Qual equação quadrática não tem raízes? Resolvendo Equações Quadráticas

Uma equação quadrática é uma equação da forma ax^2 + bx + c = 0, onde os coeficientes a, b e c são números arbitrários, e a ≠ 0, caso contrário não será mais uma equação quadrática. As equações quadráticas não têm raízes ou têm exatamente uma raiz ou duas raízes diferentes. O primeiro passo é procurar um discriminante. Fórmula: D = b^2 − 4ac. 1. Se D< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >0, haverá duas raízes. Com a primeira opção fica claro que não há raízes. Se o discriminante D > 0, as raízes podem ser encontradas da seguinte forma: x12 = (-b +- √D) / 2a. Quanto à segunda opção, quando D = 0, a fórmula acima pode ser utilizada.

As equações quadráticas começam a ser estudadas no curso de matemática escolar. Mas, infelizmente, nem todo mundo entende e sabe resolver corretamente uma equação quadrática e calcular suas raízes. Primeiro, vamos descobrir o que é uma equação quadrática.

O que é uma equação quadrática

O termo equação quadrática geralmente significa uma equação algébrica de forma geral. Esta equação tem a seguinte forma: ax2 + bx + c = 0, enquanto a, bec são alguns números específicos, x é uma incógnita. Esses três números são geralmente chamados de coeficientes da equação quadrática:

a - primeiro coeficiente;
b - segundo coeficiente;
c é o terceiro coeficiente.

Como encontrar as raízes de uma equação quadrática

Para calcular a que serão iguais as raízes de uma equação quadrática, é necessário encontrar o discriminante da equação. O discriminante de uma equação quadrática é uma expressão igual e calculada usando a fórmula b2 - 4ac. Se o discriminante for maior que zero, a raiz é calculada pela fórmula: x = -b + - raiz do discriminante dividida por 2 a.

Considere o exemplo da equação 5x ao quadrado - 8x +3 = 0

O discriminante é igual a oito ao quadrado, menos quatro vezes cinco, vezes três, ou seja = 64 - 4*5*3 = 64-60 = 4

x1 = 8 + raiz de quatro dividido por dois vezes cinco = 8 +2/10 = 1

x2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0,6

Conseqüentemente, as raízes desta equação quadrática serão 1 e 0,6.

Primeiro nível

Equações quadráticas. O Guia Abrangente (2019)

No termo “equação quadrática”, a palavra-chave é “quadrática”. Isso significa que a equação deve necessariamente conter uma variável (esse mesmo x) ao quadrado, e não deve haver x elevado à terceira (ou maior).

A solução de muitas equações se resume a resolver exatamente equações quadráticas.

Vamos aprender a determinar que esta é uma equação quadrática e não alguma outra equação.

Exemplo 1.

Vamos nos livrar do denominador e multiplicar cada termo da equação por

Vamos mover tudo para o lado esquerdo e organizar os termos em ordem decrescente de potências de X

Agora podemos dizer com confiança que esta equação é quadrática!

Exemplo 2.

Multiplique os lados esquerdo e direito por:

Esta equação, embora originalmente estivesse nela, não é quadrática!

Exemplo 3.

Vamos multiplicar tudo por:

Apavorante? O quarto e segundo graus... Porém, se fizermos uma substituição, veremos que temos uma equação quadrática simples:

Exemplo 4.

Parece estar lá, mas vamos dar uma olhada mais de perto. Vamos mover tudo para o lado esquerdo:

Veja, encolheu - e agora é simples equação linear!

Agora tente determinar por si mesmo quais das seguintes equações são quadráticas e quais não são:

Exemplos:

Respostas:

quadrado;
quadrado;
não quadrado;
não quadrado;
não quadrado;
quadrado;
não quadrado;
quadrado.

Os matemáticos dividem convencionalmente todas as equações quadráticas nos seguintes tipos:

Equações quadráticas completas- equações em que os coeficientes e, assim como o termo livre c, não são iguais a zero (como no exemplo). Além disso, entre as equações quadráticas completas existem dado- são equações nas quais o coeficiente (a equação do exemplo um não é apenas completa, mas também reduzida!)

Equações quadráticas incompletas- equações em que o coeficiente e ou o termo livre c são iguais a zero:
Eles estão incompletos porque falta algum elemento. Mas a equação deve sempre conter x ao quadrado!!! Caso contrário, não será mais uma equação quadrática, mas alguma outra equação.

Por que eles criaram essa divisão? Parece que existe um X ao quadrado, e tudo bem. Esta divisão é determinada pelos métodos de solução. Vejamos cada um deles com mais detalhes.

Resolvendo equações quadráticas incompletas

Primeiro, vamos nos concentrar na resolução de equações quadráticas incompletas - elas são muito mais simples!

Existem tipos de equações quadráticas incompletas:

, nesta equação o coeficiente é igual.
, nesta equação o termo livre é igual a.
, nesta equação o coeficiente e o termo livre são iguais.

1. eu. Porque sabemos como extrair Raiz quadrada, então vamos expressar a partir desta equação

A expressão pode ser negativa ou positiva. Um número ao quadrado não pode ser negativo, pois ao multiplicar dois números negativos ou dois números positivos, o resultado será sempre número positivo, então: se, então a equação não tem solução.

E se, então temos duas raízes. Não há necessidade de memorizar essas fórmulas. O principal é que você saiba e lembre sempre que não pode ser menos.

Vamos tentar resolver alguns exemplos.

Exemplo 5:

Resolva a equação

Agora só falta extrair a raiz dos lados esquerdo e direito. Afinal, você lembra como extrair raízes?

Responder:

Nunca se esqueça das raízes com sinal negativo!!!

Exemplo 6:

Resolva a equação

Responder:

Exemplo 7:

Resolva a equação

Oh! O quadrado de um número não pode ser negativo, o que significa que a equação

sem raízes!

Para equações que não têm raízes, os matemáticos criaram um ícone especial - (conjunto vazio). E a resposta pode ser escrita assim:

Responder:

Assim, esta equação quadrática tem duas raízes. Não há restrições aqui, pois não extraímos a raiz.
Exemplo 8:

Resolva a equação

Vamos tirar o fator comum dos colchetes:

Por isso,

Esta equação tem duas raízes.

Responder:

O tipo mais simples de equações quadráticas incompletas (embora sejam todas simples, certo?). Obviamente, esta equação sempre tem apenas uma raiz:

Dispensaremos aqui os exemplos.

Resolvendo equações quadráticas completas

Lembramos que uma equação quadrática completa é uma equação da forma equação onde

Resolver equações quadráticas completas é um pouco mais difícil (só um pouco) do que estas.

Lembrar, Qualquer equação quadrática pode ser resolvida usando um discriminante! Mesmo incompleto.

Os outros métodos irão ajudá-lo a fazer isso mais rápido, mas se você tiver problemas com equações quadráticas, primeiro domine a solução usando o discriminante.

1. Resolver equações quadráticas utilizando um discriminante.

Resolver equações quadráticas usando este método é muito simples, o principal é lembrar a sequência de ações e algumas fórmulas.

Se, então a equação tem raiz.Você precisa prestar atenção especial à etapa. Discriminante () nos diz o número de raízes da equação.

Se, então a fórmula na etapa será reduzida a. Assim, a equação terá apenas uma raiz.
Se, então não seremos capazes de extrair a raiz do discriminante na etapa. Isso indica que a equação não tem raízes.

Vamos voltar às nossas equações e ver alguns exemplos.

Exemplo 9:

Resolva a equação

Passo 1 nós pulamos.

Passo 2.

Encontramos o discriminante:

Isso significa que a equação tem duas raízes.

Etapa 3.

Responder:

Exemplo 10:

Resolva a equação

A equação é apresentada na forma padrão, então Passo 1 nós pulamos.

Passo 2.

Encontramos o discriminante:

Isso significa que a equação tem uma raiz.

