Raiz quadrada aritmética e suas propriedades. O conceito de raiz quadrada de um número não negativo.A definição da raiz quadrada de um número não negativo.

Considere a equação x 2 = 4. Resolva-a graficamente. Para fazer isso, em um sistema de coordenadas construímos uma parábola y = x 2 e uma linha reta y = 4 (Fig. 74). Eles se cruzam em dois pontos A (- 2; 4) e B (2; 4). As abcissas dos pontos A e B são as raízes da equação x 2 = 4. Portanto, x 1 = - 2, x 2 = 2.

Raciocinando exatamente da mesma maneira, encontramos as raízes da equação x 2 = 9 (ver Fig. 74): x 1 = - 3, x 2 = 3.

Agora vamos tentar resolver a equação x 2 = 5; uma ilustração geométrica é mostrada na Fig. 75. É claro que esta equação tem duas raízes x 1 e x 2, e esses números, como nos dois casos anteriores, são iguais em valor absoluto e opostos em sinal (x 1 - - x 2) - Mas ao contrário do anterior casos, onde as raízes da equação foram encontradas sem dificuldade (e puderam ser encontradas sem o uso de gráficos), com a equação x 2 = 5 este não é o caso: conforme o desenho, não podemos indicar os valores do raízes, só podemos estabelecer que uma raiz está localizada um pouco à esquerda existem 2 pontos, e a segunda está um pouco à direita

pontos 2.

Qual é esse número (ponto) que está localizado logo à direita do ponto 2 e que quando elevado ao quadrado dá 5? É claro que não é 3, pois 3 2 = 9, ou seja, acaba sendo mais do que o necessário (9 > 5).

Isso significa que o número que nos interessa está localizado entre os números 2 e 3. Mas entre os números 2 e 3 existe um número infinito de números racionais, por exemplo etc. Talvez entre eles haja uma fração como? Então não teremos problemas com a equação x 2 - 5, podemos escrever que

Mas aqui nos espera uma surpresa desagradável. Acontece que não existe fração para a qual a igualdade seja válida
A prova da afirmação declarada é bastante difícil. No entanto, apresentamos-o porque é bonito e instrutivo, e é muito útil tentar compreendê-lo.

Suponhamos que exista uma fração irredutível para a qual a igualdade seja válida. Então, ou seja, m 2 = 5n 2. A última igualdade significa que o número natural m 2 é divisível por 5 sem resto (no quociente será n2).

Conseqüentemente, o número m 2 termina com o número 5 ou com o número 0. Mas então o número natural m também termina com o número 5 ou com o número 0, ou seja, o número m é divisível por 5 sem resto. Em outras palavras, se o número m for dividido por 5, então o quociente resultará em algum número natural k. Isso significa,
que m = 5k.
Agora veja:
m 2 = 5n 2 ;
Vamos substituir 5k em vez de m na primeira igualdade:

(5k) 2 = 5n 2, ou seja, 25k 2 = 5n 2 ou n 2 = 5k 2.
A última igualdade significa que o número. 5n 2 é divisível por 5 sem resto. Raciocinando como acima, chegamos à conclusão de que o número n também é divisível por 5 sem resto.
Então, m é divisível por 5, n é divisível por 5, o que significa que a fração pode ser reduzida (por 5). Mas assumimos que a fração era irredutível. Qual é o problema? Porque, tendo raciocinado corretamente, chegamos ao absurdo ou, como costumam dizer os matemáticos, chegamos a uma contradição!Sim, porque a premissa inicial estava incorreta, como se existisse uma fração irredutível para a qual a igualdade vale
Daí concluímos: não existe tal fração.
O método de prova que acabamos de usar é chamado em matemática de método de prova por contradição. Sua essência é a seguinte. Precisamos provar uma determinada afirmação e assumimos que ela não é válida (os matemáticos dizem: “suponha o contrário” - não no sentido de “desagradável”, mas no sentido de “o oposto do que é exigido”).
Se, como resultado de um raciocínio correto, chegarmos a uma contradição com a condição, então concluiremos: nossa suposição é falsa, o que significa que o que precisávamos provar é verdadeiro.

Assim, tendo apenas números racionais (e ainda não conhecemos outros números), não podemos resolver a equação x 2 = 5.
Tendo encontrado tal situação pela primeira vez, os matemáticos perceberam que precisavam encontrar uma maneira de descrevê-la em linguagem matemática. Eles introduziram um novo símbolo, que chamaram de raiz quadrada, e usando esse símbolo, as raízes da equação x 2 = 5 foram escritas da seguinte forma:

Lê-se: “raiz quadrada de 5”). Agora, para qualquer equação da forma x 2 = a, onde a > O, você pode encontrar as raízes - elas são números , (Fig. 76).

