Obliczanie współrzędnych punktu przecięcia dwóch linii. Najprostsze zadania z linią prostą na płaszczyźnie
Jeśli linie przecinają się w jednym punkcie, rozwiązaniem są jego współrzędne systemy równania liniowe
Jak znaleźć punkt przecięcia prostych? Rozwiąż system.
Proszę bardzo znaczenie geometryczne układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi- są to dwie przecinające się (najczęściej) linie na płaszczyźnie.
Wygodnie jest podzielić zadanie na kilka etapów. Analiza warunku sugeruje, że konieczne jest:
1) Utwórz równanie jednej prostej.
2) Napisz równanie dla drugiej linii.
3) Znajdź względne położenie linii.
4) Jeśli linie przecinają się, znajdź punkt przecięcia.
Przykład 13.
Znajdź punkt przecięcia linii
Rozwiązanie: Wskazane jest poszukiwanie punktu przecięcia metodą analityczną. Rozwiążmy układ: 
Odpowiedź:
P.6.4. Odległość od punktu do linii
Przed nami prosty pas rzeki i naszym zadaniem jest dotarcie do niego najkrótszą drogą. Nie ma żadnych przeszkód, a najbardziej optymalną trasą będzie poruszanie się po prostopadle. Oznacza to, że odległość punktu od linii to długość odcinka prostopadłego.
Odległość w geometrii tradycyjnie oznacza się grecką literą „rho”, na przykład: – odległość od punktu „em” do prostej „de”.
Odległość od punktu do linii prostej wyrażone wzorem
Przykład 14.
Znajdź odległość punktu od linii 
Rozwiązanie: wystarczy ostrożnie podstawić liczby do wzoru i wykonać obliczenia:
Odpowiedź: 
P.6.5. Kąt pomiędzy liniami prostymi.
Przykład 15.
Znajdź kąt między liniami.
1. Sprawdź, czy linie są prostopadłe:
Obliczmy iloczyn skalarny wektorów kierunkowych linii:
, co oznacza, że linie nie są prostopadłe.
2. Znajdź kąt między prostymi korzystając ze wzoru:
Zatem:
Odpowiedź:
Krzywe drugiego rzędu. Koło
Niech na płaszczyźnie zostanie określony prostokątny układ współrzędnych 0xy.
Krzywa drugiego rzędu jest prostą na płaszczyźnie określoną równaniem drugiego stopnia względem aktualnych współrzędnych punktu M(x, y, z). Ogólnie równanie to wygląda następująco:
gdzie współczynniki A, B, C, D, E, L są dowolnymi liczbami rzeczywistymi i co najmniej jedna z liczb A, B, C jest różna od zera.
1.Koło to zbiór punktów na płaszczyźnie, których odległość do stałego punktu M 0 (x 0, y 0) jest stała i równa R. Punkt M 0 nazywany jest środkiem okręgu, a liczba R jest jego promień
– równanie okręgu o środku w punkcie M 0 (x 0, y 0) i promieniu R.
Jeżeli środek okręgu pokrywa się z początkiem współrzędnych, to mamy:
– równanie kanoniczne okręgu.
Elipsa.
Elipsa to zbiór punktów na płaszczyźnie, dla każdego z nich suma odległości do dwóch danych punktów jest wartością stałą (przy czym wartość ta jest większa od odległości między tymi punktami). Punkty te nazywane są ogniska elipsy.
jest równaniem kanonicznym elipsy.
Związek nazywa się ekscentryczność elipsa i jest oznaczona przez: , . Od tego czasu< 1.
W konsekwencji, gdy stosunek maleje, dąży on do 1, tj. b niewiele różni się od a, a kształt elipsy zbliża się do kształtu koła. W ograniczającym przypadku, kiedy 
, otrzymujemy okrąg, którego równanie wynosi
x 2 + y 2 = za 2.
Hiperbola
Hiperbola to zbiór punktów na płaszczyźnie, dla każdego z nich wartość bezwzględna różnicy odległości do dwóch danych punktów, zwana wydziwianie, jest wielkością stałą (pod warunkiem, że wielkość ta jest mniejsza od odległości między ogniskami i nie jest równa 0).
Niech F 1, F 2 będą ogniskami, odległość między nimi będzie oznaczona przez 2c, parametr paraboli).
– równanie kanoniczne paraboli.
Należy zauważyć, że równanie dla ujemnego p określa również parabolę, która będzie zlokalizowana na lewo od osi 0y. Równanie opisuje parabolę, symetryczną względem osi 0y, leżącą powyżej osi 0x dla p > 0 i leżącą poniżej osi 0x dla p< 0.
Niech zostaną podane dwie proste i trzeba znaleźć ich punkt przecięcia. Ponieważ punkt ten należy do każdej z dwóch podanych prostych, to jego współrzędne muszą spełniać zarówno równanie pierwszej prostej, jak i równanie drugiej prostej.
