Potęgowanie to arytmetyczna operacja powtarzalnego mnożenia. Jeśli chcesz pomnożyć liczbę n razy, wystarczy podnieść ją do n-tej potęgi.

Podstawowe operacje na stopniach

Po pierwsze stopień to wielokrotne pomnożenie. Liczba 13 4 to 13 × 13 × 13 × 13, gdzie mnożone są cztery identyczne czynniki. Jeśli pomnożymy 13 4 przez 13 2, otrzymamy (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), co logicznie zamienia się w 13 6. Jest to pierwsza zasada potęgowania, która mówi: przy mnożeniu liczb podniesionych do potęgi sumuje się ich wykładniki. Matematycznie jest to zapisane jako:

za m × za n = za (m+n) .

Jeśli podzielimy 13 4 przez 13 2, musimy obliczyć ułamek postaci:

(13 × 13 × 13 × 13) / (13 × 13).

Możemy po prostu anulować liczby w liczniku i mianowniku, pozostawiając 13 × 13 = 13 2. Oczywiście dzielenie liczb podniesionych do potęgi odpowiada odejmowaniu ich wykładników. Druga zasada matematycznego postępowania ze stopniami wygląda następująco:

za m / za n = za (m – n) .

Teraz podnieśmy 11 4 do sześcianu, czyli do trzeciej potęgi. Aby to zrobić, musimy obliczyć wyrażenie (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Jest 12 czynników, dlatego przy podnoszeniu liczby do n-tej potęgi wykładniki są mnożone. Trzecia zasada jest zapisana w ten sposób:

(a m) n = za (m × n) .

Oto podstawowe zasady pracy z wyrażeniami mocy. Liczbę można jednak podnieść do potęgi ujemnej, ułamkowej i zera. Jaki wynik daje wyrażenie 15 0? Skorzystajmy z drugiej zasady operacji na potęgach i spróbujmy podzielić 15 4 przez 15 4, co zapiszemy jako ułamek zwykły:

Oczywiście licznik i mianownik zawierają te same liczby, a gdy liczba jest dzielona przez siebie, zamienia się w jeden. Ale zgodnie z regułą postępowania z liczbami potęgowymi będzie to równoważne 15 0. Stąd:

15 4 / 15 4 = 15 0 = 1.

Zatem czwarta zasada stwierdza, że ​​każda liczba dodatnia do potęgi zerowej jest równa jeden. Zasada ta wygląda następująco:

Korzystając z drugiej zasady, łatwo jest wyjaśnić pracę z mocami ujemnymi. Na przykład podzielmy 8 2 przez 8 4 i zapiszmy wyrażenie jako ułamek zwykły.

(8 × 8) / (8 × 8 × 8 × 8).

Możemy anulować dwie ósemki w liczniku i mianowniku i zamienić ułamek na 1/(8×8). Ale zgodnie z zasadą w odpowiedzi powinniśmy otrzymać 8 -2. Nasz mianownik to po prostu osiem do kwadratu. Zatem:

W tym przypadku dla wartości -1 reguła zostaje przekształcona w elegancką formułę:

Ostatnia zasada, która przyda się podczas pracy z funkcjami potęgowymi, dotyczy potęg ułamkowych. Co możemy zrobić z wyrażeniem 7 (1/2) . Oczywiście podnieś to do kwadratu, a wtedy, zgodnie z trzecią zasadą, wynik będzie tylko siedem. 1/2 stopnia to ekstrakcja pierwiastek kwadratowy, ponieważ gdy go podniesiemy do kwadratu, otrzymamy liczbę całkowitą. Potęga 1/3 odpowiada ekstrakcji pierwiastka sześciennego, ale co z potęgą 2/3? Logicznie rzecz biorąc, jest to pierwiastek sześcienny liczby do kwadratu. Ostatnia zasada mówi, że mianownik ułamka oznacza pierwiastek, a licznik podniesienie do potęgi. Matematycznie wygląda to następująco:

a (m/n) jest n-tym pierwiastkiem z m.

Teraz wiesz, jak wykonywać dowolne operacje arytmetyczne na wyrażeniach potęgowych.

