Odejmowanie liczb ujemnych. Zasady znakowania mnożenia i dodawania Plus przez plus daje znak

1) Dlaczego minus jeden razy minus jeden równa się plus jeden?
2) Dlaczego minus jeden razy plus jeden równa się minus jeden?

„Wróg mojego wroga jest moim przyjacielem”.

Najłatwiejsza odpowiedź brzmi: „Ponieważ takie są zasady działania na liczbach ujemnych”. Zasady, których uczymy się w szkole i które stosujemy przez całe życie. Podręczniki nie wyjaśniają jednak, dlaczego zasady są takie, jakie są. Najpierw spróbujemy to zrozumieć na podstawie historii rozwoju arytmetyki, a następnie odpowiemy na to pytanie z punktu widzenia współczesnej matematyki.

Dawno temu ludzie znali tylko liczby naturalne: 1, 2, 3,... Używano ich do liczenia naczyń, łupów, wrogów itp. Ale same liczby są zupełnie bezużyteczne - trzeba umieć sobie z nimi poradzić. Dodawanie jest jasne i zrozumiałe, a poza tym suma dwóch liczb naturalnych jest także liczbą naturalną (matematyk powiedziałby, że zbiór liczb naturalnych jest domknięty na skutek operacji dodawania). Mnożenie jest zasadniczo tym samym, co dodawanie, jeśli mówimy o liczbach naturalnych. W życiu często wykonujemy czynności związane z tymi dwiema operacjami (np. podczas zakupów dodajemy i mnożymy) i aż dziwne, że nasi przodkowie spotykali się z nimi rzadziej – dodawanie i mnożenie były przez ludzkość opanowywane już od bardzo dawna temu. Często trzeba dzielić jedne wielkości przez inne, ale tutaj wynik nie zawsze jest wyrażony jako liczba naturalna - tak pojawiły się liczby ułamkowe.

Liczby ujemne pojawiają się w dokumentach indyjskich od VII wieku naszej ery; Chińczycy najwyraźniej zaczęli je stosować nieco wcześniej. Wykorzystywano je do rozliczania długów lub w obliczeniach pośrednich w celu uproszczenia rozwiązywania równań – było to jedynie narzędzie do uzyskania pozytywnej odpowiedzi. Fakt, że liczby ujemne, w przeciwieństwie do liczb dodatnich, nie wyrażają obecności żadnego bytu, wywołał silną nieufność. Ludzie dosłownie unikali liczb ujemnych: jeśli problem miał odpowiedź negatywną, wierzyli, że w ogóle nie ma odpowiedzi. Ta nieufność utrzymywała się bardzo długo i nawet Kartezjusz – jeden z „założycieli” współczesnej matematyki – nazwał je „fałszywymi” (w XVII wieku!).

Rozważmy na przykład równanie 7x – 17 = 2x – 2. Można to rozwiązać w ten sposób: przesuń terminy z niewiadomą na lewą stronę, a resztę na prawo, okaże się 7x – 2x = 17 – 2 , 5x = 15 , x = 3. Dzięki temu rozwiązaniu nie spotkaliśmy się nawet z liczbami ujemnymi.

Ale można było przypadkowo zrobić to inaczej: przesunąć terminy z niewiadomą na prawą stronę i uzyskać 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Aby znaleźć niewiadomą, musisz podzielić jedną liczbę ujemną przez drugą: x = (–15)/(–5). Ale prawidłowa odpowiedź jest znana i pozostaje ją wyciągnąć (–15)/(–5) = 3 .

Co pokazuje ten prosty przykład? Po pierwsze, logika określająca zasady działania na liczbach ujemnych staje się jasna: wyniki tych działań muszą odpowiadać odpowiedziom uzyskanym w inny sposób, bez liczb ujemnych. Po drugie, pozwalając na użycie liczb ujemnych, pozbywamy się żmudnego (jeśli równanie okaże się bardziej skomplikowane, z dużą liczbą wyrazów) poszukiwania rozwiązania, w którym wszystkie działania wykonywane są wyłącznie na liczbach naturalnych. Co więcej, nie możemy już za każdym razem zastanawiać się nad sensownością przekształcanych wielkości - a to już jest krok w kierunku przekształcenia matematyki w naukę abstrakcyjną.

Zasady działania z liczbami ujemnymi nie powstały od razu, ale stały się uogólnieniem wielu przykładów, które pojawiły się podczas rozwiązywania zastosowanych problemów. Ogólnie rozwój matematyki można podzielić na etapy: każdy kolejny etap różni się od poprzedniego nowym poziomem abstrakcji podczas badania przedmiotów. I tak w XIX wieku matematycy zdali sobie sprawę, że liczby całkowite i wielomiany, pomimo wszystkich zewnętrznych różnic, mają ze sobą wiele wspólnego: oba można dodawać, odejmować i mnożyć. Operacje te podlegają tym samym prawom – zarówno w przypadku liczb, jak i w przypadku wielomianów. Jednak dzielenie liczb całkowitych przez siebie w celu uzyskania ponownie liczb całkowitych nie zawsze jest możliwe. Podobnie jest z wielomianami.

Następnie odkryto inne zbiory obiektów matematycznych, na których można było wykonać takie operacje: formalne szeregi potęgowe, funkcje ciągłe... W końcu doszło do zrozumienia, że jeśli przestudiuje się właściwości samych operacji, to wyniki można następnie zastosować do wszystkich tych zbiorów obiektów (podejście to jest typowe dla całej współczesnej matematyki).

W rezultacie pojawiła się nowa koncepcja: pierścień. To po prostu zbiór elementów plus akcji, które można na nich wykonać. Podstawowymi zasadami są tutaj zasady (nazywa się je aksjomaty), którym podlegają działania, a nie natura elementów zbioru (tutaj nowy poziom abstrakcji!). Chcąc podkreślić, że istotna jest struktura powstająca po wprowadzeniu aksjomatów, matematycy mówią: pierścień liczb całkowitych, pierścień wielomianów itp. Wychodząc z aksjomatów można wywnioskować inne właściwości pierścieni.

Sformułujemy aksjomaty pierścienia (które oczywiście są podobne do zasad działania na liczbach całkowitych), a następnie udowodnimy, że w dowolnym pierścieniu pomnożenie minusa przez minus daje plus.

Pierścień to zbiór zawierający dwie operacje binarne (czyli każda operacja obejmuje dwa elementy pierścienia), które tradycyjnie nazywane są dodawaniem i mnożeniem oraz następującymi aksjomatami:

dodawanie elementów pierścienia podlega przemienności ( A + B = B + A dla dowolnych elementów A I B) i asocjacyjne ( A + (B + C) = (A + B) + C) prawa; w pierścieniu znajduje się specjalny element 0 (element neutralny przez dodanie) taki, że A+0=A i dla dowolnego elementu A istnieje element przeciwny (oznaczony (-A)), Co A + (–A) = 0 ;
mnożenie podlega prawu kombinacyjnemu: A·(B·C) = (A·B)·C ;
Dodawanie i mnożenie powiązane są następującymi zasadami otwierania nawiasów: (A + B) do = ZA do + b do I A (B + C) = A B + A C .

