Twierdzenie o liniowej niezależności wektorów. Kryteria zależności liniowej i niezależności układów wektorowych

3.3. Liniowa niezależność wektorów. Podstawa.

Liniowy połączenie systemy wektorowe

zwany wektorem

gdzie a 1, a 2, ..., n - dowolne liczby.

Jeśli wszystko jest i = 0, wówczas nazywana jest kombinacja liniowa trywialny . W tym przypadku oczywiście

Definicja 5.

Jeśli dla układu wektorów istnieje nietrywialna kombinacja liniowa (co najmniej jedna ai¹ 0) równy wektorowi zerowemu: wówczas nazywa się układ wektorów liniowy zależny. Jeśli równość (1) jest możliwa tylko w przypadku, gdy wszyscy ja =0, wówczas nazywa się układ wektorów liniowy niezależny .

Twierdzenie 2 (Warunki zależności liniowej).

Definicja 6.

Z Twierdzenia 3 wynika z tego, że jeśli w przestrzeni dana jest baza, to dodając do niej dowolny wektor, otrzymujemy liniowo zależny układ wektorów. Zgodnie z Twierdzenie 2 (1) , jeden z nich (można wykazać, że wektor) można przedstawić jako kombinację liniową pozostałych:

.

Definicja 7.

Liczby są nazywane współrzędne wektory w bazie (oznaczone

Jeżeli wektory rozpatrywane są na płaszczyźnie, wówczas podstawą będzie uporządkowana para wektorów niewspółliniowych

a współrzędne wektora w tej podstawie to para liczb:

Uwaga 3. Można to wykazać dla danej podstawy współrzędne wektora są wyznaczane jednoznacznie . Z tego w szczególności wynika, że jeśli wektory są równe, to odpowiadające im współrzędne są równe i odwrotnie .

Zatem, jeśli w przestrzeni podana jest baza, to każdemu wektorowi przestrzeni odpowiada uporządkowana trójka liczb (współrzędne wektora w tej podstawie) i odwrotnie: każda trójka liczb odpowiada wektorowi.

Na płaszczyźnie podobna zgodność ustalana jest między wektorami i parami liczb.

Twierdzenie 4 (Operacje liniowe na współrzędnych wektorowych).

Jeśli w jakiejś podstawie I A jest dowolną liczbą, to w tej podstawie

Innymi słowy:

Kiedy wektor jest mnożony przez liczbę, jego współrzędne są mnożone przez tę liczbę ;

podczas dodawania wektorów dodawane są odpowiadające im współrzędne .

Przykład 1 . W pewnym sensie wektorymają współrzędne

Pokaż, że wektory tworzą bazę i znajdź na tej podstawie współrzędne wektora.

Wektory stanowią bazę, jeśli nie są współpłaszczyznowe, zatem (zgodnie z według Twierdzenia 3(2) ) są liniowo niezależne.

Z definicji 5 oznacza to równość

możliwe tylko jeśliX = y = z = 0.

Twierdzenie 1. (O liniowej niezależności wektorów ortogonalnych). Niech Wtedy układ wektorów jest liniowo niezależny.

Stwórzmy kombinację liniową ∑λ i x i =0 i rozważmy iloczyn skalarny (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 =0, ale ||x j || 2 ≠0⇒λ j =0.

Definicja 1. System wektorowylub (e i ,e j)=δ ij - symbol Kroneckera, zwane ortonormalnymi (ONS).

Definicja 2. Dla dowolnego elementu x dowolnej nieskończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej i dowolnego ortonormalnego układu elementów szereg Fouriera elementu x w układzie nazywa się formalnie złożoną nieskończoną sumą (szeregiem) postaci , w którym liczby rzeczywiste λ i nazywane są współczynnikami Fouriera elementu x w układzie, gdzie λ i =(x,e i).

