Modelos matemáticos

Modelo matemático - opi aproximadoo significado do objeto de modelagem, expresso usandodo simbolismo matemático.

Os modelos matemáticos apareceram junto com a matemática há muitos séculos. O advento dos computadores deu um enorme impulso ao desenvolvimento da modelagem matemática. O uso de computadores tornou possível analisar e aplicar na prática muitos modelos matemáticos que antes não eram passíveis de pesquisa analítica. Implementado matematicamente em um computadormodelo do céu chamado modelo matemático de computador, A realização de cálculos direcionados usando um modelo de computador chamado experimento computacional.

Estágios da ciência matemática da computaçãodivisão são mostrados na figura. Primeiroestágio - definição de objetivos de modelagem. Esses objetivos podem ser diferentes:

1. é necessário um modelo para entender como funciona um objeto específico, qual é sua estrutura, suas propriedades básicas, leis de desenvolvimento e interação
   com o mundo exterior (compreensão);
2. é necessário um modelo para aprender como gerenciar um objeto (ou processo) e determinar os melhores métodos de gerenciamento para determinados objetivos e critérios (gestão);
3. o modelo é necessário para prever as consequências diretas e indiretas da implementação de determinados métodos e formas de influência sobre o objeto (previsão).

Vamos explicar com exemplos. Seja o objeto de estudo a interação de um fluxo de líquido ou gás com um corpo que é um obstáculo a esse fluxo. A experiência mostra que a força de resistência ao fluxo por parte do corpo aumenta com o aumento da velocidade do fluxo, mas em alguma velocidade suficientemente alta essa força diminui abruptamente de modo que com um aumento adicional na velocidade ela aumenta novamente. O que causou a diminuição da força de resistência? A modelagem matemática permite obter uma resposta clara: no momento de uma diminuição abrupta da resistência, os vórtices formados no fluxo de líquido ou gás atrás do corpo aerodinâmico começam a se separar dele e são levados pelo fluxo.

Um exemplo de uma área completamente diferente: populações de duas espécies de indivíduos que coexistiram pacificamente com números estáveis ​​e tinham um abastecimento alimentar comum, “de repente” começam a mudar drasticamente os seus números. E aqui a modelagem matemática permite (com um certo grau de confiabilidade) estabelecer a causa (ou pelo menos refutar uma determinada hipótese).

Desenvolver um conceito para gerenciar um objeto é outro objetivo possível da modelagem. Qual modo de voo da aeronave devo escolher para garantir que o voo seja seguro e economicamente mais rentável? Como programar centenas de tipos de obras na construção de uma grande instalação para que seja concluída no menor tempo possível? Muitos desses problemas surgem sistematicamente diante de economistas, designers e cientistas.

Finalmente, prever as consequências de certos impactos sobre um objecto pode ser uma questão relativamente simples em sistemas físicos simples, e extremamente complexa - no limite da viabilidade - em sistemas biológicos, económicos e sociais. Embora seja relativamente fácil responder à questão sobre mudanças no modo de distribuição de calor numa barra fina devido a alterações na sua liga constituinte, é incomparavelmente mais difícil rastrear (prever) as consequências ambientais e climáticas da construção de um grande central hidroeléctrica ou as consequências sociais das alterações na legislação fiscal. Talvez também aqui os métodos de modelagem matemática forneçam uma assistência mais significativa no futuro.

Segunda fase: determinação dos parâmetros de entrada e saída do modelo; divisão dos parâmetros de entrada de acordo com o grau de importância da influência de suas alterações na saída. Este processo é chamado de classificação, ou separação por classificação (ver. “Formalizaçãoção e modelagem").

Terceira etapa: construção de um modelo matemático. Nesta fase, ocorre a transição de uma formulação abstrata do modelo para uma formulação que possui uma representação matemática específica. Um modelo matemático são equações, sistemas de equações, sistemas de desigualdades, equações diferenciais ou sistemas de tais equações, etc.

Quarta etapa: escolha de um método para estudar um modelo matemático. Na maioria das vezes, aqui são usados ​​​​métodos numéricos, que se prestam bem à programação. Via de regra, vários métodos são adequados para resolver o mesmo problema, diferindo em precisão, estabilidade, etc. O sucesso de todo o processo de modelagem depende muitas vezes da escolha correta do método.

Quinta etapa: desenvolver um algoritmo, compilar e depurar um programa de computador é um processo difícil de formalizar. Entre as linguagens de programação, muitos profissionais preferem o FORTRAN para modelagem matemática: tanto pelas tradições quanto pela eficiência insuperável dos compiladores (para trabalhos de cálculo) e pela disponibilidade de enormes bibliotecas cuidadosamente depuradas e otimizadas de programas padrão para métodos matemáticos escritos nele . Linguagens como PASCAL, BASIC, C também são utilizadas, dependendo da natureza da tarefa e das inclinações do programador.

Sexta etapa: teste do programa. A operação do programa é testada em um problema de teste com uma resposta previamente conhecida. Este é apenas o começo de um procedimento de teste que é difícil de descrever de uma forma formalmente abrangente. Normalmente, o teste termina quando o usuário, com base em suas características profissionais, considera o programa correto.

Sétima etapa: o experimento computacional real, durante o qual é determinado se o modelo corresponde a um objeto real (processo). O modelo é suficientemente adequado ao processo real se algumas características do processo obtidas em computador coincidirem com as características obtidas experimentalmente com um determinado grau de precisão. Caso o modelo não corresponda ao processo real, voltamos a uma das etapas anteriores.

Classificação de modelos matemáticos

A classificação dos modelos matemáticos pode ser baseada em vários princípios. Você pode classificar os modelos por ramos da ciência (modelos matemáticos em física, biologia, sociologia, etc.). Podem ser classificados de acordo com o aparato matemático utilizado (modelos baseados na utilização de equações diferenciais ordinárias, equações diferenciais parciais, métodos estocásticos, transformações algébricas discretas, etc.). Finalmente, se partirmos dos problemas gerais de modelagem nas diferentes ciências, independentemente do aparato matemático, a seguinte classificação é mais natural:

• modelos descritivos (descritivos);
• modelos de otimização;
• modelos multicritério;
• modelos de jogos.

Vamos explicar isso com exemplos.

Modelos descritivos (descritivos). Por exemplo, a modelagem do movimento de um cometa que invadiu o sistema solar é realizada para prever sua trajetória de vôo, a distância que ele passará da Terra, etc. Neste caso, os objetivos da modelagem são de natureza descritiva, uma vez que não há como influenciar o movimento do cometa ou alterar algo nele.

Modelos de otimização são usados ​​para descrever processos que podem ser influenciados na tentativa de atingir um determinado objetivo. Neste caso, o modelo inclui um ou mais parâmetros que podem ser influenciados. Por exemplo, ao alterar o regime térmico num celeiro, pode definir o objetivo de escolher um regime que alcance a máxima segurança dos grãos, ou seja, otimizar o processo de armazenamento.

Modelos multicritério. Muitas vezes é necessário otimizar um processo ao longo de vários parâmetros simultaneamente, e os objetivos podem ser bastante contraditórios. Por exemplo, conhecendo os preços dos alimentos e as necessidades alimentares de uma pessoa, é necessário organizar a alimentação de grandes grupos de pessoas (no exército, acampamento de verão infantil, etc.) fisiologicamente corretamente e, ao mesmo tempo, tão barato quanto possível. É claro que esses objetivos não coincidem em nada, ou seja, Na modelagem serão utilizados diversos critérios, entre os quais deve-se buscar um equilíbrio.

Modelos de jogo pode estar relacionado não apenas com jogos de computador, mas também com coisas muito sérias. Por exemplo, antes de uma batalha, um comandante, se houver informações incompletas sobre o exército adversário, deve desenvolver um plano: em que ordem introduzir certas unidades na batalha, etc., levando em consideração a possível reação do inimigo. Existe um ramo especial da matemática moderna - a teoria dos jogos - que estuda métodos de tomada de decisão sob condições de informação incompleta.

No curso escolar de ciência da computação, os alunos recebem uma compreensão inicial de modelagem matemática computacional como parte do curso básico. No ensino médio, a modelagem matemática pode ser estudada em profundidade em um curso de educação geral para aulas de física e matemática, bem como como parte de uma disciplina eletiva especializada.

As principais formas de ensino de modelagem matemática computacional no ensino médio são aulas teóricas, aulas laboratoriais e aulas-teste. Normalmente, o trabalho de criação e preparação para o estudo de cada novo modelo leva de 3 a 4 aulas. Durante a apresentação do material, são definidos problemas que deverão ser resolvidos pelos alunos de forma independente no futuro, e as formas de resolvê-los são delineadas em termos gerais. São formuladas perguntas cujas respostas devem ser obtidas na conclusão das tarefas. É indicada literatura adicional que permite obter informações auxiliares para uma conclusão mais bem-sucedida das tarefas.

A forma de organização das aulas no estudo de novos materiais costuma ser uma palestra. Depois de concluir a discussão do próximo modelo estudantes têm à sua disposição a informação teórica necessária e um conjunto de tarefas para trabalhos futuros. Na preparação para completar uma tarefa, os alunos escolhem um método de solução apropriado e testam o programa desenvolvido usando alguma solução privada bem conhecida. Em caso de possíveis dificuldades na execução das tarefas, é feita consulta e proposta para estudar mais detalhadamente essas seções em fontes literárias.

