Como encontrar o mínimo múltiplo comum de 3 números. Mínimo múltiplo comum de LCM

Segundo número: b =

Separador de mil Sem separador de espaço "´

Resultado:

Mínimo múltiplo comum de MMC( a,b)=468

O maior número natural que pode ser dividido sem resto pelos números a e b é chamado máximo divisor comum(GCD) desses números. Denotado por mdc(a,b), (a,b), mdc(a,b) ou hcf(a,b).

Mínimo múltiplo comum O MMC de dois inteiros aeb é o menor número natural divisível por aeb sem resto. Denotado LCM(a,b) ou lcm(a,b).

Os inteiros a e b são chamados mutuamente primos, se eles não tiverem divisores comuns além de +1 e −1.

Maior divisor comum

Deixe dois serem dados números positivos a 1 e a 2 1). É necessário encontrar o divisor comum desses números, ou seja, encontre esse número λ , que divide números a 1 e a 2 ao mesmo tempo. Vamos descrever o algoritmo.

1) Neste artigo, a palavra número será entendida como um número inteiro.

Deixar a 1 ≥ a 2 e deixe

Onde eu 1 , a 3 são alguns números inteiros, a 3 <a 2 (resto da divisão a 1 por a 2 deveria ser menor a 2).

Vamos fingir que λ divide a 1 e a 2 então λ divide eu 1 a 2 e λ divide a 1 −eu 1 a 2 =a 3 (Enunciado 2 do artigo “Divisibilidade dos números. Teste de divisibilidade”). Segue-se que todo divisor comum a 1 e a 2 é o divisor comum a 2 e a 3. O inverso também é verdadeiro se λ divisor comum a 2 e a 3 então eu 1 a 2 e a 1 =eu 1 a 2 +a 3 também é divisível por λ . Portanto o divisor comum a 2 e a 3 também é um divisor comum a 1 e a 2. Porque a 3 <a 2 ≤a 1, então podemos dizer que a solução para o problema de encontrar o divisor comum dos números a 1 e a 2 reduzido ao problema mais simples de encontrar o divisor comum de números a 2 e a 3 .

Se a 3 ≠0, então podemos dividir a 2 por a 3. Então

Onde eu 1 e a 4 são alguns inteiros, ( a 4 resto da divisão a 2 por a 3 (a 4 <a 3)). Por raciocínio semelhante, chegamos à conclusão de que divisores comuns de números a 3 e a 4 coincide com divisores comuns de números a 2 e a 3, e também com divisores comuns a 1 e a 2. Porque a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... são números que estão constantemente diminuindo, e como existe um número finito de inteiros entre a 2 e 0, então em algum passo n, restante da divisão a não a n+1 será igual a zero ( a n+2 =0).

Todo divisor comum λ números a 1 e a 2 também é um divisor de números a 2 e a 3 , a 3 e a 4 , .... a n e a n+1. O inverso também é verdadeiro, divisores comuns de números a n e a n+1 também são divisores de números a n−1 e a n , .... , a 2 e a 3 , a 1 e a 2. Mas o divisor comum dos números a n e a n+1 é um número a n+1 , porque a n e a n+1 são divisíveis por a n+1 (lembre-se disso a n+2 =0). Por isso a n+1 também é um divisor de números a 1 e a 2 .

Observe que o número a n+1 é o maior divisor de números a n e a n+1 , já que o maior divisor a n+1 é ele mesmo a n+1. Se a n+1 pode ser representado como um produto de números inteiros, então esses números também são divisores comuns de números a 1 e a 2. Número a n+1 é chamado máximo divisor comum números a 1 e a 2 .

Números a 1 e a 2 podem ser números positivos ou negativos. Se um dos números for igual a zero, então o máximo divisor comum desses números será igual ao valor absoluto do outro número. O máximo divisor comum de zero números é indefinido.

O algoritmo acima é chamado Algoritmo euclidiano para encontrar o máximo divisor comum de dois inteiros.