Responder:

Exemplo 11:

Resolva a equação

A equação é apresentada na forma padrão, então Passo 1 nós pulamos.

Passo 2.

Encontramos o discriminante:

Isso significa que não seremos capazes de extrair a raiz do discriminante. Não há raízes da equação.

Agora sabemos como anotar corretamente essas respostas.

Responder: sem raízes

2. Resolução de equações quadráticas utilizando o teorema de Vieta.

Se você se lembra, existe um tipo de equação que se chama reduzida (quando o coeficiente a é igual a):

Tais equações são muito fáceis de resolver usando o teorema de Vieta:

Soma das raízes dado a equação quadrática é igual e o produto das raízes é igual.

Exemplo 12:

Resolva a equação

Esta equação pode ser resolvida usando o teorema de Vieta porque .

A soma das raízes da equação é igual, ou seja, obtemos a primeira equação:

E o produto é igual a:

Vamos compor e resolver o sistema:

E. O valor é igual a;
E. O valor é igual a;
E. O valor é igual.

e são a solução do sistema:

Responder: ; .

Exemplo 13:

Resolva a equação

Responder:

Exemplo 14:

Resolva a equação

A equação é dada, o que significa:

Responder:

EQUAÇÕES QUADRÁTICAS. NÍVEL MÉDIO

O que é uma equação quadrática?

Em outras palavras, uma equação quadrática é uma equação da forma, onde - a incógnita, - alguns números, e.

O número é chamado de mais alto ou primeiro coeficiente Equação quadrática, - segundo coeficiente, A - Membro grátis.

Por que? Porque se a equação se tornar imediatamente linear, porque vai desaparecer.

Neste caso, e pode ser igual a zero. Nesta cadeira, a equação é chamada de incompleta. Se todos os termos estiverem em vigor, ou seja, a equação está completa.

Soluções para vários tipos de equações quadráticas

Métodos para resolver equações quadráticas incompletas:

Primeiro, vejamos os métodos para resolver equações quadráticas incompletas - eles são mais simples.

Podemos distinguir os seguintes tipos de equações:

I., nesta equação o coeficiente e o termo livre são iguais.

II. , nesta equação o coeficiente é igual.

III. , nesta equação o termo livre é igual a.

Agora vamos ver a solução para cada um desses subtipos.

Obviamente, esta equação sempre tem apenas uma raiz:

Um número ao quadrado não pode ser negativo, porque quando você multiplica dois números negativos ou dois números positivos, o resultado será sempre um número positivo. É por isso:

se, então a equação não tem solução;

se tivermos duas raízes

Não há necessidade de memorizar essas fórmulas. A principal coisa a lembrar é que não pode ser menos.

Exemplos:

Soluções:

Responder:

Nunca se esqueça das raízes com sinal negativo!

O quadrado de um número não pode ser negativo, o que significa que a equação

sem raízes.

Para escrever brevemente que um problema não tem solução, usamos o ícone do conjunto vazio.

Responder:

Então, esta equação tem duas raízes: e.

Responder:

Vamos tirar o fator comum dos colchetes:

O produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero. Isso significa que a equação tem solução quando:

Portanto, esta equação quadrática tem duas raízes: e.

Exemplo:

Resolva a equação.

Solução:

Vamos fatorar o lado esquerdo da equação e encontrar as raízes:

Responder:

Métodos para resolver equações quadráticas completas:

1. Discriminante

Resolver equações quadráticas desta forma é fácil, o principal é lembrar a sequência de ações e algumas fórmulas. Lembre-se, qualquer equação quadrática pode ser resolvida usando um discriminante! Mesmo incompleto.

Você notou a raiz do discriminante na fórmula das raízes? Mas o discriminante pode ser negativo. O que fazer? Precisamos prestar atenção especial ao passo 2. O discriminante nos informa o número de raízes da equação.

Se, então a equação tem raízes:
Se, então a equação tem as mesmas raízes e, de fato, uma raiz:
Essas raízes são chamadas de raízes duplas.
Se, então a raiz do discriminante não é extraída. Isso indica que a equação não tem raízes.

Por que são possíveis números diferentes de raízes? Passemos ao significado geométrico da equação quadrática. O gráfico da função é uma parábola:

Em um caso especial, que é uma equação quadrática, . Isso significa que as raízes de uma equação quadrática são os pontos de intersecção com o eixo das abcissas (eixo). Uma parábola pode não interceptar o eixo ou pode interceptá-lo em um (quando o vértice da parábola está no eixo) ou dois pontos.

Além disso, o coeficiente é responsável pela direção dos ramos da parábola. Se, então os ramos da parábola são direcionados para cima, e se, então para baixo.

Exemplos:

Soluções:

Responder:

Responder: .

Responder:

Isso significa que não há soluções.

Responder: .

2. Teorema de Vieta

É muito fácil usar o teorema de Vieta: basta escolher um par de números cujo produto seja igual ao termo livre da equação, e a soma seja igual ao segundo coeficiente tomado com sinal oposto.

É importante lembrar que o teorema de Vieta só pode ser aplicado em equações quadráticas reduzidas ().

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1:

Resolva a equação.

Solução:

Esta equação pode ser resolvida usando o teorema de Vieta porque . Outros coeficientes: ; .

A soma das raízes da equação é:

E o produto é igual a:

Vamos selecionar pares de números cujo produto é igual e verificar se a soma é igual:

E. O valor é igual a;
E. O valor é igual a;
E. O valor é igual.

e são a solução do sistema:

Assim, e são as raízes da nossa equação.

Responder: ; .

Exemplo #2:

Solução:

Vamos selecionar pares de números que dão no produto e depois verificar se a soma deles é igual:

e: eles dão no total.

e: eles dão no total. Para obtê-lo, basta simplesmente alterar os sinais das supostas raízes: e, afinal, do produto.

Responder:

Exemplo #3:

Solução:

O termo livre da equação é negativo e, portanto, o produto das raízes é um número negativo. Isso só é possível se uma das raízes for negativa e a outra positiva. Portanto a soma das raízes é igual a diferenças de seus módulos.

Selecionemos pares de números que dão no produto e cuja diferença é igual a:

e: a diferença deles é igual - não cabe;

e: - não adequado;

e: - adequado. Resta lembrar que uma das raízes é negativa. Como a soma deles deve ser igual, a raiz com módulo menor deve ser negativa: . Nós verificamos:

Responder:

Exemplo #4:

Resolva a equação.

Solução:

A equação é dada, o que significa:

O termo livre é negativo e, portanto, o produto das raízes é negativo. E isso só é possível quando uma raiz da equação é negativa e a outra positiva.

Vamos selecionar pares de números cujo produto é igual e então determinar quais raízes devem ter sinal negativo:

Obviamente, apenas as raízes são adequadas para a primeira condição:

Responder:

Exemplo #5:

Resolva a equação.

Solução:

A equação é dada, o que significa:

A soma das raízes é negativa, o que significa que pelo menos uma das raízes é negativa. Mas como o seu produto é positivo, significa que ambas as raízes têm um sinal negativo.

Vamos selecionar pares de números cujo produto é igual a:

Obviamente, as raízes são os números e.

Responder:

Concordo, é muito conveniente criar raízes oralmente, em vez de contar esse discriminante desagradável. Tente usar o teorema de Vieta sempre que possível.

Mas o teorema de Vieta é necessário para facilitar e agilizar a descoberta das raízes. Para que você se beneficie com seu uso, você deve automatizar as ações. E para isso resolva mais cinco exemplos. Mas não trapaceie: você não pode usar um discriminante! Apenas o teorema de Vieta:

Soluções para tarefas de trabalho independente:

Tarefa 1. ((x)^(2))-8x+12=0

De acordo com o teorema de Vieta:

Como de costume, iniciamos a seleção pela peça:

Não é adequado devido à quantidade;

: a quantidade é exatamente o que você precisa.