O mais adequado para a parte prática do ensino de modelagem computacional é o método de projeto. A tarefa é formulada para o aluno na forma de um projeto pedagógico e é realizada ao longo de várias aulas, sendo a principal forma de organização o trabalho de laboratório de informática. A modelagem de ensino pelo método de projetos educacionais pode ser implementada em diferentes níveis. A primeira é uma apresentação problemática do processo de conclusão do projeto, que é liderada pelo professor. A segunda é a implementação do projeto pelos alunos sob orientação de um professor. A terceira é que os alunos concluam de forma independente um projeto de pesquisa educacional.

Os resultados do trabalho devem ser apresentados de forma numérica, na forma de gráficos e diagramas. Se possível, o processo é apresentado na tela do computador em dinâmica. Após a conclusão dos cálculos e recebimento dos resultados, eles são analisados, comparados com fatos conhecidos da teoria, a confiabilidade é confirmada e é realizada uma interpretação significativa, que é posteriormente refletida em um relatório escrito.

Se os resultados satisfizerem o aluno e o professor, então o trabalho conta concluído, e sua etapa final é a elaboração de um relatório. O relatório inclui breve informação teórica sobre o tema em estudo, uma formulação matemática do problema, um algoritmo de solução e sua justificação, um programa de computador, os resultados do programa, análise dos resultados e conclusões, e uma lista de referências.

Depois de compilados todos os relatórios, durante a aula-teste, os alunos fazem breves relatórios sobre o trabalho realizado e defendem o seu projeto. Esta é uma forma eficaz de relatório do grupo que realiza o projeto para a turma, incluindo a definição do problema, a construção de um modelo formal, a escolha de métodos para trabalhar com o modelo, a implementação do modelo em um computador, o trabalho com o modelo finalizado, a interpretação os resultados e fazer previsões. Com isso, os alunos podem receber duas notas: a primeira - pela elaboração do projeto e pelo sucesso de sua defesa, a segunda - pelo programa, pela otimalidade de seu algoritmo, interface, etc. Os alunos também recebem notas durante os testes teóricos.

Uma questão essencial é quais ferramentas usar em um curso escolar de ciência da computação para modelagem matemática? A implementação de modelos em computador pode ser realizada:

• usando um processador de planilhas (geralmente MS Excel);
• criando programas em linguagens de programação tradicionais (Pascal, BASIC, etc.), bem como em suas versões modernas (Delphi, Visual
  Básico para Aplicação, etc.);
• usando pacotes de aplicativos especiais para resolver problemas matemáticos (MathCAD, etc.).

Ao nível da escola básica, o primeiro método parece ser mais preferível. Porém, no ensino médio, quando a programação é, junto com a modelagem, um tema fundamental na ciência da computação, é aconselhável utilizá-la como ferramenta de modelagem. Durante o processo de programação, detalhes dos procedimentos matemáticos ficam disponíveis aos alunos; Além disso, eles são simplesmente forçados a dominá-los, e isso também contribui para a educação matemática. Quanto à utilização de pacotes de software especiais, esta é adequada em um curso especializado de informática como complemento de outras ferramentas.

Exercício :

• Faça um diagrama dos conceitos-chave.

Palestra 1.

BÁSICOS METODOLÓGICOS DE MODELAGEM

Estado atual do problema de modelagem de sistemas

Conceitos de Modelagem e Simulação

Modelagem pode ser considerada como a substituição do objeto em estudo (original) por sua imagem convencional, descrição ou outro objeto denominado modelo e proporcionar um comportamento próximo do original dentro da estrutura de certas suposições e erros aceitáveis. A modelagem geralmente é realizada com o objetivo de compreender as propriedades do original, estudando seu modelo, e não o objeto em si. É claro que a modelagem se justifica quando é mais simples do que criar o original em si, ou quando, por algum motivo, é melhor nem criar o original.

Sob modeloé entendido como um objeto físico ou abstrato, cujas propriedades são, em certo sentido, semelhantes às propriedades do objeto em estudo.Neste caso, os requisitos do modelo são determinados pelo problema a ser resolvido e pelos meios disponíveis. Existem vários requisitos gerais para modelos:

2) integridade – fornecer ao destinatário todas as informações necessárias

sobre o objeto;

3) flexibilidade - capacidade de reproduzir situações diferentes em tudo

gama de mudanças nas condições e parâmetros;

4) a complexidade do desenvolvimento deve ser aceitável para o existente

tempo e software.

Modelagemé o processo de construção de um modelo de um objeto e estudo de suas propriedades examinando o modelo.

Assim, a modelagem envolve 2 etapas principais:

1) desenvolvimento de um modelo;

2) estudo do modelo e retirada de conclusões.

Ao mesmo tempo, em cada etapa, diferentes tarefas são resolvidas e

métodos e meios essencialmente diferentes.

Na prática, vários métodos de modelagem são utilizados. Dependendo do método de implementação, todos os modelos podem ser divididos em duas grandes classes: físicos e matemáticos.

Modelagem matemática Geralmente é considerado um meio de estudar processos ou fenômenos utilizando seus modelos matemáticos.

Sob modelagem física refere-se ao estudo de objetos e fenômenos em modelos físicos, quando o processo em estudo é reproduzido preservando sua natureza física ou é utilizado outro fenômeno físico semelhante ao que está sendo estudado. Em que modelos físicos Via de regra, eles assumem a personificação real das propriedades físicas do original que são significativas em situação particular... Por exemplo, ao projetar uma nova aeronave, é criado um modelo que possui as mesmas propriedades aerodinâmicas; Ao planejar um empreendimento, os arquitetos elaboram uma maquete que reflete a disposição espacial de seus elementos. Nesse sentido, a modelagem física também é chamada prototipagem.

Modelagem de meia-vidaé um estudo de sistemas controláveis ​​​​em complexos de modelagem com inclusão de equipamentos reais no modelo. Junto com equipamentos reais, o modelo fechado inclui simuladores de influências e interferências, modelos matemáticos do ambiente externo e processos para os quais não se conhece uma descrição matemática suficientemente precisa. A inclusão de equipamentos ou sistemas reais no circuito de modelagem de processos complexos permite reduzir a incerteza a priori e explorar processos para os quais não existe uma descrição matemática exata. Utilizando modelagem seminatural, a pesquisa é realizada levando em consideração pequenas constantes de tempo e linearidades inerentes a equipamentos reais. Ao estudar modelos utilizando equipamentos reais, o conceito é utilizado simulação dinâmica, ao estudar sistemas e fenômenos complexos - evolutivo, imitação E modelagem cibernética.

Obviamente, o benefício real da modelagem só pode ser obtido se duas condições forem atendidas:

1) o modelo fornece uma exibição correta (adequada) das propriedades

o original, significativo do ponto de vista da operação em estudo;

2) o modelo permite eliminar os problemas listados acima inerentes

conduzindo pesquisas em objetos reais.

2. Conceitos básicos de modelagem matemática

A resolução de problemas práticos utilizando métodos matemáticos é realizada de forma consistente através da formulação do problema (desenvolvimento de um modelo matemático), da escolha de um método de estudo do modelo matemático resultante e da análise do resultado matemático obtido. A formulação matemática do problema geralmente é apresentada na forma de imagens geométricas, funções, sistemas de equações, etc. A descrição de um objeto (fenômeno) pode ser representada por meio de formas matemáticas contínuas ou discretas, determinísticas ou estocásticas e outras.

Teoria da modelagem matemática garante a identificação de padrões de ocorrência de diversos fenômenos no mundo circundante ou de operação de sistemas e dispositivos por meio de sua descrição matemática e modelagem sem a realização de testes em escala real. Neste caso, são utilizadas disposições e leis da matemática que descrevem fenômenos, sistemas ou dispositivos simulados em algum nível de sua idealização.

Modelo matemático (MM)é uma descrição formalizada de um sistema (ou operação) em alguma linguagem abstrata, por exemplo, na forma de um conjunto de relações matemáticas ou de um diagrama de algoritmo, ou seja, isto é, uma descrição matemática que fornece simulação da operação de sistemas ou dispositivos a um nível suficientemente próximo do seu comportamento real obtido durante testes em escala real de sistemas ou dispositivos.

Qualquer MM descreve um objeto, fenômeno ou processo real com algum grau de aproximação da realidade. O tipo de MM depende tanto da natureza do objeto real quanto dos objetivos do estudo.

Modelagem matemática fenômenos sociais, econômicos, biológicos e físicos, objetos, sistemas e vários dispositivos são um dos meios mais importantes de compreender a natureza e projetar uma ampla variedade de sistemas e dispositivos. São conhecidos exemplos do uso eficaz da modelagem na criação de tecnologias nucleares, sistemas de aviação e aeroespaciais, na previsão de fenômenos atmosféricos e oceânicos, meteorológicos, etc.

