Podano podstawowe własności funkcji potęgowej, w tym wzory i własności pierwiastków. Przedstawiono pochodną, ​​całkę, rozwinięcie szeregu potęgowego i reprezentację funkcji potęgowej w liczbach zespolonych.

Definicja

Definicja
Funkcja potęgowa z wykładnikiem p jest funkcją f (x) = x str, którego wartość w punkcie x jest równa wartości funkcji wykładniczej o podstawie x w punkcie p.
Ponadto f (0) = 0 p = 0 dla p > 0 .

Dla naturalnych wartości wykładnika funkcja potęgi jest iloczynem n liczb równych x:
.
Jest zdefiniowany dla wszystkich ważnych plików .

Dla dodatnich wymiernych wartości wykładnika funkcja potęgi jest iloczynem n pierwiastków stopnia m liczby x:
.
W przypadku nieparzystego m jest ono zdefiniowane dla wszystkich rzeczywistych x. Dla parzystego m funkcję potęgową definiuje się dla nieujemnych.

Dla wartości ujemnych funkcję potęgową określa się ze wzoru:
.
Dlatego nie jest to w tym momencie określone.

W przypadku niewymiernych wartości wykładnika p funkcję potęgi określa się według wzoru:
,
gdzie a jest dowolną liczbą dodatnią, różną od jedności: .
Kiedy , jest zdefiniowany dla .
Kiedy funkcja mocy jest zdefiniowana dla .

Ciągłość. Funkcja potęgowa jest ciągła w swojej dziedzinie definicji.

Własności i wzory funkcji potęgowych dla x ≥ 0

Tutaj rozważymy właściwości funkcji potęgi dla nieujemnych wartości argumentu x. Jak wspomniano powyżej, dla pewnych wartości wykładnika p funkcję potęgi definiuje się również dla ujemnych wartości x. W tym przypadku jego właściwości można uzyskać z właściwości , używając parzystego lub nieparzystego. Przypadki te zostały szczegółowo omówione i zilustrowane na stronie „”.

Funkcja potęgi y = x p z wykładnikiem p ma następujące właściwości:
(1.1) zdefiniowane i ciągłe na planie
Na ,
Na ;
(1.2) ma wiele znaczeń
Na ,
Na ;
(1.3) ściśle wzrasta z ,
ściśle maleje jako ;
(1.4) Na ;
Na ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Dowód właściwości podano na stronie „Funkcja mocy (dowód ciągłości i właściwości)”

Pierwiastki - definicja, wzory, właściwości

Definicja
Pierwiastek liczby x stopnia n to liczba, która podniesiona do potęgi n daje x:
.
Tutaj n = 2, 3, 4, ... - liczba naturalna większa niż jeden.

Można również powiedzieć, że pierwiastek liczby x stopnia n jest pierwiastkiem (tj. rozwiązaniem) równania
.
Należy pamiętać, że funkcja jest odwrotnością funkcji.

Pierwiastek kwadratowy z x jest pierwiastkiem stopnia 2: .

Pierwiastek sześcienny z x jest pierwiastkiem stopnia 3: .

Nawet stopień

Dla parzystych potęg n = 2 m, pierwiastek jest zdefiniowany dla x ≥ 0 . Często używany wzór obowiązuje zarówno dla dodatniego, jak i ujemnego x:
.
Dla pierwiastka kwadratowego:
.

Ważna jest tutaj kolejność wykonywania operacji - czyli najpierw wykonuje się podniesienie do kwadratu, w wyniku czego powstaje liczba nieujemna, a następnie pobierany jest z niej pierwiastek (z liczba nieujemna może być usunięty Pierwiastek kwadratowy). Gdybyśmy zmienili kolejność: , to dla ujemnego x pierwiastek byłby niezdefiniowany, a wraz z nim całe wyrażenie byłoby niezdefiniowane.

Dziwny stopień

W przypadku potęg nieparzystych pierwiastek jest zdefiniowany dla wszystkich x:
;
.

Właściwości i wzory pierwiastków

Pierwiastek x jest funkcją potęgową:
.
Gdy x ≥ 0 obowiązują następujące formuły:
;
;
, ;
.

Wzory te można również zastosować do ujemnych wartości zmiennych. Trzeba się tylko upewnić, że radykalne wyrażenie parzystych potęg nie jest negatywne.

Wartości prywatne

Pierwiastkiem 0 jest 0: .
Pierwiastek 1 jest równy 1: .
Pierwiastek kwadratowy z 0 to 0: .
Pierwiastek kwadratowy z 1 to 1: .

Przykład. Korzeń korzeni

Spójrzmy na przykład pierwiastka kwadratowego z pierwiastków:
.
Przekształćmy wewnętrzny pierwiastek kwadratowy, korzystając z powyższych wzorów:
.
Teraz przekształćmy oryginalny korzeń:
.
Więc,
.

y = x p dla różnych wartości wykładnika p.

Oto wykresy funkcji dla nieujemnych wartości argumentu x. Wykresy funkcji potęgowej zdefiniowanej dla ujemnych wartości x podano na stronie „Funkcja potęgowa, jej właściwości i wykresy”

Funkcja odwrotna

Odwrotnością funkcji potęgowej o wykładniku p jest funkcja potęgująca o wykładniku 1/p.

Jeśli następnie.

Pochodna funkcji potęgowej

Pochodna n-tego rzędu:
;

Wyprowadzanie wzorów > > >

Całka funkcji potęgowej

P ≠ - 1 ;
.

Rozszerzanie szeregu potęgowego

Na - 1 < x < 1 następuje następujący rozkład:

Wyrażenia wykorzystujące liczby zespolone

Rozważ funkcję zmiennej zespolonej z:
F (z) = z t.
Wyraźmy zmienną zespoloną z za pomocą modułu r i argumentu φ (r = |z|):
z = r mi ja φ .
Liczba zespolona t będzie reprezentowane w postaci części rzeczywistych i urojonych:
t = p + ja q .
Mamy:

Następnie bierzemy pod uwagę, że argument φ nie jest jednoznacznie zdefiniowany:
,

Rozważmy przypadek, gdy q = 0 , czyli wykładnik jest liczbą rzeczywistą, t = p. Następnie
.

Jeśli p jest liczbą całkowitą, to kp jest liczbą całkowitą. Następnie, ze względu na okresowość funkcji trygonometrycznych:
.
To jest funkcja wykładnicza dla wykładnika całkowitego dla danego z ma tylko jedną wartość i dlatego jest jednoznaczny.

Jeśli p jest niewymierne, to iloczyny kp dla dowolnego k nie dają liczby całkowitej. Ponieważ k przebiega przez nieskończoną serię wartości k = 0, 1, 2, 3, ..., to funkcja z p ma nieskończenie wiele wartości. Ilekroć argument z jest zwiększany 2π(jeden obrót) przechodzimy do nowej gałęzi funkcji.

Jeśli p jest wymierne, to można je przedstawić jako:
, Gdzie m, rz- całe, niezawierające wspólne dzielniki. Następnie
.
Pierwsze n wartości, gdzie k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, dany różne znaczenia kp:
.
Jednak kolejne wartości podają wartości różniące się od poprzednich liczbą całkowitą. Na przykład, gdy k = k 0+n mamy:
.
Funkcje trygonometryczne, których argumenty różnią się wartościami będącymi wielokrotnościami 2π, mają równe wartości. Dlatego przy dalszym wzroście k otrzymujemy takie same wartości z p jak dla k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Zatem funkcja wykładnicza z wykładnikiem wymiernym jest wielowartościowa i ma n wartości (gałęzi). Ilekroć argument z jest zwiększany 2π(jeden obrót) przechodzimy do nowej gałęzi funkcji. Po n takich obrotach wracamy do pierwszej gałęzi, od której rozpoczęło się odliczanie.

W szczególności pierwiastek stopnia n ma n wartości. Jako przykład rozważmy n-ty pierwiastek rzeczywistej liczby dodatniej z = x. W tym przypadku φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Zatem dla pierwiastka kwadratowego n = 2 ,
.
Dla nawet k, (- 1 ) k = 1. Dla nieparzystego k, (- 1 ) k = - 1.
Oznacza to, że pierwiastek kwadratowy ma dwa znaczenia: + i -.

Bibliografia:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów, „Lan”, 2009.

Wyrażenia, konwersja wyrażeń

Wyrażenia potęgowe (wyrażenia z potęgami) i ich transformacja

W tym artykule porozmawiamy o konwersji wyrażeń na potęgi. Najpierw skupimy się na przekształceniach, które są wykonywane przy użyciu dowolnego rodzaju wyrażeń, w tym wyrażeń potęgowych, takich jak nawiasy otwierające i wprowadzające podobne terminy. Następnie przeanalizujemy przekształcenia właściwe wyrażeniom ze stopniami: praca z podstawą i wykładnikiem, wykorzystanie właściwości stopni itp.

Nawigacja strony.

Co to są wyrażenia mocy?