Responder: ; .

Tarefa 2.

E novamente nosso teorema favorito de Vieta: a soma deve ser igual e o produto deve ser igual.

Mas como não deve ser, mas, mudamos os sinais das raízes: e (no total).

Responder: ; .

Tarefa 3.

Hmm... Onde é isso?

Você precisa mover todos os termos em uma parte:

A soma das raízes é igual ao produto.

Ok, pare! A equação não é dada. Mas o teorema de Vieta é aplicável apenas nas equações fornecidas. Então, primeiro você precisa fornecer uma equação. Se você não consegue liderar, desista dessa ideia e resolva de outra forma (por exemplo, por meio de um discriminante). Deixe-me lembrá-lo de que fornecer uma equação quadrática significa tornar o coeficiente líder igual:

Ótimo. Então a soma das raízes é igual a e ao produto.

Aqui é tão fácil quanto escolher: afinal, é um número primo (desculpem a tautologia).

Responder: ; .

Tarefa 4.

O membro gratuito é negativo. O que há de especial nisso? E o fato é que as raízes terão sinais diferentes. E agora, durante a seleção, verificamos não a soma das raízes, mas a diferença em seus módulos: essa diferença é igual, mas um produto.

Então, as raízes são iguais a e, mas uma delas é menos. O teorema de Vieta nos diz que a soma das raízes é igual ao segundo coeficiente com sinal oposto, isto é. Isso significa que a raiz menor terá menos: e, desde então.

Responder: ; .

Tarefa 5.

O que você deve fazer primeiro? Isso mesmo, dê a equação:

Novamente: selecionamos os fatores do número, e sua diferença deve ser igual a:

As raízes são iguais a e, mas uma delas é menos. Qual? A soma deles deve ser igual, o que significa que o menos terá uma raiz maior.

Responder: ; .

Deixe-me resumir:

O teorema de Vieta é usado apenas nas equações quadráticas fornecidas.
Usando o teorema de Vieta, você pode encontrar as raízes por seleção, oralmente.
Se a equação não for dada ou nenhum par adequado de fatores do termo livre for encontrado, então não há raízes inteiras e é necessário resolvê-la de outra maneira (por exemplo, por meio de um discriminante).

3. Método para selecionar um quadrado completo

Se todos os termos contendo a incógnita forem representados na forma de termos de fórmulas de multiplicação abreviadas - o quadrado da soma ou diferença - então, após a substituição das variáveis, a equação pode ser apresentada na forma de uma equação quadrática incompleta do tipo.

Por exemplo:

Exemplo 1:

Resolva a equação: .

Solução:

Responder:

Exemplo 2:

Resolva a equação: .

Solução:

Responder:

EM visão geral a transformação ficará assim:

Isso implica: .

Não te lembra nada? Isso é uma coisa discriminatória! Foi exatamente assim que obtivemos a fórmula discriminante.

EQUAÇÕES QUADRÁTICAS. BREVEMENTE SOBRE AS COISAS PRINCIPAIS

Equação quadrática- esta é uma equação da forma, onde - a incógnita, - os coeficientes da equação quadrática, - o termo livre.

Equação quadrática completa- uma equação em que os coeficientes não são iguais a zero.

Equação quadrática reduzida- uma equação em que o coeficiente, isto é: .

Equação quadrática incompleta- uma equação em que o coeficiente e ou o termo livre c são iguais a zero:

se o coeficiente, a equação se parece com: ,
se houver um termo livre, a equação terá a forma: ,
se e, a equação se parece com: .

1. Algoritmo para resolução de equações quadráticas incompletas

1.1. Uma equação quadrática incompleta da forma, onde,:

1) Vamos expressar o desconhecido: ,

2) Verifique o sinal da expressão:

se, então a equação não tem solução,
se, então a equação tem duas raízes.

1.2. Uma equação quadrática incompleta da forma, onde,:

1) Vamos tirar o fator comum dos colchetes: ,

2) O produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero. Portanto, a equação tem duas raízes:

1.3. Uma equação quadrática incompleta da forma, onde:

Esta equação sempre tem apenas uma raiz: .

2. Algoritmo para resolver equações quadráticas completas da forma onde

2.1. Solução usando discriminante

1) Vamos trazer a equação para a forma padrão: ,

2) Vamos calcular o discriminante utilizando a fórmula: , que indica o número de raízes da equação:

3) Encontre as raízes da equação:

se, então a equação tem raízes, que são encontradas pela fórmula:
se, então a equação tem uma raiz, que é encontrada pela fórmula:
se, então a equação não tem raízes.

2.2. Solução usando o teorema de Vieta

A soma das raízes da equação quadrática reduzida (equação da forma onde) é igual, e o produto das raízes é igual, ou seja, , A.

2.3. Solução pelo método de seleção de um quadrado completo

Continuando com o tópico “Resolvendo Equações”, o material deste artigo apresentará equações quadráticas.

Vejamos tudo em detalhes: a essência e a notação de uma equação quadrática, definimos os termos que a acompanham, analisamos o esquema de resolução de equações incompletas e completas, familiarizamo-nos com a fórmula das raízes e do discriminante, estabelecemos conexões entre as raízes e os coeficientes, e claro daremos uma solução visual para exemplos práticos.

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Equação quadrática, seus tipos

Definição 1

Equação quadráticaé uma equação escrita como a x 2 + b x + c = 0, Onde x– variável, a, b e c– alguns números, enquanto a não é zero.

Freqüentemente, as equações quadráticas também são chamadas de equações de segundo grau, pois em essência uma equação quadrática é uma equação algébrica de segundo grau.

Vamos dar um exemplo para ilustrar a definição dada: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etc. Estas são equações quadráticas.

Definição 2

Números a, b e c são os coeficientes da equação quadrática a x 2 + b x + c = 0, enquanto o coeficiente aé chamado de primeiro, ou sênior, ou coeficiente em x 2, b - o segundo coeficiente, ou coeficiente em x, A c chamado de membro gratuito.

Por exemplo, na equação quadrática 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 o coeficiente principal é 6, o segundo coeficiente é − 2 , e o termo livre é igual a − 11 . Prestemos atenção ao fato de que quando os coeficientes b e/ou c são negativos, então uma forma abreviada do formulário é usada 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, mas não 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Esclareçamos também este aspecto: se os coeficientes a e/ou b igual 1 ou − 1 , então não podem participar explicitamente na escrita da equação quadrática, o que se explica pelas peculiaridades de escrever os coeficientes numéricos indicados. Por exemplo, na equação quadrática y 2 - y + 7 = 0 o coeficiente principal é 1 e o segundo coeficiente é − 1 .

Equações quadráticas reduzidas e não reduzidas

Com base no valor do primeiro coeficiente, as equações quadráticas são divididas em reduzidas e não reduzidas.

Definição 3

Equação quadrática reduzidaé uma equação quadrática onde o coeficiente principal é 1. Para outros valores do coeficiente líder, a equação quadrática não é reduzida.

Vamos dar exemplos: equações quadráticas x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 são reduzidas, em cada uma das quais o coeficiente líder é 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- equação quadrática não reduzida, onde o primeiro coeficiente é diferente de 1 .

Qualquer equação quadrática não reduzida pode ser convertida em uma equação reduzida dividindo ambos os lados pelo primeiro coeficiente (transformação equivalente). A equação transformada terá as mesmas raízes da equação não reduzida fornecida ou também não terá nenhuma raiz.

A consideração de um exemplo específico nos permitirá demonstrar claramente a transição de uma equação quadrática não reduzida para uma reduzida.

Exemplo 1

Dada a equação 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . É necessário converter a equação original para a forma reduzida.

Solução

De acordo com o esquema acima, dividimos ambos os lados da equação original pelo coeficiente líder 6. Então obtemos: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, e isso é o mesmo que: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 = 0 e mais: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Daqui: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Assim, obtém-se uma equação equivalente à dada.

