Quantas casas decimais? Decimais: definições, gravação, exemplos, ações com decimais

As frações decimais são iguais às frações ordinárias, mas na chamada notação decimal. A notação decimal é usada para frações com denominadores 10, 100, 1000, etc. Em vez de frações, 1/10; 1/100; 1/1000; ... escreva 0,1; 0,01; 0,001;... .

Por exemplo, 0,7 ( zero vírgula sete) é uma fração 7/10; 5,43 ( cinco vírgula quarenta e três) é uma fração mista 5 43/100 (ou, o que dá o mesmo, uma fração imprópria 543/100).

Pode acontecer que haja um ou mais zeros imediatamente após a vírgula: 1,03 é a fração 1 3/100; 17,0087 é a fração 17 87/10000. A regra geral é: o denominador de uma fração comum deve ter tantos zeros quantos os dígitos após a vírgula na fração decimal.

Uma fração decimal pode terminar em um ou mais zeros. Acontece que esses zeros são “extras” - eles podem simplesmente ser removidos: 1,30 = 1,3; 5,4600 = 5,46; 3.000 = 3. Descubra por que isso acontece?

Os decimais surgem naturalmente ao dividir por números “redondos” - 10, 100, 1000, ... Certifique-se de entender os seguintes exemplos:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Você percebe um padrão aqui? Tente formulá-lo. O que acontece se você multiplicar uma fração decimal por 10, 100, 1000?

Para traduzir fração comum para decimal, você precisa trazê-lo para algum denominador “redondo”:

2/5 = 4/10 = 0,4; 20/11 = 55/100 = 0,55; 9/2 = 45/10 = 4,5, etc.

Adicionar decimais é muito mais fácil do que adicionar frações. A adição é realizada da mesma forma que os números comuns - de acordo com os dígitos correspondentes. Ao somar em uma coluna, os termos devem ser escritos de forma que suas vírgulas fiquem na mesma vertical. A vírgula da soma também ficará na mesma vertical. A subtração de frações decimais é realizada exatamente da mesma maneira.

Se, ao adicionar ou subtrair em uma das frações, o número de dígitos após a vírgula for menor que na outra, então o número necessário de zeros deve ser adicionado ao final desta fração. Você não pode somar esses zeros, mas simplesmente imaginá-los em sua mente.

Ao multiplicar frações decimais, elas devem ser multiplicadas novamente como números comuns (não é mais necessário escrever uma vírgula sob o ponto decimal). No resultado resultante, é necessário separar com vírgula um número de dígitos igual ao número total de casas decimais em ambos os fatores.

Ao dividir frações decimais, você pode mover simultaneamente a vírgula no dividendo e no divisor para a direita pelo mesmo número de casas: isso não alterará o quociente:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Explique por que isso acontece?

Desenhe um quadrado 10x10. Pinte alguma parte igual a: a) 0,02; b) 0,7; c) 0,57; d) 0,91; e) 0,135 área de todo o quadrado.
Quanto é 2,43 quadrados? Desenhe-o em uma imagem.
Divida o número 37 por 10; 795; 4; 2.3; 65,27; 0,48 e escreva o resultado como uma fração decimal. Divida os mesmos números por 100 e 1000.
Multiplique os números 4,6 por 10; 6,52; 23.095; 0,01999. Multiplique os mesmos números por 100 e 1000.
Represente o decimal como uma fração e reduza-o:
a) 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;
b) 0,25; 0,75; 0,05; 0,35; 0,025;
c) 0,125; 0,375; 0,625; 0,875;
d) 0,44; 0,26; 0,92; 0,78; 0,666; 0,848.
Presente como fração mista: 1,5; 3.2; 6,6; 2,25; 10,75; 4.125; 23.005; 7.0125.
Expresse uma fração como um decimal:
a) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
b) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 20/01; 20/07; 49/20; 25/01; 25/13; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
c) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 8/11; 125/8; 16/01; 16/05; 16/09; 23/16;
d) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
Encontre a soma: a) 7,3+12,8; b) 65,14+49,76; c) 3,762+12,85; d) 85,4+129,756; e) 1,44+2,56.
Pense em um como a soma de duas casas decimais. Encontre mais vinte maneiras de apresentá-lo desta forma.
Encontre a diferença: a) 13,4–8,7; b) 74,52–27,04; c) 49,736–43,45; d) 127,24–93,883; e) 67–52,07; e) 35.24–34.9975.
Encontre o produto: a) 7,6·3,8; b) 4,8·12,5; c) 2,39·7,4; d) 3,74·9,65.

Das muitas frações encontradas na aritmética, aquelas que possuem 10, 100, 1000 no denominador – em geral, qualquer potência de dez – merecem atenção especial. Essas frações têm um nome e uma notação especiais.

Um decimal é qualquer fração numérica cujo denominador é uma potência de dez.

