O que é um triângulo agudo? Qual triângulo é chamado agudo?

Designações padrão

Triângulo com vértices A, B E Cé designado como (ver figura). Um triângulo tem três lados:

Os comprimentos dos lados de um triângulo são indicados por letras minúsculas com letras latinas(a, b, c):

Um triângulo tem os seguintes ângulos:

Os valores dos ângulos nos vértices correspondentes são tradicionalmente denotados por letras gregas (α, β, γ).

Sinais de igualdade de triângulos

Um triângulo no plano euclidiano pode ser determinado exclusivamente (até a congruência) pelos seguintes trios de elementos básicos:

1. a, b, γ (igualdade em dois lados e o ângulo entre eles);
2. a, β, γ (igualdade no lado e dois ângulos adjacentes);
3. a, b, c (igualdade em três lados).

Sinais de igualdade de triângulos retângulos:

1. ao longo da perna e hipotenusa;
2. em duas pernas;
3. ao longo da perna e ângulo agudo;
4. ao longo da hipotenusa e do ângulo agudo.

Alguns pontos do triângulo estão “emparelhados”. Por exemplo, existem dois pontos a partir dos quais todos os lados são visíveis num ângulo de 60° ou num ângulo de 120°. Eles são chamados Pontos Torricelli. Existem também dois pontos cujas projeções nos lados estão nos vértices de um triângulo regular. Esse - Pontos de Apolônio. Pontos e outros são chamados Pontos Brocard.

Direto

Em qualquer triângulo, o centro de gravidade, o ortocentro e o centro da circunferência circunscrita estão na mesma linha reta, chamada Linha de Euler.

A linha reta que passa pelo centro da circunferência circunscrita e pelo ponto Lemoine é chamada Eixo Brocard. Os pontos de Apolônio estão nele. O ponto Torricelli e o ponto Lemoine também estão na mesma linha. As bases das bissetrizes externas dos ângulos de um triângulo estão na mesma linha reta, chamada eixo das bissetoras externas. Os pontos de intersecção das linhas que contêm os lados de um ortotriângulo com as linhas que contêm os lados do triângulo também estão na mesma linha. Esta linha é chamada eixo ortocêntrico, é perpendicular à linha reta de Euler.

Se tomarmos um ponto na circunferência circunscrita a um triângulo, então suas projeções nos lados do triângulo ficarão na mesma linha reta, chamada Simson é hetero este ponto. As linhas de Simson de pontos diametralmente opostos são perpendiculares.

Triângulos

• Um triângulo com vértices nas bases traçado através de um determinado ponto é chamado triângulo ceviano este ponto.
• Um triângulo com vértices nas projeções de um determinado ponto nos lados é chamado merda ou triângulo de pedal este ponto.
• Um triângulo com vértices nos segundos pontos de intersecção das linhas traçadas através dos vértices e um determinado ponto com o círculo circunscrito é chamado triângulo circunferencial. O triângulo circunferencial é semelhante ao triângulo sod.

Círculos

• Círculo inscrito- círculo tocando todos três lados triângulo. Ela é a única. O centro do círculo inscrito é chamado no centro.
• Circuncírculo- um círculo que passa por todos os três vértices do triângulo. O círculo circunscrito também é único.
• Círculo- um círculo tocando um lado do triângulo e a continuação dos outros dois lados. Existem três desses círculos em um triângulo. Seu centro radical é o centro do círculo inscrito do triângulo medial, denominado Ponto de Spiker.

Os pontos médios dos três lados de um triângulo, as bases de suas três alturas e os pontos médios dos três segmentos que conectam seus vértices ao ortocentro estão em um círculo chamado círculo de nove pontos ou Círculo de Euler. O centro do círculo de nove pontos está na linha de Euler. Um círculo de nove pontos toca um círculo inscrito e três círculos. O ponto de tangência entre o círculo inscrito e o círculo de nove pontos é chamado Ponto Feuerbach. Se de cada vértice colocarmos para fora do triângulo em linhas retas contendo os lados, órteses iguais em comprimento aos lados opostos, então os seis pontos resultantes estarão no mesmo círculo - Círculo de Conway. Três círculos podem ser inscritos em qualquer triângulo de forma que cada um deles toque dois lados do triângulo e dois outros círculos. Tais círculos são chamados Círculos Malfatti. Os centros dos círculos circunscritos dos seis triângulos nos quais o triângulo é dividido por medianas estão em um círculo, que é chamado circunferência de Lamun.