Komentarz. (Naturalnie pojawia się pytanie o zbieżność tego szeregu. Aby zbadać to zagadnienie, ustalamy dowolną liczbę n i dowiadujemy się, co odróżnia n-tą sumę częściową szeregu Fouriera od dowolnej innej kombinacji liniowej pierwszych n elementów układu ortonormalnego.)

Twierdzenie 2. Dla dowolnej ustalonej liczby n spośród wszystkich sum postaci n-ta suma częściowa szeregu Fouriera elementu ma najmniejsze odchylenie od elementu x zgodnie z normą danej przestrzeni euklidesowej

Biorąc pod uwagę ortonormalność układu i definicję współczynnika Fouriera, możemy napisać

Minimum tego wyrażenia osiąga się przy c i = λ i, ponieważ w tym przypadku nieujemna pierwsza suma po prawej stronie zawsze znika, a pozostałe wyrazy nie zależą od c i.

Przykład. Rozważmy układ trygonometryczny

w przestrzeni wszystkich funkcji całkowalnych Riemanna f(x) na odcinku [-π,π]. Łatwo sprawdzić, że jest to ONS i wtedy szereg Fouriera funkcji f(x) ma postać gdzie .

Komentarz. (Trygonometryczny szereg Fouriera zwykle zapisuje się w postaci Następnie )

Dowolny ONS w nieskończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej bez dodatkowych założeń, ogólnie rzecz biorąc, nie jest podstawą tej przestrzeni. Na poziomie intuicyjnym, bez podawania ścisłych definicji, opiszemy istotę sprawy. W dowolnej nieskończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej E rozważmy ONS, gdzie (e i ,e j)=δ ij jest symbolem Kroneckera. Niech M będzie podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej, a k=M ⊥ będzie podprzestrzenią ortogonalną do M taką, że przestrzeń euklidesowa E=M+M ⊥ . Rzut wektora x∈E na podprzestrzeń M jest wektorem ∈M, gdzie

Będziemy szukać tych wartości współczynników rozszerzalności α k, dla których reszta (reszta do kwadratu) h 2 =||x-|| 2 będzie minimum:

godz 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k ,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k ,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

Jest oczywiste, że wyrażenie to przyjmie wartość minimalną przy α k =0, co jest trywialne, oraz przy α k =(x,e k). Wtedy ρ min =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. Stąd otrzymujemy nierówność Bessela ∑α k 2 ||x|| 2. Przy ρ=0 ortonormalny układ wektorów (ONS) nazywany jest kompletnym układem ortonormalnym w sensie Steklova (PONS). Stąd możemy otrzymać równość Steklova-Parsevala ∑α k 2 =||x|| 2 - „Twierdzenie Pitagorasa” dla nieskończenie wymiarowych przestrzeni euklidesowych, które są zupełne w sensie Stekłowa. Należałoby teraz wykazać, że aby dowolny wektor w przestrzeni był jednoznacznie reprezentowany w postaci zbiegającego się do niego szeregu Fouriera, konieczne i wystarczające jest, aby zachodziła równość Stekłowa-Parsevala. Układ wektorów pic=""> Formy ONB? układ wektorów Rozważmy sumę częściową szeregu Następnie jak ogon szeregu zbieżnego. Zatem układ wektorów jest PONS i tworzy ONB.

Przykład. Układ trygonometryczny

w przestrzeni wszystkich funkcji całkowalnych Riemanna f(x) na odcinku [-π,π] jest PONS i tworzy ONB.

Pozwalać L – przestrzeń liniowa nad polem R . Pozwalać А1, а2, …, аn (*) skończony układ wektorów z L . Wektor W = a1× A1 +a2× A2 + … + an× Jakiś (16) nazywa się Liniowa kombinacja wektorów ( *), lub mówią, że wektor W wyrażone liniowo poprzez układ wektorów (*).

Definicja 14. Nazywa się układ wektorów (*). Liniowo zależny , wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy zbiór współczynników a1, a2, … taki, że a1× A1 +a2× A2 + … + an× Jakiś = 0. Jeśli a1× A1 +a2× A2 + … + an× Jakiś = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, wówczas wywoływany jest system (*). Liniowo niezależny.