Exemplos de frações decimais:

Por que foi necessário separar essas frações? Por que eles precisam de seu próprio formulário de gravação? Existem pelo menos três razões para isso:

Os decimais são muito mais fáceis de comparar. Lembre-se: para comparar frações ordinárias, é necessário subtraí-las umas das outras e, principalmente, reduzir as frações a um denominador comum. Em decimais, nada disso é necessário;
Reduza a computação. Os decimais somam e multiplicam de acordo com suas próprias regras e, com um pouco de prática, você será capaz de trabalhar com eles muito mais rápido do que com frações normais;
Facilidade de gravação. Ao contrário das frações comuns, os decimais são escritos em uma linha sem perda de clareza.

A maioria das calculadoras também fornece respostas em decimais. Em alguns casos, um formato de gravação diferente pode causar problemas. Por exemplo, e se você pedir troco na loja no valor de 2/3 de um rublo :)

Regras para escrever frações decimais

A principal vantagem das frações decimais é a notação conveniente e visual. Nomeadamente:

A notação decimal é uma forma de escrever frações decimais onde a parte inteira é separada da parte fracionária por um ponto regular ou vírgula. Nesse caso, o próprio separador (ponto ou vírgula) é chamado de ponto decimal.

Por exemplo, 0,3 (leia-se: “zero ponteiro, 3 décimos”); 7,25 (7 inteiros, 25 centésimos); 3.049 (3 inteiros, 49 milésimos). Todos os exemplos são retirados da definição anterior.

Na escrita, uma vírgula é geralmente usada como ponto decimal. Aqui e em todo o site, a vírgula também será utilizada.

Para escrever uma fração decimal arbitrária neste formato, você precisa seguir três etapas simples:

Escreva o numerador separadamente;
Desloque a vírgula para a esquerda tantas casas quantos forem os zeros no denominador. Suponha que inicialmente o ponto decimal esteja à direita de todos os dígitos;
Se a vírgula se moveu e depois dela houver zeros no final da entrada, eles devem ser riscados.

Acontece que na segunda etapa o numerador não possui dígitos suficientes para completar o deslocamento. Neste caso, as posições faltantes são preenchidas com zeros. E, em geral, à esquerda de qualquer número você pode atribuir qualquer número de zeros sem prejudicar sua saúde. É feio, mas às vezes útil.

À primeira vista, este algoritmo pode parecer bastante complicado. Na verdade, tudo é muito, muito simples - basta praticar um pouco. Dê uma olhada nos exemplos:

Tarefa. Para cada fração, indique sua notação decimal:

O numerador da primeira fração é: 73. Deslocamos a vírgula decimal em uma casa (já que o denominador é 10) - obtemos 7,3.

Numerador da segunda fração: 9. Deslocamos a vírgula decimal em duas casas (já que o denominador é 100) - obtemos 0,09. Tive que adicionar um zero depois da vírgula e mais um antes, para não deixar uma entrada estranha como “.09”.

O numerador da terceira fração é: 10029. Deslocamos a vírgula decimal em três casas (já que o denominador é 1000) - obtemos 10,029.

O numerador da última fração: 10.500. Novamente deslocamos o ponto em três dígitos - obtemos 10.500. Existem zeros extras no final do número. Risque-os e obtemos 10,5.

Preste atenção nos dois últimos exemplos: os números 10.029 e 10.5. Pelas regras, os zeros à direita devem ser riscados, como foi feito no último exemplo. No entanto, você nunca deve fazer isso com zeros dentro de um número (que estão rodeados por outros números). É por isso que obtivemos 10,029 e 10,5, e não 1,29 e 1,5.

Então, descobrimos a definição e a forma de escrever frações decimais. Agora vamos descobrir como converter frações ordinárias em decimais - e vice-versa.

Conversão de frações em decimais

Considere uma fração numérica simples da forma a/b. Você pode usar a propriedade básica de uma fração e multiplicar o numerador e o denominador por um número tal que a parte inferior seja uma potência de dez. Mas antes de fazer isso, leia o seguinte:

Existem denominadores que não podem ser reduzidos a potências de dez. Aprenda a reconhecer essas frações, porque elas não podem ser trabalhadas usando o algoritmo descrito abaixo.

É isso. Bem, como você entende se o denominador é reduzido a uma potência de dez ou não?

A resposta é simples: fatore o denominador em fatores primos. Se a expansão contiver apenas os fatores 2 e 5, esse número poderá ser reduzido a uma potência de dez. Se houver outros números (3, 7, 11 - tanto faz), você pode esquecer a potência de dez.

Tarefa. Verifique se as frações indicadas podem ser representadas como decimais:

Vamos escrever e fatorar os denominadores dessas frações:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - estão presentes apenas os números 2 e 5. Portanto, a fração pode ser representada como um decimal.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - existe um fator “proibido” 3. A fração não pode ser representada como decimal.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Tudo está em ordem: não há nada exceto os números 2 e 5. Uma fração pode ser representada como um número decimal.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. O fator 3 “apareceu” novamente e não pode ser representado como uma fração decimal.