Należy zauważyć, że pierścienie w najbardziej ogólnej konstrukcji nie wymagają ani przemienności mnożenia, ani jego odwracalności (czyli nie zawsze można dokonać dzielenia), ani istnienia jednostki - elementu neutralnego w mnożeniu. Jeśli wprowadzimy te aksjomaty, otrzymamy różne struktury algebraiczne, ale w nich wszystkie twierdzenia udowodnione dla pierścieni będą prawdziwe.

Teraz udowodnimy to dla dowolnych elementów A I B dowolnego pierścienia jest prawdą, po pierwsze, (–A) B = –(A B), i po drugie (–(–A)) = A. Z tego łatwo wynikają stwierdzenia dotyczące jednostek: (–1) 1 = –(1 1) = –1 I (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1 .

Aby to zrobić, będziemy musieli ustalić pewne fakty. Najpierw udowodnimy, że każdy element może mieć tylko jedno przeciwieństwo. W rzeczywistości niech element A istnieją dwa przeciwieństwa: B I Z. To jest A + B = 0 = A + C. Weźmy pod uwagę kwotę A+B+C. Korzystając z praw łączności i przemienności oraz własności zera, otrzymujemy, że z jednej strony suma jest równa B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, a z drugiej strony jest równe C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Oznacza, B=C .

Zauważmy to teraz A, I (-(-A)) są przeciwieństwami tego samego elementu (-A), więc muszą być równe.

Pierwszy fakt wygląda następująco: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, to jest (–A)·B naprzeciwko A·B, co oznacza, że jest równy –(AB) .

Aby zachować rygorystyczność matematyczną, wyjaśnijmy również dlaczego 0·B = 0 dla dowolnego elementu B. Rzeczywiście, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Czyli dodatek 0·B nie zmienia kwoty. Oznacza to, że iloczyn ten jest równy zeru.

A fakt, że w pierścieniu jest dokładnie jedno zero (w końcu aksjomaty mówią, że taki element istnieje, ale nic nie mówi się o jego wyjątkowości!), pozostawimy czytelnikowi jako proste ćwiczenie.

Odpowiedź: Jewgienij Epifanow

Pokaż komentarze (37)

Zwiń komentarze (37)

Dobra odpowiedź. Ale na poziomie pierwszoklasisty. Wydaje mi się, że można to wytłumaczyć prościej i jaśniej na przykładzie wzoru „droga = prędkość * czas” (ocena 2).

Załóżmy, że idziemy drogą, samochód nas wyprzedza i zaczyna się oddalać. Czas rośnie – a dystans do niego rośnie. Prędkość takiej maszyny uznamy za dodatnią, może ona wynosić na przykład 10 metrów na sekundę. Swoją drogą, ile to kilometrów na godzinę? 10/1000(km)*60(sek)*60(min)= 10*3,6 = 36 km/h. Trochę. Pewnie droga jest zła...

Ale samochód jadący w naszą stronę nie odjeżdża, ale się zbliża. Dlatego wygodnie jest uznać jego prędkość za ujemną. Na przykład -10 m/s. Odległość zmniejsza się: 30, 20, 10 metrów do nadjeżdżającego samochodu. Każda sekunda to minus 10 metrów. Teraz jest jasne, dlaczego prędkość jest ujemna? Więc przeleciała obok. Jaka jest odległość do niego w ciągu sekundy? Zgadza się, -10 metrów, tj. „10 metrów z tyłu”.

Tutaj otrzymaliśmy pierwsze oświadczenie. (-10 m/s) * (1 s) = -10 m.
Minus (prędkość ujemna) przez plus (czas dodatni) dał minus (odległość ujemna, samochód jest za mną).

A teraz uwaga - minus na minus. Gdzie znajdował się nadjeżdżający samochód na sekundę przed przejechaniem? (-10 m/s) * (- 1 s) = 10 m.
Minus (prędkość ujemna) przez minus (czas ujemny) = plus (odległość dodatnia, samochód stał 10 metrów przed moim nosem).

Czy to jest jasne, czy ktoś zna jeszcze prostszy przykład?

Odpowiedź

Tak, można to udowodnić łatwiej! 5*2 oznacza dwukrotne umieszczenie liczby 5 na osi liczbowej w kierunku dodatnim i wówczas otrzymamy liczbę 10. Jeśli 2*(-5) to liczbę 5 liczymy dwa razy, ale w kierunku ujemnym i otrzymujemy zdobądź liczbę (-10), teraz wyobraźmy sobie 2*(-5) jako
2*5*(-1)=-10, odpowiedź jest przepisana z poprzedniego obliczenia, a nie uzyskana w tym, co oznacza, że możemy powiedzieć, że przy mnożeniu liczby przez (-1) następuje inwersja numerycznej osi dwubiegunowej, tj. odwrócenie polaryzacji. To, co umieściliśmy w części pozytywnej, stało się negatywne i odwrotnie. Teraz (-2)*(-5) zapisujemy to jako (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), odkładając na bok liczbę (-10) i zmieniając polaryzację osi, ponieważ . pomnóż przez (-1), otrzymamy +10, tylko nie wiem, czy okazało się to łatwiejsze?