No entanto, essas áreas sérias de modelagem geralmente exigem supercomputadores e anos de trabalho de grandes equipes de cientistas para preparar dados para modelagem e sua depuração. No entanto, neste caso, a modelagem matemática de sistemas e dispositivos complexos não só economiza dinheiro em pesquisas e testes, mas também pode eliminar desastres ambientais - por exemplo, permite abandonar os testes de armas nucleares e termonucleares em favor de sua modelagem matemática. ou testes de sistemas aeroespaciais antes de seus vôos reais. Entre Portanto, a modelagem matemática ao nível da resolução de problemas mais simples, por exemplo, do campo da mecânica, engenharia elétrica, eletrônica, engenharia de rádio e muitas outras áreas da ciência e tecnologia tornou-se agora disponível para execução em PCs modernos. E ao utilizar modelos generalizados, torna-se possível simular sistemas bastante complexos, por exemplo, sistemas e redes de telecomunicações, radares ou sistemas de radionavegação.

O propósito da modelagem matemáticaé a análise de processos reais (na natureza ou tecnologia) utilizando métodos matemáticos. Por sua vez, isso requer a formalização do processo MM a ser estudado. O modelo pode ser uma expressão matemática contendo variáveis ​​cujo comportamento é semelhante ao comportamento de um sistema real. O modelo pode incluir elementos de aleatoriedade que levam em conta as probabilidades de possíveis ações de dois ou mais “jogadores”, como, por exemplo, nos jogos teóricos; ou pode representar variáveis ​​reais de partes interconectadas do sistema operacional.

A modelagem matemática para estudo das características dos sistemas pode ser dividida em analítica, simulação e combinada. Por sua vez, os MMs são divididos em simulação e analíticos.

Modelagem Analítica

Para modelagem analíticaÉ característico que os processos de funcionamento do sistema sejam escritos na forma de certas relações funcionais (equações algébricas, diferenciais, integrais). O modelo analítico pode ser estudado usando os seguintes métodos:

1) analíticos, quando buscam obter, de forma geral, dependências explícitas para as características dos sistemas;

2) numérica, quando não é possível encontrar uma solução para as equações de forma geral e elas são resolvidas para dados iniciais específicos;

3) qualitativa, quando na ausência de solução são encontradas algumas de suas propriedades.

Modelos analíticos só podem ser obtidos para sistemas relativamente simples. Para sistemas complexos, muitas vezes surgem grandes problemas matemáticos. Para aplicar o método analítico, recorrem a uma simplificação significativa do modelo original. No entanto, a pesquisa que utiliza um modelo simplificado ajuda a obter resultados apenas indicativos. Os modelos analíticos refletem matematicamente corretamente a relação entre variáveis ​​e parâmetros de entrada e saída. Mas a sua estrutura não reflete a estrutura interna do objeto.

Durante a modelagem analítica, seus resultados são apresentados na forma de expressões analíticas. Por exemplo, conectando R.C.- circuito para uma fonte de tensão constante E(R, C E E- componentes deste modelo), podemos criar uma expressão analítica para a dependência da tensão no tempo você(t) no capacitor C:

Esta equação diferencial linear (DE) é o modelo analítico deste circuito linear simples. Sua solução analítica, sob a condição inicial você(0) = 0, significando um capacitor descarregado C no início da modelagem, permite encontrar a dependência desejada - na forma de uma fórmula:

você(t) = E(1− exp(- t/RC)). (2)

Contudo, mesmo neste exemplo mais simples, são necessários certos esforços para resolver DE (1) ou para aplicar sistemas matemáticos de computador(SCM) com cálculos simbólicos – sistemas de álgebra computacional. Para este caso completamente trivial, resolver o problema de modelar uma linha linear R.C.-circuit fornece a expressão analítica (2) de uma forma bastante geral - é adequada para descrever a operação do circuito para quaisquer classificações de componentes R, C E E, e descreve a carga exponencial do capacitor C através de um resistor R de uma fonte de tensão constante E.

É claro que encontrar soluções analíticas durante a modelagem analítica acaba sendo extremamente valioso para identificar padrões teóricos gerais de circuitos, sistemas e dispositivos lineares simples.No entanto, sua complexidade aumenta acentuadamente à medida que as influências no modelo se tornam mais complexas e a ordem e o número de equações de estado que descrevem o aumento do objeto modelado. Você pode obter resultados mais ou menos visíveis ao modelar objetos de segunda ou terceira ordem, mas com uma ordem superior, as expressões analíticas tornam-se excessivamente complicadas, complexas e difíceis de compreender. Por exemplo, mesmo um amplificador eletrônico simples geralmente contém dezenas de componentes. No entanto, muitos SCMs modernos, por exemplo, sistemas de matemática simbólica Bordo, Matemática ou ambiente MATLAB, são capazes de automatizar amplamente a solução de problemas complexos de modelagem analítica.

Um tipo de modelagem é modelagem numérica, que consiste em obter os dados quantitativos necessários sobre o comportamento de sistemas ou dispositivos por qualquer método numérico adequado, como os métodos de Euler ou Runge-Kutta. Na prática, a modelagem de sistemas e dispositivos não lineares usando métodos numéricos revela-se muito mais eficaz do que a modelagem analítica de circuitos, sistemas ou dispositivos lineares privados individuais. Por exemplo, para resolver sistemas DE (1) ou DE em casos mais complexos, uma solução na forma analítica não pode ser obtida, mas usando dados de simulação numérica, dados bastante completos sobre o comportamento dos sistemas e dispositivos simulados também podem ser obtidos. como construir gráficos de dependências descrevendo esse comportamento.

Modelagem de simulação

No imitação 10e modelagem, o algoritmo que implementa o modelo reproduz o processo de funcionamento do sistema ao longo do tempo. Os fenômenos elementares que compõem o processo são simulados, preservando sua estrutura lógica e sequência de eventos ao longo do tempo.

A principal vantagem dos modelos de simulação em relação aos analíticos é a capacidade de resolver problemas mais complexos.

Os modelos de simulação facilitam a consideração da presença de elementos discretos ou contínuos, características não lineares, influências aleatórias, etc. Portanto, este método é amplamente utilizado na fase de projeto de sistemas complexos. O principal meio de implementação da modelagem de simulação é o computador, que permite a modelagem digital de sistemas e sinais.

A este respeito, vamos definir a frase “ modelagem computacional”, que é cada vez mais utilizado na literatura. Vamos supor que modelagem computacionalé modelagem matemática usando tecnologia de computador. Conseqüentemente, a tecnologia de modelagem computacional envolve a execução das seguintes ações:

1) determinar a finalidade da modelagem;

2) desenvolvimento de modelo conceitual;

3) formalização do modelo;

4) implementação do modelo em software;

5) planejamento de experimentos com modelos;

6) implementação do plano experimental;

7) análise e interpretação dos resultados da modelagem.

No modelagem de simulação o MM utilizado reproduz o algoritmo (“lógica”) de funcionamento do sistema em estudo ao longo do tempo para diversas combinações de valores dos parâmetros do sistema e do ambiente externo.

Um exemplo do modelo analítico mais simples é a equação do movimento retilíneo uniforme. Ao estudar tal processo usando um modelo de simulação, deve-se implementar a observação das mudanças no caminho percorrido ao longo do tempo. Obviamente, em alguns casos a modelagem analítica é mais preferível, em outros - simulação (ou uma combinação de ambas). Para fazer uma escolha bem-sucedida, você precisa responder a duas perguntas.

Qual é o propósito da modelagem?

Em que classe o fenômeno modelado pode ser classificado?

As respostas a ambas as perguntas podem ser obtidas durante as duas primeiras etapas da modelagem.

Os modelos de simulação não apenas em propriedades, mas também em estrutura correspondem ao objeto modelado. Neste caso, existe uma correspondência inequívoca e óbvia entre os processos obtidos no modelo e os processos que ocorrem no objeto. A desvantagem da simulação é que leva muito tempo para resolver o problema e obter uma boa precisão.

Os resultados da modelagem de simulação da operação de um sistema estocástico são realizações de variáveis ​​​​ou processos aleatórios. Portanto, para encontrar as características do sistema, são necessárias múltiplas repetições e posterior processamento de dados. Na maioria das vezes, neste caso, um tipo de simulação é usado - estatística

modelagem(ou método de Monte Carlo), ou seja, reprodução de fatores aleatórios, eventos, quantidades, processos, campos em modelos.

Com base nos resultados da modelagem estatística, são determinadas estimativas de critérios de qualidade probabilísticos, gerais e específicos, que caracterizam o funcionamento e a eficiência do sistema gerenciado. A modelagem estatística é amplamente utilizada para resolver problemas científicos e aplicados em diversos campos da ciência e tecnologia. Métodos de modelagem estatística são amplamente utilizados no estudo de sistemas dinâmicos complexos, avaliando seu funcionamento e eficiência.

A etapa final da modelagem estatística baseia-se no processamento matemático dos resultados obtidos. Aqui, são utilizados métodos de estatística matemática (estimativa paramétrica e não paramétrica, teste de hipóteses). Um exemplo de estimador paramétrico é a média amostral de uma medida de desempenho. Entre os métodos não paramétricos, difundidos método de histograma.

O esquema considerado é baseado em repetidos testes estatísticos do sistema e métodos de estatística de variáveis ​​​​aleatórias independentes.Este esquema nem sempre é natural na prática e ideal em termos de custos. A redução do tempo de teste do sistema pode ser alcançada através do uso de métodos de avaliação mais precisos. Como é sabido pelas estatísticas matemáticas, estimativas eficazes têm a maior precisão para um determinado tamanho de amostra. A filtragem ótima e o método de máxima verossimilhança fornecem um método geral para obter tais estimativas.Em problemas de modelagem estatística, o processamento de implementações de processos aleatórios é necessário não apenas para analisar processos de saída.

