Apresentação sobre o tema "Leitura de gráficos. Exame Estadual Unificado"

TÓPICO “LEITURA DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DERIVADA”

O objetivo da lição: a formação de competências para determinar as propriedades de uma derivada a partir do gráfico de uma função, as propriedades de uma função a partir do gráfico de uma derivada, comparando o gráfico de uma função e o gráfico da sua derivada.

Materiais e equipamentos: apresentação de computador.

Plano de aula

1. Tempo de organização.
2. Contagem oral “Pegue um erro”
3. Repetição de material teórico sobre o tema “Seu próprio apoio”
4. Treinamento de habilidade
5. Jogo "Competência"
6. Resumindo.

Durante as aulas.

1. Tempo de organização. Durante o estudo do tópico “Estudando funções usando derivadas”, foram desenvolvidas habilidades para encontrar os pontos críticos de uma função, a derivada, determinar as propriedades da função com sua ajuda e construir seu gráfico. Hoje veremos este tópico de um ângulo diferente: como determinar as propriedades da própria função através do gráfico da derivada de uma função. Nossa tarefa: aprender a navegar na variedade de tarefas do Exame de Estado Unificado relacionadas a gráficos de funções e suas derivadas.
2. Contagem verbal

(2x 2) / =2x; (3x-x 3) / =3-3x; X / =1 X

1. Repetição de material teórico sobre o tema. (desenhe um homenzinho em seu caderno para representar o clima no início da aula)

Repitamos algumas propriedades da função: aumento e diminuição, extremos da função.

Um sinal suficiente de aumento (diminuição) da função. Lê-se:

1. Se a derivada de uma função for positiva em todos os pontos do intervalo X, então a função aumenta ao longo do intervalo X.
2. Se a derivada de uma função for negativa em cada ponto do intervalo X, então a função diminui no intervalo X.

Condições suficientes para um extremo:

Deixe a função y=f(x) ser contínua no intervalo X e ter um ponto crítico x 0 dentro do intervalo. Então se, ao passar pelo ponto x 0, a derivada for:

a) muda o sinal de “+” para “-”, então x 0 é o ponto máximo da função,

b) muda o sinal de “-” para “+”, então x0– ponto mínimo da função,

c) não muda de sinal, então no ponto x0 não há extremo.

A derivada de uma função é ela mesma uma função. Isso significa que ela tem seu próprio horário.

X(temos um segmento [ A; b]) está localizado acima do eixo x, então a função aumenta nesse intervalo.

Se o gráfico da derivada no intervalo X está localizado abaixo do eixo x, então a função diminui neste intervalo. Além disso, as opções do gráfico de derivadas podem ser diferentes.

Assim, tendo um gráfico da derivada de uma função, podemos tirar conclusões sobre as propriedades da própria função.

1. Desenvolvimento de habilidades. Vamos considerar o problema:
2. Jogo "Competência"
3. Resumindo. (desenhe um homenzinho em um caderno, indicando o clima no final da aula) O papel de “resumir” (ele vai dizer qual pensamento (conclusão, resultado...) da aula foi, na sua opinião, o principal um)

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Legendas dos slides:

LENDO O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DERIVADA e se está a caminho do Exame Estadual Unificado

Plano de aula Momento organizacional. Cálculo oral “Pegue um erro” Repetição de material teórico sobre o tema, notas “Seu apoio” Jogo de desenvolvimento de habilidades “Competência” Resumindo.

Contagem oral “Encontre o erro” (2x 2) / = x (3x-x 3) / = 3-3 2 4 x 2 - -5

Repetição de material teórico sobre o tema f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 - 5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 Um sinal suficiente de aumento (diminuição) de uma função: Se a derivada de uma função for positiva em cada ponto do intervalo X, então a função aumenta no intervalo X. Se a derivada da função for negativa em cada ponto do intervalo X, então a função diminui no intervalo X. Se o gráfico da derivada no intervalo X estiver localizado acima do eixo x, então a função aumenta em esse intervalo. Se o gráfico da derivada no intervalo X estiver localizado abaixo do eixo x, então a função diminui neste intervalo.