Termin „wyrażenia potęgowe” praktycznie nie pojawia się w szkolnych podręcznikach do matematyki, natomiast dość często pojawia się w zbiorach zadań, zwłaszcza tych przeznaczonych na przykład do przygotowania do egzaminu Unified State Exam i Unified State Exam. Po przeanalizowaniu zadań, w których konieczne jest wykonanie jakichkolwiek czynności z wyrażeniami potęgowymi, staje się jasne, że przez wyrażenia potęgowe rozumie się wyrażenia zawierające w swoich zapisach potęgi. Dlatego możesz przyjąć dla siebie następującą definicję:

Definicja.

Wyrażenia mocy są wyrażeniami zawierającymi potęgi.

Dajmy przykłady wyrażeń mocy. Ponadto przedstawimy je według tego, jak następuje rozwój poglądów na temat stopnia z wykładnikiem naturalnym do stopnia z wykładnikiem rzeczywistym.

Jak wiadomo, najpierw zapoznajemy się z potęgą liczby z wykładnikiem naturalnym, na tym etapie pierwsze najprostsze wyrażenia potęgowe typu 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 pojawia się −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.

Nieco później badana jest potęga liczby o wykładniku całkowitym, co prowadzi do pojawienia się wyrażeń potęgowych o ujemnych potęgach całkowitych, takich jak: 3 −2, , za -2 +2 b -3 + do 2 .

W szkole średniej wracają do stopni. Wprowadza się stopień z wykładnikiem wymiernym, co pociąga za sobą pojawienie się odpowiednich wyrażeń potęgowych: , , i tak dalej. Na koniec rozważane są stopnie z niewymiernymi wykładnikami i wyrażeniami je zawierającymi: , .

Sprawa nie ogranicza się do wymienionych wyrażeń potęgowych: dalej zmienna wnika w wykładnik i powstają np. wyrażenia: 2 x 2 +1 lub . A po zapoznaniu się z , zaczynają pojawiać się wyrażenia z potęgami i logarytmami, np. x 2·lgx −5·x lgx.

Zajęliśmy się więc pytaniem, co reprezentują wyrażenia potęgowe. Następnie nauczymy się je przekształcać.

Główne typy transformacji wyrażeń potęgowych

Za pomocą wyrażeń potęgowych można wykonać dowolne podstawowe przekształcenie tożsamości wyrażeń. Możesz na przykład otwierać nawiasy, zastępować wyrażenia liczbowe ich wartościami, dodawać podobne terminy itp. Oczywiście w tym przypadku konieczne jest przestrzeganie przyjętej procedury wykonywania działań. Podajmy przykłady.

Przykład.

Oblicz wartość wyrażenia na potęgę 2 3 ·(4 2 −12) .

Rozwiązanie.

Zgodnie z kolejnością wykonywania czynności, najpierw wykonaj czynności podane w nawiasach. Tam po pierwsze zastępujemy potęgę 4 2 jej wartością 16 (jeśli to konieczne, patrz), a po drugie obliczamy różnicę 16−12=4. Mamy 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

W otrzymanym wyrażeniu zastępujemy potęgę 2 3 jej wartością 8, po czym obliczamy iloczyn 8,4=32. To jest pożądana wartość.

Więc, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Odpowiedź:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Przykład.

Uprość wyrażenia za pomocą potęg 3 za 4 b -7 -1+2 za 4 b -7.

Rozwiązanie.

Oczywiście w wyrażeniu tym występują podobne terminy 3·a 4 ·b −7 i 2·a 4 ·b −7 i możemy je przedstawić: .

Odpowiedź:

3 za 4 b −7 −1+2 za 4 b −7 =5 za 4 b −7 −1.

Przykład.

Wyraź wyrażenie, używając mocy jako iloczynu.

Rozwiązanie.

Można sobie poradzić z zadaniem przedstawiając liczbę 9 jako potęgę 3 2, a następnie korzystając ze wzoru na skrócone mnożenie – różnicę kwadratów:

Odpowiedź:

Istnieje również wiele identycznych transformacji właściwych dla wyrażeń mocy. Przeanalizujemy je dalej.

Praca z bazą i wykładnikiem

Istnieją stopnie, których podstawa i/lub wykładnik to nie tylko liczby lub zmienne, ale niektóre wyrażenia. Jako przykład podajemy wpisy (2+0,3·7) 5−3,7 i (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Pracując z takimi wyrażeniami, można zastąpić zarówno wyrażenie w podstawie stopnia, jak i wyrażenie w wykładniku, identycznym wyrażeniem w ODZ jego zmiennych. Innymi słowy, zgodnie ze znanymi nam zasadami, możemy osobno przekształcić podstawę stopnia i osobno wykładnik. Oczywiste jest, że w wyniku tej transformacji otrzymane zostanie wyrażenie identycznie równe pierwotnemu.

Takie przekształcenia pozwalają nam uprościć wyrażenia za pomocą potęg lub osiągnąć inne potrzebne nam cele. Na przykład we wspomnianym powyżej wyrażeniu potęgowym (2+0,3 7) 5−3,7 można wykonać operacje na liczbach w podstawie i wykładniku, co pozwoli przejść do potęgi 4,1 1,3. A po otwarciu nawiasów i sprowadzeniu podobnych wyrazów do podstawy stopnia (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) otrzymujemy wyrażenie potęgowe prostszej formy a 2·(x+ 1) .

Korzystanie z właściwości stopnia

Jednym z głównych narzędzi przekształcania wyrażeń za pomocą potęg są równości odzwierciedlające . Przypomnijmy te główne. Dla każdego liczby dodatnie a i b oraz dowolne liczby rzeczywiste r i s, zachodzą następujące właściwości potęg:

• za r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Należy zauważyć, że w przypadku wykładników naturalnych, całkowitych i dodatnich ograniczenia dotyczące liczb aib mogą nie być tak rygorystyczne. Na przykład dla liczb naturalnych m i n równość a m ·a n =a m+n jest prawdziwa nie tylko dla dodatniego a, ale także dla ujemnego a i dla a=0.

W szkole przy przekształcaniu wyrażeń mocy główny nacisk kładzie się na umiejętność wyboru odpowiedniej właściwości i prawidłowego jej zastosowania. W tym przypadku podstawy stopni są zwykle dodatnie, co pozwala na nieograniczone korzystanie z właściwości stopni. To samo dotyczy transformacji wyrażeń zawierających zmienne w podstawach potęg - zakres dopuszczalnych wartości zmiennych jest zwykle taki, że podstawy przyjmują na nim tylko wartości dodatnie, co pozwala na swobodne korzystanie z właściwości potęg . Ogólnie rzecz biorąc, należy stale zadawać sobie pytanie, czy w tym przypadku można wykorzystać jakąkolwiek właściwość stopni, ponieważ nieprawidłowe wykorzystanie właściwości może prowadzić do zawężenia wartości edukacyjnej i innych problemów. Punkty te zostały szczegółowo omówione wraz z przykładami w artykule Transformacja wyrażeń z wykorzystaniem właściwości stopni. Tutaj ograniczymy się do rozważenia kilku prostych przykładów.

Przykład.

Wyraź wyrażenie a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 jako potęgę o podstawie a.

Rozwiązanie.

Najpierw przekształcamy drugi czynnik (a 2) −3, korzystając z właściwości podnoszenia potęgi do potęgi: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Oryginalne wyrażenie potęgi będzie miało postać a 2,5 ·a −6:a −5,5. Oczywiście pozostaje skorzystać z właściwości mnożenia i dzielenia potęg o tej samej podstawie, które mamy
a 2,5 ·a –6:a –5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Odpowiedź:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Właściwości potęg przy przekształcaniu wyrażeń potęgowych stosuje się zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej.

Przykład.

Znajdź wartość wyrażenia potęgowego.

Rozwiązanie.

Równość (a·b) r =a r ·br r, zastosowana od prawej do lewej, pozwala nam przejść od pierwotnego wyrażenia do iloczynu formy i dalej. A przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki sumują się: .

Pierwotne wyrażenie można było przekształcić w inny sposób:

Odpowiedź:

.

Przykład.

Mając wyrażenie na potęgę a 1,5 −a 0,5 −6, wprowadź nową zmienną t=a 0,5.

Rozwiązanie.

Stopień a 1,5 można przedstawić jako a 0,5 3, a następnie, bazując na własności stopnia do stopnia (a r) s = a r s, zastosowanego od prawej do lewej, przekształcić go do postaci (a 0,5) 3. Zatem, za 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Teraz łatwo jest wprowadzić nową zmienną t=a 0,5, otrzymujemy t 3 −t−6.

Odpowiedź:

t 3 −t−6 .

Zamiana ułamków zawierających potęgi

Wyrażenia potęgowe mogą zawierać lub reprezentować ułamki z potęgami. Wszelkie podstawowe przekształcenia ułamków właściwe dla ułamków dowolnego rodzaju mają pełne zastosowanie do takich ułamków. Oznacza to, że ułamki zawierające potęgi można zredukować, zredukować do nowego mianownika, oddzielnie pracować z ich licznikiem i oddzielnie z mianownikiem itp. Aby zilustrować te słowa, rozważ rozwiązania kilku przykładów.

Przykład.

Uprość wyrażanie mocy .

Rozwiązanie.