Odpowiedź

Myślę, że masz rację. Spróbuję tylko bardziej szczegółowo przedstawić Twój punkt widzenia, ponieważ... Widzę, że nie wszyscy to zrozumieli.
Minus oznacza zabranie. Jeśli raz odebrano ci 5 jabłek, to ostatecznie odebrano ci 5 jabłek, co umownie oznacza się minusem, tj. – (+5). W końcu trzeba jakoś wskazać akcję. Jeżeli 5 razy wybrano 1 jabłko, to ostatecznie wybrano to samo: – (+5). Jednocześnie wybrane jabłka nie stały się wyimaginowane, ponieważ Prawo zachowania materii nie zostało uchylone. Pozytywne jabłka po prostu trafiały do tego, kto je wziął. Oznacza to, że nie ma liczb urojonych, istnieje względny ruch materii ze znakiem + lub -. Ale jeśli tak, to zapis: (-5) * (+1) = -5 lub (+5) * (-1) = -5 nie odzwierciedla dokładnie rzeczywistości, ale oznacza ją tylko warunkowo. Ponieważ nie ma liczb urojonych, cały iloczyn jest zawsze dodatni → „+” (5*1). Następnie negujemy iloczyn dodatni, co oznacza odejmowanie → „- +” (5*1). Tutaj minus nie rekompensuje plusu, ale go neguje i zajmuje jego miejsce. Ostatecznie otrzymujemy: -(5*1) = -(+5).
Dla dwóch minusów możesz zapisać: „- -” (5*1) = 5. Znak „- -” oznacza „+”, tj. wywłaszczenie wywłaszczycieli. Najpierw zabrano ci jabłka, a potem ty zabrałeś je swojemu sprawcy. W rezultacie wszystkie jabłka pozostały pozytywne, ale selekcja nie miała miejsca, ponieważ nastąpiła rewolucja społeczna.
Ogólnie rzecz biorąc, fakt, że negacja negacji eliminuje negację i wszystko, do czego ta negacja się odnosi, jest dla dzieci jasny i bez wyjaśnienia, ponieważ To oczywiste. Wystarczy wyjaśnić dzieciom, co dorośli sztucznie pomylili, tak bardzo, że sami nie mogą tego zrozumieć. A zamieszanie polega na tym, że zamiast zanegować działanie, wprowadzono liczby ujemne, czyli tzw. sprawa negatywna. Dzieci są więc zdezorientowane, dlaczego po dodaniu materii ujemnej suma okazuje się ujemna, co jest całkiem logiczne: (-5) + (-3) = -8, a przy mnożeniu tej samej materii ujemnej: (-5) * (-3) = 15, nagle okazuje się, że jest dodatni, co nie jest logiczne! Przecież z materią ujemną wszystko powinno dziać się tak samo jak z materią dodatnią, tylko z innym znakiem. Dlatego dzieciom wydaje się bardziej logiczne, że gdy mnoży się materia ujemna, to materia ujemna powinna się mnożyć.
Ale i tutaj nie wszystko jest gładkie, bo aby pomnożyć materię ujemną, wystarczy, że tylko jedna liczba będzie ujemna. W tym przypadku jeden z czynników, który oznacza nie treść materialną, ale czas powtarzania wybranej materii, jest zawsze dodatni, gdyż czasy nie mogą być ujemne, nawet jeśli ujemna (wybrana) materia się powtarza. Dlatego przy mnożeniu (dzieleniu) bardziej poprawne jest umieszczenie znaków przed całym produktem (dzieleniem), co pokazaliśmy powyżej: „- +” (5*1) lub „- -” (5*1).
Aby znak minus był postrzegany nie jako znak liczby urojonej, tj. materia negatywna, a jako działanie dorośli muszą najpierw uzgodnić między sobą, że jeśli znak minus znajduje się przed liczbą, oznacza to negatywne działanie z liczbą, która jest zawsze dodatnia, a nie wyimaginowana. Jeśli znak minus znajduje się przed innym znakiem, oznacza to negatywne działanie z pierwszym znakiem, tj. zmienia to na odwrotne. Wtedy wszystko ułoży się naturalnie. Następnie trzeba to wyjaśnić dzieciom, a one doskonale zrozumieją i przyswoją sobie tak zrozumiałą zasadę dorosłych. Przecież teraz wszyscy dorośli uczestnicy dyskusji tak naprawdę próbują wyjaśnić niewytłumaczalne, bo… Nie ma fizycznego wyjaśnienia tej kwestii, jest to jedynie konwencja, reguła. Ale wyjaśnianie abstrakcji abstrakcją jest tautologią.
Jeżeli znak minus neguje liczbę, to jest to działanie fizyczne, ale jeśli neguje samo działanie, to jest to po prostu reguła warunkowa. Oznacza to, że dorośli po prostu zgodzili się, że jeśli odmówi się selekcji, jak w rozpatrywanej kwestii, wówczas selekcji nie będzie, niezależnie od tego, ile razy! Jednocześnie wszystko, co miałeś, pozostaje z tobą, czy to tylko liczba, czy to iloczyn liczb, tj. wiele prób selekcji. To wszystko.
Jeśli ktoś się z tym nie zgadza, to spokojnie przemyśl jeszcze raz. Przecież przykład z samochodami, w których na sekundę przed spotkaniem jest ujemna prędkość i ujemny czas, to tylko reguła warunkowa związana z układem odniesienia. W innym układzie odniesienia ta sama prędkość i ten sam czas będą dodatnie. A przykład z lustrem wiąże się z bajkową zasadą, w której minus odbity w lustrze tylko warunkowo, ale wcale nie fizycznie, staje się plusem.

Odpowiedź

Wszystko wydaje się jasne z matematycznymi wadami. Ale w języku, gdy zadawane jest pytanie negatywne, jak na nie odpowiedzieć? Na przykład zawsze zastanawiało mnie pytanie: „Czy chcesz się napić herbaty?” Jak mogę odpowiedzieć na to pytanie, jeśli chcę herbatę? Wydaje się, że jeśli powiesz „Tak”, to nie dadzą Ci herbaty (to jest jak + i -), jeśli nie, to powinni Ci dać (- i -), a jeśli „Nie, nie chcę ”???

Odpowiedź

Aby odpowiedzieć na tak dziecinne pytanie, najpierw musisz odpowiedzieć na kilka pytań dorosłych: „Co to jest minus w matematyce?” oraz „Co to jest mnożenie i dzielenie?” O ile rozumiem, tutaj zaczynają się problemy, które ostatecznie prowadzą do pierścieni i innych bzdur przy odpowiadaniu na tak proste, dziecinne pytanie.

Odpowiedź

Odpowiedź z pewnością nie jest dla zwykłych uczniów!
W podstawówce przeczytałam cudowną książkę - tę o karłowatości i Al-Jebra i może w klubie matematycznym dali przykład - postawili dwie osoby z jabłkami w różnych kolorach po przeciwnych stronach znaku równości i zaproponowali, że dadzą jabłka do siebie. Następnie pomiędzy uczestnikami gry umieszczono kolejne znaki – plus, minus, więcej, mniej.

Odpowiedź

Dziecinna odpowiedź, co?))
Może to zabrzmi okrutnie, ale sam autor nie rozumie, dlaczego minus na minusie daje plus :-)
Wszystko na świecie można wyjaśnić wizualnie, ponieważ abstrakcje są potrzebne tylko do wyjaśnienia świata. Są przywiązani do rzeczywistości i nie żyją sami w urojonych podręcznikach.
Chociaż do wyjaśnienia trzeba przynajmniej znać fizykę, a czasem biologię, w połączeniu z podstawami neurofizjologii człowieka.

Niemniej jednak pierwsza część dała nadzieję na zrozumienie i bardzo jasno wyjaśniła potrzebę liczb ujemnych.
Ale drugi tradycyjnie popadł w schizofrenię. A i B – to muszą być prawdziwe przedmioty! więc po co nazywać ich tymi literami, skoro można wziąć na przykład bochenki chleba czy jabłka
Gdyby.. gdyby to było możliwe... tak?))))))

I... nawet używając poprawnej podstawy z pierwszego członu (że mnożenie to to samo co dodawanie) - z minusami otrzymujemy sprzeczność))
-2 + -2 = -4
Ale
-2 * -2 =+4))))
i nawet jeśli weźmiemy pod uwagę, że to jest minus dwa, wzięte minus dwa razy, to się okaże
-2 -(-2) -(-2) = +2

Warto było po prostu przyznać, że skoro liczby są wirtualne, to dla w miarę poprawnego rozliczenia trzeba było wymyślić wirtualne reguły.
I to byłaby PRAWDA, a nie jakieś bzdury.

