Soma de uma progressão aritmética.

A soma de uma progressão aritmética é uma coisa simples. Tanto no significado quanto na fórmula. Mas existem todos os tipos de tarefas neste tópico. Do básico ao bastante sólido.

Primeiro, vamos entender o significado e a fórmula do valor. E então decidiremos. Para seu próprio prazer.) O significado da quantia é tão simples quanto um moo. Para encontrar a soma de uma progressão aritmética, basta somar cuidadosamente todos os seus termos. Se esses termos forem poucos, você poderá adicionar sem nenhuma fórmula. Mas se houver muito, ou muito... adicionar é chato.) Nesse caso, a fórmula vem em socorro.

A fórmula para o valor é simples:

Vamos descobrir que tipo de letras estão incluídas na fórmula. Isso vai esclarecer bastante as coisas.

S n - a soma de uma progressão aritmética. Resultado da adição todos membros, com primeiro Por durar.É importante. Eles somam exatamente Todos membros seguidos, sem pular ou pular. E, precisamente, a partir de primeiro. Em problemas como encontrar a soma do terceiro e do oitavo termos, ou a soma do quinto ao vigésimo termos, a aplicação direta da fórmula irá decepcionar.)

um 1 - primeiro membro da progressão. Tudo está claro aqui, é simples primeiro número da linha.

um- durar membro da progressão. O último número da série. Não é um nome muito familiar, mas quando aplicado à quantidade é muito adequado. Então você verá por si mesmo.

n - número do último membro. É importante entender que na fórmula este número coincide com o número de termos adicionados.

Vamos definir o conceito durar membro um. Pergunta complicada: qual membro será o último se dado sem fim progressão aritmética?)

Para responder com segurança, você precisa entender o significado elementar da progressão aritmética e... leia a tarefa com atenção!)

Na tarefa de encontrar a soma de uma progressão aritmética, sempre aparece o último termo (direta ou indiretamente), que deveria ser limitado. Caso contrário, um montante final e específico simplesmente não existe. Para a solução não importa se a progressão é dada: finita ou infinita. Não importa como é dado: uma série de números ou uma fórmula para o enésimo termo.

O mais importante é entender que a fórmula funciona desde o primeiro termo da progressão até o termo com número n. Na verdade, o nome completo da fórmula é assim: a soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética. O número desses primeiros membros, ou seja, n, é determinado exclusivamente pela tarefa. Em uma tarefa, muitas vezes todas essas informações valiosas são criptografadas, sim... Mas tudo bem, nos exemplos abaixo revelamos esses segredos.)

Exemplos de tarefas sobre a soma de uma progressão aritmética.

Em primeiro lugar, informações úteis:

A principal dificuldade em tarefas que envolvem a soma de uma progressão aritmética está na correta determinação dos elementos da fórmula.

Os redatores das tarefas criptografam esses mesmos elementos com imaginação sem limites.) O principal aqui é não ter medo. Compreendendo a essência dos elementos, basta simplesmente decifrá-los. Vejamos alguns exemplos em detalhes. Vamos começar com uma tarefa baseada em um GIA real.

1. A progressão aritmética é dada pela condição: a n = 2n-3,5. Encontre a soma de seus primeiros 10 termos.

Bom trabalho. Fácil.) Para determinar o valor pela fórmula, o que precisamos saber? Primeiro membro um 1, último termo um, sim, o número do último membro n.

Onde posso obter o número do último membro? n? Sim, aí mesmo, com condição! Diz: encontre a soma primeiros 10 membros. Bem, com que número será? durar, décimo membro?) Você não vai acreditar, o número dele é o décimo!) Portanto, em vez de um Vamos substituir na fórmula um 10, e ao invés n- dez. Repito, o número do último membro coincide com o número de membros.

Resta determinar um 1 E um 10. Isso é facilmente calculado usando a fórmula do enésimo termo, fornecida na definição do problema. Não sabe como fazer isso? Assista a lição anterior, sem isso não tem como.

um 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

um 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Descobrimos o significado de todos os elementos da fórmula da soma de uma progressão aritmética. Resta substituí-los e contar:

É isso. Resposta: 75.

Outra tarefa baseada no GIA. Um pouco mais complicado:

2. Dada uma progressão aritmética (a n), cuja diferença é 3,7; uma 1 =2,3. Encontre a soma de seus primeiros 15 termos.

Escrevemos imediatamente a fórmula da soma:

Esta fórmula nos permite encontrar o valor de qualquer termo pelo seu número. Procuramos uma substituição simples:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Resta substituir todos os elementos na fórmula da soma de uma progressão aritmética e calcular a resposta:

Resposta: 423.

A propósito, se na fórmula da soma em vez de um Simplesmente substituímos a fórmula pelo enésimo termo e obtemos:

Vamos trazer outros semelhantes, obtemos nova fórmula somas dos termos de uma progressão aritmética:

Como você pode ver, não é necessário aqui enésimo termo um. Em alguns problemas essa fórmula ajuda muito, sim... Você pode lembrar dessa fórmula. Ou você pode simplesmente exibi-lo no momento certo, como aqui. Afinal, você sempre precisa se lembrar da fórmula da soma e da fórmula do enésimo termo.)

Agora a tarefa na forma de uma criptografia curta):

3. Encontre a soma de todos os números positivos de dois dígitos que são múltiplos de três.

Uau! Nem seu primeiro membro, nem seu último, nem progressão alguma... Como viver!?

Você terá que pensar com a cabeça e retirar todos os elementos da soma da progressão aritmética da condição. Sabemos o que são números de dois dígitos. Eles consistem em dois números.) Qual será o número de dois dígitos primeiro? 10, presumivelmente.) A última coisa número de dois dígitos? 99, claro! Os de três dígitos o seguirão...

Múltiplos de três... Hm... São números divisíveis por três, aqui! Dez não é divisível por três, 11 não é divisível... 12... é divisível! Então, algo está surgindo. Você já pode anotar uma série de acordo com as condições do problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Esta série será uma progressão aritmética? Certamente! Cada termo difere do anterior estritamente por três. Se você adicionar 2 ou 4 a um termo, digamos, o resultado, ou seja, o novo número não é mais divisível por 3. Você pode determinar imediatamente a diferença da progressão aritmética: d = 3. Ele virá a calhar!)

Portanto, podemos escrever com segurança alguns parâmetros de progressão:

Qual será o número? núltimo membro? Quem pensa que 99 está fatalmente enganado... Os números andam sempre seguidos, mas os nossos membros ultrapassam o três. Eles não combinam.

Existem duas soluções aqui. Uma maneira é para os super trabalhadores. Você pode anotar a progressão, toda a série de números e contar o número de membros com o dedo.) A segunda maneira é para os pensativos. Você precisa se lembrar da fórmula do enésimo termo. Se aplicarmos a fórmula ao nosso problema, descobrimos que 99 é o trigésimo termo da progressão. Aqueles. n = 30.

Vejamos a fórmula para a soma de uma progressão aritmética:

Olhamos e nos alegramos.) Retiramos da declaração do problema tudo o que é necessário para calcular o valor:

um 1= 12.

um 30= 99.

S n = S30.

Tudo o que resta é aritmética elementar. Substituímos os números na fórmula e calculamos:

Resposta: 1665

Outro tipo de quebra-cabeça popular:

4. Dada uma progressão aritmética:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Encontre a soma dos termos de vinte a trinta e quatro.

