Múltiplo comum online. Divisores e múltiplos

O tema “Números Múltiplos” é estudado no 5º ano do ensino secundário. Seu objetivo é melhorar as habilidades de cálculo matemático escrito e oral. Nesta lição, novos conceitos são introduzidos - “números múltiplos” e “divisores”, a técnica de encontrar divisores e múltiplos de um número natural e a capacidade de encontrar MMC de várias maneiras são praticadas.

Este tópico é muito importante. O conhecimento dele pode ser aplicado na resolução de exemplos com frações. Para fazer isso, você precisa encontrar o denominador comum calculando o mínimo múltiplo comum (MCC).

Um múltiplo de A é um número inteiro divisível por A sem resto.

Todo número natural tem um número infinito de múltiplos dele. Ele próprio é considerado o menor. O múltiplo não pode ser menor que o próprio número.

Você precisa provar que o número 125 é múltiplo de 5. Para fazer isso, você precisa dividir o primeiro número pelo segundo. Se 125 for divisível por 5 sem resto, a resposta é sim.

Este método é aplicável para números pequenos.

Existem casos especiais no cálculo do LOC.

1. Se você precisar encontrar um múltiplo comum de 2 números (por exemplo, 80 e 20), onde um deles (80) é divisível pelo outro (20), então este número (80) é o menor múltiplo destes dois números.

MMC(80, 20) = 80.

2. Se dois não têm um divisor comum, podemos dizer que seu MMC é o produto desses dois números.

MMC(6, 7) = 42.

Vejamos o último exemplo. 6 e 7 em relação a 42 são divisores. Eles dividem um múltiplo de um número sem resto.

Neste exemplo, 6 e 7 são fatores emparelhados. Seu produto é igual ao número mais múltiplo (42).

Um número é chamado primo se for divisível apenas por ele mesmo ou por 1 (3:1=3; 3:3=1). O resto é chamado de composto.

Outro exemplo envolve determinar se 9 é um divisor de 42.

42:9=4 (restante 6)

Resposta: 9 não é um divisor de 42 porque a resposta tem resto.

Um divisor difere de um múltiplo porque o divisor é o número pelo qual os números naturais são divididos, e o próprio múltiplo é divisível por esse número.

Maior divisor comum de números a E b, multiplicado pelo seu mínimo múltiplo, dará o produto dos próprios números a E b.

A saber: mdc (a, b) x mdc (a, b) = a x b.

Múltiplos comuns para números mais complexos são encontrados da seguinte maneira.

Por exemplo, encontre o MMC para 168, 180, 3024.

Fatoramos esses números em fatores primos e os escrevemos como um produto de potências:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

MMC(168, 180, 3024) = 15120.

Um múltiplo é um número que é divisível por determinado número sem deixar vestígios. O mínimo múltiplo comum (MCM) de um grupo de números é o menor número divisível por cada número do grupo sem deixar resto. Para encontrar o mínimo múltiplo comum, você precisa encontrar os fatores primos de determinados números. O MMC também pode ser calculado usando vários outros métodos que se aplicam a grupos de dois ou mais números.

Passos

Série de múltiplos

Veja esses números. O método descrito aqui é melhor usado quando são fornecidos dois números, cada um deles menor que 10. Se forem fornecidos números maiores, use um método diferente.

• Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum de 5 e 8. Esses números são pequenos, então você pode usar este método.

1. Um múltiplo é um número que é divisível por um determinado número sem deixar resto. Os múltiplos podem ser encontrados na tabuada.

   • Por exemplo, os números múltiplos de 5 são: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Escreva uma série de números que sejam múltiplos do primeiro número. Faça isso sob múltiplos do primeiro número para comparar dois conjuntos de números.

   • Por exemplo, os números múltiplos de 8 são: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 e 64.

3. Encontre o menor número presente em ambos os conjuntos de múltiplos. Talvez seja necessário escrever longas séries de múltiplos para encontrar o número total. O menor número presente em ambos os conjuntos de múltiplos é o mínimo múltiplo comum.

