Teoria wyznaczników. Streszczenie: Teoria macierzy i wyznaczników Teoria wyznaczników

Gimnazjum nr 45.

Moskwa.

Uczeń 10. klasy „B” Gorochow Jewgienij

Zajęcia (wersja robocza).

Wprowadzenie do teorii macierzy i wyznaczników.

1. Macierze.................................................. .................................................. ............... .................................. ........................ ......

1.1 Pojęcie macierzy .................................................. ...................................................... ............... ..................................

1.2 Podstawowe operacje na macierzach........................................... ....... .................................. ............. .

2. Determinanty .................................................. .................................................. ............... .................................. ...........

2.1 Pojęcie wyznacznika .................................................. ........................................... .............. ..............

2.2 Obliczanie wyznaczników .................................................. ...................................................... ............... ..............

2.3 Podstawowe własności wyznaczników............................................ ....... .................................. .............

3. Układy równań liniowych............................................ ........................................... .............. .

3.1 Podstawowe definicje .................................................. .................................................... ........................

3.2 Warunek spójności układów równań liniowych........................................... .............. ..............

3.3 Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Cramera............................................ ........................

3.4 Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa........................................... ............... .............

4. Macierz odwrotna........................................... ...................................................... ............... ..................................

4.1 Pojęcie macierzy odwrotnej............................................ ....... .................................. ............. .............

4.2 Obliczanie macierzy odwrotnej........................................... ........................................... .........................

Bibliografia .................................................. . .................................................. ..................................

Matryca to prostokątna tabela liczb zawierająca pewną ilośćM linie i określoną liczbęN kolumny. LiczbyM IN są nazywane Zamówienia matryce. JeśliM = N , macierz nazywa się kwadratem, a liczbąm = rz -- jej w celu.

Podstawowe operacje arytmetyczne na macierzach to mnożenie macierzy przez liczbę, dodawanie i mnożenie macierzy.

Przejdźmy do zdefiniowania podstawowych operacji na macierzach.

Dodawanie macierzy: Suma dwóch macierzy, na przykład:AIB, mający tę samą liczbę wierszy i kolumn, innymi słowy tę samą kolejnośćM IN zwana macierzą C = (Zja)(ja = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n)te same zamówieniaMIN, elementyCijktóre są równe.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Aby oznaczyć sumę dwóch macierzy, stosuje się notacjęC = A + B.Operację sumowania macierzy nazywa się ich dodatek

Zatem z definicji mamy:

+ =

=

Z definicji sumy macierzy, a dokładniej ze wzoru ( 1.2 ) wynika od razu, że operacja dodawania macierzy ma te same właściwości, co operacja dodawania liczb rzeczywistych, a mianowicie:

1) właściwość przemienna:A + B = B + A

2) łączenie własności:(A + B) + C = A + (B + C)

Te właściwości pozwalają nie martwić się o kolejność składników macierzy podczas dodawania dwóch lub więcej macierzy.

Mnożenie macierzy przez liczbę :

Produkt matrixowy liczba rzeczywista nazywana jest macierząC = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n), których elementy są równe

Cij = Aij (i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). (1.3 )

Aby oznaczyć iloczyn macierzy i liczby, stosuje się notacjęC= ALubC=A . Operację składania iloczynu macierzy przez liczbę nazywa się mnożeniem macierzy przez tę liczbę.

Bezpośrednio ze wzoru ( 1.3 ) jasne jest, że mnożenie macierzy przez liczbę ma następujące właściwości:

1) własność rozdzielcza dotycząca sumy macierzy:

(A + B) = + B

2) właściwość asocjacyjna dotycząca czynnika liczbowego:

() A= ( A)

3) własność rozdzielcza dotycząca sumy liczb:

( + ) A= A + A.

Komentarz :Różnica dwóch macierzy A IB identycznych rzędów naturalne jest nazwanie takiej matrycyC tych samych rzędów, co sumuje się z macierząB daje macierzA . Aby oznaczyć różnicę między dwiema macierzami, stosuje się notację naturalną:C = A – B.

Mnożenie macierzy :

Produkt matrixowyA = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), mając odpowiednio równe rzędyM IN , na matrycęB = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p), mając odpowiednio równe rzędyN IP , nazywa się macierząC=(Zij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p), mając odpowiednio równe rzędyM IP i elementyCij, określone wzorem

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Aby oznaczyć iloczyn macierzyA do matrixaB użyj nagrania

C=AB. Operacja komponowania produktu matrycowegoA do matrixaB zwany mnożenie te matryce. Z definicji sformułowanej powyżej wynika, że matryca A nie można pomnożyć przez żadną macierz B : konieczne jest podanie liczby kolumn macierzyA był równa się liczba wierszy macierzyB . Aby obydwa dziełaAB Ilicencjat nie tylko zostały zdefiniowane, ale także miały ten sam porządek, konieczne i wystarczające jest, aby obie macierzeA IB były macierzami kwadratowymi tego samego rzędu.