Zatem, aby znaleźć współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych, należy rozwiązać układ równań
Przykład 1. Znajdź punkt przecięcia linii i
Rozwiązanie. Współrzędne żądanego punktu przecięcia znajdziemy rozwiązując układ równań
Punkt przecięcia M ma współrzędne
Pokażmy, jak zbudować linię prostą, korzystając z jej równania. Aby skonstruować linię prostą, wystarczy znać jej dwa punkty. Aby skonstruować każdy z tych punktów, podajemy dowolną wartość jednej z jego współrzędnych, a następnie z równania znajdujemy odpowiednią wartość drugiej współrzędnej.
Jeżeli w ogólnym równaniu prostej oba współczynniki przy aktualnych współrzędnych nie są równe zero, to aby skonstruować tę prostą, najlepiej jest znaleźć punkty jej przecięcia z osiami współrzędnych.
Przykład 2. Zbuduj linię prostą.
Rozwiązanie. Znajdujemy punkt przecięcia tej linii z osią odciętej. W tym celu wspólnie rozwiązujemy ich równania:
i otrzymujemy. Znaleziono zatem punkt M (3; 0) przecięcia tej prostej z osią odciętych (rys. 40).
Następnie rozwiązując równanie tej prostej i równanie osi rzędnych
znajdujemy punkt przecięcia linii z osią rzędnych. Na koniec konstruujemy linię prostą z jej dwóch punktów M i
W przestrzeni dwuwymiarowej dwie proste przecinają się tylko w jednym punkcie określonym przez współrzędne (x,y). Ponieważ obie proste przechodzą przez punkt przecięcia, współrzędne (x,y) muszą spełniać oba równania opisujące te proste. Dzięki dodatkowym umiejętnościom możesz znaleźć punkty przecięcia paraboli i innych krzywych kwadratowych.
Kroki
Punkt przecięcia dwóch linii
- Jeśli równania linii nie zostaną ci podane, na podstawie znanych ci informacji.
- Przykład. Dane proste opisane równaniami i y - 12 = - 2 x (\ Displaystyle y-12 = -2x). Aby wyizolować „y” w drugim równaniu, dodaj liczbę 12 po obu stronach równania:
-
Szukasz punktu przecięcia obu prostych, czyli punktu, którego współrzędne (x, y) spełniają oba równania. Ponieważ zmienna „y” znajduje się po lewej stronie każdego równania, wyrażenia znajdujące się po prawej stronie każdego równania mogą być zrównane. Zapisz nowe równanie.
- Przykład. Ponieważ y = x + 3 (\ displaystyle y = x + 3) I y = 12 - 2 x (\ displaystyle y = 12-2x), wówczas możemy napisać następującą równość: .
-
Znajdź wartość zmiennej „x”. Nowe równanie zawiera tylko jedną zmienną „x”. Aby znaleźć „x”, wyodrębnij tę zmienną po lewej stronie równania, wykonując odpowiednie obliczenia po obu stronach równania. Powinieneś otrzymać równanie w postaci x = __ (jeśli nie możesz tego zrobić, zobacz tę sekcję).
- Przykład. x + 3 = 12 - 2 x (\ displaystyle x+3 = 12-2x)
- Dodać 2 x (\ displaystyle 2x) do każdej strony równania:
- 3 x + 3 = 12 (\ displaystyle 3x + 3 = 12)
- Odejmij 3 od każdej strony równania:
- 3 x = 9 (\ displaystyle 3x = 9)
- Podziel każdą stronę równania przez 3:
- x = 3 (\ displaystyle x = 3).
-
Użyj znalezionej wartości zmiennej „x”, aby obliczyć wartość zmiennej „y”. Aby to zrobić, podstaw znalezioną wartość „x” do (dowolnego) równania prostej.
- Przykład. x = 3 (\ displaystyle x = 3) I y = x + 3 (\ displaystyle y = x + 3)
- y = 3 + 3 (\ displaystyle y = 3 + 3)
- y = 6 (\ displaystyle y = 6)
-
Sprawdź odpowiedź. Aby to zrobić, podstaw wartość „x” do drugiego równania prostej i znajdź wartość „y”. Jeśli otrzymasz inne znaczenie„y”, sprawdź poprawność swoich obliczeń.
- Przykład: x = 3 (\ displaystyle x = 3) I y = 12 - 2 x (\ displaystyle y = 12-2x)
- y = 12 - 2 (3) (\ displaystyle y = 12-2 (3))
- y = 12 - 6 (\ displaystyle y = 12-6)
- y = 6 (\ displaystyle y = 6)
- Otrzymałeś tę samą wartość dla y, więc nie ma błędów w twoich obliczeniach.
-
Zapisz współrzędne (x, y). Po obliczeniu wartości „x” i „y” znalazłeś współrzędne punktu przecięcia dwóch linii. Zapisz współrzędne punktu przecięcia w postaci (x,y).
- Przykład. x = 3 (\ displaystyle x = 3) I y = 6 (\ displaystyle y = 6)
- Zatem dwie proste przecinają się w punkcie o współrzędnych (3,6).