To wyrażenie potęgi jest ułamkiem. Popracujmy z jego licznikiem i mianownikiem. W liczniku otwieramy nawiasy i upraszczamy otrzymane wyrażenie wykorzystując właściwości potęg, a w mianowniku przedstawiamy podobne wyrazy:

Zmieńmy także znak mianownika, umieszczając minus przed ułamkiem: .

Odpowiedź:

.

Redukcja ułamków zawierających potęgi do nowego mianownika odbywa się analogicznie do redukcji ułamków wymiernych do nowego mianownika. W tym przypadku znajduje się również dodatkowy współczynnik i mnoży się przez niego licznik i mianownik ułamka. Wykonując tę ​​czynność warto pamiętać, że redukcja do nowego mianownika może prowadzić do zawężenia VA. Aby temu zapobiec, konieczne jest, aby dodatkowy współczynnik nie osiągnął zera dla żadnej wartości zmiennych ze zmiennych ODZ dla pierwotnego wyrażenia.

Przykład.

Skróć ułamki do nowego mianownika: a) do mianownika a, b) do mianownika.

Rozwiązanie.

a) W tym przypadku dość łatwo jest ustalić, który dodatkowy mnożnik pomaga osiągnąć pożądany rezultat. Jest to mnożnik 0,3, ponieważ a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Zauważmy, że w przedziale dopuszczalnych wartości zmiennej a (jest to zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych) potęga 0,3 nie zanika, zatem mamy prawo pomnożyć licznik i mianownik danej ułamek przez ten dodatkowy współczynnik:

b) Przyglądając się bliżej mianownikowi, przekonasz się, że

i pomnożenie tego wyrażenia przez da sumę kostek i , to znaczy . I to jest nowy mianownik, do którego musimy sprowadzić ułamek pierwotny.

W ten sposób znaleźliśmy dodatkowy czynnik. W zakresie dopuszczalnych wartości zmiennych x i y wyrażenie nie zanika, dlatego możemy pomnożyć przez niego licznik i mianownik ułamka:

Odpowiedź:

A) , B) .

Nie ma też nic nowego w redukcji ułamków zawierających potęgi: licznik i mianownik są reprezentowane jako liczba czynników, a te same współczynniki licznika i mianownika są redukowane.

Przykład.

Skróć ułamek: a) , B) .

Rozwiązanie.

a) Po pierwsze, licznik i mianownik można zmniejszyć o liczby 30 i 45, co równa się 15. Oczywiście możliwe jest również wykonanie redukcji o x 0,5 +1 i o . Oto co mamy:

b) W tym przypadku identyczne współczynniki w liczniku i mianowniku nie są od razu widoczne. Aby je uzyskać, będziesz musiał wykonać wstępne przekształcenia. W tym przypadku polegają one na rozłożeniu mianownika na czynniki ze wzoru na różnicę kwadratów:

Odpowiedź:

A)

B) .

Zamiana ułamków na nowy mianownik i ułamki redukujące są używane głównie do wykonywania czynności z ułamkami zwykłymi. Akcje wykonywane są według znanych zasad. Podczas dodawania (odejmowania) ułamków są one redukowane do wspólnego mianownika, po czym liczniki są dodawane (odejmowane), ale mianownik pozostaje taki sam. Wynikiem jest ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników. Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.

Przykład.

Wykonaj kroki .

Rozwiązanie.

Najpierw odejmujemy ułamki w nawiasach. Aby to zrobić, sprowadzamy je do wspólnego mianownika, jakim jest , po czym odejmujemy liczniki:

Teraz mnożymy ułamki:

Oczywiście możliwe jest zmniejszenie o potęgę x 1/2, po czym mamy .

Możesz także uprościć wyrażenie potęgi w mianowniku, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów: .

Odpowiedź:

Przykład.

Uprość wyrażenie mocy .

Rozwiązanie.

Oczywiście ułamek ten można zmniejszyć o (x 2,7 +1) 2, co daje ułamek . Jest oczywiste, że trzeba zrobić coś innego z potęgami X. Aby to zrobić, przekształcamy powstałą frakcję w produkt. Daje nam to możliwość wykorzystania własności dzielenia potęg o tych samych podstawach: . A na koniec procesu przechodzimy od ostatniego produktu do frakcji.

Odpowiedź:

.

Dodajmy jeszcze, że jest możliwe, a w wielu przypadkach pożądane, przeniesienie czynników o wykładnikach ujemnych z licznika do mianownika lub z mianownika do licznika, zmieniając znak wykładnika. Takie przekształcenia często ułatwiają dalsze działania. Na przykład wyrażenie potęgi można zastąpić przez .

Konwersja wyrażeń z pierwiastkami i potęgami

Często w wyrażeniach, w których wymagane są pewne przekształcenia, wraz z potęgami występują także pierwiastki z wykładnikami ułamkowymi. Aby przekształcić takie wyrażenie do pożądanej postaci, w większości przypadków wystarczy sięgnąć tylko do pierwiastków lub tylko do potęg. Ponieważ jednak wygodniej jest pracować z mocami, zwykle przechodzą od korzeni do mocy. Wskazane jest jednak wykonanie takiego przejścia w sytuacji, gdy ODZ zmiennych dla pierwotnego wyrażenia pozwala na zastąpienie pierwiastków potęgami bez konieczności odwoływania się do modułu lub dzielenia ODZ na kilka przedziałów (omawialiśmy to szczegółowo w przejście artykułu od pierwiastków do potęg i z powrotem Po zapoznaniu się ze stopniem o wykładniku wymiernym wprowadza się stopień z wykładnikiem niewymiernym, co pozwala nam mówić o stopniu z dowolnym wykładnikiem rzeczywistym.Na tym etapie szkoła zaczyna badanie funkcja wykładnicza, który analitycznie jest podawany przez potęgę, której podstawą jest liczba, a wykładnikiem jest zmienna. Mamy więc do czynienia z wyrażeniami potęgowymi zawierającymi liczby w podstawie potęgi, a w wykładniku – wyrażeniami ze zmiennymi i naturalnie pojawia się potrzeba przeprowadzenia przekształceń takich wyrażeń.

Należy powiedzieć, że przy rozwiązywaniu zwykle trzeba przeprowadzić transformację wyrażeń wskazanego typu równania wykładnicze I nierówności wykładnicze, a te konwersje są dość proste. W zdecydowanej większości przypadków opierają się one na właściwościach stopnia i w większości mają na celu wprowadzenie w przyszłości nowej zmiennej. Równanie pozwoli nam je wykazać 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Po pierwsze, potęgi, których wykładnikami jest suma określonej zmiennej (lub wyrażenia ze zmiennymi) i liczby, są zastępowane iloczynami. Dotyczy to pierwszego i ostatniego wyrazu wyrażenia po lewej stronie:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Następnie obie strony równości dzieli się przez wyrażenie 7 2 x, które na ODZ zmiennej x dla pierwotnego równania przyjmuje tylko wartości dodatnie (jest to standardowa technika rozwiązywania równań tego typu, nie jesteśmy teraz o tym mowa, więc skupmy się na kolejnych przekształceniach wyrażeń z potęgami):

Teraz możemy anulować ułamki z potęgami, co daje .

Na koniec stosunek potęg o tych samych wykładnikach zastępuje się potęgami relacji, w wyniku czego powstaje równanie , co jest równoważne . Dokonane przekształcenia pozwalają na wprowadzenie nowej zmiennej, która sprowadza rozwiązanie pierwotnego równania wykładniczego do rozwiązania równania kwadratowego

I. V. Bojkow, L. D. Romanowa Zbiór zadań przygotowujących do egzaminu Unified State Exam. Część 1. Penza 2003.

Pierwszy poziom

Stopień i jego właściwości. Kompleksowy przewodnik (2019)

Dlaczego potrzebne są stopnie naukowe? Gdzie będą potrzebne? Dlaczego warto poświęcić czas na ich przestudiowanie?

Aby dowiedzieć się wszystkiego o dyplomach, do czego są potrzebne i jak wykorzystać swoją wiedzę w życiu codziennym, przeczytaj ten artykuł.

I oczywiście znajomość stopni przybliży Cię do sukcesu mijając OGE lub Unified State Exam i przyjęcie na wymarzoną uczelnię.

Chodźmy, chodźmy!)

Ważna uwaga! Jeśli zamiast formuł widzisz Gobbledygook, wyczyść pamięć podręczną. Aby to zrobić, naciśnij CTRL+F5 (w systemie Windows) lub Cmd+R (na komputerze Mac).

PIERWSZY POZIOM

Potęgowanie to operacja matematyczna, taka sama jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie czy dzielenie.

Teraz wszystko wyjaśnię język ludzki bardzo proste przykłady. Bądź ostrożny. Przykłady są elementarne, ale wyjaśniają ważne rzeczy.

Zacznijmy od dodawania.

Nie ma tu nic do wyjaśniania. Wiesz już wszystko: jest nas ośmioro. Każdy ma dwie butelki coli. Ile jest tam coli? Zgadza się - 16 butelek.

Teraz mnożenie.

Ten sam przykład z colą można zapisać inaczej: . Matematycy to przebiegli i leniwi ludzie. Najpierw zauważają pewne wzorce, a następnie wymyślają sposób, aby je szybciej „policzyć”. W naszym przypadku zauważyli, że każda z ośmiu osób miała taką samą liczbę butelek coli i wymyślili technikę zwaną mnożeniem. Zgadzam się, jest to uważane za łatwiejsze i szybsze niż.