Então, resolvemos o denominador - agora vamos dar uma olhada em todo o algoritmo para passar para frações decimais:

Fatore o denominador da fração original e certifique-se de que geralmente seja representável como um decimal. Aqueles. verifique se apenas os fatores 2 e 5 estão presentes na expansão, caso contrário o algoritmo não funciona;
Conte quantos dois e cinco estão presentes na expansão (não haverá outros números aí, lembra?). Escolha um fator adicional tal que o número de dois e cinco seja igual.
Na verdade, multiplique o numerador e o denominador da fração original por este fator - obtemos a representação desejada, ou seja, o denominador será uma potência de dez.

Claro, o fator adicional também será decomposto apenas em dois e cinco. Ao mesmo tempo, para não complicar a sua vida, você deve escolher o menor multiplicador possível.

E mais uma coisa: se a fração original contiver uma parte inteira, certifique-se de converter essa fração em uma fração imprópria - e só então aplique o algoritmo descrito.

Tarefa. Converta essas frações numéricas em decimais:

Vamos fatorar o denominador da primeira fração: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Portanto, a fração pode ser representada como decimal. A expansão contém dois dois e não um único cinco, então o fator adicional é 5 2 = 25. Com ele, o número de dois e cinco será igual. Nós temos:

Agora vamos dar uma olhada na segunda fração. Para fazer isso, observe que 24 = 3 8 = 3 2 3 - há um triplo na expansão, portanto a fração não pode ser representada como decimal.

As duas últimas frações têm denominadores 5 (número primo) e 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 respectivamente - apenas dois e cinco estão presentes em todos os lugares. Além disso, no primeiro caso, “para a felicidade completa” um fator 2 não é suficiente, e no segundo - 5. Obtemos:

Conversão de decimais em frações comuns

A conversão reversa – de decimal para notação regular – é muito mais simples. Não há restrições ou verificações especiais aqui, então você sempre pode converter uma fração decimal na clássica fração de “dois andares”.

O algoritmo de tradução é o seguinte:

Risque todos os zeros do lado esquerdo da vírgula, bem como a vírgula. Este será o numerador da fração desejada. O principal é não exagerar e não riscar os zeros internos rodeados de outros números;
Conte quantas casas decimais existem após a vírgula. Pegue o número 1 e adicione tantos zeros à direita quantos caracteres você contar. Este será o denominador;
Na verdade, escreva a fração cujo numerador e denominador acabamos de encontrar. Se possível, reduza. Se a fração original continha uma parte inteira, obteremos agora uma fração imprópria, o que é muito conveniente para cálculos posteriores.

Tarefa. Converter frações decimais em frações ordinárias: 0,008; 3.107; 2,25; 7.2008.

Risque os zeros à esquerda e as vírgulas - obtemos os seguintes números (estes serão os numeradores): 8; 3107; 225; 72008.

Na primeira e na segunda frações há 3 casas decimais, na segunda - 2, e na terceira - até 4 casas decimais. Obtemos os denominadores: 1000; 1000; 100; 10.000.

Finalmente, vamos combinar os numeradores e denominadores em frações ordinárias:

Como pode ser visto nos exemplos, a fração resultante pode muitas vezes ser reduzida. Deixe-me observar mais uma vez que qualquer fração decimal pode ser representada como uma fração ordinária. A conversão reversa nem sempre é possível.

Ja entrou escola primária os alunos encontram frações. E então eles aparecem em todos os tópicos. Você não pode esquecer as ações com esses números. Portanto, você precisa conhecer todas as informações sobre frações ordinárias e decimais. Esses conceitos não são complicados, o principal é entender tudo em ordem.

Por que as frações são necessárias?

O mundo ao nosso redor consiste em objetos inteiros. Portanto, não há necessidade de ações. Mas a vida cotidiana leva constantemente as pessoas a trabalhar com partes de objetos e coisas.

Por exemplo, o chocolate consiste em vários pedaços. Considere uma situação em que seu ladrilho é formado por doze retângulos. Se você dividir em dois, obterá 6 partes. Pode ser facilmente dividido em três. Mas não será possível dar a cinco pessoas um número inteiro de fatias de chocolate.

Aliás, essas fatias já são frações. E sua divisão posterior leva ao aparecimento de números mais complexos.

O que é uma “fração”?

Este é um número composto por partes de uma unidade. Externamente, parecem dois números separados por uma horizontal ou barra. Esse recurso é chamado fracionário. O número escrito no topo (esquerda) é chamado de numerador. O que está na parte inferior (direita) é o denominador.

Essencialmente, a barra acaba sendo um sinal de divisão. Ou seja, o numerador pode ser chamado de dividendo e o denominador pode ser chamado de divisor.

Que frações existem?