f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 -5 -4 - 3 -2 - 1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 “Apoio próprio” Aumentando Diminuindo Aumentando

f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) y x + 1 E se, ao passar pelo ponto x 0, a derivada: a) muda de sinal de “+” para “-”, então x 0 é o ponto máximo da função, b) muda o sinal de “-” para “+”, então x 0 é o ponto mínimo da função, c) não muda de sinal, então não há extremo no ponto x 0 . Repetição de material teórico sobre o tema “Seu próprio suporte” Condição necessária para a existência de um extremo: Se a função y=f (x) tem um extremo no ponto x=x0, então neste ponto a derivada é igual a 0 ou não existe. máximo mínimo

Desenvolvimento de habilidades (resolução de problemas do banco aberto do Exame Estadual Unificado) intervalos crescentes: (-5;-1), (2;8),(11;12) Resposta: 6 1 f(x) f / (x) + + +

Intervalos decrescentes de desenvolvimento de habilidades: (-1;0), (9;12) Resposta: 3 2 f(x) f / (x) – – Desenvolvimento de habilidades (resolução de problemas do banco aberto do Exame Estadual Unificado)

Resposta de desenvolvimento de habilidades: -3 3 f(x) f / (x) Desenvolvimento de habilidades (resolução de problemas do banco aberto do Exame Estadual Unificado)

Resposta de desenvolvimento de habilidades: - 3 4 f(x) f / (x) Desenvolvimento de habilidades (resolução de problemas do banco aberto do Exame Estadual Unificado)

Desenvolvimento de habilidades 5 f(x) f/(x) Desenvolvimento de habilidades (resolução de problemas do banco aberto do Exame Estadual Unificado)

Participantes do jogo “Competência”: duas equipes - empresas concorrentes.As equipes elaboram 3 tarefas entre si sobre o tema da aula, trocam tarefas, completam-nas e mostram a solução no quadro. Se o adversário falhar, a equipe que fez a pergunta deverá respondê-la ela mesma. Cada empresa avalia o trabalho de uma empresa concorrente usando um sistema de 5 pontos (cada tarefa e cada resposta) Patrocinadores do Conhecimento: Petrova Gelena e Semenova Kunnai

Resumindo: Desenhando um homem Resumindo: qual foi o principal da aula? o que foi interessante? o que você aprendeu? Critérios de avaliação: 28-30 pontos – pontuação “5” 20-27 pontos – pontuação “4” 10-19 pontos – pontuação “3” Abaixo de 10 pontos – recomendação para trabalho meticuloso na preparação para o Exame Estadual Unificado

Tema: Revisão geral do curso de matemática. Preparação para exames

Lição: Lendo um gráfico de funções. Resolução de problemas B2

1. Explicação do conceito de gráfico, técnica de leitura

Na nossa vida, os gráficos são encontrados com bastante frequência, tomemos, por exemplo, uma previsão do tempo, que se apresenta na forma de um gráfico de alterações em alguns indicadores, por exemplo, temperatura ou força do vento ao longo do tempo. Não pensamos duas vezes quando lemos este gráfico, mesmo que seja a primeira vez que lemos um gráfico em nossas vidas. Você também pode dar um exemplo de gráfico de mudanças nas taxas de câmbio ao longo do tempo e muitos outros exemplos.

Então, o primeiro gráfico que veremos.

Arroz. 1. Ilustração do gráfico 1

Como você pode ver, o gráfico possui 2 eixos. O eixo que aponta para a direita (horizontal) é chamado de eixo . O eixo que aponta para cima (vertical) é chamado de eixo .

Primeiro, vamos dar uma olhada no eixo. Neste gráfico, o número de rotações por minuto de um determinado motor de automóvel é traçado ao longo deste eixo. Pode ser igual, etc. Também existem divisões neste eixo, algumas delas são indicadas por números, outras são intermediárias e não são indicadas. É fácil adivinhar que a primeira divisão de zero é , a terceira é, etc.

Agora vamos olhar para o eixo. Neste gráfico, ao longo deste eixo estão traçados os valores numéricos de Newton por metro (), valores de torque, que são iguais, etc.