Formuła ( 1.4 ) to zasada komponowania elementów macierzyC ,

który jest iloczynem macierzyA do matrixaB . Zasadę tę można sformułować ustnie: Element Cij , stojąc na skrzyżowaniu I linia i J- kolumna macierzy C=AB , jest równy suma iloczynów parami odpowiednich elementów I linia matryce A I J- kolumna macierzy B . Jako przykład zastosowania tej reguły podajemy wzór na mnożenie macierzy kwadratowych drugiego rzędu

Ze wzoru ( 1.4 ) następujące właściwości produktu matrycowego:Ado matrixaB :

1) łączność: (ABC= A(BC);

2) własność rozdzielcza w odniesieniu do sumy macierzy:

(A + B) C = AC + BCLubA (B + C) = AB + AC.

Zagadnienie własności permutacyjnej iloczynu macierzy ma sens podnosić tylko dla macierzy kwadratowych tego samego rzędu. Elementarne przykłady pokazują, że iloczyn dwóch macierzy kwadratowych tego samego rzędu, ogólnie rzecz biorąc, nie ma własności komutacji. W rzeczywistości, jeśli umieścimy

A = , B =

Zwykle nazywane są te same macierze, dla których iloczyn ma właściwość komutacji dojazdy.

Przestrzenie metryczne i unormowane.

Przestrzenie euklidesowe i unitarne.

Przestrzenie euklidesowe. Iloczyn skalarny w przestrzeni euklidesowej i jego właściwości.

Długość wektora w przestrzeni euklidesowej, kąt między wektorami. Nierówność Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego i nierówność trójkąta.

Ortogonalne i ortonormalne układy wektorów w przestrzeni euklidesowej. Iloczyn skalarny w bazie ortonormalnej.

Proces ortogonalizacji układu wektorów Sturma.

Izomorfizm przestrzeni euklidesowych.

Przestrzenie unitarne. Iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej i jego własności.

Długość wektora w przestrzeni unitarnej. Nierówność Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego i nierówność trójkąta.

Układy ortogonalne i ortonormalne w przestrzeni unitarnej. Iloczyn skalarny w bazie ortonormalnej.

Dopełnienie ortogonalne do podprzestrzeni. Właściwości dopełnienia ortogonalnego.

Reprezentacja przestrzeni jako suma bezpośrednia podprzestrzeni i jej dopełnienia ortogonalnego.

Rzut ortogonalny i składowa ortogonalna wektora na podprzestrzeń.

Odległość wektora od podprzestrzeni, wektora od rozmaitości.

Kąt między wektorem a podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej, kąt między wektorem a rozmaitością przestrzeni euklidesowej.

Przestrzenie metryczne. Granica ciągu w przestrzeni metrycznej.

Kule w przestrzeni metrycznej. Zbiory ograniczone. Limit punktów.

Zupełność przestrzeni metrycznych. Twierdzenie o zagnieżdżonych kulach.

Znormalizowane przestrzenie. Połączenie przestrzeni unormowanej i metrycznej.

Zbieżność współrzędnych i zbieżność norm, związek między nimi. Zupełność przestrzeni znormalizowanych.

Funkcjonały liniowe w przestrzeni liniowej. Przestrzeń funkcjonałów liniowych.

Funkcjonały dwuliniowe w przestrzeni liniowej. Funkcjonały dwuliniowe symetryczne i antysymetryczne.

Funkcjonały wieloliniowe w przestrzeni liniowej. Funkcjonały wieloliniowe symetryczne, antysymetryczne, absolutnie symetryczne i absolutnie antysymetryczne.

Wyznacznik macierzy kwadratowej jako wieloliniowy funkcjonał absolutnie antysymetryczny. Wzory do obliczania wyznaczników drugiego i trzeciego rzędu.

Właściwości wyznaczników.

Rozkład wyznacznika na elementy rzędu lub na elementy kolumny.

Minusy porządku i ich dopełnienia algebraiczne. Twierdzenie Laplace'a.

Metoda obliczania wyznaczników porządku poprzez sprowadzenie ich do postaci trójkątnej.

Metoda identyfikacji czynników liniowych przy obliczaniu wyznaczników porządku. Wyznacznik Vandermonde'a.

Metoda relacji rekurencyjnych przy obliczaniu wyznacznika rzędu.

Metoda przedstawiania wyznacznika jako sumy dwóch wyznaczników przy obliczaniu wyznaczników rzędu.

Sposób zmiany elementów wyznacznika przy obliczaniu wyznaczników rzędu.

Wyznaczniki drugiego i trzeciego rzędu.

Nazywa się liczby m i n wymiary matryce.

Macierz nazywa się kwadrat, jeśli m = n. W tym przypadku nazywa się liczbę n w celu macierz kwadratowa.

Każdej macierzy kwadratowej można przypisać liczbę, która jest jednoznacznie określona przy użyciu wszystkich elementów macierzy. Liczba ta nazywana jest wyznacznikiem.

