As propriedades básicas da função potência são fornecidas, incluindo fórmulas e propriedades das raízes. São apresentadas a derivada, a integral, a expansão em série de potências e a representação de números complexos de uma função de potência.

Definição

Definição
Função de potência com expoente pé a função f (x) = x p, cujo valor no ponto x é igual ao valor da função exponencial com base x no ponto p.
Além disso, f (0) = 0 p = 0 para p > 0 .

Para valores naturais do expoente, a função potência é o produto de n números iguais a x:
.
É definido para todos os arquivos válidos.

Para valores racionais positivos do expoente, a função potência é o produto de n raízes do grau m do número x:
.
Para m ímpar, é definido para todo x real. Para m par, a função potência é definida para os não negativos.

Para negativo, a função potência é determinada pela fórmula:
.
Portanto, não está definido no ponto.

Para valores irracionais do expoente p, a função potência é determinada pela fórmula:
,
onde a é um número positivo arbitrário diferente de um: .
Quando , é definido para .
Quando, a função de potência é definida para.

Continuidade. Uma função de potência é contínua em seu domínio de definição.

Propriedades e fórmulas de funções de potência para x ≥ 0

Aqui consideraremos as propriedades da função potência para valores não negativos do argumento x. Conforme dito acima, para determinados valores do expoente p, a função potência também é definida para valores negativos de x. Neste caso, suas propriedades podem ser obtidas a partir das propriedades de , utilizando pares ou ímpares. Esses casos são discutidos e ilustrados detalhadamente na página "".

Uma função de potência, y = x p, com expoente p tem as seguintes propriedades:
(1.1) definido e contínuo no set
no ,
no ;
(1.2) tem muitos significados
no ,
no ;
(1.3) aumenta estritamente com,
diminui estritamente como;
(1.4) no ;
no ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

A prova das propriedades é fornecida na página “Função de potência (prova de continuidade e propriedades)”

Raízes - definição, fórmulas, propriedades

Definição
Raiz de um número x de grau né o número que quando elevado à potência n dá x:
.
Aqui n = 2, 3, 4, ... - um número natural maior que um.

Você também pode dizer que a raiz de um número x de grau n é a raiz (ou seja, solução) da equação
.
Observe que a função é o inverso da função.

Raiz quadrada de xé uma raiz de grau 2: .

Raiz cúbica de xé uma raiz de grau 3: .

Grau uniforme

Para potências pares n = 2 metros, a raiz é definida para x ≥ 0 . Uma fórmula frequentemente usada é válida tanto para x positivo quanto para negativo:
.
Para raiz quadrada:
.

A ordem em que as operações são realizadas é importante aqui - ou seja, primeiro é realizada a quadratura, resultando em um número não negativo, e então a raiz é extraída dele (de número não negativo pode ser removido Raiz quadrada). Se mudássemos a ordem: , então para x negativo a raiz seria indefinida e, com ela, toda a expressão seria indefinida.

Grau estranho

Para potências ímpares, a raiz é definida para todo x:
;
.

Propriedades e fórmulas de raízes

A raiz de x é uma função potência:
.
Quando x ≥ 0 aplicam-se as seguintes fórmulas:
;
;
, ;
.

Essas fórmulas também podem ser aplicadas para valores negativos de variáveis. Você só precisa ter certeza de que a expressão radical de potências pares não é negativa.

Valores privados

A raiz de 0 é 0: .
Raiz 1 é igual a 1: .
A raiz quadrada de 0 é 0: .
A raiz quadrada de 1 é 1: .

Exemplo. Raiz das raízes

Vejamos um exemplo de raiz quadrada de raízes:
.
Vamos transformar a raiz quadrada interna usando as fórmulas acima:
.
Agora vamos transformar a raiz original:
.
Então,
.

y = x p para diferentes valores do expoente p.

Aqui estão os gráficos da função para valores não negativos do argumento x. Os gráficos de uma função potência definida para valores negativos de x são fornecidos na página “Função potência, suas propriedades e gráficos"

Função inversa

O inverso de uma função de potência com expoente p é uma função de potência com expoente 1/p.

Se então.

Derivada de uma função de potência

Derivada de enésima ordem:
;

Derivando fórmulas >>>

Integral de uma função de potência

P ≠ - 1 ;
.

Expansão da série de potências

No - 1 < x < 1 ocorre a seguinte decomposição:

Expressões usando números complexos

Considere a função da variável complexa z:
f (z) = z t.
Vamos expressar a variável complexa z em termos do módulo r e do argumento φ (r = |z|):
z = r e eu φ .
Número complexo t será representado na forma de partes reais e imaginárias:
t = p + eu q .
Nós temos:

A seguir, levamos em consideração que o argumento φ não é definido de forma única:
,

Vamos considerar o caso quando q = 0 , ou seja, o expoente é um número real, t = p. Então
.

Se p for um número inteiro, então kp é um número inteiro. Então, devido à periodicidade das funções trigonométricas:
.
Aquilo é função exponencial para um expoente inteiro, para um determinado z, tem apenas um valor e, portanto, é inequívoco.

Se p for irracional, então os produtos kp para qualquer k não produzem um número inteiro. Como k percorre uma série infinita de valores k = 0, 1, 2, 3, ..., então a função z p tem infinitos valores. Sempre que o argumento z é incrementado 2π(uma volta), passamos para um novo ramo da função.

Se p for racional, então pode ser representado como:
, Onde m, n- inteiro, sem conter divisores comuns. Então
.
Primeiros n valores, com k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, dado Significados diferentes kp:
.
No entanto, os valores subsequentes fornecem valores que diferem dos anteriores por um número inteiro. Por exemplo, quando k = k 0+n Nós temos:
.
Funções trigonométricas, cujos argumentos diferem por valores que são múltiplos de 2π, têm valores iguais. Portanto, com um aumento adicional em k, obtemos os mesmos valores de z p que para k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Assim, uma função exponencial com expoente racional tem vários valores e possui n valores (ramos). Sempre que o argumento z é incrementado 2π(uma volta), passamos para um novo ramo da função. Após n tais revoluções, voltamos ao primeiro ramo a partir do qual a contagem regressiva começou.

Em particular, uma raiz de grau n possui n valores. Como exemplo, considere a enésima raiz de um número real positivo z = x. Neste caso φ 0 = 0 , z = r = |z| =x, .
.
Então, para uma raiz quadrada, n = 2 ,
.
Para k mesmo, (- 1 ) k = 1. Para k ímpar, (- 1 ) k = - 1.
Ou seja, a raiz quadrada tem dois significados: + e -.

Referências:
EM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemática para engenheiros e estudantes universitários, “Lan”, 2009.

Expressões, conversão de expressão

Expressões de poder (expressões com poderes) e sua transformação

Neste artigo falaremos sobre a conversão de expressões com potências. Primeiramente, focaremos nas transformações que são realizadas com expressões de qualquer tipo, inclusive expressões de potência, como abrir parênteses e trazer termos semelhantes. E a seguir analisaremos as transformações inerentes especificamente às expressões com graus: trabalhando com base e expoente, usando as propriedades dos graus, etc.

Navegação na página.

O que são expressões de poder?

O termo “expressões de poder” praticamente não aparece nos livros escolares de matemática, mas aparece com bastante frequência em coleções de problemas, principalmente aqueles destinados à preparação para o Exame Estadual Unificado e o Exame Estadual Unificado, por exemplo. Após analisar as tarefas em que é necessário realizar alguma ação com expressões de poder, fica claro que expressões de poder são entendidas como expressões contendo poderes em suas entradas. Portanto, você pode aceitar a seguinte definição:

Definição.

Expressões de poder são expressões contendo graus.

Vamos dar exemplos de expressões de poder. Além disso, iremos apresentá-los de acordo com como ocorre o desenvolvimento de visões sobre um grau com expoente natural para um grau com expoente real.

Como se sabe, primeiro se familiariza com a potência de um número com expoente natural; nesta fase, as primeiras expressões de potência mais simples do tipo 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 aparecem −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Um pouco mais tarde, estuda-se a potência de um número com expoente inteiro, o que leva ao aparecimento de expressões de potência com potências inteiras negativas, como as seguintes: 3 −2, , uma −2 +2 b −3 +c 2 .