Agora vamos voltar para a função em si (para a reta que é apresentada no gráfico). Como você pode ver, esta linha reflete quantos Newtons por metro, ou seja, qual torque, estará em uma determinada rotação do motor por minuto. Se tomarmos o valor 1000 rpm. e deste ponto do gráfico vamos para a esquerda, veremos que a reta passa pelo ponto 20, ou seja, o valor do torque em 1000 rpm será igual (Figura 2.2).

Se tomarmos o valor de 2.000 rpm, então a linha já passará no ponto (Figura 2.2).

Arroz. 2. Determinação do torque pelo número de rotações por minuto

2. O conceito de valores máximos e mínimos, o método para encontrar os valores máximos e mínimos de uma função a partir de um gráfico

Agora imagine que a nossa tarefa é encontrar o maior valor deste gráfico. Procuramos o ponto mais alto (), portanto, o menor valor de torque neste gráfico será considerado 0. Para encontrar o maior valor da função no gráfico, é necessário considerar o maior valor que a função atinge na vertical eixo. Observamos qual valor é mais alto e ao longo do eixo vertical qual será o número mais alto alcançado. Se estamos falando do menor valor, então pegamos, ao contrário, o ponto mais baixo e observamos seu valor ao longo do eixo vertical.

Arroz. 3. O maior e o menor valor de uma função de acordo com o gráfico

O maior valor neste caso é , e o menor valor, respectivamente, é 0. É importante não confundir e indicar corretamente o valor máximo, alguns indicam o valor máximo de 4000 rpm, este não é o valor máximo, mas o ponto em que o valor máximo é obtido (ponto máximo), o maior valor é exatamente .

Você também deve prestar atenção ao eixo vertical, suas unidades de medida, ou seja, por exemplo, se em vez de Newtons por metro () fossem indicadas centenas de Newtons por metro (), o valor máximo precisaria ser multiplicado por cem , etc.

Os maiores e menores valores de uma função estão intimamente relacionados à derivada da função.

3. Informações adicionais sobre a função derivada

Se uma função aumenta no segmento em consideração, então a derivada da função neste segmento é positiva ou igual a zero em um número finito de pontos, na maioria das vezes é simplesmente positiva. Da mesma forma, se uma função diminui no segmento em consideração, então a derivada da função neste segmento é negativa ou igual a zero em um número finito de pontos. O inverso é verdadeiro em ambos os casos.

4. Resolvendo exemplos com restrições ao longo do eixo OX

O exemplo a seguir apresenta algumas dificuldades devido à restrição do eixo horizontal. É necessário encontrar o maior e o menor valor no segmento especificado.

O gráfico mostra a mudança na temperatura ao longo do tempo. No eixo horizontal vemos a hora e os dias, e no eixo vertical vemos a temperatura. É necessário determinar a temperatura mais alta do ar no dia 22 de janeiro, ou seja, precisamos considerar não o gráfico inteiro, mas a parte referente ao dia 22 de janeiro, ou seja, das 00h00 do dia 22 de janeiro às 00h00 do dia 23 de janeiro.

Arroz. 4. Gráfico de mudança de temperatura

Ao limitar o gráfico, torna-se óbvio para nós que a temperatura máxima corresponde ao ponto .

5. Exemplo adicional, tarefa do Exame Estadual Unificado

É fornecido um gráfico das mudanças de temperatura ao longo de três dias. No eixo boi - a hora do dia e dia do mês, no eixo oy - a temperatura do ar em graus Celsius.

Precisamos considerar não todo o cronograma, mas sim a parte referente ao dia 13 de julho, ou seja, das 00h00 do dia 13 de julho às 00h00 do dia 14 de julho.

Arroz. 5. Ilustração para exemplo adicional

Se você não inserir as restrições descritas acima, poderá obter uma resposta incorreta, mas em um determinado intervalo o valor máximo é óbvio: , e é atingido às 12h do dia 13 de julho.

6. Resolvendo outros exemplos de leitura do gráfico de uma função

Exemplo 3: determine em que data caíram cinco milímetros de chuva pela primeira vez:

O gráfico mostra a precipitação diária em Kazan de 3 a 15 de fevereiro de 1909. Os dias do mês são exibidos horizontalmente e a quantidade de precipitação em milímetros é exibida verticalmente.