Um exemplo de como encontrar o máximo divisor comum de dois números

Encontre o máximo divisor comum de dois números 630 e 434.

Passo 1. Divida o número 630 por 434. O restante é 196.
Passo 2. Divida o número 434 por 196. O resto é 42.
Passo 3. Divida o número 196 por 42. O resto é 28.
Passo 4. Divida o número 42 por 28. O resto é 14.
Passo 5. Divida o número 28 por 14. O resto é 0.

No passo 5, o resto da divisão é 0. Portanto, o máximo divisor comum dos números 630 e 434 é 14. Observe que os números 2 e 7 também são divisores dos números 630 e 434.

Números coprimos

Definição 1. Deixe o maior divisor comum dos números a 1 e a 2 é igual a um. Então esses números são chamados números coprimos, não tendo divisor comum.

Teorema 1. Se a 1 e a 2 números coprimos, e λ algum número, então qualquer divisor comum de números λa 1 e a 2 também é um divisor comum de números λ E a 2 .

Prova. Considere o algoritmo euclidiano para encontrar o máximo divisor comum de números a 1 e a 2 (veja acima).

Das condições do teorema segue-se que o máximo divisor comum dos números a 1 e a 2 e portanto a n e a n+1 é 1. Isso é a n+1 =1.

Vamos multiplicar todas essas igualdades por λ , Então

Deixe o divisor comum a 1 λ E a 2 sim δ . Então δ é incluído como um multiplicador em a 1 λ , eu 1 a 2 λ e em a 1 λ -eu 1 a 2 λ =a 3 λ (ver "Divisibilidade dos números", Declaração 2). Avançar δ é incluído como um multiplicador em a 2 λ E eu 2 a 3 λ e, portanto, é um fator a 2 λ -eu 2 a 3 λ =a 4 λ .

Raciocinando desta forma, estamos convencidos de que δ é incluído como um multiplicador em a n-1 λ E eu n-1 a n λ , e portanto em a n-1 λ −eu n-1 a n λ =a n+1 λ . Porque a n+1 =1, então δ é incluído como um multiplicador em λ . Portanto o número δ é o divisor comum dos números λ E a 2 .

Consideremos casos especiais do Teorema 1.

Consequência 1. Deixar a E c Os números primos são relativamente b. Então o produto deles acé um número primo em relação a b.

Realmente. Do Teorema 1 ac E b têm os mesmos divisores comuns que c E b. Mas os números c E b relativamente simples, ou seja, tem um único divisor comum 1. Então ac E b também têm um único divisor comum 1. Portanto ac E b mutuamente simples.

Consequência 2. Deixar a E b números coprimos e deixe b divide ok. Então b divide e k.

Realmente. Da condição de aprovação ok E b tem um divisor comum b. Em virtude do Teorema 1, b deve ser um divisor comum b E k. Por isso b divide k.

O corolário 1 pode ser generalizado.

Consequência 3. 1. Deixe os números a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m são primos em relação ao número b. Então a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, o produto desses números é primo em relação ao número b.

2. Tenhamos duas linhas de números

tal que todo número da primeira série é primo na razão de todos os números da segunda série. Então o produto

Você precisa encontrar números que sejam divisíveis por cada um desses números.

Se um número for divisível por a 1, então tem a forma sa 1 onde é algum número. Se qé o máximo divisor comum de números a 1 e a 2, então

Onde é 1 é algum número inteiro. Então

é mínimos múltiplos comuns de números a 1 e a 2 .

a 1 e a 2 são relativamente primos, então o mínimo múltiplo comum dos números a 1 e a 2:

Precisamos de determinar o mínimo múltiplo comum destes números.