Em matemática existem apenas dois tipos: frações ordinárias e decimais. Os alunos conhecem os primeiros na escola primária, chamando-os simplesmente de “frações”. Este último será aprendido na 5ª série. É quando esses nomes aparecem.

Frações comuns são todas aquelas escritas como dois números separados por uma linha. Por exemplo, 4/7. Um decimal é um número em que a parte fracionária possui notação posicional e é separada do número inteiro por uma vírgula. Por exemplo, 4.7. Os alunos precisam entender claramente que os dois exemplos dados são números completamente diferentes.

Toda fração simples pode ser escrita como decimal. Esta afirmação é quase sempre verdadeira ao contrário. Existem regras que permitem escrever uma fração decimal como uma fração comum.

Quais subtipos esses tipos de frações possuem?

É melhor começar em ordem cronológica à medida que são estudados. As frações comuns vêm primeiro. Entre eles, podem ser distinguidas 5 subespécies.

Correto. Seu numerador é sempre menor que seu denominador.

Errado. Seu numerador é maior ou igual ao seu denominador.

Redutível/irredutível. Pode acabar sendo certo ou errado. Outra coisa importante é se o numerador e o denominador têm fatores comuns. Se houver, é necessário dividir as duas partes da fração por elas, ou seja, reduzi-la.

Misturado. Um número inteiro é atribuído à sua parte fracionária regular (irregular) usual. Além disso, está sempre à esquerda.

Composto. É formado por duas frações divididas entre si. Ou seja, contém três linhas fracionárias de uma só vez.

As frações decimais têm apenas dois subtipos:

finito, isto é, aquele cuja parte fracionária é limitada (tem fim);

infinito - um número cujos dígitos após a vírgula decimal não terminam (podem ser escritos infinitamente).

Como converter uma fração decimal em uma fração comum?

Se este for um número finito, então uma associação é aplicada com base na regra - como ouço, escrevo. Ou seja, você precisa ler corretamente e anotar, mas sem vírgula, mas com barra fracionária.

Como dica sobre o denominador necessário, é preciso lembrar que é sempre um e vários zeros. Você precisa escrever tantos destes últimos quantos dígitos na parte fracionária do número em questão.

Como converter frações decimais em frações ordinárias se falta a parte inteira, ou seja, igual a zero? Por exemplo, 0,9 ou 0,05. Depois de aplicar a regra especificada, você precisa escrever zero inteiros. Mas não está indicado. Resta anotar as partes fracionárias. O primeiro número terá denominador 10, o segundo terá denominador 100. Ou seja, os exemplos dados terão como respostas os seguintes números: 9/10, 5/100. Além disso, verifica-se que este último pode ser reduzido em 5. Portanto, o resultado deve ser escrito como 1/20.

Como você pode converter uma fração decimal em uma fração ordinária se sua parte inteira for diferente de zero? Por exemplo, 5,23 ou 13,00108. Em ambos os exemplos, a parte inteira é lida e seu valor é escrito. No primeiro caso é 5, no segundo é 13. Depois é preciso passar para a parte fracionária. A mesma operação deve ser realizada com eles. O primeiro número aparece 23/100, o segundo - 108/100000. O segundo valor precisa ser reduzido novamente. A resposta dá as seguintes frações mistas: 5 23/100 e 13 27/25000.

Como converter uma fração decimal infinita em uma fração ordinária?

Se não for periódico, tal operação não será possível. Este fato se deve ao fato de que cada fração decimal é sempre convertida em uma fração finita ou periódica.

A única coisa que você pode fazer com essa fração é arredondá-la. Mas então o decimal será aproximadamente igual a esse infinito. Já pode ser transformado em normal. Mas o processo inverso: converter para decimal nunca dará o valor inicial. Ou seja, infinitas frações não periódicas não são convertidas em frações ordinárias. Isso precisa ser lembrado.

Como escrever uma fração periódica infinita como uma fração ordinária?

Nestes números, há sempre um ou mais dígitos após a vírgula que se repetem. Eles são chamados de período. Por exemplo, 0,3(3). Aqui "3" está no período. Eles são classificados como racionais porque podem ser convertidos em frações ordinárias.

Quem já encontrou frações periódicas sabe que elas podem ser puras ou misturadas. No primeiro caso, o ponto final começa imediatamente a partir da vírgula. Na segunda, a parte fracionária começa com alguns números e depois começa a repetição.

A regra pela qual você precisa escrever um decimal infinito como uma fração comum será diferente para os dois tipos de números indicados. É muito fácil escrever frações periódicas puras como frações ordinárias. Assim como acontece com os finitos, eles precisam ser convertidos: anote o período no numerador, e o denominador será o número 9, repetido tantas vezes quanto a quantidade de dígitos que o período contém.

Por exemplo, 0,(5). O número não possui parte inteira, então você precisa começar imediatamente com a parte fracionária. Escreva 5 como numerador e 9 como denominador, ou seja, a resposta será a fração 5/9.