Własności liniowej zależności i niezależności.

10. Jeżeli układ wektorów zawiera wektor zerowy, to jest on liniowo zależny.

Rzeczywiście, jeśli w systemie (*) wektor A1 = 0, To jest 1× 0 + 0× A2 +… + 0 × An = 0 .

20. Jeżeli układ wektorów zawiera dwa wektory proporcjonalne, to jest on liniowo zależny.

Pozwalać A1 = L×a2. Następnie 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Skończony układ wektorów (*) dla n ³ 2 jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jego wektorów jest kombinacją liniową pozostałych wektorów tego układu.

Þ Niech (*) będzie liniowo zależne. Wówczas istnieje niezerowy zbiór współczynników a1, a2, …, an, dla którego a1× A1 +a2× A2 + … + an× Jakiś = 0 . Bez utraty ogólności możemy założyć, że a1 ¹ 0. Wtedy istnieje A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. A więc wektor A1 jest liniową kombinacją pozostałych wektorów.

Ü Niech jeden z wektorów (*) będzie kombinacją liniową pozostałych. Możemy założyć, że jest to wektor pierwszy, tj. A1 = B2 A2+ … + miliardy A N, Stąd (–1)× A1 + b2 A2+ … + miliardy A N= 0 , tj. (*) jest liniowo zależne.

Komentarz. Korzystając z ostatniej własności, możemy zdefiniować liniową zależność i niezależność nieskończonego układu wektorów.

Definicja 15. System wektorowy А1, а2, …, аn , … (**) jest nazywany liniowo zależny, Jeśli przynajmniej jeden z jego wektorów jest kombinacją liniową pewnej skończonej liczby innych wektorów. W przeciwnym razie wywoływany jest system (**). Liniowo niezależny.

40. Skończony układ wektorów jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z jego wektorów nie może być wyrażony liniowo w postaci pozostałych wektorów.

50. Jeśli układ wektorów jest liniowo niezależny, to którykolwiek z jego podukładów jest również liniowo niezależny.

60. Jeżeli jakiś podukład danego układu wektorów jest liniowo zależny, to cały układ również jest liniowo zależny.

Niech będą dane dwa układy wektorów А1, а2, …, аn , … (16) i В1, В2, …, Вs, … (17). Jeśli każdy wektor układu (16) można przedstawić jako liniową kombinację skończonej liczby wektorów układu (17), to mówi się, że układ (17) jest wyrażony liniowo przez układ (16).

Definicja 16. Nazywa się dwa systemy wektorowe Równowartość , jeśli każdy z nich jest liniowo wyrażany przez drugi.

Twierdzenie 9 (podstawowe twierdzenie o zależności liniowej).

Niech będzie – dwa skończone układy wektorów z L . Jeżeli pierwszy system jest liniowo niezależny i liniowo wyrażony przez drugi, to N£s.

Dowód. Udawajmy, że N> S. Zgodnie z warunkami twierdzenia

(21)

Ponieważ układ jest liniowo niezależny, równość (18) Û X1=x2=…=xN= 0. Zastąpmy tutaj wyrażeniami wektorów: …+=0 (19). Stąd (20). Warunki (18), (19) i (20) są oczywiście równoważne. Ale (18) jest spełnione tylko wtedy, gdy X1=x2=…=xN= 0. Sprawdźmy, kiedy równość (20) jest prawdziwa. Jeśli wszystkie jego współczynniki wynoszą zero, to jest to oczywiście prawdą. Przyrównując je do zera, otrzymujemy układ (21). Ponieważ ten system ma zero , to

wspólny Ponieważ liczba równań jest większa od liczby niewiadomych, układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Dlatego ma wartość niezerową X10, x20, …, xNie. Dla tych wartości prawdziwa będzie równość (18), co przeczy faktowi, że układ wektorów jest liniowo niezależny. Zatem nasze założenie jest błędne. Stąd, N£s.