Aby więc liczyć szybciej, łatwiej i bez błędów, wystarczy pamiętać tabliczka mnożenia. Oczywiście wszystko można robić wolniej, trudniej i z błędami! Ale…

Oto tabliczka mnożenia. Powtarzać.

I jeszcze jeden, piękniejszy:

Jakie inne sprytne sztuczki z liczeniem wymyślają leniwi matematycy? Prawidłowy - podnoszenie liczby do potęgi.

Podnoszenie liczby do potęgi

Jeśli chcesz pomnożyć liczbę pięć razy, matematycy mówią, że musisz podnieść tę liczbę do potęgi piątej. Na przykład, . Matematycy pamiętają, że dwa do potęgi piątej to... A takie problemy rozwiązują w głowie – szybciej, łatwiej i bez błędów.

Wszystko, co musisz zrobić, to pamiętaj, co jest zaznaczone kolorem w tabeli potęg liczb. Uwierz mi, to znacznie ułatwi Ci życie.

Swoją drogą, dlaczego nazywa się to drugim stopniem? kwadrat liczby, a trzeci - sześcian? Co to znaczy? Bardzo dobre pytanie. Teraz będziesz mieć zarówno kwadraty, jak i sześciany.

Przykład z życia wzięty nr 1

Zacznijmy od kwadratu lub drugiej potęgi liczby.

Wyobraź sobie kwadratowy basen o wymiarach jeden metr na jeden metr. Basen jest na twojej daczy. Jest gorąco i bardzo chcę popływać. Ale... basen nie ma dna! Musisz przykryć dno basenu płytkami. Ile płytek potrzebujesz? Aby to ustalić, musisz znać dolny obszar basenu.

Możesz po prostu obliczyć, wskazując palcem, że dno basenu składa się z kostek metr po metrze. Jeśli masz płytki o wymiarach metr na metr, będziesz potrzebować kawałków. To proste... Tylko gdzie widziałeś takie płytki? Płytka najprawdopodobniej będzie miała wymiary cm na cm, a wtedy będziesz torturowany „liczeniem palcem”. Następnie musisz pomnożyć. Zatem po jednej stronie dna basenu ułożymy płytki (kawałki), a po drugiej także płytki. Pomnóż przez, a otrzymasz płytki ().

Czy zauważyłeś, że aby określić powierzchnię dna basenu, pomnożyliśmy tę samą liczbę przez siebie? Co to znaczy? Ponieważ mnożymy tę samą liczbę, możemy zastosować technikę „potęgowania”. (Oczywiście, gdy masz tylko dwie liczby, nadal musisz je pomnożyć lub podnieść do potęgi. Ale jeśli masz ich dużo, to podniesienie ich do potęgi jest znacznie łatwiejsze i jest też mniej błędów w obliczeniach W przypadku egzaminu Unified State Exam jest to bardzo ważne).
Zatem trzydzieści do potęgi drugiej będzie (). Albo możemy powiedzieć, że będzie to trzydzieści do kwadratu. Innymi słowy, drugą potęgę liczby zawsze można przedstawić w postaci kwadratu. I odwrotnie, jeśli widzisz kwadrat, ZAWSZE jest to druga potęga jakiejś liczby. Kwadrat jest obrazem drugiej potęgi liczby.

Przykład z życia wzięty nr 2

Oto zadanie dla Ciebie: policz, ile kwadratów jest na szachownicy, korzystając z kwadratu liczby... Po jednej stronie komórek i po drugiej. Aby obliczyć ich liczbę, należy pomnożyć osiem przez osiem lub... jeśli zauważysz, że szachownica to kwadrat z bokiem, to możesz podnieść do kwadratu osiem. Dostaniesz komórki. () Więc?

Przykład z życia wzięty nr 3

Teraz sześcian lub trzecia potęga liczby. Ten sam basen. Ale teraz musisz dowiedzieć się, ile wody trzeba będzie wlać do tego basenu. Musisz obliczyć objętość. (Nawiasem mówiąc, objętości i ciecze mierzy się w metrach sześciennych. Nieoczekiwane, prawda?) Narysuj basen: dno ma metr średnicy i metr głębokości i spróbuj policzyć, ile sześcianów o wymiarach metr na metr zmieści się pasuje do Twojego basenu.

Wystarczy wskazać palcem i liczyć! Raz, dwa, trzy, cztery... dwadzieścia dwa, dwadzieścia trzy... Ile dostałeś? Niestracony? Czy trudno jest liczyć na palcu? Aby! Weź przykład z matematyków. Są leniwi, więc zauważyli, że aby obliczyć objętość basenu, trzeba pomnożyć przez siebie jego długość, szerokość i wysokość. W naszym przypadku objętość basenu będzie równa kostkom... Łatwiej, prawda?

A teraz wyobraźcie sobie, jak leniwi i przebiegli są matematycy, gdyby to także uprościli. Sprowadziliśmy wszystko do jednej akcji. Zauważyli, że długość, szerokość i wysokość są równe i że ta sama liczba jest mnożona przez samą siebie... Co to oznacza? Oznacza to, że możesz skorzystać z dyplomu. Zatem to, co kiedyś liczyłeś palcem, robią w jednej akcji: trzy kostki są równe. Jest napisane tak: .

Jedyne co pozostaje to pamiętaj o tabeli stopni. Chyba że jesteś równie leniwy i przebiegły jak matematycy. Jeśli lubisz ciężko pracować i popełniać błędy, możesz dalej liczyć palcem.

Cóż, aby w końcu przekonać Cię, że stopnie naukowe zostały wymyślone przez rezygnujących i przebiegłych ludzi, aby rozwiązywać swoje problemy życiowe, a nie stwarzać problemy Tobie, oto jeszcze kilka przykładów z życia.

Przykład z życia wzięty nr 4

Masz milion rubli. Na początku każdego roku za każdy zarobiony milion zarabiasz kolejny milion. Oznacza to, że każdy milion, który masz, podwaja się na początku każdego roku. Ile pieniędzy będziesz mieć za lata? Jeśli teraz siedzisz i „liczysz palcem”, to jesteś osobą bardzo pracowitą i… głupią. Ale najprawdopodobniej dasz odpowiedź za kilka sekund, ponieważ jesteś mądry! A więc w pierwszym roku - dwa pomnożone przez dwa... w drugim roku - co się stało, przez kolejne dwa, w trzecim roku... Przestań! Zauważyłeś, że liczba jest mnożona przez samą siebie razy. Zatem dwa do potęgi piątej to milion! A teraz wyobraź sobie, że masz konkurencję i ten, kto najszybciej policzy, zgarnie te miliony... Warto pamiętać o sile liczb, nie sądzisz?

Przykład z życia wzięty nr 5

Masz milion. Na początku każdego roku za każdy zarobiony milion zarabiasz dwa dodatkowe. Świetnie, prawda? Każdy milion jest potrójny. Ile pieniędzy będziesz mieć za rok? Policzmy. Pierwszy rok - pomnóż przez, potem wynik przez kolejny... To już jest nudne, bo już wszystko zrozumiałeś: trzy mnoży się przez siebie razy. Zatem do potęgi czwartej jest to milion. Musisz tylko pamiętać, że trzy do potęgi czwartej to lub.

Teraz już wiesz, że podnosząc liczbę do potęgi, znacznie ułatwisz sobie życie. Przyjrzyjmy się bliżej, co możesz zrobić dzięki stopniom i co musisz o nich wiedzieć.

Terminy i pojęcia... żeby się nie pomylić

Najpierw zdefiniujmy pojęcia. Co myślisz, co to jest wykładnik? To bardzo proste – jest to liczba znajdująca się „na górze” potęgi liczby. Nie naukowe, ale jasne i łatwe do zapamiętania...

A jednocześnie co taka podstawa stopnia? Jeszcze prościej - jest to liczba znajdująca się poniżej, u podstawy.

Oto rysunek na dokładkę.

Cóż, w ogólna perspektywa, żeby uogólnić i lepiej zapamiętać... Stopień o podstawie „ ” i wykładniku „ ” czyta się jako „w stopniu” i zapisuje się w następujący sposób:

Potęga liczby z wykładnikiem naturalnym

Prawdopodobnie już zgadłeś: ponieważ wykładnik jest liczbą naturalną. Tak, ale co to jest Liczba naturalna? Podstawowy! Liczby naturalne to liczby używane do liczenia przy wymienianiu obiektów: jeden, dwa, trzy... Kiedy liczymy przedmioty, nie mówimy: „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem”. Nie mówimy też: „jedna trzecia” lub „przecinek zero”. To nie są liczby naturalne. Jak myślisz, jakie to liczby?

Liczby takie jak „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem” odnoszą się do wszystkie liczby. Ogólnie rzecz biorąc, liczby całkowite obejmują wszystkie liczby naturalne, liczby przeciwne liczbom naturalnym (to znaczy wzięte ze znakiem minus) i liczbę. Zero jest łatwe do zrozumienia – wtedy, gdy nie ma nic. Co oznaczają liczby ujemne („minus”)? Ale zostały wymyślone przede wszystkim po to, aby wskazać długi: jeśli masz saldo na telefonie w rublach, oznacza to, że jesteś winien operatorowi ruble.