-
Obliczenia w szczególnych przypadkach. W niektórych przypadkach nie można znaleźć wartości zmiennej „x”. Ale to nie znaczy, że popełniłeś błąd. Specjalny przypadek ma miejsce, gdy spełniony jest jeden z poniższych warunków:
- Jeśli dwie linie są równoległe, nie przecinają się. W takim przypadku zmienna „x” zostanie po prostu zmniejszona, a twoje równanie zamieni się w bezsensowną równość (na przykład 0 = 1 (\ displaystyle 0 = 1)). W takim przypadku wpisz w swojej odpowiedzi, że linie się nie przecinają lub nie ma rozwiązania.
- Jeśli oba równania opisują jedną linię prostą, wówczas punktów przecięcia będzie nieskończona. W takim przypadku zmienna „x” zostanie po prostu zmniejszona, a twoje równanie zamieni się w ścisłą równość (na przykład 3 = 3 (\ displaystyle 3 = 3)). W takim przypadku zapisz w swojej odpowiedzi, że obie linie pokrywają się.
Zadania z funkcjami kwadratowymi
-
Definicja funkcji kwadratowej. W funkcji kwadratowej jedna lub więcej zmiennych ma drugi stopień (ale nie wyższy), na przykład x 2 (\ displaystyle x ^ (2)) Lub y 2 (\ displaystyle y ^ (2)). Wykresy funkcji kwadratowych to krzywe, które nie mogą się przecinać lub mogą przecinać się w jednym lub dwóch punktach. W tej sekcji dowiesz się, jak znaleźć punkt lub punkty przecięcia krzywych kwadratowych.
-
Przepisz każde równanie, wyodrębniając zmienną „y” po lewej stronie równania. Pozostałe wyrazy równania należy umieścić po prawej stronie równania.
- Przykład. Znajdź punkt(y) przecięcia wykresów x 2 + 2 x - y = - 1 (\ Displaystyle x ^ (2) + 2x-y = -1) I
- Wyodrębnij zmienną „y” po lewej stronie równania:
- I y = x + 7 (\ displaystyle y = x + 7) .
- W tym przykładzie podano jedną funkcję kwadratową i jedną funkcję liniową. Pamiętaj, że jeśli masz dwie funkcje kwadratowe, obliczenia są podobne do kroków opisanych poniżej.
-
Przyrównaj wyrażenia po prawej stronie każdego równania. Ponieważ zmienna „y” znajduje się po lewej stronie każdego równania, wyrażenia znajdujące się po prawej stronie każdego równania mogą być zrównane.
- Przykład. y = x 2 + 2 x + 1 (\ displaystyle y = x ^ (2) + 2x + 1) I y = x + 7 (\ displaystyle y = x + 7)
-
Przenieś wszystkie wyrazy powstałego równania na jego lewą stronę i napisz 0 po prawej stronie. Aby to zrobić, wykonaj podstawową matematykę. Umożliwi to rozwiązanie powstałego równania.
- Przykład. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\ displaystyle x ^ (2) + 2x + 1 = x + 7)
- Odejmij „x” od obu stron równania:
- x 2 + x + 1 = 7 (\ displaystyle x ^ (2) + x + 1 = 7)
- Odejmij 7 od obu stron równania:
-
Rozwiąż równanie kwadratowe. Przenosząc wszystkie wyrazy równania na lewą stronę, otrzymasz równanie kwadratowe. Można to rozwiązać na trzy sposoby: za pomocą specjalnej formuły i.
- Przykład. x 2 + x - 6 = 0 (\ displaystyle x ^ (2) + x-6 = 0)
- Kiedy rozłożysz równanie na czynniki, otrzymasz dwa dwumiany, które po pomnożeniu dają pierwotne równanie. W naszym przykładzie pierwszy termin x 2 (\ displaystyle x ^ (2)) można rozłożyć na x * x. Zapisz to: (x)(x) = 0
- W naszym przykładzie wolny termin -6 można rozłożyć na następujące czynniki: - 6 ∗ 1 (\ Displaystyle -6 * 1), - 3 ∗ 2 (\ Displaystyle -3 * 2), - 2 ∗ 3 (\ Displaystyle -2 * 3), - 1 ∗ 6 (\ Displaystyle -1 * 6).
- W naszym przykładzie drugim wyrazem jest x (lub 1x). Dodawaj każdą parę czynników terminu fikcyjnego (w naszym przykładzie -6), aż otrzymasz 1. W naszym przykładzie odpowiednią parą czynników terminu fikcyjnego są liczby -2 i 3 ( - 2 ∗ 3 = - 6 (\ Displaystyle -2 * 3 = -6)), ponieważ - 2 + 3 = 1 (\ Displaystyle -2 + 3 = 1).
- W puste miejsca wpisz odnalezioną parę liczb: .