Enfatizemos também que o número não é um número inteiro nem uma fração.
Isto significa que não é um número racional, é um número de natureza nova; falaremos especificamente sobre tais números mais tarde, no Capítulo 5.
Por enquanto, observemos apenas que o novo número está entre os números 2 e 3, já que 2 2 = 4, que é menor que 5; 3 2 = 9, e isso é mais que 5. Você pode esclarecer:

Na verdade, 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Você também pode
especificamos:

na verdade, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
Na prática, costuma-se acreditar que o número é igual a 2,23 ou é igual a 2,24, só que esta não é uma igualdade comum, mas uma igualdade aproximada, que é denotada pelo símbolo “.”
Então,

Ao discutir a solução para a equação x 2 = a, encontramos uma situação bastante típica da matemática. Encontrando-se em uma situação fora do padrão, anormal (como os cosmonautas gostam de dizer) e não encontrando uma saída usando meios conhecidos, os matemáticos criam um novo termo e uma nova designação (um novo símbolo) para o modelo matemático que eles encontrado pela primeira vez; em outras palavras, eles introduzem um novo conceito e depois estudam as propriedades deste
conceitos. Assim, o novo conceito e sua designação passam a ser propriedade da linguagem matemática. Agimos da mesma forma: introduzimos o termo “raiz quadrada do número a”, introduzimos um símbolo para designá-lo e um pouco mais tarde estudaremos as propriedades do novo conceito. Até agora sabemos apenas uma coisa: se a > 0,
então é um número positivo que satisfaz a equação x 2 = a. Em outras palavras, é um número positivo que, quando elevado ao quadrado, produz o número a.
Como a equação x 2 = 0 tem raiz x = 0, concordamos em assumir que
Agora estamos prontos para dar uma definição estrita.
Definição. A raiz quadrada de não número negativo a é um número não negativo cujo quadrado é igual a a.

Este número é denotado pelo número e é chamado de número radical.
Então, se a é um número não negativo, então:

Se um< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Assim, a expressão só faz sentido para a > 0.
Eles disseram aquilo - o mesmo modelo matemático (a mesma relação entre números não negativos
(a e b), mas apenas o segundo é descrito com mais detalhes em linguagem simples que o primeiro (usa caracteres mais simples).

A operação de encontrar a raiz quadrada de um número não negativo é chamada de raiz quadrada. Esta operação é o inverso da quadratura. Comparar:

Observe novamente que apenas números positivos aparecem na tabela, conforme especificado na definição de raiz quadrada. E embora, por exemplo, (- 5) 2 = 25 seja uma igualdade verdadeira, passe dela para a notação usando a raiz quadrada (ou seja, escreva isso).
é proibido. A-prior, . é um número positivo, o que significa .
Eles costumam dizer não Raiz quadrada" e "raiz quadrada aritmética". Omitimos o termo “aritmética” por questões de brevidade.

D) Ao contrário dos exemplos anteriores, não podemos indicar valor exato números. É apenas claro que é maior que 4, mas menor que 5, uma vez que

4 2 = 16 (isto é menor que 17) e 5 2 = 25 (isto é maior que 17).
Porém, o valor aproximado do número pode ser encontrado por meio de uma microcalculadora, que contém a operação de extração da raiz quadrada; esse valor é 4,123.
Então,
O número, como o número discutido acima, não é racional.
e) Não pode ser calculado, pois não existe raiz quadrada de número negativo; a entrada não tem sentido. A tarefa proposta está incorreta.
e) já que 31 > 0 e 31 2 = 961. Nesses casos, deve-se utilizar uma tabela de quadrados de números naturais ou uma microcalculadora.
g) desde 75 > 0 e 75 2 = 5625.
Nos casos mais simples, o valor da raiz quadrada é calculado imediatamente: etc. Em casos mais complexos, é necessário utilizar uma tabela de quadrados de números ou realizar cálculos com uma microcalculadora. Mas e se você não tiver uma mesa ou calculadora em mãos? Vamos responder a essa pergunta resolvendo o exemplo a seguir.

Exemplo 2. Calcular
Solução.
Primeira etapa. Não é difícil adivinhar que a resposta será 50 com cauda. Na verdade, 50 2 = 2.500 e 60 2 = 3.600, enquanto o número 2.809 está entre os números 2.500 e 3.600.

Segunda fase. Vamos encontrar a “cauda”, ou seja, o último dígito do número desejado. Até agora sabemos que se a raiz for tirada, então a resposta pode ser 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 ou 59. Só precisamos verificar dois números: 53 e 57, pois só eles, quando elevado ao quadrado, o resultado será um número de quatro dígitos que termina em 9, o mesmo número que termina em 2.809.
Temos 532 = 2809 - é disso que precisamos (tivemos sorte, acertamos imediatamente o alvo). Então = 53.
Responder:

53
Exemplo 3. Os lados de um triângulo retângulo medem 1 cm e 2 cm. Qual é a hipotenusa do triângulo? (Fig.77)

Solução.

Usemos o teorema de Pitágoras, conhecido da geometria: a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado do comprimento de sua hipotenusa, ou seja, a 2 + b 2 = c 2, onde a , b são os catetos, c é a hipotenusa do triângulo retângulo.