Responder: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Equações quadráticas completas e incompletas

Vamos nos voltar para a definição de uma equação quadrática. Nele especificamos que uma ≠ 0. Uma condição semelhante é necessária para a equação a x 2 + b x + c = 0 era precisamente quadrado, pois em uma = 0 essencialmente se transforma em uma equação linear b x + c = 0.

No caso em que os coeficientes b E c são iguais a zero (o que é possível, tanto individualmente quanto em conjunto), a equação quadrática é chamada de incompleta.

Definição 4

Equação quadrática incompleta- tal equação quadrática a x 2 + b x + c = 0, onde pelo menos um dos coeficientes b E c(ou ambos) é zero.

Equação quadrática completa– uma equação quadrática em que todos os coeficientes numéricos não são iguais a zero.

Vamos discutir por que os tipos de equações quadráticas recebem exatamente esses nomes.

Quando b = 0, a equação quadrática assume a forma uma x 2 + 0 x + c = 0, que é o mesmo que uma x 2 + c = 0. No c = 0 a equação quadrática é escrita como a x 2 + b x + 0 = 0, que é equivalente a x 2 + b x = 0. No b = 0 E c = 0 a equação assumirá a forma uma x 2 = 0. As equações que obtivemos diferem da equação quadrática completa porque seus lados esquerdos não contêm um termo com a variável x, nem um termo livre, ou ambos. Na verdade, esse fato deu o nome a esse tipo de equação – incompleta.

Por exemplo, x 2 + 3 x + 4 = 0 e − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 são equações quadráticas completas; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – equações quadráticas incompletas.

Resolvendo equações quadráticas incompletas

A definição dada acima permite distinguir os seguintes tipos de equações quadráticas incompletas:

uma x 2 = 0, esta equação corresponde aos coeficientes b = 0 e c = 0;
a · x 2 + c = 0 em b = 0 ;
a · x 2 + b · x = 0 em c = 0.

Consideremos sequencialmente a solução de cada tipo de equação quadrática incompleta.

Solução da equação a x 2 =0

Como mencionado acima, esta equação corresponde aos coeficientes b E c, igual a zero. A equação uma x 2 = 0 pode ser convertido em uma equação equivalente x 2 = 0, que obtemos dividindo ambos os lados da equação original pelo número a, diferente de zero. O fato óbvio é que a raiz da equação x 2 = 0 isso é zero porque 0 2 = 0 . Esta equação não tem outras raízes, o que pode ser explicado pelas propriedades do grau: para qualquer número p, não é igual a zero, a desigualdade é verdadeira p 2 > 0, do qual se segue que quando p ≠ 0 igualdade p 2 = 0 nunca será alcançado.

Definição 5

Assim, para a equação quadrática incompleta a x 2 = 0 existe uma raiz única x = 0.

Exemplo 2

Por exemplo, vamos resolver uma equação quadrática incompleta − 3 x 2 = 0. É equivalente à equação x 2 = 0, sua única raiz é x = 0, então a equação original tem uma única raiz - zero.

Resumidamente, a solução é escrita da seguinte forma:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Resolvendo a equação a x 2 + c = 0

O próximo da fila é a solução de equações quadráticas incompletas, onde b = 0, c ≠ 0, ou seja, equações da forma uma x 2 + c = 0. Vamos transformar esta equação movendo um termo de um lado da equação para o outro, mudando o sinal para o oposto e dividindo ambos os lados da equação por um número que não seja igual a zero:

transferir c para o lado direito, o que dá a equação uma x 2 = - c;
divida ambos os lados da equação por a, terminamos com x = - c a .

Nossas transformações são equivalentes; portanto, a equação resultante também é equivalente à original, e esse fato permite tirar conclusões sobre as raízes da equação. Pelo que são os valores a E c o valor da expressão - c a depende: pode ter um sinal de menos (por exemplo, se uma = 1 E c = 2, então - c a = - 2 1 = - 2) ou um sinal de mais (por exemplo, se uma = - 2 E c = 6, então - c a = - 6 - 2 = 3); não é zero porque c ≠ 0. Detenhamo-nos mais detalhadamente nas situações em que - c a< 0 и - c a > 0 .

No caso quando - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p a igualdade p 2 = - c a não pode ser verdadeira.

Tudo é diferente quando - c a > 0: lembre-se da raiz quadrada, e ficará óbvio que a raiz da equação x 2 = - c a será o número - c a, pois - c a 2 = - c a. Não é difícil entender que o número - - c a também é a raiz da equação x 2 = - c a: na verdade, - - c a 2 = - c a.

A equação não terá outras raízes. Podemos demonstrar isso usando o método da contradição. Para começar, vamos definir as notações para as raízes encontradas acima como x 1 E −x1. Suponhamos que a equação x 2 = - c a também tenha uma raiz x 2, que é diferente das raízes x 1 E −x1. Sabemos que substituindo na equação x suas raízes, transformamos a equação em uma igualdade numérica justa.

Para x 1 E −x1 escrevemos: x 1 2 = - c a , e para x 2- x 2 2 = - c uma . Com base nas propriedades das igualdades numéricas, subtraímos um termo de igualdade correto por termo de outro, o que nos dará: x 1 2 − x 2 2 = 0. Usamos as propriedades das operações com números para reescrever a última igualdade como (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Sabe-se que o produto de dois números é zero se e somente se pelo menos um dos números for zero. Do exposto segue-se que x 1 - x 2 = 0 e/ou x 1 + x 2 = 0, que é o mesmo x 2 = x 1 e/ou x 2 = − x 1. Surgiu uma contradição óbvia, porque a princípio foi acordado que a raiz da equação x 2 difere de x 1 E −x1. Portanto, provamos que a equação não tem raízes além de x = - c a e x = - - c a.

Vamos resumir todos os argumentos acima.

Definição 6

Equação quadrática incompleta uma x 2 + c = 0é equivalente à equação x 2 = - c a, que:

não terá raízes em - c a< 0 ;
terá duas raízes x = - c a e x = - - c a para - c a > 0.

Vamos dar exemplos de resolução de equações uma x 2 + c = 0.

Exemplo 3

Dada uma equação quadrática 9 x 2 + 7 = 0.É necessário encontrar uma solução.

Solução

Vamos mover o termo livre para o lado direito da equação, então a equação terá a forma 9x2 = −7.
Vamos dividir ambos os lados da equação resultante por 9 , chegamos a x 2 = - 7 9 . No lado direito vemos um número com sinal de menos, o que significa: a equação dada não tem raízes. Então a equação quadrática incompleta original 9 x 2 + 7 = 0 não terá raízes.

Responder: a equação 9 x 2 + 7 = 0 não tem raízes.

Exemplo 4

A equação precisa ser resolvida − x 2 + 36 = 0.

Solução

Vamos mover 36 para o lado direito: − x 2 = − 36.
Vamos dividir ambas as partes por − 1 , Nós temos x 2 = 36. No lado direito há um número positivo, do qual podemos concluir que x = 36 ou x = - 36 .
Vamos extrair a raiz e anotar o resultado final: equação quadrática incompleta − x 2 + 36 = 0 tem duas raízes x=6 ou x = - 6.

Responder: x=6 ou x = - 6.

Solução da equação a x 2 +b x=0

Vamos analisar o terceiro tipo de equações quadráticas incompletas, quando c = 0. Para encontrar uma solução para uma equação quadrática incompleta a x 2 + b x = 0, usaremos o método de fatoração. Vamos fatorar o polinômio que está no lado esquerdo da equação, tirando o fator comum dos colchetes x. Esta etapa permitirá transformar a equação quadrática incompleta original em seu equivalente x (a x + b) = 0. E esta equação, por sua vez, é equivalente a um conjunto de equações x = 0 E a x + b = 0. A equação a x + b = 0 linear e sua raiz: x = − b uma.

