Análise matemática pdf. Análise matemática, análise funcional
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V.A. Zorich, Análise matemática (Parte 2)
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Capítulo IX. Mapeamentos contínuos (teoria geral)
§ 1. Espaço métrico
1. Definições e exemplos (11).
2. Subconjuntos abertos e fechados do espaço métrico (13).
3. Subespaço do espaço métrico (17).
4. Produto direto de espaços métricos (18).
§ 2. Espaço topológico
1. Definições básicas (19).
2. Subespaço do espaço topológico (23).
3. Produto direto de espaços topológicos. (24).
§ 3. Pactos
1. Definição e propriedades gerais de um conjunto compacto (25).
2. Compactos métricos (27).
§ 4. Espaços topológicos simples
§ 5. Espaços métricos completos K Definições básicas e exemplos (31).
2. Reabastecimento do espaço métrico (34).
§ 6. Mapas contínuos de espaços topológicos
1. Limite de exibição (38).
2. Mapeamentos contínuos (40).
§ 7. O princípio dos mapeamentos de contração
Capítulo X. Cálculo diferencial de um ponto de vista mais geral
§ 1. Espaço normado linear
1. Alguns exemplos de espaços lineares de análise (50).
2. Norma no espaço vetorial (51).
3. Produto escalar no espaço vetorial (54).
§ 2. Operadores lineares e multilineares 67
1. Definições e exemplos (57).
2. Norma do operador (64)).
3. Espaço de operadores contínuos (64).
§ 3. Mapeamento diferencial
1. Mapa diferenciável no ponto (69).
2. Leis gerais de diferenciação (70).
3. Alguns exemplos (71).
4. Derivadas parciais do mapeamento (77).
§ 4. O teorema do incremento finito e alguns exemplos de sua utilização
1. Teorema do incremento finito (80)
2. Alguns exemplos de aplicação do teorema do incremento finito (83).
§ 5. Mapeamentos derivados de ordens superiores
1. Definição do enésimo diferencial (87).
2. Derivada vetorial e cálculo dos valores da enésima diferencial (88).
3. Simetricidade de diferenciais de ordem superior (89).
4. Algumas observações (91).
§ 6. Fórmula de Taylor e o estudo dos extremos
1. Fórmula de Taylor para mapeamentos (93).
2. Estudo dos extremos internos (94).
3. Alguns exemplos (96).
§ 7. Teorema geral da função implícita
Capítulo XI. Integrais múltiplas 115
§ 1. Integral de Riemann em um intervalo n-dimensional
1. Definição de integral (113).
2. Critério de Lebesgue para integrabilidade de uma função segundo Pnman (115).
3. Critério de Darboux (120).
§ 2. Integral sobre um conjunto
1. Conjuntos admissíveis (123).
2. Integral sobre um conjunto (124)
3. Medida (volume) de um conjunto admissível (125).
§ 3. Propriedades gerais integrante
1. Integral como funcional linear (127).
2. Aditividade da integral (127).
3. Estimativas da integral (128).
§ 4. Redução de uma integral múltipla a uma repetida
1. Teorema de Fubini (131).
2. Algumas consequências (134).
§ 5. Mudança de variáveis em uma integral múltipla 139
1. Enunciado da questão e derivação heurística da fórmula - mudança de variáveis (139).
2. Conjuntos mensuráveis e mapeamentos suaves (141).
3. Caso unidimensional (143).
4. O caso do difeomorfismo mais simples em Rn (145).
5. Composição de mapeamentos e fórmula para alteração de variáveis (146).
6. Aditividade da integral e conclusão da prova da fórmula para alteração de variáveis na integral (147).
7. Algumas consequências e generalizações da fórmula para alteração de variáveis em integrais múltiplas (148).
§ 6. Integrais múltiplas impróprias
1. Definições básicas (154).
2. Ganho majorante para a convergência da integral imprópria (157).
3. Mudança de variáveis na integral imprópria (159).
Capítulo XII. Superfícies e formas diferenciais em Rn
§ 1. Superfícies em Rn
§ 2. Orientação da superfície
§ 3. A borda da superfície e sua orientação
1. Superfície com aresta (182).
2. Coordenação da orientação da superfície e da borda (184).
§ 4. Área de superfície no espaço euclidiano
§ 5. Informações iniciais sobre formas diferenciais
1. Forma diferencial, definição e exemplos (197).
2. Notação de coordenadas de forma diferencial (200).
3. Forma diferencial externa (203).
4. Transferência de vetores e formas durante mapeamentos (206).
5. Formas em superfícies (209).
Capítulo XIII. Integrais curvilíneas e de superfície
§ 1. Integral de forma diferencial
1. Problemas iniciais, considerações norteadoras, exemplos (213).
2. Determinação da integral de forma sobre uma superfície orientada (219).
§ 2. Forma volumétrica, integrais de primeira e segunda espécie
1. Massa da superfície do material (227).
2. Área de superfície como integral da forma (228).
3. Forma de volume (229).
4. Expressão da forma do volume em coordenadas cartesianas (231).
5. Integrais de primeiro e segundo tipo (232).
§ 3. Fórmulas integrais básicas de análise
1. Fórmula de Green (236).
2. Fórmula de Gauss-Ostrogradsky (241).
3. Fórmula de Stokes em R3 (244).
4. Fórmula Geral de Stokes (246).
Capítulo XIV. Elementos de análise vetorial e teoria de campo
§ 1. Operações diferenciais de análise vetorial 253
1. Campos escalares e vetoriais (253)
2. Campos vetoriais e formulários em R3 (253).
3. Operadores diferenciais grad, rot, div e V (256).
4. Algumas fórmulas diferenciais de análise vetorial (259).
5. Operações vetoriais em coordenadas curvilíneas (261).
§ 2. Fórmulas integrais da teoria de campo 270
1. Fórmulas integrais clássicas em notação vetorial (270).
2. Interpretação física (273).
3. Algumas outras fórmulas integrais (277)
§ 3. Campos potenciais
1. Potencial de campo vetorial (281).
2. Condição necessária para potencialidade (282).
3. Critério de potencialidade para um campo vetorial (288).
4. Estrutura topológica da região e potencial (286).
5. Potencial vetorial. Formulários exatos e fechados (288).
§ 4. Exemplos de aplicação
1. Equação de condutividade térmica (295).
2. Equação de continuidade (297).
3. Equações básicas da dinâmica do contínuo (298).
4. Equação de onda (300).
Capítulo XV. Integração de formas diferenciais em variedades 305
§ 1. Alguns lembretes da álgebra linear
1. Álgebra fdrm (305).
2. Álgebra de formas assimétricas (306).
3. Mapas lineares de espaços lineares e mapas conjugados de espaços conjugados (309). Problemas e exercícios 310
§ 2. Diversidade.