Significa,

Este exemplo mostra que a introdução raízes quadradas- não um capricho dos matemáticos, mas uma necessidade objetiva: em Vida real Existem situações cujos modelos matemáticos contêm a operação de extração da raiz quadrada. Talvez a mais importante destas situações esteja relacionada com
resolvendo equações quadráticas. Até agora, ao encontrar equações quadráticas ax 2 + bx + c = 0, ou fatorávamos o lado esquerdo (o que nem sempre funcionava) ou usávamos métodos gráficos (que também não são muito confiáveis, embora bonitos). Na verdade, para encontrar
raízes x 1 e x 2 da equação quadrática ax 2 + bx + c = 0 em fórmulas matemáticas são usadas

contendo, como pode ser visto, o sinal da raiz quadrada.Essas fórmulas são usadas na prática da seguinte forma. Deixe, por exemplo, precisarmos resolver a equação 2x 2 + bx - 7 = 0. Aqui a = 2, b = 5, c = - 7. Portanto,
b2 - 4ac = 5 2 - 4. 2. (- 7) = 81. A seguir encontramos. Significa,

Observamos acima que não é um número racional.
Os matemáticos chamam esses números de irracionais. Qualquer número da forma é irracional se a raiz quadrada não puder ser obtida. Por exemplo, etc. - números irracionais. No Capítulo 5 falaremos mais sobre números racionais e irracionais. Os números racionais e irracionais juntos constituem o conjunto dos números reais, ou seja, o conjunto de todos os números que operamos na vida real (na verdade,
ness). Por exemplo, todos estes são números reais.
Assim como definimos o conceito de raiz quadrada acima, também podemos definir o conceito de raiz cúbica: uma raiz cúbica de um número não negativo a é um número não negativo cujo cubo é igual a a. Em outras palavras, igualdade significa que b 3 = a.

Estudaremos tudo isso no curso de álgebra do 11º ano.

Neste artigo iremos apresentar conceito de raiz de um número. Procederemos sequencialmente: começaremos pela raiz quadrada, a partir daí passaremos à descrição da raiz cúbica, após a qual generalizaremos o conceito de raiz, definindo a enésima raiz. Ao mesmo tempo, apresentaremos definições, notações, daremos exemplos de raízes e daremos as explicações e comentários necessários.

Raiz quadrada, raiz quadrada aritmética

Para entender a definição da raiz de um número, e da raiz quadrada em particular, você precisa ter. Neste ponto, encontraremos frequentemente a segunda potência de um número – o quadrado de um número.

Vamos começar com definições de raiz quadrada.

Definição

Raiz quadrada de umé um número cujo quadrado é igual a a.

Para trazer exemplos de raízes quadradas, pegue vários números, por exemplo, 5, −0,3, 0,3, 0, e eleve-os ao quadrado, obtemos os números 25, 0,09, 0,09 e 0, respectivamente (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 e 0 2 =0·0=0 ). Então, pela definição dada acima, o número 5 é a raiz quadrada do número 25, os números −0,3 e 0,3 são as raízes quadradas de 0,09 e 0 é a raiz quadrada de zero.

Deve-se notar que não existe para qualquer número a um cujo quadrado seja igual a a. Ou seja, para qualquer número negativo a não existe um número real b cujo quadrado seja igual a a. Na verdade, a igualdade a=b 2 é impossível para qualquer a negativo, pois b 2 é um número não negativo para qualquer b. Por isso, não existe raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais. Em outras palavras, no conjunto dos números reais a raiz quadrada de um número negativo não está definida e não tem significado.

Isto leva a uma questão lógica: “Existe uma raiz quadrada de a para qualquer a não negativo”? A resposta é sim. Este fato pode ser justificado pelo método construtivo utilizado para encontrar o valor da raiz quadrada.

Então surge a próxima questão lógica: “Qual é o número de todas as raízes quadradas de um determinado número não negativo a - um, dois, três ou até mais”? Aqui está a resposta: se a for zero, então a única raiz quadrada de zero é zero; se a for algum número positivo, então o número de raízes quadradas do número a é dois e as raízes são . Vamos justificar isso.

Vamos começar com o caso a=0 . Primeiro, vamos mostrar que zero é de fato a raiz quadrada de zero. Isto decorre da igualdade óbvia 0 2 =0·0=0 e da definição da raiz quadrada.

Agora vamos provar que 0 é a única raiz quadrada de zero. Vamos usar o método oposto. Suponha que exista algum número b diferente de zero que seja a raiz quadrada de zero. Então a condição b 2 =0 deve ser satisfeita, o que é impossível, pois para qualquer b diferente de zero o valor da expressão b 2 é positivo. Chegamos a uma contradição. Isso prova que 0 é a única raiz quadrada de zero.

Vamos passar para os casos em que a é um número positivo. Dissemos acima que sempre existe uma raiz quadrada de qualquer número não negativo, seja a raiz quadrada de a o número b. Digamos que exista um número c, que também é a raiz quadrada de a. Então, pela definição de raiz quadrada, as igualdades b 2 =a e c 2 =a são verdadeiras, daí se segue que b 2 −c 2 =a−a=0, mas como b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , então (b−c)·(b+c)=0 . A igualdade resultante é válida propriedades de operações com números reais possível somente quando b−c=0 ou b+c=0 . Assim, os números b e c são iguais ou opostos.