Wyznacznik drugiego rzędu jest liczbą otrzymaną przy użyciu elementów macierzy kwadratowej drugiego rzędu w następujący sposób: .

W tym przypadku od iloczynu elementów znajdujących się na tzw. głównej przekątnej macierzy (przechodząc od lewego górnego do prawego dolnego rogu) odejmuje się iloczyn elementów znajdujących się na drugiej, czyli wtórnej przekątnej macierzy .

Wyznacznik trzeciego rzędu jest liczbą wyznaczoną za pomocą elementów macierzy kwadratowej trzeciego rzędu w następujący sposób:

Komentarz. Aby ułatwić zapamiętanie tego wzoru, możesz skorzystać z tzw. reguły Cramera (trójkątów). Jest to następująco: elementy, których iloczyny wchodzą w skład wyznacznika ze znakiem „+”, układają się następująco:

Tworząc dwa trójkąty, symetryczne względem głównej przekątnej. Elementy, których iloczyny wchodzą w skład wyznacznika ze znakiem „-”, są usytuowane w podobny sposób względem przekątnej wtórnej:

14. Wyznaczniki VII rzędu. (determinanty wyższego rzędu)

Wyznacznik nr rząd odpowiadający macierzy nie, numer nazywa się:

Podstawowe metody obliczania wyznaczników:

1) Metoda redukcji zamówienia Wyznacznik opiera się na zależności: (1)

Gdzie nazywa się dopełnieniem algebraicznym th elementu. Drobny element ten nazywany jest wyznacznikiem n-1 porządek uzyskany z pierwotnego wyznacznika poprzez usunięcie I-ta linia i J kolumna.

Relacja (1) nazywa się rozwinięciem wyznacznika w I-ta linia. Podobnie możemy zapisać rozwinięcie wyznacznika wzdłuż kolumny:

Twierdzenie: Dla dowolnej macierzy kwadratowej zachodzi równość ,

gdzie i jest symbolem Kroneckera

2) Metoda redukcji do postaci trójkątnej w oparciu o siódmą własność wyznaczników.

Przykład: Oblicz wyznacznik: Odejmij pierwszą linię od wszystkich pozostałych.

3) Metoda relacji nawrotu pozwala wyrazić dany wyznacznik poprzez wyznacznik tego samego typu, ale niższego rzędu.

Permutacje, inwersje.

Dowolny układ liczb 1, 2, ..., N w określonej kolejności, tzw przegrupowanie z N znaki (cyfry).

Ogólny widok permutacji: .

Żadne z nich nie występuje dwukrotnie w permutacji.

Permutacja nazywa się nawet , jeśli jego elementy tworzą parzystą liczbę inwersji, oraz dziwne W przeciwnym razie.

Liczby k i p w permutacji to inwersja (zaburzenie), jeśli k > p, ale k w tej permutacji występuje przed p.

Trzy właściwości permutacji.

Właściwość 1: Liczba różnych permutacji jest równa ( , brzmi: „ N silnia").

Dowód. Liczba permutacji pokrywa się z liczbą sposobów tworzenia różnych permutacji. Podczas tworzenia permutacji jako J 1 możesz wziąć dowolną z liczb 1, 2, ..., N, co daje N możliwości. Jeśli J 1 jest już wybrany, a następnie jako J 2 możesz wziąć jeden z pozostałych N– 1 cyfry i liczba sposobów, które możesz wybrać J 1 i J 2 będzie równe itd. Ostatnią liczbę w permutacji można wybrać tylko w jeden sposób, co daje sposoby, a co za tym idzie, permutacje.

Właściwość 2: Każda transpozycja zmienia parzystość permutacji.

Dowód.Przypadek 1. Transponowane liczby znajdują się w permutacji obok siebie, tj. to wygląda jak (..., k,P, ...), tutaj wielokropek (...) oznacza liczby, które podczas transpozycji pozostają na swoich miejscach. Transpozycja zamienia to w permutację formy (..., P, k,...). W tych permutacjach każda z liczb k,R wykonuje te same inwersje z liczbami, które pozostają na miejscu. Jeśli liczby k I P nie skompilowali wcześniej inwersji (tj. k < R), wówczas w nowej permutacji pojawi się kolejna inwersja i liczba inwersji wzrośnie o jeden; Jeśli k I R stanowi inwersję, to po transpozycji liczba inwersji zmniejszy się o jeden. W każdym razie parzystość permutacji ulega zmianie.

Właściwość 3: Po przestawieniu wyznacznik zmienia znak.

17. Własności wyznaczników: wyznacznik macierzy transponowanej, zamiana wierszy w wyznaczniku, wyznacznik macierzy o identycznych wierszach.

Właściwość 1. Wyznacznik nie zmienia się podczas transpozycji, tj.

Dowód.