Olhamos a fórmula do valor e... ficamos chateados.) A fórmula, deixe-me lembrar, calcula o valor desde o primeiro membro. E no problema você precisa calcular a soma desde o século XX... A fórmula não funcionará.

Você pode, é claro, escrever toda a progressão em uma série e adicionar termos de 20 a 34. Mas... é um tanto estúpido e leva muito tempo, certo?)

Existe uma solução mais elegante. Vamos dividir nossa série em duas partes. A primeira parte será do primeiro mandato ao décimo nono. Segunda parte - dos vinte aos trinta e quatro.É claro que se calcularmos a soma dos termos da primeira parte C 1-19, vamos adicioná-lo com a soma dos termos da segunda parte C 20-34, obtemos a soma da progressão do primeiro termo ao trigésimo quarto C 1-34. Assim:

C 1-19 + C 20-34 = C 1-34

A partir disso podemos ver que encontre a soma C 20-34 pode ser feito por subtração simples

C 20-34 = C 1-34 - C 1-19

Ambos os valores do lado direito são considerados desde o primeiro membro, ou seja, a fórmula da soma padrão é bastante aplicável a eles. Vamos começar?

Extraímos os parâmetros de progressão da declaração do problema:

d = 1,5.

um 1= -21,5.

Para calcular as somas dos primeiros 19 e dos primeiros 34 termos, precisaremos do 19º e do 34º termos. Nós os contamos usando a fórmula do enésimo termo, como no problema 2:

um 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

um 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Nada sobrou. Da soma de 34 termos, subtraia a soma de 19 termos:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Resposta: 262,5

Uma observação importante! Existe um truque muito útil para resolver esse problema. Em vez de cálculo direto o que você precisa (S 20-34), nós contamos algo que parece não ser necessário – CS 1-19. E então eles determinaram C 20-34, descartando o desnecessário do resultado completo. Esse tipo de “finta com os ouvidos” muitas vezes evita problemas graves.)

Nesta lição examinamos problemas para os quais basta compreender o significado da soma de uma progressão aritmética. Bem, você precisa conhecer algumas fórmulas.)

Conselho prático:

Ao resolver qualquer problema que envolva a soma de uma progressão aritmética, recomendo escrever imediatamente as duas fórmulas principais deste tópico.

Fórmula para o enésimo termo:

Essas fórmulas lhe dirão imediatamente o que procurar e em que direção pensar para resolver o problema. Ajuda.

E agora as tarefas para solução independente.

5. Encontre a soma de todos os números de dois dígitos que não são divisíveis por três.

Legal?) A dica está escondida na nota do problema 4. Bem, o problema 3 vai ajudar.

6. A progressão aritmética é dada pela condição: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Encontre a soma de seus primeiros 24 termos.

Incomum?) Esta é uma fórmula recorrente. Você pode ler sobre isso na lição anterior. Não ignore o link, tais problemas são frequentemente encontrados na Academia Estadual de Ciências.

7. Vasya economizou dinheiro para o feriado. Até 4.550 rublos! E decidi dar à minha pessoa favorita (eu) alguns dias de felicidade). Viva lindamente sem negar nada a si mesmo. Gaste 500 rublos no primeiro dia e em cada dia subsequente gaste 50 rublos a mais que no dia anterior! Até o dinheiro acabar. Quantos dias de felicidade Vasya teve?

É difícil?) A fórmula adicional do problema 2 ajudará.

Respostas (desordenadas): 7, 3240, 6.

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Vamos aprender - com interesse!)

Você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Primeiro nível

Progressão aritmética. Teoria detalhada com exemplos (2019)

Sequência numérica

Então, vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:
Você pode escrever qualquer número e pode haver quantos quiser (no nosso caso, existem). Não importa quantos números escrevemos, sempre podemos dizer qual é o primeiro, qual é o segundo e assim sucessivamente até o último, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de sequência numérica:

Sequência numérica
Por exemplo, para nossa sequência:

O número atribuído é específico para apenas um número na sequência. Em outras palavras, não há três segundos números na sequência. O segundo número (como o décimo número) é sempre o mesmo.
O número com número é chamado de décimo termo da sequência.

Normalmente chamamos a sequência inteira por alguma letra (por exemplo,), e cada membro desta sequência é a mesma letra com um índice igual ao número deste membro: .

No nosso caso:

Digamos que temos uma sequência numérica em que a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual.
Por exemplo:

etc.
Essa sequência numérica é chamada de progressão aritmética.
O termo "progressão" foi introduzido pelo autor romano Boécio no século VI e foi entendido num sentido mais amplo como uma sequência numérica infinita. O nome "aritmética" foi transferido da teoria das proporções contínuas, que foi estudada pelos antigos gregos.

Esta é uma sequência numérica, cada membro da qual é igual ao anterior adicionado ao mesmo número. Este número é chamado de diferença de uma progressão aritmética e é designado.

Tente determinar quais sequências numéricas são uma progressão aritmética e quais não são:

a)
b)
c)
e)

Entendi? Vamos comparar nossas respostas:
É progressão aritmética - b, c.
Não é progressão aritmética - a, d.

Vamos voltar à progressão dada () e tentar encontrar o valor do seu décimo termo. Existe dois maneira de encontrá-lo.

1. Método

Podemos adicionar o número da progressão ao valor anterior até atingirmos o décimo termo da progressão. É bom que não tenhamos muito para resumir – apenas três valores:

Assim, o décimo termo da progressão aritmética descrita é igual a.

2. Método

E se precisássemos encontrar o valor do décimo termo da progressão? O somatório levaria mais de uma hora, e não é fato que não cometeríamos erros na soma dos números.
É claro que os matemáticos descobriram uma forma em que não é necessário adicionar a diferença de uma progressão aritmética ao valor anterior. Dê uma olhada mais de perto na imagem desenhada... Certamente você já notou um certo padrão, a saber:

Por exemplo, vamos ver em que consiste o valor do décimo termo desta progressão aritmética:


Em outras palavras:

Tente encontrar você mesmo o valor de um membro de uma determinada progressão aritmética dessa maneira.

Você calculou? Compare suas anotações com a resposta:

Observe que você obteve exatamente o mesmo número do método anterior, quando adicionamos sequencialmente os termos da progressão aritmética ao valor anterior.
Vamos tentar “despersonalizar” esta fórmula – vamos trazê-la para Forma geral e obtemos:

Equação de progressão aritmética.

As progressões aritméticas podem ser crescentes ou decrescentes.

Aumentando- progressões em que cada valor subsequente dos termos é maior que o anterior.
Por exemplo:

descendente- progressões em que cada valor subsequente dos termos é menor que o anterior.
Por exemplo:

A fórmula derivada é usada no cálculo de termos crescentes e decrescentes de uma progressão aritmética.
Vamos verificar isso na prática.
Recebemos uma progressão aritmética que consiste nos seguintes números: Vamos verificar qual será o décimo número desta progressão aritmética se usarmos nossa fórmula para calculá-la:

Desde então:

Assim, estamos convencidos de que a fórmula opera tanto na progressão aritmética decrescente quanto na crescente.
Tente encontrar você mesmo o décimo e o quinto termos dessa progressão aritmética.