Odpowiedź

W swoim przykładzie Academon popełnił błąd:
W rzeczywistości (-2)+(-2) = (-4) jest 2 razy (-2), tj. (-2) * 2 = (-4).
Jeśli chodzi o mnożenie dwóch liczb ujemnych, bez sprzeczności, jest to to samo dodanie, tylko po drugiej stronie „0” na osi liczbowej. Mianowicie:
(-2) * (-2) = 0 –(-2) –(-2) = 2 + 2 = 4. Zatem wszystko się sumuje.
Cóż, jeśli chodzi o realność liczb ujemnych, jak podoba ci się ten przykład?
Jeśli mam w kieszeni powiedzmy 1000 dolarów, mój nastrój można nazwać „pozytywnym”.
Jeśli $0, wówczas stan będzie „brak”.
A co jeśli (-1000)$ to dług, który trzeba spłacić, a nie ma pieniędzy...?

Odpowiedź

Minus za minus - zawsze będzie plus,
Dlaczego tak się dzieje, nie potrafię powiedzieć.

Dlaczego -na-=+ zastanawiało mnie już w szkole, w 7. klasie (1961). Próbowałem wymyślić inną, bardziej „uczciwą” algebrę, gdzie +na+=+ i -na-=-. Wydawało mi się, że tak będzie bardziej szczerze. Ale co w takim razie zrobić z +na- i -na+? Nie chciałem stracić przemienności xy=yx, ale nie ma innego wyjścia.
A co jeśli weźmiesz nie 2 znaki, ale trzy, na przykład +, - i *. Równe i symetryczne.

DODATEK
(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) nie sumują się(!), podobnie jak części rzeczywiste i urojone liczby zespolonej.
Ale dla tego (+a)+(-a)+(*a)=0.

Na przykład, ile wynosi (+6)+(-4)+(*2)?

(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
Nie jest to łatwe, ale można się do tego przyzwyczaić.

Teraz MNOŻENIE.
Postulujmy:
+na+=+ -na-=- *na*=* (dobrze?)
+na-=-na+=* +na*=*na+=- -na*=*na-=+ (uczciwie!)
Wydawałoby się, że wszystko jest w porządku, ale mnożenie nie jest łączne, tj.
a(bc) nie jest równe (ab)c.

A jeśli tak
+włączony+=+ -włączony-=* *włączony*=-
+na-=-na+=- +na*=*na+=* -na*=*na-=+
Znowu niesprawiedliwe, + wyróżnione jako wyjątkowe. ALE narodziła się NOWA ALGEBRA z trzema znakami. Przemienne, łączne i rozdzielne. Ma interpretację geometryczną. Jest izomorficzny z liczbami zespolonymi. Można go dalej rozwijać: cztery znaki, pięć...
Coś takiego nie zdarzało się wcześniej. Bierzcie to, ludzie, używajcie tego.

Odpowiedź

Pytanie dziecka jest zazwyczaj odpowiedzią dziecka.
Jest nasz świat, w którym wszystko jest na „plusie”: jabłka, zabawki, koty i psy, są prawdziwe. Możesz zjeść jabłko, możesz pogłaskać kota. Jest też świat wyimaginowany, lustro. Są tam też jabłka i zabawki, przez lustro możemy je sobie wyobrazić, ale nie możemy ich dotknąć – są wymyślone. Z jednego świata do drugiego możemy się dostać za pomocą znaku minus. Jeśli mamy dwa prawdziwe jabłka (2 jabłka) i postawimy znak minus (-2 jabłka), w lustrze otrzymamy dwa wyimaginowane jabłka. Znak minus przenosi nas z jednego świata do drugiego, tam i z powrotem. W naszym świecie nie ma lustrzanych jabłek. Możemy sobie wyobrazić ich całą masę, nawet milion (minus milion jabłek). Ale nie będzie można ich zjeść, bo nie mamy jabłek minusowych, wszystkie jabłka w naszych sklepach są jabłkami plusowymi.
Mnożyć oznacza ułożyć pewne obiekty w kształcie prostokąta. Weźmy dwie kropki „:” i pomnóżmy je przez trzy, otrzymamy: „: : :” - w sumie sześć kropek. Możesz wziąć prawdziwe jabłko (+I) i pomnożyć je przez trzy, otrzymamy: „+YAYA” - trzy prawdziwe jabłka.
Teraz pomnóżmy jabłko przez minus trzy. Znów otrzymamy trzy jabłka „+YAYA”, ale znak minus przeniesie nas do lustra i będziemy mieli trzy jabłka w kształcie lustra (minus trzy jabłka -YAYA).
Teraz pomnóżmy minus jabłko (-I) przez minus trzy. Oznacza to, że bierzemy jabłko i jeśli przed nim jest minus, przenosimy je do lustra. Tam mnożymy to przez trzy. Teraz mamy trzy wyglądające jak szklane jabłka! Ale jest jeszcze jedna wada. Otrzymane jabłka przeniesie z powrotem do naszego świata. W rezultacie otrzymujemy trzy naprawdę smaczne jabłka +YAYA, które możesz pożreć.

Odpowiedź

Wszystko jest w porządku, aż do ostatniego kroku. Po pomnożeniu przez minus jedno z trzech lustrzanych jabłek musimy odzwierciedlić te jabłka w innym lustrze. Ich położenie będzie pokrywać się z rzeczywistymi, ale będą równie wyimaginowane jak te pierwsze lustrzane i tak samo niejadalne. To jest (-1)*(-1)= --1<> 1.
W rzeczywistości jestem zdezorientowany innym punktem związanym z mnożeniem liczb ujemnych, a mianowicie:
Czy prawdziwa jest równość:
((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?
Pytanie to powstało w wyniku próby zrozumienia zachowania wykresu funkcji y=x^n, gdzie x i n są liczbami rzeczywistymi.
Okazuje się, że wykres funkcji będzie zawsze znajdował się w 1. i 3. ćwiartce, z wyjątkiem przypadków, gdy n jest parzyste. W tym przypadku zmienia się jedynie krzywizna wykresu. Ale parzystość n jest wartością względną, ponieważ możemy przyjąć inny układ odniesienia, w którym n = 1,1*k, wtedy otrzymamy
y = x^(1,1*k) = (x^1,1)^k
i parytet tutaj będzie inny...
A dodatkowo proponuję dodać do argumentu co dzieje się z wykresem funkcji y = x^(1/n). Zakładam nie bez powodu, że wykres funkcji powinien być symetryczny do wykresu y = x^n względem wykresu funkcji y = x.

Odpowiedź

Istnieje kilka sposobów wyjaśnienia zasady „minus za minus daje plus”. Oto najprostszy. Mnożenie przez naturalne. liczba n jest rozciągnięciem odcinka (znajdującego się na osi liczbowej) n razy. Mnożenie przez -1 jest odzwierciedleniem odcinka względem początku. Jako najkrótsze wyjaśnienie, dlaczego (-1)*(-1) = +1, odpowiednia jest ta metoda.Wąskim gardłem tego podejścia jest konieczność oddzielnego określenia sumy takich operatorów.

Odpowiedź

Możesz przejść do wyjaśniania z liczb zespolonych
jako bardziej ogólna forma przedstawiania liczb
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Wzór Eulera
Znak w tym przypadku jest tylko argumentem (kąt obrotu)
Podczas mnożenia dodawane są kąty
0 stopni odpowiada +
180 stopni odpowiada -
Mnożenie - przez - równa się 180+180=360=0

Odpowiedź

Czy to zadziała?