-
Nie zapomnij o drugim punkcie przecięcia obu wykresów. Jeśli rozwiążesz problem szybko i niezbyt ostrożnie, możesz zapomnieć o drugim punkcie przecięcia. Oto jak znaleźć współrzędne x dwóch punktów przecięcia:
- Przykład (faktoryzacja). Jeśli w równaniu (x - 2) (x + 3) = 0 (\ displaystyle (x-2) (x + 3) = 0) jedno z wyrażeń w nawiasach będzie równe 0, wówczas całe równanie będzie równe 0. Dlatego możemy zapisać to w ten sposób: x - 2 = 0 (\ displaystyle x-2 = 0) → x = 2 (\ displaystyle x = 2) I x + 3 = 0 (\ displaystyle x+3 = 0) → x = - 3 (\ displaystyle x = -3) (to znaczy, że znalazłeś dwa pierwiastki równania).
- Przykład (użycie wzoru lub uzupełnienie idealnego kwadratu). W przypadku użycia jednej z tych metod pojawi się rozwiązanie Pierwiastek kwadratowy. Na przykład równanie z naszego przykładu przybierze postać x = (- 1 + 25) / 2 (\ Displaystyle x = (-1 + (\ sqrt (25))) / 2). Pamiętaj, że biorąc pierwiastek kwadratowy, otrzymasz dwa rozwiązania. W naszym przypadku: 25 = 5 ∗ 5 (\ Displaystyle (\ sqrt (25)) = 5 * 5), I 25 = (- 5) ∗ (- 5) (\ Displaystyle (\ sqrt (25)) = (-5) * (-5)}. Napisz więc dwa równania i znajdź dwie wartości x.
-
Wykresy przecinają się w jednym punkcie lub nie przecinają się wcale. Sytuacje takie mają miejsce, jeśli spełnione są następujące warunki:
- Jeśli wykresy przecinają się w jednym punkcie, wówczas równanie kwadratowe rozkłada się na identyczne czynniki, na przykład (x-1) (x-1) = 0, a we wzorze pojawia się pierwiastek kwadratowy z 0 ( 0 (\ Displaystyle (\ sqrt (0)))). W tym przypadku równanie ma tylko jedno rozwiązanie.
- Jeśli wykresy w ogóle się nie przecinają, równanie nie jest rozkładane na czynniki, a we wzorze pojawia się pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej (na przykład - 2 (\ Displaystyle (\ sqrt (-2)))). W takim przypadku napisz w odpowiedzi, że nie ma rozwiązania.
Zapisz równanie każdej linii, wyodrębniając zmienną „y” po lewej stronie równania. Pozostałe wyrazy równania należy umieścić po prawej stronie równania. Być może podane przez Ciebie równanie będzie zawierało zmienną f(x) lub g(x) zamiast „y”; w tym przypadku wyizoluj taką zmienną. Aby wyizolować zmienną, wykonaj odpowiednie obliczenia po obu stronach równania.
Linia prostopadła
To zadanie jest prawdopodobnie jednym z najpopularniejszych i najbardziej poszukiwanych w podręcznikach szkolnych. Zadania oparte na tym temacie są zróżnicowane. Jest to definicja punktu przecięcia dwóch prostych, jest to również definicja równania prostej przechodzącej przez punkt na prostej pierwotnej pod dowolnym kątem.
Temat ten omówimy wykorzystując w naszych obliczeniach dane uzyskane za pomocą
Tam rozważano przekształcenie równania ogólnego prostej na równanie ze współczynnikiem kątowym i odwrotnie oraz wyznaczenie pozostałych parametrów prostej według zadanych warunków.
Czego nam brakuje do rozwiązania problemów, którym poświęcona jest ta strona?
1. Wzory do obliczania jednego z kątów między dwiema przecinającymi się liniami.
Jeśli mamy dwie linie określone przez równania:
wówczas jeden z kątów oblicza się w następujący sposób:
2. Równanie prostej z nachyleniem przechodzącym przez dany punkt
Ze wzoru 1 wynikają dwa stany graniczne
a) kiedy wtedy i dlatego te dwie podane linie są równoległe (lub pokrywają się)
b) kiedy , następnie , i dlatego te linie są prostopadłe, to znaczy przecinają się pod kątem prostym.
Jakie mogłyby być początkowe dane do rozwiązania takich problemów, inne niż podana linia prosta?
Punkt na linii prostej i kąt, pod jakim przecina go druga prosta
Drugie równanie prostej
Jakie problemy może rozwiązać bot?
1. Podano dwie linie (jawnie lub pośrednio, na przykład przez dwa punkty). Oblicz punkt przecięcia i kąty, pod którymi się przecinają.
2. Dana jest jedna prosta, punkt na prostej i jeden kąt. Wyznacz równanie prostej przecinającej daną prostą pod określonym kątem
Przykłady
Dwie linie są dane przez równania. Znajdź punkt przecięcia tych linii i kąty, pod którymi się przecinają
linia_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5
Otrzymujemy następujący wynik
Równanie pierwszej linii
y = 2,2 x + (1,2)
Równanie drugiej linii
y = 0,4285714285714 x + (-5)
Kąt przecięcia dwóch prostych (w stopniach)
-42.357454705937
Punkt przecięcia dwóch linii
x = -3,5
y = -6,5
Nie zapominaj, że parametry dwóch linii są oddzielone przecinkiem, a parametry każdej linii są oddzielone średnikiem.