Do exposto segue-se que qualquer múltiplo de números a 1 , a 2 , a 3 deve ser um múltiplo de números ε E a 3 e vice-versa. Seja o mínimo múltiplo comum dos números ε E a 3 sim ε 1. A seguir, múltiplos de números a 1 , a 2 , a 3 , a 4 deve ser um múltiplo de números ε 1 e a 4. Seja o mínimo múltiplo comum dos números ε 1 e a 4 sim ε 2. Assim, descobrimos que todos os múltiplos de números a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m coincide com múltiplos de um certo número ε n, que é chamado de mínimo múltiplo comum dos números fornecidos.

No caso especial quando os números a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m são relativamente primos, então o mínimo múltiplo comum dos números a 1 , a 2, conforme mostrado acima, tem a forma (3). A seguir, desde a 3 primos em relação aos números a 1 , a 2 então a 3 número primo a 1 · a 2 (Corolário 1). Significa o mínimo múltiplo comum de números a 1 ,a 2 ,a 3 é um número a 1 · a 2 · a 3. Raciocinando de maneira semelhante, chegamos às seguintes afirmações.

Declaração 1. Mínimo múltiplo comum de números primos a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m é igual ao seu produto a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Declaração 2. Qualquer número que seja divisível por cada um dos números primos a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m também é divisível pelo seu produto a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Mas muitos números naturais também são divisíveis por outros números naturais.

Por exemplo:

O número 12 é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;

O número 36 é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.

Os números pelos quais o número é divisível por um inteiro (para 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12) são chamados divisores de números. Divisor de um número natural a- é um número natural que divide um determinado número a sem deixar vestígios. Um número natural que possui mais de dois divisores é chamado composto .

Observe que os números 12 e 36 têm fatores comuns. Esses números são: 1, 2, 3, 4, 6, 12. O maior divisor desses números é 12. O divisor comum desses dois números a E b- este é o número pelo qual ambos os números dados são divididos sem resto a E b.

Múltiplos comuns vários números é um número que é divisível por cada um desses números. Por exemplo, os números 9, 18 e 45 têm um múltiplo comum de 180. Mas 90 e 360 também são seus múltiplos comuns. Entre todos os múltiplos comuns há sempre o menor, neste caso é 90. Este número é chamado o menormúltiplo comum (CMM).

O MMC é sempre um número natural que deve ser maior que o maior dos números para os quais está definido.

Mínimo múltiplo comum (LCM). Propriedades.

Comutatividade:

Associatividade:

Em particular, se e são números primos, então:

Mínimo múltiplo comum de dois inteiros eu E né um divisor de todos os outros múltiplos comuns eu E n. Além disso, o conjunto de múltiplos comuns m, n coincide com o conjunto de múltiplos do LCM( m, n).

Os assintóticos para podem ser expressos em termos de algumas funções da teoria dos números.

Então, Função Chebyshev. E:

Isto decorre da definição e propriedades da função Landau g(n).

O que se segue da lei de distribuição dos números primos.

Encontrando o mínimo múltiplo comum (LCM).

NOC( um, b) pode ser calculado de várias maneiras:

1. Se o máximo divisor comum for conhecido, você pode usar sua conexão com o LCM:

2. Seja conhecida a decomposição canônica de ambos os números em fatores primos:

Onde p 1 ,...,p k- vários números primos, e d 1 ,...,d k E e 1 ,...,e k— inteiros não negativos (podem ser zeros se o primo correspondente não estiver na expansão).

Então NOC ( a,b) é calculado pela fórmula:

Em outras palavras, a decomposição LCM contém todos os fatores primos incluídos em pelo menos uma das decomposições de números um, b, e o maior dos dois expoentes deste multiplicador é obtido.

Exemplo:

O cálculo do mínimo múltiplo comum de vários números pode ser reduzido a vários cálculos sequenciais do MMC de dois números:

Regra. Para encontrar o MMC de uma série de números, você precisa:

- decompor números em fatores primos;

- transferir a maior decomposição (o produto dos fatores do maior número dos dados) para os fatores do produto desejado e, em seguida, adicionar fatores da decomposição de outros números que não aparecem no primeiro número ou aparecem nele menos vezes;

— o produto resultante de fatores primos será o MMC dos números fornecidos.

