Espero que depois de estudar este artigo você aprenda como encontrar as raízes de uma equação quadrática completa.

Usando o discriminante, apenas equações quadráticas completas são resolvidas; para resolver equações incompletas equações quadráticas use outros métodos que você encontrará no artigo "Resolvendo equações quadráticas incompletas".

Quais equações quadráticas são chamadas de completas? Esse equações da forma machado 2 + b x + c = 0, onde os coeficientes a, b e c não são iguais a zero. Então, para resolver uma equação quadrática completa, precisamos calcular o discriminante D.

D = b 2 – 4ac.

Dependendo do valor do discriminante, anotaremos a resposta.

Se o discriminante for um número negativo (D< 0),то корней нет.

Se o discriminante for zero, então x = (-b)/2a. Quando o discriminante número positivo(D > 0),

então x 1 = (-b - √D)/2a, e x 2 = (-b + √D)/2a.

Por exemplo. Resolva a equação x 2– 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Resposta: 2.

Resolva a Equação 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Resposta: sem raízes.

Resolva a Equação 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Resposta: – 3,5; 1.

Então vamos imaginar a solução de equações quadráticas completas usando o diagrama da Figura 1.

Usando essas fórmulas você pode resolver qualquer equação quadrática completa. Você só precisa ter cuidado para a equação foi escrita como um polinômio da forma padrão

A x 2 + bx + c, caso contrário, você pode cometer um erro. Por exemplo, ao escrever a equação x + 3 + 2x 2 = 0, você pode decidir erroneamente que

a = 1, b = 3 e c = 2. Então

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 e então a equação tem duas raízes. E isso não é verdade. (Veja a solução para o exemplo 2 acima).

Portanto, se a equação não for escrita como um polinômio da forma padrão, primeiro a equação quadrática completa deve ser escrita como um polinômio da forma padrão (o monômio com o maior expoente deve vir primeiro, ou seja A x 2 , então com menos – bx e então um membro gratuito Com.

Ao resolver a equação quadrática reduzida e uma equação quadrática com coeficiente par no segundo termo, outras fórmulas podem ser usadas. Vamos nos familiarizar com essas fórmulas. Se em uma equação quadrática completa o segundo termo tiver um coeficiente par (b = 2k), então você pode resolver a equação usando as fórmulas mostradas no diagrama da Figura 2.

Uma equação quadrática completa é chamada reduzida se o coeficiente em x 2 é igual a um e a equação assume a forma x 2 + px + q = 0. Tal equação pode ser dada para solução ou pode ser obtida dividindo todos os coeficientes da equação pelo coeficiente A, parado em x 2 .

A Figura 3 mostra um diagrama para resolver o quadrado reduzido
equações. Vejamos um exemplo de aplicação das fórmulas discutidas neste artigo.

Exemplo. Resolva a equação

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Vamos resolver esta equação usando as fórmulas mostradas no diagrama da Figura 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Resposta: –1 – √3; –1 + √3

Você pode notar que o coeficiente de x nesta equação é um número par, ou seja, b = 6 ou b = 2k, de onde k = 3. Então vamos tentar resolver a equação usando as fórmulas mostradas no diagrama da figura D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Resposta: –1 – √3; –1 + √3. Observando que todos os coeficientes desta equação quadrática são divisíveis por 3 e realizando a divisão, obtemos a equação quadrática reduzida x 2 + 2x – 2 = 0 Resolva esta equação usando as fórmulas para a equação quadrática reduzida
equações figura 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Resposta: –1 – √3; –1 + √3.

Como você pode ver, ao resolver esta equação usando fórmulas diferentes, obtivemos a mesma resposta. Portanto, tendo dominado completamente as fórmulas mostradas no diagrama da Figura 1, você sempre será capaz de resolver qualquer equação quadrática completa.

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Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Instituição educacional orçamentária municipal, escola secundária nº 11

O texto da obra é postado sem imagens e fórmulas.
Versão completa o trabalho está disponível na aba "Arquivos de Trabalho" em formato PDF

História das equações quadráticas

Babilônia

A necessidade de resolver equações não só de primeiro grau, mas também de segundo grau na antiguidade era causada pela necessidade de resolver problemas relacionados à localização de áreas terrenos, com o desenvolvimento da astronomia e da própria matemática. Equações quadráticas poderiam ser resolvidas por volta de 2.000 aC. e. Babilônios. As regras para resolver essas equações estabelecidas nos textos babilônicos são essencialmente as mesmas que as modernas, mas esses textos carecem do conceito de número negativo e de métodos gerais para resolver equações quadráticas.

Grécia antiga

A resolução de equações quadráticas também foi feita em Grécia antiga cientistas como Diofanto, Euclides e Heron. Diofanto Diofanto de Alexandria é um antigo matemático grego que provavelmente viveu no século III DC. A principal obra de Diofanto é “Aritmética” em 13 livros. Euclides. Euclides é um matemático grego antigo, autor do primeiro tratado teórico de matemática que chegou até nós, Heron. Heron - matemático e engenheiro grego pela primeira vez na Grécia no século I DC. fornece uma maneira puramente algébrica de resolver uma equação quadrática

Índia

Problemas sobre equações quadráticas já são encontrados no tratado astronômico “Aryabhattiam”, compilado em 499 pelo matemático e astrônomo indiano Aryabhatta. Outro cientista indiano, Brahmagupta (século VII), traçou a regra geral para resolver equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica: ax2 + bx = c, a> 0. (1) Na equação (1) os coeficientes podem ser negativos. O governo de Brahmagupta é essencialmente o mesmo que o nosso. As competições públicas para resolver problemas difíceis eram comuns na Índia. Um dos antigos livros indianos diz o seguinte sobre tais competições: “Assim como o sol eclipsa as estrelas com seu brilho, assim também homem instruído eclipsará sua glória nas assembléias públicas ao propor e resolver problemas algébricos.” Os problemas eram frequentemente apresentados de forma poética.

Este é um dos problemas do famoso matemático indiano do século XII. Bhaskars.

“Um bando de macacos brincalhões

E doze ao longo das vinhas, tendo comido o quanto quisesse, se divertiram

Eles começaram a pular, pendurados

Parte oito deles ao quadrado

Quantos macacos havia?

Eu estava me divertindo na clareira

Me diga, neste pacote?