   • Por exemplo, o menor número, que está presente na série de múltiplos de 5 e 8, é o número 40. Portanto, 40 é o mínimo múltiplo comum de 5 e 8.

   Fatoração principal

   1. Veja esses números. O método descrito aqui é melhor usado quando são fornecidos dois números, cada um deles maior que 10. Se forem fornecidos números menores, use um método diferente.

      • Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum dos números 20 e 84. Cada um dos números é maior que 10, então você pode usar este método.

   2. Fatore o primeiro número em fatores primos. Ou seja, você precisa encontrar os números primos que, quando multiplicados, resultarão em um determinado número. Depois de encontrar os fatores primos, escreva-os como igualdades.

      • Por exemplo, 2 × 10 = 20 (\ displaystyle (\ mathbf (2) )\ vezes 10=20) E 2 × 5 = 10 (\ displaystyle (\ mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Assim, os fatores primos do número 20 são os números 2, 2 e 5. Escreva-os como uma expressão: .

   3. Fatore o segundo número em fatores primos. Faça isso da mesma forma que fatorou o primeiro número, ou seja, encontre os números primos que, quando multiplicados, resultarão no número fornecido.

      • Por exemplo, 2 × 42 = 84 (\ displaystyle (\ mathbf (2) )\ vezes 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\vezes 6=42) E 3 × 2 = 6 (\ displaystyle (\ mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Assim, os fatores primos do número 84 são os números 2, 7, 3 e 2. Escreva-os como uma expressão: .

   4. Anote os fatores comuns a ambos os números. Escreva esses fatores como uma operação de multiplicação. Ao escrever cada fator, risque-o em ambas as expressões (expressões que descrevem a fatoração de números em fatores primos).

      • Por exemplo, ambos os números têm um fator comum de 2, então escreva 2 × (\estilo de exibição 2\vezes) e risque o 2 em ambas as expressões.
      • O que ambos os números têm em comum é outro fator de 2, então escreva 2 × 2 (\estilo de exibição 2\vezes 2) e risque o segundo 2 em ambas as expressões.

   5. Adicione os fatores restantes à operação de multiplicação. São fatores que não estão riscados em ambas as expressões, ou seja, fatores que não são comuns aos dois números.

      • Por exemplo, na expressão 20 = 2 × 2 × 5 (\estilo de exibição 20=2\vezes 2\vezes 5) Ambos os dois (2) estão riscados porque são fatores comuns. O fator 5 não está riscado, então escreva a operação de multiplicação assim: 2 × 2 × 5 (\estilo de exibição 2\vezes 2\vezes 5)
      • Em expressão 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\vezes 7\vezes 3\vezes 2) ambos os dois (2) também estão riscados. Os fatores 7 e 3 não estão riscados, então escreva a operação de multiplicação assim: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\vezes 2\vezes 5\vezes 7\vezes 3).

   6. Calcule o mínimo múltiplo comum. Para fazer isso, multiplique os números na operação de multiplicação escrita.

      • Por exemplo, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\estilo de exibição 2\vezes 2\vezes 5\vezes 7\vezes 3=420). Portanto, o mínimo múltiplo comum de 20 e 84 é 420.

   Encontrando fatores comuns

   1. Desenhe uma grade como se fosse um jogo da velha. Tal grade consiste em duas linhas paralelas que se cruzam (em ângulos retos) com outras duas linhas paralelas. Isso lhe dará três linhas e três colunas (a grade se parece muito com o ícone #). Escreva o primeiro número na primeira linha e na segunda coluna. Escreva o segundo número na primeira linha e na terceira coluna.

      • Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum dos números 18 e 30. Escreva o número 18 na primeira linha e na segunda coluna e escreva o número 30 na primeira linha e na terceira coluna.

   2. Encontre o divisor comum a ambos os números. Escreva na primeira linha e na primeira coluna. É melhor procurar fatores primos, mas isso não é obrigatório.

      • Por exemplo, 18 e 30 são números pares, então seu fator comum é 2. Portanto, escreva 2 na primeira linha e na primeira coluna.

   3. Divida cada número pelo primeiro divisor. Escreva cada quociente sob o número apropriado. Um quociente é o resultado da divisão de dois números.

      • Por exemplo, 18 ÷ 2 = 9 (\estilo de exibição 18\div 2=9), então escreva 9 menores de 18 anos.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\estilo de exibição 30\div 2=15), então anote 15 abaixo de 30.

   4. Encontre o divisor comum a ambos os quocientes. Se não existir tal divisor, pule as próximas duas etapas. Caso contrário, escreva o divisor na segunda linha e na primeira coluna.

      • Por exemplo, 9 e 15 são divisíveis por 3, então escreva 3 na segunda linha e na primeira coluna.

   5. Divida cada quociente por seu segundo divisor. Escreva cada resultado de divisão sob o quociente correspondente.

      • Por exemplo, 9 ÷ 3 = 3 (\estilo de exibição 9\div 3=3), então escreva 3 abaixo de 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\estilo de exibição 15\div 3=5), então escreva 5 com menos de 15 anos.

   6. Se necessário, adicione células adicionais à grade. Repita as etapas descritas até que os quocientes tenham um divisor comum.

   7. Circule os números na primeira coluna e na última linha da grade. Em seguida, escreva os números selecionados como uma operação de multiplicação.

      • Por exemplo, os números 2 e 3 estão na primeira coluna e os números 3 e 5 estão na última linha, então escreva a operação de multiplicação assim: 2 × 3 × 3 × 5 (\estilo de exibição 2\vezes 3\vezes 3\vezes 5).

   8. Encontre o resultado da multiplicação de números. Isso calculará o mínimo múltiplo comum de dois números fornecidos.

      • Por exemplo, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\estilo de exibição 2\vezes 3\vezes 3\vezes 5=90). Portanto, o mínimo múltiplo comum de 18 e 30 é 90.

   Algoritmo de Euclides

   1. Lembre-se da terminologia associada à operação de divisão. O dividendo é o número que está sendo dividido. O divisor é o número pelo qual está sendo dividido. Um quociente é o resultado da divisão de dois números. Um resto é o número que resta quando dois números são divididos.

      • Por exemplo, na expressão 15 ÷ 6 = 2 (\estilo de exibição 15\div 6=2) ost. 3:
        15 é o dividendo
        6 é um divisor
        2 é quociente
        3 é o resto.

Vamos considerar a solução do seguinte problema. O passo do menino é de 75 cm e o da menina é de 60 cm, é necessário encontrar a menor distância em que ambos dão um número inteiro de passos.

Solução. Todo o caminho que as crianças percorrerão deve ser divisível por 60 e 70, pois cada uma delas deve dar um número inteiro de passos. Em outras palavras, a resposta deve ser um múltiplo de 75 e 60.

Primeiro, anotaremos todos os múltiplos do número 75. Obtemos:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Agora vamos anotar os números que serão múltiplos de 60. Obtemos:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Agora encontramos os números que estão em ambas as linhas.

• Múltiplos comuns de números seriam 300, 600, etc.

O menor deles é o número 300. Neste caso, será denominado mínimo múltiplo comum dos números 75 e 60.

Voltando à condição do problema, a menor distância que os rapazes darão um número inteiro de passos será de 300 cm, o menino percorrerá esse caminho em 4 passos e a menina precisará dar 5 passos.

Determinando o mínimo múltiplo comum

• O mínimo múltiplo comum de dois números naturais a e b é o menor número natural que é múltiplo de a e b.

Para encontrar o mínimo múltiplo comum de dois números, não é necessário anotar todos os múltiplos desses números consecutivos.

Você pode usar o seguinte método.

Como encontrar o mínimo múltiplo comum

Primeiro você precisa fatorar esses números em fatores primos.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Agora vamos anotar todos os fatores que estão na expansão do primeiro número (2,2,3,5) e adicionar a ele todos os fatores que faltam na expansão do segundo número (5).

Como resultado, obtemos uma série de números primos: 2,2,3,5,5. O produto desses números será o mínimo divisor comum para esses números. 2*2*3*5*5 = 300.