Definição 7

Assim, a equação quadrática incompleta a x 2 + b x = 0 terá duas raízes x = 0 E x = − b uma.

Vamos reforçar o material com um exemplo.

Exemplo 5

É necessário encontrar uma solução para a equação 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Solução

Nós vamos tirar isso x fora dos colchetes obtemos a equação x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Esta equação é equivalente às equações x = 0 e 2 3 x - 2 2 7 = 0. Agora você deve resolver a equação linear resultante: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Escreva resumidamente a solução da equação da seguinte forma:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou x = 3 3 7

Responder: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminante, fórmula para as raízes de uma equação quadrática

Para encontrar soluções para equações quadráticas, existe uma fórmula raiz:

Definição 8

x = - b ± D 2 · a, onde D = b 2 − 4 a c– o chamado discriminante de uma equação quadrática.

Escrever x = - b ± D 2 · a significa essencialmente que x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Seria útil compreender como esta fórmula foi derivada e como aplicá-la.

Derivação da fórmula para as raízes de uma equação quadrática

Vamos nos deparar com a tarefa de resolver uma equação quadrática a x 2 + b x + c = 0. Vamos realizar uma série de transformações equivalentes:

divida ambos os lados da equação por um número a, diferente de zero, obtemos a seguinte equação quadrática: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
Vamos selecionar o quadrado completo no lado esquerdo da equação resultante:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca
Depois disso, a equação terá a forma: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
Agora é possível transferir os dois últimos termos para o lado direito, mudando o sinal para o oposto, após o que obtemos: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
Por fim, transformamos a expressão escrita no lado direito da última igualdade:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Assim, chegamos à equação x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , equivalente à equação original a x 2 + b x + c = 0.

Examinamos a solução de tais equações nos parágrafos anteriores (resolvendo equações quadráticas incompletas). A experiência já adquirida permite tirar uma conclusão sobre as raízes da equação x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

com b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
quando b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 a equação é x + b 2 · a 2 = 0, então x + b 2 · a = 0.

A partir daqui a única raiz x = - b 2 · a é óbvia;

para b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, o seguinte será verdadeiro: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ou x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , que é o mesmo que x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ou x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ou seja a equação tem duas raízes.

É possível concluir que a presença ou ausência de raízes da equação x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (e portanto da equação original) depende do sinal da expressão b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 escrito no lado direito. E o sinal desta expressão é dado pelo sinal do numerador, (denominador 4 a 2 será sempre positivo), ou seja, o sinal da expressão b 2 − 4 uma c. Esta expressão b 2 − 4 uma cé dado o nome - o discriminante da equação quadrática e a letra D é definida como sua designação. Aqui você pode escrever a essência do discriminante - com base em seu valor e sinal, eles podem concluir se a equação quadrática terá raízes reais e, em caso afirmativo, qual é o número de raízes - uma ou duas.

Voltemos à equação x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Vamos reescrevê-lo usando notação discriminante: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Vamos formular nossas conclusões novamente:

Definição 9

no D< 0 a equação não tem raízes reais;
no D=0 a equação tem uma única raiz x = - b 2 · a ;
no D > 0 a equação tem duas raízes: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ou x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Com base nas propriedades dos radicais, essas raízes podem ser escritas na forma: x = - b 2 · a + D 2 · a ou - b 2 · a - D 2 · a. E, quando abrimos os módulos e trazemos as frações para um denominador comum, obtemos: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Assim, o resultado do nosso raciocínio foi a derivação da fórmula para as raízes de uma equação quadrática:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminante D calculado pela fórmula D = b 2 − 4 a c.

Estas fórmulas permitem determinar ambas as raízes reais quando o discriminante é maior que zero. Quando o discriminante é zero, a aplicação de ambas as fórmulas dará a mesma raiz que a única solução para a equação quadrática. No caso em que o discriminante é negativo, se tentarmos utilizar a fórmula da raiz quadrática, nos depararemos com a necessidade de extrair a raiz quadrada de um número negativo, o que nos levará além do âmbito dos números reais. Com um discriminante negativo, a equação quadrática não terá raízes reais, mas é possível um par de raízes conjugadas complexas, determinadas pelas mesmas fórmulas de raiz que obtivemos.

Algoritmo para resolver equações quadráticas usando fórmulas de raiz

É possível resolver uma equação quadrática usando imediatamente a fórmula da raiz, mas isso geralmente é feito quando é necessário encontrar raízes complexas.

Na maioria dos casos, geralmente significa procurar não raízes complexas, mas raízes reais de uma equação quadrática. Então é ideal, antes de usar as fórmulas para as raízes de uma equação quadrática, primeiro determinar o discriminante e certificar-se de que não é negativo (caso contrário, concluiremos que a equação não tem raízes reais) e depois proceder ao cálculo do valor das raízes.

O raciocínio acima permite formular um algoritmo para resolução de uma equação quadrática.

Definição 10

Para resolver uma equação quadrática a x 2 + b x + c = 0, necessário:

de acordo com a fórmula D = b 2 − 4 a c encontre o valor discriminante;
em D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
para D = 0, encontre a única raiz da equação usando a fórmula x = - b 2 · a ;
para D > 0, determine duas raízes reais da equação quadrática usando a fórmula x = - b ± D 2 · a.

Observe que quando o discriminante é zero, você pode usar a fórmula x = - b ± D 2 · a, ela dará o mesmo resultado que a fórmula x = - b 2 · a.

Vejamos exemplos.

Exemplos de resolução de equações quadráticas

Vamos dar uma solução para os exemplos para Significados diferentes discriminante.

Exemplo 6

Precisamos encontrar as raízes da equação x 2 + 2 x − 6 = 0.

Solução

Vamos anotar os coeficientes numéricos da equação quadrática: a = 1, b = 2 e c = - 6. Em seguida, procedemos de acordo com o algoritmo, ou seja, Vamos começar a calcular o discriminante, para o qual substituiremos os coeficientes a, b E c na fórmula discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Portanto, obtemos D > 0, o que significa que a equação original terá duas raízes reais.
Para encontrá-los, usamos a fórmula raiz x = - b ± D 2 · a e, substituindo os valores correspondentes, obtemos: x = - 2 ± 28 2 · 1. Vamos simplificar a expressão resultante retirando o fator do sinal da raiz e depois reduzindo a fração:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ou x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ou x = - 1 - 7

Responder: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Exemplo 7

Precisa resolver uma equação quadrática − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Solução

Vamos definir o discriminante: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Com este valor do discriminante, a equação original terá apenas uma raiz, determinada pela fórmula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Responder: x = 3,5.

Exemplo 8

A equação precisa ser resolvida 5 anos 2 + 6 anos + 2 = 0

Solução

Os coeficientes numéricos desta equação serão: a = 5, b = 6 e c = 2. Usamos estes valores para encontrar o discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . O discriminante calculado é negativo, portanto a equação quadrática original não tem raízes reais.

No caso em que a tarefa é indicar raízes complexas, aplicamos a fórmula da raiz, realizando ações com números complexos:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 eu 10 ou x = - 6 - 2 eu 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ou x = - 3 5 - 1 5 · i.

Responder: não existem raízes reais; as raízes complexas são as seguintes: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

No currículo escolar não existe um requisito padrão para procurar raízes complexas, portanto, se durante a solução o discriminante for determinado como negativo, a resposta é imediatamente escrita de que não existem raízes reais.

Fórmula raiz para coeficientes pares

A fórmula raiz x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) permite obter outra fórmula, mais compacta, permitindo encontrar soluções para equações quadráticas com coeficiente par para x ( ou com um coeficiente da forma 2 · n, por exemplo, 2 3 ou 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Vamos mostrar como essa fórmula é derivada.