Quaisquer dois ou mais números naturais têm seu próprio MMC. Se os números não forem múltiplos entre si ou não tiverem os mesmos fatores na expansão, então seu MMC será igual ao produto desses números.

Os fatores primos do número 28 (2, 2, 7) são complementados com um fator 3 (o número 21), o produto resultante (84) será o menor número divisível por 21 e 28.

Os fatores primos do maior número 30 são complementados pelo fator 5 do número 25, o produto resultante 150 é maior que o maior número 30 e é divisível por todos os números dados sem deixar resto. Este é o menor produto possível (150, 250, 300...) que é um múltiplo de todos os números dados.

Os números 2,3,11,37 são números primos, então seu MMC é igual ao produto dos números fornecidos.

Regra. Para calcular o MMC de números primos, você precisa multiplicar todos esses números.

Outra opção:

Para encontrar o mínimo múltiplo comum (MCC) de vários números, você precisa:

1) representar cada número como um produto de seus fatores primos, por exemplo:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) anote as potências de todos os fatores primos:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) anote todos os divisores primos (multiplicadores) de cada um desses números;

4) escolher a maior potência de cada um deles, encontrada em todas as expansões desses números;

5) multiplique esses poderes.

Exemplo. Encontre o MMC dos números: 168, 180 e 3024.

Solução. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Escrevemos as maiores potências de todos os divisores primos e as multiplicamos:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Um múltiplo é um número que é divisível por um determinado número sem deixar resto. O mínimo múltiplo comum (MCM) de um grupo de números é o menor número divisível por cada número do grupo sem deixar resto. Para encontrar o mínimo múltiplo comum, você precisa encontrar os fatores primos de determinados números. O MMC também pode ser calculado usando vários outros métodos que se aplicam a grupos de dois ou mais números.

Passos

Série de múltiplos

Veja esses números. O método descrito aqui é melhor usado quando são dados dois números, cada um deles menor que 10. Se forem dados números maiores, use um método diferente.

Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum de 5 e 8. Esses números são pequenos, então você pode usar este método.