Konsekwencja. Jeżeli dwa równoważne układy wektorów są skończone i liniowo niezależne, to zawierają taką samą liczbę wektorów.

Definicja 17. Nazywa się system wektorowy Maksymalny liniowo niezależny układ wektorów Przestrzeń liniowa L , jeśli jest liniowo niezależny, ale po dodaniu do niego dowolnego wektora z L , nieuwzględnione w tym systemie, staje się liniowo zależne.

Twierdzenie 10. Dowolne dwa skończone maksymalne liniowo niezależne układy wektorów z L Zawierają tę samą liczbę wektorów.

Dowód wynika z faktu, że dowolne dwa maksymalnie liniowo niezależne układy wektorów są równoważne .

Łatwo udowodnić, że dowolny liniowo niezależny układ wektorów przestrzennych L można rozwinąć do maksymalnie liniowo niezależnego układu wektorów w tej przestrzeni.

Przykłady:

1. W zbiorze wszystkich współliniowych wektorów geometrycznych każdy układ składający się z jednego niezerowego wektora jest maksymalnie liniowo niezależny.

2. W zbiorze wszystkich współpłaszczyznowych wektorów geometrycznych dowolne dwa niewspółliniowe wektory tworzą maksymalnie liniowo niezależny układ.

3. W zbiorze wszystkich możliwych wektorów geometrycznych trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej dowolny układ trzech niewspółpłaszczyznowych wektorów jest maksymalnie liniowo niezależny.

4. W zbiorze wszystkich wielomianów stopnie nie są wyższe niż N Przy rzeczywistych (zespolonych) współczynnikach, układ wielomianów 1, x, x2,…, xn Jest maksymalnie liniowo niezależny.

5. W zbiorze wszystkich wielomianów o rzeczywistych (zespolonych) współczynnikach przykładami maksymalnego układu liniowo niezależnego są

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

B) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N, ...

6. Zbiór macierzy wymiarowych M´ N jest przestrzenią liniową (sprawdź to). Przykładem maksymalnie liniowo niezależnego układu w tej przestrzeni jest układ macierzowy E11= , E12 =, …, EMn = .

Niech będzie dany układ wektorów C1, c2, …, por (*). Nazywa się podsystem wektorów z (*). Maksymalna liniowo niezależna Podsystem Systemy ( *) , jeśli jest liniowo niezależny, ale po dodaniu do niego dowolnego innego wektora tego układu staje się liniowo zależny. Jeśli system (*) jest skończony, to dowolny z jego maksymalnie liniowo niezależnych podsystemów zawiera tę samą liczbę wektorów. (Udowodnij to sam). Nazywa się liczbę wektorów w maksymalnym liniowo niezależnym podsystemie układu (*). Ranga Ten system. Oczywiście równoważne układy wektorów mają te same szeregi.

Definicja 1. Układ wektorów nazywa się liniowo zależnym, jeśli jeden z wektorów układu można przedstawić jako liniową kombinację pozostałych wektorów układu, a liniowo niezależnym – w przeciwnym wypadku.

Definicja 1’. Układ wektorów nazywany jest liniowo zależnym, jeśli istnieją liczby Z 1 , Z 2 , …, Z k , nie wszystkie równe zeru, tak że liniowa kombinacja wektorów o danych współczynnikach jest równa wektorowi zerowemu: = , w przeciwnym razie układ nazywa się liniowo niezależnym.

Pokażmy, że te definicje są równoważne.

Niech definicja 1 będzie spełniona, tj. jeden z wektorów układu jest równy kombinacji liniowej pozostałych:

Kombinacja liniowa układu wektorów jest równa wektorowi zerowemu i nie wszystkie współczynniki tej kombinacji są równe zero, tj. Definicja 1' jest spełniona.

Niech definicja 1' zostanie zachowana. Kombinacja liniowa układu wektorów jest równa , i nie wszystkie współczynniki kombinacji są równe zeru, na przykład współczynniki wektora .