Za pomocą naszego kalkulatora możesz obliczyć funkcje potęgowe. Program pozwala określić podstawę, wskaźnik i wynik operacji. Dodatkowo do kalkulatora dołączona jest ilustracja wykresu funkcji: paraboli, paraboli sześciennych i paraboli do n-tej potęgi. Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykłady z życia wzięte

depozyt bankowy

Jeśli umieścimy 1000 dolarów na lokacie bankowej przy oprocentowaniu 9% rocznie, ile pieniędzy będzie na koncie po 20 latach? Wzrost w czasie oblicza się za pomocą wzoru wykładniczego w postaci:

Wysokość = a × e (kt),

gdzie a jest wartością początkową, e jest stałą równą 2,718; k – współczynnik wzrostu; t – czas.

Aby rozwiązać problem bankowy, musimy podnieść 2,718 do potęgi równej 20 × 0,09 = 1,8. Skorzystajmy z naszego kalkulatora i wpiszmy wartość 2,718 w komórce „Liczba, x =”, a wartość 1,8 w komórce „Stopień, n =”. Otrzymamy odpowiedź równą 6,049. Teraz, aby obliczyć kwotę na koncie bankowym, musimy pomnożyć wartość początkową 1000 dolarów przez wzrost o 6049. W efekcie po 20 latach depozyt wyniesie 6049 dolarów.

Zadanie szkolne

Niech zadanie szkolne wymaga od ciebie narysowania wykresu funkcji y = x 2,5. Jest to problem algebraiczny, który wymaga podania trzech wartości x i obliczenia odpowiednich wartości y. Następnie na podstawie znalezionych punktów skonstruuj wykres funkcji. Wpisz wartość 2,5 w komórce „Moc, n =”. Następnie oblicz sekwencyjnie wartości „y”, wprowadzając argumenty 1, 2, 3 w „Liczba, x =”. Otrzymasz odpowiednie wartości funkcji 1; 5,657; 15588. Wszystko, co musisz zrobić, to narysować krzywą, korzystając ze znalezionych punktów.

Wniosek

Potęgowanie jest arytmetyczną operacją mnożenia sekwencyjnego. Potęgi są ważniejsze w naukach stosowanych, ponieważ większość rzeczywistych procesów opisuje się za pomocą funkcji potęgowych. Skorzystaj z naszego kalkulatora, aby obliczyć problemy praktyczne lub szkolne.

można znaleźć za pomocą mnożenia. Na przykład: 5+5+5+5+5+5=5x6. Mówi się, że takie wyrażenie oznacza, że ​​suma równych składników jest składana w iloczyn. I odwrotnie, jeśli przeczytamy tę równość od prawej do lewej, okaże się, że rozszerzyliśmy sumę równych wyrazów. Podobnie możesz zwinąć iloczyn kilku równych współczynników 5x5x5x5x5x5=5 6.

Oznacza to, że zamiast pomnożyć sześć identycznych współczynników 5x5x5x5x5x5, zapisują 5 6 i mówią „pięć do potęgi szóstej”.

Wyrażenie 5 6 jest potęgą liczby, gdzie:

5 - podstawa stopnia;

6 - wykładnik potęgowy.

Nazywa się działania, w wyniku których iloczyn równych czynników jest sprowadzany do potęgi podniesienie do potęgi.

W ogólna perspektywa stopień o podstawie „a” i wykładniku „n” zapisuje się w ten sposób

Podniesienie liczby a do potęgi n oznacza znalezienie iloczynu n czynników, z których każdy jest równy a

Jeżeli podstawa stopnia „a” jest równa 1, to wartość stopnia dla dowolnej liczby naturalnej n będzie równa 1. Na przykład 1 5 =1, 1 256 =1

Jeśli podniesiesz liczbę „a” do pierwszy stopień, wówczas otrzymujemy samą liczbę a: za 1 = za

Jeśli podniesiesz dowolną liczbę do stopień zerowy, to w wyniku obliczeń otrzymujemy jeden. 0 = 1

Druga i trzecia potęga liczby są uważane za szczególne. Wymyślili dla nich nazwy: nazywa się drugi stopień podnieś liczbę do kwadratu, trzeci - sześcian ten numer.