A solução de Bhaskara indica que o autor sabia que as raízes das equações quadráticas têm dois valores. Bhaskar escreve a equação correspondente ao problema como x2 - 64x = - 768 e, para completar o lado esquerdo desta equação em um quadrado, soma 322 a ambos os lados, obtendo então: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Equações quadráticas na Europa do século XVII

As fórmulas para resolver equações quadráticas modeladas após Al-Khorezmi na Europa foram apresentadas pela primeira vez no Livro do Ábaco, escrito em 1202 pelo matemático italiano Leonardo Fibonacci. Esta volumosa obra, que reflecte a influência da matemática, tanto dos países do Islão como da Grécia antiga, distingue-se pela sua completude e clareza de apresentação. O autor desenvolveu de forma independente alguns novos exemplos algébricos resolvendo problemas e foi o primeiro na Europa a introduzir números negativos. O seu livro contribuiu para a difusão do conhecimento algébrico não só na Itália, mas também na Alemanha, França e outros países europeus. Muitos problemas do Livro do Ábaco foram usados ​​em quase todos os livros europeus dos séculos XVI a XVII. e parcialmente XVIII. A derivação da fórmula para resolver uma equação quadrática na forma geral está disponível em Viète, mas Viète reconheceu apenas raízes positivas. Os matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli estiveram entre os primeiros no século XVI. Além das positivas, também são levadas em consideração as raízes negativas. Somente no século XVII. Graças ao trabalho de Girard, Descartes, Newton e outros cientistas, o método de resolução de equações quadráticas assume uma forma moderna.

Definição de uma equação quadrática

Uma equação da forma ax 2 + bx + c = 0, onde a, b, c são números, é chamada quadrática.

Coeficientes da equação quadrática

Os números a, b, c são os coeficientes da equação quadrática. a é o primeiro coeficiente (antes de x²), a ≠ 0; b é o segundo coeficiente (antes de x); c é o termo livre (sem x).

Quais dessas equações não são quadráticas??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Tipos de equações quadráticas

Nome	Forma geral da equação	Recurso (quais são os coeficientes)	Exemplos de equações
	machado 2 + bx + c = 0	a, b, c - números diferentes de 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Incompleto
			x 2 - 1/5x = 0
Dado	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Reduzida é uma equação quadrática em que o coeficiente líder é igual a um. Tal equação pode ser obtida dividindo a expressão inteira pelo coeficiente líder a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Uma equação quadrática é chamada completa se todos os seus coeficientes forem diferentes de zero.

Uma equação quadrática é chamada de incompleta quando pelo menos um dos coeficientes, exceto o principal (seja o segundo coeficiente ou o termo livre), é igual a zero.

Métodos para resolver equações quadráticas

Método I Fórmula geral para cálculo de raízes

Para encontrar as raízes de uma equação quadrática machado 2 + b + c = 0 Em geral, você deve usar o algoritmo abaixo:

Calcule o valor do discriminante de uma equação quadrática: esta é a expressão para isso D = b 2 - 4ac

Derivação da fórmula:

Observação:É óbvio que a fórmula para uma raiz de multiplicidade 2 é um caso especial da fórmula geral, obtida substituindo nela a igualdade D=0, e a conclusão sobre a ausência de raízes reais em D0, e (displaystyle (sqrt ( -1))=eu) = eu.

O método apresentado é universal, mas está longe de ser o único. A resolução de uma única equação pode ser abordada de várias maneiras, com preferências geralmente dependendo do solucionador. Além disso, muitas vezes, para esse fim, alguns dos métodos revelam-se muito mais elegantes, simples e menos trabalhosos do que o método padrão.

Método II. Raízes de uma equação quadrática com coeficiente par b Método III. Resolvendo equações quadráticas incompletas

Método IV. Usando razões parciais de coeficientes

Existem casos especiais de equações quadráticas em que os coeficientes estão relacionados entre si, tornando-os muito mais fáceis de resolver.

Raízes de uma equação quadrática em que a soma do coeficiente principal e do termo livre é igual ao segundo coeficiente

Se em uma equação quadrática machado 2 + bx + c = 0 a soma do primeiro coeficiente e do termo livre é igual ao segundo coeficiente: a+b=c, então suas raízes são -1 e o número atitude oposta termo livre para o coeficiente líder ( -c/a).

Portanto, antes de resolver qualquer equação quadrática, você deve verificar a possibilidade de aplicar este teorema a ela: compare a soma do coeficiente líder e do termo livre com o segundo coeficiente.

Raízes de uma equação quadrática cuja soma de todos os coeficientes é zero

Se em uma equação quadrática a soma de todos os seus coeficientes for zero, então as raízes de tal equação são 1 e a razão entre o termo livre e o coeficiente líder ( c/a).

Portanto, antes de resolver a equação métodos padrão, você deve verificar a aplicabilidade deste teorema a ele: somar todos os coeficientes desta equação e ver se esta soma não é igual a zero.

Método V. Fatorando um trinômio quadrático em fatores lineares

Se o trinômio for da forma (estilo de exibição machado ^ (2) + bx + c (anot = 0)) machado 2 + bx + c(uma ≠ 0) pode de alguma forma ser representado como um produto de fatores lineares (estilo de exibição (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), então podemos encontrar as raízes da equação machado 2 + bx + c = 0- eles serão -m/k e n/l, de fato, afinal (estilo de exibição (kx + m) (lx + n) = 0Longleftrightarrow kx + m = 0cup lx + n = 0) (kx + m) (lx + n) = 0 kx + mUlx + n, e tendo resolvido as equações lineares indicadas, obtemos o acima. Observe que o trinômio quadrático nem sempre se decompõe em fatores lineares com coeficientes reais: isso é possível se a equação correspondente tiver raízes reais.

Vamos considerar alguns casos especiais

Usando a fórmula da soma quadrada (diferença)

Se o trinômio quadrático tiver a forma (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , então, aplicando a fórmula acima a ele, podemos fatorá-lo em fatores lineares e , portanto, encontre raízes:

(machado) 2 + 2abx + b 2 = (machado + b) 2

Isolando o quadrado completo da soma (diferença)

A fórmula acima também é usada usando um método chamado “selecionar o quadrado completo da soma (diferença)”. Em relação à equação quadrática acima com a notação introduzida anteriormente, isso significa o seguinte:

Observação: Se você notar, esta fórmula coincide com a proposta na seção “Raízes da equação quadrática reduzida”, que, por sua vez, pode ser obtida a partir da fórmula geral (1) substituindo a igualdade a=1. Este facto não é apenas uma coincidência: utilizando o método descrito, ainda que com algum raciocínio adicional, pode-se derivar uma fórmula geral e também provar as propriedades do discriminante.

Método VI. Usando o teorema de Vieta direto e inverso

O teorema direto de Vieta (veja abaixo na seção de mesmo nome) e seu teorema inverso permitem resolver oralmente as equações quadráticas acima, sem recorrer a cálculos bastante complicados usando a fórmula (1).