Linia prosta przechodzi przez dwa punkty (1:-4) i (5:2). Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt (-2:-8) i przecinającej pierwotną linię pod kątem 30 stopni.
Znamy jedną linię prostą, ponieważ znamy dwa punkty, przez które ona przechodzi.
Pozostaje ustalić równanie drugiej linii. Znamy jeden punkt, ale zamiast drugiego wskazany jest kąt, pod jakim pierwsza linia przecina się z drugą.
Wydaje się, że wszystko jest znane, ale najważniejsze jest, aby nie popełniać błędów. Mówimy o kącie (30 stopni) nie między osią x a linią, ale między pierwszą a drugą linią.
Dlatego zamieszczamy takie posty. Określmy parametry pierwszej linii i dowiedzmy się, pod jakim kątem przecina ona oś x.
linia xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2
Równanie ogólne Ax+By+C = 0
Współczynnik A = -6
Czynnik B = 4
Współczynnik C = 22
Współczynnik a= 3,6666666666667
Współczynnik b = -5,5
Współczynnik k = 1,5
Kąt nachylenia do osi (w stopniach) f = 56,309932474019
Współczynnik p = 3,0508510792386
Współczynnik q = 2,5535900500422
Odległość między punktami=7,211102550928
Widzimy, że pierwsza linia przecina oś pod kątem 56,309932474019 stopni.
Dane źródłowe nie mówią dokładnie, w jaki sposób druga linia przecina się z pierwszą. Można przecież skonstruować dwie linie spełniające warunki, pierwsza obrócona o 30 stopni W kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, a druga o 30 stopni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Policzmy je
Jeśli druga linia zostanie obrócona o 30 stopni W LEWO, wówczas druga linia będzie miała stopień przecięcia z osią x 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 stopni
linia_p xa=-2;ya=-8;f=86,309932474019
Parametry linii prostej według zadanych parametrów
Równanie ogólne Ax+By+C = 0
Współczynnik A = 23,011106998916
Współczynnik B = -1,4840558255286
Współczynnik C = 34,149767393603
Równanie prostej w odcinkach x/a+y/b = 1
Współczynnik a= -1,4840558255286
Współczynnik b = 23,011106998916
Równanie prostej ze współczynnikiem kątowym y = kx + b
Współczynnik k = 15,505553499458
Kąt nachylenia do osi (w stopniach) f = 86,309932474019
Równanie normalne prostej x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0
Współczynnik p = -1,4809790664999
Współczynnik q = 3,0771888256405
Odległość między punktami=23,058912962428
Odległość punktu od prostej li =
to znaczy, że nasze równanie drugiej linii to y= 15,505553499458x+ 23.011106998916
Rozwiązując niektóre problemy geometryczne metodą współrzędnych, należy znaleźć współrzędne punktu przecięcia prostych. Najczęściej trzeba szukać współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych na płaszczyźnie, ale czasem pojawia się potrzeba określenia współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych w przestrzeni. W tym artykule zajmiemy się znajdowaniem współrzędnych punktu, w którym przecinają się dwie proste.
Nawigacja strony.
Punkt przecięcia dwóch linii jest definicją.
Najpierw zdefiniujmy punkt przecięcia dwóch linii.
W części poświęconej względnemu położeniu prostych na płaszczyźnie pokazano, że dwie proste na płaszczyźnie mogą albo pokrywać się (i mają nieskończenie wiele punktów wspólnych), albo być równoległe (a dwie proste nie mają punktów wspólnych) albo przecinać się , mając jeden wspólny punkt. Istnieje więcej opcji względnego położenia dwóch linii w przestrzeni - mogą się one pokrywać (mają nieskończenie wiele wspólnych punktów), mogą być równoległe (to znaczy leżeć w tej samej płaszczyźnie i nie przecinać się), mogą się przecinać (nie leżą w tej samej płaszczyźnie), mogą też mieć jeden punkt wspólny, czyli się przecinać. Zatem dwie linie zarówno na płaszczyźnie, jak i w przestrzeni nazywane są przecinającymi się, jeśli mają jeden wspólny punkt.
Z definicji linii przecinających się wynika określenie punktu przecięcia linii: Punkt, w którym przecinają się dwie linie, nazywany jest punktem przecięcia tych linii. Innymi słowy, jedynym wspólnym punktem dwóch przecinających się linii jest punkt przecięcia tych linii.
Dla przejrzystości przedstawiamy graficzną ilustrację punktu przecięcia dwóch prostych na płaszczyźnie i w przestrzeni.
Na górze strony
Znajdowanie współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych na płaszczyźnie.
Zanim znajdziesz współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych na płaszczyźnie, korzystając ze znanych równań, rozważ problem pomocniczy.