Dowolną liczbę można podnieść do potęgi - dodatniej, ujemnej lub zerowej. W takim przypadku nie obowiązują następujące zasady:

Gdy znajdujemy potęgę liczby dodatniej, wynikiem jest liczba dodatnia.

Obliczając zero do potęgi naturalnej, otrzymujemy zero.

x m · x rz = x m + n

na przykład: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Do dzielimy potęgi o tych samych podstawach Nie zmieniamy podstawy, ale odejmujemy wykładniki:

x m / x rz = x m - rz , Gdzie, m > n,

na przykład: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Podczas obliczania podnoszenie potęgi do potęgi Nie zmieniamy podstawy, ale mnożymy wykładniki przez siebie.

(o godz ) N = y m N

na przykład: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) rz = x n · y m ,

na przykład:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Wykonując obliczenia wg podniesienie ułamka do potęgi podnosimy licznik i mianownik ułamka do danej potęgi

(x/y)n = x n / y n

na przykład: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Kolejność obliczeń podczas pracy z wyrażeniami zawierającymi stopień.

Wykonując obliczenia wyrażeń bez nawiasów, ale zawierających potęgi, wykonują przede wszystkim potęgowanie, następnie mnożenie i dzielenie, a dopiero potem dodawanie i odejmowanie.

Jeśli chcesz obliczyć wyrażenie zawierające nawiasy, najpierw wykonaj obliczenia w nawiasach w kolejności wskazanej powyżej, a następnie pozostałe czynności w tej samej kolejności od lewej do prawej.

Bardzo powszechnie w obliczeniach praktycznych stosuje się gotowe tablice potęg w celu uproszczenia obliczeń.

Pierwszy poziom

Stopień i jego właściwości. Kompleksowy przewodnik (2019)

Dlaczego potrzebne są stopnie naukowe? Gdzie będą potrzebne? Dlaczego warto poświęcić czas na ich przestudiowanie?

Aby dowiedzieć się wszystkiego o dyplomach, do czego są potrzebne i jak wykorzystać swoją wiedzę w życiu codziennym, przeczytaj ten artykuł.

I oczywiście znajomość stopni przybliży Cię do sukcesu mijając OGE lub Unified State Exam i przyjęcie na wymarzoną uczelnię.

Chodźmy, chodźmy!)

Ważna uwaga! Jeśli zamiast formuł widzisz Gobbledygook, wyczyść pamięć podręczną. Aby to zrobić, naciśnij CTRL+F5 (w systemie Windows) lub Cmd+R (na komputerze Mac).

PIERWSZY POZIOM

Potęgowanie to operacja matematyczna, taka sama jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie czy dzielenie.

Teraz wszystko wyjaśnię język ludzki bardzo proste przykłady. Bądź ostrożny. Przykłady są elementarne, ale wyjaśniają ważne rzeczy.

Zacznijmy od dodawania.

Nie ma tu nic do wyjaśniania. Wiesz już wszystko: jest nas ośmioro. Każdy ma dwie butelki coli. Ile jest tam coli? Zgadza się - 16 butelek.

Teraz mnożenie.

Ten sam przykład z colą można zapisać inaczej: . Matematycy to przebiegli i leniwi ludzie. Najpierw zauważają pewne wzorce, a następnie wymyślają sposób, aby je szybciej „policzyć”. W naszym przypadku zauważyli, że każda z ośmiu osób miała taką samą liczbę butelek coli i wymyślili technikę zwaną mnożeniem. Zgadzam się, jest to uważane za łatwiejsze i szybsze niż.

Aby więc liczyć szybciej, łatwiej i bez błędów, wystarczy pamiętać tabliczka mnożenia. Oczywiście wszystko można robić wolniej, trudniej i z błędami! Ale…

Oto tabliczka mnożenia. Powtarzać.

I jeszcze jeden, piękniejszy:

Jakie inne sprytne sztuczki z liczeniem wymyślają leniwi matematycy? Prawidłowy - podnoszenie liczby do potęgi.