Um múltiplo é um número que é divisível por um determinado número sem deixar resto. Os múltiplos podem ser encontrados na tabuada.
- Por exemplo, os números múltiplos de 5 são: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
Escreva uma série de números que sejam múltiplos do primeiro número. Faça isso sob múltiplos do primeiro número para comparar dois conjuntos de números.
- Por exemplo, os números múltiplos de 8 são: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 e 64.
Encontre o menor número presente em ambos os conjuntos de múltiplos. Talvez seja necessário escrever longas séries de múltiplos para encontrar o número total. O menor número presente em ambos os conjuntos de múltiplos é o mínimo múltiplo comum.
- Por exemplo, o menor número que aparece na série de múltiplos de 5 e 8 é o número 40. Portanto, 40 é o mínimo múltiplo comum de 5 e 8.
Fatoração principal
1. Veja esses números. O método descrito aqui é melhor usado quando são fornecidos dois números, cada um deles maior que 10. Se forem fornecidos números menores, use um método diferente.
  - Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum dos números 20 e 84. Cada um dos números é maior que 10, então você pode usar este método.
2. Fatore o primeiro número em fatores primos. Ou seja, você precisa encontrar os números primos que, quando multiplicados, resultarão em um determinado número. Depois de encontrar os fatores primos, escreva-os como igualdades.
  - Por exemplo, 2 × 10 = 20 (\ displaystyle (\ mathbf (2) )\ vezes 10=20) E 2 × 5 = 10 (\ displaystyle (\ mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Assim, os fatores primos do número 20 são os números 2, 2 e 5. Escreva-os como uma expressão: .
3. Fatore o segundo número em fatores primos. Faça isso da mesma forma que fatorou o primeiro número, ou seja, encontre os números primos que, quando multiplicados, resultarão no número fornecido.
  - Por exemplo, 2 × 42 = 84 (\ displaystyle (\ mathbf (2) )\ vezes 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\vezes 6=42) E 3 × 2 = 6 (\ displaystyle (\ mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Assim, os fatores primos do número 84 são os números 2, 7, 3 e 2. Escreva-os como uma expressão: .
4. Anote os fatores comuns a ambos os números. Escreva esses fatores como uma operação de multiplicação. Ao escrever cada fator, risque-o em ambas as expressões (expressões que descrevem a fatoração de números em fatores primos).
  - Por exemplo, ambos os números têm um fator comum de 2, então escreva 2 × (\estilo de exibição 2\vezes) e risque o 2 em ambas as expressões.
  - O que ambos os números têm em comum é outro fator de 2, então escreva 2 × 2 (\estilo de exibição 2\vezes 2) e risque o segundo 2 em ambas as expressões.
5. Adicione os fatores restantes à operação de multiplicação. São fatores que não estão riscados em ambas as expressões, ou seja, fatores que não são comuns aos dois números.
  - Por exemplo, na expressão 20 = 2 × 2 × 5 (\estilo de exibição 20=2\vezes 2\vezes 5) Ambos os dois (2) estão riscados porque são fatores comuns. O fator 5 não está riscado, então escreva a operação de multiplicação assim: 2 × 2 × 5 (\estilo de exibição 2\vezes 2\vezes 5)
  - Em expressão 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\vezes 7\vezes 3\vezes 2) ambos os dois (2) também estão riscados. Os fatores 7 e 3 não estão riscados, então escreva a operação de multiplicação assim: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\vezes 2\vezes 5\vezes 7\vezes 3).
6. Calcule o mínimo múltiplo comum. Para fazer isso, multiplique os números na operação de multiplicação escrita.
  - Por exemplo, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\estilo de exibição 2\vezes 2\vezes 5\vezes 7\vezes 3=420). Portanto, o mínimo múltiplo comum de 20 e 84 é 420.
Encontrando fatores comuns
1. Desenhe uma grade como se fosse um jogo da velha. Tal grade consiste em duas linhas paralelas que se cruzam (em ângulos retos) com outras duas linhas paralelas. Isso lhe dará três linhas e três colunas (a grade se parece muito com o ícone #). Escreva o primeiro número na primeira linha e na segunda coluna. Escreva o segundo número na primeira linha e na terceira coluna.
  - Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum dos números 18 e 30. Escreva o número 18 na primeira linha e na segunda coluna e escreva o número 30 na primeira linha e na terceira coluna.
2. Encontre o divisor comum a ambos os números. Escreva na primeira linha e na primeira coluna. É melhor procurar fatores primos, mas isso não é obrigatório.
  - Por exemplo, 18 e 30 são números pares, então seu fator comum é 2. Portanto, escreva 2 na primeira linha e na primeira coluna.
3. Divida cada número pelo primeiro divisor. Escreva cada quociente sob o número apropriado. Um quociente é o resultado da divisão de dois números.
  - Por exemplo, 18 ÷ 2 = 9 (\estilo de exibição 18\div 2=9), então escreva 9 menores de 18 anos.
  - 30 ÷ 2 = 15 (\estilo de exibição 30\div 2=15), então anote 15 abaixo de 30.
4. Encontre o divisor comum a ambos os quocientes. Se não existir tal divisor, pule as próximas duas etapas. Caso contrário, escreva o divisor na segunda linha e na primeira coluna.
  - Por exemplo, 9 e 15 são divisíveis por 3, então escreva 3 na segunda linha e na primeira coluna.
5. Divida cada quociente por seu segundo divisor. Escreva cada resultado de divisão sob o quociente correspondente.
  - Por exemplo, 9 ÷ 3 = 3 (\estilo de exibição 9\div 3=3), então escreva 3 abaixo de 9.
  - 15 ÷ 3 = 5 (\estilo de exibição 15\div 3=5), então escreva 5 com menos de 15 anos.
6. Se necessário, adicione células adicionais à grade. Repita as etapas descritas até que os quocientes tenham um divisor comum.
7. Circule os números na primeira coluna e na última linha da grade. Em seguida, escreva os números selecionados como uma operação de multiplicação.
  - Por exemplo, os números 2 e 3 estão na primeira coluna e os números 3 e 5 estão na última linha, então escreva a operação de multiplicação assim: 2 × 3 × 3 × 5 (\estilo de exibição 2\vezes 3\vezes 3\vezes 5).
8. Encontre o resultado da multiplicação de números. Isso calculará o mínimo múltiplo comum de dois números fornecidos.
  - Por exemplo, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\estilo de exibição 2\vezes 3\vezes 3\vezes 5=90). Portanto, o mínimo múltiplo comum de 18 e 30 é 90.
Algoritmo de Euclides
1. Lembre-se da terminologia associada à operação de divisão. O dividendo é o número que está sendo dividido. O divisor é o número pelo qual está sendo dividido. Um quociente é o resultado da divisão de dois números. Um resto é o número que resta quando dois números são divididos.
  - Por exemplo, na expressão 15 ÷ 6 = 2 (\estilo de exibição 15\div 6=2) ost. 3:
    15 é o dividendo
    6 é um divisor
    2 é quociente
    3 é o resto.