De acordo com o teorema inverso, todo par de números (número) (estilo de exibição x_(1),x_(2))x 1, x 2, sendo uma solução para o sistema de equações abaixo, são as raízes da equação

No caso geral, isto é, para uma equação quadrática não reduzida ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/uma, x 1 * x 2 = c/uma

Um teorema direto o ajudará a encontrar números que satisfaçam essas equações oralmente. Com sua ajuda, você pode determinar os sinais das raízes sem conhecer as próprias raízes. Para fazer isso, você deve seguir a regra:

1) se o termo livre for negativo, então as raízes têm sinal diferente, e o maior módulo das raízes é o sinal oposto ao sinal do segundo coeficiente da equação;

2) se o termo livre for positivo, então ambas as raízes têm o mesmo sinal, e este é o sinal oposto ao sinal do segundo coeficiente.

Método VII. Método de transferência

O chamado método de “transferência” permite reduzir a solução de equações não reduzidas e irredutíveis à forma de equações reduzidas com coeficientes inteiros, dividindo-as pelo coeficiente líder para a solução de equações reduzidas com coeficientes inteiros. É o seguinte:

Em seguida, a equação é resolvida oralmente da maneira descrita acima, então eles retornam à variável original e encontram as raízes das equações (estilo de exibição y_(1)=ax_(1)) sim 1 =machado 1 E sim 2 =machado 2 .(estilo de exibição y_(2)=ax_(2))

Significado geométrico

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. As soluções (raízes) de uma equação quadrática são as abcissas dos pontos de intersecção da parábola com o eixo das abcissas. Se a parábola descrita por uma função quadrática não interceptar o eixo x, a equação não terá raízes reais. Se uma parábola intercepta o eixo x em um ponto (no vértice da parábola), a equação tem uma raiz real (diz-se também que a equação tem duas raízes coincidentes). Se a parábola intercepta o eixo x em dois pontos, a equação tem duas raízes reais (veja a imagem à direita).

Se coeficiente (estilo de exibição a) a positivo, os ramos da parábola são direcionados para cima e vice-versa. Se o coeficiente (estilo de exibição b) bpositivo (se positivo (estilo de exibição a) a, se negativo, vice-versa), então o vértice da parábola está no semiplano esquerdo e vice-versa.

Aplicação de equações quadráticas na vida

A equação quadrática é amplamente utilizada. É usado em muitos cálculos, estruturas, esportes e também ao nosso redor.

Consideremos e dêmos alguns exemplos de aplicação da equação quadrática.

Esporte. Saltos em altura: durante a corrida do saltador, são utilizados cálculos relacionados à parábola para obter o impacto mais claro possível na barra de decolagem e no vôo alto.

Além disso, cálculos semelhantes são necessários no lançamento. O alcance de vôo de um objeto depende da equação quadrática.

Astronomia. A trajetória dos planetas pode ser encontrada usando uma equação quadrática.

Voo de avião. A decolagem do avião é o principal componente do vôo. Aqui fazemos o cálculo para baixa resistência e aceleração de decolagem.

As equações quadráticas também são utilizadas em diversas disciplinas econômicas, em programas de processamento de áudio, vídeo, gráficos vetoriais e raster.

Conclusão

Como resultado do trabalho realizado, descobriu-se que as equações quadráticas atraíram os cientistas na antiguidade, pois já as tinham encontrado na resolução de alguns problemas e tentavam resolvê-los. Considerando várias maneiras resolvendo equações quadráticas, cheguei à conclusão de que nem todas são simples. Na minha opinião o mais a melhor maneira resolver equações quadráticas é resolver por fórmulas. As fórmulas são fáceis de lembrar, este método é universal. A hipótese de que as equações são amplamente utilizadas na vida e na matemática foi confirmada. Depois de estudar o assunto, aprendi muito fatos interessantes sobre equações quadráticas, seu uso, aplicação, tipos, soluções. E ficarei feliz em continuar estudando-os. Espero que isso me ajude a ir bem nos exames.

Lista de literatura usada

Materiais do site:

Wikipédia

Abra lição.rf

Manual de Matemática Elementar Vygodsky M. Ya.

Com este programa de matemática você pode resolver equação quadrática.

O programa não apenas dá a resposta ao problema, mas também exibe o processo de solução de duas maneiras:
- usando um discriminante
- usando o teorema de Vieta (se possível).

Além disso, a resposta é exibida como exata, não aproximada.
Por exemplo, para a equação \(81x^2-16x-1=0\) a resposta é exibida no seguinte formato:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ e não assim: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Este programa pode ser útil para estudantes do ensino médio em escolas secundárias em preparação para testes e exames, ao testar conhecimentos antes do Exame Estadual Unificado, para os pais controlarem a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro contratar um tutor ou comprar novos livros? Ou você apenas quer fazer isso o mais rápido possível? trabalho de casa em matemática ou álgebra? Neste caso, você também pode utilizar nossos programas com soluções detalhadas.

Desta forma, você pode realizar sua própria formação e/ou formação de seus irmãos ou irmãs mais novos, enquanto aumenta o nível de escolaridade na área de resolução de problemas.

Se você não está familiarizado com as regras para inserir um polinômio quadrático, recomendamos que você se familiarize com elas.

Regras para inserir um polinômio quadrático

Qualquer letra latina pode atuar como uma variável.
Por exemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Os números podem ser inseridos como números inteiros ou fracionários.
Além disso, números fracionários pode ser inserido não apenas como decimal, mas também como fração ordinária.

Regras para inserir frações decimais.
Nas frações decimais, a parte fracionária pode ser separada da parte inteira por um ponto ou vírgula.
Por exemplo, você pode inserir frações decimais como esta: 2,5x - 3,5x^2

Regras para inserir frações ordinárias.
Apenas um número inteiro pode atuar como numerador, denominador e parte inteira de uma fração.

O denominador não pode ser negativo.

Ao inserir uma fração numérica, o numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
A parte inteira é separada da fração pelo sinal e comercial: &
Entrada: 3 e 1/3 - 5 e 6/5z +1/7z^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Ao inserir uma expressão você pode usar parênteses. Neste caso, ao resolver uma equação quadrática, a expressão introduzida é primeiro simplificada.
Por exemplo: 1/2(a-1)(a+1)-(5a-10&1/2)

=0

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Um pouco de teoria.

Equação quadrática e suas raízes. Equações quadráticas incompletas

Cada uma das equações
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
parece
\(ax^2+bx+c=0, \)
onde x é uma variável, a, b e c são números.
Na primeira equação a = -1, b = 6 e c = 1,4, na segunda a = 8, b = -7 e c = 0, na terceira a = 1, b = 0 e c = 4/9. Tais equações são chamadas equações quadráticas.

Definição.
Equação quadráticaé chamada de equação da forma ax 2 +bx+c=0, onde x é uma variável, a, b e c são alguns números e \(a \neq 0 \).

Os números a, b e c são os coeficientes da equação quadrática. O número a é chamado de primeiro coeficiente, o número b é o segundo coeficiente e o número c é o termo livre.

Em cada uma das equações da forma ax 2 +bx+c=0, onde \(a\neq 0\), a maior potência da variável x é um quadrado. Daí o nome: equação quadrática.