No ensino médio eles retornam aos diplomas. Aí é introduzido um grau com um expoente racional, o que acarreta o aparecimento das expressões de potência correspondentes: , , e assim por diante. Por fim, são considerados graus com expoentes irracionais e expressões que os contêm: , .

O assunto não se limita às expressões de potência listadas: além disso, a variável penetra no expoente e, por exemplo, surgem as seguintes expressões: 2 x 2 +1 ou . E depois de se familiarizar com , começam a aparecer expressões com potências e logaritmos, por exemplo, x 2·lgx −5·x lgx.

Portanto, lidamos com a questão do que representam as expressões de poder. A seguir aprenderemos como transformá-los.

Principais tipos de transformações de expressões de poder

Com expressões de potência, você pode realizar qualquer uma das transformações básicas de identidade de expressões. Por exemplo, você pode abrir parênteses, substituir expressões numéricas por seus valores, adicionar termos semelhantes, etc. Naturalmente, neste caso, é necessário seguir o procedimento aceito para a execução das ações. Vamos dar exemplos.

Exemplo.

Calcule o valor da expressão de potência 2 3 ·(4 2 −12) .

Solução.

De acordo com a ordem de execução das ações, execute primeiro as ações entre colchetes. Lá, em primeiro lugar, substituímos a potência 4 2 pelo seu valor 16 (se necessário, veja) e, em segundo lugar, calculamos a diferença 16−12=4. Nós temos 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Na expressão resultante, substituímos a potência 2 3 pelo seu valor 8, após o que calculamos o produto 8·4=32. Este é o valor desejado.

Então, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Responder:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Exemplo.

Simplifique expressões com potências 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Solução.

Obviamente, esta expressão contém termos semelhantes 3·a 4 ·b −7 e 2·a 4 ·b −7 , e podemos apresentá-los: .

Responder:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Exemplo.

Expresse uma expressão com potências como produto.

Solução.

Você pode lidar com a tarefa representando o número 9 como uma potência de 3 2 e depois usando a fórmula para multiplicação abreviada - diferença de quadrados:

Responder:

Há também uma série de transformações idênticas inerentes especificamente às expressões de poder. Iremos analisá-los mais detalhadamente.

Trabalhando com base e expoente

Existem graus cuja base e/ou expoente não são apenas números ou variáveis, mas algumas expressões. Como exemplo, damos as entradas (2+0,3·7) 5−3,7 e (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Ao trabalhar com tais expressões, você pode substituir tanto a expressão na base do grau quanto a expressão no expoente por uma expressão idêntica na ODZ de suas variáveis. Em outras palavras, de acordo com as regras que conhecemos, podemos transformar separadamente a base do grau e separadamente o expoente. É claro que como resultado desta transformação será obtida uma expressão idêntica à original.

Tais transformações nos permitem simplificar expressões com potências ou atingir outros objetivos de que necessitamos. Por exemplo, na expressão de potência mencionada acima (2+0,3 7) 5−3,7, você pode realizar operações com os números na base e no expoente, o que permitirá passar para a potência 4,1 1,3. E depois de abrir os colchetes e trazer termos semelhantes para a base do grau (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), obtemos uma expressão de potência de uma forma mais simples a 2·(x+ 1) .

Usando propriedades de grau

Uma das principais ferramentas para transformar expressões com potências são as igualdades que refletem. Recordemos os principais. Para qualquer números positivos aeb e números reais arbitrários r e s, as seguintes propriedades de potências são válidas:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Observe que para expoentes naturais, inteiros e positivos, as restrições aos números a e b podem não ser tão rigorosas. Por exemplo, para números naturais m e n a igualdade a m ·a n =a m+n é verdadeira não apenas para a positivo, mas também para a negativo, e para a=0.

Na escola, o foco principal na transformação das expressões de poder está na capacidade de escolher a propriedade adequada e aplicá-la corretamente. Nesse caso, as bases dos graus costumam ser positivas, o que permite que as propriedades dos graus sejam utilizadas sem restrições. O mesmo se aplica à transformação de expressões contendo variáveis ​​​​em bases de potências - a faixa de valores permitidos de variáveis ​​​​geralmente é tal que as bases assumem apenas valores positivos, o que permite usar livremente as propriedades das potências . Em geral, você precisa se perguntar constantemente se é possível usar alguma propriedade de graus neste caso, porque o uso impreciso de propriedades pode levar a um estreitamento do valor educacional e a outros problemas. Esses pontos são discutidos detalhadamente e com exemplos no artigo transformação de expressões usando propriedades de potências. Aqui nos limitaremos a considerar alguns exemplos simples.

Exemplo.

Expresse a expressão a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 como uma potência com base a.

Solução.

Primeiro, transformamos o segundo fator (a 2) −3 usando a propriedade de elevar uma potência a uma potência: (uma 2) −3 =uma 2·(−3) =uma −6. A expressão de potência original terá a forma a 2,5 ·a −6:a −5,5. Obviamente, resta usar as propriedades de multiplicação e divisão de potências com a mesma base, temos
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
uma 2,5−6:uma −5,5 =uma −3,5:uma −5,5 =
uma −3,5−(−5,5) =uma 2 .

Responder:

uma 2,5 ·(uma 2) −3:uma −5,5 =uma 2.

As propriedades das potências ao transformar expressões de potência são usadas tanto da esquerda para a direita quanto da direita para a esquerda.

Exemplo.

Encontre o valor da expressão de potência.

Solução.

A igualdade (a·b) r =a r ·b r, aplicada da direita para a esquerda, permite-nos passar da expressão original para um produto da forma e mais adiante. E ao multiplicar potências com as mesmas bases, os expoentes somam: .

Foi possível transformar a expressão original de outra forma:

Responder:

.

Exemplo.

Dada a expressão de potência a 1,5 −a 0,5 −6, introduza uma nova variável t=a 0,5.

Solução.

O grau a 1,5 pode ser representado como 0,5 3 e então, com base na propriedade do grau ao grau (a r) s =a r s, aplicado da direita para a esquerda, transforme-o na forma (a 0,5) 3. Por isso, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Agora é fácil introduzir uma nova variável t=a 0,5, obtemos t 3 −t−6.

Responder:

t 3 −t−6 .

Convertendo frações contendo potências

Expressões de potência podem conter ou representar frações com potências. Qualquer uma das transformações básicas de frações inerentes a frações de qualquer tipo é totalmente aplicável a tais frações. Ou seja, as frações que contêm potências podem ser reduzidas, reduzidas a um novo denominador, trabalhadas separadamente com o seu numerador e separadamente com o denominador, etc. Para ilustrar essas palavras, considere soluções para vários exemplos.

Exemplo.

Simplifique a expressão de poder .

Solução.

Esta expressão de poder é uma fração. Vamos trabalhar com seu numerador e denominador. No numerador abrimos os colchetes e simplificamos a expressão resultante usando as propriedades das potências, e no denominador apresentamos termos semelhantes:

E vamos também mudar o sinal do denominador colocando um menos na frente da fração: .

Responder:

.

A redução de frações contendo potências a um novo denominador é realizada de forma semelhante à redução de frações racionais a um novo denominador. Nesse caso, também é encontrado um fator adicional e o numerador e o denominador da fração são multiplicados por ele. Ao realizar esta ação, vale lembrar que a redução para um novo denominador pode levar ao estreitamento do VA. Para evitar que isso aconteça, é necessário que o fator adicional não chegue a zero para nenhum valor das variáveis ​​das variáveis ​​ODZ da expressão original.

Exemplo.

Reduza as frações para um novo denominador: a) para o denominador a, b) para o denominador.

Solução.

a) Neste caso, é bastante fácil descobrir qual multiplicador adicional ajuda a alcançar o resultado desejado. Este é um multiplicador de 0,3, já que a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Observe que na faixa de valores permitidos da variável a (este é o conjunto de todos os números reais positivos), a potência de a 0,3 não desaparece, portanto, temos o direito de multiplicar o numerador e o denominador de um dado fração por este fator adicional:

b) Olhando mais de perto o denominador, você descobrirá que

e multiplicar esta expressão por dará a soma dos cubos e, ou seja,. E este é o novo denominador ao qual precisamos de reduzir a fração original.

