centro do poliedro ( p, q) e o centro de qualquer face passa pelo centro da face oposta, e qualquer rotação em torno de tal linha por um múltiplo inteiro de 360/ R graus é simetria. Como o número total dessas linhas é igual a N 2/2, onde N 2 – número de faces do poliedro ( p, q), Nós temos ( p – 1) N 2/2 várias simetrias, incluindo a transformação de identidade. Finalmente, uma linha que passa pelo centro e pelo ponto médio de qualquer aresta do poliedro ( p, q), passa pelo meio da aresta oposta, e a simetria é meia volta em torno desta linha. Já que existe N 1/2 dessas linhas, onde N 1 – número de arestas do poliedro ( p, q), obtemos mais N 1/2 simetrias. Levando em conta a transformação de identidade, obtemos

simetrias diretas. Não existem outras simetrias diretas e existem tantas simetrias reversas.

Embora a fórmula (3) não tenha sido obtida para o poliedro (3, 3), é fácil verificar que também é verdadeira para ele. Assim, o poliedro (3, 3) possui 12 simetrias diretas, os poliedros (4, 3) e (3, 4) possuem 24 simetrias e os poliedros (5, 3) e (3, 5) possuem 60 simetrias.

Os leitores familiarizados com álgebra abstrata compreenderão que as simetrias de um poliedro ( p, q) formam um grupo em relação à “multiplicação” definida acima. Neste grupo, as simetrias diretas formam um subgrupo do índice 2, e as simetrias reversas não formam um grupo, pois violam a propriedade de fechamento e não contêm uma transformação de identidade (o elemento unitário do grupo). Normalmente, o grupo de simetrias diretas é denominado grupo de um poliedro, e o grupo completo de simetrias é denominado grupo estendido. A partir das propriedades dos poliedros duplos discutidas acima, fica claro que qualquer poliedro regular e seu poliedro duplo têm o mesmo grupo. O grupo tetraedro é chamado de grupo tetraédrico, o grupo cubo e octaedro é chamado de grupo octaédrico, e o grupo dodecaedro e icosaedro é chamado de grupo icosaédrico. Eles são isomórficos ao grupo alternado A 4 de quatro símbolos, grupo simétrico S 4 de quatro símbolos e grupo alternado A 5 de cinco caracteres, respectivamente.

FÓRMULA DE EULER

Olhando para a tabela, você pode notar uma relação interessante entre o número de vértices N 0, número de arestas N 1 e número de faces N 2 qualquer poliedro regular convexo ( p, q). É sobre a proporção

Substituindo as expressões resultantes nas fórmulas (3) e (4), obtemos que o número de simetrias diretas do poliedro ( p, q) é igual a

Este número também pode ser escrito em uma das formas equivalentes: qN 0 , 2N 1 ou pN 2 .

Âmbito de aplicação da fórmula de Euler.

A importância da fórmula de Euler é reforçada pelo fato de que ela é aplicável não apenas aos sólidos platônicos, mas também a qualquer poliedro homeomórfico a uma esfera ( cm. TOPOLOGIA). Esta afirmação é comprovada da seguinte forma.

Deixar P– qualquer poliedro homeomórfico a uma esfera, com N 0 vértices, N 1 costela e N 2 faces; deixar c = N 0 – N 1 + N 2 – Característica de Euler de um poliedro P. É necessário provar que c= 2. Desde Ré homeomórfico a uma esfera, podemos remover uma face e transformar o resto em alguma configuração no plano (por exemplo, na Fig. 5, A e 5, b você vê um prisma com seu plano frontal removido). Uma "configuração plana" é uma rede de pontos e segmentos de linha reta chamados "vértices" e "arestas", respectivamente, com os vértices servindo como extremidades das arestas. Consideramos os vértices e arestas da configuração que estamos considerando como vértices e arestas deslocados e deformados do poliedro. Então essa configuração tem N 0 vértices e N 1 costela Descansar N 2 – 1 faces do poliedro são deformadas em N 2 – 1 áreas não sobrepostas em um plano determinado pela configuração. Vamos chamar essas áreas de “faces” da configuração. Os vértices, arestas e faces da configuração determinam a característica de Euler, que neste caso é igual a c – 1.