Oksy A I B. Założymy to prosto A odpowiada ogólnemu równaniu prostej formy i linii prostej B- typ . Niech będzie jakiś punkt na płaszczyźnie i musimy dowiedzieć się, czy punkt jest M 0 punkt przecięcia danych linii.
Rozwiążmy problem.
Jeśli M0 A I B, to z definicji należy on również do linii A i proste B, to znaczy jego współrzędne muszą spełniać zarówno równanie, jak i równanie. Dlatego musimy zastąpić współrzędne punktu M 0 w równania danych prostych i zobacz, czy w rezultacie otrzymamy dwie poprawne równości. Jeżeli współrzędne punktu M 0 spełniają oba równania i , to jest punktem przecięcia prostych A I B, W przeciwnym razie M 0 .
O to chodzi M 0 ze współrzędnymi (2, -3) punkt przecięcia linii 5x-2lat-16=0 I 2x-5lat-19=0?
Jeśli M 0 jest rzeczywiście punktem przecięcia danych prostych, to jego współrzędne spełniają równania prostych. Sprawdźmy to podstawiając współrzędne punktu M 0 do podanych równań:
Mamy zatem dwie prawdziwe równości, M 0 (2, -3)- punkt przecięcia linii 5x-2lat-16=0 I 2x-5lat-19=0.
Dla przejrzystości prezentujemy rysunek, na którym widoczne są linie proste oraz współrzędne ich punktów przecięcia.
tak, kropka M 0 (2, -3) jest punktem przecięcia prostych 5x-2lat-16=0 I 2x-5lat-19=0.
Czy linie się przecinają? 5x+3y-1=0 I 7x-2 lata+11=0 w tym punkcie M 0 (2, -3)?
Podstawmy współrzędne punktu M 0 do równań prostych, akcja ta sprawdzi, czy punkt należy do M 0 obie proste jednocześnie:
Od drugiego równania, podstawiając do niego współrzędne punktu M 0 nie zamieniło się w prawdziwą równość, to wskaż M 0 nie należy do linii 7x-2 lata+11=0. Z tego faktu możemy wywnioskować, że o to chodzi M 0 nie jest punktem przecięcia danych prostych.
Rysunek również wyraźnie pokazuje, że o to chodzi M 0 nie jest punktem przecięcia prostych 5x+3y-1=0 I 7x-2 lata+11=0. Oczywiście podane proste przecinają się w punkcie o współrzędnych (-1, 2) .
M 0 (2, -3) nie jest punktem przecięcia prostych 5x+3y-1=0 I 7x-2 lata+11=0.
Teraz możemy przejść do zadania znalezienia współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych korzystając z podanych równań prostych na płaszczyźnie.
Niech prostokątny kartezjański układ współrzędnych zostanie ustalony na płaszczyźnie Oksy i biorąc pod uwagę dwie przecinające się linie A I B równania i odpowiednio. Oznaczmy punkt przecięcia danych prostych jako M 0 i rozwiąż następujące zadanie: znajdź współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych A I B zgodnie ze znanymi równaniami tych prostych i .
Kropka M0 należy do każdej z przecinających się linii A I B a-przeorat. Następnie współrzędne punktu przecięcia linii A I B spełniają zarówno równanie, jak i równanie . Dlatego współrzędne punktu przecięcia dwóch linii A I B są rozwiązaniami układu równań (patrz artykuł o rozwiązywaniu układów liniowych równań algebraicznych).
Zatem, aby znaleźć współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych określonych na płaszczyźnie równaniami ogólnymi, należy rozwiązać układ złożony z równań danych prostych.
Spójrzmy na przykładowe rozwiązanie.
Znajdź punkt przecięcia dwóch prostych zdefiniowanych w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie za pomocą równań x-9y+14=0 I 5x-2lat-16=0.
Mamy dane dwa ogólne równania prostych, zróbmy z nich układ: . Rozwiązania powstałego układu równań można łatwo znaleźć, rozwiązując jego pierwsze równanie w odniesieniu do zmiennej X i podstaw to wyrażenie do drugiego równania:
Znalezione rozwiązanie układu równań daje nam pożądane współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych.
M 0 (4, 2)– punkt przecięcia linii x-9y+14=0 I 5x-2lat-16=0.
Zatem znalezienie współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych, określonych równaniami ogólnymi na płaszczyźnie, sprowadza się do rozwiązania układu dwóch równań liniowych z dwiema nieznanymi zmiennymi. Ale co, jeśli linie na płaszczyźnie nie są dane przez równania ogólne, ale przez równania innego typu (patrz typy równań prostej na płaszczyźnie)? W takich przypadkach można najpierw zredukować równania linii do Ogólny wygląd, a następnie znajdź współrzędne punktu przecięcia.