Observe que uma equação quadrática também é chamada de equação de segundo grau, pois seu lado esquerdo é um polinômio de segundo grau.

Uma equação quadrática em que o coeficiente de x 2 é igual a 1 é chamada dada equação quadrática. Por exemplo, as equações quadráticas fornecidas são as equações
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Se em uma equação quadrática machado 2 +bx+c=0 pelo menos um dos coeficientes b ou c é igual a zero, então tal equação é chamada equação quadrática incompleta. Assim, as equações -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 são equações quadráticas incompletas. No primeiro deles b=0, no segundo c=0, no terceiro b=0 e c=0.

Existem três tipos de equações quadráticas incompletas:
1) machado 2 +c=0, onde \(c \neq 0 \);
2) machado 2 +bx=0, onde \(b \neq 0 \);
3) machado 2 =0.

Vamos considerar a resolução de equações de cada um desses tipos.

Para resolver uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 +c=0 para \(c \neq 0 \), mova seu termo livre para o lado direito e divida ambos os lados da equação por a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Como \(c \neq 0 \), então \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Se \(-\frac(c)(a)>0\), então a equação tem duas raízes.

Se \(-\frac(c)(a) Para resolver uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 +bx=0 com \(b \neq 0 \) fatore seu lado esquerdo e obtenha a equação
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Isso significa que uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 +bx=0 para \(b \neq 0 \) sempre tem duas raízes.

Uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 =0 é equivalente à equação x 2 =0 e, portanto, tem uma única raiz 0.

Fórmula para as raízes de uma equação quadrática

Vamos agora considerar como resolver equações quadráticas nas quais os coeficientes das incógnitas e o termo livre são diferentes de zero.

Resolvamos a equação quadrática de forma geral e como resultado obtemos a fórmula das raízes. Esta fórmula pode então ser usada para resolver qualquer equação quadrática.

Resolva a equação quadrática machado 2 +bx+c=0

Dividindo ambos os lados por a, obtemos a equação quadrática reduzida equivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Vamos transformar esta equação selecionando o quadrado do binômio:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

A expressão radical é chamada discriminante de uma equação quadrática ax 2 +bx+c=0 (“discriminante” em latim - discriminador). É designado pela letra D, ou seja,
\(D =b^2-4ac\)

Agora, usando a notação discriminante, reescrevemos a fórmula das raízes da equação quadrática:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), onde \(D= b^2-4ac \)

É óbvio que:
1) Se D>0, então a equação quadrática tem duas raízes.
2) Se D=0, então a equação quadrática tem uma raiz \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Se D Assim, dependendo do valor do discriminante, uma equação quadrática pode ter duas raízes (para D > 0), uma raiz (para D = 0) ou não ter raízes (para D Ao resolver uma equação quadrática usando este fórmula, é aconselhável fazer o seguinte:
1) calcular o discriminante e compará-lo com zero;
2) se o discriminante for positivo ou igual a zero, use a fórmula da raiz; se o discriminante for negativo, anote que não há raízes.

Teorema de Vieta

A equação quadrática dada ax 2 -7x+10=0 tem raízes 2 e 5. A soma das raízes é 7 e o produto é 10. Vemos que a soma das raízes é igual ao segundo coeficiente retirado de sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre. Qualquer equação quadrática reduzida que tenha raízes possui esta propriedade.

A soma das raízes da equação quadrática acima é igual ao segundo coeficiente tomado com sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre.

Aqueles. O teorema de Vieta afirma que as raízes x 1 e x 2 da equação quadrática reduzida x 2 +px+q=0 têm a propriedade:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Alguns problemas de matemática exigem a capacidade de calcular o valor da raiz quadrada. Tais problemas incluem a resolução de equações de segunda ordem. Neste artigo apresentaremos método eficaz cálculo de raízes quadradas e use-o ao trabalhar com fórmulas para as raízes de uma equação quadrática.

O que é uma raiz quadrada?

Em matemática, este conceito corresponde ao símbolo √. Dados históricos dizem que foi usado pela primeira vez por volta da primeira metade do século XVI na Alemanha (o primeiro trabalho alemão sobre álgebra de Christoph Rudolf). Os cientistas acreditam que o símbolo especificado é uma transformação Letra latina r (radix significa "raiz" em latim).

A raiz de qualquer número é igual ao valor cujo quadrado corresponde à expressão radical. Na linguagem da matemática, esta definição ficará assim: √x = y, se y 2 = x.

A raiz de um número positivo (x > 0) também é um número positivo (y > 0), mas se você tirar a raiz de um número negativo (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Aqui estão dois exemplos simples:

√9 = 3, pois 3 2 = 9; √(-9) = 3i, já que i 2 = -1.

Fórmula iterativa de Heron para encontrar os valores das raízes quadradas

Os exemplos acima são muito simples e calcular as raízes deles não é difícil. As dificuldades começam a aparecer mesmo ao encontrar valores de raiz para qualquer valor que não possa ser representado como um quadrado de um número natural, por exemplo √10, √11, √12, √13, sem falar no fato de que na prática é necessário encontrar raízes para números não inteiros: por exemplo √(12,15), √(8,5) e assim por diante.

Em todos os casos acima, deve ser utilizado um método especial para calcular a raiz quadrada. Atualmente, vários desses métodos são conhecidos: por exemplo, expansão em série de Taylor, divisão em colunas e alguns outros. De todos os métodos conhecidos, talvez o mais simples e eficaz seja o uso da fórmula iterativa de Heron, também conhecida como método babilônico para determinar raízes quadradas (há evidências de que os antigos babilônios o usavam em seus cálculos práticos).

Seja necessário determinar o valor de √x. A fórmula para encontrar a raiz quadrada é a seguinte:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), onde lim n->∞ (a n) => x.

Vamos decifrar essa notação matemática. Para calcular √x, você deve pegar um certo número a 0 (pode ser arbitrário, mas para obter o resultado rapidamente, você deve escolhê-lo de forma que (a 0) 2 seja o mais próximo possível de x. Em seguida, substitua-o no fórmula indicada para calcular a raiz quadrada e obter um novo número 1, que já estará mais próximo do valor desejado. Depois disso, você precisa substituir 1 na expressão e obter 2. Este procedimento deve ser repetido até que o necessário precisão é obtida.

Um exemplo de uso da fórmula iterativa de Heron

O algoritmo descrito acima para obter a raiz quadrada de um determinado número pode parecer bastante complicado e confuso para muitos, mas na realidade tudo acaba sendo muito mais simples, pois esta fórmula converge muito rapidamente (especialmente se um número bem sucedido for escolhido 0) .

