Vejamos exemplos de divisão de decimais sob esta luz.

Exemplo.

Divida a fração decimal 1,2 pela fração decimal 0,48.

Solução.

Responder:

1,2:0,48=2,5 .

Exemplo.

Divida a fração decimal periódica 0.(504) pela fração decimal 0,56.

Solução.

Vamos converter a fração decimal periódica em uma fração ordinária: . Também convertemos a fração decimal final 0,56 em uma fração ordinária, temos 0,56 = 56/100. Agora podemos passar da divisão dos decimais originais para a divisão das frações ordinárias e finalizar os cálculos: .

Vamos traduzir o recebido fração comum para uma fração decimal dividindo o numerador pelo denominador com uma coluna:

Responder:

0,(504):0,56=0,(900) .

O princípio da divisão de infinitas frações decimais não periódicas difere do princípio de divisão de frações decimais finitas e periódicas, uma vez que frações decimais não periódicas não podem ser convertidas em frações ordinárias. A divisão de frações decimais não periódicas infinitas é reduzida à divisão de frações decimais finitas, para as quais realizamos arredondamento de números até um certo nível. Além disso, se um dos números com os quais a divisão é realizada for uma fração decimal finita ou periódica, ele também será arredondado para o mesmo dígito da fração decimal não periódica.

Exemplo.

Divida o decimal infinito não periódico 0,779... pelo decimal finito 1,5602.

Solução.

Primeiro, você precisa arredondar os decimais para poder passar da divisão de decimais infinitos não periódicos para a divisão de decimais finitos. Podemos arredondar para o centésimo mais próximo: 0,779…≈0,78 e 1,5602≈1,56. Assim, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100·100/156= 78/156=1/2=0,5 .

Responder:

0,779…:1,5602≈0,5 .

Dividindo um número natural por uma fração decimal e vice-versa

A essência da abordagem para dividir um número natural por uma fração decimal e dividir uma fração decimal por um número natural não é diferente da essência da divisão de frações decimais. Ou seja, as frações finitas e periódicas são substituídas por frações ordinárias e infinitas frações não periódicas são arredondadas.

Para ilustrar, considere o exemplo da divisão de uma fração decimal por um número natural.

Exemplo.

Divida a fração decimal 25,5 pelo número natural 45.

Solução.

Ao substituir a fração decimal 25,5 pela fração comum 255/10=51/2, a divisão se reduz à divisão da fração comum por um número natural:. A fração resultante em notação decimal tem o formato 0.5(6) .

Responder:

25,5:45=0,5(6) .

Dividindo uma fração decimal por um número natural com uma coluna

É conveniente dividir frações decimais finitas em números naturais por uma coluna, por analogia com a divisão por uma coluna de números naturais. Vamos apresentar a regra da divisão.

Para dividir uma fração decimal por um número natural usando uma coluna, necessário:

• adicione vários dígitos 0 à direita da fração decimal que está sendo dividida (durante o processo de divisão, se necessário, você pode adicionar qualquer número de zeros, mas esses zeros podem não ser necessários);
• realizar a divisão por uma coluna de uma fração decimal por um número natural de acordo com todas as regras de divisão por uma coluna de números naturais, mas quando a divisão de toda a parte da fração decimal for concluída, então no quociente você precisa colocar uma vírgula e continue a divisão.

Digamos imediatamente que, como resultado da divisão de uma fração decimal finita por um número natural, você pode obter uma fração decimal finita ou uma fração decimal periódica infinita. Na verdade, após a divisão de todas as casas decimais diferentes de 0 da fração que está sendo dividida ser concluída, ou o resto pode ser 0, e obteremos a fração decimal final, ou os restos começarão a se repetir periodicamente, e obteremos um fração decimal periódica.

Vamos entender todos os meandros da divisão de frações decimais por números naturais em uma coluna ao resolver exemplos.

Exemplo.

Divida a fração decimal 65,14 por 4.

Solução.

Vamos dividir uma fração decimal por um número natural usando uma coluna. Vamos adicionar alguns zeros à direita na notação da fração 65,14 e obteremos uma fração decimal igual 65,1400 (veja frações decimais iguais e desiguais). Agora você pode começar a dividir com uma coluna a parte inteira da fração decimal 65,1400 pelo número natural 4:

Isso completa a divisão da parte inteira da fração decimal. Aqui no quociente você precisa colocar uma vírgula e continuar a divisão:

Chegamos ao resto 0, nesta fase termina a divisão pela coluna. Como resultado, temos 65,14:4=16,285.

Responder:

65,14:4=16,285 .

Exemplo.

Divida 164,5 por 27.

Solução.

Vamos dividir a fração decimal por um número natural usando uma coluna. Depois de dividir a parte inteira obtemos a seguinte imagem:

Agora colocamos uma vírgula no quociente e continuamos dividindo com uma coluna:

Agora é claramente visível que os resíduos 25, 7 e 16 começaram a se repetir, enquanto no quociente os números 9, 2 e 5 se repetem. Assim, dividir o decimal 164,5 por 27 nos dá o decimal periódico 6.0(925) .

Responder:

164,5:27=6,0(925) .

Divisão de coluna de frações decimais

A divisão de uma fração decimal por uma fração decimal pode ser reduzida à divisão de uma fração decimal por um número natural com uma coluna. Para fazer isso, o dividendo e o divisor devem ser multiplicados por um número como 10, ou 100, ou 1.000, etc., para que o divisor se torne um número natural, e então dividido por um número natural com uma coluna. Podemos fazer isso devido às propriedades de divisão e multiplicação, já que a:b=(a·10):(b·10) , a:b=(a·100):(b·100) e assim por diante.

Em outras palavras, para dividir um decimal final por um decimal final, preciso:

• no dividendo e no divisor, mova a vírgula para a direita tantas casas quantas houver após a vírgula no divisor; se no dividendo não houver sinais suficientes para mover a vírgula, então você precisa adicionar o número necessário de zeros à direita;
• Depois disso, divida com uma coluna decimal por um número natural.

Ao resolver um exemplo, considere a aplicação desta regra de divisão por uma fração decimal.

Exemplo.

Divida com uma coluna 7,287 por 2,1.

Solução.

Vamos mover a vírgula nessas frações decimais um dígito para a direita, isso nos permitirá passar da divisão da fração decimal 7,287 pela fração decimal 2,1 para a divisão da fração decimal 72,87 pelo número natural 21. Vamos fazer a divisão por coluna:

Responder:

7,287:2,1=3,47 .

Exemplo.

Divida o decimal 16,3 pelo decimal 0,021.

Solução.

Mova a vírgula no dividendo e no divisor para as três casas à direita. Obviamente, o divisor não possui dígitos suficientes para mover a vírgula decimal, então adicionaremos o número necessário de zeros à direita. Agora vamos dividir a fração 16300,0 com uma coluna pelo número natural 21:

A partir deste momento, os restos 4, 19, 1, 10, 16 e 13 começam a se repetir, o que significa que os números 1, 9, 0, 4, 7 e 6 do quociente também se repetirão. Como resultado, obtemos a fração decimal periódica 776,(190476) .

Responder:

16,3:0,021=776,(190476) .

Observe que a regra anunciada permite dividir um número natural por uma coluna em uma fração decimal final.

Exemplo.

Divida o número natural 3 pela fração decimal 5,4.

Solução.

Depois de mover a vírgula um dígito para a direita, chegamos à divisão do número 30,0 por 54. Vamos fazer a divisão por coluna:
.

Esta regra também pode ser aplicada ao dividir frações decimais infinitas por 10, 100, .... Por exemplo, 3,(56):1.000=0,003(56) e 593,374…:100=5,93374… .

Dividindo decimais por 0,1, 0,01, 0,001, etc.

Como 0,1 = 1/10, 0,01 = 1/100, etc., então da regra de divisão por uma fração comum segue-se que divida a fração decimal por 0,1, 0,01, 0,001, etc. é o mesmo que multiplicar um determinado decimal por 10, 100, 1.000, etc. respectivamente.

Em outras palavras, para dividir uma fração decimal por 0,1, 0,01, ... você precisa mover a vírgula para a direita em 1, 2, 3, ... dígitos, e se os dígitos da fração decimal não forem suficientes para mover a vírgula decimal, você precisa adicionar o número necessário aos zeros à direita.