Esquema geral para encontrar o mínimo múltiplo comum

• 1. Divida os números em fatores primos.
• 2. Anote os fatores primos que fazem parte de um deles.
• 3. Some a esses fatores todos aqueles que estão na expansão dos demais, mas não no selecionado.
• 4. Encontre o produto de todos os fatores escritos.

Este método é universal. Pode ser usado para encontrar o mínimo múltiplo comum de qualquer número de números naturais.

O mínimo múltiplo comum de dois números está diretamente relacionado ao máximo divisor comum desses números. Esse conexão entre GCD e NOCé determinado pelo seguinte teorema.

Teorema.

O mínimo múltiplo comum de dois inteiros positivos aeb é igual ao produto de aeb dividido pelo máximo divisor comum de aeb, ou seja, MMC(a, b)=a b:MDC(a, b).

Prova.

Deixar M é algum múltiplo dos números a e b. Isto é, M é divisível por a, e pela definição de divisibilidade, existe algum inteiro k tal que a igualdade M=a·k é verdadeira. Mas M também é divisível por b, então a·k é divisível por b.

Vamos denotar mdc(a, b) como d. Então podemos escrever as igualdades a=a 1 ·d e b=b 1 ·d, e a 1 =a:d e b 1 =b:d serão números relativamente primos. Consequentemente, a condição obtida no parágrafo anterior de que a · k é divisível por b pode ser reformulada da seguinte forma: a 1 · d · k é dividido por b 1 · d , e isso, devido às propriedades de divisibilidade, é equivalente à condição que a 1 · k é divisível por b 1 .

Você também precisa anotar dois corolários importantes do teorema considerado.

Os múltiplos comuns de dois números são iguais aos múltiplos do seu mínimo múltiplo comum.

Este é realmente o caso, uma vez que qualquer múltiplo comum de M dos números a e b é determinado pela igualdade M=LMK(a, b)·t para algum valor inteiro t.

O mínimo múltiplo comum de números positivos mutuamente primos a e b é igual ao seu produto.

A razão para este facto é bastante óbvia. Como aeb são relativamente primos, então mdc(a, b)=1, portanto, MDC(a, b)=a b: MDC(a, b)=a b:1=a b.

Mínimo múltiplo comum de três ou mais números

Encontrar o mínimo múltiplo comum de três ou mais números pode ser reduzido a encontrar sequencialmente o MMC de dois números. Como isso é feito é indicado no seguinte teorema: a 1 , a 2 , …, a k coincidem com os múltiplos comuns dos números m k-1 e a k , portanto, coincidem com os múltiplos comuns do número m k . E como o menor múltiplo positivo do número m k é o próprio número m k, então o menor múltiplo comum dos números a 1, a 2, ..., a k é m k.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. e outros.Matemática. 6ª série: livro didático para instituições de ensino geral.
• Vinogradov I.M. Fundamentos da teoria dos números.
• Mikhelovich Sh.H. Teoria dos Números.
• Kulikov L.Ya. e outros Coleção de problemas em álgebra e teoria dos números: Tutorial para estudantes de física e matemática. especialidades de institutos pedagógicos.

Segundo número: b =

Separador de mil Sem separador de espaço "´

Resultado:

Máximo divisor comum mdc( a,b)=6

Mínimo múltiplo comum de MMC( a,b)=468

O maior número natural que pode ser dividido sem resto pelos números a e b é chamado máximo divisor comum(GCD) desses números. Denotado por mdc(a,b), (a,b), mdc(a,b) ou hcf(a,b).

Mínimo múltiplo comum O MMC de dois inteiros aeb é o menor número natural divisível por aeb sem resto. Denotado LCM(a,b) ou lcm(a,b).

Os inteiros a e b são chamados mutuamente primos, se eles não tiverem divisores comuns além de +1 e −1.

Maior divisor comum

Deixe dois serem dados números positivos a 1 e a 2 1). É necessário encontrar o divisor comum desses números, ou seja, encontre esse número λ , que divide números a 1 e a 2 ao mesmo tempo. Vamos descrever o algoritmo.