Przed znalezieniem współrzędnych punktu przecięcia danych prostych sprowadzamy ich równania do postaci ogólnej. Przejście od równań parametrycznych prostej do równania ogólnego tej prostej wygląda następująco:
Teraz wykonajmy niezbędne działania za pomocą równania kanonicznego linii prostej:
Zatem pożądane współrzędne punktu przecięcia prostych są rozwiązaniem układu równań w postaci . Do rozwiązania używamy metody Cramera:
M 0 (-5, 1)
Istnieje inny sposób znalezienia współrzędnych punktu przecięcia dwóch linii na płaszczyźnie. Wygodnie jest zastosować, gdy jedna z prostych jest dana równaniami parametrycznymi postaci, a druga równaniem liniowym innego typu. W tym przypadku w innym równaniu zamiast zmiennych X I y możesz zastąpić wyrażenia i , skąd możesz uzyskać wartość odpowiadającą punktowi przecięcia danych prostych. W tym przypadku punkt przecięcia linii ma współrzędne.
Korzystając z tej metody, znajdźmy współrzędne punktu przecięcia linii z poprzedniego przykładu.
Określ współrzędne punktu przecięcia linii i .
Podstawmy wyrażenie linii prostej do równania:
Po rozwiązaniu otrzymanego równania otrzymujemy . Wartość ta odpowiada wspólnemu punktowi linii i . Współrzędne punktu przecięcia obliczamy podstawiając linię prostą do równań parametrycznych:
.
M 0 (-5, 1).
Aby uzupełnić obraz, należy omówić jeszcze jedną kwestię.
Przed znalezieniem współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych na płaszczyźnie warto upewnić się, że dane proste rzeczywiście się przecinają. Jeśli okaże się, że pierwotne linie pokrywają się lub są równoległe, wówczas nie może być mowy o znalezieniu współrzędnych punktu przecięcia takich linii.
Możesz oczywiście obejść się bez takiej kontroli, ale natychmiast utwórz układ równań postaci i rozwiąż go. Jeżeli układ równań ma jednoznaczne rozwiązanie, to podaje współrzędne punktu, w którym przecinają się pierwotne proste. Jeśli układ równań nie ma rozwiązań, możemy stwierdzić, że pierwotne proste są równoległe (ponieważ nie ma takiej pary liczb rzeczywistych X I y, co spełniałoby jednocześnie oba równania danych prostych). Z obecności nieskończonej liczby rozwiązań układu równań wynika, że pierwotne linie proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, to znaczy pokrywają się.
Przyjrzyjmy się przykładom pasującym do tych sytuacji.
Dowiedz się, czy linie i przecinają się, a jeśli się przecinają, znajdź współrzędne punktu przecięcia.
Podane równania prostych odpowiadają równaniom i . Rozwiążmy układ złożony z tych równań.
Jest oczywiste, że równania układu wyrażają się liniowo przez siebie (drugie równanie układu otrzymuje się z pierwszego, mnożąc obie jego części przez 4 ), zatem układ równań ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Zatem równania definiują tę samą prostą i nie możemy mówić o znalezieniu współrzędnych punktu przecięcia tych prostych.
równania i są zdefiniowane w prostokątnym układzie współrzędnych Oksy tej samej prostej, więc nie możemy mówić o znalezieniu współrzędnych punktu przecięcia.
Znajdź współrzędne punktu przecięcia linii i , jeśli to możliwe.
Stan zadania pozwala na to, że linie nie mogą się przecinać. Stwórzmy układ z tych równań. Do jego rozwiązania zastosujmy metodę Gaussa, która pozwala ustalić zgodność lub niezgodność układu równań, a jeśli jest ona zgodna, znaleźć rozwiązanie:
Ostatnie równanie układu po bezpośrednim przejściu metody Gaussa zamieniło się w niepoprawną równość, dlatego układ równań nie ma rozwiązań. Z tego możemy wywnioskować, że pierwotne linie są równoległe i nie możemy mówić o znalezieniu współrzędnych punktu przecięcia tych linii.
Drugie rozwiązanie.
Sprawdźmy, czy podane proste przecinają się.
Wektor normalny to linia, a wektor to wektor normalny linii. Sprawdźmy, czy warunek kolinearności wektorów i : jest prawdziwy, gdyż wektory normalne danych prostych są współliniowe. Wtedy te linie są równoległe lub pokrywają się. Zatem nie możemy znaleźć współrzędnych punktu przecięcia pierwotnych linii.
nie można znaleźć współrzędnych punktu przecięcia danych linii, ponieważ linie te są równoległe.
Znajdź współrzędne punktu przecięcia prostych 2x-1=0 i , jeśli się przecinają.
Ułóżmy układ równań będący równaniami ogólnymi danych prostych: . Wyznacznik macierzy głównej tego układu równań jest różny od zera, zatem układ równań ma jednoznaczne rozwiązanie, które wskazuje przecięcie danych prostych.
Aby znaleźć współrzędne punktu przecięcia prostych, musimy rozwiązać układ:
Wynikowe rozwiązanie daje nam współrzędne punktu przecięcia linii, czyli punktu przecięcia linii 2x-1=0 I .
Na górze strony
Znajdowanie współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych w przestrzeni.
Współrzędne punktu przecięcia dwóch linii w przestrzeni trójwymiarowej znajdują się w podobny sposób.