Komentarz. Poniższe własności wyznaczników zostaną sformułowane tylko dla ciągów. Ponadto z właściwości 1 wynika, że ​​kolumny będą miały te same właściwości.

Własność 6. Przy zmianie układu dwóch wierszy wyznacznika mnoży się go przez –1.

Dowód.

Właściwość 4. Wyznacznik mający dwa równe ciągi wynosi 0:

Dowód:

18. Własności wyznaczników: rozkład wyznacznika na ciąg znaków.

Drobny element wyznacznika to wyznacznik uzyskany z danego elementu poprzez przekreślenie wiersza i kolumny, w której występuje wybrany element.

Oznaczenie: wybrany element wyznacznika, jego drugorzędny.

Przykład. Dla

Dopełnienie algebraiczne element wyznacznika nazywa się jego mniejszym, jeśli suma wskaźników tego elementu i+j jest liczbą parzystą lub liczbą przeciwną do drobnego, jeśli i+j jest nieparzyste, tj.

Rozważmy inny sposób obliczania wyznaczników trzeciego rzędu - tzw. rozwinięcie wiersza lub kolumny. W tym celu udowodnimy następujące twierdzenie:

Twierdzenie: Wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów któregokolwiek z jego wierszy lub kolumn oraz ich uzupełnień algebraicznych, tj.: gdzie i=1,2,3.

Dowód.

Udowodnijmy twierdzenie dla pierwszego wiersza wyznacznika, gdyż dla każdego innego wiersza lub kolumny można przeprowadzić podobne rozumowanie i uzyskać ten sam wynik.

Znajdźmy uzupełnienia algebraiczne elementów pierwszego rzędu:

Możesz sam udowodnić tę właściwość, porównując wartości lewej i prawej strony równości znalezionej za pomocą definicji 1.5.

Temat 1. Macierze i wyznaczniki macierzy

Czego się uczymy:

Podstawowe pojęcia algebry liniowej: macierz, wyznacznik.

Czego się nauczymy:

Wykonuj operacje na macierzach;

Oblicz z wyznacznikami drugiego i trzeciego rzędu.

Temat 1.1. Pojęcie macierzy. Działania na macierzach

∆ Matryca to prostokątna tabela składająca się z wierszy i kolumn, wypełniona pewnymi obiektami matematycznymi.

Macierze oznacza się dużymi literami łacińskimi, samą tabelę ujęto w nawiasy (rzadziej w kwadraty lub inne kształty).

Elementy A ja zwany elementy matrycy . Pierwszy indeks I– numer linii, sekundaJ– numer kolumny. Najczęściej elementami są liczby.

Wpis „macierz” A ma rozmiar M× N» oznacza, że ​​mówimy o macierzy składającej się zM linie i N kolumny.

Jeśli M = 1, a N > 1, to macierz wynosimacierz - rząd . Jeśli M > 1, A N = 1, to macierz wynosimacierz - kolumna .

Macierz, w której liczba wierszy pokrywa się z liczbą kolumn (m= rz), zwany kwadrat .

.

Elementy A 11 , A 22 ,…, A nn macierz kwadratowaA (rozmiar N× N) formularz główna przekątna , elementy A 1 N , A 2 N -1 ,…, A N 1 - przekątna boczna .

W matrixie
elementy 5; 7 tworzy główną przekątną, elementy –5; 8 – boczna przekątna.

Matryce A I B są nazywane równy (A= B), jeśli mają tę samą wielkość i ich elementy w tych samych pozycjach pokrywają się, tj.A ja = b ja .

Macierz jednostkowa jest macierzą kwadratową, w której elementy głównej przekątnej są równe jeden, a pozostałe elementy są równe zero. Macierz tożsamości jest zwykle oznaczana jako E.

Matryca transponowane do macierzy A o rozmiarzeM× N, nazywa się macierzą A Rozmiar T N× M, otrzymanej z macierzy A, jeśli jej wiersze zostaną zapisane w kolumnach, a kolumny w wierszach.

Działania arytmetyczne na macierzach.

Znaleźć suma macierzy A I B o tym samym wymiarze, należy dodać elementy o tych samych indeksach (stojące w tych samych miejscach):

.

Dodawanie macierzy jest przemienne, to znaczy A + B = B + A.

Znaleźć różnica matrycy A I B tego samego wymiaru, należy znaleźć różnicę elementów o tych samych wskaźnikach:

.

Do pomnóż macierz Ana numer k, Należy pomnożyć każdy element macierzy przez tę liczbę:

.

Praca matryce AB można zdefiniować tylko dla macierzyA rozmiar M× N I B rozmiar N× P, tj. liczba kolumn macierzyA musi być równa liczbie wierszy macierzyW. W której A· B= C, matryca C ma rozmiar M× P, i jego element C ja występuje jako iloczyn skalarnyIt wiersze macierzy A NA Jt kolumna matrycyB: ( I=1,2,…, M; J=1,2,…, P).