Odmowy są odwrotnością. Dla uproszczenia, aby tymczasowo odejść od minusów, zamienimy stwierdzenia i powiększymy punkt wyjścia. Zacznijmy liczyć nie od zera, ale od 1000.

Powiedzmy, że dwie osoby są mi winne dwa ruble: w sumie 2_ludzie*2_rubles=4_ruble są mi winne. (moje saldo to 1004)

Teraz odwrotności (liczby ujemne, ale stwierdzenia odwrotne/dodatnie):

minus 2 osoby = to znaczy, że nie są mi dłużni, ale ja jestem winien (jestem winien więcej osób niż oni mnie). Na przykład jestem winien 10 osobom, ale jestem winien tylko 8. Wzajemne obliczenia można ograniczyć i nie brać pod uwagę, ale możesz o tym pamiętać, jeśli wygodniej jest pracować z liczbami dodatnimi. Oznacza to, że każdy daje sobie nawzajem pieniądze.

minus 2 ruble = podobna zasada - musisz wziąć więcej, niż dajesz. Więc jestem winien każdemu dwa ruble.

-(2_people)*2_rubles=I_ow_2_do każdego_=-4 ode mnie. Moje saldo wynosi 996 rubli.

2_people*(-2_rubles) = two_should_take_2_rubles_from_me=- 4 ode mnie. Moje saldo wynosi 996 rubli.

-(2_people)*(-2_rubles) = wszyscy_powinni_brać_od_mnie_mniej_niż_powinni_dawać_by_2_rubli

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli wyobrazisz sobie, że wszystko kręci się nie wokół 0, ale wokół np. 1000, a oni rozdają pieniądze w 10 krokach, zabierając w krokach 8. Wtedy możesz konsekwentnie wykonywać wszystkie operacje dawania komuś pieniędzy lub zabierając mi to i dochodzę do wniosku, że jeśli te dodatkowe dwa (resztę zmniejszymy w drodze wzajemnego potrącenia) zabiorą mi o dwa ruble mniej, niż zwrócą, to mój dobrobyt wzrośnie o liczbę dodatnią wynoszącą 4.

Odpowiedź

W poszukiwaniu PROSTEJ (zrozumiałej dla dziecka) odpowiedzi na postawione pytanie („Dlaczego minus na minusie daje plus”), uważnie czytam zarówno zaproponowany przez autora artykuł, jak i wszystkie komentarze. Za najskuteczniejszą odpowiedź uważam tę zawartą w motto: „Wróg mojego wroga jest moim przyjacielem”. Dużo wyraźniej! Proste i genialne!

Pewien podróżnik przybywa na wyspę, o której mieszkańcach wie tylko jedno: niektórzy mówią tylko prawdę, inni tylko kłamią. Zewnętrznie nie da się ich rozróżnić. Podróżnik ląduje na brzegu i widzi drogę. Chce się dowiedzieć, czy ta droga prowadzi do miasta. Widząc na drodze mieszkańca, zadaje mu TYLKO JEDNO pytanie, dzięki czemu dowiaduje się, że droga prowadzi do miasta. Jak o to zapytał?

Rozwiązanie znajduje się w trzech linijkach poniżej (aby zrobić pauzę i dać dorosłym szansę na zatrzymanie się i przemyślenie tego wspaniałego problemu!) Mój wnuk, trzecioklasista, stwierdził, że problem jest dla niego trochę za duży, ale zrozumienie odpowiedzi bez wątpienia mu pomogło bliżej zrozumienia przyszłej mądrości matematycznej, takiej jak „minus za minus daje plus”.

Odpowiedź brzmi:

„Gdybym zapytał Cię, czy ta droga prowadzi do miasta, co byś mi odpowiedział?”

Wyjaśnienie „algebraiczne” nie mogło wstrząsnąć ani moją żarliwą miłością do ojca, ani moim głębokim szacunkiem dla jego nauki. Ale zawsze nienawidziłem metody aksjomatycznej z jej pozbawionymi motywacji definicjami.

Co ciekawe, ta odpowiedź I.V. Arnolda na pytanie dziecka praktycznie zbiegła się z publikacją jego książki „Liczby ujemne w kursie algebry”. Tam (w rozdziale 7) podano zupełnie inną, moim zdaniem, bardzo jasną odpowiedź. Książka dostępna jest w formie elektronicznej http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm

Odpowiedź

Jeśli pojawia się paradoks, trzeba szukać błędów w podstawach. Istnieją trzy błędy w formułowaniu mnożenia. I tu właśnie pojawia się „paradoks”. Wystarczy dodać zero.

(-3) x (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Mnożenie polega na ciągłym dodawaniu (lub odejmowaniu) zera.

Mnożnik (4) pokazuje liczbę operacji dodawania lub odejmowania (liczba znaków minus i plus przy rozkładaniu mnożenia na dodawanie).

Znaki minus i plus mnożnika (4) wskazują albo odejmowanie mnożnej od zera, albo dodanie mnożnej do zera.

W tym konkretnym przykładzie (-4) wskazuje, że należy odjąć („-”) od zera mnożną (-3) cztery razy (4).

Popraw sformułowanie (trzy błędy logiczne). Po prostu dodaj zero. Zasady arytmetyki nie ulegną zmianie z tego powodu.

Więcej szczegółów na ten temat tutaj:

http://mnemonikon.ru/differ_pub_28.htm

Jaki jest nawyk mechanicznego wierzenia w podręczniki? Trzeba też mieć swój mózg. Zwłaszcza jeśli istnieją paradoksy, martwe punkty, oczywiste sprzeczności. Wszystko to jest konsekwencją błędów w teorii.

Nie da się rozłożyć iloczynu dwóch liczb ujemnych na wyrazy, zgodnie z obecnym sformułowaniem mnożenia (bez zera). Czy nikomu to nie przeszkadza?

Co to za formuła mnożenia, która uniemożliwia wykonanie mnożenia? :)

Problem ma także charakter czysto psychologiczny. Ślepe zaufanie do autorytetów, niechęć do samodzielnego myślenia. Jeśli tak mówią podręczniki, jeśli tak uczą w szkole, to jest to ostateczna prawda. Wszystko się zmienia, łącznie z nauką. Inaczej nie byłoby rozwoju cywilizacji.

Popraw sformułowanie mnożenia we wszystkich podręcznikach! Zasady arytmetyki nie ulegną zmianie z tego powodu.

Ponadto, jak wynika z artykułu, do którego link znajduje się powyżej, poprawione sformułowanie mnożenia będzie podobne do sformułowania podnoszenia liczby do potęgi. Tam również nie zapisują jednostki podniesionej do potęgi dodatniej. Jednak jeden jest zapisywany podczas podnoszenia liczby do potęgi ujemnej.

Panowie matematycy, wasza mama, musicie zawsze zapisywać zero i jeden, nawet jeśli wynik nie ulegnie zmianie z powodu ich nieobecności.

Znaczenie haseł skróconych zmienia się (a nawet zanika). A uczniowie mają problemy ze zrozumieniem.