1. Definição de diversidade (312).
2. Variedades suaves e mapeamentos suaves (317).
3. Orientação de variedades e suas arestas (320).
4. Particionamento da unidade e realização de variedades na forma de superfícies em Rn (323).
§ 3. Formas diferenciais e sua integração em variedades
1. Espaço tangente à variedade no ponto (329).
2. Forma diferencial no coletor (333).
3. Diferencial externo (335).
4. Integral de forma sobre uma variedade (336).
5. Fórmula de Stokes (338).
§ 4. Formas fechadas e exatas em uma variedade
1. Teorema de Poincaré (344).
2. Homologias e cohomologias (348).
Capítulo XVI. Convergência uniforme e operações básicas de análise sobre séries e famílias de funções 355
§ 1. Convergência pontual e uniforme
1. Convergência pontual (355). 2. Declaração de questões básicas (356)
3. Convergência e convergência uniforme de uma família de funções dependendo do parâmetro (358).
4. Critério de Cauchy para convergência uniforme (361).
§ 2. Convergência uniforme de séries de funções
1. Definições básicas e critério para convergência uniforme de séries (363).
2. Teste de Weyergatrass para convergência uniforme de séries (366).
3. Teste de Abel-Dirichlet (368).
§ 3. Propriedades funcionais da função limite
1. Especificação da tarefa (373).
2. Condições de comutação de duas passagens limite (374).
3. Continuidade e passagem ao limite (376).
4. Integração e passagem ao limite (380).
5. Diferenciação e passagem ao limite (381).
§ 4. Subconjuntos compactos e densos do espaço de funções contínuas
1. O teorema de Arcela-Ascoli (391).
2. Espaço métrico (393)
3. Teorema de Stone (394).
Capítulo XVII. Integrais dependendo de um parâmetro
§ 1. Integrais adequadas dependendo do parâmetro
1. O conceito de integral dependendo do parâmetro (400).
2. Continuidade da integral dependendo do parâmetro (401).
3. Diferenciação da integral em função do parâmetro (402).
4. Integração da integral dependendo do parâmetro (405)
§ 2. Integrais impróprias dependendo de um parâmetro
1. Convergência uniforme da integral imprópria em relação ao parâmetro (407).
2. Passagem ao limite sob sinal da integral imprópria e continuidade da integral imprópria dependendo do parâmetro (415).
3. Diferenciação da integral imprópria em relação ao parâmetro (417).
4. Integração da integral imprópria sobre o parâmetro (420).
§ 3. Integrais de Euler
1. Função beta (428).
2. Função gama (429).
3. Relação entre as funções B e D (432).
4. Alguns exemplos (433).
§ 4. Convolução de funções e informações iniciais sobre funções generalizadas
1. Convolução em problemas físicos (considerações orientadoras) (439).
2. Algumas propriedades gerais da convolução (442).
3. Famílias de funções em forma de delta e teorema de aproximação de Weierstrass (445).
4. Ideias iniciais sobre distribuições (450).
§ 5. Múltiplas integrais dependendo de um parâmetro
1. Integrais múltiplas adequadas dependendo do parâmetro (463).
2. Integrais múltiplas impróprias dependendo do parâmetro (467).
3. Integrais impróprias com singularidade variável (469).
4. Convolução, solução fundamental e funções generalizadas no caso multidimensional (473).
Capítulo XVIII Reed Fourier e a Transformada de Fourier
§ 1. Conceitos gerais básicos relacionados ao conceito de série de Fourier
1. Sistemas ortogonais de funções (488).
2. Coeficientes de Fourier (494).
3. Série de Fourier (499).
4. Sobre uma fonte importante de sistemas ortogonais de funções em análise (506).
§ 2. Série trigonométrica de Fourier
1. Principais tipos de convergência da série clássica de Fourier (515)
2. Estudo da convergência pontual da série trigonométrica de Fourier (520).
3. Suavidade da função e taxa de diminuição dos coeficientes de Fourier (530).
4. Completude do sistema trigonométrico (535).
§ 3. Transformada de Fourier
1. Representação de uma função pela integral de Fourier (551).
2. Regularidade da função e taxa de diminuição de sua transformada de Fourier (562)
3. As propriedades de hardware mais importantes da transformada de Fourier (566)
4. Exemplos de aplicação (572).
Capítulo XIX. Expansões assintóticas
§ 1. Fórmula assintótica e série assintótica
1. Definições básicas (586).
2. informações gerais em séries assintóticas (591).
3. Série assintótica de potência (696).
§ 2. Comportamento assintótico de integrais (método de Laplace)
1. A ideia do método de Laplace (602).
2. O princípio da localização do comprimento da integral de Laplace (605).
3. Integrais canônicas e suas assintóticas (607).
4. O termo principal da assintótica da integral de Laplace (610).
5. Expansões assintóticas de integrais de Laplace (613).
Breve resumo do livro
O livro reflete a ligação mais estreita entre o curso de análise clássica e os cursos de matemática moderna (álgebra, geometria diferencial, equações diferenciais, análise complexa e funcional). A segunda parte do livro inclui as seguintes seções: Integral multidimensional. Formas diferenciais e sua integração. Séries e integrais dependendo de um parâmetro (incluindo séries e transformadas de Fourier, bem como expansões assintóticas).
O texto está equipado com perguntas e tarefas que complementam o material do livro e dos livros de problemas de análise existentes. Uma parte orgânica do texto são exemplos de aplicações da teoria que está sendo desenvolvida, que muitas vezes servem como problemas significativos em mecânica e física.
Para estudantes universitários da especialidade "Matemática" e "Mecânica". Pode ser útil para estudantes de faculdades e universidades com um programa alargado de matemática, bem como para especialistas na área da matemática e suas aplicações.
O livro representa a primeira parte de um curso de três volumes em análise matemática para o ensino superior. instituições educacionais URSS, Bulgária e Hungria, redigidos em conformidade com o acordo de cooperação entre as universidades de Moscovo, Sófia e Budapeste. O livro inclui a teoria dos números reais, a teoria dos limites, a teoria da continuidade das funções, cálculo diferencial e integral de funções de uma variável e suas aplicações, cálculo diferencial de funções de diversas variáveis e a teoria das funções implícitas.
NUMEROS REAIS.
No capítulo anterior estávamos convencidos de que o desenvolvimento da teoria dos números reais é necessário para um estudo rigoroso e consistente do conceito de limite, que é um dos conceitos mais importantes da análise matemática.
A teoria dos números reais de que necessitamos, apresentada neste capítulo, inclui a definição das operações de ordenação de adição e multiplicação desses números e o estabelecimento das propriedades básicas dessas operações, bem como a prova da existência de faces exatas para conjuntos de números delimitados acima ou abaixo.
No final do capítulo é feita uma introdução questões adicionais teoria dos números reais, que não são necessários para a construção da teoria dos limites e um curso de análise matemática em geral (a completude do conjunto dos números reais no sentido de Hilbert, a construção axiomática da teoria dos números reais, a conexão entre jeitos diferentes introdução de reais; números).
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Baixe o livro Análise Matemática, Curso Inicial, Ilyin V.A., Sadovnichy V.A., Sendov B.X., Tikhonov A.N., 1985 - fileskachat.com, download rápido e gratuito.
- Análise matemática, continuação do curso, Ilyin V.A., Sadovnichy V.A., Sendov B.X., Tikhonov A.N., 1987
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- Análise matemática, Curso inicial, Volume 1, Ilyin V.A., Sadovnichy V.A., Sendov B.Kh., 1985
- Análise matemática - Ilyin V.A., Sadovnichy V.A., Sendov Bl.Kh. - Continuação do curso
Os seguintes livros e livros.