!! Właściwie każda linia jest potrzebna matryce A (stoi po lewej stronie) pomnóż skalarnie przez każdą kolumnę macierzy B (stoi po prawej stronie).

To znaczy iloczyn macierzy nie jest przemiennyА·В ≠ В·А . ▲

☺ Niezbędna jest analiza przykładów w celu utrwalenia materiału teoretycznego.

Przykład 1. Wyznaczanie wielkości macierzy.

Przykład 2. Definicja elementów macierzy.

W elemencie macierzy A 11 = 2, A 12 = 5, A 13 = 3.

W elemencie macierzy A 21 = 2, A 13 = 0.

Przykład 3: Wykonywanie transpozycji macierzy.

,

Przykład 4. Wykonywanie operacji na macierzach.

Znajdować 2 A- B, Jeśli , .

Rozwiązanie. .

Przykład 5. Znajdź iloczyn macierzy I .

Rozwiązanie. Rozmiar matrycyA – 3 × 2 , macierze W – 2 × 2 . Dlatego produktA·B możesz to znaleźć. Otrzymujemy:

Praca VA nie można znaleźć.

Przykład 6. Znajdź A 3 jeśli A =
.

Rozwiązanie. A 2 = ·=
=
,

A 3 = ·=
=
.

Przykład 6. Znajdź 2 A 2 + 3 A + 5 mi Na
,
.

Rozwiązanie. ,

,
,

,
.

Zadania do wykonania

1. Wypełnij tabelę.

Matryca	Rozmiar	Typ matrycy	Elementy macierzy
				12	23	32	33

2. Wykonaj operacje na macierzach
I
:

3. Wykonaj mnożenie macierzy:

4. Transponuj macierze:

? 1. Co to jest macierz?

2. Jak odróżnić macierz od innych elementów algebry liniowej?

3. Jak określić rozmiar matrycy? Dlaczego jest to konieczne?

4. Co oznacza wpis? A ja ?

5. Wyjaśnij pojęcia: przekątna główna, przekątna wtórna macierzy.

6. Jakie operacje można wykonywać na macierzach?

7. Wyjaśnij istotę operacji mnożenia macierzy?

8. Czy dowolną macierz można pomnożyć? Dlaczego?

Temat 1.2. Wyznaczniki drugiego i trzeciego rzędu : M metody ich obliczania

∆ Jeśli A jest macierzą kwadratową N-tego rzędu, to możemy z nim skojarzyć liczbę tzw wyznacznik n-te zamówienie i oznaczone przez |A|. Oznacza to, że wyznacznik zapisuje się jako macierz, ale zamiast nawiasów jest ujęty w nawiasy proste.

!! Czasami wyznaczniki nazywane są determinantami w języku angielskim, to znaczy = de A.

Wyznacznik pierwszego rzędu (wyznacznik macierzy A o rozmiarze1 × 1 ) jest samym elementem, który zawiera macierz A, tj.

Wyznacznik drugiego rzędu (wyznacznik macierzy Rozmiar 2 × 2 ) to liczba, którą można znaleźć korzystając z reguły:

(iloczyn elementów głównej przekątnej macierzy minus iloczyn elementów drugiej przekątnej).

Wyznacznik trzeciego rzędu (wyznacznik macierzy Rozmiar 3 × 3 ) to liczba, którą można znaleźć korzystając z reguły „trójkątów”:

Do obliczenia wyznaczników trzeciego rzędu można zastosować prostszą regułę - regułę kierunków (linie równoległe).

Kierunki rządzą : Z prawo wyznacznika dodaje się do pierwszych dwóch kolumn, iloczyny elementów na głównej przekątnej i na przekątnych do niej równoległych przyjmuje się ze znakiem plus; a iloczyny elementów drugiej przekątnej i równoległych do niej przekątnych są oznaczone znakiem minus.

!! Do obliczenia wyznaczników można wykorzystać ich właściwości, które obowiązują dla wyznaczników dowolnego rzędu.

Właściwości wyznaczników:

1° . Wyznacznik macierzy A nie zmienia się podczas transpozycji, tj. |A| = |A T |. Ta właściwość charakteryzuje równość wierszy i kolumn.

2° . Przy zmianie układu dwóch wierszy (dwóch kolumn) wyznacznik zachowuje swoją poprzednią wartość, ale znak jest odwrócony.

4° . Jeśli jakikolwiek wiersz lub kolumna zawiera wspólny czynnik, można go usunąć ze znaku wyznacznika.

Wniosek 4.1. Jeżeli wszystkie elementy dowolnego szeregu wyznacznika są równe zero, to wyznacznik jest równy zero.

Wniosek 4.2. Jeżeli elementy dowolnego szeregu wyznacznika są proporcjonalne do odpowiednich elementów szeregu do niego równoległego, to wyznacznik jest równy zero.▲

☺ Należy przeanalizować zasady obliczania wyznaczników.

Przykład 1: Obliczeniadeterminanty drugiego rzędu,
.

Rozwiązanie.