Odpowiedź

Napisz komentarz

„Wróg mojego wroga jest moim przyjacielem”

Dlaczego minus jeden razy minus jeden równa się plus jeden? Dlaczego minus jeden razy plus jeden równa się minus jeden? Najłatwiejsza odpowiedź brzmi: „Ponieważ takie są zasady działania na liczbach ujemnych”. Zasady, których uczymy się w szkole i które stosujemy przez całe życie. Podręczniki nie wyjaśniają jednak, dlaczego zasady są takie, jakie są. Najpierw spróbujemy to zrozumieć na podstawie historii rozwoju arytmetyki, a następnie odpowiemy na to pytanie z punktu widzenia współczesnej matematyki.

Dawno temu ludzie znali tylko liczby naturalne: używano ich do liczenia naczyń, łupów, wrogów itp. Ale same liczby są zupełnie bezużyteczne - trzeba umieć sobie z nimi poradzić. Dodawanie jest jasne i zrozumiałe, a poza tym suma dwóch liczb naturalnych jest także liczbą naturalną (matematyk powiedziałby, że zbiór liczb naturalnych jest domknięty na skutek operacji dodawania). Mnożenie jest zasadniczo tym samym, co dodawanie, jeśli mówimy o liczbach naturalnych. W życiu często wykonujemy czynności związane z tymi dwiema operacjami (np. podczas zakupów dodajemy i mnożymy) i aż dziwne, że nasi przodkowie spotykali się z nimi rzadziej – dodawanie i mnożenie były przez ludzkość opanowywane już od bardzo dawna temu. Często trzeba dzielić jedne wielkości przez inne, ale tutaj wynik nie zawsze jest wyrażony jako liczba naturalna - tak pojawiły się liczby ułamkowe.

Oczywiście nie można obejść się bez odejmowania. Jednak w praktyce zwykle odejmujemy mniejszą liczbę od większej i nie ma potrzeby używania liczb ujemnych. (Jeśli mam cukierki i dam je mojej siostrze, to zostanie mi trochę cukierków, ale nie mogę dać jej cukierków, nawet gdybym chciał.) To może wyjaśniać, dlaczego ludzie przez długi czas nie używali liczb ujemnych.

Rozważmy równanie jako przykład. Można to rozwiązać w ten sposób: przesuń terminy z niewiadomą na lewą stronę, a resztę na prawą, jak się okazuje , , . Dzięki temu rozwiązaniu nie spotkaliśmy się nawet z liczbami ujemnymi.

Ale można było przypadkowo zrobić to inaczej: przenieść wyrazy z niewiadomą na prawą stronę i uzyskać , . Aby znaleźć niewiadomą, musisz podzielić jedną liczbę ujemną przez drugą: . Ale prawidłowa odpowiedź jest znana i pozostaje stwierdzić, że .

Co pokazuje ten prosty przykład? Po pierwsze, logika określająca zasady działań na liczbach ujemnych staje się jasna: wyniki tych działań muszą pokrywać się z odpowiedziami uzyskanymi w inny sposób, bez liczb ujemnych. Po drugie, pozwalając na użycie liczb ujemnych, pozbywamy się żmudnego (jeśli równanie okaże się bardziej skomplikowane, z dużą liczbą wyrazów) poszukiwania rozwiązania, w którym wszystkie działania wykonywane są wyłącznie na liczbach naturalnych. Co więcej, nie możemy już za każdym razem zastanawiać się nad sensownością przekształcanych wielkości - a to już jest krok w kierunku przekształcenia matematyki w naukę abstrakcyjną.

W rezultacie pojawiła się nowa koncepcja: pierścień. To po prostu zbiór elementów plus akcji, które można na nich wykonać. Fundamentalne są tu właśnie reguły (nazywa się je aksjomatami), którym podlegają działania, a nie natura elementów zbioru (tutaj jest to nowy poziom abstrakcji!). Chcąc podkreślić, że istotna jest struktura powstająca po wprowadzeniu aksjomatów, matematycy mówią: pierścień liczb całkowitych, pierścień wielomianów itp. Wychodząc z aksjomatów można wywnioskować inne właściwości pierścieni.

Pierścień to zbiór zawierający dwie operacje binarne (czyli każda operacja obejmuje dwa elementy pierścienia), które tradycyjnie nazywane są dodawaniem i mnożeniem, oraz następujące aksjomaty:

Teraz udowodnijmy, że dla dowolnych elementów i dowolnego pierścienia prawdą jest, po pierwsze, , i po drugie, . Z tego łatwo wynikają stwierdzenia dotyczące jednostek: i .

Aby to zrobić, będziemy musieli ustalić pewne fakty. Najpierw udowodnimy, że każdy element może mieć tylko jedno przeciwieństwo. W rzeczywistości niech element ma dwa przeciwieństwa: i . To jest . Weźmy pod uwagę kwotę. Korzystając z praw łączenia i przemienności oraz własności zera, stwierdzamy, że z jednej strony suma jest równa , a z drugiej strony jest równa . Oznacza, .

Zauważ teraz, że oba i są przeciwieństwami tego samego elementu, więc muszą być równe.

Pierwszy fakt okazuje się następujący: to znaczy jest przeciwny, co oznacza, że jest równy.

Aby zachować rygorystyczność matematyczną, wyjaśnijmy również, dlaczego dla dowolnego elementu . Rzeczywiście, . Oznacza to, że dodanie nie powoduje zmiany kwoty. Oznacza to, że iloczyn ten jest równy zeru.

Jewgienij Epifanow
"Elementy"

Komentarze: 0

Richarda Feynmana

Bierze wyniki: zhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzh - „Tak” – zgadza się. I wtedy dociera do mnie: on nie zna liczb. Kiedy masz liczydło, nie musisz zapamiętywać wielu kombinacji arytmetycznych; musisz się tylko nauczyć klikać knykciami w górę i w dół. Nie trzeba pamiętać, że 9 + 7 = 16; po prostu wiesz, że kiedy dodasz 9, musisz przesunąć domino dziesiętne w górę, a domino jednostkowe w dół. Dlatego wolniej wykonujemy podstawowe działania arytmetyczne, ale znamy liczby.

Jacques’a Sesiano

W ciągu dwóch tysiącleci miały miejsce trzy ważne ekspansje domeny liczbowej. Po pierwsze, około 450 roku p.n.e. Naukowcy ze szkoły pitagorejskiej udowodnili istnienie liczb niewymiernych. Ich początkowym celem było ilościowe określenie przekątnej kwadratu jednostkowego. Po drugie, w XIII-XV wieku uczeni europejscy, rozwiązując układy równań liniowych, dopuścili możliwość jednego rozwiązania negatywnego. I po trzecie, w 1572 r. włoski algebraista Raphael Bombelli użył liczb zespolonych, aby uzyskać rzeczywiste rozwiązanie pewnego równania sześciennego.

Ilja Szczurow

Matematyk Ilja Szczurow o ułamkach dziesiętnych, transcendencji i niewymierności liczby Pi.

Proskuryakow I. V.