Um triângulo tem três círculos que tocam dois lados do triângulo e do círculo circunscrito. Tais círculos são chamados semi-inscrito ou Círculos de Verrier. Os segmentos que conectam os pontos de tangência dos círculos de Verrier com o círculo circunscrito se cruzam em um ponto denominado O ponto de Verrier. Serve como centro de uma homotetia, que transforma um círculo circunscrito em um círculo inscrito. Os pontos de contato dos círculos de Verrier com os lados situam-se em uma linha reta que passa pelo centro do círculo inscrito.

Os segmentos que conectam os pontos de tangência do círculo inscrito com os vértices se cruzam em um ponto denominado Ponto Gergonne, e os segmentos que conectam os vértices com os pontos de tangência dos círculos estão em Ponto Nagel.

Elipses, parábolas e hipérboles

Cônica inscrita (elipse) e seu visualizador

Um número infinito de cônicas (elipses, parábolas ou hipérboles) pode ser inscrita em um triângulo. Se inscrevermos uma cônica arbitrária em um triângulo e conectarmos os pontos tangentes com vértices opostos, então as linhas retas resultantes se cruzarão em um ponto chamado prospector beliches. Para qualquer ponto do plano que não esteja lateral ou em sua extensão, existe uma cônica inscrita com um prospector neste ponto.

A elipse de Steiner descrita e as cevianas passando por seus focos

Você pode inscrever uma elipse em um triângulo, que toca os lados no meio. Tal elipse é chamada elipse de Steiner inscrita(sua perspectiva será o centróide do triângulo). A elipse circunscrita, que toca as linhas que passam pelos vértices paralelos aos lados, é chamada descrita pela elipse de Steiner. Se transformarmos um triângulo em um triângulo regular usando uma transformação afim (“inclinação”), então sua elipse de Steiner inscrita e circunscrita se transformará em um círculo inscrito e circunscrito. As linhas Chevianas traçadas através dos focos da elipse de Steiner descrita (pontos de Scutin) são iguais (teorema de Scutin). De todas as elipses descritas, a elipse de Steiner descrita tem a menor área, e de todas as inscritas maior área tem uma elipse de Steiner inscrita.

Elipse de Brocard e seu observador - ponto Lemoine

Uma elipse com focos em pontos de Brocard é chamada Elipse de Brocard. Sua perspectiva é o ponto Lemoine.

Propriedades de uma parábola inscrita

Parábola de Kiepert

As perspectivas das parábolas inscritas residem na elipse de Steiner descrita. O foco de uma parábola inscrita está na circunferência circunscrita e a diretriz passa pelo ortocentro. Uma parábola inscrita em um triângulo e tendo a diretriz de Euler como diretriz é chamada Parábola de Kiepert. Seu perspectivador é o quarto ponto de intersecção do círculo circunscrito e da elipse de Steiner circunscrita, denominado Ponto Steiner.

A hipérbole de Kiepert

Se a hipérbole descrita passa pelo ponto de intersecção das alturas, então ela é equilátera (ou seja, suas assíntotas são perpendiculares). O ponto de intersecção das assíntotas de uma hipérbole equilátera está no círculo de nove pontos.

Transformações

Se as linhas que passam pelos vértices e algum ponto que não está nas laterais e suas extensões são refletidas em relação às bissetrizes correspondentes, então suas imagens também se cruzarão em um ponto, que é chamado conjugado isogonalmente o original (se o ponto estiver no círculo circunscrito, as linhas resultantes serão paralelas). Muitos pares de pontos notáveis ​​​​são conjugados isogonalmente: o circuncentro e o ortocentro, o centróide e o ponto Lemoine, os pontos Brocard. Os pontos de Apolônio são conjugados isogonalmente aos pontos de Torricelli, e o centro do círculo inscrito é conjugado isogonalmente a si mesmo. Sob a ação da conjugação isogonal, as retas se transformam em cônicas circunscritas e as cônicas circunscritas em retas. Assim, a hipérbole de Kiepert e o eixo de Brocard, a hipérbole de Jenzabek e a reta de Euler, a hipérbole de Feuerbach e a linha de centros dos círculos inscritos e circunscritos são conjugados isogonalmente. Os círculos circunscritos dos triângulos de pontos isogonalmente conjugados coincidem. Os focos das elipses inscritas são conjugados isogonalmente.

Se, em vez de uma ceviana simétrica, tomarmos uma ceviana cuja base esteja tão distante do meio do lado quanto a base da ceviana original, então tais cevianas também se cruzarão em um ponto. A transformação resultante é chamada conjugação isotômica. Também converte linhas retas em cônicas descritas. Os pontos Gergonne e Nagel são isotomicamente conjugados. Sob transformações afins, pontos isotomicamente conjugados são transformados em pontos isotomicamente conjugados. Com a conjugação isotômica, a elipse de Steiner descrita entrará em uma linha reta infinitamente distante.

Se nos segmentos cortados pelos lados do triângulo do círculo circunscrito, inscrevermos círculos tocando os lados nas bases das cevianas traçadas através de um determinado ponto, e então conectarmos os pontos tangentes desses círculos com o círculo circunscrito com vértices opostos, então essas linhas retas se cruzarão em um ponto. Uma transformação plana que combina o ponto original com o ponto resultante é chamada transformação isocircular. A composição de conjugados isogonais e isotômicos é a composição de uma transformação isocircular consigo mesma. Esta composição é uma transformação projetiva, que deixa os lados do triângulo no lugar e transforma o eixo das bissetrizes externas em uma linha reta no infinito.

Se continuarmos os lados de um triângulo Chevian de um determinado ponto e tomarmos seus pontos de intersecção com os lados correspondentes, então os pontos de intersecção resultantes ficarão em uma linha reta, chamada polar trilinear ponto de partida. O eixo ortocêntrico é a polar trilinear do ortocentro; a polar trilinear do centro do círculo inscrito é o eixo das bissetoras externas. Polares trilineares de pontos situados em uma cônica circunscrita se cruzam em um ponto (para um círculo circunscrito este é o ponto de Lemoine, para uma elipse de Steiner circunscrita é o centróide). A composição de um conjugado isogonal (ou isotômico) e um polar trilinear é uma transformação de dualidade (se um ponto conjugado isogonalmente (isotomicamente) a um ponto está no polar trilinear de um ponto, então o polar trilinear de um ponto isogonalmente (isotomicamente) conjugado a um ponto está na polar trilinear de um ponto).

Cubos

Razões em um triângulo

Observação: nesta seção, são os comprimentos dos três lados do triângulo e são os ângulos respectivamente opostos a esses três lados (ângulos opostos).

Desigualdade triangular

Num triângulo não degenerado, a soma dos comprimentos dos seus dois lados é mais longo do terceiro lado, no degenerado - igual. Em outras palavras, os comprimentos dos lados de um triângulo estão relacionados pelas seguintes desigualdades:

A desigualdade triangular é um dos axiomas das métricas.

Teorema da Soma dos Ângulos do Triângulo

Teorema dos senos

,

onde R é o raio do círculo circunscrito ao triângulo. Segue-se do teorema que se um< b < c, то α < β < γ.

Teorema do cosseno

Teorema da tangente

Outras proporções

As proporções métricas em um triângulo são fornecidas para:

Resolvendo triângulos

Calcular os lados e ângulos desconhecidos de um triângulo com base nos conhecidos tem sido historicamente chamado de “resolução de triângulos”. Os teoremas trigonométricos gerais acima são usados.

Área de um triângulo

Notação de casos especiais

Para a área são válidas as seguintes desigualdades:

Calculando a área de um triângulo no espaço usando vetores

Sejam os vértices do triângulo nos pontos , , .

Vamos apresentar o vetor área. O comprimento deste vetor é igual à área do triângulo e é direcionado normal ao plano do triângulo:

Vamos definir, onde,,, são as projeções do triângulo nos planos coordenados. Em que

e da mesma forma

A área do triângulo é .

Uma alternativa é calcular os comprimentos dos lados (utilizando o teorema de Pitágoras) e depois utilizando a fórmula de Heron.

Teoremas do triângulo

Teorema de Desargues: se dois triângulos são em perspectiva (as linhas que passam pelos vértices correspondentes dos triângulos se cruzam em um ponto), então seus lados correspondentes se cruzam na mesma linha.

Teorema de Sonda: se dois triângulos são perspectivos e ortólogos (perpendiculares traçadas dos vértices de um triângulo aos lados opostos aos vértices correspondentes do triângulo e vice-versa), então ambos os centros de ortologia (os pontos de intersecção dessas perpendiculares) e o centro de perspectiva estão na mesma linha reta, perpendicular ao eixo da perspectiva (linha reta do teorema de Desargues).

Hoje vamos ao país da Geometria, onde conheceremos Vários tipos triângulos.

Considere as formas geométricas e encontre a “extra” entre elas (Fig. 1).

Arroz. 1. Ilustração, por exemplo

Vemos que as figuras nº 1, 2, 3, 5 são quadriláteros. Cada um deles tem seu próprio nome (Fig. 2).

Arroz. 2. Quadriláteros

Isso significa que a figura “extra” é um triângulo (Fig. 3).

Arroz. 3. Ilustração, por exemplo

Um triângulo é uma figura que consiste em três pontos que não estão na mesma linha e três segmentos conectando esses pontos aos pares.

Os pontos são chamados vértices do triângulo, segmentos - seu festas. Os lados do triângulo formam Existem três ângulos nos vértices de um triângulo.

As principais características de um triângulo são três lados e três cantos. De acordo com o tamanho do ângulo, os triângulos são agudo, retangular e obtuso.

Um triângulo é chamado de ângulo agudo se todos os seus três ângulos forem agudos, ou seja, menores que 90° (Fig. 4).

Arroz. 4. Triângulo agudo

Um triângulo é denominado retangular se um de seus ângulos for 90° (Fig. 5).

Arroz. 5. Triângulo Retângulo

Um triângulo é denominado obtuso se um de seus ângulos for obtuso, ou seja, maior que 90° (Fig. 6).

Arroz. 6. Triângulo obtuso

Com base no número de lados iguais, os triângulos são equiláteros, isósceles, escalenos.

Um triângulo isósceles é aquele em que dois lados são iguais (Fig. 7).

Arroz. 7. Triângulo isósceles

Esses lados são chamados lateral, Terceiro lado - base. Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais.

Existem triângulos isósceles agudo e obtuso(Fig. 8) .

Arroz. 8. Triângulos isósceles agudos e obtusos

Um triângulo equilátero é aquele em que todos os três lados são iguais (Fig. 9).

Arroz. 9. Triângulo Equilátero

Em um triângulo equilátero todos os ângulos são iguais. Triângulos equiláteros Sempre ângulo agudo.

Um escaleno é um triângulo no qual todos os três lados têm comprimentos diferentes (Fig. 10).

Arroz. 10. Triângulo escaleno

Complete a tarefa. Distribua esses triângulos em três grupos (Fig. 11).

Arroz. 11. Ilustração para a tarefa

Primeiro vamos distribuir de acordo com o tamanho dos ângulos.

Triângulos agudos: Nº 1, Nº 3.

Triângulos retângulos: Nº 2, Nº 6.

Triângulos obtusos: Nº 4, Nº 5.

Distribuiremos os mesmos triângulos em grupos de acordo com o número de lados iguais.

Triângulos escalenos: Nº 4, Nº 6.

Triângulos isósceles: Nº 2, Nº 3, Nº 5.

Triângulo Equilátero: Nº 1.

Olhe as fotos.

Pense de que pedaço de arame foi feito cada triângulo (Fig. 12).

Arroz. 12. Ilustração para a tarefa

Você pode pensar assim.

O primeiro pedaço de fio é dividido em três partes iguais, para que você possa fazer um triângulo equilátero com ele. Ele é mostrado em terceiro lugar na foto.

O segundo pedaço de arame é dividido em três partes diferentes, para que possa ser usado para fazer um triângulo escaleno. É mostrado primeiro na imagem.

O terceiro pedaço de fio é dividido em três partes, onde duas partes têm o mesmo comprimento, o que significa que a partir dele pode ser feito um triângulo isósceles. Na foto ele é mostrado em segundo lugar.

Hoje na aula aprendemos sobre diferentes tipos de triângulos.

Bibliografia

1. MI. Moreau, M. A. Bantova e outros. 3º ano: em 2 partes, parte 1. - M.: “Iluminismo”, 2012.
2. MI. Moreau, M. A. Bantova e outros. 3ª série: em 2 partes, parte 2. - M.: “Iluminismo”, 2012.
3. MI. Moro. Aulas de matemática: Diretrizes para o professor. 3ª série. - M.: Educação, 2012.
4. Documento regulatório. Monitorização e avaliação dos resultados da aprendizagem. - M.: “Iluminismo”, 2011.
5. "Escola da Rússia": Programas para escola primária. - M.: “Iluminismo”, 2011.
6. SI. Volkova. Matemática: Trabalho de teste. 3ª série. - M.: Educação, 2012.
7. V. N. Rudnitsky. Testes. - M.: “Exame”, 2012.

1. Nsportal.ru().
2. Prosv.ru().
3. Do.gendocs.ru().

Trabalho de casa

1. Complete as frases.

a) Um triângulo é uma figura que consiste em ... que não estão na mesma linha e ... que conectam esses pontos aos pares.

b) Os pontos são chamados … , segmentos - seu … . Os lados do triângulo se formam nos vértices do triângulo ….

c) De acordo com o tamanho do ângulo, os triângulos são...,...,....

d) Com base no número de lados iguais, os triângulos são...,...,....

2. Desenhar

a) triângulo retângulo;

b) triângulo agudo;

c) triângulo obtuso;

d) triângulo equilátero;

e) triângulo escaleno;

e) triângulo isósceles.

3. Crie uma tarefa sobre o tema da lição para seus amigos.

Triângulo - definição e conceitos gerais

Um triângulo é um polígono simples que consiste em três lados e tem o mesmo número de ângulos. Seus planos são limitados por 3 pontos e 3 segmentos conectando esses pontos aos pares.

Todos os vértices de qualquer triângulo, independentemente do seu tipo, são designados por letras latinas maiúsculas, e seus lados são representados pelas designações correspondentes de vértices opostos, apenas não em letras maiúsculas, mas em letras minúsculas. Assim, por exemplo, um triângulo com vértices rotulados A, B e C tem lados a, b, c.

Se considerarmos um triângulo no espaço euclidiano, então isso é tal figura geométrica, que foi formado por três segmentos conectando três pontos que não estão na mesma linha reta.

Observe atentamente a imagem mostrada acima. Nele, os pontos A, B e C são os vértices desse triângulo, e seus segmentos são chamados de lados do triângulo. Cada vértice deste polígono forma ângulos dentro dele.

Tipos de triângulos

De acordo com o tamanho dos ângulos dos triângulos, eles são divididos em variedades como: Retangular;
Angular agudo;
Obtuso.

Triângulos retangulares incluem aqueles que possuem um ângulo reto e os outros dois ângulos agudos.

Triângulos agudos são aqueles em que todos os seus ângulos são agudos.

E se um triângulo tem um ângulo obtuso e os outros dois ângulos agudos, então esse triângulo é classificado como obtuso.

Cada um de vocês entende perfeitamente que nem todos os triângulos têm lados iguais. E de acordo com o comprimento de seus lados, os triângulos podem ser divididos em:

Isósceles;
Equilátero;
Versátil.

Tarefa: Desenhar tipos diferentes triângulos. Defina-os. Que diferença você vê entre eles?

Propriedades básicas de triângulos

Embora esses polígonos simples possam diferir entre si no tamanho de seus ângulos ou lados, cada triângulo possui as propriedades básicas características desta figura.

Em qualquer triângulo:

A soma total de todos os seus ângulos é 180º.
Se pertencer a equiláteros, então cada um de seus ângulos é 60º.
Um triângulo equilátero tem ângulos iguais e iguais.
Quanto menor for o lado do polígono, menor será o ângulo oposto a ele e vice-versa, maior será o ângulo oposto ao lado maior.
Se os lados são iguais, então os ângulos opostos a eles são iguais e vice-versa.
Se pegarmos um triângulo e estendermos seu lado, teremos um ângulo externo. É igual à soma dos ângulos internos.
Em qualquer triângulo, seu lado, não importa qual você escolha, ainda será menor que a soma dos outros 2 lados, mas maior que sua diferença:

1. um< b + c, a >b–c;
2.b< a + c, b >a–c;
3.c< a + b, c >a-b.

Exercício

A tabela mostra os dois ângulos já conhecidos do triângulo. Conhecendo a soma total de todos os ângulos, descubra a que é igual o terceiro ângulo do triângulo e insira-o na tabela:

1. Quantos graus tem o terceiro ângulo?
2. A que tipo de triângulo pertence?

Testes de equivalência de triângulos

Eu assino

sinal II

III sinal

Altura, bissetriz e mediana de um triângulo

A altura de um triângulo - a perpendicular traçada do vértice da figura ao seu lado oposto é chamada de altura do triângulo. Todas as altitudes de um triângulo se cruzam em um ponto. O ponto de intersecção de todas as 3 alturas de um triângulo é o seu ortocentro.

Um segmento traçado a partir de um determinado vértice e conectando-o no meio do lado oposto é a mediana. As medianas, assim como as altitudes de um triângulo, têm um ponto de intersecção comum, o chamado centro de gravidade do triângulo ou centróide.

A bissetriz de um triângulo é um segmento que conecta o vértice de um ângulo e um ponto do lado oposto, e também divide esse ângulo ao meio. Todas as bissetrizes de um triângulo se cruzam em um ponto, que é chamado de centro do círculo inscrito no triângulo.

O segmento que conecta os pontos médios de 2 lados de um triângulo é chamado de linha média.

Referência histórica

Uma figura como um triângulo era conhecida na antiguidade. Esta figura e suas propriedades foram mencionadas em papiros egípcios há quatro mil anos. Um pouco mais tarde, graças ao teorema de Pitágoras e à fórmula de Heron, o estudo das propriedades do triângulo passou para um nível superior, mas ainda assim, isso aconteceu há mais de dois mil anos.

Em XV – séculos 16 Eles começaram a realizar muitas pesquisas sobre as propriedades de um triângulo e, como resultado, surgiu uma ciência como a planimetria, que foi chamada de “Nova Geometria do Triângulo”.

O cientista russo N.I. Lobachevsky deu uma enorme contribuição ao conhecimento das propriedades dos triângulos. Mais tarde, seus trabalhos encontraram aplicação em matemática, física e cibernética.

Graças ao conhecimento das propriedades dos triângulos, surgiu uma ciência como a trigonometria. Acabou sendo necessário para uma pessoa em suas necessidades práticas, pois seu uso é simplesmente necessário na elaboração de mapas, na medição de áreas e até no projeto de mecanismos diversos.

Qual é o triângulo mais famoso que você conhece? É claro que este é o Triângulo das Bermudas! Recebeu este nome na década de 50 devido à localização geográfica dos pontos (vértices do triângulo), dentro dos quais, segundo a teoria existente, surgiram anomalias a ele associadas. Os vértices do Triângulo das Bermudas são Bermudas, Flórida e Porto Rico.

Tarefa: Quais teorias sobre triângulo das Bermudas você ouviu?

Você sabia que na teoria de Lobachevsky, ao somar os ângulos de um triângulo, a soma deles sempre tem um resultado menor que 180º. Na geometria de Riemann, a soma de todos os ângulos de um triângulo é maior que 180º, e nas obras de Euclides é igual a 180 graus.

Trabalho de casa

Resolva palavras cruzadas sobre um determinado tópico

Perguntas para as palavras cruzadas:

1. Qual é o nome da perpendicular que se traça do vértice do triângulo até a reta localizada no lado oposto?
2. Como, em uma palavra, você pode nomear a soma dos comprimentos dos lados de um triângulo?
3. Nomeie um triângulo cujos dois lados sejam iguais?
4. Nomeie um triângulo que tenha um ângulo igual a 90°?
5. Qual é o nome do maior lado do triângulo?
6. Qual é o nome do lado de um triângulo isósceles?
7. Sempre há três deles em qualquer triângulo.
8. Qual é o nome de um triângulo em que um dos ângulos excede 90°?
9. O nome do segmento que liga o topo da nossa figura ao meio do lado oposto?
10. Em um polígono ABC simples, a letra A maiúscula é...?
11. Qual é o nome do segmento que divide o ângulo de um triângulo ao meio?

Perguntas sobre o tema triângulos:

1. Defina-o.
2. Quantas alturas tem?
3. Quantas bissetoras tem um triângulo?
4. Qual é a soma dos ângulos?
5. Que tipos deste polígono simples você conhece?
6. Nomeie os pontos dos triângulos que são chamados de notáveis.
7. Que dispositivo você pode usar para medir o ângulo?
8. Se os ponteiros do relógio marcarem 21 horas. Que ângulo os ponteiros das horas formam?
9. Em que ângulo uma pessoa gira se receber o comando “esquerda”, “círculo”?
10. Que outras definições você conhece associadas a uma figura que possui três ângulos e três lados?

Disciplinas > Matemática > Matemática 7º ano

Mais crianças idade pré-escolar sabe como é um triângulo. Mas as crianças já estão começando a entender como são na escola. Um tipo é um triângulo obtuso. A maneira mais fácil de entender o que é é ver uma foto dele. E em teoria é isso que chamam de “polígono mais simples” com três lados e vértices, um dos quais é

Entendendo os conceitos

Na geometria, existem esses tipos de figuras com três lados: triângulos agudos, retângulos e obtusos. Além disso, as propriedades desses polígonos mais simples são as mesmas para todos. Sim, para todos tipos listados tal desigualdade será observada. A soma dos comprimentos de quaisquer dois lados será necessariamente maior que o comprimento do terceiro lado.

Mas para ter certeza de que se trata de uma figura completa, e não de um conjunto de vértices individuais, é necessário verificar se a condição principal é atendida: a soma dos ângulos de um triângulo obtuso é igual a 180 graus . O mesmo se aplica a outros tipos de figuras com três lados. É verdade que em um triângulo obtuso um dos ângulos será ainda maior que 90° e os dois restantes certamente serão agudos. Neste caso, é o maior ângulo que ficará oposto ao lado mais longo. É verdade que essas não são todas propriedades de um triângulo obtuso. Mas mesmo conhecendo apenas esses recursos, os alunos podem resolver muitos problemas de geometria.

Para todo polígono com três vértices, também é verdade que continuando qualquer um dos lados, obtemos um ângulo cujo tamanho será igual à soma de dois vértices internos não adjacentes. O perímetro de um triângulo obtuso é calculado da mesma forma que para outras formas. É igual à soma dos comprimentos de todos os seus lados. Para determinar isto, os matemáticos desenvolveram várias fórmulas, dependendo dos dados inicialmente presentes.

Estilo correto

Uma das condições mais importantes para resolver problemas de geometria é o desenho correto. Os professores de matemática costumam dizer que isso ajudará não apenas a visualizar o que é dado e o que é exigido de você, mas também a chegar 80% mais próximo da resposta correta. É por isso que é importante saber construir um triângulo obtuso. Se você precisar apenas de uma figura hipotética, poderá desenhar qualquer polígono com três lados de modo que um dos ângulos seja maior que 90 graus.

Se certos valores dos comprimentos dos lados ou graus dos ângulos forem dados, então é necessário desenhar um triângulo obtuso de acordo com eles. Neste caso, é necessário tentar representar os ângulos com a maior precisão possível, calculando-os com um transferidor, e exibir os lados proporcionalmente às condições dadas na tarefa.

Linhas principais

Muitas vezes, não basta que os alunos saibam apenas como deveriam ser determinadas figuras. Eles não podem se limitar a informações apenas sobre qual triângulo é obtuso e qual é correto. O curso de matemática exige que o conhecimento das características básicas das figuras seja mais completo.

Assim, todo aluno deve compreender a definição de bissetriz, mediana, bissetriz perpendicular e altura. Além disso, ele deve conhecer suas propriedades básicas.

Assim, as bissetoras dividem um ângulo ao meio e o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

A mediana divide qualquer triângulo em dois iguais em áreas. No ponto em que se cruzam, cada um deles é dividido em 2 segmentos na proporção de 2:1, quando visto do vértice de onde emergiu. Neste caso, a grande mediana é sempre desenhada para o seu lado menor.

Não é dada menos atenção à altura. Isso é perpendicular ao lado oposto ao canto. A altura de um triângulo obtuso tem características próprias. Se for desenhado a partir de um vértice agudo, então não termina no lado deste polígono mais simples, mas em sua continuação.

A bissetriz perpendicular é o segmento de reta que se estende do centro da face do triângulo. Além disso, está localizado em ângulo reto com ele.

Trabalhando com círculos

No início do estudo da geometria, basta que as crianças entendam como desenhar um triângulo obtuso, aprendam a distingui-lo dos outros tipos e lembrem-se de suas propriedades básicas. Mas para os estudantes do ensino médio esse conhecimento não é mais suficiente. Por exemplo, no Exame de Estado Unificado muitas vezes há perguntas sobre círculos circunscritos e inscritos. O primeiro deles toca todos os três vértices do triângulo, e o segundo tem um ponto comum com todos os lados.

Construir um triângulo obtuso inscrito ou circunscrito é muito mais difícil, porque para fazer isso você primeiro precisa descobrir onde deve estar o centro do círculo e seu raio. Por falar nisso, ferramenta necessária Nesse caso, não se tornará apenas um lápis com régua, mas também um compasso.

As mesmas dificuldades surgem na construção de polígonos inscritos com três lados. Os matemáticos desenvolveram várias fórmulas que lhes permitem determinar a sua localização com a maior precisão possível.

Triângulos inscritos

Conforme afirmado anteriormente, se um círculo passa por todos os três vértices, ele é chamado de círculo circunscrito. Sua principal propriedade é ser único. Para saber como deve ser localizado o círculo circunscrito de um triângulo obtuso, é preciso lembrar que seu centro está na intersecção das três perpendiculares bissetrizes que vão para os lados da figura. Se em um polígono de ângulo agudo com três vértices este ponto estiver localizado dentro dele, então em um polígono de ângulo obtuso ele estará fora dele.

Sabendo, por exemplo, que um dos lados de um triângulo obtuso é igual ao seu raio, você pode encontrar o ângulo oposto à face conhecida. Seu seno será igual ao resultado da divisão do comprimento do lado conhecido por 2R (onde R é o raio do círculo). Ou seja, o sen do ângulo será igual a ½. Isso significa que o ângulo será igual a 150°.

Se você precisar encontrar o circunraio de um triângulo obtuso, precisará de informações sobre o comprimento de seus lados (c, v, b) e sua área S. Afinal, o raio é calculado assim: (c x v x b): 4 x S. A propósito, não importa que tipo de figura você tem: um triângulo obtuso escaleno, isósceles, de ângulo reto ou agudo. Em qualquer situação, graças à fórmula acima, você pode descobrir a área de um determinado polígono com três lados.

Triângulos circunscritos

Freqüentemente, você também precisa trabalhar com círculos inscritos. De acordo com uma fórmula, o raio de tal figura, multiplicado por ½ do perímetro, será igual à área do triângulo. É verdade que para descobrir isso você precisa conhecer os lados de um triângulo obtuso. Afinal, para determinar ½ do perímetro, é preciso somar seus comprimentos e dividir por 2.

Para entender onde deve estar o centro de um círculo inscrito em um triângulo obtuso, é necessário traçar três bissetoras. Estas são as linhas que dividem os cantos. É na intersecção deles que estará localizado o centro do círculo. Neste caso, será equidistante de cada lado.

O raio de tal círculo inscrito em um triângulo obtuso é igual ao quociente (p-c) x (p-v) x (p-b): p. Neste caso, p é o semiperímetro do triângulo, c, v, b são seus lados.