Foi assim que encontramos um fator adicional. Na faixa de valores permitidos das variáveis ​​​​x e y, a expressão não desaparece, portanto, podemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por ela:

Responder:

A) , b) .

Também não há nada de novo na redução de frações contendo potências: o numerador e o denominador são representados como uma série de fatores, e os mesmos fatores do numerador e do denominador são reduzidos.

Exemplo.

Reduza a fração: a) ,b) .

Solução.

a) Primeiramente, o numerador e o denominador podem ser reduzidos pelos números 30 e 45, que é igual a 15. Também é obviamente possível realizar uma redução de x 0,5 +1 e de . Aqui está o que temos:

b) Neste caso, fatores idênticos no numerador e no denominador não são imediatamente visíveis. Para obtê-los, você terá que realizar transformações preliminares. Neste caso, consistem em fatorar o denominador utilizando a fórmula da diferença de quadrados:

Responder:

A)

b) .

A conversão de frações para um novo denominador e a redução de frações são usadas principalmente para fazer coisas com frações. As ações são executadas de acordo com regras conhecidas. Ao adicionar (subtrair) frações, elas são reduzidas a um denominador comum, após o qual os numeradores são somados (subtraídos), mas o denominador permanece o mesmo. O resultado é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores. A divisão por uma fração é a multiplicação pelo seu inverso.

Exemplo.

Siga os passos .

Solução.

Primeiro, subtraímos as frações entre parênteses. Para fazer isso, nós os trazemos para um denominador comum, que é , após o qual subtraímos os numeradores:

Agora multiplicamos as frações:

Obviamente, é possível reduzir por uma potência de x 1/2, após o que temos .

Você também pode simplificar a expressão da potência no denominador usando a fórmula da diferença de quadrados: .

Responder:

Exemplo.

Simplifique a expressão de poder .

Solução.

Obviamente, esta fração pode ser reduzida por (x 2,7 +1) 2, isso dá a fração . É claro que algo mais precisa ser feito com os poderes de X. Para fazer isso, transformamos a fração resultante em um produto. Isso nos dá a oportunidade de aproveitar a propriedade de divisão de potências com as mesmas bases: . E no final do processo passamos do último produto para a fração.

Responder:

.

E acrescentemos também que é possível, e em muitos casos desejável, transferir fatores com expoentes negativos do numerador para o denominador ou do denominador para o numerador, mudando o sinal do expoente. Tais transformações muitas vezes simplificam ações futuras. Por exemplo, uma expressão de potência pode ser substituída por .

Convertendo expressões com raízes e potências

Freqüentemente, em expressões nas quais algumas transformações são necessárias, raízes com expoentes fracionários também estão presentes junto com potências. Para transformar tal expressão na forma desejada, na maioria dos casos basta ir apenas às raízes ou apenas às potências. Mas como é mais conveniente trabalhar com poderes, eles costumam passar das raízes aos poderes. No entanto, é aconselhável realizar tal transição quando o ODZ das variáveis ​​​​da expressão original permitir substituir as raízes por potências sem a necessidade de consultar o módulo ou dividir o ODZ em vários intervalos (discutimos isso em detalhes em o artigo transição de raízes para potências e vice-versa Depois de conhecer o grau com expoente racional é introduzido um grau com expoente irracional, o que nos permite falar de um grau com expoente real arbitrário. Nesta fase, a escola começa a estudar função exponencial, que é dado analiticamente por uma potência cuja base é um número e o expoente é uma variável. Assim nos deparamos com expressões de potência contendo números na base da potência, e no expoente - expressões com variáveis, e naturalmente surge a necessidade de realizar transformações de tais expressões.

Deve-se dizer que a transformação de expressões do tipo indicado geralmente deve ser realizada na resolução equações exponenciais E desigualdades exponenciais, e essas conversões são bastante simples. Na esmagadora maioria dos casos, baseiam-se nas propriedades do grau e visam, na sua maioria, a introdução de uma nova variável no futuro. A equação nos permitirá demonstrá-los 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Em primeiro lugar, as potências cujos expoentes são a soma de uma determinada variável (ou expressão com variáveis) e um número são substituídas por produtos. Isso se aplica ao primeiro e ao último termos da expressão do lado esquerdo:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

A seguir, ambos os lados da igualdade são divididos pela expressão 7 2 x, que na ODZ da variável x para a equação original assume apenas valores positivos (esta é uma técnica padrão para resolver equações deste tipo, não estamos falando sobre isso agora, então concentre-se nas transformações subsequentes de expressões com potências):

Agora podemos cancelar frações com potências, o que dá .

Finalmente, a razão de potências com os mesmos expoentes é substituída por potências de relações, resultando na equação , que é equivalente . As transformações realizadas permitem introduzir uma nova variável, que reduz a solução da equação exponencial original à solução de uma equação quadrática

I. V. Boykov, L. D. Romanova Coleção de tarefas de preparação para o Exame Estadual Unificado. Parte 1. Penza 2003.

Primeiro nível

Grau e suas propriedades. Guia completo (2019)

Por que os diplomas são necessários? Onde você precisará deles? Por que você deveria reservar um tempo para estudá-los?

Para saber tudo sobre graduações, para que servem e como usar seus conhecimentos no dia a dia, leia este artigo.

E, claro, o conhecimento dos diplomas o deixará mais perto do sucesso passando no OGE ou o Exame Estadual Unificado e ingresso na universidade dos seus sonhos.

Vamos vamos!)

Nota importante! Se você vir gobbledygook em vez de fórmulas, limpe o cache. Para fazer isso, pressione CTRL+F5 (no Windows) ou Cmd+R (no Mac).

PRIMEIRO NÍVEL

Exponenciação é uma operação matemática como adição, subtração, multiplicação ou divisão.

Agora vou explicar tudo linguagem humana muito exemplos simples. Tome cuidado. Os exemplos são elementares, mas explicam coisas importantes.

Vamos começar com a adição.

Não há nada para explicar aqui. Você já sabe tudo: somos oito. Todo mundo tem duas garrafas de refrigerante. Quanto cola existe? Isso mesmo - 16 garrafas.

Agora multiplicação.

O mesmo exemplo com cola pode ser escrito de forma diferente: . Os matemáticos são pessoas astutas e preguiçosas. Eles primeiro percebem alguns padrões e depois descobrem uma maneira de “contá-los” mais rapidamente. No nosso caso, eles notaram que cada uma das oito pessoas tinha o mesmo número de garrafas de refrigerante e criaram uma técnica chamada multiplicação. Concordo, é considerado mais fácil e rápido do que.

Então, para contar de forma mais rápida, fácil e sem erros, basta lembrar tabela de multiplicação. Claro que você pode fazer tudo mais devagar, mais difícil e com erros! Mas…

Aqui está a tabuada de multiplicação. Repita.

E outro, mais lindo:

Que outros truques de contagem inteligentes os matemáticos preguiçosos inventaram? Certo - elevando um número a uma potência.

Elevando um número a uma potência

Se você precisar multiplicar um número por ele mesmo cinco vezes, os matemáticos dizem que você precisa elevar esse número à quinta potência. Por exemplo, . Os matemáticos lembram que dois elevado a cinco é... E eles resolvem esses problemas mentalmente - de forma mais rápida, fácil e sem erros.

Tudo que você precisa fazer é lembre-se do que está destacado em cores na tabela de potências dos números. Acredite, isso facilitará muito a sua vida.

Aliás, por que é chamado de segundo grau? quadrado números, e o terceiro - cubo? O que isso significa? Muito boa pergunta. Agora você terá quadrados e cubos.

Exemplo da vida real nº 1

Vamos começar com o quadrado ou a segunda potência do número.

Imagine uma piscina quadrada medindo um metro por um metro. A piscina fica na sua dacha. Está calor e eu realmente quero nadar. Mas... a piscina não tem fundo! Você precisa cobrir o fundo da piscina com azulejos. Quantas peças você precisa? Para determinar isso, você precisa conhecer a área do fundo da piscina.