Transcrição
2 Análise matemática 1. Completude: supremo e ínfimo de um conjunto numérico. O princípio dos segmentos aninhados. Irracionalidade do Teorema dos Números sobre a existência do limite de uma sequência monótona. Número e. 3. Equivalência das definições do limite de uma função num ponto da linguagem e da linguagem das sequências. Dois grandes limites. 4. Continuidade de uma função de uma variável num ponto, pontos de descontinuidade e sua classificação. Propriedades de uma função contínua num intervalo. 5. Teoremas de Weierstrass sobre os maiores e menores valores de uma função contínua definida em um segmento. 6. Uniformidade de continuidade. Teorema de Cantor. 7. O conceito de derivada e diferenciabilidade de uma função de uma variável, diferenciação de uma função complexa. 8. Derivadas e diferenciais de ordens superiores de uma função de uma variável. 9. Estudo de uma função utilizando derivadas (monotonicidade, extremos, convexidade e pontos de inflexão, assíntotas). 10. Funções definidas parametricamente e sua diferenciação. 11. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy. 12. Regra de L'Hopital. 13. Fórmula de Taylor com resto do termo na forma de Lagrange. 14. Fórmula de Taylor local com resto do termo na forma de Peano. Expansão de funções elementares básicas usando a fórmula de Taylor. 15. Critério de Riemann para integrabilidade de uma função. Classes de funções integráveis. 16. Teorema da existência de uma antiderivada para toda função contínua. Fórmula de Newton-Leibniz. 17. Integração por partes e mudança de variável na integral indefinida. Integrando frações racionais. 18. Métodos de cálculo aproximado de integrais definidas: métodos de retângulos, trapézios, parábolas. 19. Integral definida com limite superior variável; teoremas do valor médio. 20. Aplicações geométricas da integral definida: área de uma figura plana, volume de um corpo no espaço. 21. Séries de potências; expansão de funções em séries de potências. 22. Integrais impróprias de primeiro e segundo tipo. Sinais de convergência. 23. As condições mais simples para convergência uniforme e diferenciação termo a termo da série trigonométrica de Fourier. 24. Condições suficientes para diferenciabilidade num ponto de uma função de diversas variáveis. 25. Definição, existência, continuidade e diferenciabilidade de uma função implícita. 26. Condição necessária para um extremo condicional. Método do multiplicador de Lagrange. 27. Série numérica. Critério de Cauchy para convergência de séries. 28. Teste de Cauchy para a convergência de séries positivas 29. Teste de D'Alembert para a convergência de séries positivas 30. Teorema de Leibniz sobre a convergência de uma série alternada. 31. Critério de Cauchy para convergência uniforme de séries funcionais. 32. Condições suficientes de continuidade, integrabilidade e diferenciabilidade da soma de uma série funcional. 33. Estrutura do conjunto convergente de uma série funcional arbitrária. A fórmula de Cauchy-Hadamard e a estrutura do conjunto de convergência de uma série de potências.
3 34. Integral múltipla de Riemann, sua existência. 35. Reduzindo uma integral múltipla a uma integral repetida. Referências 1. Kartashev, A.P. Analise matemática: tutorial.- 2ª ed., estereótipo.- São Petersburgo: Lan, p. 2. Kirkinsky, A.S. Análise matemática: livro didático para universidades - M.: Projeto Acadêmico, p. 3. Kudryavtsev, L.D. Curso de curta duração em análise matemática. Vol. 1, 2. Cálculo diferencial e integral de funções de muitas variáveis. Análise harmônica: um livro didático para estudantes universitários.- Ed. 3º, revisado - Moscou: Fizmatlit, p. 4. Análise matemática. T. 1.2:/ed. V. A. Sadovnichego.- M.: Centro de Pesquisa Científica "RHD", Nikolsky, S.M. Curso de análise matemática. T. 1, 2.-Ed. 4º, revisado e adicional - Moscou: Ciência, p. 6. Ilyin, V.A. Fundamentos da análise matemática. Parte 1, 2. - Ed. 4º, revisado e adicional - Moscou: Ciência, p. Equações diferenciais. 1. O teorema da existência e unicidade de uma solução do problema de Cauchy para uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. 2. O teorema sobre a existência e unicidade da solução do problema de Cauchy para uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. parâmetros e nos dados iniciais. 4. O teorema da diferenciabilidade da solução do problema de Cauchy para uma equação diferencial ordinária de primeira ordem em relação a parâmetros e dados iniciais. 5. Equações diferenciais ordinárias lineares (EDO). Propriedades gerais. EDO homogênea. Sistema fundamental de soluções. Vronskiano. Fórmula de Liouville. Solução geral de uma EDO homogênea. 6. Equações diferenciais ordinárias lineares não homogêneas. Decisão comum. Método de Lagrange de variação de constantes. 7. Equações diferenciais ordinárias lineares homogêneas com coeficientes constantes. Construção de um sistema fundamental de soluções. 8. Equações diferenciais ordinárias lineares não homogêneas com coeficientes constantes com heterogeneidade na forma de quase-polinômio (casos não ressonantes e ressonantes). 9. Sistema homogéneo de equações diferenciais ordinárias lineares (EDO). Sistema fundamental de soluções e matriz fundamental. Vronskiano. Fórmula de Liouville. Estrutura solução geral sistema EDO homogêneo. 10. Sistema não homogêneo de equações diferenciais ordinárias lineares. Método de Lagrange de variação de constantes. 11. Sistema homogêneo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Construção de um sistema fundamental de soluções. 12. Sistema não homogêneo de equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes com heterogeneidade em forma de matriz com elementos de quase-polinômios (casos não ressonantes e ressonantes). 13. Declaração de problemas de valores de contorno para uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem. Funções especiais de problemas de valores de fronteira e suas representações explícitas. A função de Green e suas representações explícitas. Representação integral
4 soluções para o problema do valor limite. Teorema da existência e unicidade de uma solução para um problema de valor limite. 14. Sistemas autónomos. Propriedades das soluções. Pontos singulares de um sistema linear autônomo de duas equações. Estabilidade e estabilidade assintótica segundo Lyapunov. Estabilidade de um sistema homogêneo de equações diferenciais lineares com matriz variável. 15. Estabilidade de primeira aproximação de um sistema de equações diferenciais não lineares. Segundo método Lyapunov. Referências 1. Samoilenko, A.M. Equações diferenciais: curso prático: livro didático para estudantes universitários.- Ed. 3º, revisado - Moscou: Escola Superior, p. 2. Agafonov, S.A. Equações diferenciais: livro didático. - 4ª ed., revisado - M.: Editora do MSTU em homenagem a N.E. 3. Egorov, A.I. Equações diferenciais ordinárias com aplicações - Ed. 2º, corrigido - Moscou: FIZMATLIT, p. 4. Pontryagin, L.S. Equações diferenciais ordinárias.- Ed. 6º - Moscou; Izhevsk: Dinâmica regular e caótica, p. 5. Tikhonov, A.N. Equações diferenciais: um livro didático para estudantes de especialidades físicas e da especialidade “Matemática Aplicada” - Ed. 4º, St. - Moscou: Fizmatlit, p. 6. Phillips, G. Equações diferenciais: tradução do inglês / G. Phillips; editado por A.Ya. Khinchin. - 4ª ed., impresso. - Moscou: KomKniga, p. Álgebra e teoria dos números 1. Definição de grupo, anel e corpo. Exemplos. Construção do campo números complexos. Elevando números complexos a potências. Extraindo raízes de números complexos. 2. Álgebra matricial. Tipos de matrizes. Operações sobre matrizes e suas propriedades. 3. Determinantes de matrizes. Definição e propriedades básicas dos determinantes. Matrizes inversas. 4. Sistemas de equações algébricas lineares (SLAEs). Estudo do SLAU. Método de Gauss. Regra de Cramer. 5. Anel de polinômios em uma variável. Teorema da divisão com resto. GCD de dois polinômios. 6. Raízes e raízes múltiplas de um polinômio. Teorema fundamental da álgebra (sem prova). 7. Espaços lineares. Exemplos. Base e dimensão de espaços lineares. Matriz de transição de uma base para a segunda base. 8. Subespaços. Operações em subespaços. Soma direta de subespaços. Critérios para soma direta de subespaços. 9. Classificação da matriz. Compatibilidade do SLAU. Teorema de Kronecker-Capelli. 10. Espaços euclidianos e unitários. Conceitos métricos em espaços euclidianos e unitários. Desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky. 11. Sistemas vetoriais ortogonais. Processo de ortogonalização. Bases ortonormais. 12. Subespaços de espaços unitários e euclidianos. Adição ortogonal. 13. Operadores lineares em espaços lineares e operações sobre eles. Matriz de operadores lineares. Matrizes de um operador linear em diversas bases.