Expressões e problemas matemáticos requerem muito conhecimento adicional. NOC é um dos principais, especialmente usado em O tema é estudado no ensino médio e não é particularmente difícil de entender o material; uma pessoa familiarizada com potências e tabuada não terá dificuldade em identificar os números necessários e descobrir o resultado.

Definição

Um múltiplo comum é um número que pode ser completamente dividido em dois números ao mesmo tempo (a e b). Na maioria das vezes, esse número é obtido multiplicando os números originais a e b. O número deve ser divisível pelos dois números ao mesmo tempo, sem desvios.

NOC é a abreviação adotada para a designação, coletada a partir das primeiras letras.

Maneiras de obter um número

O método de multiplicação de números nem sempre é adequado para encontrar o MMC; é muito mais adequado para números simples de um ou dois dígitos. É costume dividir em fatores: quanto maior o número, mais fatores haverá.

Exemplo 1

Para o exemplo mais simples, as escolas geralmente usam números primos, de um ou dois dígitos. Por exemplo, você precisa resolver a seguinte tarefa, encontrar o mínimo múltiplo comum dos números 7 e 3, a solução é bastante simples, basta multiplicá-los. Como resultado, existe um número 21, simplesmente não existe um número menor.

Exemplo nº 2

A segunda versão da tarefa é muito mais difícil. São dados os números 300 e 1260, sendo obrigatório encontrar o LOC. Para resolver o problema, são assumidas as seguintes ações:

Decomposição do primeiro e do segundo números em fatores simples. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. A primeira etapa está concluída.

A segunda etapa envolve trabalhar com dados já obtidos. Cada um dos números recebidos deverá participar do cálculo do resultado final. Para cada fator, o maior número de ocorrências é retirado dos números originais. LCM é um número geral, portanto nele os fatores dos números devem ser repetidos, cada um deles, mesmo aqueles que estão presentes em uma cópia. Ambos os números iniciais contêm os números 2, 3 e 5, em potências diferentes; 7 está presente apenas em um caso.

Para calcular o resultado final, você precisa colocar cada número na maior das potências representadas na equação. Resta multiplicar e obter a resposta; se preenchida corretamente, a tarefa cabe em duas etapas sem explicação:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Esse é o problema: se você tentar calcular o número necessário por multiplicação, a resposta definitivamente não estará correta, pois 300 * 1260 = 378.000.

Exame:

6300/300 = 21 - correto;

6300/1260 = 5 - correto.