Por exemplo, 5,739:0,1=57,39 e 0,21:0,00001=21.000.

A mesma regra pode ser aplicada ao dividir frações decimais infinitas por 0,1, 0,01, 0,001, etc. Neste caso, deve-se ter muito cuidado ao dividir as frações periódicas para não se confundir com o período da fração que se obtém com a divisão. Por exemplo, 7,5(716):0,01=757,(167), pois após mover a vírgula na fração decimal 7,5716716716... duas casas para a direita, temos a entrada 757,167167.... Com infinitas frações decimais não periódicas tudo é mais simples: 394,38283…:0,001=394382,83… .

Dividir uma fração ou número misto por um decimal e vice-versa

Dividir uma fração comum ou número misto por uma fração decimal finita ou periódica, bem como dividir uma fração decimal finita ou periódica por uma fração comum ou número misto, resume-se à divisão de frações comuns. Para fazer isso, as frações decimais são substituídas pelas frações ordinárias correspondentes e o número misto é representado como uma fração imprópria.

Ao dividir uma fração decimal infinita não periódica por uma fração comum ou número misto e vice-versa, deve-se proceder à divisão das frações decimais, substituindo a fração comum ou número misto pela fração decimal correspondente.

Bibliografia.

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• Álgebra: livro didático para a 8ª série. Educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M.: Educação, 2008. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para quem ingressa nas escolas técnicas): Proc. subsídio.- M.; Mais alto escola, 1984.-351 p., il.

Na escola essas ações são estudadas do simples ao complexo. Portanto, é imperativo compreender completamente o algoritmo para realizar essas operações em exemplos simples. Para que mais tarde não haja dificuldades em dividir frações decimais em uma coluna. Afinal, esta é a versão mais difícil de tais tarefas.

Este assunto requer estudo consistente. As lacunas no conhecimento são inaceitáveis ​​aqui. Todo aluno deve aprender esse princípio já na primeira série. Portanto, se você perder várias aulas seguidas, terá que dominar o material sozinho. Caso contrário, surgirão problemas posteriores não apenas com a matemática, mas também com outras disciplinas relacionadas a ela.

O segundo pré-requisito para estudar matemática com sucesso é passar para exemplos de divisão longa somente depois de dominar a adição, subtração e multiplicação.

Será difícil para uma criança dividir se não tiver aprendido a tabuada. Aliás, é melhor ensinar na mesa pitagórica. Não há nada supérfluo e a multiplicação é mais fácil de aprender neste caso.

Como os números naturais são multiplicados em uma coluna?

Se surgir dificuldade em resolver exemplos em uma coluna para divisão e multiplicação, você deve começar a resolver o problema com multiplicação. Como a divisão é a operação inversa da multiplicação:

1. Antes de multiplicar dois números, você precisa observá-los com atenção. Escolha aquele com mais dígitos (mais longo) e anote primeiro. Coloque o segundo embaixo dele. Além disso, os números da categoria correspondente devem estar na mesma categoria. Ou seja, o dígito mais à direita do primeiro número deve estar acima do dígito mais à direita do segundo.
2. Multiplique o dígito mais à direita do número inferior por cada dígito do número superior, começando pela direita. Escreva a resposta abaixo da linha de forma que o último dígito fique abaixo daquele pelo qual você multiplicou.
3. Repita o mesmo com outro dígito do número inferior. Mas o resultado da multiplicação deve ser deslocado um dígito para a esquerda. Neste caso, seu último dígito ficará abaixo daquele pelo qual foi multiplicado.

Continue esta multiplicação em uma coluna até que os números do segundo fator acabem. Agora eles precisam ser dobrados. Esta será a resposta que você procura.

Algoritmo para multiplicação de decimais

Primeiro, você precisa imaginar que as frações fornecidas não são decimais, mas naturais. Ou seja, retire as vírgulas deles e proceda conforme descrito no caso anterior.

A diferença começa quando a resposta é escrita. Neste momento é necessário contar todos os números que aparecem após as vírgulas em ambas as frações. É exatamente quantos deles precisam ser contados a partir do final da resposta e colocar uma vírgula ali.

É conveniente ilustrar este algoritmo usando um exemplo: 0,25 x 0,33:

Por onde começar a aprender a divisão?

Antes de resolver exemplos de divisão longa, você precisa lembrar os nomes dos números que aparecem no exemplo de divisão longa. O primeiro deles (aquele que está dividido) é divisível. O segundo (dividido por) é o divisor. A resposta é privada.

Depois disso, usando um exemplo simples do dia a dia, explicaremos a essência desta operação matemática. Por exemplo, se você pegar 10 doces, será fácil dividi-los igualmente entre mamãe e papai. Mas e se você precisar entregá-los aos seus pais e irmão?

Depois disso, você poderá se familiarizar com as regras de divisão e dominá-las usando exemplos específicos. Primeiro os mais simples e depois os mais complexos.

Algoritmo para dividir números em uma coluna

Primeiro, vamos apresentar o procedimento para números naturais divisíveis por um número de um único dígito. Eles também serão a base para divisores de vários dígitos ou frações decimais. Só então você deve fazer pequenas alterações, mas falaremos mais sobre isso mais tarde:

• Antes de fazer uma divisão longa, você precisa descobrir onde estão o dividendo e o divisor.
• Anote o dividendo. À direita está o divisor.
• Desenhe um canto à esquerda e na parte inferior próximo ao último canto.
• Determine o dividendo incompleto, ou seja, o número que será mínimo para divisão. Geralmente consiste em um dígito, no máximo dois.
• Escolha o número que será escrito primeiro na resposta. Deve ser o número de vezes que o divisor cabe no dividendo.
• Anote o resultado da multiplicação desse número pelo divisor.
• Escreva sob o dividendo incompleto. Execute a subtração.
• Adicione ao restante o primeiro dígito após a parte que já foi dividida.
• Escolha o número para a resposta novamente.
• Repita multiplicação e subtração. Se o resto for zero e o dividendo acabar, o exemplo está concluído. Caso contrário, repita os passos: retire o número, pegue o número, multiplique, subtraia.

Como resolver a divisão longa se o divisor tiver mais de um dígito?

O algoritmo em si coincide completamente com o descrito acima. A diferença será o número de dígitos do dividendo incompleto. Agora deve haver pelo menos dois deles, mas se forem menores que o divisor, você terá que trabalhar com os três primeiros dígitos.

Há mais uma nuance nesta divisão. O fato é que o resto e o número adicionado a ele às vezes não são divisíveis pelo divisor. Então você tem que adicionar outro número em ordem. Mas a resposta deve ser zero. Se você estiver dividindo números de três dígitos em uma coluna, talvez seja necessário remover mais de dois dígitos. Em seguida, é introduzida uma regra: deve haver um zero a menos na resposta do que o número de dígitos removidos.

Você pode considerar esta divisão usando o exemplo - 12082:863.

• O dividendo incompleto é o número 1208. O número 863 é colocado nele apenas uma vez. Portanto, supõe-se que a resposta seja 1 e abaixo de 1208 escreva 863.
• Após a subtração, o resto é 345.
• Você precisa adicionar o número 2 a ele.
• O número 3452 contém 863 quatro vezes.
• Quatro devem ser anotados como resposta. Além disso, quando multiplicado por 4, esse é exatamente o número obtido.
• O resto após a subtração é zero. Ou seja, a divisão está concluída.

A resposta no exemplo seria o número 14.

E se o dividendo terminar em zero?

Ou alguns zeros? Neste caso, o resto é zero, mas o dividendo ainda contém zeros. Não há necessidade de se desesperar, tudo é mais simples do que parece. Basta simplesmente adicionar à resposta todos os zeros que permanecem indivisos.

Por exemplo, você precisa dividir 400 por 5. O dividendo incompleto é 40. Cinco cabe nele 8 vezes. Isso significa que a resposta deve ser escrita como 8. Ao subtrair, não sobra resto. Ou seja, a divisão é concluída, mas permanece um zero no dividendo. Terá que ser adicionado à resposta. Assim, dividir 400 por 5 é igual a 80.

O que fazer se precisar dividir uma fração decimal?

Novamente, esse número parece um número natural, se não fosse pela vírgula que separa a parte inteira da parte fracionária. Isso sugere que a divisão das frações decimais em uma coluna é semelhante à descrita acima.

A única diferença será o ponto e vírgula. Deve ser colocado na resposta assim que o primeiro dígito da parte fracionária for removido. Outra forma de dizer isso é: se você terminou de dividir a parte inteira, coloque uma vírgula e continue a solução.

Ao resolver exemplos de divisão longa com frações decimais, é preciso lembrar que qualquer número de zeros pode ser adicionado à parte após a vírgula decimal. Às vezes isso é necessário para completar os números.

Dividindo duas casas decimais

Pode parecer complicado. Mas apenas no começo. Afinal, já está claro como dividir uma coluna de frações por um número natural. Isto significa que precisamos reduzir este exemplo a uma forma já familiar.

É fácil de fazer. Você precisa multiplicar ambas as frações por 10, 100, 1.000 ou 10.000, e talvez por um milhão, se o problema assim o exigir. O multiplicador deve ser escolhido com base em quantos zeros existem na parte decimal do divisor. Ou seja, o resultado será que você terá que dividir a fração por um número natural.

E este será o pior cenário possível. Afinal, pode acontecer que o dividendo desta operação se torne um número inteiro. Então a solução do exemplo com divisão em uma coluna de frações será reduzida ao mesmo opção simples: operações com números naturais.

Por exemplo: divida 28,4 por 3,2:

• Eles devem primeiro ser multiplicados por 10, pois o segundo número possui apenas um dígito após a vírgula. Multiplicar dará 284 e 32.
• Eles deveriam estar separados. Além disso, o número inteiro é 284 por 32.
• O primeiro número escolhido para a resposta é 8. Multiplicando dá 256. O resto é 28.
• A divisão da parte inteira terminou e é necessária uma vírgula na resposta.
• Remova para o resto 0.
• Pegue 8 novamente.
• Restante: 24. Adicione outro 0 a ele.
• Agora você precisa pegar 7.
• O resultado da multiplicação é 224, o resto é 16.
• Retire outro 0. Pegue 5 de cada e você obterá exatamente 160. O restante é 0.

A divisão está completa. O resultado do exemplo 28.4:3.2 é 8,875.

E se o divisor for 10, 100, 0,1 ou 0,01?

Assim como na multiplicação, a divisão longa não é necessária aqui. Basta mover a vírgula na direção desejada para um determinado número de dígitos. Além disso, usando este princípio, você pode resolver exemplos tanto com números inteiros quanto com frações decimais.

Portanto, se você precisar dividir por 10, 100 ou 1.000, o ponto decimal será movido para a esquerda pelo mesmo número de dígitos que houver zeros no divisor. Ou seja, quando um número é divisível por 100, a vírgula deve se mover dois dígitos para a esquerda. Se o dividendo for um número natural, presume-se que a vírgula esteja no final.

Esta ação dá o mesmo resultado como se o número fosse multiplicado por 0,1, 0,01 ou 0,001. Nestes exemplos, a vírgula também é movida para a esquerda por um número de dígitos igual ao comprimento da parte fracionária.

Ao dividir por 0,1 (etc.) ou multiplicar por 10 (etc.), a vírgula deve se mover um dígito para a direita (ou dois, três, dependendo do número de zeros ou do comprimento da parte fracionária).

Vale ressaltar que a quantidade de dígitos indicados no dividendo pode não ser suficiente. Em seguida, os zeros que faltam podem ser adicionados à esquerda (em toda a parte) ou à direita (após a vírgula).

Divisão de frações periódicas

Neste caso, não será possível obter uma resposta precisa ao dividir em uma coluna. Como resolver um exemplo se você encontrar uma fração com ponto final? Aqui precisamos passar para as frações ordinárias. E então divida-os de acordo com as regras previamente aprendidas.

Por exemplo, você precisa dividir 0,(3) por 0,6. A primeira fração é periódica. Ele converte para a fração 3/9, que quando reduzida dá 1/3. A segunda fração é o decimal final. É ainda mais fácil anotar como de costume: 6/10, que é igual a 3/5. A regra para dividir frações ordinárias exige a substituição da divisão pela multiplicação e do divisor pelo inverso. Ou seja, o exemplo se resume a multiplicar 1/3 por 5/3. A resposta será 5/9.

Se o exemplo contiver frações diferentes...

Então várias soluções são possíveis. Em primeiro lugar, você pode tentar converter uma fração comum em decimal. Em seguida, divida duas casas decimais usando o algoritmo acima.

Em segundo lugar, cada fração decimal final pode ser escrita como uma fração comum. Mas isto nem sempre é conveniente. Na maioria das vezes, essas frações são enormes. E as respostas são complicadas. Portanto, a primeira abordagem é considerada mais preferível.

37. Divisão por fração decimal

Tarefa. A área do retângulo é 2,88 dm2 e sua largura é 0,8 dm. Qual é o comprimento do retângulo?

Solução: Como 2,88 dm 2 = 288 cm 2 e 0,8 dm = 8 cm, então o comprimento do retângulo é 288: 8, ou seja, 36 cm = 3,6 dm. Encontramos o número 3,6 tal que 3,6 0,8 = 2,88. É o quociente de 2,88 dividido por 0,8.

A resposta 3,6 pode ser obtida sem converter decímetros em centímetros. Para fazer isso, você precisa multiplicar o divisor 0,8 e o dividendo 2,88 por 10 (ou seja, mover a vírgula neles um dígito para a direita) e dividir 28,8 por 8. Novamente obtemos: .

Para dividir um número por um decimal, necessário:
1) no dividendo e no divisor, mova a vírgula para a direita tantos dígitos quantos houver após a vírgula no divisor;
2) depois disso, divida por um número natural.

Exemplo 1. Divida 12,096 por 2,24. Mova a vírgula no dividendo e no divisor 2 dígitos para a direita. Obtemos os números 1209,6 e 224.

Desde , então e .

Exemplo 2. Divida 4,5 por 0,125. Aqui você precisa mover a vírgula no dividendo e no divisor 3 dígitos para a direita. Como o dividendo tem apenas um dígito após a vírgula, adicionaremos dois zeros à direita dele. Após mover a vírgula, obtemos os números 4500 e 125.

Desde , então e .

Pelos exemplos 1 e 2 fica claro que ao dividir um número por uma fração imprópria, esse número diminui ou não muda, mas ao dividir por uma fração decimal própria ele aumenta: , a .

Divida 2,467 por 0,01. Depois de mover a vírgula no dividendo e no divisor 2 dígitos para a direita, descobrimos que o quociente é igual a 246,7: 1, ou seja, 246,7. Isso significa 2,467: 0,01 = 246,7. A partir daqui obtemos a regra:

Para dividir um decimal por 0,1; 0,01; 0,001, você precisa mover a vírgula para a direita por tantos dígitos quantos houver zeros antes de um no divisor (ou seja, multiplicá-lo por 10, 100, 1000).

Se não houver números suficientes, primeiro adicione alguns zeros ao final da fração.

Por exemplo, .

1443. Encontre o quociente e verifique por multiplicação:

a) 0,8: 0,5; b) 3,51: 2,7; c) 14,335: 0,61.

1444. Encontre o quociente e verifique por divisão:

a) 0,096: 0,12; 6)0,126:0,9; c) 42,105: 3,5.

1445. Realize a divisão:

1446. Escreva as expressões:

a) o quociente da divisão da soma de a e 2,6 pela diferença de b e 8,5;
b) a soma do quociente x e 3,7 e do quociente 3,1 e y.

1447. Leia a expressão:

a) m: 12,8 - n: 4,9; b) (x + 0,7): (y + 3,4); c) (a: b) (8: c).

1448. O passo de uma pessoa é de 0,8 m. Quantos passos ela precisa dar para percorrer uma distância de 100 m?

1449. Alyosha viajou 162,5 km de trem em 2,6 horas. Quão rápido o trem estava indo?

1450. Encontre a massa de 1 cm 3 de gelo se a massa de 3,5 cm 3 de gelo for 3,08 g.

1451. A corda foi cortada em duas partes. O comprimento de uma parte é de 3,25 m e o comprimento da outra parte é 1,3 vezes menor que o da primeira. Qual era o comprimento da corda?

1452. O primeiro pacote continha 6,72 kg de farinha, 2,4 vezes mais que o segundo pacote. Quantos quilos de farinha tem nos dois sacos?

1453. Borya gastou 3,5 vezes menos tempo preparando suas aulas do que caminhando. Quanto tempo Bori levou para caminhar e preparar o dever de casa se a caminhada durou 2,8 horas?

Neste artigo veremos uma operação tão importante com decimais como a divisão. Primeiro vamos formular princípios gerais, veremos como dividir corretamente frações decimais por colunas, tanto por outras frações quanto por números naturais. A seguir analisaremos a divisão de frações ordinárias em decimais e vice-versa, e ao final veremos como dividir corretamente frações terminadas em 0, 1, 0, 01, 100, 10, etc.

Aqui consideraremos apenas casos com frações positivas. Se houver um sinal de menos na frente da fração, então para operar com ela você precisa estudar material sobre como dividir números racionais e reais.

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Todas as frações decimais, tanto finitas quanto periódicas, são apenas uma forma especial de escrever frações ordinárias. Portanto, estão sujeitas aos mesmos princípios que as suas frações ordinárias correspondentes. Assim, reduzimos todo o processo de divisão das frações decimais à sua substituição por frações ordinárias, seguido de cálculo por métodos já conhecidos por nós. Vejamos um exemplo específico.

Exemplo 1

Divida 1,2 por 0,48.

Solução

Vamos escrever frações decimais como frações ordinárias. Nós conseguiremos:

1 , 2 = 12 10 = 6 5

0 , 48 = 48 100 = 12 25 .

Assim, precisamos dividir 6 5 por 12 25. Nós contamos:

1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2

A partir da fração imprópria resultante, você pode selecionar a parte inteira e obter o número misto 2 1 2, ou pode apresentá-la como uma fração decimal para que corresponda aos números originais: 5 2 = 2, 5. Já escrevemos sobre como fazer isso anteriormente.

Responder: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .

Exemplo 2

Calcule quanto será 0 , (504) 0 , 56.

Solução

Primeiro, precisamos converter uma fração decimal periódica em uma fração comum.

0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111

Depois disso, também converteremos a fração decimal final para outra forma: 0, 56 = 56.100. Agora temos dois números com os quais será fácil realizar os cálculos necessários:

0, (504): 1, 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111

Temos um resultado que também podemos converter para a forma decimal. Para fazer isso, divida o numerador pelo denominador usando o método da coluna:

Responder: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .

Se no exemplo da divisão encontramos frações decimais não periódicas, agiremos de maneira um pouco diferente. Não podemos reduzi-las às frações ordinárias habituais, por isso, ao dividir, temos que primeiro arredondá-las para um determinado dígito. Esta ação deve ser realizada tanto com o dividendo quanto com o divisor: também arredondaremos a fração finita ou periódica existente no interesse da precisão.

Exemplo 3

Descubra quanto é 0,779... / 1,5602.

Solução

Primeiro, arredondamos ambas as frações para o centésimo mais próximo. É assim que passamos de frações não periódicas infinitas para frações decimais finitas:

0 , 779 … ≈ 0 , 78

1 , 5602 ≈ 1 , 56

Podemos continuar os cálculos e obter um resultado aproximado: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78.100: 156.100 = 78.100 100.156 = 78.156 = 1 2 = 0, 5.

A precisão do resultado dependerá do grau de arredondamento.

Responder: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .

Como dividir um número natural por um decimal e vice-versa

A abordagem da divisão neste caso é quase a mesma: substituímos frações finitas e periódicas por frações ordinárias e arredondamos infinitas frações não periódicas. Vamos começar com o exemplo da divisão por um número natural e uma fração decimal.

Exemplo 4

Divida 2,5 por 45.

Solução

Vamos reduzir 2, 5 à forma de uma fração ordinária: 255 10 = 51 2. Em seguida, só precisamos dividi-lo por um número natural. Já sabemos como fazer isso:

25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30

Se traduzirmos o resultado em notação decimal, então obtemos 0,5 (6).

Responder: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .

O método de divisão longa não é bom apenas para números naturais. Por analogia, podemos usá-lo para frações. A seguir indicamos a sequência de ações que precisam ser realizadas para isso.

Definição 1

Para dividir uma coluna de frações decimais por números naturais você precisa:

1. Adicione alguns zeros à fração decimal à direita (para divisão podemos adicionar qualquer número que precisarmos).

2. Divida uma fração decimal por um número natural usando um algoritmo. Quando a divisão da parte inteira da fração termina, colocamos uma vírgula no quociente resultante e contamos mais.

O resultado dessa divisão pode ser uma fração decimal periódica finita ou infinita. Depende do resto: se for zero, o resultado será finito, e se os restos começarem a se repetir, a resposta será uma fração periódica.

Vamos pegar vários problemas como exemplo e tentar realizar essas etapas com números específicos.

Exemplo 5

Calcule quanto será 65, 14 4.

Solução

Usamos o método da coluna. Para fazer isso, adicione dois zeros à fração e obtenha a fração decimal 65.1400, que será igual à original. Agora escrevemos uma coluna para dividir por 4:

O número resultante será o resultado que precisamos da divisão da parte inteira. Colocamos uma vírgula, separando-a, e continuamos:

Atingimos o resto zero, portanto o processo de divisão está completo.

Responder: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .

Exemplo 6

Divida 164,5 por 27.

Solução

Primeiro dividimos a parte fracionária e obtemos:

Separe o número resultante com uma vírgula e continue dividindo:

Vemos que os restos começaram a se repetir periodicamente, e no quociente os números nove, dois e cinco começaram a se alternar. Pararemos aqui e escreveremos a resposta na forma de uma fração periódica 6, 0 (925).

Responder: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .

Esta divisão pode ser reduzida ao processo de encontrar o quociente de uma fração decimal e de um número natural, já descrito acima. Para fazer isso, precisamos multiplicar o dividendo e o divisor por 10, 100, etc. para que o divisor se transforme em um número natural. A seguir realizamos a sequência de ações descritas acima. Esta abordagem é possível devido às propriedades de divisão e multiplicação. Nós os escrevemos assim:

a: b = (a · 10): (b · 10) , a: b = (a · 100): (b · 100) e assim por diante.

Vamos formular uma regra:

Definição 2

Para dividir uma fração decimal final por outra:

1. Mova a vírgula no dividendo e no divisor para a direita pelo número de dígitos necessários para transformar o divisor em um número natural. Se não houver sinais suficientes no dividendo, adicionamos zeros no lado direito.

2. Depois disso, divida a fração por uma coluna pelo número natural resultante.

Vejamos um problema específico.

Exemplo 7

Divida 7,287 por 2,1.

Solução: Para tornar o divisor um número natural, precisamos mover a casa decimal uma casa para a direita. Então passamos a dividir a fração decimal 72,87 por 21. Vamos escrever os números resultantes em uma coluna e calcular

Responder: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47

Exemplo 8

Calcule 16.30.021.

Solução

Teremos que mover a vírgula três casas. Não há dígitos suficientes no divisor para isso, o que significa que você precisa usar zeros adicionais. Achamos que o resultado será:

Vemos repetição periódica dos resíduos 4, 19, 1, 10, 16, 13. No quociente, 1, 9, 0, 4, 7 e 5 são repetidos. Então nosso resultado é a fração decimal periódica 776, (190476).

Responder: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476) ​​​​​​

O método que descrevemos permite fazer o contrário, ou seja, dividir um número natural pela fração decimal final. Vamos ver como isso é feito.

Exemplo 9

Calcule quanto é 3 5, 4.

Solução

Obviamente, teremos que mover a vírgula para o lugar certo. Depois disso, podemos dividir 30,0 por 54. Vamos escrever os dados em uma coluna e calcular o resultado:

A repetição do resto nos dá o número final 0, (5), que é uma fração decimal periódica.

Responder: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .

Como dividir decimais por 1000, 100, 10, etc.

De acordo com as regras já estudadas para divisão de frações ordinárias, dividir uma fração por dezenas, centenas, milhares é semelhante a multiplicá-la por 1/1000, 1/100, 1/10, etc. neste caso basta simplesmente mover a vírgula para quantidade requerida números Se não houver valores suficientes no número para transferência, será necessário adicionar o número necessário de zeros.

Exemplo 10

Portanto, 56, 21: 10 = 5, 621 e 0, 32: 100.000 = 0, 0000032.

No caso de frações decimais infinitas, fazemos o mesmo.

Exemplo 11

Por exemplo, 3, (56): 1.000 = 0,003 (56) e 593,374...: 100 = 5, 93374....

Como dividir decimais por 0,001, 0,01, 0,1, etc.

Usando a mesma regra, também podemos dividir as frações nos valores indicados. Esta ação será semelhante a multiplicar por 1000, 100, 10, respectivamente. Para isso, movemos a vírgula para um, dois ou três dígitos, dependendo das condições do problema, e adicionamos zeros se não houver dígitos suficientes no número.

Exemplo 12

Por exemplo, 5,739: 0,1 = 57,39 e 0,21: 0,00001 = 21.000.

Esta regra também se aplica a frações decimais infinitas. Aconselhamos apenas que tenha cuidado com o período da fração que aparece na resposta.

Então, 7, 5 (716): 0, 01 = 757, (167) porque depois de movermos a vírgula na fração decimal 7, 5716716716... duas casas para a direita, obtivemos 757, 167167....

Se tivermos frações não periódicas no exemplo, então tudo é mais simples: 394, 38283...: 0, 001 = 394382, 83....

Como dividir um número misto ou fração por um decimal e vice-versa

Também reduzimos esta ação às operações com frações ordinárias. Para fazer isso você precisa substituir números decimais frações ordinárias correspondentes e escreva o número misto como uma fração imprópria.

Se dividirmos uma fração não periódica por um número ordinário ou misto, precisamos fazer o oposto, substituindo a fração ordinária ou número misto pela fração decimal correspondente.

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Neste tutorial, veremos cada uma dessas operações separadamente.

Conteúdo da lição

Adicionando Decimais

Como sabemos, uma fração decimal possui uma parte inteira e uma parte fracionária. Ao adicionar decimais, as partes inteiras e fracionárias são adicionadas separadamente.

Por exemplo, vamos adicionar as frações decimais 3,2 e 5,3. É mais conveniente adicionar frações decimais em uma coluna.

Vamos primeiro escrever essas duas frações em uma coluna, sendo que as partes inteiras devem estar sob os inteiros e as frações sob as frações. Na escola, esse requisito é chamado "vírgula sob vírgula".

Vamos escrever as frações em uma coluna de forma que a vírgula fique abaixo da vírgula:

Começamos a somar as partes fracionárias: 2 + 3 = 5. Escrevemos o cinco na parte fracionária da nossa resposta:

Agora somamos as partes inteiras: 3 + 5 = 8. Escrevemos um oito na parte inteira da nossa resposta:

Agora separamos a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula. Para fazer isso, seguimos novamente a regra "vírgula sob vírgula":

Recebemos uma resposta de 8,5. Portanto, a expressão 3,2 + 5,3 é igual a 8,5

Na verdade, nem tudo é tão simples como parece à primeira vista. Também existem armadilhas aqui, das quais falaremos agora.

Casas em decimais

As frações decimais, assim como os números comuns, têm seus próprios dígitos. Estas são casas de décimos, casas de centésimos, casas de milésimos. Neste caso, os dígitos começam após a vírgula.

O primeiro dígito após a vírgula é responsável pela décima casa, o segundo dígito após a vírgula pela casa dos centésimos e o terceiro dígito após a vírgula pela casa dos milésimos.

As casas decimais contêm algumas informações úteis. Especificamente, eles informam quantos décimos, centésimos e milésimos existem em um decimal.

Por exemplo, considere a fração decimal 0,345

A posição onde o três está localizado é chamada décimo lugar

A posição onde o quatro está localizado é chamada centésimos de lugar

A posição onde o cinco está localizado é chamada milésimo lugar

Vejamos este desenho. Vemos que há um três na casa das décimas. Isso significa que existem três décimos na fração decimal 0,345.

Se somarmos as frações, obtemos a fração decimal original 0,345

Percebe-se que a princípio recebemos a resposta, mas convertemos para fração decimal e obtivemos 0,345.

Ao adicionar frações decimais, os mesmos princípios e regras são seguidos como ao adicionar números comuns. A adição de frações decimais ocorre em dígitos: décimos são adicionados a décimos, centésimos a centésimos, milésimos a milésimos.

Portanto, ao adicionar frações decimais, você deve seguir a regra "vírgula sob vírgula". A vírgula sob a vírgula fornece a ordem em que décimos são adicionados a décimos, centésimos a centésimos, milésimos a milésimos.

Exemplo 1. Encontre o valor da expressão 1,5 + 3,4

Em primeiro lugar, somamos as partes fracionárias 5 + 4 = 9. Escrevemos nove na parte fracionária da nossa resposta:

Agora somamos as partes inteiras 1 + 3 = 4. Escrevemos o quatro na parte inteira da nossa resposta:

Agora separamos a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula. Para fazer isso, seguimos novamente a regra “vírgula sob vírgula”:

Recebemos uma resposta de 4,9. Isso significa que o valor da expressão 1,5 + 3,4 é 4,9

Exemplo 2. Encontre o valor da expressão: 3,51 + 1,22

Escrevemos esta expressão em uma coluna, observando a regra “vírgula sob vírgula”.

Em primeiro lugar, somamos a parte fracionária, nomeadamente os centésimos de 1+2=3. Escrevemos um triplo na centésima parte da nossa resposta:

Agora adicione os décimos 5+2=7. Escrevemos um sete na décima parte da nossa resposta:

Agora somamos as partes inteiras 3+1=4. Escrevemos os quatro em toda a parte da nossa resposta:

Separamos a parte inteira da parte fracionária com vírgula, observando a regra “vírgula sob vírgula”:

A resposta que recebemos foi 4,73. Isso significa que o valor da expressão 3,51 + 1,22 é igual a 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Tal como acontece com os números normais, ao adicionar decimais, . Nesse caso, um dígito é escrito na resposta e o restante é transferido para o próximo dígito.

Exemplo 3. Encontre o valor da expressão 2,65 + 3,27

Escrevemos esta expressão na coluna:

Adicione as centésimas partes 5+7=12. O número 12 não cabe na centésima parte da nossa resposta. Portanto, na centésima parte escrevemos o número 2, e passamos a unidade para o próximo dígito:

Agora somamos as décimas de 6+2=8 mais a unidade que obtivemos na operação anterior, obtemos 9. Escrevemos o número 9 na décima da nossa resposta:

Agora somamos as partes inteiras 2+3=5. Escrevemos o número 5 na parte inteira da nossa resposta:

A resposta que recebemos foi 5,92. Isso significa que o valor da expressão 2,65 + 3,27 é igual a 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Exemplo 4. Encontre o valor da expressão 9,5 + 2,8

Escrevemos esta expressão na coluna

Somamos as partes fracionárias 5 + 8 = 13. O número 13 não caberá na parte fracionária da nossa resposta, então primeiro anotamos o número 3, e movemos a unidade para o próximo dígito, ou melhor, transferimos para o parte inteira:

Agora somamos as partes inteiras 9+2=11 mais a unidade que obtivemos na operação anterior, obtemos 12. Escrevemos o número 12 na parte inteira da nossa resposta:

Separe a parte inteira da parte fracionária com vírgula:

Recebemos a resposta 12.3. Isso significa que o valor da expressão 9,5 + 2,8 é 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Ao adicionar decimais, o número de dígitos após a vírgula em ambas as frações deve ser o mesmo. Se não houver números suficientes, esses locais na parte fracionária serão preenchidos com zeros.

Exemplo 5. Encontre o valor da expressão: 12,725 + 1,7

Antes de escrever esta expressão em uma coluna, vamos igualar o número de dígitos após a vírgula em ambas as frações. A fração decimal 12,725 possui três dígitos após a vírgula, mas a fração 1,7 possui apenas um. Isso significa que na fração 1,7 você precisa adicionar dois zeros no final. Então obtemos a fração 1.700. Agora você pode escrever esta expressão em uma coluna e começar a calcular:

Adicione as milésimas partes 5+0=5. Escrevemos o número 5 na milésima parte da nossa resposta:

Adicione as centésimas partes 2+0=2. Escrevemos o número 2 na centésima parte da nossa resposta:

Adicione os décimos 7+7=14. O número 14 não caberá num décimo da nossa resposta. Portanto, primeiro anotamos o número 4 e movemos a unidade para o próximo dígito:

Agora somamos as partes inteiras 12+1=13 mais a unidade que obtivemos na operação anterior, obtemos 14. Escrevemos o número 14 na parte inteira da nossa resposta:

Separe a parte inteira da parte fracionária com vírgula:

Recebemos uma resposta de 14.425. Isso significa que o valor da expressão 12,725+1,700 é 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Subtraindo Decimais

Ao subtrair frações decimais, você deve seguir as mesmas regras da adição: “vírgula sob a vírgula” e “igual número de dígitos após a vírgula”.

Exemplo 1. Encontre o valor da expressão 2,5 - 2,2

Escrevemos esta expressão em uma coluna, observando a regra “vírgula sob vírgula”:

Calculamos a parte fracionária 5−2=3. Escrevemos o número 3 na décima parte da nossa resposta:

Calculamos a parte inteira 2−2=0. Escrevemos zero na parte inteira da nossa resposta:

Separe a parte inteira da parte fracionária com vírgula:

Recebemos uma resposta de 0,3. Isso significa que o valor da expressão 2,5 - 2,2 é igual a 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Exemplo 2. Encontre o valor da expressão 7,353 - 3,1

Esta expressão possui um número diferente de casas decimais. A fração 7,353 possui três dígitos após a vírgula, mas a fração 3,1 possui apenas um. Isso significa que na fração 3.1 você precisa adicionar dois zeros no final para igualar o número de dígitos em ambas as frações. Então obtemos 3.100.

Agora você pode escrever esta expressão em uma coluna e calculá-la:

Recebemos uma resposta de 4.253. Isso significa que o valor da expressão 7,353 - 3,1 é igual a 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Tal como acontece com os números comuns, às vezes você terá que pegar emprestado um de um dígito adjacente se a subtração se tornar impossível.

Exemplo 3. Encontre o valor da expressão 3,46 - 2,39

Subtraia centésimos de 6−9. Você não pode subtrair o número 9 do número 6. Portanto, você precisa pegar emprestado um do dígito adjacente. Pegando emprestado um do dígito adjacente, o número 6 se transforma no número 16. Agora você pode calcular os centésimos de 16−9=7. Escrevemos um sete na centésima parte da nossa resposta:

Agora subtraímos décimos. Como colocamos uma unidade na décima posição, o número que ali estava diminuiu em uma unidade. Em outras palavras, na décima posição agora não está o número 4, mas o número 3. Vamos calcular as décimas de 3−3=0. Escrevemos zero na décima parte da nossa resposta:

Agora subtraímos as partes inteiras 3−2=1. Escrevemos um na parte inteira da nossa resposta:

Separe a parte inteira da parte fracionária com vírgula:

Recebemos uma resposta de 1,07. Isso significa que o valor da expressão 3,46−2,39 é igual a 1,07

3,46−2,39=1,07

Exemplo 4. Encontre o valor da expressão 3−1,2

Este exemplo subtrai um decimal de um número inteiro. Vamos escrever esta expressão em uma coluna para que toda a parte da fração decimal 1,23 fique sob o número 3

Agora vamos igualar o número de dígitos após a vírgula. Para fazer isso, após o número 3 colocamos uma vírgula e adicionamos um zero:

Agora subtraímos décimos: 0−2. Você não pode subtrair de zero o número 2. Portanto, você precisa pegar emprestado um do dígito adjacente. Tendo emprestado um do dígito vizinho, 0 se transforma no número 10. Agora você pode calcular os décimos de 10−2=8. Escrevemos um oito na décima parte da nossa resposta:

Agora subtraímos as partes inteiras. Anteriormente, o número 3 estava localizado no todo, mas retiramos uma unidade dele. Como resultado, ele se transformou no número 2. Portanto, de 2 subtraímos 1. 2−1=1. Escrevemos um na parte inteira da nossa resposta:

Separe a parte inteira da parte fracionária com vírgula:

A resposta que recebemos foi 1,8. Isso significa que o valor da expressão 3−1,2 é 1,8

Multiplicando Decimais

Multiplicar decimais é simples e até divertido. Para multiplicar decimais, você os multiplica como números normais, ignorando as vírgulas.

Depois de receber a resposta, é necessário separar a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula. Para fazer isso, você precisa contar o número de dígitos após a vírgula em ambas as frações, depois contar o mesmo número de dígitos à direita da resposta e colocar uma vírgula.

Exemplo 1. Encontre o valor da expressão 2,5 × 1,5

Vamos multiplicar essas frações decimais como números comuns, ignorando as vírgulas. Para ignorar as vírgulas, você pode imaginar temporariamente que elas estão totalmente ausentes:

Obtivemos 375. Neste número, você precisa separar a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula. Para fazer isso, você precisa contar o número de dígitos após a vírgula decimal nas frações 2,5 e 1,5. A primeira fração possui um dígito após a vírgula e a segunda fração também possui um. Total de dois números.

Voltamos ao número 375 e começamos a nos mover da direita para a esquerda. Precisamos contar dois dígitos à direita e colocar uma vírgula:

Recebemos uma resposta de 3,75. Portanto, o valor da expressão 2,5 × 1,5 é 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

Exemplo 2. Encontre o valor da expressão 12,85 × 2,7

Vamos multiplicar essas frações decimais, ignorando as vírgulas:

Obtivemos 34695. Neste número você precisa separar a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula. Para fazer isso, você precisa contar o número de dígitos após a vírgula decimal nas frações 12,85 e 2,7. A fração 12,85 possui dois dígitos após a vírgula, e a fração 2,7 possui um dígito - um total de três dígitos.

Voltamos ao número 34695 e começamos a nos mover da direita para a esquerda. Precisamos contar três dígitos a partir da direita e colocar uma vírgula:

Recebemos uma resposta de 34.695. Portanto, o valor da expressão 12,85 × 2,7 é 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Multiplicando um decimal por um número normal

Às vezes surgem situações em que você precisa multiplicar uma fração decimal por um número normal.

Para multiplicar um decimal e um número, você os multiplica sem prestar atenção à vírgula no decimal. Depois de receber a resposta, é necessário separar a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula. Para fazer isso, você precisa contar o número de dígitos após a vírgula na fração decimal, depois contar o mesmo número de dígitos a partir da direita na resposta e colocar uma vírgula.

Por exemplo, multiplique 2,54 por 2

Multiplique a fração decimal 2,54 pelo número usual 2, ignorando a vírgula:

Obtivemos o número 508. Neste número você precisa separar a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula. Para fazer isso, você precisa contar o número de dígitos após a vírgula na fração 2,54. A fração 2,54 possui dois dígitos após a vírgula.

Voltamos ao número 508 e começamos a nos mover da direita para a esquerda. Precisamos contar dois dígitos à direita e colocar uma vírgula:

Recebemos uma resposta de 5.08. Portanto, o valor da expressão 2,54 × 2 é 5,08

2,54 × 2 = 5,08

Multiplicando decimais por 10, 100, 1000

Multiplicar decimais por 10, 100 ou 1000 é feito da mesma forma que multiplicar decimais por números regulares. É necessário realizar a multiplicação, não prestando atenção à vírgula na fração decimal, depois na resposta separar a parte inteira da parte fracionária, contando da direita o mesmo número de dígitos que havia após a vírgula.

Por exemplo, multiplique 2,88 por 10

Multiplique a fração decimal 2,88 por 10, ignorando a vírgula na fração decimal:

Obtivemos 2880. Neste número você precisa separar a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula. Para fazer isso, você precisa contar o número de dígitos após a vírgula na fração 2,88. Vemos que a fração 2,88 possui dois dígitos após a vírgula.

Voltamos ao número 2880 e começamos a nos mover da direita para a esquerda. Precisamos contar dois dígitos à direita e colocar uma vírgula:

Recebemos uma resposta de 28,80. Vamos eliminar o último zero e obter 28,8. Isso significa que o valor da expressão 2,88×10 é 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Existe uma segunda maneira de multiplicar frações decimais por 10, 100, 1000. Este método é muito mais simples e conveniente. Consiste em mover a vírgula para a direita tantos dígitos quantos forem os zeros do fator.

Por exemplo, vamos resolver o exemplo anterior 2,88×10 desta forma. Sem fazer nenhum cálculo, olhamos imediatamente para o fator 10. Estamos interessados ​​​​em quantos zeros ele contém. Vemos que há um zero nele. Agora na fração 2,88 movemos a vírgula um dígito para a direita, obtemos 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Vamos tentar multiplicar 2,88 por 100. Imediatamente olhamos para o fator 100. Estamos interessados ​​​​em quantos zeros ele contém. Vemos que há dois zeros nele. Agora na fração 2,88 movemos a vírgula para a direita dois dígitos, obtemos 288

2,88 × 100 = 288

Vamos tentar multiplicar 2,88 por 1000. Imediatamente olhamos para o fator 1000. Estamos interessados ​​​​em quantos zeros ele contém. Vemos que há três zeros nele. Agora na fração 2,88 movemos a vírgula para a direita três dígitos. Não há terceiro dígito ali, então adicionamos outro zero. Como resultado, obtemos 2880.

2,88 × 1000 = 2880

Multiplicando decimais por 0,1 0,01 e 0,001

Multiplicar decimais por 0,1, 0,01 e 0,001 funciona da mesma maneira que multiplicar um decimal por outro decimal. É necessário multiplicar as frações como os números comuns, e colocar uma vírgula na resposta, contando tantos dígitos à direita quantos forem os dígitos após a vírgula em ambas as frações.

Por exemplo, multiplique 3,25 por 0,1

Multiplicamos essas frações como números comuns, ignorando as vírgulas:

Obtivemos 325. Neste número você precisa separar a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula. Para fazer isso, você precisa contar o número de dígitos após a vírgula decimal nas frações 3,25 e 0,1. A fração 3,25 possui dois dígitos após a vírgula e a fração 0,1 possui um dígito. Total de três números.

Voltamos ao número 325 e começamos a nos mover da direita para a esquerda. Precisamos contar três dígitos a partir da direita e colocar uma vírgula. Depois de contar três dígitos, descobrimos que os números acabaram. Neste caso, você precisa adicionar um zero e uma vírgula:

Recebemos uma resposta de 0,325. Isso significa que o valor da expressão 3,25 × 0,1 é 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Existe uma segunda maneira de multiplicar decimais por 0,1, 0,01 e 0,001. Este método é muito mais simples e conveniente. Consiste em mover a vírgula para a esquerda tantos dígitos quantos forem os zeros do fator.

Por exemplo, vamos resolver o exemplo anterior 3,25 × 0,1 desta forma. Sem fazer nenhum cálculo, olhamos imediatamente para o multiplicador de 0,1. Estamos interessados ​​em quantos zeros existem nele. Vemos que há um zero nele. Agora na fração 3,25 movemos a vírgula um dígito para a esquerda. Movendo a vírgula um dígito para a esquerda, vemos que não há mais dígitos antes dos três. Neste caso, adicione um zero e coloque uma vírgula. O resultado é 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Vamos tentar multiplicar 3,25 por 0,01. Observamos imediatamente o multiplicador de 0,01. Estamos interessados ​​em quantos zeros existem nele. Vemos que há dois zeros nele. Agora na fração 3,25 movemos a vírgula para a esquerda dois dígitos, obtemos 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Vamos tentar multiplicar 3,25 por 0,001. Observamos imediatamente o multiplicador de 0,001. Estamos interessados ​​em quantos zeros existem nele. Vemos que há três zeros nele. Agora na fração 3,25 movemos a vírgula para a esquerda três dígitos, obtemos 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Não confunda multiplicar frações decimais por 0,1, 0,001 e 0,001 com multiplicar por 10, 100, 1000. Erro comum a maioria das pessoas.

Ao multiplicar por 10, 100, 1000, a vírgula decimal é movida para a direita pelo mesmo número de dígitos que há zeros no multiplicador.

E ao multiplicar por 0,1, 0,01 e 0,001, a vírgula decimal é movida para a esquerda pelo mesmo número de dígitos que há zeros no multiplicador.

Se a princípio for difícil lembrar, você pode usar o primeiro método, no qual a multiplicação é realizada como acontece com os números comuns. Na resposta, você precisará separar a parte inteira da parte fracionária contando o mesmo número de dígitos à direita que há dígitos após a vírgula em ambas as frações.

Dividindo um número menor por um número maior. Nível avançado.

Em uma das lições anteriores, dissemos que ao dividir um número menor por um número maior, obtém-se uma fração cujo numerador é o dividendo e o denominador é o divisor.

Por exemplo, para dividir uma maçã entre duas, você precisa escrever 1 (uma maçã) no numerador e 2 (dois amigos) no denominador. Como resultado, obtemos a fração . Isso significa que cada amigo receberá uma maçã. Em outras palavras, meia maçã. A fração é a resposta para o problema “como dividir uma maçã em duas”

Acontece que você pode resolver esse problema ainda mais se dividir 1 por 2. Afinal, a linha fracionária em qualquer fração significa divisão e, portanto, essa divisão é permitida na fração. Mas como? Estamos acostumados com o fato de que o dividendo é sempre maior que o divisor. Mas aqui, ao contrário, o dividendo é menor que o divisor.

Tudo ficará claro se lembrarmos que fração significa esmagamento, divisão, divisão. Isto significa que a unidade pode ser dividida em quantas partes desejar, e não apenas em duas partes.

Ao dividir um número menor por um número maior, obtém-se uma fração decimal em que a parte inteira é 0 (zero). A parte fracionária pode ser qualquer coisa.

Então, vamos dividir 1 por 2. Vamos resolver esse exemplo com um canto:

Um não pode ser completamente dividido em dois. Se você fizer uma pergunta “quantos dois há em um” , então a resposta será 0. Portanto, no quociente escrevemos 0 e colocamos uma vírgula:

Agora, como sempre, multiplicamos o quociente pelo divisor para obter o resto:

Chegou o momento em que a unidade pode ser dividida em duas partes. Para fazer isso, adicione outro zero à direita do resultante:

Obtivemos 10. Dividimos 10 por 2 e obtemos 5. Escrevemos o cinco na parte fracionária da nossa resposta:

Agora retiramos o último resto para completar o cálculo. Multiplique 5 por 2 para obter 10

Recebemos uma resposta de 0,5. Então a fração é 0,5

Meia maçã também pode ser escrita usando a fração decimal 0,5. Se somarmos essas duas metades (0,5 e 0,5), obteremos novamente a maçã inteira original:

Este ponto também pode ser entendido se você imaginar como 1 cm é dividido em duas partes. Se você dividir 1 centímetro em 2 partes, obtém 0,5 cm

Exemplo 2. Encontre o valor da expressão 4:5

Quantos cincos existem em um quatro? De jeito nenhum. Escrevemos 0 no quociente e colocamos uma vírgula:

Multiplicamos 0 por 5 e obtemos 0. Escrevemos um zero abaixo do quatro. Subtraia imediatamente este zero do dividendo:

Agora vamos começar a dividir (dividir) os quatro em 5 partes. Para fazer isso, adicione um zero à direita de 4 e divida 40 por 5, obtemos 8. Escrevemos oito no quociente.

Completamos o exemplo multiplicando 8 por 5 para obter 40:

Recebemos uma resposta de 0,8. Isso significa que o valor da expressão 4:5 é 0,8

Exemplo 3. Encontre o valor da expressão 5: 125

Quantos números são 125 em cinco? De jeito nenhum. Escrevemos 0 no quociente e colocamos uma vírgula:

Multiplicamos 0 por 5 e obtemos 0. Escrevemos 0 abaixo dos cinco. Subtraia imediatamente 0 de cinco

Agora vamos começar a dividir (dividir) os cinco em 125 partes. Para fazer isso, escrevemos um zero à direita deste cinco:

Divida 50 por 125. Quantos números tem 125 no número 50? De jeito nenhum. Então no quociente escrevemos 0 novamente

Multiplique 0 por 125, obtemos 0. Escreva este zero abaixo de 50. Subtraia imediatamente 0 de 50

Agora divida o número 50 em 125 partes. Para fazer isso, escrevemos outro zero à direita de 50:

Divida 500 por 125. Quantos números são 125 no número 500? Existem quatro números 125 no número 500. Escreva os quatro no quociente:

Completamos o exemplo multiplicando 4 por 125 para obter 500

Recebemos uma resposta de 0,04. Isso significa que o valor da expressão 5: 125 é 0,04

Dividindo números sem resto

Então, vamos colocar uma vírgula após a unidade no quociente, indicando assim que a divisão das partes inteiras acabou e passamos para a parte fracionária:

Vamos adicionar zero ao resto 4

Agora dividimos 40 por 5, obtemos 8. Escrevemos oito no quociente:

40−40=0. Temos 0 restantes. Isso significa que a divisão está totalmente concluída. Dividir 9 por 5 dá a fração decimal 1,8:

9: 5 = 1,8

Exemplo 2. Divida 84 por 5 sem resto

Primeiro, divida 84 por 5 como de costume com resto:

Temos 16 no privado e mais 4 restantes. Agora vamos dividir esse resto por 5. Coloque uma vírgula no quociente e adicione 0 ao resto 4

Agora dividimos 40 por 5, obtemos 8. Escrevemos o oito no quociente após a vírgula:

e complete o exemplo verificando se ainda há resto:

Dividindo um número decimal por um número regular

Uma fração decimal, como sabemos, consiste em um número inteiro e uma parte fracionária. Ao dividir uma fração decimal por um número regular, primeiro você precisa:

• divida toda a parte decimal por este número;
• após a divisão de toda a parte, é necessário colocar imediatamente uma vírgula no quociente e continuar o cálculo, como na divisão normal.

Por exemplo, divida 4,8 por 2

Vamos escrever este exemplo num canto:

Agora vamos dividir a parte inteira por 2. Quatro dividido por dois é igual a dois. Escrevemos dois no quociente e imediatamente colocamos uma vírgula:

Agora multiplicamos o quociente pelo divisor e vemos se há resto da divisão:

4−4=0. O restante é zero. Ainda não anotamos zero, pois a solução não está completa. A seguir, continuamos a calcular como na divisão normal. Retire 8 e divida por 2

8: 2 = 4. Escrevemos o quatro no quociente e imediatamente multiplicamos pelo divisor:

Recebemos uma resposta de 2,4. O valor da expressão 4,8:2 é 2,4

Exemplo 2. Encontre o valor da expressão 8,43:3

Dividindo 8 por 3, obtemos 2. Coloque imediatamente uma vírgula após 2:

Agora multiplicamos o quociente pelo divisor 2 × 3 = 6. Escrevemos seis abaixo de oito e encontramos o resto:

Dividimos 24 por 3, obtemos 8. Escrevemos oito no quociente. Multiplique imediatamente pelo divisor para encontrar o resto da divisão:

24−24=0. O restante é zero. Ainda não anotamos zero. Tiramos os três últimos do dividendo e dividimos por 3, obtemos 1. Multiplique imediatamente 1 por 3 para completar este exemplo:

A resposta que recebemos foi 2,81. Isso significa que o valor da expressão 8,43: 3 é 2,81

Dividindo um decimal por um decimal

Para dividir uma fração decimal por uma fração decimal, você precisa mover a vírgula no dividendo e no divisor para a direita pelo mesmo número de dígitos que há após a vírgula no divisor e depois dividir pelo número usual.

Por exemplo, divida 5,95 por 1,7

Vamos escrever esta expressão com um canto

Agora no dividendo e no divisor movemos a vírgula para a direita pelo mesmo número de dígitos que há após a vírgula no divisor. O divisor possui um dígito após a vírgula. Isso significa que no dividendo e no divisor devemos mover a vírgula um dígito para a direita. Nós transferimos:

Depois de mover a vírgula um dígito para a direita, a fração decimal 5,95 tornou-se a fração 59,5. E a fração decimal 1,7, depois de mover a vírgula um dígito para a direita, se transformou no número usual 17. E já sabemos como dividir uma fração decimal por um número regular. Cálculos adicionais não são difíceis:

A vírgula é movida para a direita para facilitar a divisão. Isso é permitido porque ao multiplicar ou dividir o dividendo e o divisor pelo mesmo número, o quociente não muda. O que isso significa?

Este é um dos recursos interessantes divisão. É chamada de propriedade do quociente. Considere a expressão 9: 3 = 3. Se nesta expressão o dividendo e o divisor forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número, o quociente 3 não mudará.

Vamos multiplicar o dividendo e o divisor por 2 e ver o que resulta:

(9 × 2): (3 × 2) = 18: 6 = 3

Como pode ser visto no exemplo, o quociente não mudou.

A mesma coisa acontece quando movemos a vírgula no dividendo e no divisor. No exemplo anterior, onde dividimos 5,91 por 1,7, movemos a vírgula no dividendo e no divisor um dígito para a direita. Após mover a vírgula, a fração 5,91 foi transformada na fração 59,1 e a fração 1,7 foi transformada no usual número 17.

Na verdade, dentro desse processo houve uma multiplicação por 10. Ficou assim:

5,91 × 10 = 59,1

Portanto, o número de dígitos após a vírgula no divisor determina pelo que o dividendo e o divisor serão multiplicados. Em outras palavras, o número de dígitos após a vírgula no divisor determinará quantos dígitos no dividendo e no divisor a vírgula será movida para a direita.

Dividindo um decimal por 10, 100, 1000

A divisão de um decimal por 10, 100 ou 1000 é feita da mesma maneira que . Por exemplo, divida 2,1 por 10. Resolva este exemplo usando um canto:

Mas há uma segunda maneira. É mais leve. A essência deste método é que a vírgula no dividendo é movida para a esquerda tantos dígitos quantos forem os zeros no divisor.

Vamos resolver o exemplo anterior desta forma. 2.1: 10. Observamos o divisor. Estamos interessados ​​em quantos zeros existem nele. Vemos que existe um zero. Isso significa que no dividendo de 2,1 você precisa mover a vírgula um dígito para a esquerda. Movemos a vírgula um dígito para a esquerda e vemos que não restam mais dígitos. Neste caso, adicione outro zero antes do número. Como resultado, obtemos 0,21

Vamos tentar dividir 2,1 por 100. Existem dois zeros em 100. Isso significa que no dividendo 2.1 precisamos mover a vírgula dois dígitos para a esquerda:

2,1: 100 = 0,021

Vamos tentar dividir 2,1 por 1000. Existem três zeros em 1000. Isso significa que no dividendo 2.1 você precisa mover a vírgula três dígitos para a esquerda:

2,1: 1000 = 0,0021

Dividindo um decimal por 0,1, 0,01 e 0,001

A divisão de uma fração decimal por 0,1, 0,01 e 0,001 é feita da mesma forma que . No dividendo e no divisor, você precisa mover a vírgula para a direita tantos dígitos quantos houver após a vírgula no divisor.

Por exemplo, vamos dividir 6,3 por 0,1. Em primeiro lugar, vamos mover as vírgulas no dividendo e no divisor para a direita pelo mesmo número de dígitos que existem após a vírgula no divisor. O divisor possui um dígito após a vírgula. Isso significa que movemos as vírgulas no dividendo e no divisor um dígito para a direita.

Depois de mover a vírgula um dígito para a direita, a fração decimal 6,3 se torna o número usual 63, e a fração decimal 0,1 depois de mover a vírgula um dígito para a direita se transforma em um. E dividir 63 por 1 é muito simples:

Isso significa que o valor da expressão 6,3: 0,1 é 63

Mas há uma segunda maneira. É mais leve. A essência deste método é que a vírgula no dividendo é movida para a direita tantos dígitos quantos forem os zeros no divisor.

Vamos resolver o exemplo anterior desta forma. 6,3: 0,1. Vejamos o divisor. Estamos interessados ​​em quantos zeros existem nele. Vemos que existe um zero. Isso significa que no dividendo de 6,3 você precisa mover a vírgula um dígito para a direita. Mova a vírgula para um dígito à direita e obtenha 63

Vamos tentar dividir 6,3 por 0,01. O divisor de 0,01 tem dois zeros. Isso significa que no dividendo 6,3 precisamos mover a vírgula para a direita em dois dígitos. Mas no dividendo há apenas um dígito após a vírgula. Neste caso, você precisa adicionar outro zero no final. Como resultado obtemos 630

Vamos tentar dividir 6,3 por 0,001. O divisor de 0,001 tem três zeros. Isso significa que no dividendo 6,3 precisamos mover a vírgula para a direita três dígitos:

6,3: 0,001 = 6300

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