Agora faremos o achatamento para que se a face removida fosse R-quadrado, então é isso N 2 – 1 faces de configuração preencherão o interior R-Vai. Deixar A– algum vértice dentro R-Vai. Vamos supor que em A convergir R costelas Se você excluir A e isso é tudo R arestas convergindo nele, então o número de vértices diminuirá em 1, arestas - em R, rostos – em R – 1 (cm. arroz. 5, b e 5, V). Nova configuração Não 0 = N 0 – 1 vértices, Não 1 = N 1 – R costelas e Não 2 = N 2 – 1 – (R– 1) rostos; por isso,

Assim, remover um vértice interno e as arestas convergindo para ele não altera a característica de Euler da configuração. Portanto, ao remover todos os vértices internos e arestas convergindo para eles, reduzimos a configuração para R-ângulo e seu interior (Fig. 5, G). Mas a característica de Euler permanecerá igual a c– 1, e como a configuração foi R picos, R arestas e 1 face, obtemos

Por isso, c= 2, que é o que precisava ser provado.

A seguir, podemos provar que se a característica de Euler de um poliedro for igual a 2, então o poliedro é homeomórfico a uma esfera. Em outras palavras, podemos generalizar o resultado obtido acima mostrando que um poliedro é homeomórfico a uma esfera se e somente se sua característica de Euler for igual a 2.

Fórmula de Euler generalizada.

Para classificar outros poliedros, utiliza-se a fórmula generalizada de Euler. Se um determinado poliedro possui 16 vértices, 32 arestas e 16 faces, então sua característica de Euler é 16 – 32 + 16 = 0. Isso nos permite afirmar que este poliedro pertence à classe dos poliedros homeomórficos a um toro. Uma característica distintiva desta classe é a característica de Euler, que é igual a zero. De forma mais geral, deixe R– poliedro com N 0 vértices, N 1 costela e N 2 rostos. Dizem que um determinado poliedro é homeomórfico a uma superfície do gênero n se e apenas se

Finalmente, deve notar-se que a situação se torna significativamente mais complicada se relaxarmos a restrição anterior de que duas faces de um poliedro não devem intersectar-se. Por exemplo, surge a possibilidade da existência de dois poliedros não homeomórficos com a mesma característica de Euler. Eles devem ser diferenciados por outras propriedades topológicas.

Os poliedros não só ocupam um lugar de destaque na geometria, mas também são encontrados na vida cotidiana de cada pessoa. Sem falar nos utensílios domésticos criados artificialmente na forma de vários polígonos, desde uma caixa de fósforos até elementos arquitetônicos, na natureza também existem cristais em forma de cubo (sal), prisma (cristal), pirâmide (scheelita), octaedro (diamante ), etc.

O conceito de poliedro, tipos de poliedros em geometria

A geometria como ciência contém a seção estereometria, que estuda as características e propriedades dos corpos volumétricos, cujos lados no espaço tridimensional são formados por planos limitados (faces), chamados “poliedros”. Existem dezenas de tipos de poliedros, diferindo no número e formato das faces.

No entanto, todos os poliedros têm propriedades comuns:

Todos eles possuem 3 componentes integrais: uma face (a superfície de um polígono), um vértice (os cantos formados na junção das faces), uma aresta (o lado da figura ou um segmento formado na junção de duas faces). ).
Cada aresta de um polígono conecta duas, e apenas duas, faces adjacentes uma à outra.
Convexidade significa que o corpo está completamente localizado em apenas um lado do plano em que se encontra uma das faces. A regra se aplica a todas as faces do poliedro. Na estereometria, essas figuras geométricas são chamadas de poliedros convexos. A exceção são os poliedros estrelados, que são derivados de corpos geométricos poliédricos regulares.