ROZDZIAŁ I ELEMENTY TEORII WYZNACZNIKÓW

Teoria wyznaczników powstała w XVIII wieku w związku z problemem rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych. Jednak później wyznaczniki znalazły zastosowanie w wielu różnych gałęziach matematyki, w szczególności w algebrze wektorowej, geometrii analitycznej i analizie matematycznej.

§ 1. Wyznaczniki drugiego rzędu

Rozważmy układ dwóch liniowych równań algebraicznych z dwiema niewiadomymi i

,

Gdzie
- współczynniki liczbowe układu (1).

Tabela sporządzona na podstawie współczynników tego układu

,

nazywa się macierzą współczynników układu (1).

Macierz (2) ma przypisaną liczbę zwaną wyznacznikiem macierzy
, co jest oznaczone
i oblicza się według reguły, tj. wyznacznik drugiego rzędu jest równy różnicy iloczynu elementów na przekątnej głównej i drugiej przekątnej macierzy. Wyznacznik macierzy oznacza się w następujący sposób

.

Znajdźmy rozwiązanie układu (1). Łatwo sprawdzić, że wyraża się to za pomocą współczynników układu w sposób następujący (zakładamy, że
):

;
.

Widzimy, że mianownik wyrażeń i zawiera wyznacznik, a licznik zawiera także wyznaczniki, które oznaczamy przez
i odpowiednio, tj.

,
.

Łatwo zauważyć, że wyznacznik otrzymuje się z wyznacznika , jeśli w nim zastąpimy kolumnę współczynników dla (pierwszej kolumny) kolumną wolnych terminów, a wyznacznik
- jeżeli drugą kolumnę wyznacznika zastąpimy kolumną wolnych terminów. Wówczas rozwiązanie układu (4) można zapisać następująco:

,
(
).

Formuły te nazywane są Formuły Cramera . Aby więc znaleźć rozwiązanie liniowego układu algebraicznego drugiego rzędu, wystarczy policzyć trzy wyznaczniki , i utworzyć ich stosunek.

Przykład 1 . Znajdź rozwiązanie liniowego układu algebraicznego, korzystając ze wzorów Cramera

.

Rozwiązanie . Obliczmy wyznaczniki , , :

Według wzorów Cramera

.

Więc,

.

Podstawowe własności wyznaczników drugiego rzędu

1. Wyznacznik nie ulegnie zmianie, jeśli jego wiersze zostaną zamienione z odpowiadającymi im kolumnami, tj.

2. Po przestawieniu dwóch wierszy (kolumn) wyznacznik zmienia znak na przeciwny, tj.

3. Wspólny czynnik wszystkich elementów wiersza (kolumny) można wyciągnąć poza znak wyznacznika, tj. , Na przykład,

4. Wyznacznik o identycznych wierszach (kolumnach) jest równy zeru, tj.

5. Wyznacznik z zerowym wierszem (kolumną) jest równy zeru, tj. Na przykład,

6. Jeśli do elementów wiersza (kolumny) dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny), pomnożone przez tę samą liczbę, to wyznacznik nie ulegnie zmianie, tj. Na przykład

Wszystkie te właściwości można udowodnić poprzez bezpośrednie obliczenie lewej i prawej strony wyrażeń zawartych w rozważanych równościach. Udowodnijmy na przykład własność 6.

W tym celu obliczamy wyznacznik po lewej stronie równości:

§ 2. Wyznaczniki trzeciego rzędu.

Rozważmy macierz kwadratową (tabelę) trzeciego rzędu

.

Jeśli skreślisz dowolny wiersz i dowolną kolumnę tej macierzy, wówczas pozostałe elementy utworzą macierz kwadratową drugiego rzędu. Z macierzy kwadratowej trzeciego rzędu można otrzymać dziewięć macierzy kwadratowych drugiego rzędu. Wprowadźmy kilka nowych koncepcji.

Definicja 1 . Drobny element macierze trzeciego rzędu są wyznacznikiem macierzy drugiego rzędu, którą otrzymujemy z danej macierzy poprzez usunięcie -ta linia i kolumna, tj. wiersze i kolumny, na przecięciu których znajduje się ten element.

Element drugorzędny elementu jest oznaczony symbolem
. Na przykład element drugorzędny
macierz (1) jest wyznacznikiem

.

Definicja 2. Algebraiczne dodawanie elementu macierze trzeciego rzędu wywołują liczbę równą iloczynowi mniejszego tego elementu przez
.

W przeciwnym razie: dopełnienie algebraiczne elementu jest drobne, jeśli jest sumą indeksów
parzysty i moll wzięty ze znakiem przeciwnym, jeśli suma indeksów jest nieparzysta. Oznacza się dopełnienie algebraiczne elementu
, tj. a-przeorat
.

Przykład 1. Obliczanie uzupełnień algebraicznych
I
matryce

.

;
.

