Tabela prostych funkcji trygonometrycznych. Sinus, cosinus, tangens i cotangens – wszystko, co musisz wiedzieć o OGE i USE

Rozpoczniemy naukę trygonometrii od trójkąta prostokątnego. Zdefiniujmy, czym są sinus i cosinus oraz tangens i cotangens kąta ostrego. To są podstawy trygonometrii.

Przypomnijmy Ci to prosty kąt jest kątem równym 90 stopni. Innymi słowy, pół obrotu.

Ostry róg- mniej niż 90 stopni.

Kąt rozwarty- większy niż 90 stopni. W odniesieniu do takiego kąta „tępy” nie jest obelgą, ale terminem matematycznym :-)

Narysujmy trójkąt prostokątny. Kąt prosty jest zwykle oznaczany przez . Należy pamiętać, że strona przeciwna do rogu jest oznaczona tą samą literą, tylko małą. Zatem strona przeciwna do kąta A jest oznaczona .

Kąt jest oznaczony odpowiednią literą grecką.

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego to bok leżący naprzeciw kąta prostego.

Nogi- boki leżące naprzeciw kątów ostrych.

Nazywa się nogę leżącą naprzeciwko kąta naprzeciwko(w odniesieniu do kąta). Nazywa się drugą nogę, która leży po jednej stronie kąta przylegający.

Zatoka Kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:

Cosinus kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:

Tangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek przeciwnej strony do sąsiedniej:

Inna (równoważna) definicja: tangens kąta ostrego to stosunek sinusa kąta do jego cosinusa:

Cotangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniego boku do przeciwnego (lub, co jest takie samo, stosunek cosinusa do sinusa):

Zwróć uwagę na podstawowe zależności dla sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa poniżej. Przydadzą się nam przy rozwiązywaniu problemów.

Udowodnijmy niektóre z nich.

OK, podaliśmy definicje i spisaliśmy wzory. Ale po co nam jeszcze sinus, cosinus, tangens i cotangens?

Wiemy to suma kątów dowolnego trójkąta jest równa.

Znamy zależności pomiędzy imprezy trójkąt prostokątny. Jest to twierdzenie Pitagorasa: .

Okazuje się, że znając dwa kąty w trójkącie, można znaleźć trzeci. Znając dwa boki trójkąta prostokątnego, możesz znaleźć trzeci. Oznacza to, że kąty mają swój własny stosunek, a boki mają swój własny. Ale co zrobić, jeśli w trójkącie prostokątnym znasz jeden kąt (z wyjątkiem kąta prostego) i jeden bok, ale musisz znaleźć pozostałe boki?

Z tym właśnie spotykali się ludzie w przeszłości, tworząc mapy okolicy i gwiaździstego nieba. W końcu nie zawsze można bezpośrednio zmierzyć wszystkie boki trójkąta.

Sinus, cosinus i tangens - są również nazywane trygonometryczne funkcje kąta- podać relacje pomiędzy imprezy I rogi trójkąt. Znając kąt, możesz znaleźć wszystkie jego funkcje trygonometryczne za pomocą specjalnych tabel. A znając sinusy, cosinusy i styczne kątów trójkąta i jednego z jego boków, możesz znaleźć resztę.

Narysujemy także tabelę wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla „dobrych” kątów od do.

Zwróć uwagę na dwie czerwone kreski w tabeli. Przy odpowiednich wartościach kąta tangens i cotangens nie istnieją.

Przyjrzyjmy się kilku problemom trygonometrycznym z banku zadań FIPI.

1. W trójkącie kąt wynosi , . Znajdować .

Problem zostanie rozwiązany w cztery sekundy.

Ponieważ , .

2. W trójkącie kąt wynosi , , . Znajdować .

Znajdźmy to za pomocą twierdzenia Pitagorasa.

Problem jest rozwiązany.

Często w problemach występują trójkąty z kątami i/lub z kątami i. Zapamiętaj na pamięć podstawowe proporcje dla nich!

Dla trójkąta z kątami i nogą przeciwną kąt przy jest równy połowa przeciwprostokątnej.

Trójkąt mający kąty i jest równoramienny. W nim przeciwprostokątna jest razy większa niż noga.

