Construa uma seção do tetraedro mnp. Tetraedro

Hoje veremos novamente como construir uma seção de um tetraedro com um plano.
Consideremos o caso mais simples (nível obrigatório), quando 2 pontos do plano de seção pertencem a uma face e o terceiro ponto pertence a outra face.

Deixe-nos lembrá-lo algoritmo para construção de seções deste tipo (caso: 2 pontos pertencem à mesma face).

1. Procuramos uma face que contenha 2 pontos do plano de seção. Desenhe uma linha reta através de dois pontos situados na mesma face. Encontramos os pontos de sua intersecção com as arestas do tetraedro. A parte da reta que termina na face é a lateral do corte.

2. Se o polígono puder ser fechado, a seção foi construída. Se for impossível fechar, encontramos o ponto de intersecção da reta construída e o plano que contém o terceiro ponto.

1. Vemos que os pontos E e F estão na mesma face (BCD), traçamos uma linha reta EF no plano (BCD).
2. Vamos encontrar o ponto de intersecção da reta EF com a aresta do tetraedro BD, este é o ponto H.
3. Agora você precisa encontrar o ponto de intersecção da reta EF e o plano que contém o terceiro ponto G, ou seja, plano (ADC).
A reta CD está nos planos (ADC) e (BDC), o que significa que intercepta a reta EF, e o ponto K é o ponto de intersecção da reta EF e do plano (ADC).
4. A seguir, encontramos mais dois pontos no mesmo plano. Estes são os pontos G e K, ambos situados no plano da face lateral esquerda. Desenhamos uma linha GK e marcamos os pontos onde esta linha cruza as arestas do tetraedro. Estes são os pontos M e L.
4. Resta “fechar” a seção, ou seja, conectar os pontos que estão na mesma face. Estes são os pontos M e H, e também L e F. Ambos os segmentos são invisíveis, nós os desenhamos com uma linha pontilhada.

A seção transversal revelou-se um quadrilátero MHFL. Todos os seus vértices estão nas bordas do tetraedro. Vamos selecionar a seção resultante.

Agora vamos formular "propriedades" de uma seção construída corretamente:

1. Todos os vértices de um polígono, que é uma seção, estão nas arestas de um tetraedro (paralelepípedo, polígono).

2. Todos os lados da seção estão nas faces do poliedro.
3. Cada face de um polígono não pode conter mais do que um (um ou nenhum!) lado da seção