A regra sobre como escrever uma fração periódica decimal ordinária que é mista.

Veja a duração do período. É quantos 9 o denominador terá.

Anote o denominador: primeiro noves, depois zeros.

Para determinar o numerador, você precisa anotar a diferença de dois números. Todos os números após a vírgula serão minimizados, junto com o ponto final. Franquia - é sem prazo.

Por exemplo, 0,5(8) - escreva a fração decimal periódica como uma fração comum. A parte fracionária antes do ponto contém um dígito. Portanto, haverá um zero. Também existe apenas um número no período - 8. Ou seja, existe apenas um nove. Ou seja, você precisa escrever 90 no denominador.

Para determinar o numerador, você precisa subtrair 5 de 58. Acontece 53. Por exemplo, você teria que escrever a resposta como 53/90.

Como as frações são convertidas em decimais?

A maioria opção simples acaba sendo um número cujo denominador contém o número 10, 100, etc. Então o denominador é simplesmente descartado e uma vírgula é colocada entre as partes fracionária e inteira.

Há situações em que o denominador se transforma facilmente em 10, 100, etc. Por exemplo, os números 5, 20, 25. Basta multiplicá-los por 2, 5 e 4, respectivamente. Você só precisa multiplicar não só o denominador, mas também o numerador pelo mesmo número.

Para todos os outros casos, uma regra simples é útil: divida o numerador pelo denominador. Neste caso, você pode obter duas respostas possíveis: uma fração decimal finita ou periódica.

Operações com frações ordinárias

Adição e subtração

Os alunos os conhecem mais cedo do que outros. Além disso, a princípio as frações têm os mesmos denominadores e depois têm denominadores diferentes. As regras gerais podem ser reduzidas a este plano.

Encontre o mínimo múltiplo comum dos denominadores.

Escreva fatores adicionais para todas as frações ordinárias.

Multiplique os numeradores e denominadores pelos fatores especificados para eles.

Adicione (subtraia) os numeradores das frações e deixe o denominador comum inalterado.

Se o numerador do minuendo for menor que o subtraendo, precisamos descobrir se temos um número misto ou uma fração própria.

No primeiro caso, você precisa pegar emprestado um da parte inteira. Adicione o denominador ao numerador da fração. E então faça a subtração.

Na segunda, é necessário aplicar a regra de subtrair um número maior de um número menor. Ou seja, do módulo do subtraendo, subtraia o módulo do minuendo e, em resposta, coloque um sinal “-”.

Observe atentamente o resultado da adição (subtração). Se você obtiver uma fração imprópria, precisará selecionar a parte inteira. Ou seja, divida o numerador pelo denominador.

Multiplicação e divisão

Para realizá-las, as frações não precisam ser reduzidas a um denominador comum. Isso facilita a execução de ações. Mas eles ainda exigem que você siga as regras.

Ao multiplicar frações, você precisa observar os números nos numeradores e denominadores. Se algum numerador e denominador tiverem um fator comum, eles poderão ser reduzidos.

Multiplique os numeradores.

Multiplique os denominadores.

Se o resultado for uma fração redutível, ele deverá ser simplificado novamente.

Ao dividir, você deve primeiro substituir a divisão pela multiplicação e o divisor (segunda fração) pela fração recíproca (trocar o numerador e o denominador).

Em seguida, proceda como na multiplicação (a partir do ponto 1).

Em tarefas onde é necessário multiplicar (dividir) por um número inteiro, este último deve ser escrito como uma fração imprópria. Ou seja, com denominador 1. Em seguida, proceda conforme descrito acima.

Operações com decimais

Adição e subtração

Claro, você sempre pode converter um decimal em uma fração. E aja de acordo com o plano já descrito. Mas às vezes é mais conveniente agir sem essa tradução. Então as regras para adição e subtração serão exatamente as mesmas.

Equalize a quantidade de dígitos na parte fracionária do número, ou seja, após a vírgula. Adicione o número faltante de zeros a ele.

Escreva as frações de forma que a vírgula fique abaixo da vírgula.

Adicione (subtraia) como números naturais.

Remova a vírgula.

Multiplicação e divisão

É importante que você não precise adicionar zeros aqui. As frações devem ser deixadas como são dadas no exemplo. E então siga conforme o planejado.

Para multiplicar, você precisa escrever as frações uma abaixo da outra, ignorando as vírgulas.

Multiplique como números naturais.

Coloque uma vírgula na resposta, contando a partir da extremidade direita da resposta tantos dígitos quantos houver nas partes fracionárias de ambos os fatores.

Para dividir, você deve primeiro transformar o divisor: torná-lo um número natural. Ou seja, multiplique por 10, 100, etc., dependendo de quantos dígitos estão na parte fracionária do divisor.

Multiplique o dividendo pelo mesmo número.

Divida uma fração decimal por um número natural.

Coloque uma vírgula na sua resposta no momento em que termina a divisão da parte inteira.