Você pode simplesmente calcular apontando o dedo que o fundo da piscina consiste em cubos metro a metro. Se você tiver ladrilhos de um metro por um metro, precisará de peças. É fácil... Mas onde você viu esses azulejos? O ladrilho provavelmente terá cm por cm e então você será torturado por “contar com o dedo”. Então você tem que multiplicar. Assim, de um lado do fundo da piscina colocaremos ladrilhos (peças) e do outro também ladrilhos. Multiplique por e você obterá peças ().

Você notou que para determinar a área do fundo da piscina multiplicamos o mesmo número por ele mesmo? O que isso significa? Como estamos multiplicando o mesmo número, podemos usar a técnica de “exponencialização”. (Claro, quando você tem apenas dois números, você ainda precisa multiplicá-los ou elevá-los a uma potência. Mas se você tiver muitos deles, elevá-los a uma potência será muito mais fácil e também haverá menos erros nos cálculos (Para o Exame Estadual Unificado isso é muito importante).
Então, trinta elevado à segunda potência será (). Ou podemos dizer que trinta ao quadrado será. Em outras palavras, a segunda potência de um número sempre pode ser representada como um quadrado. E vice-versa, se você vir um quadrado, é SEMPRE a segunda potência de algum número. Um quadrado é uma imagem da segunda potência de um número.

Exemplo da vida real nº 2

Aqui vai uma tarefa para você: conte quantas casas existem no tabuleiro de xadrez usando o quadrado do número... De um lado das células e do outro também. Para calcular o número deles, você precisa multiplicar oito por oito ou... se você notar que um tabuleiro de xadrez é um quadrado com um lado, então você pode elevar oito ao quadrado. Você obterá células. () Então?

Exemplo da vida real nº 3

Agora o cubo ou a terceira potência de um número. A mesma piscina. Mas agora você precisa descobrir quanta água terá que ser despejada nesta piscina. Você precisa calcular o volume. (Volumes e líquidos, aliás, são medidos em metros cúbicos. Inesperado, né?) Desenhe uma piscina: o fundo tem um metro de tamanho e um metro de profundidade, e tente contar quantos cubos medindo metro por metro vão cabe na sua piscina.

Basta apontar o dedo e contar! Um, dois, três, quatro... vinte e dois, vinte e três... Quantos você conseguiu? Não está perdido? É difícil contar com o dedo? Para que! Veja um exemplo dos matemáticos. Eles são preguiçosos, então perceberam que para calcular o volume da piscina é preciso multiplicar seu comprimento, largura e altura entre si. No nosso caso, o volume da piscina será igual a cubos... Mais fácil, né?

Agora imagine como os matemáticos seriam preguiçosos e astutos se simplificassem isso também. Reduzimos tudo a uma ação. Eles notaram que o comprimento, a largura e a altura são iguais e que o mesmo número é multiplicado por ele mesmo... O que isso significa? Isso significa que você pode aproveitar o diploma. Então, o que você uma vez contou com o dedo, eles fazem em uma ação: três ao cubo é igual. Está escrito assim: .

Tudo o que resta é lembre-se da tabela de graus. A menos, é claro, que você seja tão preguiçoso e astuto quanto os matemáticos. Se você gosta de trabalhar duro e cometer erros, pode continuar contando com o dedo.

Bem, para finalmente convencê-lo de que os diplomas foram inventados por desistentes e pessoas astutas para resolver seus problemas de vida, e não para criar problemas para você, aqui estão mais alguns exemplos da vida.

Exemplo da vida real nº 4

Você tem um milhão de rublos. No início de cada ano, para cada milhão que você ganha, você ganha outro milhão. Ou seja, cada milhão que você tem dobra no início de cada ano. Quanto dinheiro você terá em anos? Se você está sentado agora e “contando com o dedo”, então você é uma pessoa muito trabalhadora e... estúpida. Mas provavelmente você dará uma resposta em alguns segundos, porque você é inteligente! Então, no primeiro ano - dois multiplicados por dois... no segundo ano - o que aconteceu, por mais dois, no terceiro ano... Pare! Você notou que o número é multiplicado por ele mesmo. Então dois elevado à quinta potência é um milhão! Agora imagine que você tem uma competição e quem conseguir contar mais rápido vai conseguir esses milhões... Vale lembrar das potências dos números, não acha?

Exemplo da vida real nº 5

Você tem um milhão. No início de cada ano, para cada milhão que você ganha, você ganha mais dois. Ótimo, não é? Cada milhão é triplicado. Quanto dinheiro você terá em um ano? Vamos contar. O primeiro ano - multiplique por, depois o resultado por outro... Já é chato, porque você já entendeu tudo: três é multiplicado por ele mesmo vezes. Então elevado à quarta potência é igual a um milhão. Você só precisa lembrar que três elevado a quatro é ou.

Agora você sabe que ao elevar um número a uma potência você tornará sua vida muito mais fácil. Vamos dar uma olhada no que você pode fazer com os diplomas e o que você precisa saber sobre eles.

Termos e conceitos... para não se confundir

Então, primeiro, vamos definir os conceitos. O que você acha, o que é um expoente? É muito simples - é o número que está “no topo” da potência do número. Não é científico, mas é claro e fácil de lembrar...

Bem, ao mesmo tempo, o que tal base de graduação? Ainda mais simples é o número que fica abaixo, na base.

Aqui está um desenho para garantir.

Bem dentro visão geral, para generalizar e lembrar melhor... Um grau com base “ ” e um expoente “ ” é lido como “até o grau” e é escrito da seguinte forma:

Potência de um número com expoente natural

Você provavelmente já adivinhou: porque o expoente é um número natural. Sim, mas o que é número natural? Elementar! Os números naturais são aqueles números usados ​​na contagem ao listar objetos: um, dois, três... Quando contamos objetos, não dizemos: “menos cinco”, “menos seis”, “menos sete”. Também não dizemos: “um terço” ou “zero vírgula cinco”. Estes não são números naturais. Que números você acha que são?

Números como “menos cinco”, “menos seis”, “menos sete” referem-se a números inteiros. Em geral, os inteiros incluem todos os números naturais, números opostos aos números naturais (ou seja, tomados com um sinal de menos) e números. Zero é fácil de entender – é quando não há nada. O que significam os números negativos (“menos”)? Mas eles foram inventados principalmente para indicar dívidas: se você tem saldo em rublos em seu telefone, isso significa que você deve rublos à operadora.

Todas as frações são números racionais. Como eles surgiram, você acha? Muito simples. Vários milhares de anos atrás, nossos ancestrais descobriram que não possuíam números naturais para medir comprimento, peso, área, etc. E eles inventaram números racionais... Interessante, não é?

Existem também números irracionais. Quais são esses números? Em suma, sem fim decimal. Por exemplo, se você dividir a circunferência de um círculo pelo seu diâmetro, obterá um número irracional.

Resumo:

Vamos definir o conceito de grau cujo expoente é um número natural (ou seja, inteiro e positivo).

1. Qualquer número elevado à primeira potência é igual a si mesmo:
2. Elevar um número ao quadrado significa multiplicá-lo por ele mesmo:
3. Cubo um número significa multiplicá-lo por ele mesmo três vezes:

Definição. Elevar um número a uma potência natural significa multiplicar o número por ele mesmo vezes:
.

Propriedades dos graus

De onde vieram essas propriedades? Eu vou te mostrar agora.

Vamos ver: o que é E ?

A-prior:

Quantos multiplicadores existem no total?

É muito simples: adicionamos multiplicadores aos fatores e o resultado são multiplicadores.

Mas, por definição, esta é uma potência de um número com um expoente, ou seja: , que é o que precisava ser provado.

Exemplo: Simplifique a expressão.

Solução:

Exemplo: Simplifique a expressão.

Solução:É importante notar que em nossa regra Necessariamente deve haver as mesmas razões!
Portanto, combinamos as potências com a base, mas continua sendo um fator separado:

apenas para o produto de potências!

Sob nenhuma circunstância você pode escrever isso.