Construção de seções de tetraedro e paralelepípedo. Conteúdo: 1. Metas e objetivos. 2. Introdução. 3. O conceito de plano de corte. 4. Definição da seção. 5. Regras para construção de seções. 6. Tipos de seções de tetraedro. 7. Tipos de seções de paralelepípedo. 8. Problema de construção da seção transversal de um tetraedro com explicação. 9. A tarefa de construir uma seção transversal de um tetraedro com explicação. 10. A tarefa de construir uma seção de um tetraedro usando questões norteadoras. 11. Segunda opção para resolver o problema anterior. 12. Problema de construção de uma seção de paralelepípedo. 13. Problema de construção de uma seção de paralelepípedo. 14. Desejos aos alunos. Objetivo do trabalho: Desenvolvimento de conceitos espaciais nos alunos. Objetivos: Apresentar as regras para construção de seções. Desenvolver competências na construção de secções de um tetraedro e paralelepípedo em vários casos de especificação de um plano de corte. Desenvolver a capacidade de aplicação das regras de construção de secções na resolução de problemas sobre o tema “Poliedros”. Para resolver muitos problemas geométricos é necessário construir suas seções utilizando diferentes planos. O plano de corte de um paralelepípedo (tetraedro) é qualquer plano em ambos os lados do qual existem pontos de um determinado paralelepípedo (tetraedro). L O plano de corte cruza as faces do tetraedro (paralelepípedo) ao longo dos segmentos. L Um polígono cujos lados são esses segmentos é chamado de seção de um tetraedro (paralelepípedo). Para construir uma seção, você precisa construir os pontos de intersecção do plano de corte com as arestas e conectá-los com segmentos. Neste caso, é necessário levar em consideração o seguinte: 1. Só é possível conectar dois pontos situados no plano de uma face. 2. Um plano de corte cruza faces paralelas ao longo de segmentos paralelos. 3. Se for marcado apenas um ponto no plano frontal, pertencente ao plano de corte, então um ponto adicional deverá ser construído. Para isso, é necessário encontrar os pontos de intersecção das retas já construídas com outras retas situadas nas mesmas faces. Quais polígonos podem ser obtidos em uma seção? Um tetraedro tem 4 faces. Nas seções você pode obter: Triângulos Quadriláteros O paralelepípedo tem 6 faces Triângulos Pentágonos Em suas seções você pode obter: Quadriláteros Hexágonos Construa uma seção do tetraedro DABC com um plano passando pelos pontos M,N,K D M AA 1 . Desenhe uma linha reta passando pelos pontos M e K, porque eles estão na mesma face (ADC). N K BB C C 2. Vamos traçar uma linha reta passando pelos pontos K e N, porque eles ficam na mesma face (CDB). 3. Usando um raciocínio semelhante, traçamos a linha reta MN. 4. MNK – seção obrigatória. Construa uma seção do tetraedro com um plano passando pelos pontos E, F, K. 1. Realizamos KF. 2. Realizamos FE. 3. Continue com EF, continue com AC. D F 4. EF AC =M 5. Execute MK. E M C 6. MK AB = L A L K Regras B 7. Desenhe EL EFKL – a seção necessária Construa uma seção do tetraedro com um plano passando pelos pontos E, F, K. Com qual linha reta um ponto situado em Qual você pode conectar o resultando Quais fronteiras podem ser estendidas de uma só vez para obter pontos que estejam na mesma conexão? conectar o ponto adicional resultante? rostos, nomeie a seção. ponto extra? D e E AC ELFK FSEK e ponto K, e FK F L C M A E K B Regras Segundo método Construa uma seção de um tetraedro com um plano passando pelos pontos E, F, K. D F L C A E K B Regras Primeiro método O Método nº 1. Método número 2. Conclusão: independente do método construtivo, os trechos são os mesmos. Construa seções de um paralelepípedo com um plano passando pelos pontos B1, M, N Regras B1 D1 C1 A1 P K B D A E N C O M 1. MN 3.MN ∩ BA=O 2. Continue 4. B1O MN,BA 5. B1O ∩ A1A=K 6. KM 7. Continue com MN e BD. 8. MN ∩ BD=E 9. B1E 10. B1E ∩ D1D=P, PN Paralelepípedo e tetraedro, seções Ditado sobre o tema “Tetraedro, paralelepípedo” Opção I Opção II 1. Que superfície chamamos de tetraedro? paralelepípedo? 2. Quais são as faces, arestas e vértices de um paralelepípedo? tetraedro? 3. Indique a propriedade de um paralelepípedo em relação às diagonais. sobre bordas. Ditado sobre o tema “Tetraedro, paralelepípedo” Opção I 4. Quais arestas do tetraedro são chamadas de opostas? Opção II 4. Quais faces de um paralelepípedo são chamadas de adjacentes? 5. Desenhe a imagem de um paralelepípedo. tetraedro. Liste todos os elementos e indique sua quantidade. Construa uma seção de um paralelepípedo com um plano passando pelos pontos M, A, D. В1 D1 E A1 С1 В А М D С 1. AD 2. MD 3. ME AD, porque (ABC) (A1B1C1) 4. AE AEMD – seção. Construindo seções de um tetraedro Vamos resolver o problema D M B A C Vamos resolver o problema K M L A N Vamos resolver o problema D AC BD B A M C Vamos resolver o problema D M K ABC B A K N Que outra opção é possível? C Resolva o problema D M B A K N C Resolva o problema D M ABC K N ACD B N A M C Resolva o problema D M ABC K N ACD N B A M C Trabalho de casa, repita as etapas 1 - 14, prepare-se para o teste nº 74, 75 (b), 107, 79 Construção de seções de um paralelepípedo Resolver problema B1 C1 М АА1В1В A1 D1 M (BDD1) B A C D Resolver problema C1 B1 A1 D1 B A C D Resolver problema B1 A1 C1 D1 B A C D Resolver problema B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Resolver problema B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Resolver problema B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Resolva o problema B1 C1 A1 D1 M B N A C K D 1. Todos os vértices da seção estão nas bordas do poliedro. 2. Todos os lados da seção estão nas faces do poliedro. 3. Cada face não contém mais do que um lado da seção. 10 10 10 10 VOCÊ APRENDEU MUITO E VIU MUITO! ENTÃO VAI GALERA: SEJA BEM E CRIE! OBRIGADO PELA SUA ATENÇÃO.