Se assumirmos que existe um número d, que é outra raiz quadrada do número a, então, por raciocínio semelhante aos já dados, fica provado que d é igual ao número b ou ao número c. Portanto, o número de raízes quadradas de um número positivo é dois e as raízes quadradas são números opostos.

Para facilitar o trabalho com raízes quadradas, a raiz negativa é “separada” da positiva. Para tanto, é introduzido definição de raiz quadrada aritmética.

Definição

Raiz quadrada aritmética de um número não negativo aé um número não negativo cujo quadrado é igual a a.

A notação para a raiz quadrada aritmética de a é. O sinal é chamado de sinal de raiz quadrada aritmética. Também é chamado de sinal radical. Portanto, às vezes você pode ouvir tanto “raiz” quanto “radical”, o que significa o mesmo objeto.

O número sob o sinal de raiz quadrada aritmética é chamado número radical, e a expressão sob o sinal de raiz é expressão radical, enquanto o termo “número radical” é frequentemente substituído por “expressão radical”. Por exemplo, na notação o número 151 é um número radical, e na notação a expressão a é uma expressão radical.

Ao ler, a palavra "aritmética" é frequentemente omitida, por exemplo, a entrada é lida como "a raiz quadrada de sete vírgula vinte e nove". A palavra “aritmética” é usada apenas quando querem enfatizar que estamos falando especificamente da raiz quadrada positiva de um número.

À luz da notação introduzida, segue-se da definição de uma raiz quadrada aritmética que para qualquer número não negativo a .

As raízes quadradas de um número positivo a são escritas usando o sinal de raiz quadrada aritmética como e. Por exemplo, as raízes quadradas de 13 são e. A raiz quadrada aritmética de zero é zero, ou seja,. Para números negativos a, não atribuiremos significado à notação até estudarmos números complexos . Por exemplo, as expressões e não têm sentido.

Com base na definição da raiz quadrada, são comprovadas as propriedades das raízes quadradas, que são frequentemente utilizadas na prática.

Concluindo este ponto, notamos que as raízes quadradas do número a são soluções da forma x 2 =a em relação à variável x.

Raiz cúbica de um número

Definição de raiz cúbica do número a é dado de forma semelhante à definição da raiz quadrada. Só que se baseia no conceito de cubo de um número, não de quadrado.

Definição

Raiz cúbica de umé um número cujo cubo é igual a a.

Vamos dar exemplos de raízes cúbicas. Para fazer isso, pegue vários números, por exemplo, 7, 0, −2/3, e coloque-os ao cubo: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Então, com base na definição de raiz cúbica, podemos dizer que o número 7 é a raiz cúbica de 343, 0 é a raiz cúbica de zero e −2/3 é a raiz cúbica de −8/27.

Pode-se mostrar que a raiz cúbica de um número, ao contrário da raiz quadrada, sempre existe, não apenas para a não negativo, mas também para qualquer número real a. Para fazer isso, você pode usar o mesmo método que mencionamos ao estudar raízes quadradas.

Além disso, existe apenas uma única raiz cúbica de determinado número a. Vamos provar a última afirmação. Para fazer isso, considere três casos separadamente: a é um número positivo, a=0 e a é um número negativo.

É fácil mostrar que se a é positivo, a raiz cúbica de a não pode ser um número negativo nem zero. Na verdade, seja b a raiz cúbica de a, então, por definição, podemos escrever a igualdade b 3 =a. É claro que esta igualdade não pode ser verdadeira para be negativo e para b=0, pois nestes casos b 3 =b·b·b será um número negativo ou zero, respectivamente. Portanto, a raiz cúbica de um número positivo a é número positivo.

Agora suponha que além do número b exista outra raiz cúbica do número a, vamos denotá-la como c. Então c 3 =a. Portanto, b 3 −c 3 =a−a=0, mas b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(esta é a fórmula de multiplicação abreviada diferença de cubos), de onde (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. A igualdade resultante só é possível quando b−c=0 ou b 2 +b·c+c 2 =0. Da primeira igualdade temos b=c, e a segunda igualdade não tem soluções, pois seu lado esquerdo é um número positivo para quaisquer números positivos b e c como a soma de três termos positivos b 2, b·c e c 2. Isso prova a unicidade da raiz cúbica de um número positivo a.

Quando a = 0, a raiz cúbica do número a é apenas o número zero. Na verdade, se assumirmos que existe um número b, que é uma raiz cúbica diferente de zero de zero, então a igualdade b 3 =0 deve ser válida, o que só é possível quando b=0.

Para a negativo, argumentos semelhantes ao caso para a positivo podem ser dados. Primeiro, mostramos que a raiz cúbica de um número negativo não pode ser igual a um número positivo nem a zero. Em segundo lugar, assumimos que existe uma segunda raiz cúbica de um número negativo e mostramos que ela coincidirá necessariamente com a primeira.