Vamos dar um exemplo simples: você precisa calcular √11. Vamos escolher 0 = 3, já que 3 2 = 9, que está mais próximo de 11 do que 4 2 = 16. Substituindo na fórmula, obtemos:

a1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

a2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Não adianta continuar os cálculos, pois descobrimos que 2 e 3 começam a diferir apenas na 5ª casa decimal. Assim, bastou aplicar a fórmula apenas 2 vezes para calcular √11 com precisão de 0,0001.

Hoje em dia, calculadoras e computadores são amplamente utilizados para calcular raízes, porém, é útil lembrar a fórmula marcada para poder calcular manualmente seu valor exato.

Equações de segunda ordem

Compreender o que é uma raiz quadrada e a capacidade de calculá-la é usado na resolução de equações quadráticas. Essas equações são chamadas de igualdades com uma incógnita, Forma geral que é mostrado na figura abaixo.

Aqui c, b e a representam alguns números, e a não deve ser igual a zero, e os valores de c e b podem ser completamente arbitrários, inclusive iguais a zero.

Quaisquer valores de x que satisfaçam a igualdade indicada na figura são chamados de raízes (este conceito não deve ser confundido com a raiz quadrada √). Como a equação em consideração é de 2ª ordem (x 2), então não pode haver mais do que duas raízes para ela. Vejamos mais adiante no artigo como encontrar essas raízes.

Encontrando as raízes de uma equação quadrática (fórmula)

Este método de resolver o tipo de igualdade em consideração também é chamado de método universal ou método discriminante. Pode ser usado para qualquer equação quadrática. A fórmula para o discriminante e as raízes da equação quadrática é a seguinte:

Mostra que as raízes dependem do valor de cada um dos três coeficientes da equação. Além disso, o cálculo de x 1 difere do cálculo de x 2 apenas pelo sinal antes da raiz quadrada. A expressão radical, que é igual a b 2 - 4ac, nada mais é do que o discriminante da igualdade em questão. O discriminante na fórmula das raízes de uma equação quadrática desempenha um papel importante porque determina o número e o tipo de soluções. Então, se for igual a zero, então haverá apenas uma solução, se for positiva, então a equação tem duas raízes reais e, finalmente, um discriminante negativo leva a duas raízes complexas x 1 e x 2.

Teorema de Vieta ou algumas propriedades das raízes das equações de segunda ordem

No final do século XVI, um dos fundadores da álgebra moderna, um francês, estudando equações de segunda ordem, conseguiu obter as propriedades de suas raízes. Matematicamente eles podem ser escritos assim:

x 1 + x 2 = -b / a e x 1 * x 2 = c / a.

Ambas as igualdades podem ser facilmente obtidas por qualquer pessoa, para isso basta realizar as operações matemáticas adequadas com as raízes obtidas através da fórmula com o discriminante.

A combinação dessas duas expressões pode ser justamente chamada de segunda fórmula para as raízes de uma equação quadrática, o que permite adivinhar suas soluções sem o uso de discriminante. Deve-se notar aqui que embora ambas as expressões sejam sempre válidas, é conveniente utilizá-las para resolver uma equação somente se ela puder ser fatorada.

A tarefa de consolidar o conhecimento adquirido

Vamos resolver um problema matemático no qual demonstraremos todas as técnicas discutidas no artigo. As condições do problema são as seguintes: você precisa encontrar dois números cujo produto seja -13 e a soma seja 4.

Esta condição nos lembra imediatamente o teorema de Vieta; usando as fórmulas para a soma das raízes quadradas e seu produto, escrevemos:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Se assumirmos que a = 1, então b = -4 e c = -13. Esses coeficientes nos permitem criar uma equação de segunda ordem:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Vamos usar a fórmula com o discriminante e obter as seguintes raízes:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Ou seja, o problema se reduziu a encontrar o número √68. Observe que 68 = 4 * 17, então, usando a propriedade da raiz quadrada, obtemos: √68 = 2√17.

Agora vamos usar a fórmula considerada da raiz quadrada: a 0 = 4, então:

a1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

a2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Não há necessidade de calcular 3, pois os valores encontrados diferem em apenas 0,02. Assim, √68 = 8,246. Substituindo-o na fórmula de x 1,2, obtemos:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 e x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Como podemos ver, a soma dos números encontrados é realmente igual a 4, mas se encontrarmos o seu produto, será igual a -12,999, o que satisfaz as condições do problema com uma precisão de 0,001.

Continuando com o tópico “Resolvendo Equações”, o material deste artigo apresentará equações quadráticas.

Vejamos tudo em detalhes: a essência e a notação de uma equação quadrática, definimos os termos que a acompanham, analisamos o esquema de resolução de equações incompletas e completas, familiarizamo-nos com a fórmula das raízes e do discriminante, estabelecemos conexões entre as raízes e os coeficientes, e claro daremos uma solução visual para exemplos práticos.

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Equação quadrática, seus tipos

Definição 1

Equação quadráticaé uma equação escrita como a x 2 + b x + c = 0, Onde x– variável, a, b e c– alguns números, enquanto a não é zero.

Freqüentemente, as equações quadráticas também são chamadas de equações de segundo grau, pois em essência uma equação quadrática é uma equação algébrica de segundo grau.

Vamos dar um exemplo para ilustrar a definição dada: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etc. Estas são equações quadráticas.

Definição 2

Números a, b e c são os coeficientes da equação quadrática a x 2 + b x + c = 0, enquanto o coeficiente aé chamado de primeiro, ou sênior, ou coeficiente em x 2, b - o segundo coeficiente, ou coeficiente em x, A c chamado de membro gratuito.

Por exemplo, na equação quadrática 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 o coeficiente principal é 6, o segundo coeficiente é − 2 , e o termo livre é igual a − 11 . Prestemos atenção ao fato de que quando os coeficientes b e/ou c são negativos, então uma forma abreviada do formulário é usada 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, mas não 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Esclareçamos também este aspecto: se os coeficientes a e/ou b igual 1 ou − 1 , então não podem participar explicitamente na escrita da equação quadrática, o que se explica pelas peculiaridades de escrever os coeficientes numéricos indicados. Por exemplo, na equação quadrática y 2 - y + 7 = 0 o coeficiente principal é 1 e o segundo coeficiente é − 1 .

Equações quadráticas reduzidas e não reduzidas

Com base no valor do primeiro coeficiente, as equações quadráticas são divididas em reduzidas e não reduzidas.

Definição 3

Equação quadrática reduzidaé uma equação quadrática onde o coeficiente principal é 1. Para outros valores do coeficiente líder, a equação quadrática não é reduzida.

Vamos dar exemplos: equações quadráticas x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 são reduzidas, em cada uma das quais o coeficiente líder é 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- equação quadrática não reduzida, onde o primeiro coeficiente é diferente de 1 .

Qualquer equação quadrática não reduzida pode ser convertida em uma equação reduzida dividindo ambos os lados pelo primeiro coeficiente (transformação equivalente). A equação transformada terá as mesmas raízes da equação não reduzida fornecida ou também não terá nenhuma raiz.