Vamos comparar os resultados:

Propriedade de progressão aritmética

Vamos complicar o problema - derivaremos a propriedade da progressão aritmética.
Digamos que nos seja dada a seguinte condição:
- progressão aritmética, encontre o valor.
Calma, você diz e começa a contar de acordo com a fórmula que você já conhece:

Vamos, ah, então:

Absolutamente certo. Acontece que primeiro encontramos, depois adicionamos ao primeiro número e obtemos o que procuramos. Se a progressão for representada por valores pequenos, então não há nada de complicado nisso, mas e se recebermos números na condição? Concordo, existe a possibilidade de cometer erros nos cálculos.
Agora pense se é possível resolver esse problema em uma etapa usando qualquer fórmula? Claro que sim, e é isso que tentaremos trazer agora.

Vamos denotar o termo requerido da progressão aritmética como, a fórmula para encontrá-lo é conhecida por nós - esta é a mesma fórmula que derivamos no início:
, Então:

• o termo anterior da progressão é:
• o próximo termo da progressão é:

Vamos resumir os termos anteriores e subsequentes da progressão:

Acontece que a soma dos termos anteriores e subsequentes da progressão é o dobro do valor do termo da progressão localizado entre eles. Em outras palavras, para encontrar o valor de um termo de progressão com valores anteriores e sucessivos conhecidos, é necessário adicioná-los e dividir por.

Isso mesmo, temos o mesmo número. Vamos garantir o material. Calcule você mesmo o valor da progressão, não é nada difícil.

Bom trabalho! Você sabe quase tudo sobre progressão! Resta descobrir apenas uma fórmula que, segundo a lenda, foi facilmente deduzida por um dos maiores matemáticos de todos os tempos, o “rei dos matemáticos” - Karl Gauss...

Quando Carl Gauss tinha 9 anos, um professor, ocupado verificando o trabalho dos alunos de outras turmas, atribuiu a seguinte tarefa em sala de aula: “Calcular a soma de todos os números naturais de até (de acordo com outras fontes até) inclusive”. Imagine a surpresa do professor quando um de seus alunos (era Karl Gauss) um minuto depois deu a resposta correta à tarefa, enquanto a maioria dos colegas do temerário, após longos cálculos, obtiveram o resultado errado...

O jovem Carl Gauss notou um certo padrão que você também pode notar facilmente.
Digamos que temos uma progressão aritmética que consiste em -ésimos termos: Precisamos encontrar a soma desses termos da progressão aritmética. Claro, podemos somar manualmente todos os valores, mas e se a tarefa exigir encontrar a soma dos seus termos, como Gauss estava procurando?

Vamos descrever a progressão que nos foi dada. Observe atentamente os números destacados e tente realizar várias operações matemáticas com eles.


Tentaste? O que você percebeu? Certo! Suas somas são iguais

Agora diga-me, quantos pares existem no total na progressão que nos foi dada? Claro, exatamente metade de todos os números.
Com base no fato de que a soma de dois termos de uma progressão aritmética é igual e os pares semelhantes são iguais, obtemos que a soma total é igual a:
.
Assim, a fórmula para a soma dos primeiros termos de qualquer progressão aritmética será:

Em alguns problemas não conhecemos o termo, mas sabemos a diferença da progressão. Tente substituir a fórmula do décimo termo na fórmula da soma.
O que você conseguiu?

Bom trabalho! Agora voltemos ao problema que foi proposto a Carl Gauss: calcule você mesmo a que é igual a soma dos números começando com o th e a soma dos números começando com o th.

Quanto você conseguiu?
Gauss descobriu que a soma dos termos é igual, e a soma dos termos. Foi isso que você decidiu?

Na verdade, a fórmula para a soma dos termos de uma progressão aritmética foi comprovada pelo antigo cientista grego Diofanto no século III e, ao longo desse tempo, pessoas espirituosas fizeram pleno uso das propriedades da progressão aritmética.
Por exemplo, imagine Antigo Egito e o maior projeto de construção da época - a construção de uma pirâmide... A imagem mostra um lado dela.

Onde está a progressão aqui, você diz? Observe com atenção e encontre um padrão no número de blocos de areia em cada linha da parede da pirâmide.


Por que não uma progressão aritmética? Calcule quantos blocos são necessários para construir uma parede se os tijolos forem colocados na base. Espero que você não conte enquanto move o dedo pelo monitor. Lembra-se da última fórmula e de tudo o que dissemos sobre progressão aritmética?

Neste caso, a progressão fica assim: .
Diferença de progressão aritmética.
O número de termos de uma progressão aritmética.
Vamos substituir nossos dados nas últimas fórmulas (calcular o número de blocos de 2 maneiras).

Método 1.

Método 2.

E agora você pode calcular no monitor: compare os valores obtidos com a quantidade de blocos que estão em nossa pirâmide. Entendi? Muito bem, você dominou a soma dos enésimos termos de uma progressão aritmética.
Claro, você não pode construir uma pirâmide com blocos na base, mas com? Tente calcular quantos tijolos de areia são necessários para construir uma parede com esta condição.
Você conseguiu?
A resposta correta é blocos:

Treinamento

Tarefas:

1. Masha está ficando em forma para o verão. Todos os dias ela aumenta o número de agachamentos. Quantas vezes Masha fará agachamentos em uma semana se ela fez agachamentos no primeiro treino?
2. Qual é a soma de todos os números ímpares contidos em.
3. Ao armazenar logs, os registradores os empilham de forma que cada camada superior contém um log a menos que o anterior. Quantas toras tem uma alvenaria, se a base da alvenaria são toras?

Respostas:

1. Vamos definir os parâmetros da progressão aritmética. Nesse caso
   (semanas = dias).

   Responder: Em duas semanas, Masha deverá fazer agachamentos uma vez por dia.

2. Primeiro número ímpar, último número.
   Diferença de progressão aritmética.
   O número de números ímpares é a metade, porém, vamos verificar esse fato usando a fórmula para encontrar o décimo termo de uma progressão aritmética:

   Os números contêm números ímpares.
   Vamos substituir os dados disponíveis na fórmula:

   Responder: A soma de todos os números ímpares contidos em é igual.

3. Vamos lembrar o problema das pirâmides. Para o nosso caso, a , como cada camada superior é reduzida em um log, então no total há um monte de camadas, isto é.
   Vamos substituir os dados na fórmula:

   Responder: Existem toras na alvenaria.

Vamos resumir

1. - uma sequência numérica em que a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual. Pode ser crescente ou decrescente.
2. Fórmula de descoberta O décimo termo de uma progressão aritmética é escrito pela fórmula - , onde é o número de números na progressão.
3. Propriedade dos membros de uma progressão aritmética- - onde está o número de números em progressão.
4. A soma dos termos de uma progressão aritmética pode ser encontrado de duas maneiras:
   
   , onde está o número de valores.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA. NÍVEL MÉDIO

Sequência numérica

Vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:

Você pode escrever qualquer número e pode haver quantos quiser. Mas sempre podemos dizer qual é o primeiro, qual é o segundo, e assim por diante, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de sequência numérica.

Sequência numéricaé um conjunto de números, cada um dos quais pode receber um número exclusivo.

Em outras palavras, cada número pode estar associado a um determinado número natural e a um único. E não atribuiremos este número a nenhum outro número deste conjunto.

O número com número é chamado de décimo membro da sequência.

Normalmente chamamos a sequência inteira por alguma letra (por exemplo,), e cada membro desta sequência é a mesma letra com um índice igual ao número deste membro: .