Arroz. 6. Precipitação diária

Vamos começar em ordem. No dia 3, vemos que caiu pouco mais de 0, mas menos de 1 mm. precipitação, 4 mm de precipitação caíram no dia 4, etc. O número 5 aparece pela primeira vez no 11º dia. Por conveniência, você poderia traçar virtualmente uma linha reta oposta ao cinco; pela primeira vez ela cruzará o gráfico em 11 de fevereiro, esta é a resposta correta.

Exemplo 4: determine em que data o preço de uma onça de ouro foi o mais baixo

O gráfico mostra o preço do ouro no fechamento da bolsa para cada dia de 5 a 28 de março de 1996. Os dias do mês são exibidos horizontalmente, verticalmente,

consequentemente, o preço de uma onça de ouro em dólares americanos.

As linhas entre os pontos são traçadas apenas para maior clareza; a informação é transportada apenas pelos próprios pontos.

Arroz. 7. Gráfico de evolução do preço do ouro em bolsa

7. Solução de um exemplo adicional

Exemplo adicional: determine em que ponto do segmento a função assume o maior valor:

A derivada de uma determinada função é dada no gráfico.

Arroz. 8. Ilustração para exemplo adicional

A derivada é definida no intervalo

Como você pode ver, a derivada da função em um determinado segmento é negativa e igual a zero no ponto limite esquerdo. Como sabemos, se a derivada de uma função for negativa, então a função no intervalo considerado diminui, portanto, nossa função diminui em todo o intervalo considerado, neste caso assume o maior valor no limite mais à esquerda. Resposta: ponto final.

Então, examinamos o conceito de gráfico de uma função, estudamos o que são os eixos de um gráfico, como encontrar o valor de uma função em um gráfico, como encontrar o maior e o menor valor.

Mordkovich A. G. Álgebra e os primórdios da análise matemática. - M.: Mnemósine. Muravin G. K., Muravin O. V. Álgebra e os primórdios da análise matemática. - M.: Abetarda. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. e outros Álgebra e os primórdios da análise matemática. - M.: Iluminismo.

Exame Estadual Unificado. Festival de ideias pedagógicas. Estudar é fácil. RF.

O diagrama (Figura 9) mostra a temperatura média mensal do ar em Yekaterinburg (Sverdlovsk) para cada mês de 1973. O eixo horizontal indica os meses e o eixo vertical indica a temperatura em graus Celsius. Determine no diagrama a temperatura média mensal mais baixa durante o período de maio a dezembro de 1973 inclusive. Dê sua resposta em graus Celsius.

Arroz. 9. Gráfico de temperatura

Usando o mesmo gráfico (Figura 9), determine a diferença entre as temperaturas médias mensais mais altas e mais baixas em 1973. Dê sua resposta em graus Celsius. O gráfico (Figura 10) mostra o processo de aquecimento de um motor de combustão interna a uma temperatura ambiente de 15 graus. O eixo das abcissas mostra o tempo em minutos decorrido desde que o motor foi ligado e o eixo y mostra a temperatura do motor em graus Celsius. A carga pode ser conectada ao motor quando a temperatura do motor atingir 45 graus. Qual é o número mínimo de minutos que deve ser esperado antes de conectar a carga ao motor?

Arroz. 10. Cronograma de aquecimento do motor

SHAYMARDANOVA TATIANA VASILIEVNA

Professor de matemática altamente qualificado. categorias

Escola secundária nº 1 de Yelabuga

TÓPICO “LEITURA DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DERIVADA”

O objetivo da lição: formação de habilidadese habilidades para determinar as propriedades de uma derivada a partir do gráfico de uma função, as propriedades de uma função a partir do gráfico de uma derivada, comparando o gráfico de uma função e o gráfico de sua derivada.

Literatura:

Álgebra e o início da análise da 10ª série em 2 partes, parte 1: livro didático para instituições de ensino geral (nível de perfil) / editado por A.G. – 4ª ed. correto. -M.: Mnemosyne, 2007. – 340 páginas.

Álgebra e o início da análise da 10ª série em 2 partes, parte 2: livro de problemas para instituições de ensino geral (nível de perfil) / editado por A.G. – 4ª ed. correto. -M.: Mnemosyne, 2007. – 336 páginas.

Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado - 2010 / editado por F.F. Lysenko, S.Yu.Kulabukhova. – Rostov-on-Don: Legião – M., 2009 – 480 p. (Preparação para o Exame Estadual Unificado)

Materiais e equipamentos: computador apresentação.

Plano de aula:

Tempo de organização.

Repetição de material teórico sobre o tema.

Parte principal.

Consolidação do que foi aprendido.

Resumindo.

Durante as aulas.

1 . Tempo de organização.

Ao estudar o tópico “Explorando funções usando derivadas”foram desenvolvidas habilidades para encontrar pontos críticos de uma função, derivada, determinarusando-o as propriedades de uma função e construindo seu gráfico. Hoje veremos este tópico de um ângulo diferente: como determinar as propriedades da própria função através do gráfico da derivada de uma função. Nossa tarefa: aprender a navegar na variedade de tarefas relacionadas aos gráficos de funções e suas derivadas.

2. Repetição de material teórico sobre o tema.

Vamos repetir algumas propriedades da função: crescente e decrescente, extremos funções.

- Qual função é chamada de crescente (decrescente) em um intervalo?

Uma função aumenta em um intervalo se, para quaisquer valores do argumento desse intervalo, um valor maior do argumento corresponder a um valor maior da função.

Uma função diminui em um intervalo se, para quaisquer valores do argumento desse intervalo, um valor maior do argumento corresponder a um valor menor da função.

Qual é o ponto máximo de uma função?

O ponto de uma função contínua em que um aumento na função muda para uma diminuição é o ponto máximo.

- Dê a definição do ponto mínimo de uma função.

O ponto em que uma diminuição se transforma em um aumento é o ponto mínimo .

- Vamos considerar o problema:

A Figura 1 mostra o gráfico da funçãoe =f(X) . A função é definida no intervalo [-2;9]

Examine a função quanto à monotonicidade, determine os extremos da função.

Resposta: a função aumenta em cada um dos intervalos [-2;2] e , diminui no intervalo Xmáx. = 2,X min = 5.

- Qual é o significado geométrico da derivada?

A derivada da função no ponto de tangência é igual à inclinação da tangente desenhada ao gráfico da função neste ponto, ou seja, a tangente do ângulo de inclinação da tangente ao sentido positivo da abcissa.

- Que sinal tem a derivada de uma função crescente (decrescente) no intervalo? X?

Para uma função crescente no intervalo X a inclinação da tangente é positiva, ou seja, a derivada é positiva em todos os pontos do intervalo X.

Para uma função decrescente no intervalo X a inclinação da tangente é negativa, ou seja, a derivada é negativa em todos os pontos do intervalo X.

- Formule uma condição necessária para a existência de um extremo.

Se a função sim = f ( x ) tem um extremo no ponto X= x0 , então neste ponto a derivada é igual a 0 ou não existe.

- De acordo com o gráfico da funçãoe =f(X) (Figura 2) por favor indique:

a) em quais valores de x a derivada da função é igual a 0;

b) para quais valores de x a derivada é positiva;

c) para quais valores de x a derivada é negativa;

d) em quais pontos a derivada não existe.

Responder: A) f " (2)=0, f " (5)=0, f " (8)=0;

b) a derivada é positiva nos intervalos: (- ∞; 2), (2; 5), (8; 11); c) a derivada é negativa nos intervalos: (5; 8), (11;+ ∞);

d) a derivada não existe no ponto x=11.

Assim, dado o gráfico de uma função, podemos determinar as propriedades da derivada da função.

3. Parte principal.

Formação de conhecimentos, competências e habilidades.

Pelo contrário, a partir do sinal da derivada pode-se tirar uma conclusão sobre a natureza da monotonicidade da função e seus extremos.

Para isso, há um sinal suficiente de aumento (diminuição) da função. Lê-se:

Se a derivada de uma função for positiva em todos os pontos do intervalo X, então a função aumenta ao longo do intervalo X.

Se a derivada de uma função for negativa em cada ponto do intervalo X, então a função diminui no intervalo X.