A consideração de um exemplo específico nos permitirá demonstrar claramente a transição de uma equação quadrática não reduzida para uma reduzida.

Exemplo 1

Dada a equação 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . É necessário converter a equação original para a forma reduzida.

Solução

De acordo com o esquema acima, dividimos ambos os lados da equação original pelo coeficiente líder 6. Então obtemos: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, e isso é o mesmo que: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 = 0 e mais: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Daqui: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Assim, obtém-se uma equação equivalente à dada.

Responder: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Equações quadráticas completas e incompletas

Vamos nos voltar para a definição de uma equação quadrática. Nele especificamos que uma ≠ 0. Uma condição semelhante é necessária para a equação a x 2 + b x + c = 0 era precisamente quadrado, pois em uma = 0 essencialmente se transforma em equação linear b x + c = 0.

No caso em que os coeficientes b E c são iguais a zero (o que é possível, tanto individualmente quanto em conjunto), a equação quadrática é chamada de incompleta.

Definição 4

Equação quadrática incompleta- tal equação quadrática a x 2 + b x + c = 0, onde pelo menos um dos coeficientes b E c(ou ambos) é zero.

Equação quadrática completa– uma equação quadrática em que todos os coeficientes numéricos não são iguais a zero.

Vamos discutir por que os tipos de equações quadráticas recebem exatamente esses nomes.

Quando b = 0, a equação quadrática assume a forma uma x 2 + 0 x + c = 0, que é o mesmo que uma x 2 + c = 0. No c = 0 a equação quadrática é escrita como a x 2 + b x + 0 = 0, que é equivalente a x 2 + b x = 0. No b = 0 E c = 0 a equação assumirá a forma uma x 2 = 0. As equações que obtivemos diferem da equação quadrática completa porque seus lados esquerdos não contêm um termo com a variável x, nem um termo livre, ou ambos. Na verdade, esse fato deu o nome a esse tipo de equação – incompleta.

Por exemplo, x 2 + 3 x + 4 = 0 e − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 são equações quadráticas completas; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – equações quadráticas incompletas.

Resolvendo equações quadráticas incompletas

A definição dada acima permite distinguir os seguintes tipos de equações quadráticas incompletas:

• uma x 2 = 0, esta equação corresponde aos coeficientes b = 0 e c = 0;
• a · x 2 + c = 0 em b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 em c = 0.

Consideremos sequencialmente a solução de cada tipo de equação quadrática incompleta.

Solução da equação a x 2 =0

Como mencionado acima, esta equação corresponde aos coeficientes b E c, igual a zero. A equação uma x 2 = 0 pode ser convertido em uma equação equivalente x 2 = 0, que obtemos dividindo ambos os lados da equação original pelo número a, diferente de zero. O fato óbvio é que a raiz da equação x 2 = 0 isso é zero porque 0 2 = 0 . Esta equação não tem outras raízes, o que pode ser explicado pelas propriedades do grau: para qualquer número p, não é igual a zero, a desigualdade é verdadeira p 2 > 0, do qual se segue que quando p ≠ 0 igualdade p 2 = 0 nunca será alcançado.

Definição 5

Assim, para a equação quadrática incompleta a x 2 = 0 existe uma única raiz x = 0.

Exemplo 2

Por exemplo, vamos resolver uma equação quadrática incompleta − 3 x 2 = 0. É equivalente à equação x 2 = 0, sua única raiz é x = 0, então a equação original tem uma única raiz - zero.

Resumidamente, a solução é escrita da seguinte forma:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Resolvendo a equação a x 2 + c = 0

O próximo da fila é a solução de equações quadráticas incompletas, onde b = 0, c ≠ 0, ou seja, equações da forma uma x 2 + c = 0. Vamos transformar esta equação movendo um termo de um lado da equação para o outro, mudando o sinal para o oposto e dividindo ambos os lados da equação por um número que não seja igual a zero:

• transferir c para o lado direito, o que dá a equação uma x 2 = - c;
• divida ambos os lados da equação por a, terminamos com x = - c a .

Nossas transformações são equivalentes; portanto, a equação resultante também é equivalente à original, e esse fato permite tirar conclusões sobre as raízes da equação. Pelo que são os valores a E c o valor da expressão - c a depende: pode ter um sinal de menos (por exemplo, se uma = 1 E c = 2, então - c a = - 2 1 = - 2) ou um sinal de mais (por exemplo, se uma = - 2 E c = 6, então - c a = - 6 - 2 = 3); não é zero porque c ≠ 0. Detenhamo-nos mais detalhadamente nas situações em que - c a< 0 и - c a > 0 .

No caso quando - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p a igualdade p 2 = - c a não pode ser verdadeira.

Tudo é diferente quando - c a > 0: lembre-se da raiz quadrada, e ficará óbvio que a raiz da equação x 2 = - c a será o número - c a, pois - c a 2 = - c a. Não é difícil entender que o número - - c a também é a raiz da equação x 2 = - c a: na verdade, - - c a 2 = - c a.

A equação não terá outras raízes. Podemos demonstrar isso usando o método da contradição. Para começar, vamos definir as notações para as raízes encontradas acima como x 1 E −x1. Suponhamos que a equação x 2 = - c a também tenha uma raiz x 2, que é diferente das raízes x 1 E −x1. Sabemos que substituindo na equação x suas raízes, transformamos a equação em uma igualdade numérica justa.

Para x 1 E −x1 escrevemos: x 1 2 = - c a , e para x 2- x 2 2 = - c uma . Com base nas propriedades das igualdades numéricas, subtraímos um termo de igualdade correto por termo de outro, o que nos dará: x 1 2 − x 2 2 = 0. Usamos as propriedades das operações com números para reescrever a última igualdade como (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Sabe-se que o produto de dois números é zero se e somente se pelo menos um dos números for zero. Do exposto segue-se que x 1 - x 2 = 0 e/ou x 1 + x 2 = 0, que é o mesmo x 2 = x 1 e/ou x 2 = − x 1. Surgiu uma contradição óbvia, porque a princípio foi acordado que a raiz da equação x 2 difere de x 1 E −x1. Portanto, provamos que a equação não tem raízes além de x = - c a e x = - - c a.

Vamos resumir todos os argumentos acima.

Definição 6

Equação quadrática incompleta uma x 2 + c = 0é equivalente à equação x 2 = - c a, que:

• não terá raízes em - c a< 0 ;
• terá duas raízes x = - c a e x = - - c a para - c a > 0.

Vamos dar exemplos de resolução de equações uma x 2 + c = 0.

Exemplo 3

Dada uma equação quadrática 9 x 2 + 7 = 0.É necessário encontrar uma solução.