Nesta lição veremos o tetraedro e seus elementos (aresta, superfície, faces, vértices do tetraedro). E resolveremos vários problemas na construção de seções em um tetraedro usando método geral para construir seções.

Tópico: Paralelismo de linhas e planos

Lição: Tetraedro. Problemas na construção de seções em um tetraedro

Como construir um tetraedro? Vamos pegar um triângulo arbitrário abc. Qualquer ponto D, não estando no plano deste triângulo. Obtemos 4 triângulos. A superfície formada por esses 4 triângulos é chamada de tetraedro (Fig. 1.). Os pontos internos delimitados por esta superfície também fazem parte do tetraedro.

Arroz. 1. Tetraedro ABCD

Elementos de um tetraedro
A,B, C, D - vértices de um tetraedro.
AB, A.C., DE ANÚNCIOS, a.C., BD, CD - arestas do tetraedro.
abc, ABD, CDB, ADC - faces do tetraedro.

Comente: pode ser tomado plano abc atrás base tetraedro, e então aponte Dé vértice de um tetraedro. Cada aresta do tetraedro é a intersecção de dois planos. Por exemplo, costela AB- esta é a intersecção de planos ABD E abc. Cada vértice de um tetraedro é a intersecção de três planos. Vértice A encontra-se em aviões abc, ABD, ADCOM. Ponto Aé a intersecção dos três planos designados. Este fato está escrito da seguinte forma: A= abc ∩ ABD ∩ ACD.

Definição de tetraedro

Então, tetraedroé uma superfície formada por quatro triângulos.

Borda do tetraedro- a linha de intersecção de dois planos do tetraedro.

Faça 4 triângulos iguais com 6 fósforos. É impossível resolver o problema de avião. E isso é fácil de fazer no espaço. Vamos pegar um tetraedro. 6 correspondências são suas arestas, quatro faces do tetraedro e serão quatro triângulos iguais. O problema está resolvido.

Dado um tetraedro abcD. Ponto M pertence a uma aresta do tetraedro AB, ponto N pertence a uma aresta do tetraedro EMD e período R pertence à borda DCOM(Figura 2.). Construa uma seção de um tetraedro com um plano MNP.

Arroz. 2. Desenho para o problema 2 - Construir uma seção de um tetraedro com um plano

Solução:
Considere a face de um tetraedro DSol. Nesta face do ponto N E P pertencem aos rostos DSol e, portanto, o tetraedro. Mas de acordo com a condição do ponto N, P pertencem ao plano de corte. Significa, NP- esta é a linha de intersecção de dois planos: o plano da face DSol e plano de corte. Suponhamos que as linhas retas NP E Sol não paralelo. Eles estão no mesmo plano DSol. Vamos encontrar o ponto de intersecção das linhas NP E Sol. Vamos denotar isso E(Fig. 3.).

Arroz. 3. Desenho para o problema 2. Encontrando o ponto E

Ponto E pertence ao plano de seção MNP, já que está na linha NP, e a linha reta NP encontra-se inteiramente no plano de seção MNP.

Também aponte E está em um avião abc, porque está em linha reta Sol fora do avião abc.

Nós entendemos isso COMER- linha de intersecção de planos abc E MNP, desde pontos E E M mentir simultaneamente em dois planos - abc E MNP. Vamos conectar os pontos M E E, e continue em frente COMER até a intersecção com a linha AC. Ponto de intersecção de linhas COMER E AC vamos denotar P.

Então neste caso NPQМ- a seção necessária.

Arroz. 4. Desenho para o problema 2. Solução do problema 2

Consideremos agora o caso em que NP paralelo a.C.. Se direto NP paralelo a alguma linha, por exemplo, uma linha reta Sol fora do avião abc, então direto NP paralelo a todo o plano abc.

O plano de seção desejado passa pela linha reta NP, paralelo ao plano abc, e cruza o plano em linha reta QM. Então a linha de intersecção QM paralelo à linha NP. Nós temos NPQМ- a seção necessária.

Ponto M fica do lado ADEM tetraedro abcD. Construa uma seção do tetraedro com um plano que passa pelo ponto M paralelo à base abc.

Arroz. 5. Desenho para o problema 3 Construa uma seção de um tetraedro com um plano

Solução:
Plano de corte φ paralelo ao plano abc de acordo com a condição, isso significa que este plano φ paralelo às linhas AB, AC, Sol.
No avião ABD através do ponto M vamos fazer um direto QP paralelo AB(Fig. 5). Direto QP está em um avião ABD. Da mesma forma no avião ACD através do ponto R vamos fazer um direto RP paralelo AC. Tenho um ponto R. Duas linhas que se cruzam QP E RP avião PQR respectivamente paralelas a duas linhas que se cruzam AB E AC avião abc, o que significa aviões abc E PQR paralelo. PQR- a seção necessária. O problema está resolvido.