5 14. Imagem e kernel, posto e defeito de um operador linear. Dimensões do kernel e imagem. 15. Subespaços invariantes de um operador linear. Autovetores e autovalores de um operador linear. 16. Critério de diagonalizabilidade para um operador linear. Teorema de Hamilton-Cayley. 17. Base de Jordan e forma normal de Jordan da matriz de um operador linear. 18. Operadores lineares em espaços euclidianos e unitários. Operadores conjugados, normais e suas propriedades simples. 19. Formas quadráticas. Forma canônica e normal das formas quadráticas. 20. Formas quadráticas de sinal constante, critério de Sylvester. 21. Relação de divisibilidade no anel dos inteiros. Teorema da divisão com resto. GCD e LCM de inteiros. 22. Frações contínuas (continuadas). Frações correspondentes. 23. Números primos. Peneira de Eratóstenes. Teorema do infinito números primos. Fatoração de um número em fatores primos 24. Função Antje. Função multiplicativa. Função de Möbius. Função de Euler. 25. Comparações. Propriedades básicas. Sistema completo de deduções. O determinado sistema de deduções. Teoremas de Euler e Fermat. 26. Comparações do primeiro grau com uma incógnita. Sistema de comparações de primeiro grau. Teorema do resto chinês. 27. Comparações de qualquer graduação por módulo composto. 28. Comparações de segundo grau. Símbolo de Legendre. 29. Raízes primordiais. 30. Índices. Aplicação de índices para resolver comparações. Referências 1. Kurosh, A.G. Aulas de álgebra geral: livro didático / A.G. Kurosh - 2ª ed., impresso - São Petersburgo: Editora "Lan", p. 2. Birkhoff, G. Álgebra aplicada moderna: um livro didático / Garrett Birkhoff, Thomas K. Barty; tradução do inglês por Yu.I. Manina.- 2ª ed., impressa.- São Petersburgo: Lan, p. 3. Ilyin, V.A. Álgebra linear: um livro didático para alunos das especialidades físicas e da especialidade “Matemática Aplicada”. -Ed. 5º, rua - Moscou: FIZMATLIT, Kostrikin, A.I. Introdução à álgebra. Parte 1. Fundamentos de Álgebra: um livro didático para estudantes universitários das especialidades “Matemática” e “Matemática Aplicada” - Ed. 2º, rev. - Moscou: FIZMATLIT, Vinogradov, I.M. Fundamentos da teoria dos números: livro didático.- Ed. 11º - São Petersburgo; Moscou; Krasnodar: Lan, p. 6. Bukhshtab, A.A. Teoria dos números: livro didático - 3ª ed., estereótipo - São Petersburgo; Moscou; Krasnodar: Lan, p. Geometria 1. Produtos escalares, vetoriais e mistos de vetores e suas propriedades. 2. Equação de uma linha reta em um plano definido de várias maneiras. Arranjo mútuo duas linhas retas. O ângulo entre duas linhas retas. 3. Transformação de coordenadas ao passar de um sistema de coordenadas cartesianas para outro. 4. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. 5. Elipse, hipérbole e parábola e suas propriedades. 6. Classificação das linhas de segunda ordem.
6 7. Equação de um plano definido de várias maneiras. A posição relativa de dois planos. Distância de um ponto a um plano. O ângulo entre dois planos. 8. Equações de uma reta no espaço. A posição relativa de duas linhas, uma linha reta e um plano. Distância de um ponto a uma reta. O ângulo entre duas linhas retas, uma linha reta e um plano. 9. Elipsóides, hiperbolóides e parabolóides. Geradores retilíneos de superfícies de segunda ordem. 10. Superfícies de revolução. Superfícies cilíndricas e cônicas. 11. Definição de curva elementar. Métodos para definir uma curva. Comprimento da curva (definição e cálculo). 12. Curvatura e torção de uma curva. 13. Referência de acompanhamento de uma curva suave. Fórmulas de Frenet. 14. A primeira forma quadrática de uma superfície lisa e suas aplicações. 15. Segunda forma quadrática de uma superfície lisa, curvatura normal da superfície. 16. Principais direções e principais curvaturas da superfície. 17. Linhas de curvatura e linhas assintóticas da superfície. 18. Curvatura superficial média e gaussiana. 19. Espaço topológico. Exibições contínuas. Homeomorfismos. Exemplos. 20. Característica de Euler de uma variedade. Exemplos. Literatura 1. Nemchenko, K.E. Geometria analítica: livro didático - M.: Eksmo, p. 2. Dubrovin, BA. Geometria moderna: métodos e aplicações. Vol. 1, 2. Geometria e topologia de variedades - 5ª ed. rev. - Moscou: Editorial URSS, p. 3. Zhafyarov, A.Zh. Geometria. Em 2 horas Guia de estudo - 2ª ed. - Novosibirsk: Siberian University Publishing House, p. 4. Efimov, N.V. Um breve curso de geometria analítica: um livro didático para estudantes de instituições de ensino superior. - 13ª ed. - Moscou: FIZMATLIT, p. 5. Taimanov, I.A. Palestras sobre geometria diferencial - Moscou; Izhevsk: Instituto de Pesquisa em Computação, p. 6. Atanasyan L.S., Bazyrev V.T. Geometria, parte 1,2. Moscou: Knorus, p. 7. Rashefsky P.S. Curso de geometria diferencial. Moscou: Nauka, p. Teoria e métodos de ensino da matemática 1. Conteúdos do ensino da matemática no ensino secundário. 2. Princípios didáticos do ensino da matemática. 3. Métodos conhecimento científico. 4. Visualização no ensino de matemática. 5. Formas, métodos e meios de monitorização e avaliação de conhecimentos e competências dos alunos. Padrões de marcação. 6. Atividades extracurriculares matemática. 7. Conceitos matemáticos e métodos de sua formação. 8. Os problemas como meio de ensino da matemática. 9. Estudo aprofundado da matemática: conteúdos, técnicas e formas de organização da formação. 10. Tipos de proposições matemáticas: axioma, postulado, teorema.