Celem tej książki jest ścisłe zdefiniowanie liczb, wielomianów i ułamków algebraicznych oraz uzasadnienie ich znanych już ze szkoły własności, a nie zapoznawanie czytelnika z nowymi własnościami. Czytelnik nie znajdzie więc tutaj dla niego nowych faktów (z możliwym wyjątkiem niektórych własności, liczb rzeczywistych i zespolonych), ale dowie się, w jaki sposób dowodzi się dobrze mu znanych rzeczy, zaczynając od „dwa razy dwa równa się cztery” i kończąc na zasadach działania na wielomianach i ułamkach algebraicznych. Ale czytelnik zapozna się z wieloma ogólnymi pojęciami, które odgrywają główną rolę w algebrze.

Jacques’a Sesiano

Niewiele wiemy o Diofantusie. Myślę, że mieszkał w Aleksandrii. Żaden z greckich matematyków nie wspomina o nim przed IV wiekiem, zatem żył prawdopodobnie w połowie III wieku. Najważniejsze dzieło Diofantosa, „Arytmetyka” (Ἀριθμητικά), miało miejsce na początku 13 „ksiąg” (βιβλία), czyli rozdziałów. Dziś mamy ich 10, a mianowicie: 6 w tekście greckim i 4 inne w średniowiecznym tłumaczeniu arabskim, których miejsce znajduje się pośrodku ksiąg greckich: księgi I-III w języku greckim, IV-VII w języku arabskim, VIII-X w greckim . „Arytmetyka” Diofantosa to przede wszystkim zbiór problemów, w sumie jest ich około 260. Prawdę mówiąc, nie ma żadnej teorii; We wstępie książki znajdują się jedynie ogólne wskazówki, a w razie potrzeby szczegółowe uwagi w niektórych zagadnieniach. „Arytmetyka” ma już cechy traktatu algebraicznego. Początkowo Diofantos używa różnych znaków do wyrażania nieznanego i jego stopni, a także niektórych obliczeń; jak cała algebraiczna symbolika średniowiecza, jej symbolika wywodzi się ze słów matematycznych. Następnie Diofant wyjaśnia, jak rozwiązać problem algebraicznie. Ale problemy Diofantosa nie są algebraiczne w zwykłym tego słowa znaczeniu, ponieważ prawie wszystkie sprowadzają się do rozwiązania nieokreślonego równania lub układów takich równań.

Bez nich świat matematyki jest nie do pomyślenia – bez liczb pierwszych. Czym są liczby pierwsze, co jest w nich specjalnego i jakie mają znaczenie w życiu codziennym? W tym filmie brytyjski profesor matematyki Marcus du Sautoy odkryje tajemnicę liczb pierwszych.

Georgy Szabat

W szkole wpaja nam się błędny pogląd, że na zbiorze liczb wymiernych Q istnieje wyjątkowa odległość naturalna (moduł różnicy), względem której wszystkie działania arytmetyczne są ciągłe. Istnieje jednak również nieskończona liczba odległości, tzw. p-adyczna, po jednej na każdą liczbę p. Zgodnie z twierdzeniem Ostrowskiego „zwykła” odległość, wraz ze wszystkimi p-adycznymi, tak naprawdę wyczerpuje już wszystkie rozsądne odległości Q. Termin demokracja adeliczna wprowadził Yu.I. Manin. Zgodnie z zasadą demokracji adelicznej wszystkie rozsądne odległości na Q są równe w obliczu praw matematyki (może tylko tradycyjne „trochę=trochę równe…”) Kurs wprowadzi pierścień adeliczny, który pozwala na pracę przy wszystkich tych odległościach jednocześnie.

Władimir Arnold

J.L. Lagrange udowodnił, że ciąg niepełnych ilorazów (zaczynający się od określonego miejsca) jest okresowy wtedy i tylko wtedy, gdy liczba x jest niewymiernością kwadratową. R. O. Kuzmin udowodnił, że w ciągu niepełnych ilorazów prawie dowolnej liczby rzeczywistej ułamek d_m równy m niepełnym ilorazom jest taki sam (dla typowych liczb rzeczywistych). Ułamek d_m maleje w miarę m→∞ jako 1/m^2, a jego wartość przewidział Gauss (który niczego nie udowodnił). V.I. Arnol'd sformułował (20 lat temu) hipotezę, że statystyka Gaussa–Kuzmina d_m obowiązuje także dla okresów ułamków ciągłych pierwiastków równań kwadratowych x^2+px+q=0 (z liczbami całkowitymi p i q): jeśli wypiszemy razem iloraz niepełny, stanowiący okresy wszystkich kolejnych ułamków pierwiastków takich równań z p^2+q^2≤R^2, to ułamek niepełnego ilorazu m wśród nich będzie dążył do liczby d_m jako R → ∞. V. A. Bykovsky i jego uczniowie z Chabarowska udowodnili niedawno tę długoletnią hipotezę. Mimo to kwestia statystyki nie liter, ale złożonych z nich słów, które są okresami ciągłych ułamków dowolnych x pierwiastków równań x^2+px+q=0, jest daleka od rozwiązania.

Teraz przyjrzymy się przykładom odejmowanie liczb ujemnych, a przekonasz się, że jest to bardzo proste. Trzeba tylko pamiętać o zasadzie: dwa minusy obok siebie dają plus.

Przykład 1: Odejmowanie liczby ujemnej od liczby dodatniej

56 – (–34) = 56 + 34 = 90

Jak widać, aby odjąć liczbę ujemną od liczby dodatniej, wystarczy dodać ich moduły.

Przykład 2: Odejmowanie liczby ujemnej od liczby ujemnej

– 60 – (– 25) = – 60 + 25 = – 35

– 15 – (– 30) = – 15 + 30 = 15

Zatem odejmując liczbę ujemną od liczby ujemnej, postępujemy zgodnie z zasadą i możemy otrzymać zarówno liczbę dodatnią, jak i ujemną.

Istnieje jedna zasada rządząca odejmowaniem dowolnych liczb: zarówno ujemnych, jak i dodatnich, i brzmi ona tak:

Zasada znaków

Aby pozbyć się dodatkowych nawiasów przy odejmowaniu liczb ujemnych, możemy skorzystać z reguły znaku.Zasada ta mówi:

Na przykład:

Teraz rozwiąż test i sprawdź się!

Dodawanie i odejmowanie liczb ujemnych

Limit czasu: 0

Nawigacja (tylko numery zadań)

0 z 20 zadań zostało ukończonych

Rzeczywiście, dlaczego? Najłatwiejsza odpowiedź brzmi: „Ponieważ takie są zasady działania na liczbach ujemnych”. Zasady, których uczymy się w szkole i które stosujemy przez całe życie. Podręczniki nie wyjaśniają jednak, dlaczego zasady są takie, jakie są. Pamiętamy, że tak właśnie jest i nie zadajemy już tego pytania.

Zadajmy sobie pytanie...

Oczywiście nie można obejść się bez odejmowania. Jednak w praktyce zwykle odejmujemy mniejszą liczbę od większej i nie ma potrzeby używania liczb ujemnych. (Jeśli mam 5 cukierków i dam mojej siostrze 3, to zostanie mi 5 - 3 = 2 cukierki, ale nie mogę dać jej 7 cukierków, nawet gdybym chciał.) To może wyjaśniać, dlaczego ludzie nie używali liczb ujemnych dla długi czas.