Os poliedros podem ser divididos em:

Tipos de poliedros convexos, constituídos pelas seguintes classes: ordinários ou clássicos (prisma, pirâmide, paralelepípedo), regulares (também chamados de sólidos platônicos), semirregulares (outro nome são sólidos de Arquimedes).
Poliedros não convexos (estrelados).

Prisma e suas propriedades

A estereometria como ramo da geometria estuda as propriedades das figuras tridimensionais, tipos de poliedros (entre eles o prisma). Um prisma é um corpo geométrico que possui necessariamente duas faces completamente idênticas (também chamadas de bases) situadas em planos paralelos, e o enésimo número de faces laterais na forma de paralelogramos. Por sua vez, o prisma também possui diversas variedades, incluindo tipos de poliedros como:

Paralelepípedo - formado se a base for um paralelogramo - um polígono com 2 pares de ângulos opostos iguais e dois pares de ângulos congruentes lados opostos.
tem costelas perpendiculares à base.
caracterizado pela presença de ângulos indiretos (diferentes de 90) entre as bordas e a base.
Um prisma regular é caracterizado por bases em forma de faces laterais iguais.

Propriedades básicas de um prisma:

Bases congruentes.
Todas as arestas do prisma são iguais e paralelas entre si.
Todas as faces laterais têm a forma de um paralelogramo.

Pirâmide

Uma pirâmide é um corpo geométrico que consiste em uma base e o enésimo número de faces triangulares conectadas em um ponto - o ápice. Deve-se notar que se as faces laterais da pirâmide são necessariamente representadas por triângulos, então na base pode haver um polígono triangular, um quadrilátero, um pentágono e assim por diante, ad infinitum. Neste caso, o nome da pirâmide corresponderá ao polígono da base. Por exemplo, se houver um triângulo na base de uma pirâmide, este é um quadrilátero, etc.

As pirâmides são poliedros em forma de cone. Os tipos de poliedros deste grupo, além dos listados acima, incluem também os seguintes representantes:

é baseado polígono regular, e sua altura é projetada no centro de um círculo inscrito na base ou circunscrito em torno dela.
Uma pirâmide retangular é formada quando uma das arestas laterais cruza a base em ângulo reto. Nesse caso, essa aresta também pode ser chamada de altura da pirâmide.

Propriedades da pirâmide:

Se todas as arestas laterais da pirâmide forem congruentes (da mesma altura), então todas elas se cruzam com a base no mesmo ângulo, e ao redor da base você pode desenhar um círculo com o centro coincidindo com a projeção do topo do pirâmide.
Se um polígono regular estiver na base da pirâmide, então todas as arestas laterais são congruentes e as faces são triângulos isósceles.

Poliedro regular: tipos e propriedades de poliedros

Na estereometria, um lugar especial é ocupado por corpos geométricos com faces absolutamente iguais, em cujos vértices está conectado o mesmo número de arestas. Esses corpos são chamados de sólidos platônicos ou poliedros regulares. Existem apenas cinco tipos de poliedros com estas propriedades:

Tetraedro.
Hexaedro.
Octaedro.
Dodecaedro.
Icosaedro.

Os poliedros regulares devem seu nome ao antigo filósofo grego Platão, que descreveu esses corpos geométricos em suas obras e os associou aos elementos naturais: terra, água, fogo, ar. A quinta figura recebeu semelhança com a estrutura do Universo. Na sua opinião, os átomos elementos naturais na forma, eles se assemelham a tipos de poliedros regulares. Graças à sua propriedade mais fascinante - a simetria, esses corpos geométricos foram de grande interesse não apenas para os antigos matemáticos e filósofos, mas também para arquitetos, artistas e escultores de todos os tempos. A presença de apenas 5 tipos de poliedros com simetria absoluta foi considerada um achado fundamental, sendo até associados ao princípio divino.

Hexaedro e suas propriedades

Na forma de hexágono, os sucessores de Platão assumiram uma semelhança com a estrutura dos átomos da Terra. É claro que, atualmente, esta hipótese foi completamente refutada, o que, no entanto, não impede que os números atraiam as mentes dos tempos modernos. figuras famosas sua estética.