É muito conveniente que o décimo termo da sequência possa ser especificado por alguma fórmula. Por exemplo, a fórmula

define a sequência:

E a fórmula é a seguinte sequência:

Por exemplo, uma progressão aritmética é uma sequência (o primeiro termo aqui é igual e a diferença é). Ou (, diferença).

fórmula do enésimo termo

Chamamos de recorrente uma fórmula em que, para descobrir o décimo termo, é necessário conhecer o anterior ou vários anteriores:

Para encontrar, por exemplo, o décimo termo da progressão utilizando esta fórmula, teremos que calcular os nove anteriores. Por exemplo, deixe. Então:

Bem, está claro agora qual é a fórmula?

Em cada linha adicionamos, multiplicado por algum número. Qual deles? Muito simples: este é o número do membro atual menos:

Muito mais conveniente agora, certo? Nós verificamos:

Decida por si mesmo:

Em uma progressão aritmética, encontre a fórmula para o enésimo termo e encontre o centésimo termo.

Solução:

O primeiro termo é igual. Qual é a diferença? Aqui está o que:

(É por isso que se chama diferença porque é igual à diferença dos termos sucessivos da progressão).

Então, a fórmula:

Então o centésimo termo é igual a:

Qual é a soma de todos os números naturais de até?

Segundo a lenda, o grande matemático Carl Gauss, aos 9 anos, calculou esse valor em poucos minutos. Ele percebeu que a soma do primeiro e do último número é igual, a soma do segundo e do penúltimo é a mesma, a soma do terceiro e do terceiro a partir do final é a mesma, e assim por diante. Quantos desses pares existem no total? Isso mesmo, exatamente metade do número de todos os números. Então,

A fórmula geral para a soma dos primeiros termos de qualquer progressão aritmética será:

Exemplo:
Encontre a soma de todos os múltiplos de dois dígitos.

Solução:

O primeiro desses números é este. Cada número subsequente é obtido somando-se ao número anterior. Assim, os números que nos interessam formam uma progressão aritmética com o primeiro termo e a diferença.

Fórmula do décimo termo para esta progressão:

Quantos termos existem na progressão se todos eles tiverem que ter dois dígitos?

Muito fácil: .

O último termo da progressão será igual. Então a soma:

Responder: .

Agora decida por si mesmo:

1. Todos os dias o atleta corre mais metros que no dia anterior. Quantos quilômetros no total ele correrá em uma semana se tiver corrido km m no primeiro dia?
2. Um ciclista percorre mais quilômetros todos os dias do que no dia anterior. No primeiro dia ele percorreu km. Quantos dias ele precisa viajar para percorrer um quilômetro? Quantos quilômetros ele percorrerá no último dia de viagem?
3. O preço de uma geladeira em uma loja diminui na mesma proporção a cada ano. Determine quanto o preço de uma geladeira diminuiu a cada ano se, colocado à venda por rublos, seis anos depois foi vendido por rublos.

Respostas:

1. O mais importante aqui é reconhecer a progressão aritmética e determinar seus parâmetros. Neste caso, (semanas = dias). Você precisa determinar a soma dos primeiros termos desta progressão:
   .
   Responder:
2. Aqui é dado: , deve ser encontrado.
   Obviamente, você precisa usar a mesma fórmula de soma do problema anterior:
   .
   Substitua os valores:

   A raiz obviamente não cabe, então a resposta é.
   Vamos calcular o caminho percorrido no último dia usando a fórmula do décimo termo:
   (km).
   Responder:

3. Dado: . Encontrar: .
   Não poderia ser mais simples:
   (esfregar).
   Responder:

PROGRESSÃO ARITMÉTICA. BREVEMENTE SOBRE AS COISAS PRINCIPAIS

Esta é uma sequência numérica em que a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual.

A progressão aritmética pode ser crescente () e decrescente ().

Por exemplo:

Fórmula para encontrar o enésimo termo de uma progressão aritmética

é escrito pela fórmula, onde é o número de números em progressão.

Propriedade dos membros de uma progressão aritmética

Ele permite que você encontre facilmente o termo de uma progressão se seus termos vizinhos forem conhecidos - onde está o número de números na progressão.

Soma dos termos de uma progressão aritmética

Existem duas maneiras de encontrar o valor:

Onde está o número de valores.

Onde está o número de valores.

Sim, sim: a progressão aritmética não é um brinquedo para você :)

Bem, amigos, se vocês estão lendo este texto, então a evidência interna me diz que vocês ainda não sabem o que é uma progressão aritmética, mas vocês realmente (não, assim: MUUUUITO!) querem saber. Portanto, não vou atormentá-lo com longas apresentações e irei direto ao ponto.

Primeiro, alguns exemplos. Vejamos vários conjuntos de números:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

O que todos esses conjuntos têm em comum? À primeira vista, nada. Mas na verdade há algo. Nomeadamente: cada próximo elemento difere do anterior pelo mesmo número.

Julgue por si mesmo. O primeiro conjunto consiste simplesmente em números consecutivos, cada um deles sendo um a mais que o anterior. No segundo caso, a diferença entre os números adjacentes já é cinco, mas essa diferença ainda é constante. No terceiro caso, existem raízes completamente. No entanto, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, e $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ou seja, e neste caso, cada elemento seguinte simplesmente aumenta em $\sqrt(2)$ (e não tenha medo de que este número seja irracional).

Então: todas essas sequências são chamadas de progressões aritméticas. Vamos dar uma definição estrita:

Definição. Uma sequência de números em que cada um deles difere do anterior exatamente na mesma quantidade é chamada de progressão aritmética. O próprio valor pelo qual os números diferem é chamado de diferença de progressão e é mais frequentemente denotado pela letra $d$.

Notação: $\left(((a)_(n)) \right)$ é a progressão em si, $d$ é sua diferença.

E apenas algumas notas importantes. Em primeiro lugar, a progressão só é considerada encomendado sequência de números: podem ser lidos estritamente na ordem em que são escritos - e nada mais. Os números não podem ser reorganizados ou trocados.

Em segundo lugar, a própria sequência pode ser finita ou infinita. Por exemplo, o conjunto (1; 2; 3) é obviamente uma progressão aritmética finita. Mas se você escrever algo no espírito (1; 2; 3; 4; ...) - isso já é uma progressão infinita. As reticências após os quatro parecem sugerir que ainda há mais alguns números por vir. Infinitamente muitos, por exemplo. :)

Gostaria também de observar que as progressões podem ser crescentes ou decrescentes. Já vimos os crescentes - o mesmo conjunto (1; 2; 3; 4; ...). Aqui estão alguns exemplos de progressões decrescentes:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Ok, ok: o último exemplo pode parecer muito complicado. Mas o resto, eu acho, você entende. Portanto, introduzimos novas definições:

Definição. Uma progressão aritmética é chamada:

1. aumentando se cada elemento seguinte for maior que o anterior;
2. diminuindo se, pelo contrário, cada elemento subsequente for menor que o anterior.

Além disso, existem as chamadas sequências “estacionárias” - elas consistem no mesmo número repetido. Por exemplo, (3; 3; 3; ...).

Resta apenas uma questão: como distinguir uma progressão crescente de uma decrescente? Felizmente, tudo aqui depende apenas do sinal do número $d$, ou seja, diferenças de progressão:

1. Se $d \gt 0$, então a progressão aumenta;
2. Se $d \lt 0$, então a progressão é obviamente decrescente;
3. Finalmente, há o caso $d=0$ - neste caso toda a progressão é reduzida a uma sequência estacionária de números idênticos: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

Vamos tentar calcular a diferença $d$ para as três progressões decrescentes fornecidas acima. Para fazer isso, basta pegar dois elementos adjacentes quaisquer (por exemplo, o primeiro e o segundo) e subtrair o número da esquerda do número da direita. Isso parecerá assim:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Como podemos ver, nos três casos a diferença acabou sendo negativa. E agora que descobrimos mais ou menos as definições, é hora de descobrir como as progressões são descritas e quais propriedades elas possuem.