O controle das características das influências aleatórias de entrada também é muito importante. O controle consiste em verificar a conformidade das distribuições dos processos gerados com as distribuições fornecidas. Este problema é frequentemente formulado como problema de teste de hipótese.

A tendência geral na modelagem computacional de sistemas controlados complexos é o desejo de reduzir o tempo de modelagem, bem como realizar pesquisas em tempo real. É conveniente representar algoritmos computacionais de forma recorrente, permitindo sua implementação na taxa de recebimento da informação atual.

PRINCÍPIOS DE UMA ABORDAGEM DE SISTEMA NA MODELAGEM

Princípios básicos da teoria dos sistemas

Os princípios básicos da teoria de sistemas surgiram durante o estudo de sistemas dinâmicos e seus elementos funcionais. Um sistema é entendido como um grupo de elementos interligados que atuam em conjunto para realizar uma tarefa pré-determinada. A análise de sistemas permite-nos determinar as formas mais realistas de realizar uma determinada tarefa, garantindo a máxima satisfação dos requisitos declarados.

Os elementos que formam a base da teoria dos sistemas não são criados através de hipóteses, mas são descobertos experimentalmente. Para iniciar a construção de um sistema é necessário ter características gerais dos processos tecnológicos. O mesmo se aplica aos princípios de criação de critérios formulados matematicamente que um processo ou sua descrição teórica deve satisfazer. A modelagem é um dos métodos mais importantes de pesquisa e experimentação científica.

Na construção de modelos de objetos, utiliza-se uma abordagem sistêmica, que é uma metodologia de resolução de problemas complexos, que se baseia na consideração do objeto como um sistema operando em um determinado ambiente. Uma abordagem sistemática envolve revelar a integridade de um objeto, identificando e estudando sua estrutura interna, bem como as conexões com o ambiente externo. Neste caso, o objeto é apresentado como parte do mundo real, que é isolado e estudado em conexão com o problema de construção de um modelo. Além disso, a abordagem sistêmica envolve uma transição consistente do geral para o específico, quando o objetivo do projeto é a base da consideração e o objeto é considerado em relação ao meio ambiente.

Um objeto complexo pode ser dividido em subsistemas, que são partes do objeto que atendem aos seguintes requisitos:

1) um subsistema é uma parte funcionalmente independente de um objeto. Está conectado com outros subsistemas, troca informações e energia com eles;

2) para cada subsistema podem ser definidas funções ou propriedades que não coincidem com as propriedades de todo o sistema;

3) cada um dos subsistemas pode ser submetido a divisões adicionais ao nível dos elementos.

Neste caso, um elemento é entendido como um subsistema de nível inferior, cuja divisão posterior é inadequada do ponto de vista do problema a ser resolvido.

Assim, um sistema pode ser definido como a representação de um objeto na forma de um conjunto de subsistemas, elementos e conexões para fins de sua criação, pesquisa ou aprimoramento. Nesse caso, uma representação ampliada do sistema, incluindo os principais subsistemas e as conexões entre eles, é chamada de macroestrutura, e uma divulgação detalhada da estrutura interna do sistema até o nível dos elementos é chamada de microestrutura.

Junto com o sistema, geralmente existe um supersistema - um sistema de nível superior, que inclui o objeto em questão, e a função de qualquer sistema só pode ser determinada através do supersistema.

É necessário destacar o conceito de ambiente como um conjunto de objetos do mundo externo que influenciam significativamente a eficiência do sistema, mas não fazem parte do sistema e de seu supersistema.

Em conexão com a abordagem sistêmica para a construção de modelos, é utilizado o conceito de infraestrutura, que descreve a relação do sistema com seu ambiente (meio ambiente) Neste caso, a identificação, descrição e estudo das propriedades de um objeto que são essenciais dentro da estrutura de uma tarefa específica é chamada de estratificação do objeto, e qualquer modelo do objeto é sua descrição estratificada.

Para uma abordagem sistêmica, é importante determinar a estrutura do sistema, ou seja, um conjunto de conexões entre elementos do sistema, refletindo sua interação. Para fazer isso, primeiro consideramos as abordagens estruturais e funcionais da modelagem.

Com uma abordagem estrutural, são reveladas a composição dos elementos selecionados do sistema e as conexões entre eles. O conjunto de elementos e conexões permite julgar a estrutura do sistema. A descrição mais geral de uma estrutura é uma descrição topológica. Ele permite determinar os componentes do sistema e suas conexões por meio de gráficos. Menos geral é a descrição funcional, quando são consideradas funções individuais, ou seja, algoritmos para o comportamento do sistema. Neste caso, é implementada uma abordagem funcional que define as funções que o sistema executa.

Com base na abordagem sistêmica, pode-se propor uma sequência de desenvolvimento de modelos, onde se distinguem duas etapas principais de projeto: macrodesign e microdesign.

Na fase de macrodesenho, é construído um modelo do ambiente externo, são identificados recursos e limitações, são selecionados um modelo de sistema e critérios para avaliar a adequação.

A fase de microprojeto depende em grande parte do tipo específico de modelo escolhido. Em geral, envolve a criação de sistemas de informação, matemáticos, técnicos e de modelagem de software. Nesta fase, são estabelecidas as principais características técnicas do modelo criado, estimado o tempo necessário para trabalhar com o mesmo e o custo dos recursos para obter a qualidade especificada do modelo.

Independentemente do tipo de modelo, ao construí-lo é necessário guiar-se por uma série de princípios de uma abordagem sistemática:

1) progressão consistente através dos estágios de criação de um modelo;

2) coordenação de informações, recursos, confiabilidade e outras características;

3) a correta relação entre os diferentes níveis de construção do modelo;

4) a integridade das etapas individuais do projeto do modelo.

O conceito de modelo e simulação.

Modelo em sentido amplo- é qualquer imagem, análogo mental ou imagem estabelecida, descrição, diagrama, desenho, mapa, etc. de qualquer volume, processo ou fenômeno, utilizado como seu substituto ou representante. O próprio objeto, processo ou fenômeno é denominado original deste modelo.

Modelagem - este é o estudo de qualquer objeto ou sistema de objetos através da construção e estudo de seus modelos. É o uso de modelos para determinar ou esclarecer características e racionalizar métodos de construção de objetos recém-construídos.

Qualquer método de pesquisa científica é baseado na ideia de modelagem, enquanto os métodos teóricos usam vários tipos de modelos simbólicos e abstratos, e os métodos experimentais usam modelos de assuntos.

Durante a pesquisa, um fenômeno real complexo é substituído por alguma cópia ou diagrama simplificado; às vezes, essa cópia serve apenas para lembrar e reconhecer o fenômeno desejado no próximo encontro. Às vezes, o diagrama construído reflete algumas características essenciais, permite compreender o mecanismo de um fenômeno e permite prever sua mudança. Diferentes modelos podem corresponder ao mesmo fenômeno.

A tarefa do pesquisador é prever a natureza do fenômeno e o curso do processo.

Às vezes acontece que um objeto está disponível, mas os experimentos com ele são caros ou levam a graves consequências ambientais. O conhecimento sobre tais processos é obtido por meio de modelos.

Um ponto importante é que a própria natureza da ciência envolve o estudo não de um fenômeno específico, mas de uma ampla classe de fenômenos relacionados. Pressupõe a necessidade de formular algumas afirmações categóricas gerais, que são chamadas de leis. Naturalmente, com tal formulação muitos detalhes são negligenciados. Para identificar um padrão com mais clareza, eles optam conscientemente pelo grosseiro, pela idealização e pelo esboço, ou seja, estudam não o fenômeno em si, mas uma cópia ou modelo mais ou menos preciso dele. Todas as leis são leis sobre modelos e, portanto, não é surpreendente que, com o tempo, algumas teorias científicas sejam reconhecidas como inadequadas. Isto não leva ao colapso da ciência, uma vez que um modelo foi substituído por outro mais moderno.

Um papel especial na ciência é desempenhado por modelos matemáticos, materiais de construção e ferramentas para esses modelos - conceitos matemáticos. Eles se acumularam e melhoraram ao longo de milhares de anos. A matemática moderna fornece meios de pesquisa extremamente poderosos e universais. Quase todo conceito em matemática, todo objeto matemático, começando pelo conceito de número, é um modelo matemático. Na construção de um modelo matemático do objeto ou fenômeno em estudo, são identificadas aquelas de suas características, características e detalhes que, por um lado, contêm informações mais ou menos completas sobre o objeto e, por outro, permitem a formalização matemática. A formalização matemática significa que as características e detalhes de um objeto podem ser associados a conceitos matemáticos adequados: números, funções, matrizes e assim por diante. Então as conexões e relações descobertas e assumidas no objeto em estudo entre suas partes e componentes individuais podem ser escritas usando relações matemáticas: igualdades, desigualdades, equações. O resultado é uma descrição matemática do processo ou fenômeno em estudo, ou seja, seu modelo matemático.

O estudo de um modelo matemático está sempre associado a certas regras de atuação sobre os objetos em estudo. Essas regras refletem as relações entre causas e efeitos.