Na geometria, o hexaedro, também conhecido como cubo, é considerado um caso especial de paralelepípedo, que, por sua vez, é uma espécie de prisma. Conseqüentemente, as propriedades do cubo estão relacionadas com a única diferença de que todas as faces e cantos do cubo são iguais entre si. As seguintes propriedades decorrem disso:

Todas as arestas do cubo são congruentes e estão em planos paralelos entre si.
Todas as faces são quadrados congruentes (há 6 deles no cubo), qualquer um dos quais pode ser tomado como base.
Todos os ângulos interédricos são iguais a 90.
Cada vértice possui um número igual de arestas, ou seja, 3.
O cubo tem 9 que se cruzam no ponto de intersecção das diagonais do hexaedro, denominado centro de simetria.

Tetraedro

Um tetraedro é um tetraedro com faces iguais em forma de triângulos, cada um dos vértices dos quais é o ponto de conexão de três faces.

Propriedades de um tetraedro regular:

Todas as faces de um tetraedro - isto significa que todas as faces de um tetraedro são congruentes.
Como a base é representada pelo correto figura geométrica, ou seja, tem lados iguais, então as faces do tetraedro convergem no mesmo ângulo, ou seja, todos os ângulos são iguais.
A soma dos ângulos planos em cada vértice é 180, como todos os ângulos são iguais, então qualquer ângulo de um tetraedro regular é 60.
Cada vértice é projetado no ponto de intersecção das alturas da face oposta (ortocentro).

Octaedro e suas propriedades

Ao descrever os tipos de poliedros regulares, não se pode deixar de notar um objeto como o octaedro, que pode ser representado visualmente como duas pirâmides quadrangulares regulares coladas nas bases.

Propriedades do octaedro:

O próprio nome de um corpo geométrico sugere o número de suas faces. O octaedro consiste em 8 triângulos equiláteros congruentes, em cada um dos vértices dos quais converge um número igual de faces, nomeadamente 4.
Como todas as faces do octaedro são iguais, seus ângulos de interface também são iguais, cada um dos quais é igual a 60, e a soma dos ângulos planos de qualquer um dos vértices é, portanto, 240.

Dodecaedro

Se imaginarmos que todas as faces de um corpo geométrico são um pentágono regular, obteremos um dodecaedro - uma figura de 12 polígonos.

Propriedades do dodecaedro:

Três faces se cruzam em cada vértice.
Todas as faces são iguais e têm o mesmo comprimento de aresta, bem como áreas iguais.
O dodecaedro possui 15 eixos e planos de simetria, e qualquer um deles passa pelo vértice da face e pelo meio da aresta oposta a ela.

Icosaedro

Não menos interessante que o dodecaedro, a figura do icosaedro é um corpo geométrico tridimensional com 20 faces iguais. Entre as propriedades do 20 edro regular, pode-se notar o seguinte:

Todas as faces do icosaedro são triângulos isósceles.
Cinco faces se encontram em cada vértice do poliedro e a soma dos ângulos adjacentes do vértice é 300.
O icosaedro, assim como o dodecaedro, possui 15 eixos e planos de simetria que passam pelos pontos médios de faces opostas.

Polígonos semirregulares

Além dos sólidos platônicos, o grupo dos poliedros convexos também inclui os sólidos de Arquimedes, que são poliedros regulares truncados. Os tipos de poliedros deste grupo possuem as seguintes propriedades:

Os corpos geométricos têm faces iguais aos pares de vários tipos, por exemplo, um tetraedro truncado tem, como um tetraedro regular, 8 faces, mas no caso de um corpo de Arquimedes, 4 faces terão forma triangular e 4 serão hexagonais.
Todos os ângulos de um vértice são congruentes.

Poliedros estrela

Representantes de tipos não volumétricos de corpos geométricos são poliedros estrelados, cujas faces se cruzam. Podem ser formados pela fusão de dois corpos tridimensionais regulares ou pelo prolongamento de suas faces.

Assim, tais poliedros estrelados são conhecidos como: formas estreladas de octaedro, dodecaedro, icosaedro, cuboctaedro, icosidodecaedro.