Estaremos diante da tarefa de encontrar uma solução para a equação quadrática a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Procedemos de acordo com o algoritmo: determinamos o discriminante D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) e, em seguida, usamos a fórmula raiz:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Deixe a expressão n 2 − a · c ser denotada como D 1 (às vezes é denotada D "). Então a fórmula para as raízes da equação quadrática em consideração com o segundo coeficiente 2 · n terá a forma:

x = - n ± D 1 a, onde D 1 = n 2 − a · c.

É fácil ver que D = 4 · D 1, ou D 1 = D 4. Em outras palavras, D 1 é um quarto do discriminante. Obviamente, o sinal de D 1 é igual ao sinal de D, o que significa que o sinal de D 1 também pode servir como indicador da presença ou ausência de raízes de uma equação quadrática.

Definição 11

Assim, para encontrar uma solução para uma equação quadrática com segundo coeficiente de 2 n, é necessário:

encontre D 1 = n 2 − a · c ;
em D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
quando D 1 = 0, determine a única raiz da equação usando a fórmula x = - n a;
para D 1 > 0, determine duas raízes reais usando a fórmula x = - n ± D 1 a.

Exemplo 9

É necessário resolver a equação quadrática 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Solução

Podemos representar o segundo coeficiente da equação dada como 2 · (− 3) . Em seguida, reescrevemos a equação quadrática dada como 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, onde a = 5, n = − 3 e c = − 32.

Vamos calcular a quarta parte do discriminante: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. O valor resultante é positivo, o que significa que a equação possui duas raízes reais. Vamos determiná-los usando a fórmula raiz correspondente:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ou x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ou x = - 2

Seria possível realizar cálculos utilizando a fórmula usual para as raízes de uma equação quadrática, mas neste caso a solução seria mais complicada.

Responder: x = 3 1 5 ou x = - 2 .

Simplificando a forma de equações quadráticas

Às vezes é possível otimizar a forma da equação original, o que simplificará o processo de cálculo das raízes.

Por exemplo, a equação quadrática 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 é claramente mais conveniente de resolver do que 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Mais frequentemente, a simplificação da forma de uma equação quadrática é realizada multiplicando ou dividindo ambos os lados por um certo número. Por exemplo, acima mostramos uma representação simplificada da equação 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, obtida pela divisão de ambos os lados por 100.

Tal transformação é possível quando os coeficientes da equação quadrática não são mutuamente números primos. Então geralmente dividimos ambos os lados da equação pelo maior divisor comum valores absolutos de seus coeficientes.

Como exemplo, usamos a equação quadrática 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Vamos determinar o GCD dos valores absolutos de seus coeficientes: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Vamos dividir ambos os lados da equação quadrática original por 6 e obter a equação quadrática equivalente 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Ao multiplicar ambos os lados de uma equação quadrática, você geralmente se livra dos coeficientes fracionários. Nesse caso, multiplicam-se pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores de seus coeficientes. Por exemplo, se cada parte da equação quadrática 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 for multiplicada por MMC (6, 3, 1) = 6, então será escrito de uma forma mais simples x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Finalmente, notamos que quase sempre nos livramos do sinal de menos no primeiro coeficiente de uma equação quadrática alterando os sinais de cada termo da equação, o que é conseguido multiplicando (ou dividindo) ambos os lados por − 1. Por exemplo, da equação quadrática − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, você pode ir para sua versão simplificada 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relação entre raízes e coeficientes

A fórmula das raízes das equações quadráticas, já conhecida por nós, x = - b ± D 2 · a, expressa as raízes da equação através de seus coeficientes numéricos. Com base nesta fórmula, temos a oportunidade de especificar outras dependências entre raízes e coeficientes.

As fórmulas mais famosas e aplicáveis são o teorema de Vieta:

x 1 + x 2 = - b a e x 2 = c a.

Em particular, para a equação quadrática dada, a soma das raízes é o segundo coeficiente com sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre. Por exemplo, observando a forma da equação quadrática 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, é possível determinar imediatamente que a soma das suas raízes é 7 3 e o produto das raízes é 22 3.

Você também pode encontrar várias outras conexões entre as raízes e os coeficientes de uma equação quadrática. Por exemplo, a soma dos quadrados das raízes de uma equação quadrática pode ser expressa em termos de coeficientes:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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Problemas de equações quadráticas são estudados tanto no currículo escolar quanto nas universidades. Eles significam equações da forma a*x^2 + b*x + c = 0, onde x- variável, a, b, c – constantes; a<>0. A tarefa é encontrar as raízes da equação.

Significado geométrico da equação quadrática

O gráfico de uma função representada por uma equação quadrática é uma parábola. As soluções (raízes) de uma equação quadrática são os pontos de intersecção da parábola com o eixo das abcissas (x). Segue-se que existem três casos possíveis:
1) a parábola não tem pontos de intersecção com o eixo das abcissas. Isso significa que está no plano superior com galhos para cima ou no plano inferior com galhos para baixo. Nesses casos, a equação quadrática não possui raízes reais (possui duas raízes complexas).

2) a parábola tem um ponto de intersecção com o eixo do Boi. Tal ponto é chamado de vértice da parábola, e a equação quadrática nele adquire seu valor mínimo ou máximo. Neste caso, a equação quadrática possui uma raiz real (ou duas raízes idênticas).

3) O último caso é mais interessante na prática - existem dois pontos de intersecção da parábola com o eixo das abcissas. Isso significa que existem duas raízes reais da equação.

Com base na análise dos coeficientes das potências das variáveis, podem-se tirar conclusões interessantes sobre a colocação da parábola.

1) Se o coeficiente a for maior que zero, então os ramos da parábola estão direcionados para cima; se for negativo, os ramos da parábola estão direcionados para baixo.

2) Se o coeficiente b for maior que zero, então o vértice da parábola está no semiplano esquerdo, se assumir um valor negativo, então à direita.

Derivação da fórmula para resolver uma equação quadrática

Vamos transferir a constante da equação quadrática

para o sinal de igual, obtemos a expressão

Multiplique ambos os lados por 4a

Para obter um quadrado completo à esquerda, adicione b^2 em ambos os lados e faça a transformação

A partir daqui encontramos

Fórmula para o discriminante e raízes de uma equação quadrática

O discriminante é o valor da expressão radical. Se for positivo, então a equação tem duas raízes reais, calculadas pela fórmula Quando o discriminante é zero, a equação quadrática tem uma solução (duas raízes coincidentes), que pode ser facilmente obtida a partir da fórmula acima para D = 0. Quando o discriminante é negativo, a equação não tem raízes reais. Porém, as soluções da equação quadrática são encontradas no plano complexo e seu valor é calculado pela fórmula

Teorema de Vieta

Vamos considerar duas raízes de uma equação quadrática e construir uma equação quadrática com base nelas. O próprio teorema de Vieta segue facilmente da notação: se tivermos uma equação quadrática da forma então a soma de suas raízes é igual ao coeficiente p tomado com sinal oposto, e o produto das raízes da equação é igual ao termo livre q. A representação formulada acima será semelhante a: Se em uma equação clássica a constante a é diferente de zero, então você precisa dividir a equação inteira por ela e então aplicar o teorema de Vieta.

Cronograma de equação quadrática de fatoração

Deixe a tarefa ser definida: fatorar uma equação quadrática. Para fazer isso, primeiro resolvemos a equação (encontramos as raízes). A seguir, substituímos as raízes encontradas na fórmula de expansão da equação quadrática, o que resolverá o problema.

Problemas de equações quadráticas

Tarefa 1. Encontre as raízes de uma equação quadrática

x^2-26x+120=0 .

Solução: Anote os coeficientes e substitua-os na fórmula discriminante

A raiz desse valor é 14, é fácil de encontrar com uma calculadora, ou lembrar com uso frequente, porém, por conveniência, no final do artigo darei a vocês uma lista de quadrados de números que muitas vezes podem ser encontrados em tais problemas.
Substituímos o valor encontrado na fórmula raiz

e nós obtemos

Tarefa 2. Resolva a equação

2x2 +x-3=0.