A exatidão do resultado obtido é determinada verificando - dividindo o MMC pelos dois números originais; se o número for um número inteiro em ambos os casos, a resposta está correta.

O que NOC significa em matemática?

Como você sabe, não existe uma única função inútil na matemática, esta não é exceção. O objetivo mais comum desse número é reduzir as frações a um denominador comum. O que geralmente é estudado da 5ª à 6ª série do ensino médio. Além disso, é também um divisor comum para todos os múltiplos, se tais condições estiverem presentes no problema. Tal expressão pode encontrar um múltiplo não apenas de dois números, mas também de um número muito maior - três, cinco e assim por diante. Quanto mais números, mais ações na tarefa, mas a complexidade não aumenta.

Por exemplo, dados os números 250, 600 e 1500, você precisa encontrar seu MMC comum:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - este exemplo descreve a fatoração em detalhes, sem redução.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Para compor uma expressão é necessário mencionar todos os fatores, neste caso são dados 2, 5, 3 - para todos esses números é necessário determinar o grau máximo.

Atenção: todos os fatores devem ser levados ao ponto de simplificação total, se possível, decompostos ao nível de um dígito.

Exame:

1) 3000/250 = 12 - correto;

2) 3000/600 = 5 - verdadeiro;

3) 3000/1500 = 2 - correto.

Este método não requer truques ou habilidades geniais, tudo é simples e claro.

Outra maneira

Em matemática, muitas coisas estão conectadas, muitas coisas podem ser resolvidas de duas ou mais maneiras, o mesmo vale para encontrar o mínimo múltiplo comum, MMC. O método a seguir pode ser usado no caso de números simples de dois e um dígito. É compilada uma tabela na qual o multiplicando é inserido verticalmente, o multiplicador horizontalmente e o produto é indicado nas células que se cruzam da coluna. Você pode refletir a tabela usando uma linha, pegar um número e anotar os resultados da multiplicação desse número por inteiros, de 1 ao infinito, às vezes 3-5 pontos são suficientes, o segundo e os números subsequentes passam pelo mesmo processo computacional. Tudo acontece até que um múltiplo comum seja encontrado.

Dados os números 30, 35, 42, você precisa encontrar o MMC conectando todos os números:

1) Múltiplos de 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, etc.

2) Múltiplos de 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, etc.

3) Múltiplos de 42: 84, 126, 168, 210, 252, etc.

É perceptível que todos os números são bem diferentes, o único número comum entre eles é 210, então será o NOC. Entre os processos envolvidos neste cálculo existe também um máximo divisor comum, que é calculado de acordo com princípios semelhantes e é frequentemente encontrado em problemas vizinhos. A diferença é pequena, mas bastante significativa, o LCM envolve o cálculo do número que é dividido por todos os valores iniciais dados, e o GCD envolve o cálculo do maior valor pelo qual os números originais são divididos.

Os alunos recebem muitas tarefas de matemática. Entre eles, muitas vezes há problemas com a seguinte formulação: existem dois significados. Como encontrar o mínimo múltiplo comum de determinados números? É necessário saber realizar tais tarefas, pois as habilidades adquiridas servem para trabalhar com frações com denominadores diferentes. Neste artigo veremos como encontrar LOC e conceitos básicos.

Antes de encontrar a resposta para a questão de como encontrar o MMC, você precisa definir o termo múltiplo. Na maioria das vezes, a formulação deste conceito soa assim: um múltiplo de um determinado valor A é um número natural que será divisível por A sem resto. Portanto, para 4, os múltiplos serão 8, 12, 16, 20, e assim por diante, até o limite exigido.

Nesse caso, o número de divisores para um valor específico pode ser limitado, mas os múltiplos são infinitos. Também existe o mesmo valor para valores naturais. Este é um indicador que se divide entre eles sem deixar resto. Tendo entendido o conceito de menor valor para determinados indicadores, vamos ver como encontrá-lo.