Liczby ujemne pojawiają się w dokumentach indyjskich od VII wieku naszej ery; Chińczycy najwyraźniej zaczęli je stosować nieco wcześniej. Wykorzystywano je do rozliczania długów lub w obliczeniach pośrednich w celu uproszczenia rozwiązywania równań – były jedynie narzędziem do uzyskania pozytywnej odpowiedzi. Fakt, że liczby ujemne, w przeciwieństwie do liczb dodatnich, nie wyrażają obecności żadnego bytu, wywołał silną nieufność. Ludzie dosłownie unikali liczb ujemnych: jeśli problem miał odpowiedź negatywną, wierzyli, że w ogóle nie ma odpowiedzi. Ta nieufność utrzymywała się bardzo długo i nawet Kartezjusz, jeden z „założycieli” współczesnej matematyki, nazwał je „fałszywymi” (w XVII wieku!).

Rozważmy na przykład równanie 7x - 17 = 2x - 2. Można to rozwiązać w ten sposób: przesuń wyrazy z niewiadomą na lewą stronę, a resztę na prawą, otrzymasz 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. Dzięki temu w naszym rozwiązaniu nie spotkaliśmy się nawet z liczbami ujemnymi.

Ale można było przypadkowo zrobić to inaczej: przesunąć wyrazy z niewiadomą na prawą stronę i uzyskać 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Aby znaleźć niewiadomą, musisz podzielić jedną liczbę ujemną przez drugą: x = (-15)/(-5). Znana jest jednak prawidłowa odpowiedź i pozostaje stwierdzić, że (-15)/(-5) = 3.

Zasady działania z liczbami ujemnymi nie powstały od razu, ale stały się uogólnieniem wielu przykładów, które pojawiły się podczas rozwiązywania zastosowanych problemów. Ogólnie rozwój matematyki można podzielić na etapy: każdy kolejny etap różni się od poprzedniego nowym poziomem abstrakcji podczas badania przedmiotów. I tak w XIX wieku matematycy zdali sobie sprawę, że liczby całkowite i wielomiany, pomimo wszystkich zewnętrznych różnic, mają ze sobą wiele wspólnego: oba można dodawać, odejmować i mnożyć. Operacje te podlegają tym samym prawom – zarówno w przypadku liczb, jak i wielomianów. Jednak dzielenie liczb całkowitych przez siebie w celu uzyskania ponownie liczb całkowitych nie zawsze jest możliwe. Podobnie jest z wielomianami.

Dodawanie elementów pierścieniowych podlega prawom przemienności (A + B = B + A dla dowolnych elementów A i B) i kombinacji (A + (B + C) = (A + B) + C); w pierścieniu znajduje się specjalny element 0 (element neutralny przez dodanie) taki, że A + 0 = A, a dla dowolnego elementu A istnieje element przeciwny (oznaczony (-A)) taki, że A + (-A) = 0 ;
-mnożenie podlega prawu kombinacyjnemu: A·(B·C) = (A·B)·C;
dodawanie i mnożenie powiązane są następującymi zasadami otwierania nawiasów: (A + B) C = A C + B C i A (B + C) = A B + A C.

Teraz udowodnijmy, że dla dowolnych elementów A i B dowolnego pierścienia prawdą jest, po pierwsze, (-A) B = -(A B), a po drugie (-(-A)) = A. To łatwo wynika ze twierdzeń o jednostkach : (-1) 1 = -(1 1) = -1 i (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Aby to zrobić, będziemy musieli ustalić pewne fakty. Najpierw udowodnimy, że każdy element może mieć tylko jedno przeciwieństwo. W rzeczywistości niech element A ma dwa przeciwieństwa: B i C. Oznacza to, że A + B = 0 = A + C. Rozważmy sumę A + B + C. Korzystając z praw łączenia i przemienności oraz własności zera, możemy uzyskaj, że z jednej strony suma jest równa B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, a z drugiej strony jest równa C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Zatem B = C.

Zauważ teraz, że zarówno A, jak i (-(-A)) są przeciwieństwami tego samego elementu (-A), więc muszą być równe.

Pierwszy fakt okazuje się następujący: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, to znaczy (-A) B jest przeciwne do A B, co oznacza, że jest równe - (A·B).

Aby zachować ścisłość matematyczną, wyjaśnijmy także, dlaczego 0·B = 0 dla dowolnego elementu B. Rzeczywiście, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Oznacza to, że dodanie 0·B nie powoduje zmiany kwoty. Oznacza to, że iloczyn ten jest równy zeru.

Jewgienij Epifanow

Minus i plus są znakami liczb ujemnych i dodatnich w matematyce. W różny sposób oddziałują ze sobą, dlatego wykonując jakiekolwiek operacje na liczbach, na przykład dzielenie, mnożenie, odejmowanie, dodawanie itp., należy wziąć pod uwagę zasady podpisywania. Bez tych zasad nigdy nie będziesz w stanie rozwiązać nawet najprostszego problemu algebraicznego lub geometrycznego. Bez znajomości tych zasad nie będziesz mógł uczyć się nie tylko matematyki, ale także fizyki, chemii, biologii, a nawet geografii.

Przyjrzyjmy się bliżej podstawowym zasadom znaków.

Dział.

Jeśli podzielimy „plus” przez „minus”, zawsze otrzymamy „minus”. Jeśli podzielimy „minus” przez „plus”, zawsze otrzymamy również „minus”. Jeśli podzielimy „plus” przez „plus”, otrzymamy „plus”. Jeśli podzielimy „minus” przez „minus”, to, co dziwne, otrzymamy również „plus”.

Mnożenie.

Jeśli pomnożymy „minus” przez „plus”, zawsze otrzymamy „minus”. Jeśli pomnożymy „plus” przez „minus”, zawsze otrzymamy również „minus”. Jeśli pomnożymy „plus” przez „plus”, otrzymamy liczbę dodatnią, czyli „plus”. To samo dotyczy dwóch liczb ujemnych. Jeśli pomnożymy „minus” przez „minus”, otrzymamy „plus”.

Odejmowanie i dodawanie.

Opierają się na różnych zasadach. Jeśli liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż nasza dodatnia, wówczas wynik będzie oczywiście ujemny. Z pewnością zastanawiasz się, czym jest moduł i dlaczego w ogóle się tu znalazł. Wszystko jest bardzo proste. Moduł jest wartością liczby, ale bez znaku. Na przykład -7 i 3. Modulo -7 będzie po prostu 7, a 3 pozostanie 3. W rezultacie widzimy, że 7 jest większe, to znaczy okazuje się, że nasza liczba ujemna jest większa. Wychodzi więc -7+3 = -4. Można to zrobić jeszcze prościej. Po prostu umieść liczbę dodatnią na pierwszym miejscu, a wyjdzie 3-7 = -4, być może jest to dla kogoś bardziej zrozumiałe. Odejmowanie działa na dokładnie tej samej zasadzie.