Tabela de funções trigonométricas simples. Seno, cosseno, tangente e cotangente - tudo o que você precisa saber para o OGE e USE

Começaremos nosso estudo de trigonometria com o triângulo retângulo. Vamos definir o que são seno e cosseno, bem como tangente e cotangente de um ângulo agudo. Este é o básico da trigonometria.

Deixe-nos lembrá-lo que ângulo certoé um ângulo igual a 90 graus. Em outras palavras, meio ângulo virado.

Canto afiado- menos de 90 graus.

Ângulo obtuso- superior a 90 graus. Em relação a tal ângulo, “obtuso” não é um insulto, mas um termo matemático :-)

Vamos desenhar um triângulo retângulo. Um ângulo reto é geralmente denotado por . Observe que o lado oposto ao canto é indicado pela mesma letra, apenas pequena. Assim, o lado oposto ao ângulo A é designado .

O ângulo é indicado pela letra grega correspondente.

Hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo reto.

Pernas- lados opostos a ângulos agudos.

A perna oposta ao ângulo é chamada oposto(em relação ao ângulo). A outra perna, que fica em um dos lados do ângulo, é chamada adjacente.

Seio O ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o lado oposto e a hipotenusa:

Cossenoângulo agudo em um triângulo retângulo - a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:

Tangenteângulo agudo em um triângulo retângulo - a razão entre o lado oposto e o adjacente:

Outra definição (equivalente): a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o seno do ângulo e seu cosseno:

Co-tangenteângulo agudo em um triângulo retângulo - a razão entre o lado adjacente e o oposto (ou, o que é o mesmo, a razão entre cosseno e seno):

Observe as relações básicas para seno, cosseno, tangente e cotangente abaixo. Eles serão úteis para nós na resolução de problemas.

Vamos provar alguns deles.

Ok, demos definições e escrevemos fórmulas. Mas por que ainda precisamos de seno, cosseno, tangente e cotangente?

Nós sabemos isso a soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual a.

Conhecemos a relação entre festas triângulo retângulo. Este é o teorema de Pitágoras: .

Acontece que conhecendo dois ângulos em um triângulo, você pode encontrar o terceiro. Conhecendo os dois lados de um triângulo retângulo, você pode encontrar o terceiro. Isso significa que os ângulos têm sua própria proporção e os lados têm a sua própria. Mas o que você deve fazer se em um triângulo retângulo você conhece um ângulo (exceto o ângulo reto) e um lado, mas precisa encontrar os outros lados?

Isso é o que as pessoas encontravam no passado ao fazer mapas da área e do céu estrelado. Afinal, nem sempre é possível medir diretamente todos os lados de um triângulo.

Seno, cosseno e tangente - também são chamados funções de ângulo trigonométrico- dar relacionamentos entre festas E cantos triângulo. Conhecendo o ângulo, você pode encontrar todas as suas funções trigonométricas usando tabelas especiais. E conhecendo os senos, cossenos e tangentes dos ângulos de um triângulo e um de seus lados, você pode encontrar o resto.

Também traçaremos uma tabela dos valores de seno, cosseno, tangente e cotangente para ângulos “bons” de a.

Observe os dois traços vermelhos na tabela. Em valores de ângulo apropriados, tangente e cotangente não existem.

Vejamos vários problemas de trigonometria do Banco de Tarefas FIPI.

1. Em um triângulo, o ângulo é , . Encontrar .

O problema é resolvido em quatro segundos.

Porque o , .

2. Em um triângulo, o ângulo é , , . Encontrar .

Vamos encontrá-lo usando o teorema de Pitágoras.

O problema está resolvido.

Freqüentemente, nos problemas existem triângulos com ângulos e ou com ângulos e. Lembre-se de cor das proporções básicas para eles!

Para um triângulo com ângulos e o cateto oposto ao ângulo em é igual a metade da hipotenusa.

Um triângulo com ângulos e é isósceles. Nele, a hipotenusa é vezes maior que a perna.

Vimos problemas para resolver triângulos retângulos - isto é, encontrar lados ou ângulos desconhecidos. Mas isso não é tudo! EM Opções do Exame Estadual Unificado em matemática existem muitos problemas onde aparece o seno, cosseno, tangente ou cotangente do ângulo externo de um triângulo. Mais sobre isso no próximo artigo.

Dados de referência para tangente (tg x) e cotangente (ctg x). Definição geométrica, propriedades, gráficos, fórmulas. Tabela de tangentes e cotangentes, derivadas, integrais, expansões em série. Expressões através de variáveis ​​complexas. Conexão com funções hiperbólicas.

Definição geométrica

|BD| - comprimento do arco de círculo com centro no ponto A.
α é o ângulo expresso em radianos.

Tangente ( bronzeado α) é uma função trigonométrica que depende do ângulo α entre a hipotenusa e o cateto de um triângulo retângulo, igual à razão entre o comprimento do cateto oposto |BC| ao comprimento da perna adjacente |AB| .

Cotangente ( ctgα) é uma função trigonométrica que depende do ângulo α entre a hipotenusa e o cateto de um triângulo retângulo, igual à razão entre o comprimento do cateto adjacente |AB| ao comprimento da perna oposta |BC| .

Tangente

Onde n- todo.

Na literatura ocidental, a tangente é denotada da seguinte forma:
.
;
;
.

Gráfico da função tangente, y = tan x

Co-tangente

Onde n- todo.

Na literatura ocidental, a cotangente é denotada da seguinte forma:
.
As seguintes notações também são aceitas:
;
;
.

Gráfico da função cotangente, y = ctg x

Propriedades de tangente e cotangente

Periodicidade

Funções y = tg x e y = ctg x são periódicos com período π.

Paridade

As funções tangente e cotangente são ímpares.

Áreas de definição e valores, aumentando, diminuindo

As funções tangente e cotangente são contínuas em seu domínio de definição (ver prova de continuidade). As principais propriedades da tangente e cotangente são apresentadas na tabela ( n- todo).

Fórmulas

Expressões usando seno e cosseno

; ;
; ;
;

Fórmulas para tangente e cotangente de soma e diferença

As restantes fórmulas são fáceis de obter, por exemplo

Produto de tangentes

Fórmula para a soma e diferença de tangentes

Esta tabela apresenta os valores de tangentes e cotangentes para determinados valores do argumento.

Expressões usando números complexos

Expressões através de funções hiperbólicas

;
;

Derivados

; .

.
Derivada de enésima ordem em relação à variável x da função:
.
Derivando fórmulas para tangente > > > ; para cotangente > > >

Integrais

Expansões de série

Para obter a expansão da tangente em potências de x, é necessário considerar vários termos da expansão em uma série de potências para as funções pecado x E porque x e divida esses polinômios entre si,. Isso produz as seguintes fórmulas.

No .

no .
Onde Bn- Números de Bernoulli. Eles são determinados a partir da relação de recorrência:
;
;
Onde .
Ou de acordo com a fórmula de Laplace:

Funções inversas

As funções inversas de tangente e cotangente são arcotangente e arcotangente, respectivamente.

Arctangente, arcg

, Onde n- todo.

Arcotangente, arcoctg

, Onde n- todo.

Referências:
EM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemática para engenheiros e estudantes universitários, “Lan”, 2009.
G. Korn, Manual de Matemática para Cientistas e Engenheiros, 2012.

Este artigo contém tabelas de senos, cossenos, tangentes e cotangentes. Primeiro iremos fornecer uma tabela de valores básicos funções trigonométricas, ou seja, uma tabela de senos, cossenos, tangentes e cotangentes dos ângulos 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 graus ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radiano). Depois disso, daremos uma tabela de senos e cossenos, bem como uma tabela de tangentes e cotangentes de V. M. Bradis, e mostraremos como usar essas tabelas para encontrar os valores de funções trigonométricas.

Navegação na página.

Tabela de senos, cossenos, tangentes e cotangentes para ângulos de 0, 30, 45, 60, 90, ... graus

Bibliografia.

• Álgebra: Livro didático para o 9º ano. média. escola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Educação, 1990. - 272 pp.: il. - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I.Álgebra e os primórdios da análise: livro didático. para as séries 10-11. média. escola - 3ª edição. - M.: Educação, 1993. - 351 p.: il. - ISBN 5-09-004617-4.
• Álgebra e o início da análise: Proc. para as séries 10-11. Educação geral instituições / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn e outros; Ed. A. N. Kolmogorov.- 14ª ed. - M.: Educação, 2004. - 384 pp.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para quem ingressa nas escolas técnicas): Proc. subsídio.- M.; Mais alto escola, 1984.-351 p., il.
• Bradis V.M. Tabelas matemáticas de quatro dígitos: Para educação geral. livro didático estabelecimentos. - 2ª ed. - M.: Abetarda, 1999.- 96 p.: il. ISBN 5-7107-2667-2

1. Funções trigonométricas são funções elementares cujo argumento é canto. As funções trigonométricas descrevem as relações entre os lados e os ângulos agudos em um triângulo retângulo. As áreas de aplicação das funções trigonométricas são extremamente diversas. Por exemplo, quaisquer processos periódicos podem ser representados como uma soma de funções trigonométricas (série de Fourier). Essas funções geralmente aparecem na resolução de equações diferenciais e funcionais.

2. As funções trigonométricas incluem as 6 funções a seguir: seio, cosseno, tangente,co-tangente, secante E cossecante. Para cada uma dessas funções existe uma função trigonométrica inversa.

3. É conveniente introduzir a definição geométrica de funções trigonométricas usando círculo unitário. A figura abaixo mostra um círculo com raio r=1. O ponto M(x,y) está marcado no círculo. O ângulo entre o vetor raio OM e a direção positiva do eixo do Boi é igual a α.

4. Seioângulo α é a razão entre a ordenada y do ponto M(x,y) e o raio r:
sinα=y/r.
Como r=1, então o seno é igual à ordenada do ponto M(x,y).

5. Cossenoângulo α é a razão entre a abcissa x do ponto M(x,y) e o raio r:
cosα=x/r

6. Tangenteângulo α é a razão entre a ordenada y de um ponto M(x,y) e sua abscissa x:
tanα=y/x,x≠0

7. Co-tangenteângulo α é a razão entre a abcissa x de um ponto M(x,y) e sua ordenada y:
cotα=x/y,y≠0

8. Secanteângulo α é a razão entre o raio r e a abcissa x do ponto M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Cosecanteângulo α é a razão entre o raio r e a ordenada y do ponto M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. No círculo unitário, as projeções x, y dos pontos M(x,y) e raio r formam um triângulo retângulo, em onde x,y são pernas e r é a hipotenusa. Portanto, as definições acima de funções trigonométricas aplicadas a um triângulo retângulo são formuladas da seguinte forma:
Seioângulo α é a razão entre o lado oposto e a hipotenusa.
Cossenoângulo α é a razão entre a perna adjacente e a hipotenusa.
Tangente o ângulo α é chamado de perna oposta à adjacente.
Co-tangente o ângulo α é chamado de lado adjacente ao lado oposto.
Secanteângulo α é a razão entre a hipotenusa e a perna adjacente.
Cosecanteângulo α é a razão entre a hipotenusa e a perna oposta.

11. Gráfico da função seno
y=sinx, domínio de definição: x∈R, intervalo de valores: −1≤sinx≤1

12. Gráfico da função cosseno
y=cosx, domínio: x∈R, intervalo: −1≤cosx≤1

13. Gráfico da função tangente
y=tanx, faixa de definição: x∈R,x≠(2k+1)π/2, faixa de valores: −∞

14. Gráfico da função cotangente
y=cotx, domínio: x∈R,x≠kπ, intervalo: −∞

15. Gráfico da função secante
y=secx, domínio: x∈R,x≠(2k+1)π/2, intervalo: secx∈(−∞,−1]∪∪)