2. é isso a potência de um número

Assim como na propriedade anterior, passemos à definição de grau:

Acontece que a expressão é multiplicada por ela mesma vezes, ou seja, pela definição, esta é a décima potência do número:

Em essência, isso pode ser chamado de “tirar o indicador dos colchetes”. Mas você nunca pode fazer isso no total:

Vamos relembrar as fórmulas abreviadas de multiplicação: quantas vezes queríamos escrever?

Mas isso não é verdade, afinal.

Potência com base negativa

Até este ponto, discutimos apenas qual deveria ser o expoente.

Mas qual deveria ser a base?

Em poderes de indicador natural a base pode ser qualquer número. Na verdade, podemos multiplicar quaisquer números entre si, sejam eles positivos, negativos ou pares.

Vamos pensar em quais sinais ("" ou "") terão potências de números positivos e negativos?

Por exemplo, o número é positivo ou negativo? A? ? Com o primeiro tudo fica claro: não importa quantos números positivos multipliquemos, o resultado será positivo.

Mas os negativos são um pouco mais interessantes. Lembramos a regra simples da 6ª série: “menos por menos dá mais”. Isso é, ou. Mas se multiplicarmos por, funciona.

Determine por si mesmo qual sinal as seguintes expressões terão:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Você conseguiu?

Aqui estão as respostas: Nos primeiros quatro exemplos, espero que tudo esteja claro? Simplesmente olhamos para a base e o expoente e aplicamos a regra apropriada.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

No exemplo 5) também não é tão assustador quanto parece: afinal, não importa a que a base seja igual - o grau é par, o que significa que o resultado será sempre positivo.

Bem, exceto quando a base é zero. A base não é igual, não é? Obviamente não, já que (porque).

Exemplo 6) não é mais tão simples!

6 exemplos para praticar

Análise da solução 6 exemplos

Se ignorarmos a oitava potência, o que vemos aqui? Vamos relembrar o programa da 7ª série. Então, você se lembra? Esta é a fórmula para multiplicação abreviada, ou seja, a diferença de quadrados! Nós temos:

Vejamos cuidadosamente o denominador. Parece muito com um dos fatores do numerador, mas o que há de errado? A ordem dos termos está errada. Se fossem invertidos, a regra poderia ser aplicada.

Mas como fazer isso? Acontece que é muito fácil: o grau par do denominador ajuda-nos aqui.

Magicamente, os termos mudaram de lugar. Este “fenómeno” aplica-se a qualquer expressão de forma uniforme: podemos facilmente mudar os sinais entre parênteses.

Mas é importante lembrar: todos os sinais mudam ao mesmo tempo!

Voltemos ao exemplo:

E novamente a fórmula:

Todo chamamos os números naturais, seus opostos (isto é, tomados com o sinal "") e o número.

número inteiro positivo, e não é diferente do natural, então tudo parece exatamente como na seção anterior.

Agora vamos examinar novos casos. Vamos começar com um indicador igual a.

Qualquer número elevado a zero é igual a um:

Como sempre, perguntemo-nos: por que isso acontece?

Vamos considerar algum grau com base. Tomemos, por exemplo, e multipliquemos por:

Então, multiplicamos o número por e obtivemos a mesma coisa que era - . Por qual número você deve multiplicar para que nada mude? Isso mesmo, vamos. Significa.

Podemos fazer o mesmo com um número arbitrário:

Vamos repetir a regra:

Qualquer número elevado a zero é igual a um.

Mas há exceções para muitas regras. E aqui está também - este é um número (como base).

Por um lado, deve ser igual a qualquer grau - não importa o quanto você multiplique zero por si mesmo, ainda assim obterá zero, isso é claro. Mas, por outro lado, como qualquer número elevado a zero, deve ser igual. Então, quanto disso é verdade? Os matemáticos decidiram não se envolver e recusaram-se a elevar zero à potência zero. Ou seja, agora não podemos apenas dividir por zero, mas também elevá-lo à potência zero.

Vamos continuar. Além dos números naturais e dos números, os inteiros também incluem números negativos. Para entender o que é uma potência negativa, vamos fazer como da última vez: multiplicar algum número normal pelo mesmo número até uma potência negativa:

A partir daqui é fácil expressar o que você procura:

Agora vamos estender a regra resultante a um grau arbitrário:

Então, vamos formular uma regra:

Um número com potência negativa é o inverso do mesmo número com potência positiva. mas ao mesmo tempo A base não pode ser nula:(porque você não pode dividir por).

Vamos resumir:

I. A expressão não está definida no caso. Se então.

II. Qualquer número elevado a zero é igual a um: .

III. Um número diferente de zero elevado a uma potência negativa é o inverso do mesmo número elevado a uma potência positiva: .

Tarefas para solução independente:

Bem, como sempre, exemplos de soluções independentes:

Análise de problemas para solução independente:

Eu sei, eu sei, os números assustam, mas no Exame Estadual Unificado você tem que estar preparado para tudo! Resolva estes exemplos ou analise suas soluções se não conseguiu resolvê-los e aprenderá a lidar com eles facilmente no exame!

Vamos continuar a expandir o intervalo de números “adequados” como expoente.

Agora vamos considerar números racionais. Quais números são chamados de racionais?

Resposta: tudo o que pode ser representado como uma fração, onde e são inteiros, e.

Para entender o que é "grau fracionário", considere a fração:

Vamos elevar ambos os lados da equação a uma potência:

Agora vamos lembrar a regra sobre "grau em grau":

Que número deve ser elevado a uma potência para obter?

Esta formulação é a definição da raiz do décimo grau.

Deixe-me lembrá-lo: a raiz da décima potência de um número () é um número que, quando elevado a uma potência, é igual a.

Ou seja, a raiz da décima potência é a operação inversa de elevar a uma potência: .

Acontece que. Obviamente, este caso especial pode ser expandido: .

Agora somamos o numerador: o que é? A resposta é fácil de obter usando a regra potência-potência:

Mas a base pode ser qualquer número? Afinal, a raiz não pode ser extraída de todos os números.

Nenhum!

Lembremos a regra: qualquer número elevado a uma potência par é um número positivo. Ou seja, é impossível extrair raízes pares de números negativos!

Isso significa que tais números não podem ser elevados a uma potência fracionária com denominador par, ou seja, a expressão não faz sentido.

E a expressão?

Mas aqui surge um problema.

O número pode ser representado na forma de outras frações redutíveis, por exemplo, ou.

E acontece que existe, mas não existe, mas são apenas dois registros diferentes do mesmo número.

Ou outro exemplo: uma vez, então você pode anotar. Mas se escrevermos o indicador de forma diferente, teremos problemas novamente: (ou seja, obtivemos um resultado completamente diferente!).

Para evitar tais paradoxos, consideramos apenas expoente de base positivo com expoente fracionário.

Então se:

• - número natural;
• - inteiro;

Exemplos:

Os expoentes racionais são muito úteis para transformar expressões com raízes, por exemplo:

5 exemplos para praticar

Análise de 5 exemplos para treinamento

Bem, agora vem a parte mais difícil. Agora vamos descobrir grau com expoente irracional.

Todas as regras e propriedades dos graus aqui são exatamente as mesmas que para um grau com um expoente racional, com exceção

Afinal, por definição, números irracionais são números que não podem ser representados como uma fração, onde e são inteiros (ou seja, números irracionais são todos números reais, exceto os racionais).

Ao estudar graus com expoentes naturais, inteiros e racionais, cada vez criamos uma certa “imagem”, “analogia” ou descrição em termos mais familiares.

Por exemplo, um grau com expoente natural é um número multiplicado por ele mesmo várias vezes;

...número elevado à potência zero- este é, por assim dizer, um número multiplicado por si mesmo uma vez, ou seja, ainda não começaram a multiplicá-lo, o que significa que o número em si ainda nem apareceu - portanto, o resultado é apenas um certo “número em branco” , nomeadamente um número;

...grau inteiro negativo- é como se tivesse ocorrido algum “processo inverso”, ou seja, o número não foi multiplicado por si mesmo, mas sim dividido.

