Como encontrar a altura conhecendo três lados. Encontre a maior altura do triângulo

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Como encontrar o maior ou altura mais baixa triângulo? Quanto menor for a altura do triângulo, maior será a altura desenhada para ele. Ou seja, a maior das alturas de um triângulo é aquela desenhada no seu lado mais curto. - aquele desenhado no maior lado do triângulo.

Para encontrar a maior altura de um triângulo , podemos dividir a área do triângulo pelo comprimento do lado para o qual esta altura é desenhada (ou seja, pelo comprimento do menor lado do triângulo).

Assim, d Para encontrar a menor altura de um triângulo Você pode dividir a área de um triângulo pelo comprimento do seu lado mais longo.

Tarefa 1.

Encontre a menor altura de um triângulo cujos lados medem 7 cm, 8 cm e 9 cm.

Dado:

AC=7cm, AB=8cm, BC=9cm.

Encontre: a menor altura do triângulo.

Solução:

A menor altitude de um triângulo é aquela traçada em seu lado mais longo. Isso significa que precisamos encontrar a altura AF desenhada para o lado BC.

Por conveniência de notação, introduzimos a notação

BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.

A altura de um triângulo é igual ao quociente do dobro da área do triângulo dividido pelo lado ao qual essa altura é desenhada. pode ser encontrado usando a fórmula de Heron. É por isso

Calculamos:

Responder:

Tarefa 2.

Encontre o lado mais longo de um triângulo com lados de 1 cm, 25 cm e 30 cm.

Dado:

AC=25cm, AB=11cm, BC=30cm.

Encontrar:

maior altura do triângulo ABC.

Solução:

A maior altura de um triângulo é desenhada em seu lado mais curto.

Isso significa que você precisa encontrar a altura CD desenhada para o lado AB.

Por conveniência, vamos denotar

Quase nunca é possível determinar todos os parâmetros de um triângulo sem construções adicionais. Essas construções são características gráficas únicas de um triângulo, que ajudam a determinar o tamanho dos lados e ângulos.

Definição

Uma dessas características é a altura do triângulo. Altitude é a perpendicular traçada do vértice de um triângulo ao seu lado oposto. Um vértice é um dos três pontos que, juntamente com os três lados, formam um triângulo.

A definição da altura de um triângulo pode soar assim: a altura é a perpendicular traçada do vértice do triângulo à linha reta que contém o lado oposto.

Esta definição parece mais complicada, mas reflete a situação com mais precisão. O fato é que em um triângulo obtuso não é possível traçar a altura dentro do triângulo. Como pode ser visto na Figura 1, a altura neste caso é externa. Além disso, não é uma situação padrão construir a altura de um triângulo retângulo. Nesse caso, duas das três alturas do triângulo passarão pelos catetos e a terceira do vértice à hipotenusa.

Arroz. 1. Altura de um triângulo obtuso.

Normalmente, a altura de um triângulo é designada pela letra h. A altura também é indicada em outras figuras.

Como encontrar a altura de um triângulo?

Existem três maneiras padrão de encontrar a altura de um triângulo:

Através do teorema de Pitágoras

Este método é usado para triângulos equiláteros e isósceles. Vamos analisar a solução para um triângulo isósceles e depois dizer porque a mesma solução é válida para um triângulo equilátero.

Dado: triângulo isósceles ABC com base AC. AB=5, AC=8. Encontre a altura do triângulo.

Arroz. 2. Desenho para o problema.

Para um triângulo isósceles, é importante saber qual lado é a base. Isso determina os lados que devem ser iguais, bem como a altura em que atuam certas propriedades.

Propriedades da altitude de um triângulo isósceles desenhado na base:

A altura coincide com a mediana e a bissetriz
Divide a base em duas partes iguais.

Denotamos a altura como ВD. Encontramos DC como metade da base, pois a altura do ponto D divide a base ao meio. CC = 4

A altura é perpendicular, o que significa que BDC é um triângulo retângulo, e a altura BH é um cateto desse triângulo.

Vamos encontrar a altura usando o teorema de Pitágoras: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$

Qualquer triângulo equilátero é isósceles, apenas sua base é igual aos lados. Ou seja, você pode usar o mesmo procedimento.