Wszystkie ułamki są liczby wymierne. Jak powstały, jak myślisz? Bardzo prosta. Kilka tysięcy lat temu nasi przodkowie odkryli, że nie posiadali liczb naturalnych pozwalających zmierzyć długość, wagę, powierzchnię itp. I wymyślili liczby wymierne... Ciekawe, prawda?

Istnieją również liczby niewymierne. Co to za liczby? Krótko mówiąc, bez końca dziesiętny. Na przykład, jeśli podzielisz obwód koła przez jego średnicę, otrzymasz liczbę niewymierną.

Streszczenie:

Zdefiniujmy pojęcie stopnia, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tzn. całkowita i dodatnia).

1. Każda liczba do pierwszej potęgi jest równa sobie:
2. Podniesienie liczby do kwadratu oznacza pomnożenie jej przez samą siebie:
3. Poszerzyć liczbę do sześcianu oznacza pomnożyć ją przez samą siebie trzykrotnie:

Definicja. Podniesienie liczby do potęgi naturalnej oznacza pomnożenie liczby przez nią samą razy:
.

Właściwości stopni

Skąd wzięły się te nieruchomości? Pokażę ci teraz.

Zobaczmy: co to jest I ?

Priorytet A:

Ile jest w sumie mnożników?

To bardzo proste: dodaliśmy mnożniki do czynników i otrzymaliśmy mnożniki.

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli: , co należało udowodnić.

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie:

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie: Warto o tym pamiętać w naszej regule Koniecznie muszą być te same powody!
Dlatego łączymy moce z bazą, ale pozostaje to osobnym czynnikiem:

tylko dla iloczynu mocy!

W żadnym wypadku nie możesz tak pisać.

2. to wszystko potęga liczby

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Okazuje się, że wyrażenie mnoży się przez siebie razy, czyli zgodnie z definicją jest to potęga liczby:

Zasadniczo można to nazwać „wyjęciem wskaźnika z nawiasów”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w sumie:

Przypomnijmy sobie skrócone wzory na mnożenie: ile razy chcieliśmy pisać?

Ale to w końcu nieprawda.

Moc o podstawie ujemnej

Do tego momentu omawialiśmy jedynie, jaki powinien być wykładnik.

Ale co powinno być podstawą?

W uprawnieniach naturalny wskaźnik może być podstawa Jakikolwiek numer. Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolne liczby, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet.

Zastanówmy się, które znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba jest dodatnia czy ujemna? A? ? W przypadku pierwszego wszystko jest jasne: niezależnie od tego, ile liczb dodatnich pomnożymy przez siebie, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Pamiętamy prostą zasadę z szóstej klasy: „minus za minus daje plus”. To znaczy, lub. Ale jeśli pomnożymy przez, to zadziała.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Czy udało Ci się?

Oto odpowiedzi: Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak straszne, jak się wydaje: w końcu nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​​​wynik zawsze będzie dodatni.

No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Podstawa nie jest równa, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już takie proste!

6 przykładów do ćwiczenia

Analiza rozwiązania 6 przykładów

Jeśli zignorujemy potęgę ósmą, co tutaj zobaczymy? Przypomnijmy program dla klasy 7. Pamiętasz? To jest wzór na skrócone mnożenie, czyli różnicę kwadratów! Otrzymujemy:

Przyjrzyjmy się uważnie mianownikowi. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznikowych, ale co jest nie tak? Kolejność terminów jest niewłaściwa. Gdyby zostały odwrócone, zasada mogłaby mieć zastosowanie.

Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

W magiczny sposób terminy zmieniły miejsca. To „zjawisko” dotyczy w równym stopniu każdego wyrażenia: łatwo możemy zmienić znaki w nawiasach.

Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

Cały nazywamy liczby naturalne, ich przeciwieństwa (to znaczy wzięte ze znakiem „ ”) i liczbę.

Dodatnia liczba całkowita i nie różni się niczym od naturalnego, wtedy wszystko wygląda dokładnie tak, jak w poprzedniej sekcji.

Przyjrzyjmy się teraz nowym przypadkom. Zacznijmy od wskaźnika równego.

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden:

Jak zawsze zadajmy sobie pytanie: dlaczego tak jest?

Rozważmy pewien stopień z podstawą. Weźmy na przykład i pomnóżmy przez:

Więc pomnożyliśmy liczbę przez i otrzymaliśmy to samo, co było - . Przez jaką liczbę należy pomnożyć, aby nic się nie zmieniło? Zgadza się, dalej. Oznacza.

To samo możemy zrobić z dowolną liczbą:

Powtórzmy regułę:

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden.

Ale są wyjątki od wielu zasad. I tutaj też jest - to jest liczba (jako podstawa).

Z jednej strony musi być równy dowolnemu stopniowi - bez względu na to, ile pomnożysz zero przez samo, nadal otrzymasz zero, to jasne. Ale z drugiej strony, jak każda liczba do potęgi zerowej, musi być równa. Ile w tym prawdy? Matematycy postanowili się nie angażować i odmówili podniesienia zera do potęgi zerowej. Oznacza to, że teraz nie możemy nie tylko podzielić przez zero, ale także podnieść go do potęgi zerowej.

Przejdźmy dalej. Oprócz liczb naturalnych i liczb, liczby całkowite obejmują również liczby ujemne. Aby zrozumieć, czym jest potęga ujemna, zróbmy to samo, co ostatnim razem: pomnóż jakąś liczbę normalną przez tę samą liczbę do potęgi ujemnej:

Stąd łatwo jest wyrazić, czego szukasz:

Rozszerzmy teraz otrzymaną regułę w dowolnym stopniu:

Sformułujmy więc regułę:

Liczba o potędze ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby o potędze dodatniej. Ale w tym samym czasie Podstawa nie może mieć wartości null:(ponieważ nie można dzielić przez).

Podsumujmy:

I. Wyrażenie nie jest w tym przypadku zdefiniowane. Jeśli następnie.

II. Dowolna liczba do potęgi zerowej jest równa jeden: .

III. Liczba różna od zera do potęgi ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej: .

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Cóż, jak zwykle przykłady niezależnych rozwiązań:

Analiza problemów w celu samodzielnego rozwiązania:

Wiem, wiem, liczby przerażają, ale na Unified State Exam trzeba być przygotowanym na wszystko! Rozwiąż te przykłady lub przeanalizuj ich rozwiązania, jeśli nie mogłeś ich rozwiązać, a na egzaminie nauczysz się łatwo sobie z nimi radzić!

Kontynuujmy poszerzanie zakresu liczb „odpowiednich” jako wykładnik.

Teraz rozważmy liczby wymierne. Jakie liczby nazywamy wymiernymi?

Odpowiedź: wszystko, co można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi, i.

Aby zrozumieć, co to jest „stopień ułamkowy”, rozważ ułamek:

Podnieśmy obie strony równania do potęgi:

Przypomnijmy sobie teraz zasadę dot „stopień do stopnia”:

Jaką liczbę należy podnieść do potęgi, aby otrzymać?

To sformułowanie jest definicją pierwiastka stopnia VII.

Przypomnę: pierwiastek z potęgi liczby () to liczba, która podniesiona do potęgi jest równa.

Oznacza to, że pierwiastkiem potęgi th jest odwrotna operacja podniesienia do potęgi: .

Okazało się, że. Oczywiście ten szczególny przypadek można rozszerzyć: .

Teraz dodajemy licznik: co to jest? Odpowiedź jest łatwa do uzyskania, korzystając z reguły mocy do potęgi:

Ale czy podstawa może być dowolną liczbą? W końcu nie można wyodrębnić pierwiastka ze wszystkich liczb.

Nic!

Pamiętajmy o zasadzie: każda liczba podniesiona do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią. Oznacza to, że nie da się wyodrębnić pierwiastków parzystych z liczb ujemnych!

Oznacza to, że takich liczb nie można podnieść do potęgi ułamkowej o parzystym mianowniku, to znaczy wyrażenie nie ma sensu.

A co z wyrażeniem?

Ale tutaj pojawia się problem.

Liczbę można przedstawić w postaci innych, redukowalnych ułamków, na przykład lub.

I okazuje się, że istnieje, ale nie istnieje, ale to tylko dwa różne zapisy o tej samej liczbie.

Albo inny przykład: raz, potem możesz to zapisać. Jeśli jednak zapiszemy wskaźnik inaczej, znów wpadniemy w kłopoty: (czyli otrzymaliśmy zupełnie inny wynik!).

Aby uniknąć takich paradoksów, zastanawiamy się tylko dodatni wykładnik podstawowy z wykładnikiem ułamkowym.

Więc jeśli:

• - Liczba naturalna;
• - liczba całkowita;

Przykłady:

Wymierne wykładniki są bardzo przydatne do przekształcania wyrażeń z pierwiastkami, na przykład:

5 przykładów do przećwiczenia

Analiza 5 przykładów do szkolenia

Cóż, teraz najtrudniejsza część. Teraz się o tym przekonamy stopień z niewymiernym wykładnikiem.

Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same, jak w przypadku stopnia z wymiernym wykładnikiem, z wyjątkiem

Przecież z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, gdzie i są liczbami całkowitymi (tzn. wszystkie liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem wymiernych).

Badając stopnie z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi i wymiernymi, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach.

Na przykład stopień z wykładnikiem naturalnym to liczba pomnożona przez siebie kilka razy;

...liczbę do potęgi zerowej- jest to jakby liczba pomnożona raz przez siebie, to znaczy nie zaczęli jej jeszcze mnożyć, co oznacza, że ​​​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła - dlatego wynikiem jest tylko pewna „pusta liczba” , czyli liczba;

...stopień ujemnej liczby całkowitej- to tak, jakby nastąpił jakiś „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Nawiasem mówiąc, w nauce często stosuje się stopień ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą.

Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach; będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

GDZIE JESTEŚMY NA PEWNO, ŻE DOJEDZIESZ! (jeśli nauczysz się rozwiązywać takie przykłady :))

Na przykład:

Zdecyduj sam:

Analiza rozwiązań:

1. Zacznijmy od reguły podnoszenia potęgi do potęgi, która jest już dla nas zwyczajna:

Teraz spójrz na wskaźnik. Czy on ci niczego nie przypomina? Przypomnijmy sobie wzór na skrócone mnożenie różnicy kwadratów:

W tym przypadku,

Okazało się, że:

Odpowiedź: .

2. Ułamki zwykłe w wykładnikach redukujemy do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy na przykład:

Odpowiedź: 16

3. Nic specjalnego, używamy zwykłych właściwości stopni:

POZIOM ZAAWANSOWANY

Określenie stopnia

Stopień jest wyrażeniem postaci: , gdzie:

• — podstawa stopnia;
• - wykładnik.

Stopień ze wskaźnikiem naturalnym (n = 1, 2, 3,...)

Podniesienie liczby do potęgi naturalnej n oznacza pomnożenie liczby przez nią samą razy:

Stopień z wykładnikiem całkowitym (0, ±1, ±2,...)

Jeśli wykładnik jest Dodatnia liczba całkowita numer:

Budowa do stopnia zerowego:

Wyrażenie jest nieokreślone, ponieważ z jednej strony w dowolnym stopniu jest to, a z drugiej strony dowolna liczba do th stopnia jest tym.

Jeśli wykładnik jest ujemna liczba całkowita numer:

(ponieważ nie można dzielić przez).

Jeszcze raz o zerach: wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.

Przykłady:

Potęga z wykładnikiem wymiernym

• - Liczba naturalna;
• - liczba całkowita;

Przykłady:

Właściwości stopni

Aby ułatwić rozwiązywanie problemów, spróbujmy zrozumieć: skąd wzięły się te właściwości? Udowodnijmy je.

Zobaczmy: co jest i?

Priorytet A:

Zatem po prawej stronie tego wyrażenia otrzymujemy następujący iloczyn:

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli:

co było do okazania

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : .

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : Ważne jest, aby pamiętać, że w naszej regule Koniecznie muszą być te same powody. Dlatego łączymy moce z bazą, ale pozostaje to osobnym czynnikiem:

Kolejna ważna uwaga: ta zasada - tylko dla iloczynu mocy!

W żadnym wypadku nie możesz tak pisać.

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Przegrupujmy tę pracę w następujący sposób:

Okazuje się, że wyrażenie mnoży się przez siebie razy, czyli zgodnie z definicją jest to potęga liczby:

Zasadniczo można to nazwać „wyjęciem wskaźnika z nawiasów”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w całości: !

Przypomnijmy sobie skrócone wzory na mnożenie: ile razy chcieliśmy pisać? Ale to w końcu nieprawda.

Moc o podstawie ujemnej.

Do tego momentu omawialiśmy jedynie, jak to powinno wyglądać indeks stopni. Ale co powinno być podstawą? W uprawnieniach naturalny wskaźnik może być podstawa Jakikolwiek numer .

Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolne liczby, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet. Zastanówmy się, które znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba jest dodatnia czy ujemna? A? ?

W przypadku pierwszego wszystko jest jasne: niezależnie od tego, ile liczb dodatnich pomnożymy przez siebie, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Pamiętamy prostą zasadę z szóstej klasy: „minus za minus daje plus”. To znaczy, lub. Ale jeśli pomnożymy przez (), otrzymamy - .

I tak w nieskończoność: przy każdym kolejnym mnożeniu znak będzie się zmieniał. Możemy sformułować co następuje proste zasady:

1. nawet stopień, - liczba pozytywny.
2. Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
3. Liczba dodatnia w jakimkolwiek stopniu jest liczbą dodatnią.
4. Zero do dowolnej potęgi jest równe zero.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Czy udało Ci się? Oto odpowiedzi:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak straszne, jak się wydaje: w końcu nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​​​wynik zawsze będzie dodatni. No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Podstawa nie jest równa, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już takie proste. Tutaj musisz dowiedzieć się, co jest mniejsze: lub? Jeśli o tym pamiętamy, staje się jasne, co oznacza, że ​​podstawa jest mniejsza od zera. Oznacza to, że stosujemy zasadę 2: wynik będzie ujemny.

I znowu używamy definicji stopnia:

Wszystko jest jak zwykle - zapisujemy definicję stopni i dzielimy je między sobą, dzielimy na pary i otrzymujemy:

Zanim przyjrzymy się ostatniej regule, rozwiążmy kilka przykładów.

Oblicz wyrażenia:

Rozwiązania :

Jeśli zignorujemy potęgę ósmą, co tutaj zobaczymy? Przypomnijmy program dla klasy 7. Pamiętasz? To jest wzór na skrócone mnożenie, czyli różnicę kwadratów!

Otrzymujemy:

Przyjrzyjmy się uważnie mianownikowi. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznikowych, ale co jest nie tak? Kolejność terminów jest niewłaściwa. Jeżeli zostałyby odwrócone, zastosowanie miałaby zasada 3. Ale jak? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

Jeśli pomnożysz to przez, nic się nie zmieni, prawda? Ale teraz okazuje się, że jest tak:

W magiczny sposób terminy zmieniły miejsca. To „zjawisko” dotyczy w równym stopniu każdego wyrażenia: łatwo możemy zmienić znaki w nawiasach. Ale ważne jest, aby pamiętać: Wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie! Nie da się tego zastąpić, zmieniając tylko jedną wadę, która nam się nie podoba!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

A teraz ostatnia zasada:

Jak to udowodnimy? Oczywiście jak zwykle: rozwińmy pojęcie stopnia i uprośćmy je:

Cóż, teraz otwórzmy nawiasy. Ile jest razem liter? razy przez mnożniki – o czym ci to przypomina? To nic innego jak definicja operacji mnożenie: Były tam tylko mnożniki. Oznacza to, że z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem:

Przykład:

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

Oprócz informacji o stopniach dla poziomu średniego przeanalizujemy stopień z irracjonalnym wykładnikiem. Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same, jak w przypadku stopnia z wymiernym wykładnikiem, z wyjątkiem - wszak z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka, gdzie i są liczbami całkowitymi (czyli , liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem liczb wymiernych).

Badając stopnie z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi i wymiernymi, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach. Na przykład stopień z wykładnikiem naturalnym to liczba pomnożona przez siebie kilka razy; liczba do potęgi zerowej jest jakby liczbą pomnożoną raz przez siebie, to znaczy nie zaczęli jej jeszcze mnożyć, co oznacza, że ​​​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła - dlatego wynik jest tylko pewnym „pusta liczba”, czyli liczba; stopień z wykładnikiem całkowitym ujemnym - to tak, jakby nastąpił jakiś „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Niezwykle trudno jest wyobrazić sobie stopień z irracjonalnym wykładnikiem (tak jak trudno wyobrazić sobie przestrzeń 4-wymiarową). Jest to raczej obiekt czysto matematyczny, który matematycy stworzyli, aby rozszerzyć pojęcie stopnia na całą przestrzeń liczb.

Nawiasem mówiąc, w nauce często stosuje się stopień ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą. Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach; będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

Co więc zrobimy, jeśli zobaczymy irracjonalny wykładnik? Robimy wszystko, żeby się tego pozbyć! :)

Na przykład:

Zdecyduj sam:

1)

2)

3)

Odpowiedzi:

1. Pamiętajmy o różnicy we wzorze kwadratów. Odpowiedź: .
2. Sprowadzamy ułamki zwykłe do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy np.: .
3. Nic specjalnego, używamy zwykłych właściwości stopni:

PODSUMOWANIE ROZDZIAŁU I PODSTAWOWE WZORY

Stopień zwane wyrażeniem postaci: , gdzie:

Stopień z wykładnikiem całkowitym

stopień, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tj. liczba całkowita i dodatnia).

Potęga z wykładnikiem wymiernym

stopień, którego wykładnikiem są liczby ujemne i ułamkowe.

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

stopień, którego wykładnikiem jest nieskończony ułamek dziesiętny lub pierwiastek.

Właściwości stopni

Cechy stopni.

• Liczba ujemna podniesiona do nawet stopień, - liczba pozytywny.
• Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
• Liczba dodatnia w jakimkolwiek stopniu jest liczbą dodatnią.
• Zero jest równe dowolnej potędze.
• Każda liczba do potęgi zerowej jest równa.

