Como encontrar a área de um triângulo trapézio e de um paralelogramo. Derivação da fórmula da área de um trapézio

Vamos concordar em chamar um dos lados do paralelogramo base, e a perpendicular traçada a partir de qualquer ponto do lado oposto à linha que contém a base é altura do paralelogramo.

Teorema

Prova

Consideremos um paralelogramo ABCD com área S. Tomemos o lado AD como base e desenhemos as alturas ВН e СК (Fig. 182). Vamos provar que S = AD VN.

Arroz. 182

Vamos primeiro provar que a área do retângulo ABCD também é igual a S. O trapézio ABCD é composto por um paralelogramo ABCD e um triângulo DCK. Por outro lado, é composto por um retângulo НВСК e um triângulo АВН. Mas os triângulos retângulos DCK e ABH são iguais em hipotenusa e ângulo agudo (suas hipotenusas AB e CD são iguais como lados opostos paralelogramo, e os ângulos 1 e 2 são iguais aos ângulos correspondentes na intersecção das linhas paralelas AB e CD pela secante AD), portanto suas áreas são iguais.

Consequentemente, as áreas do paralelogramo ABCD e do retângulo NVSK também são iguais, ou seja, a área do retângulo NVSK é igual a S. Pelo teorema da área do retângulo, S = BC BN, e como BC = AD, então S = AD BN. O teorema foi provado.

Área de um triângulo

Um dos lados de um triângulo costuma ser chamado de base. Se a base for selecionada, a palavra “altura” significa a altura do triângulo desenhado até a base. Teorema

Prova

Seja S a área do triângulo ABC (Fig. 183). Vamos tomar o lado AB como base do triângulo e desenhar a altura CH. Vamos provar isso .

Arroz. 183

Vamos completar o triângulo ABC com o paralelogramo ABDC conforme mostrado na Figura 183. Os triângulos ABC e DCB são iguais em três lados (BC é seu lado comum, AB = CD e AC = BD como lados opostos do paralelogramo ABDC), então suas áreas são iguais. Portanto, a área S do triângulo ABC é igual à metade da área do paralelogramo ABDC, ou seja, . O teorema foi provado.

Corolário 1

Corolário 2

Utilizemos o Corolário 2 para provar o teorema da razão entre as áreas de triângulos com ângulos iguais.

Teorema

Prova

Sejam S e S 1 as áreas dos triângulos ABC e A 1 B 1 C 1, para os quais ∠A = ∠A 1 (Fig. 184, a). Vamos provar isso .

Arroz. 184

Vamos sobrepor o triângulo A 1 B 1 C 1 ao triângulo ABC de modo que o vértice A 1 se alinhe com o vértice A e os lados A 1 B 1 e A 1 C 1 se sobreponham aos raios AB e AC, respectivamente (Fig. 184, b). Os triângulos ABC e AB 1 C têm uma altura comum - CH, portanto .

Os triângulos AB 1 C e AB 1 C 1 também têm uma altura comum - B 1 H 1, portanto . Multiplicando as igualdades resultantes, encontramos:

O teorema foi provado.

Área do trapézio

Para calcular a área de um polígono arbitrário, normalmente você faz o seguinte: divide o polígono em triângulos e encontra a área de cada triângulo. A soma das áreas desses triângulos é igual à área do polígono dado (Fig. 185, a). Usando esta técnica, derivaremos uma fórmula para calcular a área de um trapézio. Concordemos em chamar a altura de um trapézio de perpendicular traçada de qualquer ponto de uma das bases até uma linha que contém a outra base. Na Figura 185, b, o segmento BH (assim como o segmento DH 1) é a altura do trapézio ABCD.

Arroz. 185

Teorema

Prova

Considere o trapézio ABCD com bases AD e BC, altura BH e área S (ver Fig. 185, b).

Vamos provar isso

A diagonal BD divide o trapézio em dois triângulos ABD e BCD, então S = S ABD + S BCD.

Tomemos os segmentos AD e ВН como base e altura do triângulo ABD, e os segmentos ВС e DH 1 como base e altura do triângulo BCD. Então

O teorema foi provado.