Komentarz . O minorach i uzupełnieniach algebraicznych elementów macierzy drugiego rzędu można mówić także wtedy, gdy przez wyznacznik macierzy składającej się z jednego elementu (macierzy pierwszego rzędu) rozumiemy liczbę równą temu elementowi.

Definicja 3. Wyznacznik (wyznacznik ) macierz kwadratowa trzeciego rzędu (wyznacznik trzeciego rzędu ) liczbę nazywamy sumą iloczynów parami elementów pierwszego rzędu i ich uzupełnień algebraicznych. Te. z definicji mamy

.

Przykład 2 . Oblicz wyznacznik macierzy

Komentarz . Jeśli podstawimy wyrażenia dodawania algebraicznego poprzez elementy macierzy do wzoru (3), otrzymamy

W tym wzorze jest sześć wyrazów, a każdy z nich jest iloczynem trzech elementów macierzy: po jednym z każdego wiersza i jednym z każdej kolumny; trzy terminy są ujęte ze znakiem „+”, a trzy ze znakiem „-”. Na wyższych kursach algebry przyjmuje się wzór (4) jako definicję wyznacznika trzeciego rzędu.

§ 3. Podstawowe własności wyznaczników trzeciego rzędu.

Łatwo sprawdzić, że wszystkie właściwości wyznaczników drugiego rzędu obowiązują także dla wyznaczników trzeciego rzędu. Ale jako obiekt bardziej złożony, wyznaczniki trzeciego rzędu mają również dodatkowe właściwości. Sformułujmy i udowodnijmy całkowicie wszystkie własności.

1. Wyznacznik nie zmienia się w przypadku zamiany jego wierszy z odpowiednimi kolumnami, tj.

.

Udowodnione poprzez rozkład każdego wyznacznika na elementy pierwszego rzędu. W rezultacie otrzymujemy to samo wyrażenie.

2. Wyznacznik jest równy sumie iloczynów parami elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez ich uzupełnienia algebraiczne.

Udowodnimy na przykład równość

Stąd, .

Ta właściwość nazywana jest właściwością rozkładu elementów wiersza lub kolumny.

3. Po przestawieniu dwóch wierszy wyznacznik zmienia znak na przeciwny.

Dowód . Niech zostanie przestawiony pierwszy i trzeci wiersz macierzy trzeciego rzędu. Pokażmy to

Rozbudowując wyznacznik po lewej stronie równości (3) na elementy pierwszego rzędu, otrzymujemy

Rozwijając wyznacznik po prawej stronie tej równości na elementy trzeciego rzędu, otrzymujemy

te. to samo wyrażenie, ale z przeciwnym znakiem.

4. Wyznacznik mający dwa identyczne wiersze (kolumny) jest równy zero.

Dowód . Niech będzie wyznacznikiem macierzy z dwoma identycznymi wierszami. Jeśli te linie zostaną przestawione, to wyznacznik musi zmienić znak. Ale ponieważ ciągi są takie same, wyznacznik nie ulegnie zmianie. Te. mamy
, Gdzie
Lub

5. Jeżeli wszystkie elementy dowolnego wiersza wyznacznika pomnożymy przez liczbę K, to cały wyznacznik zostanie pomnożony przez tę liczbę.

Dowód . Pokażmy to na przykład

.

Rozłóżmy na elementy drugiej linii. Następnie lewą stronę równości można zapisać w następujący sposób:

gdzie jest wyznacznikiem macierzy.

Właściwość tę czasami formułuje się w następujący sposób: wspólny czynnik wszystkich elementów ciągu można wyjąć ze znaku wyznacznika.

6. Wyznacznik, którego odpowiednie elementy dwóch wierszy są proporcjonalne, jest równy zero.

Dowód . Niech na przykład elementy trzeciego rzędu będą proporcjonalne do elementów pierwszego, tj.

Następnie, korzystając z właściwości 5, a następnie 4, mamy

7. Wyznacznik, w którym wszystkie elementy dowolnego wiersza są sumą dwóch wyrazów, jest równy sumie dwóch wyznaczników otrzymanych z danego wiersza poprzez zastąpienie elementów danego wiersza odpowiednio pierwszym i drugim wyrazem.

Dowód . Niech np.

8.Wyznacznik nie zmienia się, jeśli jakiekolwiek elementy sąwiersze dodają odpowiednie elementy dowolnego innego wiersza, pomnożone przez wspólny współczynnik

Dowód . Dodajmy np. do elementów pierwszej linii odpowiednie elementy trzeciej linii pomnożone przez tę samą liczbę . Następnie, według właściwości 7, a następnie według właściwości 6, będziemy mieli

9. Twierdzenie o podstawieniu. Suma iloczynów uzupełnień algebraicznych dowolnego ciągu liczbowego ,I jest równy wyznacznikowi macierzy otrzymanej z tej macierzy poprzez zastąpienie rozważanych elementów liczbami odpowiednio i .