1) Neste artigo, a palavra número será entendida como um número inteiro.

Deixar a 1 ≥ a 2 e deixe

Onde eu 1 , a 3 são alguns números inteiros, a 3 <a 2 (resto da divisão a 1 por a 2 deveria ser menor a 2).

Vamos fingir que λ divide a 1 e a 2 então λ divide eu 1 a 2 e λ divide a 1 −eu 1 a 2 =a 3 (Enunciado 2 do artigo “Divisibilidade dos números. Teste de divisibilidade”). Segue-se que todo divisor comum a 1 e a 2 é o divisor comum a 2 e a 3. O inverso também é verdadeiro se λ divisor comum a 2 e a 3 então eu 1 a 2 e a 1 =eu 1 a 2 +a 3 também é divisível por λ . Portanto o divisor comum a 2 e a 3 também é um divisor comum a 1 e a 2. Porque a 3 <a 2 ≤a 1, então podemos dizer que a solução para o problema de encontrar o divisor comum dos números a 1 e a 2 reduzido ao problema mais simples de encontrar o divisor comum de números a 2 e a 3 .

Se a 3 ≠0, então podemos dividir a 2 em a 3. Então

,

Onde eu 1 e a 4 são alguns inteiros, ( a 4 resto da divisão a 2 em a 3 (a 4 <a 3)). Por raciocínio semelhante, chegamos à conclusão de que divisores comuns de números a 3 e a 4 coincide com divisores comuns de números a 2 e a 3, e também com divisores comuns a 1 e a 2. Porque a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... são números que estão constantemente diminuindo, e como existe um número finito de inteiros entre a 2 e 0, então em algum passo n, restante da divisão a não a n+1 será igual a zero ( a n+2 =0).

.

Todo divisor comum λ números a 1 e a 2 também é um divisor de números a 2 e a 3 , a 3 e a 4 , .... a n e a n+1. O inverso também é verdadeiro, divisores comuns de números a n e a n+1 também são divisores de números a n−1 e a n , .... , a 2 e a 3 , a 1 e a 2. Mas o divisor comum dos números a n e a n+1 é um número a n+1 , porque a n e a n+1 são divisíveis por a n+1 (lembre-se disso a n+2 =0). Por isso a n+1 também é um divisor de números a 1 e a 2 .

Observe que o número a n+1 é o maior divisor de números a n e a n+1 , já que o maior divisor a n+1 é ele mesmo a n+1. Se a n+1 pode ser representado como um produto de números inteiros, então esses números também são divisores comuns de números a 1 e a 2. Número a n+1 é chamado máximo divisor comum números a 1 e a 2 .

Números a 1 e a 2 podem ser números positivos ou negativos. Se um dos números for igual a zero, então o máximo divisor comum desses números será igual ao valor absoluto do outro número. O máximo divisor comum de zero números é indefinido.

O algoritmo acima é chamado Algoritmo euclidiano para encontrar o máximo divisor comum de dois inteiros.

Um exemplo de como encontrar o máximo divisor comum de dois números

Encontre o máximo divisor comum de dois números 630 e 434.

• Passo 1. Divida o número 630 por 434. O restante é 196.
• Passo 2. Divida o número 434 por 196. O resto é 42.
• Passo 3. Divida o número 196 por 42. O resto é 28.
• Passo 4. Divida o número 42 por 28. O resto é 14.
• Passo 5. Divida o número 28 por 14. O resto é 0.

No passo 5, o resto da divisão é 0. Portanto, o máximo divisor comum dos números 630 e 434 é 14. Observe que os números 2 e 7 também são divisores dos números 630 e 434.

Números coprimos

Definição 1. Deixe o maior divisor comum dos números a 1 e a 2 é igual a um. Então esses números são chamados mutuamente números primos , não tendo divisor comum.

Teorema 1. Se a 1 e a 2 números coprimos, e λ algum número, então qualquer divisor comum de números λa 1 e a 2 também é um divisor comum de números λ E a 2 .