Termos de progressão e fórmula de recorrência

Como os elementos das nossas sequências não podem ser trocados, eles podem ser numerados:

\[\esquerda(((a)_(n)) \direita)=\esquerda\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \certo\)\]

Os elementos individuais deste conjunto são chamados de membros de uma progressão. Eles são indicados por um número: primeiro membro, segundo membro, etc.

Além disso, como já sabemos, os termos vizinhos da progressão estão relacionados pela fórmula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Resumindo, para encontrar o $n$ésimo termo de uma progressão, você precisa saber o $n-1$ésimo termo e a diferença $d$. Esta fórmula é chamada de recorrente, porque com sua ajuda você só pode encontrar qualquer número conhecendo o anterior (e de fato, todos os anteriores). Isso é muito inconveniente, então existe uma fórmula mais complicada que reduz quaisquer cálculos ao primeiro termo e à diferença:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\esquerda(n-1 \direita)d\]

Você provavelmente já se deparou com esta fórmula. Eles gostam de fornecê-lo em todos os tipos de livros de referência e livros de soluções. E em qualquer livro didático de matemática sensato é um dos primeiros.

No entanto, sugiro que você pratique um pouco.

Tarefa nº 1. Escreva os três primeiros termos da progressão aritmética $\left(((a)_(n)) \right)$ se $((a)_(1))=8,d=-5$.

Solução. Então, conhecemos o primeiro termo $((a)_(1))=8$ e a diferença da progressão $d=-5$. Vamos usar a fórmula fornecida e substituir $n=1$, $n=2$ e $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\esquerda(2-1 \direita)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\esquerda(3-1 \direita)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \fim(alinhar)\]

Resposta: (8; 3; −2)

Isso é tudo! Atenção: nossa progressão está diminuindo.

É claro que $n=1$ não poderia ser substituído - o primeiro termo já é conhecido por nós. No entanto, ao substituir a unidade, ficámos convencidos de que mesmo para o primeiro termo a nossa fórmula funciona. Em outros casos, tudo se resumia à aritmética banal.

Tarefa nº 2. Escreva os três primeiros termos de uma progressão aritmética se o seu sétimo termo for igual a −40 e o seu décimo sétimo termo for igual a −50.

Solução. Vamos escrever a condição do problema em termos familiares:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \certo.\]

Coloquei o sinal do sistema porque esses requisitos devem ser atendidos simultaneamente. Agora observemos que se subtrairmos a primeira da segunda equação (temos o direito de fazer isso, já que temos um sistema), obtemos isto:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \fim(alinhar)\]

É tão fácil encontrar a diferença de progressão! Resta substituir o número encontrado em qualquer uma das equações do sistema. Por exemplo, no primeiro:

\[\begin(matriz) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \fim(matriz)\]

Agora, conhecendo o primeiro termo e a diferença, resta encontrar o segundo e o terceiro termos:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \fim(alinhar)\]

Preparar! O problema está resolvido.

Resposta: (−34; −35; −36)

Observe a propriedade interessante da progressão que descobrimos: se pegarmos os $n$ésimo e $m$ésimo termos e subtraí-los um do outro, obteremos a diferença da progressão multiplicada pelo número $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Simples, mas muito propriedade útil, que você definitivamente precisa saber - com sua ajuda você pode acelerar significativamente a solução de muitos problemas de progressão. Aqui está um exemplo claro disso:

Tarefa nº 3. O quinto termo de uma progressão aritmética é 8,4 e seu décimo termo é 14,4. Encontre o décimo quinto termo desta progressão.

Solução. Como $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, e precisamos encontrar $((a)_(15))$, notamos o seguinte:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \fim(alinhar)\]

Mas pela condição $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, portanto $5d=6$, da qual temos:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \fim(alinhar)\]

Resposta: 20,4

Isso é tudo! Não precisamos criar nenhum sistema de equações e calcular o primeiro termo e a diferença - tudo foi resolvido em apenas algumas linhas.

Agora vamos examinar outro tipo de problema – a busca de termos negativos e positivos de uma progressão. Não é segredo que se uma progressão aumenta e seu primeiro termo é negativo, mais cedo ou mais tarde aparecerão nela termos positivos. E vice-versa: os termos de uma progressão decrescente tornar-se-ão, mais cedo ou mais tarde, negativos.

Ao mesmo tempo, nem sempre é possível encontrar esse momento “de frente” percorrendo sequencialmente os elementos. Muitas vezes, os problemas são escritos de tal forma que, sem conhecer as fórmulas, os cálculos levariam várias folhas de papel – simplesmente adormeceríamos enquanto encontrávamos a resposta. Portanto, vamos tentar resolver esses problemas de forma mais rápida.

Tarefa nº 4. Quantos termos negativos existem na progressão aritmética −38,5; −35,8; ...?

Solução. Então, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, de onde encontramos imediatamente a diferença:

Observe que a diferença é positiva, então a progressão aumenta. O primeiro termo é negativo, então, de fato, em algum momento nos depararemos com números positivos. A única questão é quando isso acontecerá.

Vamos tentar descobrir por quanto tempo (ou seja, até qual número natural $n$) a negatividade dos termos permanece:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\esquerda(n-1 \direita)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \esquerda| \cdot 10 \certo. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \fim(alinhar)\]

A última linha requer alguma explicação. Então sabemos que $n \lt 15\frac(7)(27)$. Por outro lado, estamos satisfeitos apenas com valores inteiros do número (além disso: $n\in \mathbb(N)$), então o maior número permitido é precisamente $n=15$, e em nenhum caso 16 .

Tarefa nº 5. Na progressão aritmética $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Encontre o número do primeiro termo positivo desta progressão.

Este seria exatamente o mesmo problema do anterior, mas não sabemos $((a)_(1))$. Mas os termos vizinhos são conhecidos: $((a)_(5))$ e $((a)_(6))$, então podemos facilmente encontrar a diferença da progressão:

Além disso, vamos tentar expressar o quinto termo através do primeiro e da diferença usando a fórmula padrão:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cponto 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \fim(alinhar)\]

Agora procedemos por analogia com a tarefa anterior. Vamos descobrir em que ponto da nossa sequência os números positivos aparecerão:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \fim(alinhar)\]

A solução inteira mínima para esta desigualdade é o número 56.

Atenção: na última tarefa tudo se resumiu a uma desigualdade estrita, então a opção $n=55$ não nos servirá.

Agora que aprendemos como resolver problemas simples, vamos passar para os mais complexos. Mas primeiro, vamos estudar outra propriedade muito útil das progressões aritméticas, que nos poupará muito tempo e células desiguais no futuro. :)

Média aritmética e recuos iguais

Vamos considerar vários termos consecutivos da progressão aritmética crescente $\left(((a)_(n)) \right)$. Vamos tentar marcá-los na reta numérica:

Termos de uma progressão aritmética na reta numérica

Marquei especificamente termos arbitrários $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, e não alguns $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etc. Porque a regra que vou falar agora funciona da mesma forma para qualquer “segmento”.