TERAZ MASZ SŁOWO...

Jak podoba Ci się artykuł? Napisz poniżej w komentarzu, czy Ci się podobało, czy nie.

Opowiedz nam o swoich doświadczeniach z używaniem właściwości stopnia.

Być może masz pytania. Lub sugestie.

Napisz w komentarzach.

I powodzenia na egzaminach!

Raz zdeterminowany stopień, logicznie jest o tym rozmawiać właściwości stopnia. W tym artykule podamy podstawowe właściwości potęgi liczby, dotykając wszystkich możliwych wykładników. Tutaj przedstawimy dowody wszystkich właściwości stopni, a także pokażemy, jak te właściwości są wykorzystywane przy rozwiązywaniu przykładów.

Nawigacja strony.

Własności stopni z wykładnikami naturalnymi

Przez wyznaczanie stopnia z wykładnikiem naturalnym potęga n jest iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a . W oparciu o tę definicję, a także za pomocą własności mnożenia liczb rzeczywistych, możemy uzyskać i uzasadnić, co następuje własności stopnia z wykładnikiem naturalnym:

1. główna właściwość stopnia a m ·a n =a m+n, jej uogólnienie;
2. własność ilorazu potęg o jednakowych podstawach a m:a n =a m−n ;
3. iloczyn mocy (a·b) n =a n ·b n , jego rozszerzenie;
4. właściwość ilorazu stopnia naturalnego (a:b) n =a n:b n ;
5. podniesienie stopnia do potęgi (a m) n =a m·n, jego uogólnienie (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. porównanie stopnia z zerem:
   • jeśli a>0, to a n>0 dla dowolnej liczby naturalnej n;
   • jeśli a=0, to n=0;
   • Jeśli<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 jeśli<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. jeśli a i b są liczbami dodatnimi oraz a
8. jeśli m i n są liczbami naturalnymi, takimi jak m>n, to przy 0 0 nierówność a m >a n jest prawdziwa.

Zauważmy od razu, że wszystkie zapisane równości są identyczny pod warunkiem spełnienia określonych warunków, możliwa jest zamiana ich prawej i lewej części. Na przykład główna właściwość ułamka a m ·a n =a m+n z upraszczanie wyrażeń często używane w formie a m+n =a m ·a n .

Przyjrzyjmy się teraz szczegółowo każdemu z nich.

Zacznijmy od własności iloczynu dwóch potęg o tych samych podstawach, która nazywa się główna właściwość stopnia: dla dowolnej liczby rzeczywistej a oraz dowolnych liczb naturalnych m i n, prawdziwa jest równość a m ·a n =a m+n.

Udowodnimy główną właściwość stopnia. Z definicji potęgi o wykładniku naturalnym iloczyn potęg o tych samych podstawach postaci a m·a n można zapisać jako iloczyn. Ze względu na właściwości mnożenia powstałe wyrażenie można zapisać jako , a ten iloczyn jest potęgą liczby a z wykładnikiem naturalnym m+n, czyli a m+n. To kończy dowód.

Podajmy przykład potwierdzający główną właściwość stopnia. Weźmy stopnie o tej samej podstawie 2 i potęgach naturalnych 2 i 3, korzystając z podstawowej własności stopni, możemy zapisać równość 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Sprawdźmy jego ważność, obliczając wartości wyrażeń 2 2 · 2 3 i 2 5 . Przeprowadzanie potęgowanie, mamy 2 2 ·2 3 =(2,2)·(2,2,2)=4,8=32 i 2 5 =2·2·2·2·2=32, ponieważ uzyskuje się równe wartości, to równość 2 2 ·2 3 =2 5 jest poprawna i potwierdza główną właściwość stopnia.

Podstawową właściwość stopnia, opartą na właściwościach mnożenia, można uogólnić na iloczyn trzech lub więcej potęg o tych samych podstawach i wykładnikach naturalnych. Zatem dla dowolnej liczby k liczb naturalnych n 1, n 2, …, n k prawdziwa jest równość: za n 1 ·a n 2 ·…·a n k =za n 1 +n 2 +…+n k.

Na przykład, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Możemy przejść do kolejnej własności potęg z wykładnikiem naturalnym – własność ilorazu potęg o tych samych podstawach: dla dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej a oraz dowolnych liczb naturalnych m i n spełniających warunek m>n, prawdziwa jest równość a m:a n =a m−n.

Zanim przedstawimy dowód tej własności, omówmy znaczenie dodatkowych warunków w sformułowaniu. Warunek a≠0 jest konieczny, aby uniknąć dzielenia przez zero, gdyż 0 n =0, a kiedy zapoznaliśmy się z dzieleniem, zgodziliśmy się, że nie można dzielić przez zero. Warunek m>n zostaje wprowadzony, abyśmy nie wykraczali poza wykładniki naturalne. Rzeczywiście, dla m>n wykładnik a m−n jest liczbą naturalną, w przeciwnym razie będzie to albo zero (co dzieje się dla m−n ), albo liczba ujemna (co zdarza się dla m

Dowód. Główna właściwość ułamka pozwala nam zapisać równość a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Z otrzymanej równości a m−n ·a n =a m i wynika, że ​​a m−n jest ilorazem potęg a m i an . Dowodzi to własności ilorazów o identycznych podstawach.

Podajmy przykład. Weźmy dwa stopnie o tych samych podstawach π i wykładnikach naturalnych 5 i 2, równość π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 odpowiada rozważanej właściwości stopnia.

Teraz rozważmy właściwość mocy produktu: naturalna potęga n iloczynu dowolnych dwóch liczb rzeczywistych a i b jest równa iloczynowi potęg a n i b n , czyli (a·b) n =a n ·b n .

Rzeczywiście, z definicji stopnia z wykładnikiem naturalnym mamy . W oparciu o właściwości mnożenia ostatni iloczyn można przepisać jako , co jest równe a n · b n .

Oto przykład: .

Właściwość ta rozciąga się na potęgę iloczynu trzech lub więcej czynników. Oznacza to, że właściwość stopnia naturalnego n iloczynu k czynników jest zapisana jako (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·ak k n.

Dla przejrzystości pokażemy tę właściwość na przykładzie. Dla iloczynu trzech czynników do potęgi 7 mamy .

Następna właściwość to właściwość ilorazu w naturze: iloraz liczb rzeczywistych aib, b≠0 do potęgi naturalnej n jest równy ilorazowi potęg a n i b n, czyli (a:b) n =a n:b n.

Dowód można przeprowadzić wykorzystując poprzednią własność. Więc (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, a z równości (a:b) n ·b n =a n wynika, że ​​(a:b) n jest ilorazem a n podzielonym przez b n .

Zapiszmy tę właściwość na przykładzie konkretnych liczb: .

Teraz zabierzmy głos właściwość podnoszenia potęgi do potęgi: dla dowolnej liczby rzeczywistej a oraz dowolnych liczb naturalnych m i n potęga a m do potęgi n jest równa potędze liczby a z wykładnikiem m·n, czyli (a m) n =a m·n.

Na przykład (5 2) 3 =5 2.3 =5 6.

Dowodem własności potęgi do stopnia jest następujący ciąg równości: .

Rozważaną właściwość można rozszerzyć o stopień na stopień na stopień itp. Na przykład dla dowolnych liczb naturalnych p, q, r i s równość . Dla większej przejrzystości oto przykład z konkretnymi liczbami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Pozostaje zastanowić się nad właściwościami porównywania stopni z naturalnym wykładnikiem.

Zacznijmy od udowodnienia właściwości porównywania zera i potęgi z wykładnikiem naturalnym.

Najpierw udowodnijmy, że a n > 0 dla dowolnego a > 0.

Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, jak wynika z definicji mnożenia. Fakt ten oraz właściwości mnożenia sugerują, że wynik mnożenia dowolnej liczby liczb dodatnich również będzie liczbą dodatnią. A potęga liczby a z wykładnikiem naturalnym n jest z definicji iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a. Argumenty te pozwalają nam stwierdzić, że dla dowolnej podstawy dodatniej a stopień a n jest liczbą dodatnią. Ze względu na sprawdzoną właściwość 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 i .

Jest całkiem oczywiste, że dla dowolnej liczby naturalnej n z a=0 stopień n wynosi zero. Rzeczywiście, 0 n =0·0·…·0=0 . Na przykład 0 3 =0 i 0 762 =0.

Przejdźmy do ujemnych podstaw stopnia.

Zacznijmy od przypadku, gdy wykładnik jest liczbą parzystą, oznaczmy go jako 2·m, gdzie m jest liczbą naturalną. Następnie . Dla każdego z iloczynów postaci a·a jest równy iloczynowi modułów liczb a i a, czyli jest liczbą dodatnią. Dlatego produkt będzie również pozytywny i stopień a 2·m. Podajmy przykłady: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .

Wreszcie, gdy podstawa a jest liczbą ujemną, a wykładnik jest liczbą nieparzystą, to 2 m−1 . Wszystkie iloczyny a·a są liczbami dodatnimi, iloczyn tych liczb dodatnich jest również dodatni, a jego pomnożenie przez pozostałą liczbę ujemną a daje liczbę ujemną. Ze względu na tę właściwość (-5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Przejdźmy do własności porównywania potęg o tych samych wykładnikach naturalnych, która ma następujące sformułowanie: z dwóch potęg o takich samych wykładnikach naturalnych n jest mniejsze od tej, której podstawa jest mniejsza, a większe to ta, której podstawa jest większa . Udowodnijmy to.

Nierówność n własności nierówności możliwa do udowodnienia nierówność postaci a n jest również prawdziwa .

Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych własności potęg o wykładnikach naturalnych. Sformułujmy to. Z dwóch potęg o wykładnikach naturalnych i identycznych podstawach dodatnich mniejszych niż jeden, większa jest ta, której wykładnik jest mniejszy; a z dwóch potęg o wykładnikach naturalnych i identycznych podstawach większych niż jeden, większa jest ta, której wykładnik jest większy. Przejdźmy do dowodu tej własności.

Udowodnimy to dla m>n i 0 0 ze względu na warunek początkowy m>n, co oznacza, że ​​przy 0

Pozostaje udowodnić drugą część własności. Udowodnimy, że dla m>n i a>1 a m >a n jest prawdziwe. Różnica a m −a n po usunięciu n z nawiasów przyjmuje postać a n·(a m−n −1) . Iloczyn ten jest dodatni, gdyż dla a>1 stopień a n jest liczbą dodatnią, a różnica a m−n −1 jest liczbą dodatnią, gdyż m−n>0 wynika z warunku początkowego, a dla a>1 stopień a m-n jest większe niż jeden. W konsekwencji a m −a n >0 i a m >a n , co należało udowodnić. Własność tę ilustruje nierówność 3 7 >3 2.

Własności potęg o wykładnikach całkowitych

Ponieważ dodatnie liczby całkowite są liczbami naturalnymi, to wszystkie właściwości potęg o dodatnich wykładnikach całkowitych pokrywają się dokładnie z właściwościami potęg o wykładnikach naturalnych, wymienionymi i udowodnionymi w poprzednim akapicie.

Potęga z ujemnym wykładnikiem całkowitym, a także stopień o wykładniku zerowym, zdefiniowaliśmy w ten sposób, że wszystkie właściwości stopni o wykładnikach naturalnych, wyrażonych równościami, pozostały aktualne. Dlatego wszystkie te właściwości obowiązują zarówno dla wykładników zerowych, jak i wykładników ujemnych, chociaż oczywiście podstawy potęg są różne od zera.

Zatem dla dowolnych liczb rzeczywistych i niezerowych aib, a także dowolnych liczb całkowitych m i n, spełnione są następujące warunki: własności potęg o wykładnikach całkowitych:

1. za m · za n = a m+n ;
2. za m:a n =a m−n;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. jeśli n jest dodatnią liczbą całkowitą, aib są liczbami dodatnimi, oraz a b-n;
7. jeśli m i n są liczbami całkowitymi i m>n, to przy 0 1 zachodzi nierówność a m >a n.

Gdy a=0, potęgi am i an mają sens tylko wtedy, gdy zarówno m, jak i n są dodatnimi liczbami całkowitymi, to znaczy liczbami naturalnymi. Zatem zapisane właśnie właściwości obowiązują również w przypadkach, gdy a = 0, a liczby m i n są dodatnimi liczbami całkowitymi.

Udowodnienie każdej z tych własności nie jest trudne, wystarczy w tym celu posłużyć się definicjami stopni o wykładnikach naturalnych i całkowitych oraz własnościami operacji na liczbach rzeczywistych. Jako przykład udowodnijmy, że właściwość potęgi do potęgi obowiązuje zarówno dla dodatnich, jak i niedodatnich liczb całkowitych. Aby to zrobić, trzeba pokazać, że jeśli p wynosi zero lub liczbę naturalną, a q wynosi zero lub liczbę naturalną, to równości (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) i (a −p) −q =a (−p)·(−q). Zróbmy to.

Dla dodatnich p i q w poprzednim akapicie udowodniono równość (a p) q =a p·q. Jeśli p=0, to mamy (a 0) q =1 q =1 i a 0·q =a 0 =1, skąd (a 0) q =a 0·q. Podobnie, jeśli q=0, to (a p) 0 =1 i a p·0 =a 0 =1, skąd (a p) 0 =a p·0. Jeśli zarówno p=0, jak i q=0, to (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0,0 =a 0 =1, skąd (a 0) 0 =a 0,0.

Teraz udowodnimy, że (a −p) q =a (−p)·q . Zatem z definicji potęgi o wykładniku ujemnym będącym liczbą całkowitą . Z własności ilorazów potęg, które mamy . Ponieważ 1 p =1·1·…·1=1 i , to . Ostatnie wyrażenie z definicji jest potęgą postaci a −(p·q), którą ze względu na zasady mnożenia można zapisać jako a (−p)·q.

Podobnie .

I .

Stosując tę ​​samą zasadę, możesz udowodnić wszystkie inne właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym, zapisanym w postaci równości.

W przedostatniej z zarejestrowanych własności warto zatrzymać się na dowodzie nierówności a −n >b −n, który obowiązuje dla dowolnej ujemnej liczby całkowitej −n oraz dowolnych dodatnich a i b, dla których warunek a jest spełniony . Ponieważ według warunku a 0. Iloczyn a n · b n jest również dodatni jako iloczyn liczb dodatnich a n i b n . Wtedy powstały ułamek jest dodatni jako iloraz liczb dodatnich b n −a n i a n ·b n . Zatem skąd a −n >b −n , co należało udowodnić.

Ostatnią własność potęg o wykładnikach całkowitych udowadnia się w taki sam sposób, jak podobną własność potęg o wykładnikach naturalnych.

Własności potęg o wykładnikach wymiernych

Stopień ułamkowy ustaliliśmy, rozszerzając na niego właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym. Innymi słowy, potęgi o wykładnikach ułamkowych mają takie same właściwości jak potęgi o wykładnikach całkowitych. Mianowicie:

Dowód własności stopni o wykładnikach ułamkowych opiera się na definicji stopnia o wykładniku ułamkowym oraz na własnościach stopnia o wykładniku całkowitym. Przedstawmy dowody.

Z definicji potęgi z wykładnikiem ułamkowym i , a następnie . Właściwości pierwiastka arytmetycznego pozwalają nam zapisać następujące równości. Ponadto, korzystając z właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym, otrzymujemy , z którego, zgodnie z definicją stopnia z wykładnikiem ułamkowym, mamy , a wskaźnik uzyskanego stopnia można przekształcić w następujący sposób: . To kończy dowód.

Drugą własność potęg o wykładnikach ułamkowych udowadnia się w zupełnie podobny sposób:

Pozostałe równości dowodzi się stosując podobne zasady:

Przejdźmy do udowodnienia kolejnej własności. Udowodnijmy, że dla dowolnego dodatniego a i b, a b s. Zapiszmy liczbę wymierną p jako m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną. Warunki str. 1<0 и p>0 w tym przypadku warunki m<0 и m>Odpowiednio 0. Dla m>0 i a

Podobnie dla m<0 имеем a m >b m , to znaczy skąd i a p >b p .

Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości. Udowodnijmy, że dla liczb wymiernych p i q, p>q przy 0 0 – nierówność a p >a q . Zawsze możemy sprowadzić liczby wymierne p i q do wspólnego mianownika, nawet jeśli otrzymamy ułamki zwykłe i , gdzie m 1 i m 2 są liczbami całkowitymi, a n jest liczbą naturalną. W tym przypadku warunek p>q będzie odpowiadał warunkowi m 1 > m 2, który wynika z. Następnie, korzystając z własności porównywania potęg o tych samych podstawach i wykładnikach naturalnych w punkcie 0 1 – nierówność a m 1 > a m 2 . Te nierówności we właściwościach pierwiastków można odpowiednio przepisać jako I . A definicja stopnia z racjonalnym wykładnikiem pozwala nam przejść do nierówności i odpowiednio. Stąd wyciągamy ostateczny wniosek: dla p>q i 0 0 – nierówność a p >a q .

Własności potęg o wykładnikach niewymiernych

Od tego, jak to jest określone stopień z niewymiernym wykładnikiem, możemy stwierdzić, że ma on wszystkie właściwości potęg o wykładnikach wymiernych. Zatem dla dowolnych a>0, b>0 i liczb niewymiernych p i q prawdziwe są następujące stwierdzenia własności potęg o wykładnikach niewymiernych:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p-q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. dla dowolnych liczb dodatnich aib, a 0 nierówność a p bp;
7. dla liczb niewymiernych p i q, p>q przy 0 0 – nierówność a p >a q .

Z tego możemy wywnioskować, że potęgi z dowolnymi wykładnikami rzeczywistymi p i q dla a>0 mają te same właściwości.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Podręcznik do matematyki dla klasy V. instytucje edukacyjne.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 7. instytucje edukacyjne.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 8. instytucje edukacyjne.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 9. instytucje edukacyjne.
• Kołmogorow A.N., Abramow A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: Podręcznik dla klas 10 - 11 szkół ogólnokształcących.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach).