A história do surgimento dos signos do projeto de ações matemáticas. História da notação matemática

Primeiro uso dos sinais + e - impressos em Behëde und Johannes Widman auff allen Kauffmanschafft, Augsburg, 1526.

Mário Lívio

Os símbolos para as operações aritméticas de adição (mais “+’’) e subtração (menos “-‘’) são tão comuns que quase nunca pensamos no fato de que nem sempre existiram. Na verdade, alguém deve ter inventado estes símbolos (ou pelo menos outros que mais tarde evoluíram para os que usamos hoje). Provavelmente também demorou algum tempo até que esses símbolos se tornassem geralmente aceitos. Quando comecei a estudar a história desses sinais, descobri, para minha surpresa, que eles não apareciam nos tempos antigos. Muito do que sabemos vem da pesquisa abrangente e impressionante de 1928-1929, que permanece insuperável até hoje. Esta é “História da Notação Matemática”, do historiador suíço-americano da matemática Florian Caggiori (1859-1930).

Os antigos gregos indicavam a adição por notação lateral, mas ocasionalmente usavam o símbolo de barra “/” e uma curva semi-elíptica para subtração. No famoso papiro egípcio de Ahmes, um par de pernas avançando significa adição, enquanto as que se afastam significam subtração. Os hindus, como os gregos, geralmente não indicavam adição de forma alguma, exceto que os símbolos “yu” foram usados ​​no manuscrito Aritmético de Bakhshali (provavelmente do terceiro ou quarto século). No final do século XV, o matemático francês Chiquet (1484) e o italiano Pacioli (1494) usaram “'' ou “'' (denotando mais) para adição e “'' ou “'' (denotando menos"') para subtração .

De forma um tanto duvidosa, acredita-se que nosso signo venha de uma das formas da palavra “et”, que significa “e” em latim. A primeira pessoa que pode ter usado o sinal como abreviatura de et foi a astrônoma Nicole d'Orem (autora de O Livro do Céu e o mundo’’ - “Livros do Céu e do Mundo”) em meados do século XIV. O manuscrito de 1417 também contém o símbolo (embora a vara que aponta para baixo não seja totalmente vertical). E este também é descendente de uma das formas et.

A origem do sinal "" é muito menos clara, e hipóteses sobre o seu aparecimento foram expressas desde a escrita hieroglífica ou gramática alexandrina, até uma linha que os comerciantes usavam para separar recipientes da massa geral de mercadorias.

O primeiro uso do símbolo algébrico moderno “” está em um manuscrito de álgebra alemão de 1481, que foi encontrado na biblioteca de Dresden. Num manuscrito latino da mesma época (também da biblioteca de Dresden), existem ambos os símbolos: e. Sabe-se que Johann Widmann revisou e comentou ambos os manuscritos. Em 1489 publicou o primeiro livro impresso em Leipzig (Aritmética Mercantil - “Aritmética Comercial”), no qual ambos os signos e estavam presentes (ver figura). O fato de Widmann ter utilizado esses símbolos como se fossem de conhecimento comum aponta para a possibilidade de sua origem no comércio. Um manuscrito anônimo, aparentemente escrito na mesma época, também contém os mesmos símbolos, e isso levou a dois livros adicionais publicados em 1518 e 1525.

Na Itália, os símbolos foram adotados pelo astrônomo Christopher Clavius ​​(um alemão que viveu em Roma), e pelos matemáticos Gloriosi e Cavalieri no início do século XVII.

Primeira aparição e língua Inglesa descoberto no livro de álgebra de 1551 “The Whetstone of Witte” por um matemático de Oxford que também introduziu o sinal de igual, que era muito mais longo do que o sinal atual. Ao descrever os sinais de mais e menos, Record escreveu: “Outros dois sinais são frequentemente usados, o primeiro dos quais está escrito e significa mais, e o segundo significa menos.”

A título de curiosidade histórica, vale ressaltar que mesmo após a adoção do sinal, nem todos utilizavam este símbolo. O próprio Widmann introduziu-a como a cruz grega (o sinal que usamos hoje), em que o traço horizontal é por vezes ligeiramente mais longo que o vertical. Alguns matemáticos, como Record, Harriot e Descartes, usaram o mesmo sinal. Outros (como Hume, Huygens e Fermat) usaram a cruz latina “†’’, às vezes colocada horizontalmente, com uma barra transversal em uma extremidade ou outra. Finalmente, alguns (como Halley) usaram uma forma mais decorativa de “''.

A notação para subtração era um pouco menos sofisticada, mas talvez mais confusa (pelo menos para nós), já que em vez do simples sinal “”, os livros alemães, suíços e holandeses às vezes usavam o símbolo “÷”, que agora usamos para representar a divisão . Vários livros do século XVII (como Descartes e Mersenne) usam dois pontos “∙ ∙’’ ou três pontos “∙ ∙ ∙’’ para indicar subtração.

Em suma, o que há de mais impressionante nesta história é que os símbolos que apareceram pela primeira vez impressos há apenas cerca de quinhentos anos tornaram-se parte do que parece ser a “linguagem” mais universal. Quer você trabalhe com ciências ou finanças, ou viva em Kentucky ou na Sibéria, você ainda sabe exatamente o que esses símbolos significam.

Conteúdo Introdução……………………………………………………….3
Subtração………………………………………………………. 4
Adição……………………………………………………….5
Divisão………………………………………………………6
Multiplicação……………………………………………………..7
Sinal de igual………………………………………………………….8
Sinais maiores que menos desigualdade………………...9-10
Porcentagem…………………………………………………….11
Fração comum……………………………………...12
Conclusão……………………………………………………..13

Introdução

Notações matemáticas - símbolos,
usado para compacto
escrever equações e fórmulas matemáticas.
Além de números e letras de vários alfabetos
(latim, incluindo gótico
estilo, grego e hebraico), matemático
o idioma usa muitos caracteres especiais,
inventado ao longo dos últimos séculos.
Originalmente (por exemplo, nos Elementos de Euclides)
declarações matemáticas foram formuladas
verbalmente. Tal gravação era complicada, muitas vezes
transformações ambíguas e algébricas
requeriam qualificações extraordinárias. Com o advento
“aritmética literal” de François Vieta (século XVI), em
que em vez de números específicos foram usados
designações de letras, capacidades
pesquisa matemática é essencial
expandido e iluminado.

Subtração ÷

Existe uma opinião de que os sinais “+” e “-”
surgiu na prática comercial.
O comerciante de vinhos anotou com travessões,
quantas medidas de vinho ele vendeu do barril?
Colocando novos suprimentos no barril, ele
riscou tantos consumíveis
Droga, quantas medidas ele restaurou.
Foi assim que os sinais de adição supostamente ocorreram
e subtração no século XV.
Para indicar subtração no século III aC
AD na Grécia usado
a letra grega invertida psi Ψ.
Os matemáticos italianos usaram
para este efeito a letra m, a letra inicial em
a palavra "menos".
No século 16 para denotar ação
subtrações começaram a usar o sinal “-”, e
distinguir um sinal de menos de um travessão, no século XVII
menos passou a ser denotado pelo sinal ÷. Esse
o sinal é encontrado entre matemáticos russos
Leonty Magnitsky no início do século XVIII
seu livro "Aritmética".
No livro de L. Magnitsky há exemplos de
a subtração ficou assim:
6÷2 15÷12
Leonty Filippovich
Magnitsky
(1669-1739)

Adição +

Sinais separados para alguns
conceitos matemáticos apareceram em
antiguidades.
No entanto, até ao século XV quase não havia
símbolos aritméticos geralmente aceitos.
Nos séculos 15 a 16 para o sinal de adição
usou a letra latina "P"
a letra inicial da palavra "mais".
Também usado para adição
A palavra latina "et" significa "e".
Como a palavra “et” teve que ser escrita
muitas vezes, eles começaram a encurtá-lo:
primeiro escreveu uma letra “t” que
gradualmente se transformou em um sinal “+”.
Os antigos egípcios significavam adição
sinal - um padrão de pernas andando.
O nome "termo" pela primeira vez
encontrado nas obras de matemáticos 13
século, e o conceito de “soma” - no século XV. Antes
desta vez a soma foi chamada de resultado
qualquer uma das quatro aritméticas
ações.
Pela primeira vez os sinais “+” e “-” foram impressos
aparecem no livro "Rápido e Bonito"
conta para toda a classe mercantil." Foi escrito por
O matemático tcheco Jan Widman em 1489.
Jan Widman
(1460-1505)

Divisão:

acabei de ligar e anotei
palavras.
Ação por milhares de anos
as divisões não foram marcadas com sinais. Dele
acabei de ligar e anotei
palavras.
Os matemáticos indianos foram os primeiros
começou a denotar a divisão do inicial
carta do nome desta ação -
D.
Os árabes introduziram para designar
dividindo a linha. Foi adotado dos árabes
Matemático italiano do século XIII
Fibonacci. Ele foi o primeiro a usar
o termo "privado".
Sinal de dois pontos (:) para dividir aço
usado no final do século XVII. Antes
o seguinte sinal ÷ também foi usado
Na Rússia os nomes “divisível”,
“divisor”, “quociente” introduzido pela primeira vez
Leonty Magnitsky no início do século XVIII.
leonardo
Pisan (Fibonacci)
(1170-1250)

Multiplicação

Para denotar a ação de multiplicação
Matemáticos europeus do século 16
usou a letra M, que era
inicial da palavra latina,
denotando aumento, multiplicação, animação. A partir desta palavra
de onde veio o nome "desenho animado".
No século XVII, alguns matemáticos começaram
indicar multiplicação com uma cruz,
enquanto outros usaram um ponto final para isso. Aos 16
– 17 séculos de uniformidade em uso
não havia símbolos. Somente no final do século XVIII
a maioria dos matemáticos costumava
ponto de multiplicação.
William Oughtred - matemático inglês
Em 1631 ele introduziu o sinal de multiplicação com uma cruz.
Ponto para indicar multiplicação
apreciado pelo famoso alemão
O matemático do século XVII Wilhelm Leibniz.
Na Europa há muito tempo o trabalho
chamada de soma da multiplicação. Nome
"multiplicador" é mencionado em 11 obras
século, e “multiplicando” no século XIII.
Na Rússia ele deu nomes pela primeira vez
componentes da multiplicação Leonty
Magnitsky no início do século XVIII.
William Oughtred
(1574-1660)

Sinal de igual =

símbolos.
O sinal de igual foi indicado em diferentes
vezes de maneiras diferentes: tanto em palavras quanto
símbolos.
O sinal “=”, que para nós é muito claro, foi introduzido em
1557 matemático e médico inglês
Roberto Registro.
Ele explicou a escolha do sinal desta forma. "Dois não
o assunto não pode ser em maior medida
iguais entre si, como dois paralelos
direto"
Este sinal passou a ser de uso geral
somente no século 18, graças ao alemão
matemático Wilhelm Leibniz.
Guilherme Leibniz
(1646-1716)

Maior que >, menor que sinais<, неравенство ≠

Sinais maiores que >,
menos<,
desigualdade ≠
A necessidade de resolver equações existia na antiguidade
causada pela necessidade de resolver problemas associados
encontrar as áreas dos terrenos e
terraplanagens de natureza militar. Sabe-se que
2.000 aC eles já sabiam como usar equações quadráticas
os babilônios decidem. Em suas tabuinhas cuneiformes
Existem equações quadráticas completas e incompletas.
Regras para resolver equações estabelecidas em babilônico
textos coincidem essencialmente com os modernos, mas
permanece desconhecido como os babilônios chegaram
antes dessas regras. Textos cuneiformes são fornecidos apenas
problemas com soluções, apresentados em forma de receitas, sem
indícios de como foram encontrados.
Os conceitos de “mais”, “menos”, “igual” apareceram em
tempos antigos como resultado da necessidade
fazer uma troca igualitária de resultados do trabalho.
Modelos matemáticos foram criados para resolver problemas
na forma de desigualdades e equações. Grau de dificuldade
este último aumentou com o desenvolvimento da sociedade,
pensamento humano. Isto também se refletiu no desenvolvimento
ciência matemática. Métodos foram melhorados
soluções.

Sinais de desigualdade ">", "<« появились впервые в 1631
ano (Harriot, inglês), com base no sinal de igual. Se
duas quantidades não são iguais, então os segmentos que aparecem em
sinal de igual, não são mais paralelos, mas se cruzam.
A intersecção pode ocorrer à direita e à esquerda.
Apesar de os sinais de desigualdade terem sido
proposto depois do sinal de igual, eles entraram em
usar muito antes. Uma das razões é
quais gráficas usaram para sinais de desigualdade
eles têm a letra latina V. Considerando que
Eles não tinham o sinal de composição “=”. E para fazer isso
não foi fácil.
Algumas igualdades da antiguidade
No Livro V dos Elementos de Euclides.
Se a é o maior número da proporção então existe
desigualdade a+d > b+c, onde a, b, c, d são positivos
números.
Pappus de Alexandria, "Coleção Matemática". III
século
Se a desigualdade for válida, então ad > dc, onde a, b, c, d
– números positivos.

Porcentagem %

Esta palavra é traduzida do latim
significa "por cem".
Os interesses eram especialmente comuns
V Roma antiga. Os romanos chamavam
juros sobre o dinheiro que paguei
devedor por cada cem. Por muito tempo
juros significavam lucro ou
perda para cada cem rublos. Eles
eram usados ​​apenas no comércio e
transações monetárias. Então eles se tornaram
usado tanto na ciência como na tecnologia.
Existem duas opiniões sobre o sinal
por cento.
1. O sinal % vem do italiano
a palavra "cento" (cem), que foi escrita
abreviado como cto. Nos cálculos esta palavra
escrevi a carta t muito rápida e gradualmente
cruzado em uma barra, aconteceu
símbolo para porcentagem.
2. O sinal de porcentagem surgiu graças a
erro de digitação. Em 1685 em Paris houve
foi publicado um livro sobre aritmética, onde
erro, o compositor digitou % em vez de cto.
Após esse erro, muitos matemáticos
começou a usar o sinal % para
símbolos de porcentagem. Aos poucos isso
o sinal recebeu reconhecimento universal.
Roberto Registro
Inglês matemático, médico
(1510-1558)

Fração comum

Arquimedes
(cerca de 287-212
AC.)
As primeiras frações que conhecemos
história, estas são frações da forma:
½; 1/3; ¼ - frações unitárias Essas frações surgiram
2.000 anos atrás. Arquimedes teve outros
frações, números. Nós os chamamos de mistos.
Na língua russa, a palavra “fração” apareceu em
Século VIII, vem do verbo “esmagar”
- quebrar em pedaços. Nos primeiros livros didáticos
matemáticos chamavam frações de “quebradas
números."
A notação moderna para frações é
seu começo em Índia Antiga. Inicialmente em
notação de frações não foi usada fracionária
característica. A linha de fração tornou-se permanente
usado apenas cerca de 300 anos atrás.
Em 1202, o comerciante italiano Fibonacci (1170-1250) introduziu a palavra “fração”.
Os nomes “numerador” e “denominador” foram inseridos
Século 13 Maximus Planud - monge grego,
cientista, matemático.
EM Europa Ocidental teoria do comum
frações foram dadas em 1585 por um engenheiro flamengo
Simão Stevin.

Conclusão

Com o aparecimento gradual de símbolos matemáticos
todas as palavras em
fórmulas (designações de operações, relações
comparações, etc.) foram substituídas, a matemática ganhou
língua própria que não requer tradução, uma língua com
significado claramente definido de “palavras” e estrito
gramática, permitindo deduzir do verdadeiro
existem outras afirmações que são igualmente verdadeiras. Em que
notou-se que símbolos bem desenhados,
refletir as propriedades dos objetos substituídos ajuda
evitar erros ou interpretações erradas,
transferir parte da pesquisa para técnicos
nível, muitas vezes “sugerem” o caminho certo para
resolvendo o problema. De acordo com Alfred Whitehead,
a designação bem-sucedida libera o cérebro de tarefas desnecessárias
trabalho, permitindo-lhe assim concentrar-se
tarefas mais importantes.

Balagin Victor

Com a descoberta de regras e teoremas matemáticos, os cientistas criaram novas notações e sinais matemáticos. Sinais matemáticos são símbolos, destinado ao registro de conceitos matemáticos, sentenças e cálculos. Em matemática, símbolos especiais são usados ​​para encurtar a notação e expressar a afirmação com mais precisão. Além de números e letras de vários alfabetos (latim, grego, hebraico), a linguagem matemática usa muitos símbolos especiais inventados nos últimos séculos.

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SÍMBOLOS MATEMÁTICOS.

Eu fiz o trabalho

aluno do 7º ano

Escola secundária GBOU nº 574

Balagin Victor

Ano letivo 2012-2013

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS.

1. Introdução

A palavra matemática veio do grego antigo, onde μάθημα significava “aprender”, “adquirir conhecimento”. E engana-se quem diz: “Não preciso de matemática, não vou ser matemático”. Todo mundo precisa de matemática. Revelando o maravilhoso mundo dos números que nos rodeia, ensina-nos a pensar com mais clareza e consistência, desenvolve o pensamento, a atenção e promove a perseverança e a vontade. M. V. Lomonosov disse: “A matemática põe a mente em ordem”. Em uma palavra, a matemática nos ensina a aprender a adquirir conhecimento.

A matemática é a primeira ciência que o homem pode dominar. A atividade mais antiga era contar. Algumas tribos primitivas contavam o número de objetos usando os dedos das mãos e dos pés. Uma pintura rupestre que sobreviveu até hoje desde a Idade da Pedra retrata o número 35 na forma de 35 varetas desenhadas em uma fileira. Podemos dizer que 1 bastão é o primeiro símbolo matemático.

A “escrita” matemática que usamos agora - desde a designação de incógnitas com as letras x, y, z até o sinal integral - desenvolveu-se gradualmente. O desenvolvimento do simbolismo simplificou o trabalho com operações matemáticas e contribuiu para o desenvolvimento da própria matemática.

Do grego antigo “símbolo” (grego. símbolo - signo, presságio, senha, emblema) - signo que está associado à objetividade que denota de tal forma que o significado do signo e seu objeto são representados apenas pelo próprio signo e só são revelados por meio de sua interpretação.

Com a descoberta de regras e teoremas matemáticos, os cientistas criaram novas notações e sinais matemáticos. Sinais matemáticos são símbolos projetados para registrar conceitos, sentenças e cálculos matemáticos. Em matemática, símbolos especiais são usados ​​para encurtar a notação e expressar a afirmação com mais precisão. Além de números e letras de vários alfabetos (latim, grego, hebraico), a linguagem matemática usa muitos símbolos especiais inventados nos últimos séculos.

2. Sinais de adição e subtração

A história da notação matemática começa com o Paleolítico. Pedras e ossos com entalhes usados ​​para contagem datam dessa época. O exemplo mais famoso éOsso de Ishango. O famoso osso de Ishango (Congo) datado de aproximadamente 20 mil anos atrás nova era, prova que já naquela época o homem realizava operações matemáticas bastante complexas. Os entalhes nos ossos serviam para adição e eram aplicados em grupos, simbolizando a adição de números.

EM Antigo Egito já existia um sistema de notação muito mais avançado. Por exemplo, emPapiro AhmesO símbolo de adição usa uma imagem de duas pernas andando para frente no texto, e o símbolo de subtração usa duas pernas andando para trás.Os antigos gregos indicavam a adição escrevendo lado a lado, mas ocasionalmente usavam o símbolo de barra “/” e uma curva semi-elíptica para subtração.

Os símbolos para as operações aritméticas de adição (mais “+’’) e subtração (menos “-‘’) são tão comuns que quase nunca pensamos no fato de que nem sempre existiram. A origem desses símbolos não é clara. Uma versão é que eles eram anteriormente usados ​​em negociações como sinais de lucros e perdas.

Acredita-se também que nosso signovem de uma forma da palavra “et”, que significa “e” em latim. Expressão a+b foi escrito em latim assim: a e b . Aos poucos, devido ao uso frequente, a partir do sinal " et "permanece apenas" t "que, com o tempo, se transformou em"+ ". A primeira pessoa que pode ter usado o sinalcomo abreviatura de et, foi a astrônoma Nicole d'Oresme (autora de O Livro do Céu e do Mundo) em meados do século XIV.

No final do século XV, o matemático francês Chiquet (1484) e o italiano Pacioli (1494) utilizaram “'' ou " ’’ (denotando “mais”) para adição e “'' ou " '' (denotando "menos") para subtração.

A notação de subtração era mais confusa porque em vez de um simples “” em livros alemães, suíços e holandeses eles às vezes usavam o símbolo “÷'', que agora usamos para denotar divisão. Vários livros do século XVII (como Descartes e Mersenne) usam dois pontos “∙ ∙’’ ou três pontos “∙ ∙ ∙’’ para indicar subtração.

Primeiro uso do símbolo algébrico moderno “”refere-se a um manuscrito de álgebra alemão de 1481 que foi encontrado na biblioteca de Dresden. Num manuscrito latino da mesma época (também da biblioteca de Dresden), existem os dois caracteres: "" E " - " . Uso sistemático de sinais "" e " - " para adição e subtração são encontrados emJohann Widmann. O matemático alemão Johann Widmann (1462-1498) foi o primeiro a utilizar ambos os sinais para marcar a presença e ausência de alunos em suas aulas. É verdade que há informações de que ele “pegou emprestado” esses sinais de um professor pouco conhecido da Universidade de Leipzig. Em 1489, publicou o primeiro livro impresso em Leipzig (Aritmética Mercantil - “Aritmética Comercial”), no qual ambos os signos estavam presentes E , na obra “Um relato rápido e agradável para todos os mercadores” (c. 1490)

A título de curiosidade histórica, vale ressaltar que mesmo após a adoção do sinalnem todos usaram este símbolo. O próprio Widmann a apresentou como a cruz grega(o sinal que usamos hoje), em que o traço horizontal às vezes é um pouco mais longo que o vertical. Alguns matemáticos, como Record, Harriot e Descartes, usaram o mesmo sinal. Outros (como Hume, Huygens e Fermat) usaram a cruz latina "†", às vezes posicionada horizontalmente, com uma barra transversal em uma extremidade ou outra. Finalmente, alguns (como Halley) usaram um visual mais decorativo” ».

3.Sinal de igual

O sinal de igual em matemática e outras ciências exatas é escrito entre duas expressões de tamanho idêntico. Diofanto foi o primeiro a usar o sinal de igual. Ele designou igualdade com a letra i (do grego isos - igual). EMmatemática antiga e medievala igualdade era indicada verbalmente, por exemplo, est egale, ou usavam a abreviatura “ae” do latim aequalis - “igual”. Outras línguas também usaram as primeiras letras da palavra “igual”, mas isso não foi geralmente aceito. O sinal de igual "=" foi introduzido em 1557 por um médico e matemático galêsRoberto Registro(Registro R., 1510-1558). Em alguns casos, o símbolo matemático para denotar igualdade era o símbolo II. A Record introduziu o símbolo “=’’ com duas linhas paralelas horizontais iguais, muito mais longas do que as usadas hoje. O matemático inglês Robert Record foi o primeiro a usar o símbolo de igualdade, argumentando com as palavras: “não há dois objetos mais iguais entre si do que dois segmentos paralelos”. Mas ainda emSéculo XVIIRené Descartesusou a abreviatura “ae”.François VietO sinal de igual denota subtração. Durante algum tempo, a difusão do símbolo Record foi dificultada pelo fato de o mesmo símbolo ser utilizado para indicar o paralelismo de linhas retas; No final, optou-se por tornar o símbolo de paralelismo vertical. O sinal se difundiu somente após a obra de Leibniz, na virada dos séculos XVII para XVIII, ou seja, mais de 100 anos após a morte de quem o utilizou pela primeira vez para esse fim.Roberto Registro. Não há palavras em sua lápide - apenas um sinal de igual gravado nela.

Os símbolos relacionados para denotar a igualdade aproximada "≈" e a identidade "≡" são muito jovens - o primeiro foi introduzido em 1885 por Günther, o segundo em 1857Riemann

4. Sinais de multiplicação e divisão

O sinal de multiplicação em forma de cruz ("x") foi introduzido por um padre-matemático anglicanoWilliam Oughtred V 1631. Antes dele, a letra M era usada para o sinal de multiplicação, embora outras notações também tenham sido propostas: o símbolo do retângulo (Erígon, ), asterisco ( Johann Rahn, ).

Mais tarde Leibnizsubstituiu a cruz por um ponto (finalséculo 17), para não confundir com a letra x ; antes dele, tal simbolismo foi encontrado entreRegiomontana (Século 15) e cientista inglêsThomas Herriot (1560-1621).

Para indicar a ação da divisãoEditarbarra preferida. Os dois pontos começaram a denotar divisãoLeibniz. Antes deles, a letra D também era frequentemente usada. Começando comFibonacci, também é utilizada a linha de fração, que era usada em obras árabes. Divisão na forma obelus ("÷") introduzido por um matemático suíçoJohann Rahn(c. 1660)

5. Sinal de porcentagem.

Um centésimo de um todo, tomado como unidade. A própria palavra “por cento” vem do latim “pro centum”, que significa “por cem”. Em 1685, o livro “Manual de Aritmética Comercial” de Mathieu de la Porte (1685) foi publicado em Paris. Num local falava-se em percentagens, que eram então designadas “cto” (abreviação de cento). No entanto, o tipógrafo confundiu este "cto" com uma fração e imprimiu "%". Então, devido a um erro de digitação, esse sinal passou a ser usado.

6. Sinal do infinito

O atual símbolo do infinito "∞" entrou em usoJoão Wallis em 1655. João Wallispublicou um grande tratado "Aritmética do Infinito" (lat.Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi em Curvilineorum Quadraturam, também conhecido como Difficiliora Matheseos Problemata), onde ele digitou o símbolo que inventouinfinidade. Ainda não se sabe por que ele escolheu este sinal específico. Uma das hipóteses mais confiáveis ​​conecta a origem deste símbolo com Letra latina"M" que os romanos usavam para representar o número 1000.O símbolo do infinito foi denominado "lemnisco" (fita latina) pelo matemático Bernoulli cerca de quarenta anos depois.

Outra versão diz que a figura oito transmite a principal propriedade do conceito de “infinito”: movimento infinitamente . Seguindo as linhas do número 8, você pode se mover indefinidamente, como em uma ciclovia. Para não confundir o sinal inserido com o número 8, os matemáticos decidiram colocá-lo na horizontal. Ocorrido. Essa notação tornou-se padrão para toda a matemática, não apenas para a álgebra. Por que o infinito não é representado por zero? A resposta é óbvia: não importa como você gire o número 0, ele não mudará. Portanto, a escolha recaiu sobre 8.

Outra opção é uma cobra devorando o próprio rabo, que mil e quinhentos anos aC no Egito simbolizava vários processos que não tinham começo nem fim.

Muitos acreditam que a tira de Möbius é a progenitora do símboloinfinidade, porque o símbolo do infinito foi patenteado após a invenção do dispositivo de tira Mobius (em homenagem ao matemático do século XIX Moebius). Uma tira de Möbius é uma tira de papel curvada e conectada nas extremidades, formando duas superfícies espaciais. Porém, de acordo com as informações históricas disponíveis, o símbolo do infinito começou a ser utilizado para representar o infinito dois séculos antes da descoberta da faixa de Möbius.

7. Sinais ângulo um e perpendicular ainda

Símbolos " canto" E " perpendicular"inventado em 1634Matemático francêsPierre Erigon. Seu símbolo de perpendicularidade estava invertido, lembrando a letra T. O símbolo do ângulo lembrava um ícone, deu-lhe uma forma modernaWilliam Oughtred ().

8. Assine paralelismo E

Símbolo " paralelismo» conhecido desde a antiguidade, era usadoGarça E Papo de Alexandria. A princípio o símbolo era semelhante ao atual sinal de igual, mas com o advento deste último, para evitar confusão, o símbolo foi virado verticalmente (Editar(1677), Kersey (John Kersey ) e outros matemáticos do século XVII)

9.Pi

A designação geralmente aceita de um número igual à razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro (3,1415926535...) foi formada pela primeira vezWilliam Jones V 1706, tomando a primeira letra das palavras gregas περιφέρεια -círculo e περίμετρος - perímetro, isto é, a circunferência. Gostei desta abreviatura.Euler, cujas obras estabeleceram firmemente a designação.

10. Seno e cosseno

A aparência do seno e do cosseno é interessante.

Seio do latim - seio, cavidade. Mas esse nome tem uma longa história. Os matemáticos indianos fizeram grandes progressos na trigonometria por volta do século V. A palavra “trigonometria” em si não existia; foi introduzida por Georg Klügel em 1770.) O que hoje chamamos de seno corresponde aproximadamente ao que os hindus chamavam de ardha-jiya, traduzido como meia corda (ou seja, meio acorde). Para resumir, eles simplesmente o chamaram de jiya (corda). Quando os árabes traduziram as obras dos hindus do sânscrito, eles não traduziram a “string” para o árabe, mas simplesmente transcreveram a palavra em letras árabes. O resultado foi um jiba. Mas como na escrita árabe silábica as vogais curtas não são indicadas, o que realmente resta é jb, que é semelhante a outra palavra árabe - jaib (oco, seio). Quando Gerardo de Cremona traduziu os árabes para o latim no século XII, ele traduziu a palavra como sinus, que em latim também significa sinus, depressão.

O cosseno apareceu automaticamente, porque os hindus o chamavam de koti-jiya, ou ko-jiya, para abreviar. Koti é a extremidade curva de um arco em sânscrito.Notações taquigráficas modernas e introduzido William Oughtrede consagrado nas obras Euler.

A notação tangente/cotangente tem origens muito posteriores ( palavra em inglês tangente vem do latim tangere - tocar). E mesmo agora não existe uma designação unificada - em alguns países a designação tan é mais usada, em outros - tg

11. Abreviatura “O que era necessário provar” (etc.)

« Quod erat demonstrandum "(quol erat lamonstranlum).
A frase grega significa “o que precisava ser provado” e a latina significa “o que precisava ser mostrado”. Esta fórmula encerra todos os argumentos matemáticos do grande matemático grego Grécia antiga Euclides (século III aC). Traduzido do latim - que era o que precisava ser comprovado. Nos tratados científicos medievais esta fórmula era frequentemente escrita de forma abreviada: QED.

12. Notação matemática.

Símbolos	História dos símbolos
	Os sinais de mais e menos foram aparentemente inventados na escola matemática alemã de “Kossiistas” (isto é, algebristas). Eles são usados ​​​​na Aritmética de Johann Widmann, publicada em 1489. Anteriormente, a adição era denotada pela letra p (mais) ou a palavra latina et (conjunção “e”), e a subtração pela letra m (menos). Para Widmann, o símbolo de mais substitui não apenas a adição, mas também a conjunção “e”. A origem destes símbolos não é clara, mas muito provavelmente foram utilizados anteriormente em negociações como indicadores de lucros e perdas. Ambos os símbolos tornaram-se quase instantaneamente comuns na Europa - com exceção da Itália.
× ∙	O sinal de multiplicação foi introduzido em 1631 por William Oughtred (Inglaterra) na forma de uma cruz oblíqua. Antes dele usava-se a letra M. Mais tarde, Leibniz substituiu a cruz por um ponto (final do século XVII) para não confundi-la com a letra x; antes dele, tal simbolismo foi encontrado em Regiomontan (século XV) e no cientista inglês Thomas Harriot (1560-1621).
/ : ÷	Oughtred preferiu a barra. Leibniz começou a denotar divisão com dois pontos. Antes deles, também se usava com frequência a letra D. A partir de Fibonacci, também se usa a linha fracionária, que era usada nas escritas árabes. Na Inglaterra e nos EUA, o símbolo ÷ (obelus), proposto por Johann Rahn e John Pell em meados do século XVII, tornou-se difundido.
=	O sinal de igual foi proposto por Robert Record (1510-1558) em 1557. Ele explicou que não há nada mais igual no mundo do que dois segmentos paralelos do mesmo comprimento. Na Europa continental, o sinal de igual foi introduzido por Leibniz.
	Sinais comparativos foram introduzidos por Thomas Herriot em sua obra, publicada postumamente em 1631. Antes dele escreviam com as palavras: mais, menos.
%	O símbolo da percentagem aparece em meados do século XVII em diversas fontes, a sua origem não é clara. Existe a hipótese de que tenha surgido de erro de um digitador, que digitou a abreviatura cto (cento, centésimo) como 0/0. É mais provável que este seja um ícone comercial cursivo que apareceu cerca de 100 anos antes.
√	O sinal de raiz foi utilizado pela primeira vez pelo matemático alemão Christoph Rudolf, da escola cossista, em 1525. Este símbolo vem da primeira letra estilizada da palavra radix (raiz). A princípio não havia nenhuma linha acima da expressão radical; mais tarde foi introduzido por Descartes para um propósito diferente (em vez de parênteses), e esse recurso logo se fundiu com o sinal de raiz.
um	Exponenciação. A notação moderna para o expoente foi introduzida por Descartes em sua “Geometria” (1637), entretanto, apenas para graus naturais, maior que 2. Mais tarde, Newton estendeu esta forma de notação para expoentes negativos e fracionários (1676).
()	Parênteses apareceram em Tartaglia (1556) para expressões radicais, mas a maioria dos matemáticos preferiu sublinhar a expressão destacada em vez de parênteses. Leibniz introduziu colchetes no uso geral.
	O sinal de soma foi introduzido por Euler em 1755
	O símbolo do produto foi introduzido por Gauss em 1812
eu	A letra i como código de unidade imaginária:proposta por Euler (1777), que tomou para isso a primeira letra da palavra imaginarius (imaginário).
π	A designação geralmente aceita para o número 3.14159... foi formada por William Jones em 1706, tomando a primeira letra das palavras gregas περιφέρεια - círculo e περίμετρος - perímetro, ou seja, a circunferência.
	Leibniz derivou sua notação para a integral da primeira letra da palavra “Summa”.
você"	A notação curta de uma derivada por um número primo remonta a Lagrange.
	O símbolo do limite apareceu em 1787 por Simon Lhuillier (1750-1840).
	O símbolo do infinito foi inventado por Wallis e publicado em 1655.

13. Conclusão

A ciência matemática é essencial para uma sociedade civilizada. A matemática está contida em todas as ciências. A linguagem matemática se mistura com a linguagem da química e da física. Mas ainda entendemos isso. Podemos dizer que começamos a aprender a linguagem da matemática junto com a nossa fala nativa. Foi assim que a matemática entrou inextricavelmente em nossas vidas. Graças às descobertas matemáticas do passado, os cientistas criam novas tecnologias. As descobertas sobreviventes permitem resolver problemas matemáticos complexos. E a antiga linguagem matemática é clara para nós e as descobertas são interessantes para nós. Graças à matemática, Arquimedes, Platão, Newton descobriram leis físicas. Nós os estudamos na escola. Na física também existem símbolos e termos inerentes à ciência física. Mas a linguagem matemática não se perde entre as fórmulas físicas. Pelo contrário, estas fórmulas não podem ser escritas sem conhecimento de matemática. A história preserva conhecimentos e fatos para as gerações futuras. Um estudo mais aprofundado da matemática é necessário para novas descobertas. Para usar visualizações de apresentações, crie uma conta do Google e faça login nela: https://accounts.google.com

Legendas dos slides:

Símbolos matemáticos O trabalho foi realizado por um aluno do 7º ano da escola nº 574 Balagin Victor

Símbolo (símbolo grego - sinal, presságio, senha, emblema) é um signo que está associado à objetividade que denota de tal forma que o significado do signo e seu objeto são representados apenas pelo próprio signo e são revelados apenas através de seu interpretação. Sinais são símbolos matemáticos projetados para registrar conceitos, sentenças e cálculos matemáticos.

Osso de Ishango, parte do Papiro Ahmes

+ − Sinais de mais e menos. A adição era indicada pela letra p (mais) ou pela palavra latina et (conjunção “e”), e a subtração pela letra m (menos). A expressão a + b foi escrita em latim assim: a et b.

Notação de subtração. ÷ ∙ ∙ ou ∙ ∙ ∙ René Descartes Maren Mersenne

Uma página do livro de Johann Widmann. Em 1489, Johann Widmann publicou o primeiro livro impresso em Leipzig (Aritmética Mercantil - “Aritmética Comercial”), no qual os sinais + e - estavam presentes.

Notação de adição. Christiaan Huygens David Hume Pierre de Fermat Edmund (Edmond) Halley

Sinal de igual Diofanto foi o primeiro a usar o sinal de igual. Ele designou igualdade com a letra i (do grego isos - igual).

Sinal de igual Proposto em 1557 pelo matemático inglês Robert Record “Não existem dois objetos mais iguais entre si do que dois segmentos paralelos.” ​​Na Europa continental, o sinal de igual foi introduzido por Leibniz

× ∙ O sinal de multiplicação foi introduzido em 1631 por William Oughtred (Inglaterra) na forma de uma cruz oblíqua. Leibniz substituiu a cruz por um ponto (final do século XVII) para não confundi-la com a letra x. William Oughtred Gottfried Wilhelm Leibniz

Por cento. Mathieu de la Porte (1685). Um centésimo de um todo, tomado como unidade. “por cento” - “pro centum”, que significa “por cem”. "cto" (abreviação de cento). O digitador confundiu “cto” com uma fração e digitou “%”.

Infinidade. John Wallis John Wallis introduziu o símbolo que inventou em 1655. A serpente devorando sua cauda simbolizava vários processos que não têm começo nem fim.

O símbolo do infinito começou a ser usado para representar o infinito dois séculos antes da descoberta da faixa de Möbius. Uma faixa de Möbius é uma tira de papel curvada e conectada em suas extremidades, formando duas superfícies espaciais. Augusto Fernando Mobius

Ângulo e perpendicular. Os símbolos foram inventados em 1634 pelo matemático francês Pierre Erigon. O símbolo do ângulo de Erigon lembrava um ícone. O símbolo de perpendicularidade foi invertido, lembrando a letra T. Esses sinais receberam sua forma moderna por William Oughtred (1657).

Paralelismo. O símbolo foi usado por Heron de Alexandria e Pappus de Alexandria. A princípio o símbolo era semelhante ao atual sinal de igual, mas com o advento deste último, para evitar confusão, o símbolo foi virado verticalmente. Garça de Alexandria

Pi. π ≈ 3.1415926535... William Jones em 1706 π εριφέρεια é o círculo e π ερίμετρος é o perímetro, ou seja, a circunferência. Euler gostou desta abreviatura, cujas obras finalmente consolidaram a designação. William Jones

sin Seno e cosseno cos Sinus (do latim) – seio, cavidade. Kochi-jiya, ou ko-jiya, para abreviar. Coty - a extremidade curva de um arco A notação taquigráfica moderna foi introduzida por William Oughtred e estabelecida nas obras de Euler. “Arha-jiva” - entre os índios - “meia corda” Leonard Euler William Oughtred

O que era necessário provar (etc.) “Quod erat demonstrandum” QED. Esta fórmula encerra todos os argumentos matemáticos do grande matemático da Grécia Antiga, Euclides (século III aC).

A antiga linguagem matemática é clara para nós. Na física também existem símbolos e termos inerentes à ciência física. Mas a linguagem matemática não se perde entre as fórmulas físicas. Pelo contrário, estas fórmulas não podem ser escritas sem conhecimento de matemática.

Quando as pessoas interagem por muito tempo dentro de um determinado ramo de atividade, elas começam a buscar uma forma de otimizar o processo de comunicação. O sistema de sinais e símbolos matemáticos é uma linguagem artificial que foi desenvolvida para reduzir a quantidade de informações transmitidas graficamente e, ao mesmo tempo, preservar totalmente o significado da mensagem.

Qualquer idioma requer aprendizagem, e a linguagem da matemática nesse aspecto não é exceção. Para entender o significado de fórmulas, equações e gráficos, você precisa ter certas informações com antecedência, entender os termos, sistema de notação, etc. Na ausência de tal conhecimento, o texto será percebido como escrito em uma língua estrangeira desconhecida.

De acordo com as necessidades da sociedade, os símbolos gráficos para operações matemáticas mais simples (por exemplo, notação para adição e subtração) foram desenvolvidos antes do que para conceitos complexos como integral ou diferencial. Quanto mais complexo o conceito, mais complexo é o sinal que geralmente é denotado.

Modelos para formação de símbolos gráficos

Nos primeiros estágios do desenvolvimento da civilização, as pessoas associavam as operações matemáticas mais simples a conceitos familiares baseados em associações. Por exemplo, no Antigo Egito, a adição e a subtração eram indicadas por um padrão de pés andando: linhas direcionadas na direção da leitura indicavam “mais”, e em lado reverso- "menos".

Os números, talvez em todas as culturas, foram inicialmente designados pelo número correspondente de linhas. Posteriormente, notações convencionais passaram a ser utilizadas para gravação - isso economizou tempo e espaço na mídia física. As letras eram frequentemente utilizadas como símbolos: esta estratégia tornou-se difundida no grego, no latim e em muitas outras línguas do mundo.

A história do surgimento de símbolos e signos matemáticos conhece duas das formas mais produtivas de criação de elementos gráficos.

Convertendo uma representação verbal

Inicialmente, qualquer conceito matemático é expresso por uma determinada palavra ou frase e não possui representação gráfica própria (além da lexical). No entanto, realizar cálculos e escrever fórmulas em palavras é um procedimento demorado e ocupa uma quantidade excessivamente grande de espaço em um meio físico.

Uma forma comum de criar símbolos matemáticos é transformar a representação lexical de um conceito em um elemento gráfico. Em outras palavras, a palavra que denota um conceito é encurtada ou transformada de alguma outra forma ao longo do tempo.

Por exemplo, a principal hipótese para a origem do sinal de mais é a sua abreviatura do latim et, cujo análogo em russo é a conjunção “e”. Gradualmente, a primeira letra em escrita cursiva deixou de ser escrita, e t reduzido a uma cruz.

Outro exemplo é o sinal “x” para o desconhecido, que originalmente era uma abreviatura da palavra árabe para “alguma coisa”. De forma semelhante, sinais para indicar raiz quadrada, porcentagem, integral, logaritmo, etc. Na tabela de símbolos e sinais matemáticos você encontra mais de uma dezena de elementos gráficos que apareceram desta forma.

Atribuição de personagem personalizada

A segunda opção comum para a formação de sinais e símbolos matemáticos é atribuir o símbolo de forma arbitrária. Neste caso, a palavra e a designação gráfica não estão relacionadas entre si - o sinal normalmente é aprovado por recomendação de um dos membros da comunidade científica.

Por exemplo, os sinais de multiplicação, divisão e igualdade foram propostos pelos matemáticos William Oughtred, Johann Rahn e Robert Record. Em alguns casos, vários símbolos matemáticos podem ter sido introduzidos na ciência por um cientista. Em particular, Gottfried Wilhelm Leibniz propôs uma série de símbolos, incluindo integral, diferencial e derivada.

Operações mais simples

Todo aluno conhece sinais como “mais” e “menos”, bem como símbolos de multiplicação e divisão, apesar de existirem vários sinais gráficos possíveis para as duas últimas operações mencionadas.

É seguro dizer que as pessoas sabiam somar e subtrair muitos milênios antes de nossa era, mas sinais e símbolos matemáticos padronizados que denotam essas ações e que conhecemos hoje apareceram apenas entre os séculos XIV e XV.

Porém, apesar do estabelecimento de um certo acordo na comunidade científica, a multiplicação em nosso tempo pode ser representada por três vários sinais(cruz diagonal, ponto, asterisco) e divisão - dois (linha horizontal com pontos acima e abaixo ou barra).

Cartas

Durante muitos séculos, a comunidade científica utilizou exclusivamente o latim para comunicar informações, e muitos termos e símbolos matemáticos têm origem nesta língua. Em alguns casos, os elementos gráficos resultaram do encurtamento de palavras, menos frequentemente - da sua transformação intencional ou acidental (por exemplo, devido a um erro de digitação).

A designação percentual (“%”) provavelmente vem de um erro ortográfico da abreviatura Quem(cento, ou seja, “centésima parte”). De forma semelhante surgiu o sinal de mais, cuja história é descrita acima.

Muito mais foi formado pelo encurtamento deliberado da palavra, embora isso nem sempre seja óbvio. Nem toda pessoa reconhece a letra do sinal de raiz quadrada R, ou seja, o primeiro caractere da palavra Radix (“raiz”). O símbolo integral também representa a primeira letra da palavra Summa, mas intuitivamente parece uma letra maiúscula f sem uma linha horizontal. A propósito, na primeira publicação os editores cometeram esse erro ao imprimir f em vez deste símbolo.

letras gregas

Não apenas os latinos são usados ​​como notações gráficas para vários conceitos, mas também na tabela de símbolos matemáticos você pode encontrar vários exemplos de tais nomes.

O número Pi, que é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, vem da primeira letra da palavra grega para círculo. Existem vários outros números irracionais menos conhecidos, denotados por letras do alfabeto grego.

Um sinal extremamente comum em matemática é “delta”, que reflete a quantidade de mudança no valor das variáveis. Outro sinal comumente usado é “sigma”, que funciona como um sinal de soma.

Além disso, quase todas as letras gregas são usadas em matemática de uma forma ou de outra. No entanto, esses sinais e símbolos matemáticos e seu significado são conhecidos apenas por pessoas que se dedicam profissionalmente à ciência. Uma pessoa não precisa desse conhecimento na vida cotidiana.

Sinais de lógica

Curiosamente, muitos símbolos intuitivos foram inventados recentemente.

Em particular, a seta horizontal que substitui a palavra “portanto” foi proposta apenas em 1922. Quantificadores de existência e universalidade, ou seja, sinais lidos como: “há...” e “para qualquer...”, foram introduzidos em 1897 e 1935 respectivamente.

Os símbolos do campo da teoria dos conjuntos foram inventados em 1888-1889. E o círculo riscado, que hoje é conhecido por qualquer estudante do ensino médio como o sinal de um conjunto vazio, apareceu em 1939.

Assim, os símbolos para conceitos complexos como integral ou logaritmo foram inventados séculos antes de alguns símbolos intuitivos que são facilmente percebidos e aprendidos mesmo sem preparação prévia.

Símbolos matemáticos em inglês

Devido ao fato de uma parte significativa dos conceitos ter sido descrita em trabalhos científicos em latim, vários nomes de sinais e símbolos matemáticos em inglês e russo são iguais. Por exemplo: Mais, Integral, Função Delta, Perpendicular, Paralelo, Nulo.

Alguns conceitos nas duas linguagens são chamados de forma diferente: por exemplo, divisão é Divisão, multiplicação é Multiplicação. Em casos raros nome inglês pois um sinal matemático está ganhando alguma popularidade em russo: por exemplo, a barra em últimos anos muitas vezes referido como “barra”.

tabela de símbolos

A maneira mais fácil e conveniente de se familiarizar com a lista de sinais matemáticos é consultar uma tabela especial que contém sinais de operação, símbolos de lógica matemática, teoria dos conjuntos, geometria, combinatória, analise matemática, álgebra Linear. Esta tabela apresenta os símbolos matemáticos básicos em inglês.

Símbolos matemáticos em um editor de texto

Ao realizar vários tipos de trabalho, muitas vezes é necessário utilizar fórmulas que utilizam caracteres que não estão no teclado do computador.

Assim como os elementos gráficos de quase todas as áreas do conhecimento, os sinais e símbolos matemáticos do Word podem ser encontrados na aba “Inserir”. Nas versões do programa 2003 ou 2007, existe a opção “Inserir símbolo”: ao clicar no botão do lado direito do painel, o usuário verá uma tabela que apresenta todos os símbolos matemáticos necessários, gregos minúsculos e maiúsculos cartas, tipos diferentes colchetes e muito mais.

Nas versões do programa lançadas após 2010, foi desenvolvida uma opção mais conveniente. Ao clicar no botão “Fórmula”, você vai para o construtor da fórmula, que prevê o uso de frações, inserindo dados na raiz, alterando o registro (para indicar potências ou números de série das variáveis). Todos os sinais da tabela apresentada acima também podem ser encontrados aqui.

Vale a pena aprender símbolos matemáticos?

O sistema de notação matemática é uma linguagem artificial que apenas simplifica o processo de escrita, mas não pode levar a compreensão do assunto a um observador externo. Assim, memorizar signos sem estudar termos, regras e conexões lógicas entre conceitos não levará ao domínio desta área do conhecimento.

O cérebro humano aprende facilmente sinais, letras e abreviações - os símbolos matemáticos são lembrados por si próprios ao estudar o assunto. A compreensão do significado de cada ação específica cria sinais tão fortes que os sinais que denotam os termos, e muitas vezes as fórmulas a eles associadas, permanecem na memória por muitos anos e até décadas.

Finalmente

Como qualquer linguagem, inclusive a artificial, está aberta a mudanças e acréscimos, o número de sinais e símbolos matemáticos certamente aumentará com o tempo. É possível que alguns elementos sejam substituídos ou ajustados, enquanto outros sejam padronizados na única forma possível, o que é relevante, por exemplo, para sinais de multiplicação ou divisão.

A capacidade de usar símbolos matemáticos no nível de um curso escolar completo é praticamente necessária no mundo moderno. No contexto de rápido desenvolvimento tecnologias de informação e a ciência, a algoritmização e a automação generalizadas, o domínio do aparato matemático devem ser considerados um dado adquirido e o domínio dos símbolos matemáticos como parte integrante dele.

Uma vez que os cálculos são utilizados na esfera humanitária, na economia, nas ciências naturais e, claro, no campo da tecnologia e alta tecnologia, a compreensão de conceitos matemáticos e o conhecimento de símbolos serão úteis para qualquer especialista.