Przyjrzeliśmy się problemom rozwiązywania trójkątów prostokątnych, czyli znajdowania nieznanych boków i kątów. Ale to nie wszystko! W Opcje ujednoliconego egzaminu stanowego w matematyce istnieje wiele problemów, w których pojawia się sinus, cosinus, tangens lub cotangens kąta zewnętrznego trójkąta. Więcej na ten temat w następnym artykule.

Dane referencyjne dla tangensu (tg x) i cotangensu (ctg x). Definicja geometryczna, właściwości, wykresy, wzory. Tabela stycznych i cotangensów, pochodnych, całek, rozwinięć szeregów. Wyrażenia poprzez zmienne zespolone. Powiązanie z funkcjami hiperbolicznymi.

Definicja geometryczna

|BD| - długość łuku okręgu o środku w punkcie A.
α to kąt wyrażony w radianach.

Styczna ( opalenizna α) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości przeciwnej nogi |BC| do długości sąsiedniej nogi |AB| .

Cotangens ( ctg α) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości sąsiedniej nogi |AB| do długości przeciwnej nogi |BC| .

Tangens

Gdzie N- cały.

W literaturze zachodniej tangens jest oznaczany w następujący sposób:
.
;
;
.

Wykres funkcji stycznej, y = tan x

Cotangens

Gdzie N- cały.

W literaturze zachodniej cotangens oznacza się w następujący sposób:
.
Akceptowane są także następujące oznaczenia:
;
;
.

Wykres funkcji cotangens, y = ctg x

Własności tangensa i cotangensa

Okresowość

Funkcje y = tg x i y = ctg x są okresowe z okresem π.

Parytet

Funkcje tangens i cotangens są nieparzyste.

Obszary definicji i wartości, rosnące, malejące

Funkcje styczne i cotangens są ciągłe w swojej dziedzinie definicji (patrz dowód ciągłości). Główne właściwości stycznej i cotangens przedstawiono w tabeli ( N- cały).

Formuły

Wyrażenia wykorzystujące sinus i cosinus

; ;
; ;
;

Wzory na tangens i cotangens z sumy i różnicy

Pozostałe wzory są łatwe do uzyskania np

Iloczyn stycznych

Wzór na sumę i różnicę stycznych

Ta tabela przedstawia wartości stycznych i cotangensów dla określonych wartości argumentu.

Wyrażenia wykorzystujące liczby zespolone

Wyrażenia poprzez funkcje hiperboliczne

;
;

Pochodne

; .

.
Pochodna n-tego rzędu po zmiennej x funkcji:
.
Wyprowadzanie wzorów na styczną > > > ; dla cotangens > > >

Całki

Rozszerzenia serii

Aby otrzymać rozwinięcie stycznej w potęgach x, należy przyjąć kilka wyrazów rozwinięcia szeregu potęgowego dla funkcji grzech x I bo x i podzielić te wielomiany przez siebie, . W ten sposób powstają następujące formuły.

Na .

Na .
Gdzie Bn- Liczby Bernoulliego. Wyznacza się je albo z relacji powtarzalności:
;
;
Gdzie .
Lub zgodnie ze wzorem Laplace'a:

Funkcje odwrotne

Funkcje odwrotne tangensa i cotangens to odpowiednio arcustangens i arccotangens.

Arcus tangens, arctg

, Gdzie N- cały.

Arccotangens, arcctg

, Gdzie N- cały.

Bibliografia:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów, „Lan”, 2009.
G. Korn, Podręcznik matematyki dla naukowców i inżynierów, 2012.

Ten artykuł zawiera tablice sinusów, cosinusów, stycznych i kotangentów. Najpierw podamy tabelę podstawowych wartości funkcje trygonometryczne, czyli tablica sinusów, cosinusów, stycznych i cotangensów kątów 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stopni ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). Następnie podamy tabelę sinusów i cosinusów, a także tabelę stycznych i cotangensów V. M. Bradisa i pokażemy, jak korzystać z tych tabel przy znajdowaniu wartości funkcji trygonometrycznych.

Nawigacja strony.

Tabela sinusów, cosinusów, stycznych i cotangensów dla kątów 0, 30, 45, 60, 90, ... stopni

Bibliografia.