E se um exemplo contiver os dois tipos de frações?

Sim, em matemática muitas vezes há exemplos em que é necessário realizar operações com frações ordinárias e decimais. Nessas tarefas existem duas soluções possíveis. Você precisa pesar objetivamente os números e escolher o ideal.

Primeira maneira: representar decimais comuns

É adequado se a divisão ou tradução resultar em frações finitas. Se pelo menos um número fornecer uma parte periódica, esta técnica é proibida. Portanto, mesmo que você não goste de trabalhar com frações comuns, terá que contá-las.

Segunda maneira: escrever frações decimais como normais

Esta técnica é conveniente se a parte após a vírgula contiver 1-2 dígitos. Se houver mais deles, você poderá acabar com uma fração comum muito grande e a notação decimal tornará a tarefa mais rápida e fácil de calcular. Portanto, você precisa sempre avaliar a tarefa com sobriedade e escolher o método de solução mais simples.

Ao adicionar frações decimais, você precisa escrevê-las uma abaixo da outra para que os mesmos dígitos fiquem um abaixo do outro, e a vírgula fique abaixo da vírgula, e adicione as frações da mesma forma que você adiciona números naturais. Vamos somar, por exemplo, as frações 12,7 e 3,442. A primeira fração contém uma casa decimal e a segunda contém três. Para realizar a adição, transformamos a primeira fração para que haja três dígitos após a vírgula: , então

A subtração de frações decimais é realizada da mesma forma. Vamos encontrar a diferença entre os números 13,1 e 0,37:

Ao multiplicar frações decimais, basta multiplicar os números dados, sem prestar atenção às vírgulas (como os números naturais), e então, como resultado, separar com vírgula tantos dígitos da direita quantos houver após a vírgula em ambos os fatores no total.

Por exemplo, vamos multiplicar 2,7 por 1,3. Nós temos. Usamos uma vírgula para separar dois dígitos à direita (a soma dos dígitos dos fatores após a vírgula é dois). Como resultado, obtemos 2,7 1,3 = 3,51.

Se o produto contiver menos dígitos do que os que devem ser separados por vírgula, os zeros que faltam serão escritos na frente, por exemplo:

Vamos considerar multiplicar uma fração decimal por 10, 100, 1000, etc. Digamos que precisamos multiplicar a fração 12,733 por 10. Temos. Separando três dígitos à direita por uma vírgula, obtemos Mas. Significa,

12.733 10=127,33. Assim, multiplicar uma fração decimal por 10 se reduz a mover a vírgula um dígito para a direita.

Em geral, para multiplicar uma fração decimal por 10, 100, 1000, é necessário mover a vírgula desta fração 1, 2, 3 dígitos para a direita, adicionando, se necessário, um certo número de zeros à fração do certo). Por exemplo,

A divisão de uma fração decimal por um número natural é realizada da mesma forma que a divisão de um número natural por um número natural, e a vírgula no quociente é colocada após a conclusão da divisão da parte inteira. Vamos dividir 22,1 por 13:

Se a parte inteira do dividendo for menor que o divisor, a resposta será zero inteiros, por exemplo:

Vamos agora considerar a divisão de um decimal por um decimal. Digamos que precisamos dividir 2,576 por 1,12. Para fazer isso, tanto no dividendo quanto no divisor, mova a vírgula para a direita tantos dígitos quantos houver após a vírgula no divisor (neste exemplo, dois). Por outras palavras, se multiplicarmos o dividendo e o divisor por 100, o quociente não mudará. Então você precisa dividir a fração 257,6 pelo número natural 112, ou seja, o problema se reduz ao caso já considerado:

Para dividir uma fração decimal por, você precisa mover o ponto decimal dessa fração para a esquerda (e, se necessário, adicionar o número necessário de zeros à esquerda). Por exemplo, .

Assim como a divisão nem sempre é viável para números naturais, nem sempre é viável para frações decimais. Por exemplo, divida 2,8 por 0,09:

O resultado é a chamada fração decimal infinita. Nesses casos, passamos para frações ordinárias. Por exemplo:

Pode acontecer que alguns números sejam escritos como frações ordinárias, outros como números mistos e outros como decimais. Ao realizar operações com esses números, você pode fazer coisas diferentes: converter decimais em frações ordinárias e aplicar as regras para operar com frações ordinárias ou converter frações ordinárias e números mistos em decimais (se possível) e aplicar as regras para operar com decimais .

Neste artigo vamos entender o que é uma fração decimal, quais são suas características e propriedades. Ir! 🙂

Uma fração decimal é um caso especial de frações ordinárias (onde o denominador é um múltiplo de 10).

Definição

Decimais são frações cujos denominadores são números que consistem em um e um número de zeros depois dele. Ou seja, são frações com denominador 10, 100, 1000, etc. Caso contrário, uma fração decimal pode ser caracterizada como uma fração com denominador 10 ou uma das potências de dez.