Construir um modelo matemático é a etapa central da pesquisa ou projeto de qualquer sistema. Todas as análises subsequentes do objeto dependem da qualidade do modelo. Construir um modelo não é um procedimento formal. Depende fortemente do pesquisador, de sua experiência e gosto, e é sempre baseado em determinado material experimental. O modelo deve ser suficientemente preciso, adequado e conveniente de usar.

Modelagem matemática.

Classificação de modelos matemáticos.

Modelos matemáticos podem serdeterminístico E estocástico .

Determinado modelo e são modelos nos quais uma correspondência biunívoca é estabelecida entre variáveis ​​que descrevem um objeto ou fenômeno.

Esta abordagem é baseada no conhecimento do mecanismo de funcionamento dos objetos. Freqüentemente, o objeto que está sendo modelado é complexo e decifrar seu mecanismo pode ser muito trabalhoso e demorado. Neste caso, procedem da seguinte forma: realizam experimentos sobre o original, processam os resultados obtidos e, sem se aprofundar no mecanismo e na teoria do objeto modelado utilizando os métodos da estatística matemática e da teoria das probabilidades, estabelecem conexões entre as variáveis ​​​​que descrevem o objeto. Neste caso você obtémestocástico modelo . EM estocástico modelo, a relação entre as variáveis ​​é aleatória, às vezes é fundamental. A influência de um grande número de fatores, sua combinação leva a um conjunto aleatório de variáveis ​​que descrevem um objeto ou fenômeno. De acordo com a natureza dos modos, o modelo éestatística E dinâmico.

Estatísticamodeloinclui uma descrição das relações entre as principais variáveis ​​​​do objeto modelado em estado estacionário, sem levar em conta as mudanças nos parâmetros ao longo do tempo.

EM dinâmicomodelossão descritas as relações entre as principais variáveis ​​​​do objeto modelado durante a transição de um modo para outro.

Existem modelos discreto E contínuo, e misturado tipo. EM contínuo variáveis ​​assumem valores de um determinado intervalo, emdiscretovariáveis ​​assumem valores isolados.

Modelos lineares- todas as funções e relações que descrevem o modelo linearmente dependem das variáveis ​​enão linearde outra forma.

Modelagem matemática.

Requisitos ,p apresentado aos modelos.

1. Versatilidade- caracteriza a completude da representação do modelo das propriedades estudadas de um objeto real.

1. Adequação é a capacidade de refletir as propriedades desejadas de um objeto com um erro não superior ao dado.
2. A precisão é avaliada pelo grau de concordância entre os valores das características de um objeto real e os valores dessas características obtidos por meio de modelos.
3. Econômico - determinado pelo gasto de recursos de memória do computador e pelo tempo para sua implementação e operação.

Modelagem matemática.

Principais etapas da modelagem.

1. Declaração do problema.

Determinar o objetivo da análise e a forma de alcançá-lo e desenvolver uma abordagem geral do problema em estudo. Nesta fase, é necessária uma compreensão profunda da essência da tarefa. Às vezes, definir um problema corretamente não é menos difícil do que resolvê-lo. A preparação não é um processo formal; não existem regras gerais.

2. Estudar os fundamentos teóricos e recolher informação sobre o objeto original.

Nesta fase, uma teoria adequada é selecionada ou desenvolvida. Caso contrário, são estabelecidas relações de causa e efeito entre as variáveis ​​​​que descrevem o objeto. Os dados de entrada e saída são determinados e são feitas suposições simplificadoras.

3. Formalização.

Consiste em escolher um sistema de símbolos e utilizá-los para escrever as relações entre os componentes de um objeto na forma de expressões matemáticas. É estabelecida a classe de problemas aos quais o modelo matemático resultante do objeto pode ser classificado. Os valores de alguns parâmetros podem ainda não estar especificados nesta fase.

4. Escolha de um método de solução.

Nesta fase, são estabelecidos os parâmetros finais dos modelos tendo em conta as condições de funcionamento do objeto. Para o problema matemático resultante, um método de solução é selecionado ou um método especial é desenvolvido. Na escolha de um método, são levados em consideração o conhecimento do usuário, suas preferências e as preferências do desenvolvedor.

5. Implementação do modelo.

Depois de desenvolvido um algoritmo, é escrito um programa, que é depurado, testado e obtida uma solução para o problema desejado.

6. Análise das informações recebidas.

As soluções obtidas e esperadas são comparadas e o erro de modelagem é monitorado.

7. Verificação da adequação do objeto real.

Os resultados obtidos do modelo são comparadosseja com as informações disponíveis sobre o objeto, ou é realizado um experimento e seus resultados são comparados com os calculados.

O processo de modelagem é iterativo. Em caso de resultados insatisfatórios das etapas 6. ou 7. é feito um retorno a uma das fases anteriores, o que poderia ter levado ao desenvolvimento de um modelo mal sucedido. Esta etapa e todas as subsequentes são refinadas e tal refinamento do modelo ocorre até que resultados aceitáveis ​​sejam obtidos.

Um modelo matemático é uma descrição aproximada de qualquer classe de fenômenos ou objetos do mundo real na linguagem da matemática. O principal objetivo da modelagem é explorar esses objetos e prever os resultados de observações futuras. Porém, a modelagem também é um método de compreensão do mundo que nos rodeia, possibilitando controlá-lo.

A modelagem matemática e o experimento computacional associado são indispensáveis ​​nos casos em que um experimento em grande escala é impossível ou difícil por um motivo ou outro. Por exemplo, é impossível realizar um experimento natural na história para verificar “o que teria acontecido se...” É impossível verificar a exatidão de uma ou outra teoria cosmológica. É possível, mas pouco provável que seja razoável, fazer experiências com a propagação de uma doença, como a peste, ou realizar uma explosão nuclear para estudar as suas consequências. No entanto, tudo isso pode ser feito em um computador, construindo primeiro modelos matemáticos dos fenômenos em estudo.

1.1.2 2. Principais etapas da modelagem matemática

1) Construção de modelo. Nesta fase, é especificado algum objeto “não matemático” - um fenômeno natural, projeto, plano econômico, processo de produção, etc. Primeiramente, são identificadas as principais características do fenômeno e as conexões entre elas em nível qualitativo. Em seguida, as dependências qualitativas encontradas são formuladas na linguagem da matemática, ou seja, é construído um modelo matemático. Esta é a etapa mais difícil da modelagem.

2) Resolver o problema matemático ao qual o modelo leva. Nesta fase, muita atenção é dada ao desenvolvimento de algoritmos e métodos numéricos para resolver o problema em um computador, com a ajuda dos quais o resultado pode ser encontrado com a precisão necessária e em um tempo aceitável.

3) Interpretação das consequências obtidas a partir do modelo matemático.As consequências derivadas do modelo na linguagem da matemática são interpretadas na linguagem aceita na área.

4) Verificação da adequação do modelo.Nesta fase, é determinado se os resultados experimentais concordam com as consequências teóricas do modelo dentro de uma certa precisão.

5) Modificação do modelo.Nesta fase, ou o modelo é complicado para ficar mais adequado à realidade, ou é simplificado para se chegar a uma solução praticamente aceitável.

1.1.3 3. Classificação do modelo

Os modelos podem ser classificados de acordo com diferentes critérios. Por exemplo, de acordo com a natureza dos problemas a serem resolvidos, os modelos podem ser divididos em funcionais e estruturais. No primeiro caso, todas as quantidades que caracterizam um fenômeno ou objeto são expressas quantitativamente. Além disso, algumas delas são consideradas variáveis ​​independentes, enquanto outras são consideradas funções dessas quantidades. Um modelo matemático é geralmente um sistema de equações de vários tipos (diferenciais, algébricas, etc.) que estabelecem relações quantitativas entre as quantidades consideradas. No segundo caso, o modelo caracteriza a estrutura de um objeto complexo constituído por partes individuais, entre as quais existem certas conexões. Normalmente, essas conexões não são quantificáveis. Para construir tais modelos, é conveniente usar a teoria dos grafos. Um gráfico é um objeto matemático que representa um conjunto de pontos (vértices) em um plano ou no espaço, alguns dos quais estão conectados por linhas (arestas).

Com base na natureza dos dados e resultados iniciais, os modelos de previsão podem ser divididos em determinísticos e estatísticos probabilísticos. Os modelos do primeiro tipo fazem previsões certas e inequívocas. Os modelos do segundo tipo baseiam-se em informações estatísticas e as previsões obtidas com a sua ajuda são de natureza probabilística.

MODELAGEM MATEMÁTICA E MODELOS GERAIS DE INFORMÁTICA OU SIMULAÇÃO

Agora, quando ocorre uma informatização quase universal no país, ouvimos declarações de especialistas de diversas profissões: “Se introduzirmos um computador, todos os problemas serão resolvidos imediatamente”. Este ponto de vista é completamente incorreto: os próprios computadores, sem modelos matemáticos de certos processos, não poderão fazer nada, e só podemos sonhar com a informatização universal.

Em apoio ao exposto, tentaremos justificar a necessidade da modelagem, incluindo a modelagem matemática, revelaremos suas vantagens na cognição humana e na transformação do mundo externo, identificaremos as deficiências existentes e passaremos... para a modelagem de simulação, ou seja modelagem usando um computador. Mas está tudo em ordem.

Antes de mais nada, vamos responder à pergunta: o que é um modelo?

Um modelo é um objeto material ou representado mentalmente, que no processo de cognição (estudo) substitui o original, preservando algumas propriedades típicas que são importantes para este estudo.

Um modelo bem construído é mais acessível para pesquisa do que um objeto real. Por exemplo, experiências com a economia do país para fins educacionais são inaceitáveis; um modelo é indispensável.

Resumindo o que foi dito, podemos responder à pergunta: para que servem os modelos? A fim de

• compreender como funciona um objeto (sua estrutura, propriedades, leis de desenvolvimento, interação com o mundo exterior).
• aprender a gerenciar um objeto (processo) e determinar as melhores estratégias
• prever as consequências do impacto no objeto.

O que há de positivo em qualquer modelo? Permite adquirir novos conhecimentos sobre o objeto, mas, infelizmente, é incompleto em um grau ou outro.

Modeloformulado na linguagem da matemática usando métodos matemáticos é chamado de modelo matemático.

O ponto de partida para a sua construção costuma ser algum problema, por exemplo económico. Tanto as matemáticas descritivas quanto as de otimização são bastante difundidas, caracterizando diversas processos econômicos e fenômenos, por exemplo:

• Alocação de recursos
• corte racional
• transporte
• consolidação de empresas
• planejamento de rede.

Como um modelo matemático é construído?

• Em primeiro lugar, são formulados o objetivo e o tema do estudo.
• Em segundo lugar, são destacadas as características mais importantes que correspondem a este objetivo.
• Em terceiro lugar, as relações entre os elementos do modelo são descritas verbalmente.
• Em seguida, o relacionamento é formalizado.
• E é feito um cálculo a partir de um modelo matemático e a solução resultante é analisada.

Usando este algoritmo, você pode resolver qualquer problema de otimização, incluindo multicritério, ou seja, aquele em que não se persegue um, mas vários objetivos, inclusive contraditórios.

Vamos dar um exemplo. Teoria das filas - o problema das filas. É necessário equilibrar dois fatores – o custo de manutenção dos dispositivos de serviço e o custo de permanência na linha. Construída uma descrição formal do modelo, os cálculos são feitos utilizando métodos analíticos e computacionais. Se o modelo for bom, então as respostas encontradas com sua ajuda são adequadas ao sistema de modelagem; se for ruim, então deve ser melhorado e substituído. O critério de adequação é a prática.

Os modelos de otimização, inclusive os multicritério, têm uma propriedade comum - é conhecido um objetivo (ou vários objetivos), para alcançá-lo muitas vezes é preciso lidar com sistemas complexos, onde não se trata tanto de resolver problemas de otimização, mas de estudar e prever estados dependendo das estratégias de gestão selecionadas. E aqui nos deparamos com as dificuldades de implementação do plano anterior. Eles são os seguintes:

• um sistema complexo contém muitas conexões entre elementos
• um sistema real é influenciado por fatores aleatórios, levá-los em consideração analiticamente é impossível
• a possibilidade de comparar o original com o modelo existe apenas no início e após a utilização do aparato matemático, pois resultados intermediários podem não ter análogos no sistema real.

Em conexão com as dificuldades listadas que surgem no estudo de sistemas complexos, a prática exigia um método mais flexível, e surgiu - “Modelagem de simulação”.

Normalmente, um modelo de simulação é entendido como um conjunto de programas de computador que descreve o funcionamento dos blocos individuais do sistema e as regras de interação entre eles. A utilização de variáveis ​​​​aleatórias torna necessária a realização de experimentos repetidos com sistema de simulação (em computador) e posterior análise estatística dos resultados obtidos. Um exemplo muito comum de utilização de modelos de simulação é a resolução do problema de filas utilizando o método MONTE CARLO.

Assim, trabalhar com um sistema de simulação é um experimento realizado em um computador. Quais são as vantagens?

– Maior proximidade com o sistema real do que modelos matemáticos;

–O princípio do bloco permite verificar cada bloco antes da sua inclusão no sistema global;

–O uso de dependências de natureza mais complexa que não podem ser descritas por simples relações matemáticas.

As vantagens listadas determinam as desvantagens

– construir um modelo de simulação demora mais tempo, é mais difícil e mais caro;

– para trabalhar com o sistema de simulação é necessário ter um computador adequado à aula;

– a interação entre o usuário e o modelo de simulação (interface) não deve ser muito complexa, conveniente e bem conhecida;

-construir um modelo de simulação requer um estudo mais aprofundado do processo real do que a modelagem matemática.

Surge a questão: a modelagem de simulação pode substituir os métodos de otimização? Não, mas os complementa convenientemente. Um modelo de simulação é um programa que implementa um determinado algoritmo, para otimizar o controle do qual um problema de otimização é primeiro resolvido.

Assim, nem um computador, nem um modelo matemático, nem um algoritmo para o seu estudo por si só podem resolver um problema suficientemente complexo. Mas juntos representam a força que nos permite compreender o mundo que nos rodeia e geri-lo no interesse do homem.

1.2 Classificação do modelo

1.2.1 Classificação levando em consideração o fator tempo e área de utilização (Makarova N.A.) Modelo estático -é como um instantâneo único de informações sobre um objeto (o resultado de uma pesquisa) Dinâmico modelo permite ver mudanças em um objeto ao longo do tempo (Cartão na clínica) Os modelos também podem ser classificados de acordo com a que área do conhecimento pertencem?(biológico, histórico, ambiental, etc.) Retornar ao topo

1.2.2 Classificação por área de uso (Makarova N.A.) Educacional- visual manuais, simuladores ah, uivantes programas Com experiência modelos reduzidos cópias (carro em túnel de vento) Científico e técnico sincrofasotron, significa testar equipamentos eletrônicos Jogos- econômico, esportes, jogos de negócios Imitação- Não Eles simplesmente refletem a realidade, mas a imitam (medicamentos são testados em ratos, experimentos são realizados em escolas, etc. Este método de modelagem é chamado tentativa e erro Retornar ao topo

1.2.3 Classificação de acordo com o método de apresentação Makarov N.A.) Material modelos- de outra forma pode ser chamado de sujeito. Eles percebem as propriedades geométricas e físicas do original e sempre têm uma encarnação real Informação modelos não são permitidos toque ou veja. Eles são baseados apenas em informações .E informativo modelo é um conjunto de informações que caracteriza as propriedades e estados de um objeto, processo, fenômeno, bem como a relação com o mundo exterior. Modelo verbal - modelo de informação em forma mental ou falada. Icônico informações do modelo modelo expresso por sinais , ou seja. por meio de qualquer linguagem formal. Modelo de computador - eu Um modelo implementado por meio de um ambiente de software.

1.2.4 Classificação dos modelos dada no livro "Earth Informatics" (Gein A.G.)) "...aqui está uma tarefa aparentemente simples: quanto tempo levará para cruzar o deserto de Karakum? A resposta é claro depende do modo de viagem. Se viajar camelos, então levará um período, outro se for de carro, um terceiro se for de avião. E o mais importante: são necessários modelos diferentes para planejar uma viagem. Para o primeiro caso, o modelo desejado pode ser encontrado nas memórias de famosos exploradores do deserto: afinal, não se pode prescindir de informações sobre oásis e trilhas de camelos. No segundo caso, a informação contida no atlas rodoviário é insubstituível. No terceiro, você pode usar o horário do voo. Esses três modelos diferem - memórias, atlas e cronograma - e a natureza da apresentação das informações. No primeiro caso, o modelo é representado por uma descrição verbal da informação (modelo descritivo), no segundo - como se fosse uma fotografia da vida (modelo em escala real), na terceira - uma tabela contendo símbolos: horários de saída e chegada, dia da semana, preço do bilhete (o chamado modelo de sinal) No entanto, esta divisão é muito arbitrária - nas memórias você pode encontrar mapas e diagramas (elementos de um modelo em escala real), nos mapas existem símbolos (elementos de um modelo simbólico), no gráfico há uma decodificação de símbolos (elementos de um modelo descritivo). Então essa classificação de modelos... na nossa opinião, é improdutiva" Na minha opinião, este fragmento demonstra o estilo de ensino descritivo (linguagem e estilo de apresentação maravilhosos) e, por assim dizer, socrático, comum a todos os livros de Hein (Todo mundo pensa que é assim. Concordo plenamente com você, mas se você olhar com atenção...). Nesses livros é bastante difícil encontrar um sistema claro de definições (não é pretendido pelo autor). No livro editado por N.A. Makarova demonstra uma abordagem diferente - as definições de conceitos são claramente destacadas e um tanto estáticas.