Solução: Temos uma equação quadrática completa, escrevemos os coeficientes e encontramos o discriminante

Usando fórmulas conhecidas, encontramos as raízes da equação quadrática

Tarefa 3. Resolva a equação

9x 2 -12x+4=0.

Solução: Temos uma equação quadrática completa. Determinando o discriminante

Temos um caso em que as raízes coincidem. Encontre os valores das raízes usando a fórmula

Tarefa 4. Resolva a equação

x^2+x-6=0 .

Solução: Nos casos em que existem coeficientes pequenos para x, é aconselhável aplicar o teorema de Vieta. Por sua condição obtemos duas equações

Da segunda condição descobrimos que o produto deve ser igual a -6. Isso significa que uma das raízes é negativa. Temos o seguinte par possível soluções(-3;2), (3;-2) . Tendo em conta a primeira condição, rejeitamos o segundo par de soluções.
As raízes da equação são iguais

Problema 5. Encontre os comprimentos dos lados de um retângulo se seu perímetro for 18 cm e sua área for 77 cm 2.

Solução: Metade do perímetro de um retângulo é igual à soma dos lados adjacentes. Vamos denotar x como o lado maior, então 18-x é o seu lado menor. A área do retângulo é igual ao produto destes comprimentos:
x(18-x)=77;
ou
x 2 -18x+77=0.
Vamos encontrar o discriminante da equação

Calculando as raízes da equação

Se x = 11, Que 18 = 7, o oposto também é verdadeiro (se x=7, então 21’s=9).

Problema 6. Fatore a equação quadrática 10x 2 -11x+3=0.

Solução: Vamos calcular as raízes da equação, para isso encontramos o discriminante

Substituímos o valor encontrado na fórmula raiz e calculamos

Aplicamos a fórmula para decompor uma equação quadrática por raízes

Abrindo os colchetes obtemos uma identidade.

Equação quadrática com parâmetro

Exemplo 1. Em quais valores de parâmetros A , a equação (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 tem uma raiz?

Solução: Por substituição direta do valor a=3 vemos que não tem solução. A seguir, usaremos o fato de que com um discriminante zero a equação tem uma raiz de multiplicidade 2. Vamos escrever o discriminante

Vamos simplificar e igualar a zero

Obtivemos uma equação quadrática em relação ao parâmetro a, cuja solução pode ser facilmente obtida utilizando o teorema de Vieta. A soma das raízes é 7 e seu produto é 12. Por pesquisa simples estabelecemos que os números 3,4 serão as raízes da equação. Como já rejeitamos a solução a=3 no início dos cálculos, a única correta será - uma=4. Assim, para a=4 a equação tem uma raiz.

Exemplo 2. Em quais valores de parâmetros A , a equação uma(uma+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 tem mais de uma raiz?

Solução: Vamos primeiro considerar os pontos singulares, eles terão os valores a=0 e a=-3. Quando a=0, a equação será simplificada para a forma 6x-9=0; x=3/2 e haverá uma raiz. Para a= -3 obtemos a identidade 0=0.
Vamos calcular o discriminante

e encontre o valor de a no qual é positivo

Da primeira condição obtemos a>3. Para o segundo, encontramos o discriminante e as raízes da equação

Vamos determinar os intervalos onde a função assume valores positivos. Substituindo o ponto a=0 obtemos 3>0 . Portanto, fora do intervalo (-3;1/3) a função é negativa. Não se esqueça do ponto uma=0, que deve ser excluído porque a equação original tem uma raiz.
Como resultado, obtemos dois intervalos que satisfazem as condições do problema

Haverá muitas tarefas semelhantes na prática, tente descobrir você mesmo as tarefas e não se esqueça de levar em consideração as condições que são mutuamente exclusivas. Estude bem as fórmulas para resolver equações quadráticas, pois elas são frequentemente necessárias em cálculos de vários problemas e ciências.

EM sociedade moderna a capacidade de realizar operações com equações contendo uma variável ao quadrado pode ser útil em muitas áreas de atividade e é amplamente utilizada na prática em desenvolvimentos científicos e técnicos. Provas disso podem ser encontradas no projeto de embarcações marítimas e fluviais, aeronaves e mísseis. Usando esses cálculos, são determinadas as trajetórias de movimento de uma ampla variedade de corpos, incluindo objetos espaciais. Exemplos com solução de equações quadráticas são utilizados não apenas nas previsões econômicas, no projeto e construção de edifícios, mas também nas circunstâncias mais comuns do dia a dia. Podem ser necessários em caminhadas, em eventos esportivos, em lojas na hora de fazer compras e em outras situações muito comuns.

Vamos dividir a expressão em seus fatores componentes

O grau de uma equação é determinado pelo valor máximo do grau da variável que a expressão contém. Se for igual a 2, essa equação é chamada quadrática.

Se falamos na linguagem das fórmulas, então as expressões indicadas, não importa sua aparência, sempre podem ser trazidas para a forma quando o lado esquerdo da expressão consiste em três termos. Entre eles: ax 2 (ou seja, uma variável ao quadrado com seu coeficiente), bx (uma incógnita sem quadrado com seu coeficiente) e c (um componente livre, ou seja, um número ordinário). Tudo isso no lado direito é igual a 0. No caso em que tal polinômio carece de um de seus termos constituintes, com exceção do machado 2, é chamado de equação quadrática incompleta. Exemplos com a solução de tais problemas, cujos valores das variáveis são fáceis de encontrar, devem ser considerados primeiro.

Se a expressão parecer ter dois termos no lado direito, mais precisamente ax 2 e bx, a maneira mais fácil de encontrar x é colocar a variável fora dos colchetes. Agora nossa equação ficará assim: x(ax+b). A seguir, torna-se óbvio que ou x=0, ou o problema se resume a encontrar uma variável a partir da seguinte expressão: ax+b=0. Isso é ditado por uma das propriedades da multiplicação. A regra afirma que o produto de dois fatores resulta em 0 somente se um deles for zero.

Exemplo

x=0 ou 8x - 3 = 0

Como resultado, obtemos duas raízes da equação: 0 e 0,375.

Equações desse tipo podem descrever o movimento de corpos sob a influência da gravidade, que começaram a se mover a partir de um determinado ponto tomado como origem das coordenadas. Aqui a notação matemática assume a seguinte forma: y = v 0 t + gt 2 /2. Substituindo os valores necessários, igualando o lado direito a 0 e encontrando possíveis incógnitas, você pode descobrir o tempo que passa desde o momento em que o corpo sobe até o momento em que cai, entre muitas outras quantidades. Mas falaremos sobre isso mais tarde.

Fatorando uma Expressão

A regra descrita acima permite resolver estes problemas em casos mais complexos. Vejamos exemplos de resolução de equações quadráticas desse tipo.

X 2 - 33x + 200 = 0

Este trinômio quadrático está completo. Primeiro, vamos transformar a expressão e fatorá-la. Existem dois deles: (x-8) e (x-25) = 0. Como resultado, temos duas raízes 8 e 25.

Exemplos de resolução de equações quadráticas no 9º ano permitem que este método encontre uma variável em expressões não apenas de segunda, mas até de terceira e quarta ordens.

Por exemplo: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Ao fatorar o lado direito em fatores com uma variável, existem três deles, ou seja, (x+1), (x-3) e (x+ 3).

Como resultado, torna-se óbvio que esta equação tem três raízes: -3; -1; 3.

Raiz quadrada

Outro caso de equação de segunda ordem incompleta é uma expressão representada na linguagem das letras de tal forma que o lado direito é construído a partir dos componentes ax 2 e c. Aqui, para obter o valor da variável, o termo livre é transferido para o lado direito, e em seguida a raiz quadrada é extraída de ambos os lados da igualdade. Deve-se notar que neste caso geralmente existem duas raízes da equação. As únicas exceções podem ser igualdades que não contenham nenhum termo com, onde a variável é igual a zero, bem como variantes de expressões quando o lado direito for negativo. Neste último caso, não há solução alguma, pois as ações acima não podem ser realizadas com raízes. Exemplos de soluções para equações quadráticas deste tipo devem ser considerados.