Prova. Considere o algoritmo euclidiano para encontrar o máximo divisor comum de números a 1 e a 2 (veja acima).

.

Das condições do teorema segue-se que o máximo divisor comum dos números a 1 e a 2 e portanto a n e a n+1 é 1. Isso é a n+1 =1.

Vamos multiplicar todas essas igualdades por λ , Então

.

Deixe o divisor comum a 1 λ E a 2 sim δ . Então δ é incluído como um multiplicador em a 1 λ , eu 1 a 2 λ e em a 1 λ -eu 1 a 2 λ =a 3 λ (ver "Divisibilidade dos números", Declaração 2). Avançar δ é incluído como um multiplicador em a 2 λ E eu 2 a 3 λ e, portanto, é um fator a 2 λ -eu 2 a 3 λ =a 4 λ .

Raciocinando desta forma, estamos convencidos de que δ é incluído como um multiplicador em a n-1 λ E eu n-1 a n λ , e portanto em a n-1 λ −eu n-1 a n λ =a n+1 λ . Porque a n+1 =1, então δ é incluído como um multiplicador em λ . Portanto o número δ é o divisor comum dos números λ E a 2 .

Consideremos casos especiais do Teorema 1.

Consequência 1. Deixar a E c Os números primos são relativamente b. Então o produto deles acé um número primo em relação a b.

Realmente. Do Teorema 1 ac E b têm os mesmos divisores comuns que c E b. Mas os números c E b relativamente simples, ou seja, tem um único divisor comum 1. Então ac E b também têm um único divisor comum 1. Portanto ac E b mutuamente simples.

Consequência 2. Deixar a E b números coprimos e deixe b divide ok. Então b divide e k.

Realmente. Da condição de aprovação ok E b tem um divisor comum b. Em virtude do Teorema 1, b deve ser um divisor comum b E k. Por isso b divide k.

O corolário 1 pode ser generalizado.

Consequência 3. 1. Deixe os números a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m são primos em relação ao número b. Então a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, o produto desses números é primo em relação ao número b.

2. Tenhamos duas linhas de números

tal que todo número da primeira série é primo na razão de todos os números da segunda série. Então o produto

Você precisa encontrar números que sejam divisíveis por cada um desses números.

Se um número for divisível por a 1, então tem a forma sa 1 onde é algum número. Se qé o máximo divisor comum de números a 1 e a 2, então

Onde é 1 é algum número inteiro. Então

é mínimos múltiplos comuns de números a 1 e a 2 .

a 1 e a 2 são relativamente primos, então o mínimo múltiplo comum dos números a 1 e a 2:

Precisamos de determinar o mínimo múltiplo comum destes números.

Do exposto segue-se que qualquer múltiplo de números a 1 , a 2 , a 3 deve ser um múltiplo de números ε E a 3 e vice-versa. Seja o mínimo múltiplo comum dos números ε E a 3 sim ε 1. A seguir, múltiplos de números a 1 , a 2 , a 3 , a 4 deve ser um múltiplo de números ε 1 e a 4. Seja o mínimo múltiplo comum dos números ε 1 e a 4 sim ε 2. Assim, descobrimos que todos os múltiplos de números a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m coincide com múltiplos de um certo número ε n, que é chamado de mínimo múltiplo comum dos números fornecidos.

No caso especial quando os números a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m são relativamente primos, então o mínimo múltiplo comum dos números a 1 , a 2, conforme mostrado acima, tem a forma (3). A seguir, desde a 3 primos em relação aos números a 1 , a 2 então a 3 número primo a 1 · a 2 (Corolário 1). Significa o mínimo múltiplo comum de números a 1 ,a 2 ,a 3 é um número a 1 · a 2 · a 3. Raciocinando de maneira semelhante, chegamos às seguintes afirmações.

Declaração 1. Mínimo múltiplo comum de números primos a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m é igual ao seu produto a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Declaração 2. Qualquer número que seja divisível por cada um dos números primos a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m também é divisível pelo seu produto a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.