Dowód . Rozważmy na przykład sumę iloczynów elementów pierwszego rzędu przez uzupełnienia algebraiczne elementów trzeciego rzędu:

i wyznacznik

.

Rozbudowując go na elementy pierwszego rzędu otrzymujemy , tj. oryginalne wyrażenie.

10. Suma iloczynów elementów dowolnego wiersza i uzupełnień algebraicznych innego wiersza wynosi zero.

Dowód . Rozważmy na przykład sumę iloczynów elementów trzeciego rzędu:

Zgodnie z twierdzeniem o podstawieniu (właściwość 9) wyrażenie to jest równe wyznacznikowi, którego trzecia linia zawiera liczby , I
:

.

Wyznacznik ten jest równy zero według właściwości 4, ponieważ pierwszy i trzeci wiersz są takie same.

Wymienione właściwości, zwłaszcza właściwość 8, pozwalają znacznie uprościć obliczenia wyznacznika, w szczególności ograniczyć obliczenia wyznacznika trzeciego rzędu do obliczenia jednego wyznacznika drugiego rzędu, a nie trzech.

Przykład . Oblicz wyznacznik

Przede wszystkim zauważamy, że elementy drugiej kolumny mają wspólny współczynnik 2, a elementy trzeciego rzędu mają wspólny współczynnik 3. Dlatego biorąc te czynniki poza znak wyznacznika, otrzymujemy

.

Teraz dodając trzecią linię do pierwszej, mamy

.

Rozbudowując ten wyznacznik na elementy pierwszego rzędu, w którym tylko jeden element jest różny od zera, otrzymujemy

.

§ 4. Wyznaczniki rzędów wyższych

Determinanty wyższych rzędów, tj. czwarty, piąty itd. wyznaczane są za pomocą wyznaczników niższego rzędu, dokładnie w ten sam sposób, w jaki zdefiniowano wyznacznik trzeciego rzędu.

Zatem wyznacznik czwartego rzędu jest z definicji równy

,

gdzie i
są elementami pierwszego rzędu, oraz
, ,
I
są odpowiadającymi im dodatkami algebraicznymi. Minory i uzupełnienia algebraiczne definiuje się dokładnie w taki sam sposób, jak wyznaczniki trzeciego rzędu. Zatem obliczenie wyznacznika czwartego rzędu sprowadza się do obliczenia czterech wyznaczników trzeciego rzędu.

Wyznacznik porządku N a-przeorat

.

Jak widać wyznacznik N- t kolejność ustalana jest poprzez N determinanty N-1 kolejności, każdy z nich jest zdefiniowany poprzez
wyznacznik N-2 itd. Doprowadzając rozwinięcie do wyznaczników drugiego rzędu i obliczając je, stwierdzamy, że wyznacznik N- rząd jest sumą algebraiczną N! Z zdeponowane.

Wszystkie właściwości sformułowane i udowodnione dla wyznaczników trzeciego rzędu obowiązują również dla wyznaczników
-ta kolejność. I udowadnia się je w ten sam sposób.

Do obliczenia wyznaczników kolejności korzystamy z właściwości 8. Korzystając z tej właściwości upewniamy się, że w jednym z wierszy lub w jednej z kolumn wszystkie elementy oprócz jednego są równe zeru. Zatem obliczenie wyznacznika - trzeciego rzędu można sprowadzić do obliczenia pojedynczego wyznacznika rzędu.

Przykład . Oblicz wyznacznik piątego rzędu

Zauważamy, że w trzeciej kolumnie dwa elementy są równe zeru. Możesz uzyskać jeszcze dwa elementy zerowe w tej kolumnie, jeśli dodasz piąty wiersz do drugiego i czwartego wiersza, pomnożone odpowiednio przez 3 i „-4”. Wtedy otrzymamy

.

Zatem

Aby obliczyć wynikowy wyznacznik czwartego rzędu, należy dodać do pierwszej, trzeciej i czwartej linii drugą linię pomnożoną odpowiednio przez 2, -3, -2. Dostajemy

Rozbudowując teraz wyznacznik na elementy pierwszej kolumny, otrzymujemy (wyjmując najpierw współczynnik „-10” dla elementów trzeciego rzędu poza znakiem wyznacznika), że

Dodając trzecią linię do pierwszej linii, mamy

Komentarz . Istnieje inna definicja wyznacznika macierzy rzędu N : jest to suma wszystkich możliwych iloczynów elementów, pobrana po jednym z każdego wiersza, po jednym z każdej kolumny i podpisana według określonej reguły. Więcej o teorii wyznaczników można dowiedzieć się na przykład z książki A.G. Kurosh „Kurs wyższej algebry”.

§5. Badanie i rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych

Rozważmy układ liniowych równań algebraicznych trzeciego rzędu

Eliminowanie zmiennych jedna po drugiej , I , przejdźmy do formuł; nie można obliczyć, ponieważ wyznacznik macierzy A jest oznaczony przez detA. Wyznacznik N-...