7 11. Notas de aula de matemática. 12. Aula de matemática. Tipos de aulas. Análise da lição. 13. Estudar matemática numa escola pequena: conteúdos, técnicas e formas de organização do ensino. 14. Novas tecnologias de ensino. 15. Diferenciação do ensino da matemática. 16. Individualização do ensino da matemática. 17. Motivação atividades educacionais escolares. 18. Análise lógico-didática do tema. 19. Abordagem tecnológica do ensino da matemática. 20. Humanização e humanização do ensino da matemática. 21. A educação no processo de ensino da matemática. 22. Metodologia de estudo das transformações identitárias. 23. Metodologia de estudo das desigualdades. 24. Metodologia de estudo da função. 25. Metodologia de estudo do tema “Equações e desigualdades com módulo”. 26. Metodologia de estudo do tema “Coordenadas cartesianas”. 27. Métodos de estudo de poliedros e corpos redondos. 28. Metodologia de estudo do tema “Vetores”. 29. Metodologia de resolução de problemas de movimento. 30. Metodologia de resolução de problemas de trabalho conjunto. 31. Metodologia de estudo do tema “Triângulos” 32. Metodologia de estudo do tema “Círculo e Círculo”. 33. Metodologia de resolução de problemas em ligas e misturas. 34. Metodologia de estudo do tema “Derivada e Integral”. 35. Metodologia de estudo do tema “Equações e desigualdades irracionais”. 36. Metodologia de estudo do tema “Resolução de equações e inequações com parâmetros”. 37. Metodologia de estudo dos conceitos básicos da trigonometria. 38. Metodologia de estudo do tema “Equações trigonométricas” 39. Metodologia de estudo do tema “Desigualdades trigonométricas”. 40. Metodologia de estudo do tema “Inverso funções trigonométricas" 41. Metodologia de estudo do tema “Métodos gerais de resolução de equações em um curso escolar de matemática”. 42. Metodologia de estudo do tema “ Equações quadráticas" 43. Metodologia de estudo dos conceitos básicos da estereometria 44. Metodologia de estudo do tema “ Frações comuns" 45. Metodologia de estudo do tema “Uso de derivadas no estudo de funções” Referências 1. Argunov, B.I. Curso de matemática escolar e métodos de ensino - Moscou: Educação, p. 2. Zemlyakov, A.N. Geometria no 11º ano: recomendações metodológicas para estudos. A. V. Pogorelova: um manual para professores. - 3ª ed., voltar. - M.: Educação, p. 3. Estudando álgebra do 7º ao 9º ano: um livro para professores / Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov, M.V. Tkacheva e outros - 2ª ed. - M.: Prosveshchenie, p. 4. Latyshev, L.K. Tradução: teoria, prática e métodos de ensino: livro didático. - 3ª ed., ester. - Moscou: Academia, p. 5. Métodos e tecnologia de ensino de matemática: um curso de palestras: um livro didático para alunos de faculdades de matemática de instituições de ensino superior que estudam na direção (050200) educação física e matemática - Moscou: Bustard, p.
8 6. Roganovsky, N.M. Métodos de ensino de matemática no ensino médio: livro didático - Minsk: Escola Superior, p.
25. Definição, existência, continuidade e diferenciabilidade de uma função implícita. 26. Condição necessária para um extremo condicional. Método do multiplicador de Lagrange. 27. Série numérica. Critério de convergência de Cauchy
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Volume 1. Conteúdo
Prefácio 3
Introdução 7
Capítulo 1
Cálculo diferencial de funções de uma variável
§ 1. Conjuntos e funções. Símbolos lógicos 13
1.1. Multidões. Definir operações 13
1,2*. Funções 16
1,3*. Conjuntos finitos e números naturais.
1.4. Agrupamentos de elementos de um conjunto finito 29
1.5. Símbolos lógicos 33
§ 2. Números reais 35
2.1. Propriedades dos números reais 35
2.2*. Propriedades de adição e multiplicação 39
2,3*. Propriedades da ordem 47
2,4*. Propriedade de continuidade dos números reais 51
2,5*. Seções no conjunto de números reais 52
2,6*. Poderes racionais de números reais 58
2.7. Fórmula binomial de Newton 60
§ 3. Conjuntos numéricos 63
3.1. Linha numérica estendida 63
3.2. Intervalos de números reais. Bairro 64
3.3. Conjuntos Limitados e Ilimitados 68
3.4. Limites superior e inferior dos conjuntos de números 70
3,5*. Propriedades aritméticas dos limites superior e inferior... 75
3.6. Princípio de Arquimedes 78
3.7. O princípio dos segmentos aninhados 80
3,8*. Exclusividade de um campo ordenado contínuo.... 85
§ 4. Limite de uma sequência numérica 92
4.1. Determinando o limite de uma sequência numérica 92
4.2. A singularidade do limite de uma sequência numérica... 100
4.3. Passando ao limite nas desigualdades 101
4.4. Limitação de sequências convergentes 107
4.5. Sequências monótonas 108
4.6. Teorema de Bolzano-Weierstrass 113
4.7. Critério de Cauchy para convergência de sequência 115
4.8. Sequências infinitesimais 118
4.9. Propriedades de limites associados a operações aritméticas em sequências 120
4.10. Representação de números reais como infinitos decimais 133
4.11*. Conjuntos contáveis e incontáveis 141
4,12*. Limites de sequência superior e inferior 149
§ 5. Limite e continuidade de funções 153
5.1. Funções válidas 153
5.2. Métodos para definir funções 156
5.3. Funções elementares e sua classificação 160
5.4. Primeira definição do limite de uma função 162
5.5. Funções contínuas 172
5.6. Condição para a existência de limite de função 177
5.7. Segunda definição do limite de uma função 179
5.8. Limite de uma função combinando conjuntos 184
5.9. Limites unilaterais e continuidade unilateral... 185
5.10. Propriedades dos limites de função 189
5.11. Infinitamente pequeno e infinitamente ótimos recursos 194
5.12. Várias formas registros de continuidade
5.13. Classificação dos pontos de descontinuidade de função 202
5.14. Limites de funções monotônicas 204
5.15. Critério de Cauchy para a existência de um limite de uma função 210
5.16. Limite e continuidade da composição de funções 212
§ 6. Propriedades de funções contínuas em intervalos 216
6.1. Limitação de funções contínuas. Acessibilidade de valores extremos 216
6.2. Valores intermediários de funções contínuas 218
6.3. Funções inversas 221
6.4. Continuidade uniforme. Módulo de continuidade.... 228
§ 7. Continuidade das funções elementares 235
7.1. Polinômios e funções racionais 235
7.2. Funções exponenciais, logarítmicas e de potência. . 236
7.3. Funções trigonométricas e trigonométricas inversas 246
7.4. Continuidade de funções elementares 248
§ 8. Comparação de funções. Calculando limites 248
8.1. Alguns Limites Maravilhosos 248
8.2. Comparação de funções 253
8.3. Funções equivalentes 264
8.4. Método para isolar a parte principal de uma função e sua aplicação ao cálculo de limites 267
§ 9. Derivada e diferencial 271
9.1. Definição de derivada 271
9.2. Diferencial de função 274
9.3. Significado geométrico de derivadas e diferenciais... 280
9.4. Significado físico da derivada e diferencial 284
9.5. Regras para cálculo de derivadas relacionadas a operações aritméticas em funções 288
9.6. Derivada da função inversa 291
9.7. Derivada e diferencial de funções complexas 294
9.8. Funções hiperbólicas e suas derivadas 301
§10. Derivados e diferenciais de ordens superiores 304
10.1. Derivadas de ordem superior 304