Jeden z wektorów układu przedstawiliśmy jako kombinację liniową pozostałych, tj. Definicja 1 jest spełniona.

Definicja 2. Nazywa się wektor jednostkowy lub wektor jednostkowy wektor n-wymiarowy, Który I-ta współrzędna jest równa jeden, a reszta wynosi zero.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Twierdzenie 1. Różne wektory jednostkowe N przestrzenie -wymiarowe są liniowo niezależne.

Dowód. Niech kombinacja liniowa tych wektorów z dowolnymi współczynnikami będzie równa wektorowi zerowemu.

Z tej równości wynika, że ​​wszystkie współczynniki są równe zeru. Mamy sprzeczność.

Każdy wektor N-przestrzeń wymiarowa ā (A 1 , A 2 , ..., A n) można przedstawić jako liniową kombinację wektorów jednostkowych o współczynnikach równych współrzędnym wektora

Twierdzenie 2. Jeśli układ wektorów zawiera wektor zerowy, to jest on liniowo zależny.

Dowód. Niech będzie dany układ wektorów, w którym jeden z wektorów będzie równy zero, np. = . Następnie za pomocą wektorów tego układu można utworzyć kombinację liniową równą wektorowi zerowemu i nie wszystkie współczynniki będą wynosić zero:

Zatem układ jest liniowo zależny.

Twierdzenie 3. Jeśli jakiś podukład układu wektorów jest liniowo zależny, to cały układ jest liniowo zależny.

Dowód. Dany jest układ wektorów. Załóżmy, że układ jest liniowo zależny, tj. są liczby Z 1 , Z 2 , …, Z R , nie wszystkie równe zero, tak że = . Następnie

Okazało się, że kombinacja liniowa wektorów całego układu jest równa , a nie wszystkie współczynniki tej kombinacji są równe zeru. W konsekwencji układ wektorów jest liniowo zależny.

Konsekwencja. Jeśli układ wektorów jest liniowo niezależny, to którykolwiek z jego podukładów jest również liniowo niezależny.

Dowód.

Załóżmy odwrotnie, tj. jakiś podsystem jest liniowo zależny. Z twierdzenia wynika, że ​​cały układ jest liniowo zależny. Doszliśmy do sprzeczności.

Twierdzenie 4 (Twierdzenie Steinitza). Jeśli każdy z wektorów jest liniową kombinacją wektorów i M>N, to układ wektorów jest liniowo zależny.

Konsekwencja. W dowolnym układzie n-wymiarowych wektorów nie może być więcej niż n liniowo niezależnych.

Dowód. Każdy N-wymiarowy wektor wyraża się jako liniową kombinację n wektorów jednostkowych. Dlatego jeśli system zawiera M wektory i M>N, to zgodnie z twierdzeniem układ ten jest liniowo zależny.

Funkcje są wywoływane liniowo niezależny, Jeśli

(dozwolona jest tylko trywialna liniowa kombinacja funkcji, która jest identyczna równa zero). W przeciwieństwie do liniowej niezależności wektorów, tutaj kombinacja liniowa jest identyczna z zerem, a nie równa. Jest to zrozumiałe, ponieważ dla dowolnej wartości argumentu musi być spełniona równość kombinacji liniowej do zera.

Funkcje są wywoływane liniowo zależny, jeśli istnieje niezerowy zbiór stałych (nie wszystkie stałe są równe zeru) taki, że (istnieje nietrywialna liniowa kombinacja funkcji identycznie równa zero).

Twierdzenie.Aby funkcje były liniowo zależne, konieczne i wystarczające jest, aby którakolwiek z nich była wyrażona liniowo przez pozostałe (przedstawiane jako ich kombinacja liniowa).

Udowodnij to twierdzenie samodzielnie; dowodzi się je w taki sam sposób, jak podobne twierdzenie o liniowej zależności wektorów.

Wyznacznik Wrońskiego.

Wyznacznik Wrońskiego dla funkcji wprowadza się jako wyznacznik, którego kolumny są pochodnymi tych funkcji od zera (same funkcje) do rzędu n-1.