Através da área de um triângulo

Este método pode ser usado para qualquer triângulo. Para utilizá-lo, você precisa saber a área do triângulo e o lado em que a altura é desenhada.

As alturas de um triângulo não são iguais, portanto para o lado correspondente será possível calcular a altura correspondente.

A fórmula para a área de um triângulo é: $$S=(1\over2)*bh$$, onde b é o lado do triângulo e h é a altura desenhada para este lado. Vamos expressar a altura pela fórmula:

$$h=2*(S\sobre b)$$

Se a área for 15, o lado for 5, então a altura será $$h=2*(15\over5)=6$$

Através da função trigonométrica

O terceiro método é adequado se o lado e o ângulo da base forem conhecidos. Para fazer isso você terá que usar a função trigonométrica.

Arroz. 3. Desenho para o problema.

Ângulo ВСН=300 e lado BC=8. Ainda temos o mesmo triângulo retângulo BCH. Vamos usar o seno. Seno é a razão entre o lado oposto e a hipotenusa, o que significa: BH/BC=cos BCH.

O ângulo é conhecido, assim como o lado. Vamos expressar a altura do triângulo:

$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$

O valor do cosseno é geralmente obtido das tabelas Bradis, mas os valores funções trigonométricas para 30,45 e 60 graus - números tabulares.

O que aprendemos?

Aprendemos qual é a altura de um triângulo, quais são as alturas e como são designadas. Resolvemos problemas típicos e escrevemos três fórmulas para a altura de um triângulo.

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O cálculo da altura de um triângulo depende da própria figura (isósceles, equilátero, escaleno, retangular). Na geometria prática, como regra, não são encontradas fórmulas complexas. O suficiente para saber princípio geral cálculos para que possa ser aplicado universalmente a todos os triângulos. Hoje apresentaremos os princípios básicos de cálculo da altura de uma figura, fórmulas de cálculo baseadas nas propriedades das alturas dos triângulos.

O que é altura?

A altura tem várias propriedades distintas

O ponto onde todas as alturas se conectam é chamado de ortocentro. Se o triângulo for pontiagudo, então o ortocentro está localizado dentro da figura; se um dos ângulos for obtuso, então o ortocentro, via de regra, está localizado fora.
Em um triângulo onde um ângulo é 90°, o ortocentro e o vértice coincidem.
Dependendo do tipo de triângulo, existem várias fórmulas para encontrar a altura do triângulo.

Computação Tradicional

Se p é metade do perímetro, então a, b, c são a designação dos lados da figura desejada, h é a altura, então a primeira e mais simples fórmula será semelhante a esta: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c) .
Nos livros escolares, muitas vezes você pode encontrar problemas nos quais o valor de um dos lados de um triângulo e o tamanho do ângulo entre esse lado e a base são conhecidos. Então a fórmula para calcular a altura ficará assim: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
Quando for dada a área do triângulo - S, assim como o comprimento da base - a, os cálculos serão os mais simples possíveis. A altura é encontrada usando a fórmula: h = 2S/a.
Quando o raio do círculo descrito ao redor da figura é dado, primeiro calculamos os comprimentos de seus dois lados e depois calculamos a altura dada do triângulo. Para fazer isso, usamos a fórmula: h = b ∙ c/2R, onde b e c são os dois lados do triângulo que não são a base, e R é o raio.

Como encontrar a altura de um triângulo isósceles?

Todos os lados desta figura são equivalentes, seus comprimentos são iguais, portanto os ângulos da base também serão iguais. Conclui-se que as alturas que traçamos nas bases também serão iguais, também são medianas e bissetoras ao mesmo tempo. Falando em linguagem simples, a altitude em um triângulo isósceles divide a base em duas. O triângulo com ângulo reto, obtido após traçar a altura, será considerado utilizando o teorema de Pitágoras. Vamos denotar o lado como a e a base como b, então a altura h = ½ √4 a2 − b2.

Como encontrar a altura de um triângulo equilátero?

A fórmula para um triângulo equilátero (uma figura onde todos os lados têm tamanhos iguais) pode ser encontrada com base em cálculos anteriores. Basta medir o comprimento de um dos lados do triângulo e designá-lo como a. Então a altura é derivada pela fórmula: h = √3/2 a.

Como encontrar a altura de um triângulo retângulo?

Como você sabe, o ângulo de um triângulo retângulo é 90°. A altura baixada por um lado também é o segundo lado. As alturas de um triângulo com ângulo reto estarão sobre eles. Para obter dados de altura, é necessário transformar ligeiramente a fórmula pitagórica existente, designando os catetos - aeb, e também medindo o comprimento da hipotenusa - c.

Vamos encontrar o comprimento da perna (o lado ao qual a altura será perpendicular): a = √ (c2 − b2). O comprimento da segunda perna é encontrado usando exatamente a mesma fórmula: b =√ (c2 − b2). Depois disso, você pode começar a calcular a altura de um triângulo com ângulo reto, tendo primeiro calculado a área da figura - s. O valor da altura é h = 2s/a.

Cálculos com triângulo escaleno

Quando um triângulo escaleno tem ângulos agudos, a altura abaixada até a base é visível. Se o triângulo tiver um ângulo obtuso, então a altura pode estar fora da figura e você precisa continuá-la mentalmente para obter o ponto de conexão da altura e da base do triângulo. A maioria de uma forma simples medir a altura é calculá-la através de um dos lados e do tamanho dos ângulos. A fórmula é a seguinte: h = b sen y + c sen ß.

Triângulos.

Conceitos Básicos.

Triânguloé uma figura composta por três segmentos e três pontos que não estão na mesma linha reta.

Os segmentos são chamados festas, e os pontos são picos.

Soma dos ângulos triângulo é 180º.

Altura do triângulo.

Altura do triângulo- esta é uma perpendicular traçada do vértice ao lado oposto.

EM Triângulo agudo a altura está contida dentro do triângulo (Fig. 1).

Em um triângulo retângulo, os catetos são as alturas do triângulo (Fig. 2).

Em um triângulo obtuso, a altitude se estende para fora do triângulo (Fig. 3).

Propriedades da altitude de um triângulo:

Bissetriz de um triângulo.

Bissetriz de um triângulo- é um segmento que divide o canto do vértice ao meio e conecta o vértice a um ponto do lado oposto (Fig. 5).

Propriedades da bissetriz:

Mediana de um triângulo.

Mediana de um triângulo- este é um segmento que liga o vértice ao meio do lado oposto (Fig. 9a).

O comprimento da mediana pode ser calculado usando a fórmula:

2b 2 + 2c 2 - a 2
eu sou 2 = ——————
4

Onde eu sou- mediana desenhada para o lado A.

Em um triângulo retângulo, a mediana traçada até a hipotenusa é igual à metade da hipotenusa:

c
m c = —
2

Onde m c- mediana desenhada para a hipotenusa c(Fig.9c)

As medianas do triângulo se cruzam em um ponto (no centro de massa do triângulo) e são divididas por este ponto na proporção de 2:1, contando a partir do vértice. Ou seja, o segmento do vértice ao centro é duas vezes maior que o segmento do centro ao lado do triângulo (Fig. 9c).

As três medianas de um triângulo o dividem em seis triângulos iguais.

A linha média do triângulo.

Linha média do triângulo- este é um segmento que conecta os pontos médios de seus dois lados (Fig. 10).

A linha média do triângulo é paralela ao terceiro lado e igual à metade dele

Ângulo externo de um triângulo.

Canto externo de um triângulo é igual à soma de dois ângulos internos não adjacentes (Fig. 11).

Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer ângulo não adjacente.

Triângulo retângulo.

Triângulo retânguloé um triângulo que tem um ângulo reto (Fig. 12).

O lado de um triângulo retângulo oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa.

Os outros dois lados são chamados pernas.

Segmentos proporcionais em um triângulo retângulo.

1) Em um triângulo retângulo, a altitude calculada a partir ângulo certo, forma três triângulos semelhantes: ABC, ACH e HCB (Fig. 14a). Conseqüentemente, os ângulos formados pela altura são iguais aos ângulos A e B.

Figura 14a

Triângulo isósceles.

Triângulo isóscelesé um triângulo cujos dois lados são iguais (Fig. 13).

Esses lados iguais são chamados lados, e o terceiro - base triângulo.

Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais. (Em nosso triângulo, o ângulo A é igual ao ângulo C).

Em um triângulo isósceles, a mediana desenhada até a base é a bissetriz e a altura do triângulo.