Tarefas

459. Seja a a base, h a altura e S a área do paralelogramo. Encontre: a) S, se a = 15 cm, h = 12 cm; b) a, se S = 34 cm 2, h = 8,5 cm; c) a, se S = 162 cm 2, h = 1/2a; d) h, se h = 3a, S = 27.

460. A diagonal de um paralelogramo, igual a 13 cm, é perpendicular ao lado do paralelogramo, igual a 12 cm. Encontre a área do paralelogramo.

461. Os lados adjacentes de um paralelogramo têm 12 cm e 14 cm, e seu ângulo agudo é 30°. Encontre a área do paralelogramo.

462. O lado de um losango mede 6 cm e um dos ângulos mede 150°. Encontre a área do losango.

463. O lado de um paralelogramo mede 8,1 cm, e a diagonal, igual a 14 cm, forma com ele um ângulo de 30°. Encontre a área do paralelogramo.

464. Sejam aeb os lados adjacentes do paralelogramo, S a área, a h 1 e h 2 suas alturas. Encontre: a) h 2 se a = 18 cm, b = 30 cm, h 1 = 6 cm, h 2 > h 1 ; b) h 1, se a = 10 cm, 6 = 15 cm, h 2 = 6 cm, h 2 > h 1 c) h 1 e h 2, se S = 54 cm 2, a = 4,5 cm, b = 6 cm.

465. O ângulo agudo do paralelogramo é 30°, e as alturas traçadas a partir do vértice do ângulo obtuso são 2 cm e 3 cm. Encontre a área do paralelogramo.

466. A diagonal de um paralelogramo é igual ao seu lado. Encontre a área de um paralelogramo se seu lado mais longo mede 15,2 cm e um de seus ângulos mede 45°.

467. Um quadrado e um losango que não é quadrado têm os mesmos perímetros. Compare as áreas dessas figuras.

468. Seja a a base, h a altura e S a área do triângulo. Encontre: a) S, se a = 7 cm, h = 11 cm; b) S, se a = 2√3 cm, h = 5 cm; c) h, se S = 37,8 cm 2, a - 14 cm; d) a, se S = 12 cm 2, h = 3√2 cm.

469. Os lados AB e BC do triângulo ABC são iguais a 16 cm e 22 cm, respectivamente, e a altura desenhada para o lado AB é igual a 11 cm. Encontre a altura desenhada para o lado BC.

470. Dois lados de um triângulo são iguais a 7,5 cm e 3,2 cm. A altura desenhada para o lado maior é 2,4 cm. Encontre a altura desenhada para o menor desses lados.

471. D Encontre a área de um triângulo retângulo se seus catetos forem iguais: a) 4 cm e 11 cm; b) 1,2dm e 3dm.

472. A área de um triângulo retângulo é 168 cm 2. Encontre suas pernas se a proporção de seus comprimentos for 7/12.

473. Através do vértice C do triângulo ABC, uma linha reta m é traçada paralela ao lado AB. Prove que todos os triângulos com vértices na linha m e base AB têm áreas iguais.

474. Compare as áreas de dois triângulos nos quais um determinado triângulo é dividido por sua mediana.

475. Desenhe o triângulo ABC. Desenhe duas linhas retas através do vértice A para que elas dividam este triângulo em três triângulos com áreas iguais.

476. Prove que a área de um losango é igual à metade do produto de suas diagonais. Calcule a área de um losango se suas diagonais forem iguais a: a) 3,2 dm e 14 cm; b) 4,6 dm e 2 dm.

477. Encontre as diagonais de um losango se uma delas for 1,5 vezes maior que a outra e a área do losango for 27 cm 2.

478. Em um quadrilátero convexo, as diagonais são mutuamente perpendiculares. Prove que a área de um quadrilátero é igual à metade do produto de suas diagonais.

479. Os pontos D e E estão nos lados AB e AC do triângulo ABC. Encontre: a) S ADE, se AB = 5 cm, AC = 6 cm, AD = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2 ; b) AD, se AB = 8 cm, AC = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2, S ADE = 2 cm 2.