Niech przecinające się linie A I B określone w prostokątnym układzie współrzędnych Oksyz równania dwóch przecinających się płaszczyzn, czyli linia prosta A jest wyznaczany przez układ postaci i linii prostej B- . Pozwalać M 0– punkt przecięcia linii A I B. Następnie wskaż M 0 z definicji również należy do linii A i proste B, dlatego jego współrzędne spełniają równania obu prostych. Zatem współrzędne punktu przecięcia linii A I B stanowią rozwiązanie układu równań liniowych postaci . Tutaj będziemy potrzebować informacji z rozdziału o rozwiązywaniu układów równań liniowych, w których liczba równań nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych.
Spójrzmy na rozwiązania przykładów.
Znajdź współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych określonych w przestrzeni równaniami i .
Ułóżmy układ równań z równań danych prostych: . Rozwiązanie tego układu da nam pożądane współrzędne punktu przecięcia prostych w przestrzeni. Znajdźmy rozwiązanie zapisanego układu równań.
Macierz główna układu ma postać , a rozszerzona - .
Ustalmy rząd macierzy A i ranga macierzy T. Stosujemy metodę graniczących nieletnich, ale nie będziemy szczegółowo opisywać obliczania wyznaczników (w razie potrzeby odsyłamy do artykułu Obliczanie wyznacznika macierzy):
Zatem ranga macierzy głównej jest równa rangi macierzy rozszerzonej i jest równa trzy.
W związku z tym układ równań ma unikalne rozwiązanie.
Przyjmiemy wyznacznik jako moll bazowy, dlatego ostatnie równanie należy wyłączyć z układu równań, ponieważ nie uczestniczy ono w tworzeniu molowej podstawy. Więc,
Rozwiązanie powstałego układu jest łatwe do znalezienia:
Zatem punkt przecięcia linii ma współrzędne (1, -3, 0) .
(1, -3, 0) .
Należy zauważyć, że układ równań ma unikalne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy linie proste A I B przecinać. Jeśli prosto A I B równoległy lub przecinający się, wówczas ostatni układ równań nie ma rozwiązań, ponieważ w tym przypadku proste nie mają wspólnych punktów. Jeśli prosto A I B pokrywają się, to mają nieskończoną liczbę punktów wspólnych, zatem wskazany układ równań ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Jednak w takich przypadkach nie można mówić o znalezieniu współrzędnych punktu przecięcia prostych, gdyż proste się nie przecinają.
Tym samym, jeśli nie wiemy z góry, czy dane proste przecinają się A I B czy nie, wówczas zasadne jest utworzenie układu równań w postaci i rozwiązanie go metodą Gaussa. Jeśli otrzymamy unikalne rozwiązanie, będzie ono odpowiadać współrzędnym punktu przecięcia linii A I B. Jeśli system okaże się niespójny, wówczas bezpośredni A I B nie przecinają się. Jeśli układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań, to linie proste A I B dopasować.
Można to zrobić bez użycia metody Gaussa. Alternatywnie można obliczyć rangi macierzy głównej i rozszerzonej tego układu i na podstawie uzyskanych danych oraz twierdzenia Kroneckera-Capelliego stwierdzić albo istnienie pojedynczego rozwiązania, albo istnienie wielu rozwiązań, albo brak rozwiązania rozwiązania. To kwestia gustu.
Jeśli linie przecinają się, określ współrzędne punktu przecięcia.
Stwórzmy układ z podanych równań: . Rozwiążmy to metodą Gaussa w postaci macierzowej:
Stało się jasne, że układ równań nie ma rozwiązań, dlatego podane proste nie przecinają się i nie może być mowy o znalezieniu współrzędnych punktu przecięcia tych prostych.
nie możemy znaleźć współrzędnych punktu przecięcia danych linii, ponieważ te linie nie przecinają się.
Gdy przecinające się linie są dane przez równania kanoniczne prostej w przestrzeni lub równania parametryczne prostej w przestrzeni, to należy najpierw otrzymać ich równania w postaci dwóch przecinających się płaszczyzn, a dopiero potem znaleźć współrzędne punktu przecięcia.
Dwie przecinające się linie są zdefiniowane w prostokątnym układzie współrzędnych Oksyz równania i . Znajdź współrzędne punktu przecięcia tych prostych.
Zdefiniujmy początkowe proste poprzez równania dwóch przecinających się płaszczyzn:
Aby znaleźć współrzędne punktu przecięcia linii, pozostaje rozwiązać układ równań. Ranga macierzy głównej tego układu jest równa rangi macierzy rozszerzonej i wynosi trzy (zalecamy sprawdzenie tego faktu). Za podstawę przyjmijmy mniejsze, dlatego możemy wyeliminować ostatnie równanie z układu. Po rozwiązaniu powstałego układu dowolną metodą (np. metodą Cramera) otrzymujemy rozwiązanie. Zatem punkt przecięcia linii ma współrzędne (-2, 3, -5) .