Portanto, sempre existe uma raiz cúbica de qualquer número real a e um único.

Vamos dar definição de raiz cúbica aritmética.

Definição

Raiz cúbica aritmética de um número não negativo aé um número não negativo cujo cubo é igual a a.

A raiz cúbica aritmética de um número não negativo a é denotada como , o sinal é chamado de sinal da raiz cúbica aritmética, o número 3 nesta notação é chamado índice raiz. O número sob o sinal da raiz é número radical, a expressão sob o sinal da raiz é expressão radical.

Embora a raiz cúbica aritmética seja definida apenas para números não negativos a, também é conveniente usar notações nas quais os números negativos são encontrados sob o sinal da raiz cúbica aritmética. Vamos entendê-los da seguinte forma: , onde a é um número positivo. Por exemplo, .

Falaremos sobre as propriedades das raízes cúbicas no artigo geral propriedades das raízes.

Calcular o valor de uma raiz cúbica é chamado de extração de raiz cúbica; esta ação é discutida no artigo extraindo raízes: métodos, exemplos, soluções.

Para concluir este ponto, digamos que a raiz cúbica do número a é uma solução da forma x 3 =a.

enésima raiz, raiz aritmética do grau n

Generalizemos o conceito de raiz de um número - introduzimos definição de enésima raiz para n.

Definição

enésima raiz de aé um número cuja enésima potência é igual a a.

De esta definiçãoé claro que a raiz de primeiro grau do número a é o próprio número a, pois ao estudar o grau c indicador natural aceitamos a 1 =a .

Acima, vimos casos especiais da enésima raiz para n=2 e n=3 - raiz quadrada e raiz cúbica. Ou seja, uma raiz quadrada é uma raiz de segundo grau e uma raiz cúbica é uma raiz de terceiro grau. Para estudar raízes do enésimo grau para n=4, 5, 6, ..., é conveniente dividi-las em dois grupos: o primeiro grupo - raízes de graus pares (ou seja, para n = 4, 6, 8 , ...), o segundo grupo - raízes de graus ímpares (ou seja, com n=5, 7, 9, ...). Isso se deve ao fato de que as raízes das potências pares são semelhantes às raízes quadradas e as raízes das potências ímpares são semelhantes às raízes cúbicas. Vamos lidar com eles um por um.

Comecemos pelas raízes cujas potências são os números pares 4, 6, 8, ... Como já dissemos, são semelhantes à raiz quadrada do número a. Ou seja, a raiz de qualquer grau par do número a existe apenas para a não negativo. Além disso, se a=0, então a raiz de a é única e igual a zero, e se a>0, então existem duas raízes de grau par do número a, e são números opostos.

Vamos fundamentar a última afirmação. Seja b uma raiz par (denotamos como 2·m, onde m é algum número natural) do número a. Suponha que exista um número c - outra raiz de grau 2·m do número a. Então b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Mas conhecemos a forma b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), então (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Desta igualdade segue que b−c=0, ou b+c=0, ou b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. As duas primeiras igualdades significam que os números b e c são iguais ou b e c são opostos. E a última igualdade é válida apenas para b=c=0, pois no seu lado esquerdo há uma expressão que é não negativa para qualquer b e c como a soma de números não negativos.

Quanto às raízes do enésimo grau para n ímpar, elas são semelhantes à raiz cúbica. Ou seja, a raiz de qualquer grau ímpar do número a existe para qualquer número real a, e para um determinado número a é único.

A unicidade de uma raiz de grau ímpar 2·m+1 do número a é provada por analogia com a prova da unicidade da raiz cúbica de a. Só aqui em vez de igualdade a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) uma igualdade da forma b 2 m+1 −c 2 m+1 = é usada (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). A expressão no último colchete pode ser reescrita como b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Por exemplo, com m=2 temos b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Quando aeb são ambos positivos ou negativos, seu produto é um número positivo, então a expressão b 2 +c 2 +b·c nos parênteses aninhados mais altos é positiva como a soma dos números positivos. Agora, passando sequencialmente para as expressões entre parênteses dos graus de aninhamento anteriores, estamos convencidos de que elas também são positivas como a soma dos números positivos. Como resultado, obtemos que a igualdade b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 possível somente quando b−c=0, ou seja, quando o número b é igual ao número c.

É hora de entender a notação das enésimas raízes. Para tanto é dado definição de raiz aritmética do enésimo grau.

Definição

Raiz aritmética do enésimo grau de um número não negativo aé um número não negativo cuja enésima potência é igual a a.

Olhei novamente para a placa... E, vamos lá!

Vamos começar com algo simples:

Só um minuto. isso, o que significa que podemos escrever assim:

Entendi? Aqui está o próximo para você:

As raízes dos números resultantes não são extraídas exatamente? Não tem problema - aqui estão alguns exemplos:

E se não houver dois, mas mais multiplicadores? O mesmo! A fórmula para multiplicar raízes funciona com qualquer número de fatores:

Agora completamente sozinho:

Respostas: Bom trabalho! Concordo, tudo é muito fácil, o principal é saber a tabuada!