480. Encontre a área do trapézio ABCD com bases AB e CD se:

a) AB = 21 cm, CD = 17 cm, altura BH é 7 cm;
b) ∠D = 30°, AB = 2 cm, CD = 10 cm, DA = 8 cm;
c) BC ⊥ AB, AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 13 cm.

481. Encontre a área de um trapézio retangular cujos dois lados menores medem 6 cm e o ângulo maior mede 135°.

482. O ângulo obtuso de um trapézio isósceles é 135°, e a altitude traçada a partir do vértice desse ângulo divide a base maior em segmentos de 1,4 cm e 3,4 cm. Encontre a área do trapézio.

Respostas para problemas

459. a) 180cm2; b) 4cm; c) 18cm; e) 9.

460,156 cm2.

461,84 cm2.

462. 18cm2.

463,56,7 cm2.

464. a) 10cm; b) 4cm; c) 12 cm e 9 cm.

465. 12cm2.

466,115,52 cm2.

467. A área de um quadrado é maior.

468. a) 38,5cm2; b) 5√3cm2; c) d) 4√2cm.

470,5,625 cm.

471. a) 22cm2; b) 1,8dm2.

472. 14 cm e 24 cm.

473. Instrução. Use o Teorema 38.

474. As áreas dos triângulos são iguais.

475. Instrução. Primeiro, divida o lado BC em três partes iguais.

476. a) 224cm2; b) 4,6dm2. Observação. Observe que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si.

477. 6 cm e 9 cm.

479. a) 2cm2; b) 2,4 cm Instrução. Use o segundo teorema do parágrafo 53.

480. a) 133cm2; b) 24cm2; c) 72cm2.

481,54 cm2.

Um polígono é uma parte de um plano delimitada por uma linha tracejada fechada. Os ângulos de um polígono são indicados pelos pontos dos vértices do polígono. Os vértices dos cantos de um polígono e os vértices de um polígono são pontos coincidentes.

Definição. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos.

Propriedades de um paralelogramo

1. Os lados opostos são iguais.
Na Fig. onze AB = CD; a.C. = DE ANÚNCIOS.

2. Os ângulos opostos são iguais (dois ângulos agudos e dois ângulos obtusos).
Na Fig. 11∠ A = ∠C; ∠B = ∠D.

3 Diagonais (segmentos de linha que conectam dois vértices opostos) se cruzam e são divididos ao meio pelo ponto de interseção.

Na Fig. 11 segmentos A.O. = O.C.; B.O. = OD.

Definição. Um trapézio é um quadrilátero em que dois lados opostos são paralelos e os outros dois não.

Lados paralelos são chamadas dela razões, e os outros dois lados são lados.

Tipos de trapézios

1. Trapézio, cujos lados não são iguais,
chamado versátil(Fig. 12).

2. Um trapézio cujos lados são iguais é chamado isósceles(Fig. 13).

3. Um trapézio em que um dos lados forma um ângulo reto com as bases é chamado retangular(Fig. 14).

O segmento que conecta os pontos médios das faces laterais do trapézio (Fig. 15) é chamado de linha média do trapézio ( Minnesota). A linha média do trapézio é paralela às bases e igual à sua meia soma.

Um trapézio pode ser chamado de triângulo truncado (Fig. 17), portanto os nomes dos trapézios são semelhantes aos nomes dos triângulos (os triângulos são escalenos, isósceles, retangulares).

Área do paralelogramo e trapézio

Regra. Área de um paralelogramoé igual ao produto do seu lado pela altura desenhada para este lado.

Quadrado figura geométrica - uma característica numérica de uma figura geométrica mostrando o tamanho desta figura (parte da superfície limitada pelo contorno fechado desta figura). O tamanho da área é expresso pelo número de unidades quadradas nela contidas.

Fórmulas de área de triângulo

Fórmula para a área de um triângulo por lado e altura
Área de um triângulo igual à metade do produto do comprimento de um lado de um triângulo e o comprimento da altitude traçada para esse lado
Fórmula para a área de um triângulo com base em três lados e no raio do círculo circunscrito
Fórmula para a área de um triângulo baseada em três lados e no raio do círculo inscrito
Área de um triânguloé igual ao produto do semiperímetro do triângulo e o raio do círculo inscrito.