Triângulo Equilátero.

Um triângulo equilátero é um triângulo em que todos os lados são iguais (Fig. 14).

Propriedades de um triângulo equilátero:

Propriedades notáveis de triângulos.

Os triângulos possuem propriedades únicas que o ajudarão a resolver problemas envolvendo essas formas com sucesso. Algumas dessas propriedades são descritas acima. Mas nós os repetimos novamente, acrescentando alguns outros recursos maravilhosos:

1) Em um triângulo retângulo com ângulos de catetos de 90º, 30º e 60º b, oposto a um ângulo de 30º, é igual a metade da hipotenusa. Uma pernaa mais pernab√3 vezes (Fig. 15 A). Por exemplo, se a perna b for 5, então a hipotenusa c necessariamente é igual a 10, e a perna Aé igual a 5√3.

2) Em um triângulo isósceles retângulo com ângulos de 90º, 45º e 45º, a hipotenusa é √2 vezes maior que o cateto (Fig. 15). b). Por exemplo, se os catetos são 5, então a hipotenusa é 5√2.

3) A linha média do triângulo é igual à metade do lado paralelo (Fig. 15 Com). Por exemplo, se o lado de um triângulo é 10, então a linha média paralela a ele é 5.

4) Num triângulo retângulo, a mediana traçada até a hipotenusa é igual à metade da hipotenusa (Fig. 9c): m c= s/2.

5) As medianas de um triângulo, que se cruzam em um ponto, são divididas por este ponto na proporção de 2:1. Ou seja, o segmento do vértice ao ponto de intersecção das medianas é duas vezes maior que o segmento do ponto de intersecção das medianas ao lado do triângulo (Fig. 9c)

6) Em um triângulo retângulo, o meio da hipotenusa é o centro do círculo circunscrito (Fig. 15 d).

Sinais de igualdade de triângulos.

Primeiro sinal de igualdade: se dois lados e o ângulo entre eles de um triângulo são iguais a dois lados e o ângulo entre eles de outro triângulo, então tais triângulos são congruentes.

Segundo sinal de igualdade: se um lado e seus ângulos adjacentes de um triângulo são iguais ao lado e seus ângulos adjacentes de outro triângulo, então tais triângulos são congruentes.

Terceiro sinal de igualdade: Se três lados de um triângulo são iguais a três lados de outro triângulo, então esses triângulos são congruentes.

Desigualdade triangular.

Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois lados.

Teorema de Pitágoras.

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos:

c 2 = a 2 + b 2 .

Área de um triângulo.

1) A área de um triângulo é igual à metade do produto do seu lado pela altura desenhada para este lado:

ah
S = ——
2

2) A área de um triângulo é igual à metade do produto de quaisquer dois de seus lados pelo seno do ângulo entre eles:

1
S = — AB · A.C. · pecado A
2

Um triângulo circunscrito a um círculo.

Um círculo é chamado de inscrito em um triângulo se toca todos os seus lados (Fig. 16 A).

Um triângulo inscrito em um círculo.

Diz-se que um triângulo está inscrito em um círculo se o toca com todos os seus vértices (Fig. 17 a).

Seno, cosseno, tangente, cotangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo (Fig. 18).

Seioângulo agudo x oposto perna até a hipotenusa.
É denotado da seguinte forma: pecadox.

Cossenoângulo agudo x de um triângulo retângulo é a razão adjacente perna até a hipotenusa.
Denotado da seguinte forma: cos x.

Tangenteângulo agudo x- esta é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente.
É designado da seguinte forma: tgx.

Co-tangenteângulo agudo x- esta é a razão entre o lado adjacente e o lado oposto.
É designado da seguinte forma: ctgx.

Regras:

Perna oposta ao canto x, é igual ao produto da hipotenusa e do pecado x:

b = c pecado x

Perna adjacente ao canto x, é igual ao produto da hipotenusa e cos x:

uma = c porque x

Perna oposta ao canto x, é igual ao produto da segunda etapa por tg x:

b = uma tg x

Perna adjacente ao canto x, é igual ao produto da segunda etapa por ctg x:

uma = b· ctg x.

Para qualquer ângulo agudo x:

pecado (90° - x) = porque x

cos (90° - x) = pecado x