Divisão raiz

Resolvemos a multiplicação de raízes, agora vamos passar para a propriedade da divisão.

Deixe-me lembrá-lo de que a fórmula em visão geral parece com isso:

O que significa que a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes.

Bem, vejamos alguns exemplos:

Isso é tudo que a ciência é. Aqui está um exemplo:

Nem tudo é tão tranquilo como no primeiro exemplo, mas, como você pode ver, não há nada complicado.

E se você se deparar com esta expressão:

Você só precisa aplicar a fórmula na direção oposta:

E aqui está um exemplo:

Você também pode se deparar com esta expressão:

Tudo é igual, só que aqui você precisa lembrar como traduzir frações (se não lembra, dê uma olhada no tópico e volte!). Você se lembra? Agora vamos decidir!

Tenho certeza que você já deu conta de tudo, agora vamos tentar elevar as raízes aos graus.

Exponenciação

O que acontece se a raiz quadrada for quadrada? É simples, lembre-se do significado da raiz quadrada de um número - este é um número cuja raiz quadrada é igual.

Então, se elevarmos ao quadrado um número cuja raiz quadrada é igual, o que obtemos?

Bem, claro, !

Vejamos exemplos:

É simples, certo? E se a raiz estiver em um grau diferente? Tudo bem!

Siga a mesma lógica e lembre-se das propriedades e ações possíveis com graus.

Leia a teoria sobre o tema “” e tudo ficará extremamente claro para você.

Por exemplo, aqui está uma expressão:

Neste exemplo, o grau é par, mas e se for ímpar? Novamente, aplique as propriedades dos expoentes e fatore tudo:

Tudo parece claro com isso, mas como extrair a raiz de um número elevado a uma potência? Aqui, por exemplo, é isto:

Muito simples, certo? E se o grau for maior que dois? Seguimos a mesma lógica usando as propriedades dos graus:

Bem, está tudo claro? Em seguida, resolva você mesmo os exemplos:

E aqui estão as respostas:

Entrando sob o signo da raiz

O que não aprendemos a fazer com raízes! Resta praticar a digitação do número sob o sinal da raiz!

É muito fácil!

Digamos que temos um número anotado

O que podemos fazer com isso? Bem, é claro, esconda o três embaixo da raiz, lembrando que três é a raiz quadrada de!

Por que nós precisamos disso? Sim, apenas para expandir nossas capacidades na resolução de exemplos:

O que você acha dessa propriedade das raízes? Isso torna a vida muito mais fácil? Para mim, isso é exatamente certo! Apenas Devemos lembrar que só podemos inserir números positivos sob o sinal de raiz quadrada.

Resolva você mesmo este exemplo -
Você conseguiu? Vamos ver o que você deve obter:

Bom trabalho! Você conseguiu inserir o número sob o sinal de raiz! Vamos passar para algo igualmente importante - vamos ver como comparar números que contêm uma raiz quadrada!

Comparação de raízes

Por que precisamos aprender a comparar números que contêm raiz quadrada?

Muito simples. Muitas vezes, em expressões grandes e longas encontradas no exame, recebemos uma resposta irracional (lembra o que é isso? Já falamos sobre isso hoje!)

Precisamos colocar as respostas recebidas na reta coordenada, por exemplo, para determinar qual intervalo é adequado para resolver a equação. E aí surge o problema: não tem calculadora no exame e sem ela como imaginar qual número é maior e qual é menor? É isso!

Por exemplo, determine qual é maior: ou?

Você não pode dizer imediatamente. Bem, vamos usar a propriedade desmontada de inserir um número sob o sinal de raiz?

Então vá em frente:

Bem, obviamente, quanto maior o número sob o sinal da raiz, maior será a própria raiz!

Aqueles. se então, .

Disto concluímos firmemente que. E ninguém nos convencerá do contrário!

Extraindo raízes de grandes números

Antes inserimos um multiplicador sob o sinal da raiz, mas como removê-lo? Você só precisa fatorar isso em fatores e extrair o que você extrai!

Foi possível seguir um caminho diferente e expandir para outros fatores:

Nada mal, certo? Qualquer uma dessas abordagens está correta, decida como desejar.

A fatoração é muito útil ao resolver problemas não padronizados como este:

Não tenhamos medo, mas ajamos! Vamos decompor cada fator pela raiz em fatores separados:

Agora tente você mesmo (sem calculadora! Não estará no exame):

Esse é o fim? Não vamos parar no meio do caminho!

Só isso, não é tão assustador, né?

Ocorrido? Muito bem, isso mesmo!

Agora tente este exemplo:

Mas o exemplo é um osso duro de roer, então você não consegue descobrir imediatamente como abordá-lo. Mas, é claro, podemos lidar com isso.

Bem, vamos começar a fatorar? Observemos imediatamente que você pode dividir um número por (lembre-se dos sinais de divisibilidade):

Agora, tente você mesmo (de novo, sem calculadora!):

Bem, funcionou? Muito bem, isso mesmo!