E a regra é muito simples. Vamos lembrar a fórmula recorrente e anotá-la para todos os termos marcados:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \fim(alinhar)\]

No entanto, essas igualdades podem ser reescritas de forma diferente:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \fim(alinhar)\]

Bem, e daí? E o fato de que os termos $((a)_(n-1))$ e $((a)_(n+1))$ estão à mesma distância de $((a)_(n)) $ . E essa distância é igual a $d$. O mesmo pode ser dito sobre os termos $((a)_(n-2))$ e $((a)_(n+2))$ - eles também são removidos de $((a)_(n) )$ na mesma distância igual a $2d$. Podemos continuar ad infinitum, mas o significado é bem ilustrado pela imagem

Os termos da progressão estão à mesma distância do centro

O que isso significa para nós? Isso significa que $((a)_(n))$ pode ser encontrado se os números vizinhos forem conhecidos:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Derivamos uma excelente afirmação: cada termo de uma progressão aritmética é igual à média aritmética dos termos vizinhos! Além disso: podemos recuar de $((a)_(n))$ para a esquerda e para a direita não um passo, mas $k$ passos - e a fórmula ainda estará correta:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(nk))+((a)_(n+k)))(2)\]

Aqueles. podemos facilmente encontrar alguns $((a)_(150))$ se soubermos $((a)_(100))$ e $((a)_(200))$, porque $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. À primeira vista, pode parecer que este facto não nos traz nada de útil. Entretanto, na prática, muitos problemas são especialmente adaptados para usar a média aritmética. Dê uma olhada:

Tarefa nº 6. Encontre todos os valores de $x$ para os quais os números $-6((x)^(2))$, $x+1$ e $14+4((x)^(2))$ são termos consecutivos de uma progressão aritmética (na ordem indicada).

Solução. Como esses números são membros de uma progressão, a condição da média aritmética é satisfeita para eles: o elemento central $x+1$ pode ser expresso em termos de elementos vizinhos:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \fim(alinhar)\]

Acabou clássico Equação quadrática. Suas raízes: $x=2$ e $x=-3$ são as respostas.

Resposta: −3; 2.

Tarefa nº 7. Encontre os valores de $$ para os quais os números $-1;4-3;(()^(2))+1$ formam uma progressão aritmética (nessa ordem).

Solução. Expressemos novamente o termo médio através da média aritmética dos termos vizinhos:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \certo.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \fim(alinhar)\]

Equação quadrática novamente. E novamente existem duas raízes: $x=6$ e $x=1$.

Resposta 1; 6.

Se no processo de resolução de um problema você encontrar alguns números brutais ou não tiver certeza da exatidão das respostas encontradas, então existe uma técnica maravilhosa que permite verificar: resolvemos o problema corretamente?

Digamos que no problema nº 6 recebemos as respostas −3 e 2. Como podemos verificar se essas respostas estão corretas? Vamos apenas conectá-los à condição original e ver o que acontece. Deixe-me lembrá-lo que temos três números ($-6(()^(2))$, $+1$ e $14+4(()^(2))$), que devem formar uma progressão aritmética. Vamos substituir $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fim(alinhar)\]

Obtivemos os números −54; −2; 50 que diferem por 52 é sem dúvida uma progressão aritmética. A mesma coisa acontece para $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fim(alinhar)\]

Novamente uma progressão, mas com diferença de 27. Assim, o problema foi resolvido corretamente. Quem quiser pode verificar o segundo problema por conta própria, mas direi desde já: está tudo correto aí também.

Em geral, ao resolver os últimos problemas, nos deparamos com outro fato interessante, que também precisa ser lembrado:

Se três números são tais que o segundo é a média aritmética do primeiro e do último, então esses números formam uma progressão aritmética.

No futuro, a compreensão desta afirmação nos permitirá literalmente “construir” as progressões necessárias com base nas condições do problema. Mas antes de nos empenharmos em tal “construção”, devemos prestar atenção a mais um facto, que decorre directamente do que já foi discutido.

Agrupando e somando elementos

Voltemos ao eixo dos números novamente. Notemos aí vários membros da progressão, entre os quais, talvez. vale muitos outros membros:

Existem 6 elementos marcados na reta numérica

Vamos tentar expressar a “cauda esquerda” através de $((a)_(n))$ e $d$, e a “cauda direita” através de $((a)_(k))$ e $d$. É muito simples:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \fim(alinhar)\]

Agora observe que os seguintes valores são iguais:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fim(alinhar)\]

Simplificando, se considerarmos como início dois elementos da progressão, que no total são iguais a algum número $S$, e então começarmos a passar desses elementos para lados opostos(um em direção ao outro ou vice-versa para se afastar), então as somas dos elementos que encontraremos também serão iguais$S$. Isso pode ser representado mais claramente graficamente:

Recuos iguais fornecem quantidades iguais

A compreensão deste fato nos permitirá resolver problemas de um nível de complexidade fundamentalmente superior aos que consideramos acima. Por exemplo, estes:

Tarefa nº 8. Determine a diferença de uma progressão aritmética em que o primeiro termo é 66 e o ​​produto do segundo e décimo segundo termos é o menor possível.

Solução. Vamos anotar tudo o que sabemos:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \fim(alinhar)\]

Portanto, não sabemos a diferença de progressão $d$. Na verdade, toda a solução será construída em torno da diferença, já que o produto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ pode ser reescrito da seguinte forma:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \fim(alinhar)\]

Para quem está no tanque: tirei o multiplicador total de 11 da segunda chave. Assim, o produto desejado é uma função quadrática em relação à variável $d$. Portanto, considere a função $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - seu gráfico será uma parábola com ramificações para cima, porque se expandirmos os colchetes, obtemos:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Como você pode ver, o coeficiente do termo mais alto é 11 - isto é número positivo, então estamos realmente lidando com uma parábola com ramificações:

gráfico de uma função quadrática - parábola

Atenção: esta parábola assume seu valor mínimo em seu vértice com a abcissa $((d)_(0))$. Claro, podemos calcular esta abscissa usando o esquema padrão (existe a fórmula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), mas seria muito mais razoável notar que o vértice desejado está no eixo de simetria da parábola, portanto o ponto $((d)_(0))$ é equidistante das raízes da equação $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \fim(alinhar)\]

É por isso que não tive muita pressa em abrir os colchetes: em sua forma original, as raízes eram muito, muito fáceis de encontrar. Portanto, a abcissa é igual à média aritmética dos números −66 e −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

O que o número descoberto nos dá? Com ele, o produto requerido assume o menor valor (aliás, nunca calculamos $((y)_(\min ))$ - isso não é exigido de nós). Ao mesmo tempo, este número é a diferença da progressão original, ou seja, encontramos a resposta. :)

Resposta: −36

Tarefa nº 9. Entre os números $-\frac(1)(2)$ e $-\frac(1)(6)$ insira três números para que junto com esses números formem uma progressão aritmética.

Solução. Essencialmente, precisamos fazer uma sequência de cinco números, sendo o primeiro e o último número já conhecidos. Vamos denotar os números faltantes pelas variáveis ​​$x$, $y$ e $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Observe que o número $y$ é o “meio” da nossa sequência - é equidistante dos números $x$ e $z$, e dos números $-\frac(1)(2)$ e $-\frac (1)(6)$. E se dos números $x$ e $z$ estivermos em este momento não conseguimos $y$, então a situação é diferente com os finais da progressão. Vamos lembrar a média aritmética:

Agora, conhecendo $y$, encontraremos os números restantes. Observe que $x$ está entre os números $-\frac(1)(2)$ e $y=-\frac(1)(3)$ que acabamos de encontrar. É por isso

Usando um raciocínio semelhante, encontramos o número restante:

Preparar! Encontramos todos os três números. Vamos escrevê-los na resposta na ordem em que devem ser inseridos entre os números originais.