Condições suficientes para um extremo:

Deixe a funçãosim= f( x) é contínuo no intervalo X e tem um ponto crítico x dentro do intervalo 0 . Então, se durante a transição através da derivada do ponto x 0:

a) muda o sinal de “+” para “-”, então x 0 – ponto máximo da função,

b) muda o sinal de “-” para “+”, entãox0 – ponto mínimo da função,

c) não muda de sinal, então no pontox0 não há extremo.

A derivada de uma função é ela mesma uma função. Isso significa que ela tem seu próprio horário.

X(temos um segmento [A;b ]) está localizado acima do eixo x, então a função aumenta nesse intervalo.

Se o gráfico da derivada no intervalo X está localizado abaixo do eixo x, então a função diminui neste intervalo.Além disso, as opções do gráfico de derivadas podem ser diferentes.

Comportamento do gráfico da derivada de uma função em[A; b ]

Aumentos de funçãoA função está diminuindo

Assim, tendo um gráfico da derivada de uma função, podemos tirar conclusões sobre as propriedades da própria função.

Consideremos várias tarefas de leitura do gráfico da derivada de uma função.

Tarefa 1. Quantos pontos extremos a função possui? no= f ( x) , dado em toda a reta numérica? Explorar funçãosim= f( x) para monotonia. Especifique a duração do intervalo da função decrescentef ( x) . (Arroz. 3)

A derivada é igual a 0 nos pontos: 3, 5, 9. Estes são pontos críticos.

Se a derivada em um intervalo for positiva, então a função nesse intervalo aumenta. Nesta figura estes são os intervalos: (- ∞; 3),

(5; 9), (9; + ∞).

A função é contínua nos pontos, então somamos as extremidades dos intervalos: (- ∞; 3],, . Seu comprimento é 2.

No ponto x=3, a derivada muda de sinal de “+” para “-”. Este é o ponto máximo.

No ponto x=5 a derivada muda de sinal de “-”para "+". Este é o ponto mínimo.

No ponto x=9 a derivada não muda de sinal. Não é um ponto extremo.

Tarefa 2. A função é definida emR. Sobre arroz. 4– gráfico da sua derivada. Indique o maior ponto mínimo da função no= f(X) .

O ponto mínimo de uma função é o ponto em que a derivada muda de sinal de "-" a "+".

A figura mostra que existem dois desses pontos: -2 e 10. O maior deles é 10.

Tarefa 3. Funçãoe =f(X) definido no intervalo (-5; 9). Sobre Figura 5 um gráfico de sua derivada é mostrado. Encontre um pontox0 , em que a função no= f(X) assume o maior valor.

A derivada da função é definida no intervalo (-5; 9) e torna-se 0 no ponto X=4.

No intervalo (-5; 4), a derivada é positiva, portanto, a função aumenta no intervalo (-5; 4), e como a função é contínua no ponto 4, também aumenta no intervalo (-5; 4].

No intervalo (4; 9) a derivada é negativa, portanto, a função diminui no intervalo, portanto, a derivada da função é negativa neste intervalo. A função aumenta no intervalo, aumenta no intervalo [a; + ∞), o que significa que a derivada da função é negativa no intervalo (- ∞;a), positiva no intervalo (a; + ∞) Esta é uma linha reta 3.

4. Consolidação do que foi aprendido.

Nós oferecemos aparelho de treinamentosobre o tema abordado.

5. Resumindo.

Examinamos a relação entre a monotonicidade de uma função e o sinal de sua derivada, e as condições suficientes para a existência de um extremo. Examinamos diversas tarefas de leitura do gráfico de uma função derivada, que se encontram nos textos do Exame Estadual Unificado.Todas as tarefas que consideramos são boas porque não levam muito tempo para serem concluídas. Durante o exame estadual unificado, isso é muito importante: anote a resposta de forma rápida e correta

Todas as tarefas que consideramos são boas porque você não precisa gastar muito tempo nelas. E durante o exame estadual unificado isso é muito importante: anotar de forma rápida e correta a resposta à questão do problema.