1.2.5 Classificação dos modelos fornecida no manual de A. I. Bochkin Há um número incomumente grande de métodos de classificação .P trazer apenas alguns dos motivos mais conhecidos e sinais: discrição E continuidade, matriz e modelos escalares, modelos estáticos e dinâmicos, modelos analíticos e de informação, modelos de sujeito e de signos figurativos, de grande escala e de não escala... Cada sinal dá um certo conhecimento sobre as propriedades do modelo e da realidade simulada. O sinal pode servir como uma dica sobre o método de modelagem concluída ou futura. Discrição e continuidade Discrição - uma característica dos modelos de computador .Afinal um computador pode estar em um número finito, embora muito grande, de estados. Portanto, mesmo que o objeto seja contínuo (tempo), no modelo ele mudará em saltos. Poderia ser considerado continuidade um sinal de modelos que não são do tipo computador. Chance e determinismo . Incerteza, acidente inicialmente se opõe ao mundo da informática: o algoritmo reiniciado deve ser repetido e dar os mesmos resultados. Mas para simular processos aleatórios, são usados ​​sensores de números pseudoaleatórios. A introdução da aleatoriedade em problemas determinísticos leva a modelos poderosos e interessantes (cálculo de área por lançamento aleatório). Matricidade - escalaridade. Disponibilidade de parâmetros matriz modelo indica sua maior complexidade e, possivelmente, precisão em comparação com escalar. Por exemplo, se não identificarmos todas as faixas etárias da população do país, considerando a sua variação como um todo, obteremos um modelo escalar (por exemplo, o modelo de Malthus); se o isolarmos, obteremos uma matriz (sexo -idade) modelo. Foi o modelo matricial que permitiu explicar as flutuações da fertilidade após a guerra. Dinâmica estática. Estas propriedades do modelo são geralmente predeterminadas pelas propriedades do objeto real. Não há liberdade de escolha aqui. Apenas estático o modelo pode ser um passo em direção dinâmico, ou algumas das variáveis ​​do modelo podem ser consideradas inalteradas por enquanto. Por exemplo, um satélite se move ao redor da Terra, seu movimento é influenciado pela Lua. Se considerarmos a Lua estacionária durante a revolução do satélite, obtemos um modelo mais simples. Modelos analíticos. Descrição dos processos analiticamente, fórmulas e equações. Mas ao tentar construir um gráfico, é mais conveniente ter tabelas de valores e argumentos de funções. Modelos de simulação. Imitação os modelos surgiram há muito tempo na forma de cópias em escala de navios, pontes, etc. surgiram há muito tempo, mas estão sendo considerados recentemente em conexão com computadores. Saber o quão conectado elementos do modelo de forma analítica e lógica, é mais fácil não resolver um sistema de certas relações e equações, mas exibir o sistema real na memória do computador, levando em consideração as conexões entre os elementos da memória. Modelos de informação. Informação Os modelos são geralmente contrastados com os matemáticos, ou melhor, com os algorítmicos. A proporção entre volumes de dados e algoritmos é importante aqui. Se houver mais dados ou forem mais importantes, temos um modelo de informação, caso contrário - matemático. Modelos de assunto. Este é principalmente um modelo infantil - um brinquedo. Modelos icônicos. Este é principalmente um modelo na mente humana: figurativo, se predominarem imagens gráficas, e icônico, se houver mais palavras e/ou números. Os modelos de signos figurativos são construídos em um computador. Modelos em escala. PARA em grande escala modelos são aqueles de modelos sujeitos ou figurativos que repetem a forma de um objeto (mapa).

Para construir um modelo matemático você precisa:

1. analise cuidadosamente um objeto ou processo real;
2. destacar suas características e propriedades mais significativas;
3. definir variáveis, ou seja, parâmetros cujos valores afetam as principais características e propriedades do objeto;
4. descrever a dependência das propriedades básicas de um objeto, processo ou sistema dos valores das variáveis ​​​​usando relações lógico-matemáticas (equações, igualdades, desigualdades, construções lógico-matemáticas);
5. destacar as conexões internas de um objeto, processo ou sistema por meio de restrições, equações, igualdades, desigualdades, construções lógicas e matemáticas;
6. identificar conexões externas e descrevê-las por meio de restrições, equações, igualdades, desigualdades, construções lógicas e matemáticas.

A modelagem matemática, além de estudar um objeto, processo ou sistema e traçar uma descrição matemática do mesmo, inclui também:

1. construir um algoritmo que modele o comportamento de um objeto, processo ou sistema;
2. verificar a adequação do modelo e do objeto, processo ou sistema com base em experimentos computacionais e em escala real;
3. ajuste de modelo;
4. usando o modelo.

A descrição matemática dos processos e sistemas em estudo depende de:

1. a natureza de um processo ou sistema real e é compilado com base nas leis da física, química, mecânica, termodinâmica, hidrodinâmica, engenharia elétrica, teoria da plasticidade, teoria da elasticidade, etc.
2. a confiabilidade e precisão exigidas no estudo e pesquisa de processos e sistemas reais.

A construção de um modelo matemático geralmente começa com a construção e análise do modelo matemático mais simples e rudimentar do objeto, processo ou sistema em consideração. Futuramente, se necessário, o modelo é refinado e sua correspondência com o objeto torna-se mais completa.

Vejamos um exemplo simples. É necessário determinar a área da superfície da mesa. Normalmente, isso é feito medindo seu comprimento e largura e multiplicando os números resultantes. Este procedimento elementar na verdade significa o seguinte: um objeto real (superfície de mesa) é substituído por um modelo matemático abstrato - um retângulo. As dimensões obtidas medindo o comprimento e a largura da superfície da mesa são atribuídas ao retângulo, e a área de tal retângulo é considerada aproximadamente a área necessária da mesa. No entanto, o modelo retangular para uma mesa é o modelo mais simples e rudimentar. Se você abordar o problema de forma mais séria, antes de usar um modelo retangular para determinar a área da mesa, esse modelo precisa ser verificado. As verificações podem ser realizadas da seguinte forma: medir os comprimentos dos lados opostos da mesa, bem como os comprimentos das suas diagonais e compará-los entre si. Se, com o grau de precisão exigido, os comprimentos dos lados opostos e os comprimentos das diagonais forem iguais aos pares, então a superfície da mesa pode realmente ser considerada um retângulo. Caso contrário, o modelo retangular terá que ser rejeitado e substituído por um modelo quadrilátero geral. Com uma maior exigência de precisão, pode ser necessário refinar ainda mais o modelo, por exemplo, para levar em conta o arredondamento dos cantos da mesa.

Usando este exemplo simples, foi demonstrado que o modelo matemático não é determinado exclusivamente pelo objeto, processo ou sistema.

OU (a ser esclarecido amanhã)

Maneiras de resolver matemática. Modelos:

1, Construção de um modelo baseado nas leis da natureza (método analítico)

2. A forma formal utilizando métodos estatísticos. Resultados de processamento e medição (abordagem estatística)

3. Construção de um modelo baseado em um modelo de elementos (sistemas complexos)

1, Analítico – uso com estudo suficiente. O padrão geral é conhecido. Modelos.

2. experimente. Na ausência de informação.

3. Imitação m- explora as propriedades do objeto. Geralmente.

Um exemplo de construção de um modelo matemático.

Modelo matemáticoé uma representação matemática da realidade.

Modelagem matemáticaé o processo de construção e estudo de modelos matemáticos.

Todas as ciências naturais e sociais que utilizam a matemática estão essencialmente envolvidas na modelagem matemática: substituem um objeto pelo seu modelo matemático e depois estudam este último. A ligação entre um modelo matemático e a realidade é feita por meio de uma cadeia de hipóteses, idealizações e simplificações. Usando métodos matemáticos, via de regra, é descrito um objeto ideal construído na fase de modelagem significativa.

Por que os modelos são necessários?

Muitas vezes, ao estudar qualquer objeto, surgem dificuldades. O original em si às vezes não está disponível, ou seu uso não é aconselhável, ou atrair o original é caro. Todos esses problemas podem ser resolvidos por meio de simulação. Em certo sentido, um modelo pode substituir o objeto em estudo.

Os exemplos mais simples de modelos

§ Uma fotografia pode ser chamada de modelo de pessoa. Para reconhecer uma pessoa, basta ver a sua fotografia.

§ O arquiteto criou uma maquete de uma nova área residencial. Ele pode mover um prédio alto de uma parte para outra com um movimento da mão. Na realidade isso não seria possível.

Tipos de modelo

Os modelos podem ser divididos em material" E perfeito. os exemplos acima são modelos de materiais. Os modelos ideais geralmente têm formas icônicas. Os conceitos reais são substituídos por alguns sinais, que podem ser facilmente registrados no papel, na memória do computador, etc.

Modelagem matemática

A modelagem matemática pertence à classe da modelagem simbólica. Além disso, os modelos podem ser criados a partir de quaisquer objetos matemáticos: números, funções, equações, etc.

Construindo um modelo matemático

§ Podem ser observadas várias etapas na construção de um modelo matemático:

1. Compreender o problema, identificando as qualidades, propriedades, quantidades e parâmetros mais importantes para nós.

2. Introdução à notação.

3. Elaborar um sistema de restrições que os valores inseridos devem satisfazer.

4. Formulação e registro das condições que devem ser satisfeitas pela solução ótima desejada.

O processo de modelagem não termina com a criação de um modelo, mas apenas começa com ele. Depois de compilar um modelo, eles escolhem um método para encontrar a resposta e resolver o problema. depois que a resposta é encontrada, ela é comparada com a realidade. E é possível que a resposta não seja satisfatória, caso em que o modelo seja modificado ou mesmo escolhido um modelo completamente diferente.

Exemplo de um modelo matemático

Tarefa

A associação produtiva, que inclui duas fábricas de móveis, precisa atualizar seu parque de máquinas. Além disso, a primeira fábrica de móveis precisa substituir três máquinas e a segunda, sete. Os pedidos podem ser feitos em duas fábricas de máquinas-ferramenta. A primeira fábrica não pode produzir mais de 6 máquinas, e a segunda fábrica aceitará um pedido se houver pelo menos três delas. Você precisa determinar como fazer pedidos.