Resposta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tarefa nº 10. Entre os números 2 e 42, insira vários números que, junto com esses números, formem uma progressão aritmética, se você souber que a soma do primeiro, do segundo e do último dos números inseridos é 56.

Solução. Um problema ainda mais complexo, que, no entanto, se resolve segundo o mesmo esquema dos anteriores - através da média aritmética. O problema é que não sabemos exatamente quantos números precisam ser inseridos. Portanto, vamos supor para maior certeza que depois de inserir tudo haverá exatamente $n$ números, sendo o primeiro deles 2 e o último 42. Neste caso, a progressão aritmética necessária pode ser representada na forma:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \direita\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Observe, entretanto, que os números $((a)_(2))$ e $((a)_(n-1))$ são obtidos a partir dos números 2 e 42 nas bordas um passo em direção um ao outro, ou seja. para o centro da sequência. E isso significa que

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Mas então a expressão escrita acima pode ser reescrita da seguinte forma:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \fim(alinhar)\]

Conhecendo $((a)_(3))$ e $((a)_(1))$, podemos facilmente encontrar a diferença da progressão:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\esquerda(3-1 \direita)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \fim(alinhar)\]

Resta apenas encontrar os termos restantes:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cponto 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cponto 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cponto 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cponto 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cponto 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cponto 5=42; \\ \fim(alinhar)\]

Assim, já na 9ª etapa chegaremos ao extremo esquerdo da sequência - o número 42. No total, foram necessários apenas 7 números: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Resposta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Problemas de palavras com progressões

Para concluir, gostaria de considerar alguns aspectos relativamente tarefas simples. Bom, simples assim: para a maioria dos alunos que estudam matemática na escola e não leram o que está escrito acima, esses problemas podem parecer difíceis. No entanto, estes são os tipos de problemas que aparecem no OGE e no Exame Estadual Unificado de matemática, por isso recomendo que você se familiarize com eles.

Tarefa nº 11. A equipe produziu 62 peças em janeiro e, em cada mês subsequente, produziu 14 peças a mais que no mês anterior. Quantas peças a equipe produziu em novembro?

Solução. Obviamente, o número de peças listadas por mês representará uma progressão aritmética crescente. Além disso:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembro é o 11º mês do ano, então precisamos encontrar $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cponto 14=202\]

Portanto, serão produzidas 202 peças em novembro.

Tarefa nº 12. A oficina de encadernação encadernou 216 livros em janeiro e em cada mês subsequente encadernou mais 4 livros do que no mês anterior. Quantos livros a oficina encadernou em dezembro?

Solução. Tudo o mesmo:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dezembro é o último 12º mês do ano, então estamos procurando por $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cponto 4=260\]

Esta é a resposta: 260 livros serão encadernados em dezembro.

Bem, se você leu até aqui, apresso-me em parabenizá-lo: você concluiu com sucesso o “curso do jovem lutador” em progressões aritméticas. Você pode passar com segurança para a próxima lição, onde estudaremos a fórmula da soma da progressão, bem como suas consequências importantes e muito úteis.

Ou aritmética é um tipo de sequência numérica ordenada, cujas propriedades são estudadas em um curso escolar de álgebra. Este artigo discute em detalhes a questão de como encontrar a soma de uma progressão aritmética.

Que tipo de progressão é essa?

Antes de passar à questão (como encontrar a soma de uma progressão aritmética), vale a pena entender do que estamos falando.

Qualquer sequência de números reais obtida adicionando (subtraindo) algum valor de cada número anterior é chamada de progressão algébrica (aritmética). Esta definição, quando traduzida para linguagem matemática, assume a forma:

Aqui i é o número de série do elemento da linha a i. Assim, conhecendo apenas um número inicial, você pode facilmente restaurar toda a série. O parâmetro d na fórmula é chamado de diferença de progressão.

Pode ser facilmente demonstrado que para a série de números em consideração a seguinte igualdade é válida:

uma n = uma 1 + d * (n - 1).

Ou seja, para encontrar o valor do enésimo elemento em ordem, você deve adicionar a diferença d ao primeiro elemento a 1 n-1 vezes.

Qual é a soma de uma progressão aritmética: fórmula

Antes de fornecer a fórmula do valor indicado, vale a pena considerar um caso especial simples. Dada uma progressão de números naturais de 1 a 10, é necessário encontrar sua soma. Como existem poucos termos na progressão (10), é possível resolver o problema de frente, ou seja, somar todos os elementos em ordem.

S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Vale a pena considerar uma coisa interessante: como cada termo difere do próximo pelo mesmo valor d = 1, então a soma aos pares do primeiro com o décimo, do segundo com o nono e assim por diante dará o mesmo resultado. Realmente:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Como você pode ver, existem apenas 5 dessas somas, ou seja, exatamente duas vezes menos que o número de elementos da série. Multiplicando então o número de somas (5) pelo resultado de cada soma (11), você chegará ao resultado obtido no primeiro exemplo.

Se generalizarmos esses argumentos, podemos escrever a seguinte expressão:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Esta expressão mostra que não é necessário somar todos os elementos de uma linha; basta saber o valor do primeiro a 1 e do último a n , bem como número total n termos.

Acredita-se que Gauss pensou nessa igualdade pela primeira vez quando procurava uma solução para um problema dado por seu professor: somar os primeiros 100 números inteiros.

Soma dos elementos de m a n: fórmula

A fórmula dada no parágrafo anterior responde à questão de como encontrar a soma de uma progressão aritmética (os primeiros elementos), mas muitas vezes em problemas é necessário somar uma série de números no meio da progressão. Como fazer isso?

A maneira mais fácil de responder a esta pergunta é considerar o seguinte exemplo: seja necessário encontrar a soma dos termos do m-ésimo ao n-ésimo. Para resolver o problema, você deve apresentar o segmento dado de m a n da progressão na forma de uma nova série numérica. Nesta visão m-ésimo termo a m será o primeiro e a n será numerado como n-(m-1). Neste caso, aplicando a fórmula padrão para a soma, obter-se-á a seguinte expressão:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Exemplo de uso de fórmulas

Sabendo como encontrar a soma de uma progressão aritmética, vale a pena considerar um exemplo simples de utilização das fórmulas acima.

Abaixo está uma sequência numérica, você deve encontrar a soma de seus termos, começando no 5º e terminando no 12º:

Os números fornecidos indicam que a diferença d é igual a 3. Usando a expressão para o enésimo elemento, você pode encontrar os valores do 5º e 12º termos da progressão. Acontece que:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Conhecendo os valores dos números nas extremidades da progressão algébrica em consideração, bem como sabendo quais números da série eles ocupam, pode-se utilizar a fórmula da soma obtida no parágrafo anterior. Acontecerá:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

É importante notar que este valor poderia ser obtido de forma diferente: primeiro encontre a soma dos primeiros 12 elementos usando a fórmula padrão, depois calcule a soma dos primeiros 4 elementos usando a mesma fórmula e depois subtraia o segundo da primeira soma.

Algumas pessoas tratam a palavra “progressão” com cautela, como um termo muito complexo proveniente dos ramos da matemática superior. Enquanto isso, a progressão aritmética mais simples é o trabalho do taxímetro (onde ainda existem). E compreender a essência (e em matemática não há nada mais importante do que “compreender a essência”) de uma sequência aritmética não é tão difícil, tendo analisado alguns conceitos elementares.