10.2. Derivadas de ordem superior da soma e produto das funções 306
10.3. Derivadas de ordens superiores de funções complexas, de funções inversas e de funções dadas
10.4. Diferenciais de ordem superior 311
§onze. Teoremas do valor médio para funções diferenciáveis 313
11.1 Teorema de Fermat
11.2. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy sobre valores médios. . 316
§12. Divulgação de incertezas de acordo com a regra 327 de L'Hopital
12.1 Incertezas do tipo 0/0
12.2 Incertezas do tipo ----
12.3. Generalização da regra 337 de L'Hopital
§ 13. Fórmula de Taylor 339
13.1. Derivação da fórmula de Taylor 339
13.2. Polinômio de Taylor como um polinômio da melhor aproximação de uma função na vizinhança de um determinado ponto 344
13.3. Fórmulas de Taylor para elementar básico
13.4. Cálculo de limites usando a fórmula de Taylor (método de seleção da parte principal) 351
§ 14. Investigação do comportamento das funções 353
14.1. Sinal de monotonicidade da função 353
14.2. Encontrando os maiores e menores valores de uma função 356
14.3. Convexidade e pontos de inflexão 365
14.5. Funções gráficas 377
§ 15. Função vetorial 387
15.1. O conceito de limite e continuidade para uma função vetorial 387
15.2. Derivada e diferencial de uma função vetorial 391
§ 16. Comprimento da curva 397
16.3. Orientação da curva. Arco de uma curva. Soma das curvas. Configuração implícita de curvas 408
16.4. Tangente a uma curva. Significado geométrico da derivada de uma função vetorial 411
16.7. Significado físico da derivada de uma função vetorial... 425
§17. Curvatura e torção de uma curva 426
17.1. Dois lemas. Componentes radiais e transversais da velocidade 426
17.2. Determinando a curvatura de uma curva e calculando-a 430
17.3. Casa normal. Tocando o avião 434
17.4. Centro de curvatura e evolução da curva 436
17.5. Fórmulas para curvatura e evolução de uma curva plana.... 437
17.6. Involuto 444
17.7. Torção de uma curva espacial 447
17.9. Fórmulas para calcular a torção 451
Capítulo 2
Cálculo integral de funções de uma variável
§18. Definições e propriedades da integral indefinida 453
18.1. Antiderivada e integral indefinida 453
18.2. Propriedades básicas da integral 456
18.3. Integrais de tabela 458
18.4. Integração por substituição (substituição de variável) 461
18,5. Integração por partes 464
18,6*. Generalização do conceito de antiderivada 467
§ 19. Algumas informações sobre números complexos e polinômios. . 473
19.1. Números complexos 473
19,2*. Teoria formal dos números complexos 481
19.3. Alguns conceitos de análise na área de números complexos 482
19.4. Fatoração de polinômios 486
19,5*. Maior divisor comum polinômios 490
19.6. Decomposição de frações racionais próprias em frações elementares 495
§ 20. Integração de frações racionais 503
20.1. Integração de frações racionais elementares... 503
20.2. Caso geral 506
20,3*. Método Ostrogradsky 508
§21. Integrando algumas irracionalidades 514
21.1. Observações preliminares 514
21.2. Integrais da forma \R\X, [^jf , ... , (^if]<** 515
21.3. Integrais da forma \Shx, Jax2 + bx + c) dx. Substituições de Euler 518
21.4. Integrais de binômios diferenciais 522
21.5. Integrais da forma) n" " Jax2 + bx + c
§ 22. Integração de algumas funções transcendentais.... 526
22.1. Tipos de integrais JR(sen x,cosx)dx 526
22.2. Integrais da forma Jsinm x cos" x dx 528
22.3. Integrais da forma Jsin ax cos |3x dx 530
22.4. Integrais de funções transcendentais calculadas por integração por partes. . 530
22.5. Integrais da forma J.R(sh x, ch x) dx 532
22.6. Observações sobre integrais que não podem ser expressas em termos de funções elementares 532
§ 23. Integral definida 533
23.1. Definição da integral de Riemann 533
23,2*. Critério de Cauchy para a existência de uma integral 539
23.3. Limitação da função integrada 541
23.4. Somas de Darboux superiores e inferiores. Integrais Darboux superiores e inferiores 543
23,5. Condições necessárias e suficientes para integrabilidade. . 547
23.6. Integrabilidade de funções contínuas e monótonas. 548
23,7*. Critérios de integrabilidade de Darboux e Riemann 551
23,8*. Oscilações de funções 556
23,9*. Critério de integrabilidade Dubois-Reymond 563
23h10*. Critério de integrabilidade de Lebesgue 566
§ 24. Propriedades de funções integráveis 570
24.1. Propriedades de uma integral definida 570
24.2. Primeiro teorema do valor médio para uma integral definida 583
§25. Integral definida com limites variáveis
25.1. Continuidade da integral acima do limite superior
25.2. Diferenciabilidade da integral em relação ao limite superior de integração. Existência de uma antiderivada para uma função contínua 588
25.3. Fórmula de Newton-Leibniz 591
25,4*. Existência de uma antiderivada generalizada. Fórmula de Newton-Leibniz para uma antiderivada generalizada. . 592
§26. Fórmulas para alterar uma variável em uma integral e integrar por partes 596
26.1. Substituição de variável 596
26.2. Integração por partes 600
26,3*. Segundo teorema do valor médio para um certo
26.4. Integrais de funções vetoriais 606
§27. Medida de conjuntos abertos planos 608
27.1. Determinação da medida (área) de um conjunto aberto 608
27.2. Propriedades de medidas de conjuntos abertos 612
§28. Algumas aplicações geométricas e físicas da integral definida 618
28.1. Cálculo de áreas 618
28,2*. Desigualdades integrais de Hölder e Minkowski... 625
28.3. Volume do corpo de revolução 630
28.4. Cálculo do comprimento da curva 632
28,5. Área superficial de rotação 637
28.6. Trabalho de força 640
28.7. Cálculo de momentos estáticos e coordenadas do centro de gravidade de uma curva 641
§ 29. Integrais impróprias 644
29.1. Definição de integrais impróprias 644
29.2. Fórmulas de cálculo integral para integrais impróprias 652
29.3. Integrais impróprias de funções não negativas 657
29.4. Critério de Cauchy para convergência de integrais impróprias. 665
29,5. Integrais absolutamente convergentes 666
29.6. Estudo da convergência de integrais 671
29.7. Comportamento assintótico de integrais com limites variáveis de integração 677
Índice de assunto 685
Índice de designações básicas 695
Volume 2. Conteúdo
Prefácio 3
Capítulo 3
Linhas
§ 30. Série numérica 5
30.1. Definição de uma série e sua convergência 5
30.2. Propriedades da série convergente 9
30.3. Critério de Cauchy para convergência da série 11
30.4. Série com termos não negativos 13
30,5. Teste de comparação para séries com termos não negativos. Método para isolar a parte principal de um membro da linha 16
30.6. Testes de D'Alembert e Cauchy para séries com termos não negativos 20
30.7. Teste integral para convergência de séries com termos não negativos 23
30,8*. Desigualdades de Hölder e Minkowski para somas finitas e infinitas 25
30.9. Série alternada 27
30.10. Série absolutamente convergente. Aplicação de séries absolutamente convergentes ao estudo da convergência
30.11. Testes de D'Alembert e Cauchy para séries de números arbitrários 38
30.12. Séries convergentes que não são absolutamente convergentes. Teorema de Riemann 39
30.13. Transformação de Abel. Testes de convergência de Dirichlet e Abel 43