.

Twierdzenie. Jeśli funkcje są wówczas liniowo zależne

Dowód. Ponieważ funkcje są liniowo zależne, wówczas którykolwiek z nich wyraża się liniowo przez pozostałe, na przykład

Tożsamość można różnicować, tzw

Następnie pierwsza kolumna wyznacznika Wrońskiego jest wyrażana liniowo przez pozostałe kolumny, więc wyznacznik Wrońskiego jest identycznie równy zero.

Twierdzenie.Aby rozwiązania liniowego jednorodnego równania różniczkowego n-tego rzędu były liniowo zależne, konieczne i wystarczające jest, aby.

Dowód. Konieczność wynika z poprzedniego twierdzenia.

Adekwatność. Ustalmy pewien punkt. Ponieważ , kolumny wyznacznika obliczonego w tym punkcie są wektorami liniowo zależnymi.

, że relacje są spełnione

Ponieważ jego rozwiązaniem jest liniowa kombinacja rozwiązań liniowego równania jednorodnego, możemy wprowadzić rozwiązanie postaci

Liniowa kombinacja rozwiązań o tych samych współczynnikach.

Należy zauważyć, że rozwiązanie to spełnia zerowe warunki początkowe, co wynika z zapisanego powyżej układu równań. Ale trywialne rozwiązanie liniowego równania jednorodnego również spełnia te same zerowe warunki początkowe. Zatem z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że ​​wprowadzone rozwiązanie jest identycznie równe rozwiązaniu trywialnemu, zatem

dlatego rozwiązania są liniowo zależne.

Konsekwencja.Jeżeli wyznacznik Wrońskiego zbudowany na rozwiązaniach liniowego równania jednorodnego zanika przynajmniej w jednym punkcie, to jest identycznie równy zeru.

Dowód. Jeśli , to rozwiązania są liniowo zależne, dlatego .

Twierdzenie.1. Dla liniowej zależności rozwiązań jest to konieczne i wystarczające(Lub ).

2. Dla liniowej niezależności rozwiązań jest to konieczne i wystarczające.

Dowód. Pierwsze stwierdzenie wynika z twierdzenia i wniosku udowodnionego powyżej. Drugie twierdzenie można łatwo udowodnić przez sprzeczność.

Niech rozwiązania będą liniowo niezależne. Jeśli , to rozwiązania są liniowo zależne. Sprzeczność. Stąd, .

Pozwalać . Jeżeli rozwiązania są liniowo zależne, to , stąd sprzeczność. Zatem rozwiązania są liniowo niezależne.

Konsekwencja.Zanik wyznacznika Wrońskiego przynajmniej w jednym punkcie jest kryterium liniowej zależności rozwiązań od liniowego równania jednorodnego.

Różnica między wyznacznikiem Wrońskiego a zerem jest kryterium liniowej niezależności rozwiązań liniowego równania jednorodnego.

Twierdzenie.Wymiar przestrzeni rozwiązań liniowego równania jednorodnego n-tego rzędu jest równy n.

Dowód.

a) Pokażmy, że istnieje n liniowo niezależnych rozwiązań liniowego jednorodnego równania różniczkowego n-tego rzędu. Rozważmy rozwiązania , spełniający następujące warunki początkowe:

...........................................................

Takie rozwiązania istnieją. Rzeczywiście, zgodnie z twierdzeniem Cauchy’ego, przez punkt przechodzi przez pojedynczą krzywą całkową – rozwiązanie. Przez punkt rozwiązanie przechodzi przez punkt

- rozwiązanie, przez punkt - rozwiązanie .

Rozwiązania te są liniowo niezależne, ponieważ .

b) Pokażmy, że każde rozwiązanie liniowego równania jednorodnego wyraża się liniowo poprzez te rozwiązania (jest ich kombinacją liniową).

Rozważmy dwa rozwiązania. Jeden - dowolne rozwiązanie z warunkami początkowymi . Uczciwy stosunek