Dado um tetraedro abcD. Ponto M- ponto interno, ponto na face do tetraedro ABD. N- ponto interno do segmento DCOM(Fig. 6.). Construir o ponto de intersecção de uma linha N. M. e aviões abc.

Arroz. 6. Desenho para o problema 4

Solução:
Para resolver isso, construiremos um plano auxiliar DMinnesota. Que seja direto DM cruza a linha AB no ponto PARA(Fig. 7.). Então, SKD- esta é uma seção do avião DMinnesota e tetraedro. No avião DMinnesota mentiras e direto N. M., e a linha reta resultante SK. Então se N. M. não paralelo SK, então eles se cruzarão em algum ponto R. Ponto R e haverá o ponto de intersecção desejado da linha N. M. e aviões abc.

Arroz. 7. Desenho para o problema 4. Solução do problema 4

Dado um tetraedro abcD. M- ponto interno do rosto ABD. R- ponto interno do rosto abc. N- ponto interno da borda DCOM(Fig. 8.). Construa uma seção de um tetraedro com um plano passando pelos pontos M, N E R.

Arroz. 8. Desenho para o problema 5 Construa uma seção de um tetraedro com um plano

Solução:
Consideremos o primeiro caso, quando a linha reta Minnesota não paralelo ao plano abc. No problema anterior encontramos o ponto de intersecção da linha Minnesota e aviões abc. Essa é a questão PARA, é obtido usando o plano auxiliar DMinnesota, ou seja nós fazemos DM e ganhamos um ponto F. Nós realizamos FC e no cruzamento Minnesota ganhamos um ponto PARA.

Arroz. 9. Desenho para o problema 5. Encontrando o ponto K

Vamos fazer um direto KR. Direto KR encontra-se tanto no plano de seção quanto no plano abc. Obtendo os pontos P1 E R2. Conectando P1 E M e como continuação chegamos ao ponto M1. Conectando o ponto R2 E N. Como resultado, obtemos a seção desejada Р 1 Р 2 NM 1. O problema no primeiro caso está resolvido.
Consideremos o segundo caso, quando a linha reta Minnesota paralelo ao plano abc. Avião MNP passa por uma linha reta Minnesota paralelo ao plano abc e cruza o plano abc ao longo de alguma linha reta R 1 R 2, então direto R 1 R 2 paralelo à linha dada Minnesota(Fig. 10.).

Arroz. 10. Desenho para o problema 5. A seção necessária

Agora vamos desenhar uma linha reta R 1M e ganhamos um ponto M1.Р 1 Р 2 NM 1- a seção necessária.

Então, olhamos para o tetraedro e resolvemos alguns problemas típicos de tetraedro. Na próxima lição veremos um paralelepípedo.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5ª edição, corrigida e ampliada - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : doente. Geometria. 10ª a 11ª séries: livro didático para alunos de instituições de ensino geral (níveis básico e especializado)

2. Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: il. Geometria. 10ª a 11ª séries: Livro didático para instituições de ensino geral

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6ª edição, estereótipo. - M.: Abetarda, 008. - 233 p. :il. Geometria. 10ª série: Livro didático para instituições de ensino geral com estudo aprofundado e especializado de matemática

Recursos adicionais da web

2. Como construir a seção transversal de um tetraedro. Matemática ().

3. Festival de ideias pedagógicas ().

Faça problemas em casa sobre o tema “Tetraedro”, como encontrar a aresta de um tetraedro, faces de um tetraedro, vértices e superfície de um tetraedro

1. Geometria. 10ª a 11ª séries: livro didático para alunos de instituições de ensino geral (níveis básico e especializado) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5ª edição, corrigida e ampliada - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 pp.: il. Tarefas 18, 19, 20 página 50

2. Ponto E costela média MA tetraedro MAVS. Construa uma seção do tetraedro com um plano passando pelos pontos B, C E E.

3. No tetraedro MABC, o ponto M pertence à face AMV, o ponto P pertence à face BMC, o ponto K pertence à aresta AC. Construa uma seção do tetraedro com um plano passando pelos pontos M, R, K.

4. Que formas podem ser obtidas pela intersecção de um tetraedro com um plano?