Fórmulas de área quadrada

Fórmula para a área de um quadrado pelo comprimento do lado
Área quadrada igual ao quadrado do comprimento do seu lado.
Fórmula para a área de um quadrado ao longo da diagonal
Área quadrada igual à metade do quadrado do comprimento de sua diagonal.
S = 1 2
2

Fórmula de área retangular

Área de um retângulo

Fórmulas de área do paralelogramo

Fórmula para a área de um paralelogramo com base no comprimento e altura do lado
Área de um paralelogramo
Fórmula para a área de um paralelogramo baseada em dois lados e no ângulo entre eles
Área de um paralelogramoé igual ao produto dos comprimentos de seus lados multiplicado pelo seno do ângulo entre eles.
a b sen α

Fórmulas para a área de um losango

Fórmula para a área de um losango com base no comprimento e altura do lado
Área de um losango igual ao produto do comprimento do seu lado e o comprimento da altura abaixada para este lado.
Fórmula para a área de um losango com base no comprimento e ângulo do lado
Área de um losangoé igual ao produto do quadrado do comprimento do seu lado e o seno do ângulo entre os lados do losango.
Fórmula para a área de um losango com base no comprimento de suas diagonais
Área de um losango igual à metade do produto dos comprimentos de suas diagonais.

Fórmulas de área trapezoidal

Fórmula de Heron para trapézio
Onde S é a área do trapézio,
- comprimentos das bases do trapézio,
- comprimentos dos lados do trapézio,

Área de um paralelogramo

Teorema 1

A área de um paralelogramo é definida como o produto do comprimento do seu lado pela altura desenhada nele.

onde $a$ é um lado do paralelogramo, $h$ é a altura desenhada para este lado.

Prova.

Seja-nos dado um paralelogramo $ABCD$ com $AD=BC=a$. Vamos desenhar as alturas $DF$ e $AE$ (Fig. 1).

Imagem 1.

Obviamente, o valor do $FDAE$ é um retângulo.

\[\ângulo BAE=(90)^0-\ângulo A,\ \] \[\ângulo CDF=\ângulo D-(90)^0=(180)^0-\ângulo A-(90)^0 =(90)^0-\ângulo A=\ângulo BAE\]

Consequentemente, como $CD=AB,\ DF=AE=h$, pelo critério $I$ para a igualdade dos triângulos $\triangle BAE=\triangle CDF$. Então

Então, de acordo com o teorema da área de um retângulo:

O teorema foi provado.

Teorema 2

A área de um paralelogramo é definida como o produto do comprimento de seus lados adjacentes pelo seno do ângulo entre esses lados.

Matematicamente isso pode ser escrito da seguinte forma

onde $a,\b$ são os lados do paralelogramo, $\alpha$ é o ângulo entre eles.

Prova.

Seja-nos dado um paralelogramo $ABCD$ com $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Vamos desenhar a altura $DF=h$ (Fig. 2).

Figura 2.

Pela definição de seno, obtemos

Por isso

Então, pelo Teorema $1$:

O teorema foi provado.

Área de um triângulo

Teorema 3

A área de um triângulo é definida como metade do produto do comprimento de seu lado pela altura traçada até ele.

Matematicamente isso pode ser escrito da seguinte forma

onde $a$ é um lado do triângulo, $h$ é a altura desenhada para esse lado.

Prova.

Figura 3.

Então, pelo Teorema $1$:

O teorema foi provado.

Teorema 4

A área de um triângulo é definida como metade do produto do comprimento de seus lados adjacentes e o seno do ângulo entre esses lados.

Matematicamente isso pode ser escrito da seguinte forma

onde $a,\b$ são os lados do triângulo, $\alpha$ é o ângulo entre eles.

Prova.

Seja-nos dado um triângulo $ABC$ com $AB=a$. Vamos encontrar a altura $CH=h$. Vamos construir um paralelogramo $ABCD$ (Fig. 3).

Obviamente, pelo critério $I$ para igualdade de triângulos, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Então

Então, pelo Teorema $1$:

O teorema foi provado.

Área do trapézio

Teorema 5

A área de um trapézio é definida como metade do produto da soma dos comprimentos de suas bases pela sua altura.