Solução

Vamos mover o termo livre para o lado direito da equação, então a equação terá a forma 9x2 = −7.
Vamos dividir ambos os lados da equação resultante por 9 , chegamos a x 2 = - 7 9 . No lado direito vemos um número com sinal de menos, o que significa: a equação dada não tem raízes. Então a equação quadrática incompleta original 9 x 2 + 7 = 0 não terá raízes.

Responder: a equação 9 x 2 + 7 = 0 não tem raízes.

Exemplo 4

A equação precisa ser resolvida − x 2 + 36 = 0.

Solução

Vamos mover 36 para o lado direito: − x 2 = − 36.
Vamos dividir ambas as partes por − 1 , Nós temos x2 = 36. No lado direito há um número positivo, do qual podemos concluir que x = 36 ou x = - 36 .
Vamos extrair a raiz e anotar o resultado final: equação quadrática incompleta − x 2 + 36 = 0 tem duas raízes x=6 ou x = - 6.

Responder: x=6 ou x = - 6.

Solução da equação a x 2 +b x=0

Vamos analisar o terceiro tipo de equações quadráticas incompletas, quando c = 0. Para encontrar uma solução para uma equação quadrática incompleta a x 2 + b x = 0, usaremos o método de fatoração. Vamos fatorar o polinômio que está no lado esquerdo da equação, tirando o fator comum dos colchetes x. Esta etapa permitirá transformar a equação quadrática incompleta original em seu equivalente x (a x + b) = 0. E esta equação, por sua vez, é equivalente a um conjunto de equações x = 0 E a x + b = 0. A equação a x + b = 0 linear e sua raiz: x = − b uma.

Definição 7

Assim, a equação quadrática incompleta a x 2 + b x = 0 terá duas raízes x = 0 E x = − b uma.

Vamos reforçar o material com um exemplo.

Exemplo 5

É necessário encontrar uma solução para a equação 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Solução

Nós vamos tirar isso x fora dos colchetes obtemos a equação x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Esta equação é equivalente às equações x = 0 e 2 3 x - 2 2 7 = 0. Agora você deve resolver a equação linear resultante: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Escreva resumidamente a solução da equação da seguinte forma:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou x = 3 3 7

Responder: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminante, fórmula para as raízes de uma equação quadrática

Para encontrar soluções para equações quadráticas, existe uma fórmula raiz:

Definição 8

x = - b ± D 2 · a, onde D = b 2 − 4 a c– o chamado discriminante de uma equação quadrática.

Escrever x = - b ± D 2 · a significa essencialmente que x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Seria útil compreender como esta fórmula foi derivada e como aplicá-la.

Derivação da fórmula para as raízes de uma equação quadrática

Vamos nos deparar com a tarefa de resolver uma equação quadrática a x 2 + b x + c = 0. Vamos realizar uma série de transformações equivalentes:

• divida ambos os lados da equação por um número a, diferente de zero, obtemos a seguinte equação quadrática: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Vamos selecionar o quadrado completo no lado esquerdo da equação resultante:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca
  Depois disso, a equação terá a forma: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Agora é possível transferir os dois últimos termos para o lado direito, mudando o sinal para o oposto, após o que obtemos: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Por fim, transformamos a expressão escrita no lado direito da última igualdade:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Assim, chegamos à equação x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , equivalente à equação original a x 2 + b x + c = 0.

Examinamos a solução de tais equações nos parágrafos anteriores (resolvendo equações quadráticas incompletas). A experiência já adquirida permite tirar uma conclusão sobre as raízes da equação x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• com b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• quando b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 a equação é x + b 2 · a 2 = 0, então x + b 2 · a = 0.

A partir daqui a única raiz x = - b 2 · a é óbvia;

• para b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, o seguinte será verdadeiro: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ou x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , que é o mesmo que x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ou x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ou seja a equação tem duas raízes.

É possível concluir que a presença ou ausência de raízes da equação x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (e portanto da equação original) depende do sinal da expressão b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 escrito no lado direito. E o sinal desta expressão é dado pelo sinal do numerador, (denominador 4 a 2 será sempre positivo), ou seja, o sinal da expressão b 2 − 4 uma c. Esta expressão b 2 − 4 uma cé dado o nome - o discriminante da equação quadrática e a letra D é definida como sua designação. Aqui você pode escrever a essência do discriminante - com base em seu valor e sinal, eles podem concluir se a equação quadrática terá raízes reais e, em caso afirmativo, qual é o número de raízes - uma ou duas.

Voltemos à equação x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Vamos reescrevê-lo usando notação discriminante: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Vamos formular nossas conclusões novamente:

Definição 9

• no D< 0 a equação não tem raízes reais;
• no D=0 a equação tem uma única raiz x = - b 2 · a ;
• no D > 0 a equação tem duas raízes: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ou x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Com base nas propriedades dos radicais, essas raízes podem ser escritas na forma: x = - b 2 · a + D 2 · a ou - b 2 · a - D 2 · a. E, quando abrimos os módulos e trazemos as frações para um denominador comum, obtemos: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Assim, o resultado do nosso raciocínio foi a derivação da fórmula para as raízes de uma equação quadrática:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminante D calculado pela fórmula D = b 2 − 4 a c.

Estas fórmulas permitem determinar ambas as raízes reais quando o discriminante é maior que zero. Quando o discriminante é zero, a aplicação de ambas as fórmulas dará a mesma raiz que a única solução para a equação quadrática. No caso em que o discriminante é negativo, se tentarmos utilizar a fórmula da raiz de uma equação quadrática, nos depararemos com a necessidade de extrair Raiz quadrada de um número negativo, o que nos levará além dos números reais. Com um discriminante negativo, a equação quadrática não terá raízes reais, mas é possível um par de raízes conjugadas complexas, determinadas pelas mesmas fórmulas de raiz que obtivemos.

Algoritmo para resolver equações quadráticas usando fórmulas de raiz

É possível resolver uma equação quadrática usando imediatamente a fórmula da raiz, mas isso geralmente é feito quando é necessário encontrar raízes complexas.

Na maioria dos casos, geralmente significa procurar não raízes complexas, mas raízes reais de uma equação quadrática. Então é ideal, antes de usar as fórmulas para as raízes de uma equação quadrática, primeiro determinar o discriminante e certificar-se de que não é negativo (caso contrário, concluiremos que a equação não tem raízes reais) e depois proceder ao cálculo do valor das raízes.

O raciocínio acima permite formular um algoritmo para resolução de uma equação quadrática.

Definição 10

Para resolver uma equação quadrática a x 2 + b x + c = 0, necessário:

• de acordo com a fórmula D = b 2 − 4 a c encontre o valor discriminante;
• em D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• para D = 0, encontre a única raiz da equação usando a fórmula x = - b 2 · a ;
• para D > 0, determine duas raízes reais da equação quadrática usando a fórmula x = - b ± D 2 · a.