Vamos resumir

A raiz quadrada (raiz quadrada aritmética) de um número não negativo é um número não negativo cujo quadrado é igual a.
.
Se simplesmente extrairmos a raiz quadrada de algo, obteremos sempre um resultado não negativo.
Propriedades de uma raiz aritmética:
Ao comparar raízes quadradas, é necessário lembrar que quanto maior o número sob o sinal da raiz, maior será a própria raiz.

Como está a raiz quadrada? Tudo limpo?

Tentamos explicar sem complicações tudo o que você precisa saber no exame sobre a raiz quadrada.

É sua vez. Escreva-nos se este tópico é difícil para você ou não.

Você aprendeu algo novo ou já estava tudo claro?

Escreva nos comentários e boa sorte nos exames!

O conceito de raiz quadrada de um número não negativo

Considere a equação x2 = 4. Resolva-a graficamente. Para fazer isso em um sistema coordenadas Vamos construir uma parábola y = x2 e uma linha reta y = 4 (Fig. 74). Eles se cruzam em dois pontos A (- 2; 4) e B (2; 4). As abcissas dos pontos A e B são as raízes da equação x2 = 4. Portanto, x1 = - 2, x2 = 2.

Raciocinando exatamente da mesma maneira, encontramos as raízes da equação x2 = 9 (ver Fig. 74): x1 = - 3, x2 = 3.

Agora vamos tentar resolver a equação x2 = 5; uma ilustração geométrica é mostrada na Fig. 75. É claro que esta equação tem duas raízes x1 e x2, e esses números, como nos dois casos anteriores, são iguais em valor absoluto e opostos em sinal (x1 - - x2) - Mas ao contrário dos casos anteriores, onde o as raízes da equação foram encontradas sem dificuldade (e puderam ser encontradas sem o uso de gráficos), o que não é o caso da equação x2 = 5: pelo desenho não podemos indicar os valores das raízes, só podemos estabelecer que um raiz está localizado ligeiramente à esquerda do ponto - 2, e o segundo está localizado ligeiramente à direita do ponto 2.

Mas aqui nos espera uma surpresa desagradável. Acontece que não existe tal coisa frações DIV_ADBLOCK32">

Suponha que exista uma fração irredutível para a qual a igualdade seja válida https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, ou seja, m2 = 5n2. A última igualdade significa que número natural m2 é divisível por 5 sem resto (no quociente torna-se n2).

Conseqüentemente, o número m2 termina com o número 5 ou com o número 0. Mas então o número natural m também termina com o número 5 ou com o número 0, ou seja, o número m é divisível por 5 sem resto. Em outras palavras, se o número m for dividido por 5, então o quociente resultará em algum número natural k. Isso significa que m = 5k.

Agora veja:

Vamos substituir 5k em vez de m na primeira igualdade:

(5k)2 = 5n2, ou seja, 25k2 = 5n2 ou n2 = 5k2.

A última igualdade significa que o número. 5n2 é divisível por 5 sem resto. Raciocinando como acima, chegamos à conclusão de que o número n também é divisível por 5 sem restante.

Então, m é divisível por 5, n é divisível por 5, o que significa que a fração pode ser reduzida (por 5). Mas assumimos que a fração era irredutível. Qual é o problema? Porque, tendo raciocinado corretamente, chegamos ao absurdo ou, como costumam dizer os matemáticos, chegamos a uma contradição!Sim, porque a premissa inicial estava incorreta, como se existisse uma fração irredutível para a qual a igualdade vale ).

Se, como resultado de um raciocínio correto, chegarmos a uma contradição com a condição, então concluiremos: nossa suposição é falsa, o que significa que o que precisávamos provar é verdadeiro.

Então, tendo apenas números racionais(e ainda não conhecemos outros números), não conseguiremos resolver a equação x2 = 5.

Tendo encontrado tal situação pela primeira vez, os matemáticos perceberam que precisavam encontrar uma maneira de descrevê-la em linguagem matemática. Eles introduziram um novo símbolo, que chamaram de raiz quadrada, e usando esse símbolo, as raízes da equação x2 = 5 foram escritas da seguinte forma: ). Agora, para qualquer equação da forma x2 = a, onde a > O, você pode encontrar as raízes - elas são números https://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!} nem um todo nem uma fração.
Isto significa que não é um número racional, é um número de natureza nova; falaremos especificamente sobre tais números mais tarde, no Capítulo 5.
Por enquanto, observemos apenas que o novo número está entre os números 2 e 3, pois 22 = 4, que é menor que 5; Z2 = 9, e isso é maior que 5. Você pode esclarecer:

Observe novamente que apenas números positivos aparecem na tabela, conforme especificado na definição de raiz quadrada. E embora, por exemplo, = 25 seja uma igualdade verdadeira, passe dela para a notação usando a raiz quadrada (ou seja, escreva isso. .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}é um número positivo, o que significa https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. É apenas claro que é maior que 4, mas menor que 5, pois 42 = 16 (isso é menor que 17) e 52 = 25 (isso é mais que 17).
No entanto, o valor aproximado do número pode ser encontrado usando microcalculadora, que contém a operação de raiz quadrada; esse valor é 4,123.