30,14*. Comportamento assintótico de restos de séries convergentes e somas parciais de séries divergentes 48
30h15. Sobre a soma das séries pelo método das médias aritméticas 52
§ 31. Produtos infinitos 53
31.1. Definições básicas. As propriedades mais simples de produtos infinitos 53
31.2. Critério de Cauchy para a convergência de produtos infinitos 57
31.3. Produtos infinitos com reais
31.4. Produtos infinitos absolutamente convergentes... 62
31,5*. Função Riemann Zeta e números primos 65
§ 32. Sequências funcionais e séries 67
32.1. Convergência de sequências funcionais
32.2. Convergência uniforme de sequências funcionais 71
32.3. Série funcional uniformemente convergente 79
32.4. Propriedades de séries e sequências uniformemente convergentes 90
§ 33. Série de potência 100
33.1. Raio de convergência e círculo de convergência da série de potências 100
33,2*. Fórmula de Cauchy-Hadamard para raio de convergência
33.3. Funções analíticas 110
33.4. Funções analíticas no domínio real... 112
33,5. Expansão de funções em séries de potências. Diferentes maneiras de escrever o restante da fórmula de Taylor. . 116
33.6. Expansão de funções elementares em séries de Taylor... 121
33,7. Métodos para expandir funções em séries de potências 131
33.8. Fórmula Esterlina 138
33,9*. Fórmula e série de Taylor para funções vetoriais 141
33,10*. Série de potências assintóticas 143
33.11*. Propriedades da série de potências assintóticas 149
§ 34. Séries múltiplas 153
34.1. Série de números múltiplos 153
34.2. Série de funções múltiplas 162
Capítulo 4
Cálculo diferencial de funções de diversas variáveis
§ 35. Espaços multidimensionais 165
35.1. Bairros de pontos. Limites de sequência
35.2. Vários tipos de conjuntos 178
35.4. Espaços vetoriais multidimensionais 203
§ 36. Limite e continuidade de funções de diversas variáveis
36.1. Funções de diversas variáveis 210
36.2. Exibições Limite de exibição 212
36.3. Continuidade dos mapeamentos no ponto 218
36.4. Propriedades dos limites de exibição 220
36,5. Limites de repetição 221
36.6. Limite e continuidade da composição dos mapeamentos... 223
36,7. Mapeamentos contínuos de compactos 226
36,8. Continuidade uniforme 229
36,9. Mapeamentos contínuos de conjuntos conectados por caminho 233
36.10. Propriedades de mapeamentos contínuos 235
§ 37. Derivadas parciais. Diferenciabilidade de funções de diversas variáveis 240
37.1. Derivadas parciais e diferenciais parciais... . 240
37.2. Diferenciabilidade de funções no ponto 244
37.3. Diferenciação de uma função complexa 253
37.4. Invariância da forma da primeira diferencial em relação à escolha das variáveis. Regras para cálculo de diferenciais 256
37,5. Significado geométrico de derivadas parciais e diferencial total 262
37.6. Função gradiente 265
37,7. Derivada direcional 265
37,8. Um exemplo de estudo de funções de duas variáveis.... 271
§ 38. Derivadas parciais e diferenciais de ordens superiores 273
38.1. Derivadas parciais de ordens superiores 273
38.2. Diferenciais de ordem superior 277
§ 39. Fórmula de Taylor e série de Taylor para funções de diversas variáveis 281
39.1. Fórmula de Taylor para funções de diversas variáveis. . 281
39.2. Fórmula de incremento finito para funções de diversas variáveis 291
39.3. Estimativa do termo restante da fórmula de Taylor em todo o domínio de definição da função 292
39.4. Convergência uniforme em relação a um parâmetro de uma família de funções 295
39,5. Notas sobre séries de Taylor para funções de diversas variáveis 298
§ 40. Extremos de funções de diversas variáveis 299
40.1. Condições necessárias para um extremo 299
40.2. Condições suficientes para um extremo estrito 302
40.3. Notas sobre extremos nos conjuntos 308
§ 41. Funções implícitas. Exibe 309
41.1. Funções implícitas definidas por uma única equação. . 309
41.2. Produtos dos conjuntos 316
41.3. Funções implícitas definidas por um sistema de equações 317
41.4. Exibições vetoriais 328
41,5. Mapeamentos lineares 329
41.6. Mapeamentos diferenciáveis 335
41.7. Mapeamentos com Jacobianos diferentes de zero. Princípio da conservação da área 344
41.8. Funções implícitas definidas por uma equação na qual as condições de unicidade são violadas. Pontos singulares de curvas planas 349
41,9. Substituindo variáveis 360
§ 42. Dependência de funções 363
42.1. O conceito de dependência de função. Condição necessária para dependência de função 363
42.2. Condições suficientes para a dependência das funções 365
§ 43. Extremo condicional 371
43.1. O conceito de extremo condicional 371
43.2. Método multiplicador de Lagrange para encontrar pontos extremos condicionais 376
43,3*. Interpretação geométrica do método de Lagrange 379
43,4*. Pontos estacionários da função Lagrange 381
43,5*. Condições suficientes para pontos extremos condicionais 388
capítulo 5
Cálculo integral de funções de diversas variáveis
§ 44. Integrais múltiplas 393
44.1. O conceito de volume no espaço n-dimensional (medida de Jordan). Conjuntos mensuráveis 393
44.2. Conjuntos de medida zero 414
44.3. Definição de integral múltipla 417
44.4. Existência da integral 424
44,5*. Sobre a integrabilidade de funções descontínuas 431
44,6. Propriedades de integrais múltiplas 434
44,7*. Critérios de integrabilidade das funções de Riemann e Darboux
§ 45. Redução de uma integral múltipla a uma integral repetida 451
45.1. Reduzindo uma integral dupla a uma integral repetida 451
45.2. Generalização para o caso n-dimensional 459
45,3*. Desigualdade integral generalizada de Minkowski. . 462
45.4. Volume da bola medida i 464
45,5. Independência de uma medida da escolha do sistema de coordenadas... 465
45,6*. Fórmulas de Newton-Leibniz e Taylor 466
§ 46. Mudança de variáveis em integrais múltiplas 469
46.1. Mapeamentos lineares de conjuntos mensuráveis 469
46.2. Propriedades métricas de diferenciáveis
46.3. Fórmula para alterar variáveis em uma integral múltipla... 482
46.4. Significado geométrico do valor absoluto do mapeamento Jacobiano 490
46,5. Coordenadas curvilíneas 491
§ 47. Integrais curvilíneas 494
47.1. Integrais curvilíneas de primeiro tipo 494
47.2. Integrais curvilíneas de segundo tipo 498
47.3. Extensão da classe de transformações admissíveis
47.4. Integrais curvilíneas sobre suaves por partes
47,5. Stieltjes integral 505
47,6*. Existência da integral de Stieltjes 507
47,7. Generalização do conceito de integral curvilínea de segundo tipo 514
47,9. Calculando áreas usando linhas curvas
47.10. Significado geométrico do signo Jacobiano para mapear uma região plana 525
47.11. Condições para a independência de uma integral curvilínea do caminho de integração 529
§ 48. Integrais múltiplas impróprias 539
48.1. Definições básicas 539
48.2. Integrais impróprias de funções não negativas 542
48.3. Integrais impróprias de funções,
§ 49. Algumas aplicações geométricas e físicas de integrais múltiplas 550
49.1. Cálculo de áreas e volumes 550
49.2. Aplicações físicas de integrais múltiplas 551
§ 50. Elementos da teoria das superfícies 553
50.1. Funções vetoriais de diversas variáveis 553
50.2. Superfícies elementares 555
50.3. Superfícies elementares equivalentes. Superfícies definidas parametricamente 557