Neste caso, as raízes da equação serão os números -4 e 4.

Cálculo da área do terreno

A necessidade desse tipo de cálculo surgiu na antiguidade, pois o desenvolvimento da matemática naqueles tempos distantes foi em grande parte determinado pela necessidade de determinar com a maior precisão as áreas e perímetros dos terrenos.

Deveríamos também considerar exemplos de resolução de equações quadráticas baseadas em problemas deste tipo.

Então, digamos que haja um terreno retangular cujo comprimento seja 16 metros maior que a largura. Você deve saber o comprimento, largura e perímetro do local se souber que sua área é de 612 m2.

Para começar, vamos primeiro criar a equação necessária. Denotemos por x a largura da área, então seu comprimento será (x+16). Do que foi escrito segue-se que a área é determinada pela expressão x(x+16), que, de acordo com as condições do nosso problema, é 612. Isso significa que x(x+16) = 612.

Resolver equações quadráticas completas, e esta expressão é exatamente isso, não pode ser feita da mesma forma. Por que? Embora o lado esquerdo ainda contenha dois fatores, seu produto não é igual a 0, portanto, métodos diferentes são usados aqui.

Discriminante

Primeiramente vamos fazer as transformações necessárias, depois aparência desta expressão ficará assim: x 2 + 16x - 612 = 0. Isso significa que recebemos uma expressão em um formato correspondente ao padrão especificado anteriormente, onde a=1, b=16, c=-612.

Este poderia ser um exemplo de resolução de equações quadráticas usando um discriminante. Aqui cálculos necessários são produzidos de acordo com o esquema: D = b 2 - 4ac. Esta grandeza auxiliar não só permite encontrar as grandezas necessárias numa equação de segunda ordem, como também determina o número de opções possíveis. Se D>0, existem dois deles; para D=0 existe uma raiz. No caso D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Sobre raízes e sua fórmula

No nosso caso, o discriminante é igual a: 256 - 4(-612) = 2704. Isto sugere que o nosso problema tem uma resposta. Se você conhece k, a solução das equações quadráticas deve continuar usando a fórmula abaixo. Ele permite calcular as raízes.

Isso significa que no caso apresentado: x 1 =18, x 2 =-34. A segunda opção neste dilema não pode ser uma solução, pois as dimensões do terreno não podem ser medidas em quantidades negativas, o que significa que x (ou seja, a largura do terreno) é 18 m. A partir daqui calculamos o comprimento: 18 +16=34, e o perímetro 2(34+ 18)=104(m2).

Exemplos e tarefas

Continuamos nosso estudo de equações quadráticas. Exemplos e soluções detalhadas de vários deles serão fornecidos a seguir.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Vamos mover tudo para o lado esquerdo da igualdade, fazer uma transformação, ou seja, vamos pegar o tipo de equação que costuma ser chamada de padrão, e igualá-la a zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Somando outros semelhantes, determinamos o discriminante: D = 49 - 48 = 1. Isso significa que nossa equação terá duas raízes. Vamos calculá-los de acordo com a fórmula acima, o que significa que o primeiro deles será igual a 4/3 e o segundo a 1.

2) Agora vamos resolver mistérios de um tipo diferente.

Vamos descobrir se existe alguma raiz aqui x 2 - 4x + 5 = 1? Para obter uma resposta abrangente, vamos reduzir o polinômio à forma usual correspondente e calcular o discriminante. No exemplo acima, não é necessário resolver a equação quadrática, porque esta não é de forma alguma a essência do problema. Neste caso, D = 16 - 20 = -4, o que significa que realmente não existem raízes.

Teorema de Vieta

É conveniente resolver equações quadráticas usando as fórmulas acima e o discriminante, quando a raiz quadrada é extraída do valor deste último. Mas isso nem sempre acontece. Porém, existem muitas maneiras de obter os valores das variáveis neste caso. Exemplo: resolução de equações quadráticas utilizando o teorema de Vieta. Ela leva o nome de quem viveu no século 16 na França e fez uma carreira brilhante graças ao seu talento matemático e conexões na corte. Seu retrato pode ser visto no artigo.

O padrão que o famoso francês notou foi o seguinte. Ele provou que as raízes da equação somam numericamente -p=b/a, e seu produto corresponde a q=c/a.

Agora vamos examinar tarefas específicas.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Para simplificar, vamos transformar a expressão:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vamos usar o teorema de Vieta, isso nos dará o seguinte: a soma das raízes é -7 e seu produto é -18. A partir daqui, obtemos que as raízes da equação são os números -9 e 2. Após a verificação, teremos certeza de que os valores dessas variáveis realmente se enquadram na expressão.

Gráfico e equação de parábola

Os conceitos de função quadrática e equações quadráticas estão intimamente relacionados. Exemplos disso já foram dados anteriormente. Agora vamos examinar alguns enigmas matemáticos com um pouco mais de detalhes. Qualquer equação do tipo descrito pode ser representada visualmente. Tal relação, desenhada como um gráfico, é chamada de parábola. Seus vários tipos são apresentados na figura abaixo.

Qualquer parábola possui um vértice, ou seja, um ponto de onde emergem seus ramos. Se a>0, eles vão até o infinito, e quando a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

As representações visuais de funções ajudam a resolver quaisquer equações, inclusive quadráticas. Este método é denominado gráfico. E o valor da variável x é a coordenada abcissa nos pontos onde a linha do gráfico cruza com 0x. As coordenadas do vértice podem ser encontradas usando a fórmula dada x 0 = -b/2a. E substituindo o valor resultante na equação original da função, você pode descobrir y 0, ou seja, a segunda coordenada do vértice da parábola, que pertence ao eixo das ordenadas.

A intersecção dos ramos de uma parábola com o eixo das abcissas

Existem muitos exemplos de resolução de equações quadráticas, mas também existem padrões gerais. Vamos dar uma olhada neles. É claro que a intersecção do gráfico com o eixo 0x para a>0 só é possível se 0 assumir valores negativos. E por um<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Caso contrário D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

A partir do gráfico da parábola você também pode determinar as raízes. O oposto também é verdade. Ou seja, se não for fácil obter uma representação visual de uma função quadrática, você pode igualar o lado direito da expressão a 0 e resolver a equação resultante. E conhecendo os pontos de intersecção com o eixo 0x, fica mais fácil construir um gráfico.

Da história

Usando equações contendo uma variável quadrada, antigamente não apenas faziam cálculos matemáticos como determinavam as áreas das figuras geométricas. Os antigos precisavam de tais cálculos para grandes descobertas nos campos da física e da astronomia, bem como para fazer previsões astrológicas.

Como sugerem os cientistas modernos, os habitantes da Babilônia foram um dos primeiros a resolver equações quadráticas. Isso aconteceu quatro séculos antes da nossa era. É claro que seus cálculos eram radicalmente diferentes daqueles atualmente aceitos e revelaram-se muito mais primitivos. Por exemplo, os matemáticos mesopotâmicos não tinham ideia da existência de números negativos. Eles também não estavam familiarizados com outras sutilezas que qualquer aluno moderno conhece.

Talvez ainda antes dos cientistas da Babilônia, o sábio da Índia Baudhayama começou a resolver equações quadráticas. Isso aconteceu cerca de oito séculos antes da era de Cristo. É verdade que as equações de segunda ordem, os métodos de resolução que ele forneceu, eram os mais simples. Além dele, os matemáticos chineses também se interessavam por questões semelhantes antigamente. Na Europa, as equações quadráticas começaram a ser resolvidas apenas no início do século XIII, mas posteriormente foram utilizadas em seus trabalhos por grandes cientistas como Newton, Descartes e muitos outros.