O número, como o número discutido acima, não é racional.
e) Não pode ser calculado, pois não existe raiz quadrada de número negativo; a entrada não tem sentido. A tarefa proposta está incorreta.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Tarefa" width="80" height="33 id=">!}, já que 75 > 0 e 752 = 5625.

Nos casos mais simples, o valor da raiz quadrada é calculado imediatamente:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Tarefa" width="65" height="42 id=">!}
Solução.
Primeira etapa. Não é difícil adivinhar que a resposta será 50 com cauda. Na verdade, 502 = 2.500 e 602 = 3.600, enquanto o número 2.809 está entre os números 2.500 e 3.600.

A área de um terreno quadrado é de 81 dm². Encontre o lado dele. Suponha que o comprimento do lado do quadrado seja X decímetros. Então a área do terreno é X² decímetros quadrados. Como, de acordo com a condição, esta área é igual a 81 dm², então X² = 81. O comprimento do lado de um quadrado é um número positivo. Um número positivo cujo quadrado é 81 é o número 9. Ao resolver o problema, foi necessário encontrar o número x cujo quadrado é 81, ou seja, resolver a equação X² = 81. Esta equação tem duas raízes: x 1 = 9 e x 2 = - 9, já que 9² = 81 e (- 9)² = 81. Ambos os números 9 e - 9 são chamados de raízes quadradas de 81.

Observe que uma das raízes quadradas X= 9 é um número positivo. É chamada de raiz quadrada aritmética de 81 e é denotada √81, então √81 = 9.

Raiz quadrada aritmética de um número Aé um número não negativo cujo quadrado é igual a A.

Por exemplo, os números 6 e - 6 são raízes quadradas do número 36. No entanto, o número 6 é uma raiz quadrada aritmética de 36, uma vez que 6 é um número não negativo e 6² = 36. O número - 6 não é um raiz aritmética.

Raiz quadrada aritmética de um número A denotado da seguinte forma: √ A.

O sinal é chamado de sinal de raiz quadrada aritmética; A- chamada de expressão radical. Expressão √ A ler assim: raiz quadrada aritmética de um número A. Por exemplo, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Nos casos em que fica claro que se trata de uma raiz aritmética, dizem resumidamente: “a raiz quadrada de A«.

O ato de encontrar a raiz quadrada de um número é chamado de raiz quadrada. Esta ação é o inverso da quadratura.

Você pode elevar ao quadrado qualquer número, mas não pode extrair raízes quadradas de nenhum número. Por exemplo, é impossível extrair a raiz quadrada do número - 4. Se tal raiz existisse, então, denotando-a com a letra X, obteríamos a igualdade incorreta x² = - 4, pois existe um número não negativo à esquerda e um número negativo à direita.

Expressão √ A só faz sentido quando uma ≥ 0. A definição de raiz quadrada pode ser escrita resumidamente como: √ uma ≥ 0, (√A)² = A. Igualdade (√ A)² = A valido para uma ≥ 0. Assim, para garantir que a raiz quadrada de um número não negativo Aé igual a b, ou seja, no fato de que √ A =b, você precisa verificar se as duas condições a seguir foram atendidas: b ≥ 0, b² = A.

Raiz quadrada de uma fração

Vamos calcular. Observe que √25 = 5, √36 = 6 e vamos verificar se a igualdade é válida.

Porque e , então a igualdade é verdadeira. Então, .

Teorema: Se A≥ 0 e b> 0, ou seja, a raiz da fração é igual à raiz do numerador dividida pela raiz do denominador. É necessário provar que: e .

Desde √ A≥0 e √ b> 0, então .

Sobre a propriedade de elevar uma fração a uma potência e a definição de raiz quadrada o teorema está provado. Vejamos alguns exemplos.

Calcule usando o teorema comprovado .

Segundo exemplo: Prove que , Se A ≤ 0, b < 0. .

Outro exemplo: Calcular.

Conversão de raiz quadrada

Removendo o multiplicador sob o sinal da raiz. Deixe a expressão ser dada. Se A≥ 0 e b≥ 0, então usando o teorema da raiz do produto podemos escrever:

Essa transformação é chamada de remoção do fator do sinal da raiz. Vejamos um exemplo;

Calcular em X= 2. Substituição direta X= 2 na expressão radical leva a cálculos complexos. Esses cálculos podem ser simplificados se você primeiro remover os fatores abaixo do sinal da raiz: . Substituindo agora x = 2, obtemos:.

Assim, ao retirar o fator do sinal da raiz, a expressão radical é representada na forma de um produto em que um ou mais fatores são quadrados de números não negativos. Em seguida, aplique o teorema da raiz do produto e calcule a raiz de cada fator. Vamos considerar um exemplo: Simplifique a expressão A = √8 + √18 - 4√2 retirando os fatores nos dois primeiros termos do sinal da raiz, obtemos:. Enfatizamos que a igualdade válido apenas quando A≥ 0 e b≥ 0. se A < 0, то .