• Algebra: Podręcznik dla 9 klasy. średnio szkoła/Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; wyd. S. A. Telyakovsky - M.: Edukacja, 1990. - 272 s.: chory - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. Algebra i początki analizy: Podręcznik. dla klas 10-11. średnio szkoła - wyd. 3. - M.: Edukacja, 1993. - 351 s.: il. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra i początek analizy: Proc. dla klas 10-11. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; wyd. A. N. Kołmogorowa - wyd. 14 - M.: Edukacja, 2004. - 384 s.: chory - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.
• Bradis V. M. Czterocyfrowe tablice matematyczne: dla edukacji ogólnej. podręcznik zakłady. - wyd. 2 - M.: Drop, 1999. - 96 s.: il. ISBN 5-7107-2667-2

1. Funkcje trygonometryczne są funkcjami elementarnymi, których argumentem jest narożnik. Funkcje trygonometryczne opisują zależności między bokami i kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym. Obszary zastosowań funkcji trygonometrycznych są niezwykle zróżnicowane. Na przykład dowolne procesy okresowe można przedstawić jako sumę funkcji trygonometrycznych (szereg Fouriera). Funkcje te często pojawiają się przy rozwiązywaniu równań różniczkowych i funkcyjnych.

2. Funkcje trygonometryczne obejmują 6 następujących funkcji: Zatoka, cosinus, tangens,cotangens, sieczna I współistniejące. Dla każdej z tych funkcji istnieje odwrotna funkcja trygonometryczna.

3. Wygodnie jest wprowadzić geometryczną definicję funkcji trygonometrycznych za pomocą okrąg jednostkowy. Poniższy rysunek przedstawia okrąg o promieniu r=1. Na okręgu zaznaczono punkt M(x,y). Kąt pomiędzy wektorem promienia OM a dodatnim kierunkiem osi Ox jest równy α.

4. Zatoka kąt α jest stosunkiem rzędnej y punktu M(x,y) do promienia r:
sinα=y/r.
Ponieważ r=1, to sinus jest równy rzędnej punktu M(x,y).

5. Cosinus kąt α jest stosunkiem odciętej x punktu M(x,y) do promienia r:
cosα=x/r

6. Tangens kąt α jest stosunkiem rzędnej y punktu M(x,y) do jego odciętej x:
tanα=y/x,x≠0

7. Cotangens kąt α jest stosunkiem odciętej x punktu M(x,y) do jego rzędnej y:
łóżeczkoα=x/y,y≠0

8. Sieczna kąt α jest stosunkiem promienia r do odciętej x punktu M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Cosekans kąt α jest stosunkiem promienia r do rzędnej y punktu M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. W okręgu jednostkowym rzuty x, y punktów M(x,y) i promień r tworzą trójkąt prostokątny, w gdzie x, y to nogi, a r to przeciwprostokątna. Dlatego powyższe definicje funkcji trygonometrycznych w odniesieniu do trójkąta prostokątnego są formułowane w następujący sposób:
Zatoka kąt α jest stosunkiem przeciwnej strony do przeciwprostokątnej.
Cosinus kąt α jest stosunkiem sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Tangens kąt α nazywany jest nogą przeciwną do sąsiedniej.
Cotangens kąt α nazywany jest stroną przylegającą do strony przeciwnej.
Sieczna kąt α jest stosunkiem przeciwprostokątnej do sąsiedniej nogi.
Cosekans kąt α jest stosunkiem przeciwprostokątnej do przeciwnej nogi.

11. Wykres funkcji sinus
y=sinx, dziedzina definicji: x∈R, zakres wartości: −1≤sinx≤1

12. Wykres funkcji cosinus
y=cosx, dziedzina: x∈R, zakres: −1≤cosx≤1

13. Wykres funkcji stycznej
y=tanx, zakres definicji: x∈R,x≠(2k+1)π/2, zakres wartości: −∞

14. Wykres funkcji cotangens
y=cotx, dziedzina: x∈R,x≠kπ, zakres: −∞

15. Wykres funkcji siecznej
y=secx, dziedzina: x∈R,x≠(2k+1)π/2, zakres: secx∈(−∞,−1]∪∪)