50.4. Superfícies Definidas Implicitamente 567
50,5. Plano tangente e superfície normal 567
50.6. Representações Explícitas de Superfície 574
50,7. Primeira forma quadrática da superfície 578
50,8. Curvas em uma superfície, calculando seus comprimentos e ângulos entre elas 580
50,9. Área de superfície 581
50.10. Orientação de Superfície Suave 584
50.11. Colagem de superfícies 588
50.12. Superfícies orientáveis e não orientáveis 592
50.13. Outra abordagem ao conceito de orientação de superfície... 593
50.14. Curvatura de curvas situadas em uma superfície. Segunda forma quadrática da superfície 598
50h15. Propriedades da segunda forma quadrática da superfície... 601
50.16. Seções de superfície plana 602
50.17. Seções de superfície normais 605
50.18. Principais curvaturas. Fórmula de Euler 607
50.19. Cálculo das curvaturas principais 611
50,20. Classificação de pontos de superfície 613
§ 51. Integrais de superfície 617
51.1. Definição e propriedades de integrais de superfície... 617
51.2. Fórmula para representar uma integral de superfície do segundo tipo como uma integral dupla 621
51.3. Integrais de superfície como limites de somas integrais 623
51.4. Integrais de superfície sobre superfícies lisas por partes 626
51,5. Generalização do conceito de integral de superfície de segundo tipo 626
§ 52. Campos escalares e vetoriais 631
52.2. Sobre a invariância dos conceitos de gradiente e divergência
52.3. Fórmula de Gauss-Ostrogradsky. Definição geométrica de divergência 640
52.4. Fórmula de Stokes. Definição geométrica de um vórtice. . 647
52,5. Campos vetoriais solenoidais 653
52.6. Campos vetoriais potenciais 655
§ 53. Integrais adequadas dependendo do parâmetro 663
53.1. Definição de integrais em função de um parâmetro; sua continuidade e integrabilidade em relação ao parâmetro. . . 663
53.2. Diferenciação de integrais dependendo
§ 54. Integrais impróprias dependendo do parâmetro 668
54.1. Definições básicas. Convergência uniforme de integrais dependendo do parâmetro 668
54,2*. Teste para convergência uniforme de integrais 674
54.3. Propriedades de integrais impróprias dependendo
54.4. Aplicação da teoria das integrais dependentes de parâmetros ao cálculo de integrais definidas 682
54,5. Integrais de Euler 686
54.6. Funções de valor complexo do argumento real 691
54,7*. Comportamento assintótico da função gama 694
54,8*. Série assintótica 698
54,9*. Expansão assintótica da função gama incompleta 702
54.10. Notas sobre integrais múltiplas dependendo
Índice de assunto 706
Índice de símbolos básicos 713
Volume 3. CONTEÚDO
Capítulo 7
Séries de Fourier. Integral de Fourier
§ 55. Série trigonométrica de Fourier 4
55.1. Definição de série de Fourier. Configurando o principal
55.2. Coeficientes de Fourier tendem a zero 10
55.3. Integral de Dirichlet. Princípio de localização 15
55.4. Convergência da série de Fourier no ponto 19
55,5*. Convergência das séries de Fourier para funções que satisfazem a condição de Hölder 31
55.6. Soma das séries de Fourier pelo método das médias aritméticas 34
55,7. Aproximação de funções contínuas por polinômios 40
55.8. Completude do sistema trigonométrico e do sistema de potências inteiras não negativas de x no espaço de funções contínuas 43
55,9. Propriedade mínima das somas de Fourier. Desigualdade de Bessel e igualdade de Parseval 45
55.10. A natureza da convergência das séries de Fourier. Diferenciação termo a termo da série de Fourier 48
55.11. Integração termo a termo da série de Fourier 53
55.12. Série de Fourier no caso de um intervalo arbitrário 56
55.13. Gravação complexa da série Fourier 57
55.14. Expansão de um logaritmo em uma série de potências no domínio complexo 58
55.15. Soma das séries trigonométricas 59
§ 56. Integral de Fourier e transformada de Fourier 61
56.1. Representação de funções na forma de integral de Fourier 61
56.2. Diferentes tipos de gravação da fórmula de Fourier 70
56.3. Valor principal da integral 71
56.4. Representação complexa da integral de Fourier 72
56,5. Transformada de Fourier 73
56,6. Integrais de Laplace 76
56,7. Propriedades da transformada de Fourier de funções absolutamente integráveis 77
56,8. Transformada de Fourier de derivadas 78
56,9. Convolução e Transformada de Fourier 80
56.10. Derivada da transformada de Fourier da função 83
Capítulo 8
Espaços funcionais
§ 57. Espaços métricos 85
57.1. Definições e exemplos 85
57.2. Espaços completos 91
57.3. Mapeamentos de espaços métricos 97
57.4. O princípio dos mapeamentos de contração 101
57,5. Reabastecimento de espaços métricos 105
57.6. Compactos 110
57,7. Mapeamentos de conjuntos contínuos 122
57,8. Conjuntos conectados 124
57,9. Critério de Arzel para a compactação de sistemas de funções 124
§ 58. Linear normalizado e semi-normalizado
58.1. Espaços lineares 128
58.2. Norma e meia norma 141
58.3. Exemplos de normalizado e semi-normalizado
58.4. Propriedades de espaços seminormados 150
58,5. Propriedades de espaços normados 154
58,6. Operadores lineares 162
58,7. Mapas bilineares de normalizados
58,8. Mapeamentos diferenciáveis de espaços normados lineares 175
58,9. Fórmula de Incremento Finito 180
58.10. Derivadas de ordem superior 182
58.11. Fórmula Taylor 184
§ 59. Espaços lineares com produto escalar 186
59.1. Produtos escalares e quase escalares 186
59.2. Exemplos de espaços lineares com produto escalar 191
59.3. Propriedades de espaços lineares com produto escalar. Espaços de Hilbert 193
59,4. Espaço fatorial 198
59,5. Espaço L2 202
59,6. Espaços Lp 214
§ 60. Bases ortonormais e expansões sobre elas 217
60.1. Sistemas ortonormais 217
60.2. Ortogonalização 221
60.3. Sistemas completos. Completude do sistema trigonométrico e do sistema de polinômios de Legendre 224
60,5. Existência de base em espaços de Hilbert separáveis. Isomorfismo de espaços de Hilbert separáveis 239
60,6. Expansão de funções com quadrado integrável na série de Fourier 243
60,7. Expansões ortogonais de soma direta de espaços de Hilbert 248
60,8. Funcionais dos espaços de Hilbert 254
60,9*. Transformada de Fourier de funções quadradas integráveis. Teorema de Plancherel 257
§ 61. Funções generalizadas 266
61.1. Considerações gerais 266
61.2. Espaços lineares com convergência. Funcionalidades. Espaços conjugados 272
61.3. Definição de funções genéricas. Espaços ViD" 277
61.4. Diferenciação de funções generalizadas 283
61,5. O espaço de funções básicas S e o espaço de funções generalizadas S" 287
61.6. Transformada de Fourier no espaço S 290
61,7. Transformada de Fourier de funções generalizadas 293
Adição
§ 62. Algumas questões de cálculos aproximados 301
62.1. Aplicação da fórmula de Taylor para cálculo aproximado dos valores de funções e integrais 301
62.2. Resolvendo Equações 305
62.3. Interpolação de Função 311
62.4. Fórmulas de quadratura 314
62,5. Erro de fórmulas de quadratura 317
62,6. Cálculo aproximado de derivadas 321
§ 63. Particionando um conjunto em classes de elementos equivalentes 323
§ 64. Limite de filtro 325
64.1. Espaços topológicos 326
64.2. Filtros 328
64,4. Limite de exibição do filtro 335
Índice de assunto 340
Índice de designações básicas 346