Exemplos de frações:

, ,

As frações decimais são escritas de forma diferente das frações comuns. As operações com essas frações também são diferentes das operações com as frações comuns. As regras para operações com eles são em muitos aspectos semelhantes às regras para operações com números inteiros. Isto, em particular, explica a sua procura pela resolução de problemas práticos.

Representação de frações em notação decimal

A fração decimal não tem denominador; ela exibe o número do numerador. EM visão geral A fração decimal é escrita de acordo com o seguinte esquema:

onde X é a parte inteira da fração, Y é sua parte fracionária, “,” é o ponto decimal.

Para representar corretamente uma fração como decimal, é necessário que ela seja uma fração regular, ou seja, com a parte inteira destacada (se possível) e um numerador menor que o denominador. Então, em notação decimal, a parte inteira é escrita em ponto decimal(X), e o numerador de uma fração comum está após a vírgula (Y).

Se o numerador contém um número com menos dígitos que o número de zeros no denominador, então na parte Y o número de dígitos que faltam na notação decimal é preenchido com zeros à frente dos dígitos do numerador.

Exemplo:

Se uma fração comum for menor que 1, ou seja, não tem uma parte inteira, então para X na forma decimal escreva 0.

Na parte fracionária (Y), após o último dígito significativo (diferente de zero), pode ser inserido um número arbitrário de zeros. Isso não afeta o valor da fração. Por outro lado, todos os zeros no final da parte fracionária do decimal podem ser omitidos.

Lendo Decimais

A Parte X é geralmente lida da seguinte forma: “X inteiros”.

A parte Y é lida de acordo com o número no denominador. Para o denominador 10 você deve ler: “Y décimos”, para o denominador 100: “Y centésimos”, para o denominador 1000: “Y milésimos” e assim por diante... 😉

Outra abordagem de leitura, baseada na contagem do número de dígitos da parte fracionária, é considerada mais correta. Para fazer isso, você precisa entender que os dígitos fracionários estão localizados em uma imagem espelhada em relação aos dígitos da parte inteira da fração.

Os nomes para leitura correta são fornecidos na tabela:

Com base nisso, a leitura deve ser baseada no cumprimento do nome do dígito do último dígito da parte fracionária.

3.5 diz "três vírgula cinco"
0,016 diz "zero vírgula dezesseis milésimos"

Convertendo uma fração arbitrária em decimal

Se o denominador de uma fração comum for 10 ou alguma potência de dez, a conversão da fração será realizada conforme descrito acima. Em outras situações, são necessárias transformações adicionais.

Existem 2 métodos de tradução.

Primeiro método de transferência

O numerador e o denominador devem ser multiplicados por um número inteiro tal que o denominador produza o número 10 ou uma das potências de dez. E então a fração é representada em notação decimal.

Este método é aplicável para frações cujo denominador só pode ser expandido para 2 e 5. Assim, no exemplo anterior . Se a expansão contiver outros fatores primos (por exemplo, ), será necessário recorrer ao 2º método.

Segundo método de tradução

O segundo método é dividir o numerador pelo denominador em uma coluna ou em uma calculadora. A parte inteira, se houver, não participa da transformação.

A regra para divisão longa que resulta em uma fração decimal é descrita abaixo (ver Divisão de decimais).

Convertendo uma fração decimal em uma fração comum

Para fazer isso, você deve anotar sua parte fracionária (à direita da vírgula) como numerador, e o resultado da leitura da parte fracionária como o número correspondente no denominador. Além disso, se possível, você precisa reduzir a fração resultante.

Fração decimal finita e infinita

Uma fração decimal é chamada de fração final, cuja parte fracionária consiste em um número finito de dígitos.

Todos os exemplos acima contêm frações decimais finais. No entanto, nem toda fração ordinária pode ser representada como um decimal final. Se o 1º método de conversão não for aplicável a uma determinada fração, e o 2º método demonstrar que a divisão não pode ser completada, então apenas uma fração decimal infinita poderá ser obtida.

É impossível escrever uma fração infinita na sua forma completa. De forma incompleta, as seguintes frações podem ser representadas:

em decorrência da redução ao número desejado de casas decimais;
como uma fração periódica.

Uma fração é chamada de periódica se após a vírgula for possível distinguir uma sequência de dígitos que se repete infinitamente.

As frações restantes são chamadas de não periódicas. Para frações não periódicas, apenas o 1º método de representação (arredondamento) é permitido.

Um exemplo de fração periódica: 0,8888888... Aqui está um número repetido 8, que, obviamente, será repetido ad infinitum, pois não há razão para supor o contrário. Esta figura é chamada período da fração.

As frações periódicas podem ser puras ou mistas. Uma fração decimal pura é aquela cujo período começa imediatamente após a vírgula. Uma fração mista possui 1 ou mais dígitos antes da vírgula.