Triânguloé um polígono com três lados (ou três ângulos). Os lados de um triângulo são frequentemente indicados por letras minúsculas (a, b, c), que correspondem a letras maiúsculas indicando vértices opostos (A, B, C).

Se todos os três ângulos de um triângulo são agudos, então é Triângulo agudo.

Se um dos ângulos de um triângulo for reto, então é triângulo retângulo. Os lados que formam um ângulo reto são chamados pernas. O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa.

Se um dos ângulos de um triângulo for obtuso, então é triângulo obtuso.

Triângulo isósceles, se seus dois lados forem iguais; esses lados iguais são chamados de laterais e o terceiro lado é chamado de base do triângulo.

Triângulo Equilátero, se todos os seus lados forem iguais.

Propriedades básicas de triângulos

Em qualquer triângulo:

1. Oposto ao lado maior está o ângulo maior e vice-versa.

2. Ângulos iguais ficam opostos a lados iguais e vice-versa.
Em particular, todos os ângulos de um triângulo equilátero são iguais.

3. A soma dos ângulos de um triângulo é 180º.
Das duas últimas propriedades segue-se que todo ângulo em um equilátero
triângulo é 60º.

4. Continuando um dos lados do triângulo, obtemos o exterior
canto. O ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos,
não adjacente a ele.

5. Qualquer lado de um triângulo é menor que a soma dos outros dois lados e maior
suas diferenças.

Sinais de igualdade de triângulos.

Os triângulos são congruentes se forem respectivamente iguais:

A) dois lados e o ângulo entre eles;
b) dois cantos e o lado adjacente a eles;
c) três lados.

Sinais de igualdade de triângulos retângulos.

Dois triângulos retângulos são congruentes se uma das seguintes condições for verdadeira:

1) suas pernas são iguais;
2) o cateto e a hipotenusa de um triângulo são iguais ao cateto e a hipotenusa do outro;
3) a hipotenusa e o ângulo agudo de um triângulo são iguais à hipotenusa e ao ângulo agudo do outro;
4) o cateto e o ângulo agudo adjacente de um triângulo são iguais ao cateto e o ângulo agudo adjacente do outro;
5) o cateto e o ângulo agudo oposto de um triângulo são iguais ao cateto e o ângulo agudo oposto do outro.

Altura do triânguloé uma perpendicular que cai de qualquer vértice para o lado oposto (ou sua continuação). Este lado é chamado de base do triângulo. As três alturas de um triângulo sempre se cruzam em um ponto chamado ortocentro do triângulo. O ortocentro de um triângulo agudo está localizado dentro do triângulo, e o ortocentro de um triângulo obtuso está fora; O ortocentro de um triângulo retângulo coincide com o vértice ângulo certo.

Medianaé um segmento que conecta qualquer vértice de um triângulo ao meio do lado oposto. Três medianas de um triângulo se cruzam em um ponto, que sempre fica dentro do triângulo e é seu Centro de gravidade. Este ponto divide cada mediana na proporção de 2:1, contando a partir do vértice.

Propriedade da mediana de um triângulo isósceles. Em um triângulo isósceles, a mediana traçada até a base é a bissetriz e a altitude.

Bissetriz- este é o segmento bissetriz do ângulo do vértice ao ponto de intersecção com lado oposto. As três bissetrizes de um triângulo se cruzam em um ponto, que sempre está dentro do triângulo e é centro do círculo inscrito. A bissetriz divide o lado oposto em partes proporcionais aos lados adjacentes.

Mediana perpendicularé uma perpendicular traçada a partir do ponto médio de um segmento (lado). As três medianas perpendiculares de um triângulo se cruzam em um ponto, que é o centro do círculo circunscrito. Num triângulo agudo, este ponto está dentro do triângulo; em um ângulo obtuso - fora; em retangular - no meio da hipotenusa. O ortocentro, centro de gravidade, circuncentro e círculo inscrito coincidem apenas em um triângulo equilátero.

Linha média do triânguloé um segmento que conecta os pontos médios de seus dois lados.

Propriedade da linha média de um triângulo. A linha média de um triângulo que conecta os pontos médios de dois lados dados é paralela ao terceiro lado e igual à metade dele.

Teorema de Pitágoras. Em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos. c 2 = a 2 + b 2 .

Provas do teorema de Pitágoras você pode ver Aqui.

Teorema dos senos. Os lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos ângulos opostos .

O teorema do cosseno. O quadrado de qualquer lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados sem o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles .

Provas do teorema do seno e do teorema do cosseno você pode ver Aqui.

Teorema da soma dos ângulos de um triângulo. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

Teorema do Ângulo Exterior do Triângulo. Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma de dois ângulos internos que não são adjacentes a ele.