Observe que quando o discriminante é zero, você pode usar a fórmula x = - b ± D 2 · a, ela dará o mesmo resultado que a fórmula x = - b 2 · a.

Vejamos exemplos.

Exemplos de resolução de equações quadráticas

Vamos dar uma solução para os exemplos para Significados diferentes discriminante.

Exemplo 6

Precisamos encontrar as raízes da equação x 2 + 2 x − 6 = 0.

Solução

Vamos anotar os coeficientes numéricos da equação quadrática: a = 1, b = 2 e c = - 6. Em seguida, procedemos de acordo com o algoritmo, ou seja, Vamos começar a calcular o discriminante, para o qual substituiremos os coeficientes a, b E c na fórmula discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Portanto, obtemos D > 0, o que significa que a equação original terá duas raízes reais.
Para encontrá-los, usamos a fórmula raiz x = - b ± D 2 · a e, substituindo os valores correspondentes, obtemos: x = - 2 ± 28 2 · 1. Vamos simplificar a expressão resultante retirando o fator do sinal da raiz e depois reduzindo a fração:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ou x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ou x = - 1 - 7

Responder: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Exemplo 7

Precisa resolver uma equação quadrática − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Solução

Vamos definir o discriminante: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Com este valor do discriminante, a equação original terá apenas uma raiz, determinada pela fórmula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Responder: x = 3,5.

Exemplo 8

A equação precisa ser resolvida 5 anos 2 + 6 anos + 2 = 0

Solução

Os coeficientes numéricos desta equação serão: a = 5, b = 6 e c = 2. Usamos estes valores para encontrar o discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . O discriminante calculado é negativo, portanto a equação quadrática original não tem raízes reais.

No caso em que a tarefa é indicar raízes complexas, aplicamos a fórmula da raiz, realizando ações com números complexos:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 eu 10 ou x = - 6 - 2 eu 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ou x = - 3 5 - 1 5 · i.

Responder: não existem raízes reais; as raízes complexas são as seguintes: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

No currículo escolar não existe um requisito padrão para procurar raízes complexas, portanto, se durante a solução o discriminante for determinado como negativo, a resposta é imediatamente escrita de que não existem raízes reais.

Fórmula raiz para coeficientes pares

A fórmula raiz x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) permite obter outra fórmula, mais compacta, permitindo encontrar soluções para equações quadráticas com coeficiente par para x ( ou com um coeficiente da forma 2 · n, por exemplo, 2 3 ou 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Vamos mostrar como essa fórmula é derivada.

Estaremos diante da tarefa de encontrar uma solução para a equação quadrática a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Procedemos de acordo com o algoritmo: determinamos o discriminante D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) e, em seguida, usamos a fórmula raiz:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Deixe a expressão n 2 − a · c ser denotada como D 1 (às vezes é denotada D "). Então a fórmula para as raízes da equação quadrática em consideração com o segundo coeficiente 2 · n terá a forma:

x = - n ± D 1 a, onde D 1 = n 2 − a · c.

É fácil ver que D = 4 · D 1, ou D 1 = D 4. Em outras palavras, D 1 é um quarto do discriminante. Obviamente, o sinal de D 1 é igual ao sinal de D, o que significa que o sinal de D 1 também pode servir como indicador da presença ou ausência de raízes de uma equação quadrática.

Definição 11

Assim, para encontrar uma solução para uma equação quadrática com segundo coeficiente de 2 n, é necessário:

• encontre D 1 = n 2 − a · c ;
• em D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• quando D 1 = 0, determine a única raiz da equação usando a fórmula x = - n a;
• para D 1 > 0, determine duas raízes reais usando a fórmula x = - n ± D 1 a.

Exemplo 9

É necessário resolver a equação quadrática 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Solução

Podemos representar o segundo coeficiente da equação dada como 2 · (− 3) . Em seguida, reescrevemos a equação quadrática dada como 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, onde a = 5, n = − 3 e c = − 32.

Vamos calcular a quarta parte do discriminante: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. O valor resultante é positivo, o que significa que a equação possui duas raízes reais. Vamos determiná-los usando a fórmula raiz correspondente:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ou x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ou x = - 2

Seria possível realizar cálculos utilizando a fórmula usual para as raízes de uma equação quadrática, mas neste caso a solução seria mais complicada.

Responder: x = 3 1 5 ou x = - 2 .

Simplificando a forma de equações quadráticas

Às vezes é possível otimizar a forma da equação original, o que simplificará o processo de cálculo das raízes.

Por exemplo, a equação quadrática 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 é claramente mais conveniente de resolver do que 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Mais frequentemente, a simplificação da forma de uma equação quadrática é realizada multiplicando ou dividindo ambos os lados por um certo número. Por exemplo, acima mostramos uma representação simplificada da equação 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, obtida pela divisão de ambos os lados por 100.

Tal transformação é possível quando os coeficientes da equação quadrática não são mutuamente números primos. Então geralmente dividimos ambos os lados da equação pelo maior divisor comum valores absolutos de seus coeficientes.

Como exemplo, usamos a equação quadrática 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Vamos determinar o GCD dos valores absolutos de seus coeficientes: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Vamos dividir ambos os lados da equação quadrática original por 6 e obter a equação quadrática equivalente 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Ao multiplicar ambos os lados de uma equação quadrática, você geralmente se livra dos coeficientes fracionários. Nesse caso, multiplicam-se pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores de seus coeficientes. Por exemplo, se cada parte da equação quadrática 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 for multiplicada por MMC (6, 3, 1) = 6, então será escrito de uma forma mais simples x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Finalmente, notamos que quase sempre nos livramos do sinal de menos no primeiro coeficiente de uma equação quadrática alterando os sinais de cada termo da equação, o que é conseguido multiplicando (ou dividindo) ambos os lados por − 1. Por exemplo, da equação quadrática − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, você pode ir para sua versão simplificada 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relação entre raízes e coeficientes

A fórmula das raízes das equações quadráticas, já conhecida por nós, x = - b ± D 2 · a, expressa as raízes da equação através de seus coeficientes numéricos. Com base nesta fórmula, temos a oportunidade de especificar outras dependências entre raízes e coeficientes.

As fórmulas mais famosas e aplicáveis ​​são o teorema de Vieta:

x 1 + x 2 = - b a e x 2 = c a.

Em particular, para esta equação quadrática, a soma das raízes é o segundo coeficiente com sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre. Por exemplo, observando a forma da equação quadrática 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, é possível determinar imediatamente que a soma das suas raízes é 7 3 e o produto das raízes é 22 3.

Você também pode encontrar várias outras conexões entre as raízes e os coeficientes de uma equação quadrática. Por exemplo, a soma dos quadrados das raízes de uma equação quadrática pode ser expressa em termos de coeficientes:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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