Aliás, em ciências costuma-se usar um grau com expoente complexo, ou seja, o expoente nem é um número real.

Mas na escola não pensamos nessas dificuldades, você terá a oportunidade de compreender esses novos conceitos no instituto.

ONDE TEMOS CERTEZA QUE VOCÊ IRÁ! (se você aprender a resolver esses exemplos :))

Por exemplo:

Decida por si mesmo:

Análise de soluções:

1. Vamos começar com a regra usual para elevar uma potência a uma potência:

Agora olhe para o indicador. Ele não te lembra nada? Vamos relembrar a fórmula para multiplicação abreviada da diferença de quadrados:

Nesse caso,

Acontece que:

Responder: .

2. Reduzimos as frações em expoentes à mesma forma: ambas as casas decimais ou ambas as ordinárias. Obtemos, por exemplo:

Resposta: 16

3. Nada de especial, usamos as propriedades usuais dos graus:

NÍVEL AVANÇADO

Determinação do grau

Um diploma é uma expressão da forma: , onde:

• — base de graduação;
• - expoente.

Grau com indicador natural (n = 1, 2, 3,...)

Elevar um número à potência natural n significa multiplicar o número por ele mesmo vezes:

Grau com um expoente inteiro (0, ±1, ±2,...)

Se o expoente for número inteiro positivo número:

Construção ao grau zero:

A expressão é indefinida, porque, por um lado, em qualquer grau é isto, e por outro lado, qualquer número elevado à décima potência é isto.

Se o expoente for número inteiro negativo número:

(porque você não pode dividir por).

Mais uma vez sobre zeros: a expressão não está definida no caso. Se então.

Exemplos:

Potência com expoente racional

• - número natural;
• - inteiro;

Exemplos:

Propriedades dos graus

Para facilitar a resolução dos problemas, vamos tentar entender: de onde vieram essas propriedades? Vamos prová-los.

Vamos ver: o que é e?

A-prior:

Assim, no lado direito desta expressão obtemos o seguinte produto:

Mas por definição é uma potência de um número com um expoente, ou seja:

Q.E.D.

Exemplo : Simplifique a expressão.

Solução : .

Exemplo : Simplifique a expressão.

Solução : É importante notar que em nossa regra Necessariamente deve haver as mesmas razões. Portanto, combinamos as potências com a base, mas continua sendo um fator separado:

Outra observação importante: esta regra - apenas para produto de potências!

Sob nenhuma circunstância você pode escrever isso.

Assim como na propriedade anterior, passemos à definição de grau:

Vamos reagrupar esse trabalho assim:

Acontece que a expressão é multiplicada por ela mesma vezes, ou seja, pela definição, esta é a décima potência do número:

Em essência, isso pode ser chamado de “tirar o indicador dos colchetes”. Mas você nunca pode fazer isso no total: !

Vamos relembrar as fórmulas abreviadas de multiplicação: quantas vezes queríamos escrever? Mas isso não é verdade, afinal.

Potência com base negativa.

Até agora discutimos apenas como deveria ser índice graus. Mas qual deveria ser a base? Em poderes de natural indicador a base pode ser qualquer número .

Na verdade, podemos multiplicar quaisquer números entre si, sejam eles positivos, negativos ou pares. Vamos pensar em quais sinais ("" ou "") terão potências de números positivos e negativos?

Por exemplo, o número é positivo ou negativo? A? ?

Com o primeiro tudo fica claro: não importa quantos números positivos multipliquemos, o resultado será positivo.

Mas os negativos são um pouco mais interessantes. Lembramos a regra simples da 6ª série: “menos por menos dá mais”. Isso é, ou. Mas se multiplicarmos por (), obtemos - .

E assim por diante, ad infinitum: a cada multiplicação subsequente, o sinal mudará. Podemos formular o seguinte regras simples:

1. até grau, - número positivo.
2. Número negativo elevado para chance grau, - número negativo.
3. Um número positivo em qualquer grau é um número positivo.
4. Zero elevado a qualquer potência é igual a zero.

Determine por si mesmo qual sinal as seguintes expressões terão:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Você conseguiu? Aqui estão as respostas:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nos primeiros quatro exemplos, espero que tudo esteja claro. Simplesmente olhamos para a base e o expoente e aplicamos a regra apropriada.

No exemplo 5) também não é tão assustador quanto parece: afinal, não importa a que a base seja igual - o grau é par, o que significa que o resultado será sempre positivo. Bem, exceto quando a base é zero. A base não é igual, não é? Obviamente não, já que (porque).

Exemplo 6) não é mais tão simples. Aqui você precisa descobrir o que é menos: ou? Se lembrarmos disso, fica claro que, o que significa que a base é menor que zero. Ou seja, aplicamos a regra 2: o resultado será negativo.

E novamente usamos a definição de grau:

Tudo está como sempre - anotamos a definição dos graus e os dividimos entre si, dividimos em pares e obtemos:

Antes de examinarmos a última regra, vamos resolver alguns exemplos.

Calcule as expressões:

Soluções :

Se ignorarmos a oitava potência, o que vemos aqui? Vamos relembrar o programa da 7ª série. Então, você se lembra? Esta é a fórmula para multiplicação abreviada, ou seja, a diferença de quadrados!

Nós temos:

Vejamos cuidadosamente o denominador. Parece muito com um dos fatores do numerador, mas o que há de errado? A ordem dos termos está errada. Se fossem invertidas, poderia aplicar-se a regra 3. Mas como? Acontece que é muito fácil: o grau par do denominador ajuda-nos aqui.

Se você multiplicar por, nada muda, certo? Mas agora acontece assim:

Magicamente, os termos mudaram de lugar. Este “fenómeno” aplica-se a qualquer expressão de forma uniforme: podemos facilmente mudar os sinais entre parênteses. Mas é importante lembrar: Todos os sinais mudam ao mesmo tempo! Você não pode substituí-lo alterando apenas uma desvantagem da qual não gostamos!

Voltemos ao exemplo:

E novamente a fórmula:

Então agora a última regra:

Como vamos provar isso? Claro, como sempre: vamos expandir o conceito de diploma e simplificá-lo:

Bem, agora vamos abrir os colchetes. Quantas letras existem no total? vezes por multiplicadores - o que isso lembra você? Isso nada mais é do que uma definição de uma operação multiplicação: Havia apenas multiplicadores lá. Ou seja, isto, por definição, é uma potência de um número com um expoente:

Exemplo:

Grau com expoente irracional

Além de informações sobre graus para o nível médio, analisaremos o grau com expoente irracional. Todas as regras e propriedades dos graus aqui são exatamente as mesmas que para um grau com um expoente racional, com exceção - afinal, por definição, números irracionais são números que não podem ser representados como uma fração, onde e são inteiros (isto é , os números irracionais são todos números reais, exceto os números racionais).

Ao estudar graus com expoentes naturais, inteiros e racionais, cada vez criamos uma certa “imagem”, “analogia” ou descrição em termos mais familiares. Por exemplo, um grau com expoente natural é um número multiplicado por ele mesmo várias vezes; um número elevado a zero é, por assim dizer, um número multiplicado por si mesmo uma vez, ou seja, ainda não começaram a multiplicá-lo, o que significa que o próprio número ainda nem apareceu - portanto, o resultado é apenas um certo “número em branco”, nomeadamente um número; um grau com expoente inteiro negativo - é como se tivesse ocorrido algum “processo inverso”, ou seja, o número não foi multiplicado por si mesmo, mas sim dividido.

É extremamente difícil imaginar um grau com um expoente irracional (assim como é difícil imaginar um espaço quadridimensional). É antes um objeto puramente matemático que os matemáticos criaram para estender o conceito de grau a todo o espaço dos números.

Aliás, em ciências costuma-se usar um grau com expoente complexo, ou seja, o expoente nem é um número real. Mas na escola não pensamos nessas dificuldades, você terá a oportunidade de compreender esses novos conceitos no instituto.

Então, o que faremos se virmos um expoente irracional? Estamos tentando o nosso melhor para nos livrarmos disso! :)

Por exemplo:

Decida por si mesmo:

1)

2)

3)

Respostas:

1. Vamos lembrar a fórmula da diferença de quadrados. Responder: .
2. Reduzimos as frações à mesma forma: ambas as casas decimais ou ambas as ordinárias. Obtemos, por exemplo: .
3. Nada de especial, usamos as propriedades usuais dos graus:

RESUMO DA SEÇÃO E FÓRMULAS BÁSICAS

Grau chamada de expressão da forma: , onde:

Grau com um expoente inteiro

um grau cujo expoente é um número natural (ou seja, inteiro e positivo).

Potência com expoente racional

grau, cujo expoente são números negativos e fracionários.

Grau com expoente irracional

um grau cujo expoente é uma fração decimal infinita ou raiz.

Propriedades dos graus

Características dos graus.

• Número negativo elevado para até grau, - número positivo.
• Número negativo elevado para chance grau, - número negativo.
• Um número positivo em qualquer grau é um número positivo.
• Zero é igual a qualquer potência.
• Qualquer número elevado a zero é igual.

AGORA VOCÊ TEM A PALAVRA...

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E boa sorte nos seus exames!

Uma vez determinado grau de, é lógico falar sobre propriedades de grau. Neste artigo daremos as propriedades básicas da potência de um número, abordando todos os expoentes possíveis. Aqui forneceremos provas de todas as propriedades dos graus e também mostraremos como essas propriedades são usadas na resolução de exemplos.

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Propriedades de graus com expoentes naturais

Por determinação de grau com expoente natural a potência de a n é o produto de n fatores, cada um dos quais é igual a a . Com base nesta definição, e também usando propriedades de multiplicação de números reais, podemos obter e justificar o seguinte propriedades de grau com expoente natural:

1. a propriedade principal do grau a m ·a n =a m+n, sua generalização;
2. propriedade de potências quocientes com bases idênticas a m:a n =a m−n ;
3. propriedade de potência do produto (a·b) n =a n ·b n , sua extensão;
4. propriedade do quociente ao grau natural (a:b) n =a n:b n ;
5. elevando um grau a uma potência (a m) n =a m·n, sua generalização (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. comparação de grau com zero:
   • se a>0, então a n>0 para qualquer número natural n;
   • se a=0, então an =0;
   • se um<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 se um<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. se a e b são números positivos e a
8. se m e n são números naturais tais que m>n , então em 0 0 a desigualdade a m >a n é verdadeira.

Notemos imediatamente que todas as igualdades escritas são idêntico sujeito às condições especificadas, ambas as partes direita e esquerda podem ser trocadas. Por exemplo, a propriedade principal da fração a m ·a n =a m+n com simplificando expressões frequentemente usado na forma a m+n =a m ·a n .

Agora vamos examinar cada um deles em detalhes.

Vamos começar com a propriedade do produto de duas potências com as mesmas bases, que é chamada a propriedade principal do diploma: para qualquer número real a e quaisquer números naturais m e n, a igualdade a m ·a n =a m+n é verdadeira.

Vamos provar a propriedade principal do grau. Pela definição de uma potência com expoente natural, o produto de potências com as mesmas bases da forma a m ·an pode ser escrito como um produto. Devido às propriedades da multiplicação, a expressão resultante pode ser escrita como , e este produto é uma potência do número a com expoente natural m+n, ou seja, a m+n. Isso completa a prova.

Aqui está um exemplo que confirma a propriedade principal do grau. Vamos tomar graus com as mesmas bases 2 e potências naturais 2 e 3, usando a propriedade básica dos graus podemos escrever a igualdade 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Vamos verificar sua validade calculando os valores das expressões 2 2 · 2 3 e 2 5 . Executando exponenciação, Nós temos 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 e 2 5 =2·2·2·2·2=32, como são obtidos valores iguais, então a igualdade 2 2 ·2 3 =2 5 está correta e confirma a propriedade principal do grau.

A propriedade básica de um grau, baseada nas propriedades da multiplicação, pode ser generalizada para o produto de três ou mais potências com as mesmas bases e expoentes naturais. Portanto, para qualquer número k de números naturais n 1, n 2,…, n k a seguinte igualdade é verdadeira: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Por exemplo, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Podemos passar para a próxima propriedade de potências com um expoente natural – propriedade de potências quocientes com as mesmas bases: para qualquer número real diferente de zero a e números naturais arbitrários m e n satisfazendo a condição m>n, a igualdade a m:a n =a m−n é verdadeira.

Antes de apresentar a prova desta propriedade, discutamos o significado das condições adicionais na formulação. A condição a≠0 é necessária para evitar a divisão por zero, pois 0 n =0, e quando conhecemos a divisão concordamos que não podemos dividir por zero. A condição m>n é introduzida para que não ultrapassemos os expoentes naturais. Na verdade, para m>n o expoente a m−n é um número natural, caso contrário será zero (o que acontece para m−n ) ou um número negativo (o que acontece para m

Prova. A propriedade principal de uma fração nos permite escrever a igualdade a m − n ·a n =a (m−n)+n =a m. Da igualdade resultante a m−n ·a n =a m e segue que a m−n é um quociente das potências a m e a n . Isso prova a propriedade de potências quocientes com bases idênticas.

Vamos dar um exemplo. Tomemos dois graus com as mesmas bases π e expoentes naturais 5 e 2, a igualdade π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 corresponde à propriedade considerada do grau.

Agora vamos considerar propriedade de potência do produto: a potência natural n do produto de quaisquer dois números reais a e b é igual ao produto das potências a n e b n , ou seja, (a·b) n =a n ·b n .

Na verdade, pela definição de um grau com um expoente natural, temos . Com base nas propriedades da multiplicação, o último produto pode ser reescrito como , que é igual a a n · b n .

Aqui está um exemplo: .

Esta propriedade se estende à potência do produto de três ou mais fatores. Ou seja, a propriedade do grau natural n do produto de k fatores é escrita como (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Para maior clareza, mostraremos esta propriedade com um exemplo. Para o produto de três fatores elevado a 7, temos.

A seguinte propriedade é propriedade de um quociente em espécie: o quociente dos números reais aeb, b≠0 elevado à potência natural n é igual ao quociente das potências a n e b n, ou seja, (a:b) n =a n:b n.

A prova pode ser realizada utilizando a propriedade anterior. Então (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, e da igualdade (a:b) n ·b n =a n segue que (a:b) n é o quociente de a n dividido por b n .

Vamos escrever esta propriedade usando números específicos como exemplo: .

Agora vamos dar voz a isso propriedade de elevar uma potência a uma potência: para qualquer número real a e quaisquer números naturais m e n, a potência de a m elevada à potência de n é igual à potência do número a com expoente m·n, ou seja, (am) n =a m·n.

Por exemplo, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

A prova da propriedade da potência em grau é a seguinte cadeia de igualdades: .

A propriedade considerada pode ser estendida de grau em grau, etc. Por exemplo, para quaisquer números naturais p, q, r e s, a igualdade . Para maior clareza, aqui está um exemplo com números específicos: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Resta nos deter nas propriedades de comparação de potências com um expoente natural.

Vamos começar provando a propriedade de comparar zero e potência com um expoente natural.

Primeiro, vamos provar que a n >0 para qualquer a>0.

O produto de dois números positivos é um número positivo, como segue da definição de multiplicação. Este fato e as propriedades da multiplicação sugerem que o resultado da multiplicação de qualquer número de números positivos também será um número positivo. E a potência de um número a com expoente natural n, por definição, é o produto de n fatores, cada um dos quais é igual a a. Esses argumentos nos permitem afirmar que para qualquer base positiva a, o grau a n é um número positivo. Devido à propriedade comprovada 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 e .

É bastante óbvio que para qualquer número natural n com a=0 o grau de a n é zero. Na verdade, 0 n =0·0·…·0=0 . Por exemplo, 0 3 =0 e 0 762 =0.

Vamos passar para bases negativas de grau.

Vamos começar com o caso em que o expoente é um número par, vamos denotá-lo como 2·m, onde m é um número natural. Então . Pois cada um dos produtos da forma a·a é igual ao produto dos módulos dos números a e a, o que significa que é um número positivo. Portanto, o produto também será positivo e grau a 2·m. Vamos dar exemplos: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 e .

Finalmente, quando a base a é um número negativo e o expoente é um número ímpar 2 m−1, então . Todos os produtos a·a são números positivos, o produto destes números positivos também é positivo, e a sua multiplicação pelo número negativo restante a resulta num número negativo. Devido a esta propriedade (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Passemos à propriedade de comparar potências com os mesmos expoentes naturais, que tem a seguinte formulação: de duas potências com os mesmos expoentes naturais, n é menor aquele cuja base é menor, e maior é aquele cuja base é maior . Vamos provar isso.

Desigualdade e n propriedades das desigualdades uma desigualdade demonstrável da forma a n também é verdadeira .

Resta provar a última das propriedades listadas de potências com expoentes naturais. Vamos formular isso. De duas potências com expoentes naturais e bases positivas idênticas menores que um, aquela cujo expoente é menor é maior; e de duas potências com expoentes naturais e bases idênticas maiores que um, aquela cujo expoente é maior é maior. Passemos à prova desta propriedade.

Vamos provar que para m>n e 0 0 devido à condição inicial m>n, o que significa que em 0

Resta comprovar a segunda parte do imóvel. Vamos provar que para m>n e a>1 a m >a n é verdadeiro. A diferença a m −a n depois de tirar a n dos colchetes assume a forma a n ·(a m−n −1) . Este produto é positivo, pois para a>1 o grau a n é um número positivo, e a diferença a m−n −1 é um número positivo, pois m−n>0 devido à condição inicial, e para a>1 o grau a m − n é maior que um. Consequentemente, a m −a n >0 e a m >a n , que é o que precisava ser provado. Esta propriedade é ilustrada pela desigualdade 3 7 >3 2.

Propriedades de potências com expoentes inteiros

Como os inteiros positivos são números naturais, então todas as propriedades das potências com expoentes inteiros positivos coincidem exatamente com as propriedades das potências com expoentes naturais listadas e provadas no parágrafo anterior.

Potência com expoente inteiro negativo, assim como um grau com expoente zero, definimos de forma que todas as propriedades dos graus com expoentes naturais, expressas por igualdades, permanecessem válidas. Portanto, todas essas propriedades são válidas tanto para expoentes zero quanto para expoentes negativos, enquanto, é claro, as bases das potências são diferentes de zero.

Portanto, para quaisquer números reais e diferentes de zero a e b, bem como para quaisquer inteiros m e n, o seguinte é verdadeiro: propriedades de potências com expoentes inteiros:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. se n é um número inteiro positivo, aeb são números positivos e a b−n ;
7. se m e n são inteiros e m>n , então em 0 1 a desigualdade a m >a n é válida.

Quando a=0, as potências a m e an só fazem sentido quando m e n são inteiros positivos, ou seja, números naturais. Assim, as propriedades que acabamos de escrever também são válidas para os casos em que a=0 e os números m e n são inteiros positivos.

Provar cada uma dessas propriedades não é difícil, para isso basta utilizar as definições de graus com expoentes naturais e inteiros, bem como as propriedades das operações com números reais. Como exemplo, vamos provar que a propriedade potência-potência é válida tanto para inteiros positivos quanto para inteiros não positivos. Para fazer isso, você precisa mostrar que se p é zero ou um número natural e q é zero ou um número natural, então as igualdades (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) e (uma −p) −q =uma (−p)·(−q). Vamos fazê-lo.

Para p e q positivos, a igualdade (a p) q =a p·q foi provada no parágrafo anterior. Se p=0, então temos (a 0) q =1 q =1 e a 0·q =a 0 =1, daí (a 0) q =a 0·q. Da mesma forma, se q=0, então (a p) 0 =1 e a p·0 =a 0 =1, daí (a p) 0 =a p·0. Se p=0 e q=0, então (a 0) 0 =1 0 =1 e a 0·0 =a 0 =1, de onde (a 0) 0 =a 0·0.

Agora provamos que (a −p) q =a (−p)·q . Pela definição de uma potência com um expoente inteiro negativo, então . Pela propriedade dos quocientes às potências, temos . Como 1 p =1·1·…·1=1 e , então . A última expressão, por definição, é uma potência da forma a −(p·q), que, devido às regras de multiplicação, pode ser escrita como a (−p)·q.

Da mesma maneira .

E .

Usando o mesmo princípio, você pode provar todas as outras propriedades de um grau com um expoente inteiro, escrito na forma de igualdades.

Na penúltima das propriedades registradas, vale a pena nos determos na prova da desigualdade a −n >b −n, que é válida para qualquer inteiro negativo −n e qualquer positivo a e bpara o qual a condição a é satisfeita . Como por condição a 0. O produto a n · b n também é positivo como o produto de números positivos a n e b n . Então a fração resultante é positiva como o quociente dos números positivos b n −a n e a n ·b n . Portanto, daí a −n >b −n , que é o que precisava ser provado.

A última propriedade de potências com expoentes inteiros é provada da mesma forma que uma propriedade semelhante de potências com expoentes naturais.

Propriedades de potências com expoentes racionais

Grau fracionário determinamos estendendo a ele as propriedades de um grau com um expoente inteiro. Em outras palavras, potências com expoentes fracionários têm as mesmas propriedades que potências com expoentes inteiros. Nomeadamente:

A prova das propriedades dos graus com expoentes fracionários é baseada na definição de um grau com expoente fracionário e nas propriedades de um grau com expoente inteiro. Vamos fornecer evidências.

Por definição de uma potência com um expoente fracionário e , então . As propriedades da raiz aritmética permitem-nos escrever as seguintes igualdades. Além disso, usando a propriedade de um grau com expoente inteiro, obtemos , do qual, pela definição de um grau com expoente fracionário, temos , e o indicador do grau obtido pode ser transformado da seguinte forma: . Isso completa a prova.

A segunda propriedade das potências com expoentes fracionários é provada de maneira absolutamente semelhante:

As igualdades restantes são provadas usando princípios semelhantes:

Vamos prosseguir para a prova da próxima propriedade. Vamos provar que para qualquer a e b positivos, a bp. Vamos escrever o número racional p como m/n, onde m é um número inteiro en é um número natural. Condições p<0 и p>0 neste caso as condições m<0 и m>0 em conformidade. Para m>0 e a

Da mesma forma, para m<0 имеем a m >b m , de onde, isto é, e a p >b p .

Resta provar a última das propriedades listadas. Vamos provar que para números racionais p e q, p>q em 0 0 – desigualdade a p >a q . Sempre podemos reduzir os números racionais p e q a um denominador comum, mesmo se obtivermos frações ordinárias e , onde m 1 e m 2 são inteiros e n é um número natural. Neste caso, a condição p>q corresponderá à condição m 1 >m 2, que segue. Então, pela propriedade de comparar potências com as mesmas bases e expoentes naturais em 0 1 – desigualdade uma m 1 >uma m 2 . Essas desigualdades nas propriedades das raízes podem ser reescritas de acordo como E . E a definição de um grau com expoente racional permite-nos passar às desigualdades e, consequentemente. A partir daqui tiramos a conclusão final: para p>q e 0 0 – desigualdade a p >a q .

Propriedades de potências com expoentes irracionais

De como é determinado grau com expoente irracional, podemos concluir que possui todas as propriedades de potências com expoentes racionais. Portanto, para qualquer a> 0, b> 0 e números irracionais p e q, o seguinte é verdadeiro propriedades de potências com expoentes irracionais:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. para quaisquer números positivos aeb, a 0 a desigualdade a p bp;
7. para números irracionais p e q, p> q em 0 0 – desigualdade a p >a q .

Disto podemos concluir que potências com quaisquer expoentes reais p e q para a>0 têm as mesmas propriedades.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Livro didático de matemática para o 5º ano. instituições educacionais.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: livro didático para a 7ª série. instituições educacionais.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: livro didático para a 8ª série. instituições educacionais.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: livro didático para o 9º ano. instituições educacionais.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e outros Álgebra e os primórdios da análise: livro didático para as séries 10 a 11 de instituições de ensino geral.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para quem ingressa em escolas técnicas).