54.33333… – fração decimal pura periódica

2.5621212121… – fração mista periódica

Exemplos de escrita de frações decimais infinitas:

O segundo exemplo mostra como formatar corretamente um ponto final ao escrever uma fração periódica.

Convertendo frações decimais periódicas em frações ordinárias

Para converter uma fração periódica pura em um período comum, escreva-a no numerador e escreva um número que consiste em noves em um valor igual ao número de dígitos do período no denominador.

A fração decimal periódica mista é traduzida da seguinte forma:

você precisa formar um número que consiste no número após a vírgula antes do ponto e do primeiro ponto;
Do número resultante, subtraia o número após a vírgula antes do ponto final. O resultado será o numerador da fração comum;
no denominador você precisa inserir um número que consiste em um número de noves igual ao número de dígitos do período, seguido de zeros, cujo número é igual ao número de dígitos do número após a vírgula antes do primeiro período.

Comparação de decimais

As frações decimais são comparadas inicialmente por suas partes inteiras. A fração cuja parte inteira é maior é maior.

Se as partes inteiras forem iguais, compare os dígitos dos dígitos correspondentes da parte fracionária, começando pelo primeiro (dos décimos). O mesmo princípio se aplica aqui: a fração maior é aquela que tem mais décimos; se os décimos dígitos forem iguais, os centésimos dígitos são comparados e assim por diante.

Porque o

, pois com partes inteiras iguais e décimos iguais na parte fracionária, a 2ª fração tem centésimos maiores.

Adição e subtração de decimais

Os decimais são somados e subtraídos da mesma forma que os números inteiros, escrevendo os dígitos correspondentes um abaixo do outro. Para fazer isso, você precisa colocar casas decimais uma abaixo da outra. Então as unidades (dezenas, etc.) da parte inteira, assim como os décimos (centésimos, etc.) da parte fracionária, estarão de acordo. Os dígitos que faltam na parte fracionária são preenchidos com zeros. Diretamente O processo de adição e subtração é realizado da mesma forma que para números inteiros.

Multiplicando Decimais

Para multiplicar decimais, é necessário escrevê-los um abaixo do outro, alinhados ao último dígito e não prestando atenção na localização das casas decimais. Então você precisa multiplicar os números da mesma forma que multiplica números inteiros. Após receber o resultado, deve-se recalcular o número de dígitos após a vírgula em ambas as frações e separar por vírgula o número total de dígitos fracionários do número resultante. Se não houver dígitos suficientes, eles serão substituídos por zeros.

Multiplicando e dividindo decimais por 10n

Essas ações são simples e se resumem a mover a vírgula decimal. P Ao multiplicar, o ponto decimal é movido para a direita (a fração é aumentada) por um número de dígitos igual ao número de zeros em 10n, onde n é uma potência inteira arbitrária. Ou seja, um certo número de dígitos é transferido da parte fracionária para a parte inteira. Ao dividir, respectivamente, a vírgula é movida para a esquerda (o número diminui) e alguns dos dígitos são transferidos da parte inteira para a parte fracionária. Se não houver números suficientes para transferir, os bits ausentes serão preenchidos com zeros.

Dividindo um número decimal e um número inteiro por um número inteiro e um número decimal

Dividir um decimal por um inteiro é semelhante a dividir dois inteiros. Além disso, basta levar em consideração a posição da vírgula: ao retirar o dígito de uma casa seguida de vírgula, deve-se colocar uma vírgula após o dígito atual da resposta gerada. Em seguida, você precisa continuar dividindo até chegar a zero. Se não houver sinais suficientes no dividendo para uma divisão completa, devem ser usados zeros como eles.

Da mesma forma, 2 números inteiros são divididos em uma coluna se todos os dígitos do dividendo forem removidos e a divisão completa ainda não tiver sido concluída. Nesse caso, após retirar o último dígito do dividendo, uma vírgula decimal é colocada na resposta resultante e zeros são usados como dígitos removidos. Aqueles. o dividendo aqui é essencialmente representado como uma fração decimal com uma parte fracionária zero.

Para dividir uma fração decimal (ou um inteiro) por um número decimal, deve-se multiplicar o dividendo e o divisor pelo número 10 n, em que o número de zeros é igual ao número de dígitos após a vírgula do divisor. Dessa forma, você elimina a vírgula decimal na fração pela qual deseja dividir. Além disso, o processo de divisão coincide com o descrito acima.

Representação gráfica de frações decimais

As frações decimais são representadas graficamente usando uma linha de coordenadas. Para fazer isso, os segmentos individuais são divididos em 10 partes iguais, assim como centímetros e milímetros são marcados simultaneamente em uma régua. Isso garante que os decimais sejam exibidos com precisão e possam ser comparados objetivamente.

Para que as divisões em segmentos individuais sejam idênticas, você deve considerar cuidadosamente o comprimento do próprio segmento único. Deve ser tal que a conveniência da divisão adicional possa ser garantida.