Sequência numérica matemática

Uma sequência numérica é geralmente chamada de série de números, cada um com seu próprio número.

a 1 é o primeiro membro da sequência;

e 2 é o segundo termo da sequência;

e 7 é o sétimo membro da sequência;

e n é o enésimo membro da sequência;

No entanto, nenhum conjunto arbitrário de números e números nos interessa. Centraremos nossa atenção em uma sequência numérica na qual o valor do enésimo termo está relacionado ao seu número ordinal por uma relação que pode ser claramente formulada matematicamente. Em outras palavras: o valor numérico do enésimo número é alguma função de n.

a é o valor de um membro de uma sequência numérica;

n é o seu número de série;

f(n) é uma função, onde o número ordinal na sequência numérica n é o argumento.

Definição

Uma progressão aritmética é geralmente chamada de sequência numérica em que cada termo subsequente é maior (menor) que o anterior pelo mesmo número. A fórmula para o enésimo termo de uma sequência aritmética é a seguinte:

a n é o valor do membro atual da progressão aritmética;

a n+1 - fórmula do próximo número;

d - diferença (certo número).

É fácil determinar que se a diferença for positiva (d>0), então cada membro subsequente da série em consideração será maior que o anterior e tal progressão aritmética será crescente.

No gráfico abaixo é fácil perceber porque a sequência numérica é chamada de “crescente”.

Nos casos em que a diferença é negativa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Valor de membro especificado

Às vezes é necessário determinar o valor de qualquer termo arbitrário a n de uma progressão aritmética. Isso pode ser feito calculando sequencialmente os valores de todos os membros da progressão aritmética, começando do primeiro até o desejado. Porém, esse caminho nem sempre é aceitável se, por exemplo, for necessário encontrar o valor do termo cinco mil ou oito milionésimos. Os cálculos tradicionais levarão muito tempo. No entanto, uma progressão aritmética específica pode ser estudada usando certas fórmulas. Também existe uma fórmula para o enésimo termo: o valor de qualquer termo de uma progressão aritmética pode ser determinado como a soma do primeiro termo da progressão com a diferença da progressão, multiplicada pelo número do termo desejado, reduzida por um.

A fórmula é universal para aumentar e diminuir a progressão.

Um exemplo de cálculo do valor de um determinado termo

Vamos resolver o seguinte problema de encontrar o valor do enésimo termo de uma progressão aritmética.

Condição: existe uma progressão aritmética com parâmetros:

O primeiro termo da sequência é 3;

A diferença na série numérica é 1,2.

Tarefa: você precisa encontrar o valor de 214 termos

Solução: para determinar o valor de um determinado termo, utilizamos a fórmula:

uma(n) = a1 + d(n-1)

Substituindo os dados do enunciado do problema na expressão, temos:

uma(214) = a1 + d(n-1)

uma(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Resposta: O 214º termo da sequência é igual a 258,6.

As vantagens deste método de cálculo são óbvias - toda a solução não ocupa mais do que 2 linhas.

Soma de um determinado número de termos

Muitas vezes, em uma determinada série aritmética, é necessário determinar a soma dos valores de alguns de seus segmentos. Para isso, também não há necessidade de calcular os valores de cada termo e depois somá-los. Este método é aplicável se o número de termos cuja soma precisa ser encontrada for pequeno. Em outros casos, é mais conveniente usar a seguinte fórmula.

A soma dos termos de uma progressão aritmética de 1 a n é igual à soma do primeiro e do enésimo termos, multiplicada pelo número do termo n e dividida por dois. Se na fórmula o valor do enésimo termo for substituído pela expressão do parágrafo anterior do artigo, obtemos:

Exemplo de cálculo

Por exemplo, vamos resolver um problema com as seguintes condições:

O primeiro termo da sequência é zero;

A diferença é de 0,5.

O problema requer determinar a soma dos termos da série de 56 a 101.

Solução. Vamos usar a fórmula para determinar a quantidade de progressão:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Primeiro, determinamos a soma dos valores de 101 termos da progressão, substituindo as condições dadas do nosso problema na fórmula:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2.525

Obviamente, para saber a soma dos termos da progressão do 56º ao 101º, é necessário subtrair S 55 de S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Assim, a soma da progressão aritmética para este exemplo é:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Exemplo de aplicação prática de progressão aritmética

Ao final do artigo, voltemos ao exemplo de sequência aritmética dada no primeiro parágrafo - um taxímetro (taxímetro). Vamos considerar este exemplo.

Embarcar em um táxi (que inclui 3 km de viagem) custa 50 rublos. Cada quilômetro subsequente é pago à taxa de 22 rublos/km. A distância percorrida é de 30 km. Calcule o custo da viagem.

1. Vamos descartar os primeiros 3 km, cujo preço está incluído no custo do pouso.

30 - 3 = 27 km.

2. Cálculos adicionais nada mais são do que analisar uma série de números aritméticos.

Número de membro - o número de quilômetros percorridos (menos os três primeiros).

O valor do membro é a soma.

O primeiro termo neste problema será igual a 1 = 50 rublos.

Diferença de progressão d = 22 r.

o número que nos interessa é o valor do (27+1)-ésimo termo da progressão aritmética - a leitura do medidor no final do 27º quilômetro é 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Os cálculos dos dados do calendário para um período arbitrariamente longo são baseados em fórmulas que descrevem certas sequências numéricas. Na astronomia, o comprimento da órbita depende geometricamente da distância do corpo celeste à estrela. Além disso, várias séries numéricas são utilizadas com sucesso em estatística e outras áreas aplicadas da matemática.

Outro tipo de sequência numérica é geométrica

A progressão geométrica é caracterizada por maiores taxas de mudança em comparação com a progressão aritmética. Não é por acaso que na política, na sociologia e na medicina, para mostrar a alta velocidade de propagação de um determinado fenômeno, por exemplo, uma doença durante uma epidemia, dizem que o processo se desenvolve em progressão geométrica.

O enésimo termo da série de números geométricos difere do anterior porque é multiplicado por algum número constante - o denominador, por exemplo, o primeiro termo é 1, o denominador é correspondentemente igual a 2, então:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - o valor do termo atual da progressão geométrica;

b n+1 - fórmula do próximo termo da progressão geométrica;

q é o denominador da progressão geométrica (um número constante).

Se o gráfico de uma progressão aritmética for uma linha reta, então uma progressão geométrica mostra um quadro ligeiramente diferente:

Como no caso da aritmética, a progressão geométrica possui uma fórmula para o valor de um termo arbitrário. Qualquer enésimo termo de uma progressão geométrica é igual ao produto do primeiro termo e o denominador da progressão à potência de n reduzido por um:

Exemplo. Temos uma progressão geométrica com o primeiro termo igual a 3 e o denominador da progressão igual a 1,5. Vamos encontrar o 5º termo da progressão

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

A soma de um determinado número de termos também é calculada por meio de uma fórmula especial. A soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica é igual à diferença entre o produto do enésimo termo da progressão e seu denominador e o primeiro termo da progressão, dividido pelo denominador reduzido por um:

Se b n for substituído usando a fórmula discutida acima, o valor da soma dos primeiros n termos da série numérica em consideração terá a forma:

Exemplo. A progressão geométrica começa com o primeiro termo igual a 1. O denominador é definido como 3. Vamos encontrar a soma dos primeiros oito termos.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280