Encontrando o NOC

O mínimo múltiplo de dois ou mais expoentes é o menor número natural totalmente divisível por todos os números especificados.

Existem várias maneiras de encontrar esse valor, considere os seguintes métodos:

Se os números forem pequenos, anote em uma linha todos aqueles que são divisíveis por ele. Continue fazendo isso até encontrar algo em comum entre eles. Por escrito, eles são indicados pela letra K. Por exemplo, para 4 e 3, o menor múltiplo é 12.
Se estes forem grandes ou você precisar encontrar um múltiplo de 3 ou mais valores, então você deve usar outra técnica que envolva a decomposição de números em fatores primos. Primeiro, coloque o maior listado e depois todos os outros. Cada um deles tem seu próprio número de multiplicadores. Como exemplo, vamos decompor 20 (2*2*5) e 50 (5*5*2). Para o menor, sublinhe os fatores e some-os ao maior. O resultado será 100, que será o mínimo múltiplo comum dos números acima.
Ao encontrar 3 números (16, 24 e 36) os princípios são os mesmos dos outros dois. Vamos expandir cada um deles: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Apenas dois dois da expansão do número 16 não foram incluídos na expansão do maior, somamos e obtemos 144, que é o menor resultado para os valores numéricos indicados anteriormente.

Agora sabemos qual é a técnica geral para determinar o menor valor para dois, três ou mais valores. No entanto, também existem métodos privados, ajudando na busca pelo NOC caso os anteriores não ajudem.

Como encontrar GCD e NOC.

Métodos privados de localização

Como acontece com qualquer seção matemática, existem casos especiais de localização de MMC que ajudam em situações específicas:

se um dos números for divisível pelos outros sem resto, então o menor múltiplo desses números é igual a ele (o MMC de 60 e 15 é 15);
números relativamente primos não têm fatores primos comuns. Seu menor valor é igual ao produto desses números. Assim, para os números 7 e 8 será 56;
a mesma regra vale para outros casos, inclusive especiais, que podem ser lidos na literatura especializada. Isso também deve incluir casos de decomposição de números compostos, que são tema de artigos individuais e até mesmo de dissertações de candidatos.

Casos especiais são menos comuns que exemplos padrão. Mas graças a eles você pode aprender a trabalhar com frações de vários graus de complexidade. Isto é especialmente verdadeiro para frações, onde existem denominadores desiguais.

Poucos exemplos

Vejamos alguns exemplos que ajudarão você a entender o princípio de encontrar o mínimo múltiplo:

Encontre o LOC (35; 40). Primeiro decompomos 35 = 5*7, depois 40 = 5*8. Adicione 8 ao menor número e obtenha LOC 280.
NOC (45; 54). Decompomos cada um deles: 45 = 3*3*5 e 54 = 3*3*6. Adicionamos o número 6 a 45. Obtemos um MMC igual a 270.
Bem, o último exemplo. Existem 5 e 4. Não existem múltiplos primos deles, então o mínimo múltiplo comum neste caso será o seu produto, que é igual a 20.

Graças aos exemplos, você poderá entender como o NOC está localizado, quais são as nuances e qual o significado de tais manipulações.

Encontrar NOC é muito mais fácil do que pode parecer inicialmente. Para fazer isso, são usadas tanto a expansão simples quanto a multiplicação de valores simples entre si.. A capacidade de trabalhar com esta seção da matemática ajuda no estudo mais aprofundado de tópicos matemáticos, especialmente frações de vários graus de complexidade.

Não se esqueça de resolver exemplos periodicamente usando métodos diferentes; isso desenvolve seu aparato lógico e permite que você se lembre de vários termos. Aprenda como encontrar esse expoente e você se sairá bem no restante das seções de matemática. Feliz aprendizado de matemática!

Vídeo

Este vídeo ajudará você a entender e lembrar como encontrar o mínimo múltiplo comum.