Matematicamente isso pode ser escrito da seguinte forma

Prova.

Seja-nos dado um trapézio $ABCK$, onde $AK=a,\ BC=b$. Desenhemos nele as alturas $BM=h$ e $KP=h$, bem como a diagonal $BK$ (Fig. 4).

Figura 4.

Pelo teorema $3$, obtemos

O teorema foi provado.

Exemplo de tarefa

Exemplo 1

Encontre a área de um triângulo equilátero se o comprimento de seu lado for $a.$

Solução.

Como o triângulo é equilátero, todos os seus ângulos são iguais a $(60)^0$.

Então, pelo Teorema $4$, temos

Responder:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Observe que o resultado deste problema pode ser usado para encontrar a área de qualquer triângulo equilátero com um determinado lado.

1) Saudação

2) Motivação da aula O professor verifica se a turma está preparada para a aula; motiva os alunos a formular um tópico.

Leia a definição no quadro (ficha temática) e insira o conceito em questão:

O tamanho da parte do plano ocupada pelo polígono é... (área)

Um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos aos pares - .... (paralelogramo)

Uma figura composta por três pontos que não estão na mesma reta e três segmentos que os conectam é chamada de .... (triângulo)

Uma figura em que dois lados são paralelos e os outros dois não são paralelos é chamada ... (trapézio)

A partir das palavras resultantes, tente criar o tema da nossa lição de hoje.

Então, o tema da lição….Áreas de um paralelogramo, triângulo, trapézio.

Áreas, que números podemos encontrar e como?

Calcule as áreas das figuras da Fig.

Existem outras soluções?

O que aconteceu?

Que tentativas foram feitas para encontrar a área?

Quem tentou encontrar a área de um paralelogramo? Diga-me.

Derivação da fórmula da área de um paralelogramo.

Tarefa.

Como “redesenhar” um paralelogramo para obter um retângulo com a mesma área?

O paralelogramo foi redesenhado em um retângulo. Isso significa que sua área é igual à área do retângulo.

Quais são o comprimento e a largura de um retângulo para um paralelogramo?

A área de um paralelogramo é igual ao produto de sua base pela sua altura.

Num paralelogramo, a base pode ser qualquer lado. E para aplicar a fórmula de localização da área, a altura deve ser traçada até a base.

Vamos calcular a área deste paralelogramo.

Derivação da fórmula da área de um triângulo.

Como você pode redesenhar ou completar um triângulo?

A área de um triângulo é igual à metade do produto de sua base pela altura.

E se o triângulo for retângulo?

Veja a fig.

Ele pode ser “redesenhado” em um retângulo.

E encontramos sua área usando a fórmula

S =uma *b . O comprimento do retângulo é metade da perna e a largura é a outra perna.

A área de um triângulo retângulo é igual à metade do produto de seus catetos.

Derivação da fórmula da área de um trapézio.

Veja como a treapecia foi “reformada” - em um triângulo. E encontramos a área do triângulo usando a fórmula:

A base do triângulo é a soma dos comprimentos da base superior e inferior, e a altura do triângulo é a altura do trapézio.

A área de um trapézio é igual ao produto da metade da soma de suas bases pela sua altura.

1) Encontre S vapor. , Se A=5, h =4.

2) Encontre o triângulo S. , Se A=3,5; h =2.

3) Encontre a escada S. , Se A=4,5; b = 2,5; h =3.

Conclua as tarefas de teste (veja o apêndice)

Revisão por pares de trabalhos independentes.

Resolvendo problemas em novo topico:

Nº 675(a,d), 676(a,b), 677(a,b)

Preparado para alunos fracos e com baixo desempenho trabalho individual em cartões, que inclui tarefas nas quais há um exemplo de registro de solução.

O professor se oferece para responder perguntas sobre um novo tópico.

Pessoal, vamos resumir!

O que você aprendeu na aula hoje?

O que você aprendeu a fazer?

O que foi difícil de decidir?

Comentários do professor trabalho de casa.

parágrafo 23 Nº 675(b,c), 676(c,d), 677(c,d)

Muito bem a todos!

A lição acabou. Adeus!