A seguir, em sala de aula, é aconselhável considerar uma tarefa fundamental: a partir do gráfico da derivada fornecido, os alunos devem apresentar (claro, com a ajuda do professor) várias questões relacionadas às propriedades da própria função. Naturalmente, essas questões são discutidas, corrigidas se necessário, resumidas, registradas em caderno, após o que se inicia a etapa de resolução dessas tarefas. Aqui é necessário garantir que os alunos não apenas dêem a resposta correta, mas sejam capazes de argumentar (provar), usando as definições, propriedades e regras apropriadas.
Vamos dar um exemplo de tal tarefa: no quadro (por exemplo, usando um projetor), os alunos são apresentados a um gráfico da derivada, com base nele foram formuladas 10 tarefas (questões não totalmente corretas ou duplicadas foram rejeitadas).
A função y = f(x) é definida e contínua no intervalo [–6; 6].
Usando o gráfico da derivada y = f"(x), determine:

1) o número de intervalos da função crescente y = f(x);
2) a duração do intervalo da função decrescente y = f(x);
3) o número de pontos extremos da função y = f(x);
4) ponto máximo da função y = f(x);
5) ponto crítico (estacionário) da função y = f(x), que não é um ponto extremo;
6) a abscissa do ponto do gráfico em que a função y = f(x) assume o maior valor do segmento;
7) a abcissa do ponto do gráfico em que a função y = f(x) assume o menor valor do segmento [–2; 2];
8) o número de pontos no gráfico da função y = f(x), nos quais a tangente é perpendicular ao eixo Oy;
9) o número de pontos no gráfico da função y = f(x), nos quais a tangente forma um ângulo de 60° com o sentido positivo do eixo do Boi;
10) a abscissa do ponto gráfico da função y = f(x), em que a inclinação da tangente assume o menor valor.
Responder: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
Para fortalecer as habilidades de estudo das propriedades de uma função, os alunos podem levar para casa uma tarefa relacionada à leitura do mesmo gráfico, mas em um caso é o gráfico de uma função e, no outro, o gráfico de sua derivada.

O artigo foi publicado com o apoio do fórum de administradores de sistemas e programadores. Em "CyberForum.ru" você encontrará fóruns sobre tópicos como programação, computadores, discussão de software, programação web, ciência, eletrônicos e eletrodomésticos, carreira e negócios, recreação, pessoas e sociedade, cultura e arte, casa e economia, carros , motocicletas e muito mais. No fórum você pode obter ajuda gratuita. Você pode saber mais no site, localizado em: http://www.cyberforum.ru/diferencial-equations/.

A função y = f(x) é definida e contínua no intervalo [–6; 5]. A imagem mostra:
a) gráfico da função y = f(x);
b) gráfico da derivada y = f"(x).
Determine a partir do cronograma:
1) pontos mínimos da função y = f(x);
2) o número de intervalos da função decrescente y = f(x);
3) a abscissa do ponto do gráfico da função y = f(x), em que assume o maior valor do segmento;
4) o número de pontos no gráfico da função y = f(x), nos quais a tangente é paralela ao eixo do Boi (ou coincide com ele).
Respostas:
a) 1) –3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
b) 1) –2; 4,6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
Para realizar o controle, você pode organizar o trabalho em duplas: cada aluno prepara previamente um gráfico de derivada em um cartão para seu parceiro e abaixo oferece 4 a 5 questões para determinar as propriedades da função. Durante as aulas, eles trocam cartões, realizam as tarefas propostas, após o que todos verificam e avaliam o trabalho do parceiro.

Diapositivo 12

Simetria sobre a reta y=x

Os gráficos dessas funções aumentam em > 1 e diminuem em 0

Diapositivo 13

Uma das figuras mostra um gráfico da função y=2-x. Por favor indique este desenho. Gráfico de uma função exponencial O gráfico de uma função exponencial passa pelo ponto (0, 1).Como a base do grau é menor que 1, esta função deve ser decrescente.