Exemplo 1.5.1.

Deixe que uma determinada região económica produza vários (n) tipos de produtos exclusivamente por conta própria e apenas para a população desta região. Supõe-se que o processo tecnológico tenha sido elaborado e a demanda da população por esses bens tenha sido estudada. É necessário determinar o volume anual de produção do produto, levando em consideração que esse volume deve atender tanto ao consumo final quanto ao industrial.

Vamos criar um modelo matemático deste problema. De acordo com as suas condições, são indicados: tipos de produtos, procura dos mesmos e processo tecnológico; você precisa encontrar o volume de produção de cada tipo de produto.

Vamos denotar as quantidades conhecidas:

c eu– demanda da população por eu o produto ( eu=1,...,n); a eu j- quantidade eu o produto necessário para produzir uma unidade do j produto usando uma determinada tecnologia ( eu=1,...,n ; j=1,...,n);

X eu – volume de saída eu-º produto ( eu=1,...,n); totalidade Com =(c 1 ,..., c n ) chamado de vetor de demanda, números a eu j– coeficientes tecnológicos, e a totalidade X =(X 1 ,..., X n ) – vetor de liberação.

De acordo com as condições do problema, o vetor X distribuído em duas partes: para consumo final (vetor Com ) e para reprodução (vetor x-s ). Vamos calcular essa parte do vetor X que entra em reprodução. De acordo com nossas designações para produção X j quantidade do j-ésimo produto fornecido a eu j · X j quantidades eu-º produto.

Então a quantia a e1 · X 1 +...+ a em · X n mostra esse valor eu-º produto, que é necessário para todo o lançamento X =(X 1 ,..., X n ).

Portanto, a igualdade deve ser satisfeita:

Estendendo esse raciocínio a todos os tipos de produtos, chegamos ao modelo desejado:

Resolvendo este sistema de n equações lineares para X 1 ,...,X n e encontre o vetor de liberação necessário.

Para escrever este modelo de uma forma mais compacta (vetorial), introduzimos a seguinte notação:

Quadrado (
) -matriz A chamada de matriz tecnológica. É fácil verificar que nosso modelo agora será escrito assim: x-s = Ah ou

(1.6)

Recebemos o modelo clássico" Entrada - Saída ", cujo autor é o famoso economista americano V. Leontiev.

Exemplo 1.5.2.

A refinaria de petróleo possui dois tipos de petróleo: grau A no valor de 10 unidades, nota EM- 15 unidades. Ao refinar o petróleo, são obtidos dois materiais: gasolina (denotamos B) e óleo combustível ( M). Existem três opções para o processo de tecnologia de processamento:

EU: 1 unidade A+ 2 unidades EM dá 3 unidades. B+ 2 unidades M

II: 2 unidades. A+ 1 unidade EM dá 1 unidade. B+ 5 unidades M

III: 2 unidades A+ 2 unidades EM dá 1 unidade. B+ 2 unidades M

O preço da gasolina é de US$ 10 por unidade, o óleo combustível é de US$ 1 por unidade.

É necessário determinar a combinação mais vantajosa de processos tecnológicos para processar a quantidade de óleo disponível.

Antes de modelar, vamos esclarecer os seguintes pontos. Das condições do problema conclui-se que a “rentabilidade” do processo tecnológico para a planta deve ser entendida no sentido de obter o máximo rendimento com a venda de seus produtos acabados (gasolina e óleo combustível). Nesse sentido, fica claro que a “decisão de escolha (tomada)” da planta consiste em determinar qual tecnologia aplicar e quantas vezes. Obviamente, existem muitas dessas opções possíveis.

Vamos denotar as quantidades desconhecidas:

X eu– quantidade de uso eu o processo tecnológico (eu=1,2,3). Outros parâmetros do modelo (reservas de petróleo, preços da gasolina e do óleo combustível) conhecido.

Agora, uma decisão específica da planta se resume à escolha de um vetor X =(x 1 , X 2 , X 3 ) , para o qual a receita da planta é igual a (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) dólares. Aqui, 32 dólares é o rendimento recebido de uma aplicação do primeiro processo tecnológico ($10 3 unidades. B+ 1 dólar ·2 unidades. M=$32). Os coeficientes 15 e 12 para o segundo e terceiro processos tecnológicos, respectivamente, têm significado semelhante. A contabilização das reservas de petróleo leva às seguintes condições:

para variedade A:

para variedade EM:,

onde nos primeiros coeficientes de desigualdade 1, 2, 2 são as taxas de consumo de óleo grau A para uso único de processos tecnológicos EU,II,III respectivamente. Os coeficientes da segunda desigualdade têm significado semelhante para o óleo grau B.

O modelo matemático como um todo tem a forma:

Encontre esse vetor x = (x 1 , X 2 , X 3 ) Para maximizar

f(x) =32x 1 +15x 2 +12x 3

sujeito às seguintes condições:

A forma abreviada desta entrada é:

sob restrições

(1.7)

Temos o chamado problema de programação linear.

O modelo (1.7.) é um exemplo de modelo de otimização de tipo determinístico (com elementos bem definidos).

Exemplo 1.5.3.

Um investidor precisa determinar a melhor combinação de ações, títulos e outros títulos para comprar por um determinado valor, a fim de obter um determinado lucro com risco mínimo para si mesmo. Lucro por dólar investido em um título j- tipo, caracterizado por dois indicadores: lucro esperado e lucro real. Para um investidor, é desejável que o lucro esperado por dólar de investimento não seja inferior a um determinado valor para todo o conjunto de títulos b.

Observe que para modelar corretamente este problema, é necessário que um matemático tenha certos conhecimentos básicos na área de teoria de carteiras de títulos.

Vamos denotar os parâmetros conhecidos do problema:

n– número de tipos de valores mobiliários; A j– lucro real (número aleatório) do j-ésimo tipo de título; – lucro esperado de j-º tipo de segurança.

Vamos denotar as quantidades desconhecidas :

sim j - recursos destinados à compra de títulos do tipo j.

Usando nossa notação, todo o valor investido é expresso como . Para simplificar o modelo, introduzimos novas quantidades

.

Por isso, X eu- esta é a parcela de todos os recursos destinados à aquisição de valores mobiliários do tipo j.

Está claro que

Pelas condições do problema fica claro que o objetivo do investidor é atingir um certo nível de lucro com risco mínimo. Em essência, o risco é uma medida do desvio do lucro real em relação ao lucro esperado. Portanto, pode ser identificado com a covariância dos lucros para títulos do tipo i e do tipo j. Aqui M é a designação da expectativa matemática.

O modelo matemático do problema original tem a forma:

sob restrições

,
,
,
. (1.8)

Obtivemos o conhecido modelo de Markowitz para otimizar a estrutura de uma carteira de títulos.

O modelo (1.8.) é um exemplo de modelo de otimização do tipo estocástico (com elementos de aleatoriedade).

Exemplo 1.5.4.

Com base em uma organização comercial, existem n tipos de um dos produtos do sortimento mínimo. Apenas um tipo de determinado produto deve ser trazido para a loja. Você precisa escolher o tipo de produto adequado para levar para a loja. Se o tipo de produto j estará em demanda, a loja terá lucro com sua venda R j, se não estiver em demanda - uma perda q j .

Antes da modelagem, discutiremos alguns pontos fundamentais. Neste problema, o tomador de decisão (DM) é a loja. Porém, o resultado (lucro máximo) depende não só da sua decisão, mas também se o produto importado terá procura, ou seja, se será adquirido pela população (presume-se que por algum motivo a loja não ter a oportunidade de estudar a demanda da população). Portanto, a população pode ser considerada como um segundo tomador de decisão, escolhendo o tipo de produto de acordo com as suas preferências. A pior “decisão” da população para uma loja é: “os produtos importados não têm procura”. Assim, para ter em conta todas as situações possíveis, a loja precisa considerar a população como sua “inimiga” (condicionalmente), perseguindo o objetivo oposto - minimizar o lucro da loja.

Portanto, temos um problema de tomada de decisão com dois participantes perseguindo objetivos opostos. Esclareçamos que a loja escolhe um dos tipos de produtos à venda (existem n opções de decisão), e a população escolhe um dos tipos de produtos com maior procura ( n opções de solução).

Para compilar um modelo matemático, vamos desenhar uma tabela com n linhas e n colunas (total n 2 células) e concordam que as linhas correspondem à escolha da loja e as colunas à escolha da população. Então a célula (eu j) corresponde à situação em que a loja escolhe eu o tipo de produto ( eu-ésima linha), e a população escolhe j o tipo de produto ( j-ª coluna). Em cada célula anotamos uma avaliação numérica (lucro ou prejuízo) da situação correspondente do ponto de vista da loja:

Números q eu escrito com menos para refletir o prejuízo da loja; em cada situação, o “ganho” da população (condicionalmente) é igual ao “ganho” da loja, tomado com sinal oposto.

Uma forma abreviada deste modelo é:

(1.9)

Temos o chamado jogo matricial. O modelo (1.9.) é um exemplo de modelos de tomada de decisão em jogos.