Diapositivo 14

Uma das figuras mostra um gráfico da função y=log5 (x-4). Indique o número deste agendamento. O gráfico da função logarítmica y=log5x passa pelo ponto (1;0), então se x -4 = 1, então = 0, x = 1 + 4, x = 5. (5;0) – o ponto de intersecção do gráfico com o eixo OX. Se x -4 = 5, então y = 1, x = 5 + 4, x = 9, Gráfico da função logarítmica 9 5 1

Diapositivo 15

A função y=f(x) é definida no intervalo (-6;7). A figura mostra um gráfico da derivada desta função. Todas as tangentes paralelas à reta y = 5-2x (ou coincidentes com ela) são desenhadas no gráfico da função. Indique o número de pontos no gráfico da função em que essas tangentes são desenhadas. K = tga = f'(xo) Pela condição k = -2. Portanto f'(xo) = -2 Desenhamos uma linha reta y = -2. Ela cruza o gráfico em dois pontos, o que significa as tangentes à função são desenhados em dois pontos. Encontrar o número de tangentes ao gráfico de uma função a partir do gráfico de sua derivada

Diapositivo 16

A função y=f(x) é definida no intervalo [-7;3]. A figura mostra um gráfico de sua derivada. Encontre o número de pontos no gráfico da função y=f(x) nos quais as tangentes ao gráfico são paralelas ao eixo x ou coincidem com ele. O coeficiente angular das retas paralelas à abcissa ou coincidentes com ela é zero. Portanto K=tg a = f `(xo)=0 O eixo OX cruza este gráfico em quatro pontos. Encontrar o número de tangentes a uma função a partir do gráfico de sua derivada

Diapositivo 17

A função y=f(x) é definida no intervalo (-6;6). A figura mostra um gráfico de sua derivada. Encontre o número de pontos no gráfico da função y=f(x) nos quais as tangentes ao gráfico estão inclinadas em um ângulo de 135 em relação à direção positiva do eixo x. K = tg 135o= f'(xo) tg 135o=tg(180o-45o)=-tg45o=-1 Portanto f`(xo)=-1 Desenhe uma linha reta y=-1. Ela cruza o gráfico em três pontos , que significa tangentes à função realizada em três pontos. Encontrar o número de tangentes a uma função a partir do gráfico de sua derivada

Diapositivo 18

A função y=f(x) é definida no intervalo [-2;6]. A figura mostra um gráfico da derivada desta função. Indique a abcissa do ponto em que a tangente ao gráfico da função y=f(x) tem o menor coeficiente angular k=tg a=f'(xo) A derivada da função assume o menor valor y=-3 no ponto x=2. Portanto, a tangente ao gráfico tem a menor inclinação no ponto x=2 Encontrando a inclinação da tangente a partir do gráfico da derivada da função -3 2

Diapositivo 19

A função y=f(x) é definida no intervalo [-7;3]. A figura mostra um gráfico da derivada desta função. Indique a abcissa na qual a tangente ao gráfico da função y=f(x) tem a maior inclinação. k=tg a=f’(xo) A derivada da função assume seu maior valor y=3 no ponto x=-5. Portanto, a tangente ao gráfico tem a maior inclinação no ponto x = -5 Encontrando a inclinação da tangente a partir do gráfico da derivada da função 3 -5

Diapositivo 20

A figura mostra um gráfico da função y=f(x) e uma tangente a ela no ponto com a abcissa xo. Encontre o valor da derivada f `(x) no ponto xo f ’(xo) =tg a Como na figura a é um ângulo obtuso, então tan a

Diapositivo 21

Encontrar o mínimo (máximo) de uma função a partir do gráfico de sua derivada

No ponto x=4, a derivada muda de sinal de menos para mais. Isso significa que x = 4 é o ponto mínimo da função y = f (x) 4 Nos pontos x = 1, a derivada muda de sinal de mais. minusMeanx=1 é o ponto máximo da função y=f(x))

Diapositivo 22

Trabalho independente

Fig.11) Encontre o domínio de definição da função. 2) Resolva a inequação f(x) ≥ 0 3) Determine os intervalos de diminuição da função. Fig. 2 – gráfico da função derivada y=f(x) 4) Encontre os pontos mínimos da função. 5) Indique a abcissa do ponto em que a tangente ao gráfico da função y=f(x) possui o maior coeficiente angular. Fig.11) Encontre o intervalo de valores da função. 2) Resolva a inequação f(x)≤ 0 3) Determine os intervalos de aumento da função. Fig. 2 – gráfico da função derivada y=f(x) 4) Encontre os pontos de máximo da função. 5) Indique a abcissa do ponto em que a tangente ao gráfico da função y=f(x) tem a menor inclinação. 1 Opção 2 Opção