Podnoszenie liczby do potęgi

Jeśli chcesz pomnożyć liczbę pięć razy, matematycy mówią, że musisz podnieść tę liczbę do potęgi piątej. Na przykład, . Matematycy pamiętają, że dwa do potęgi piątej to... A takie problemy rozwiązują w głowie – szybciej, łatwiej i bez błędów.

Wszystko, co musisz zrobić, to pamiętaj, co jest zaznaczone kolorem w tabeli potęg liczb. Uwierz mi, to znacznie ułatwi Ci życie.

Swoją drogą, dlaczego nazywa się to drugim stopniem? kwadrat liczby, a trzeci - sześcian? Co to znaczy? Bardzo dobre pytanie. Teraz będziesz mieć zarówno kwadraty, jak i sześciany.

Przykład z życia wzięty nr 1

Zacznijmy od kwadratu lub drugiej potęgi liczby.

Wyobraź sobie kwadratowy basen o wymiarach jeden metr na jeden metr. Basen jest na twojej daczy. Jest gorąco i bardzo chcę popływać. Ale... basen nie ma dna! Musisz przykryć dno basenu płytkami. Ile płytek potrzebujesz? Aby to ustalić, musisz znać dolny obszar basenu.

Możesz po prostu obliczyć, wskazując palcem, że dno basenu składa się z kostek metr po metrze. Jeśli masz płytki o wymiarach metr na metr, będziesz potrzebować kawałków. To proste... Tylko gdzie widziałeś takie płytki? Płytka najprawdopodobniej będzie miała wymiary cm na cm, a wtedy będziesz torturowany „liczeniem palcem”. Następnie musisz pomnożyć. Zatem po jednej stronie dna basenu ułożymy płytki (kawałki), a po drugiej także płytki. Pomnóż przez, a otrzymasz płytki ().

Czy zauważyłeś, że aby określić powierzchnię dna basenu, pomnożyliśmy tę samą liczbę przez siebie? Co to znaczy? Ponieważ mnożymy tę samą liczbę, możemy zastosować technikę „potęgowania”. (Oczywiście, gdy masz tylko dwie liczby, nadal musisz je pomnożyć lub podnieść do potęgi. Ale jeśli masz ich dużo, to podniesienie ich do potęgi jest znacznie łatwiejsze i jest też mniej błędów w obliczeniach W przypadku egzaminu Unified State Exam jest to bardzo ważne).
Zatem trzydzieści do potęgi drugiej będzie (). Albo możemy powiedzieć, że będzie to trzydzieści do kwadratu. Innymi słowy, drugą potęgę liczby zawsze można przedstawić w postaci kwadratu. I odwrotnie, jeśli widzisz kwadrat, ZAWSZE jest to druga potęga jakiejś liczby. Kwadrat jest obrazem drugiej potęgi liczby.

Przykład z życia wzięty nr 2

Oto zadanie dla Ciebie: policz, ile kwadratów jest na szachownicy, korzystając z kwadratu liczby... Po jednej stronie komórek i po drugiej. Aby obliczyć ich liczbę, należy pomnożyć osiem przez osiem lub... jeśli zauważysz, że szachownica to kwadrat z bokiem, to możesz podnieść do kwadratu osiem. Dostaniesz komórki. () Więc?

Przykład z życia wzięty nr 3

Teraz sześcian lub trzecia potęga liczby. Ten sam basen. Ale teraz musisz dowiedzieć się, ile wody trzeba będzie wlać do tego basenu. Musisz obliczyć objętość. (Nawiasem mówiąc, objętości i ciecze mierzy się w metrach sześciennych. Nieoczekiwane, prawda?) Narysuj basen: dno ma metr średnicy i metr głębokości i spróbuj policzyć, ile sześcianów o wymiarach metr na metr zmieści się pasuje do Twojego basenu.

Wystarczy wskazać palcem i liczyć! Raz, dwa, trzy, cztery... dwadzieścia dwa, dwadzieścia trzy... Ile dostałeś? Niestracony? Czy trudno jest liczyć na palcu? Aby! Weź przykład z matematyków. Są leniwi, więc zauważyli, że aby obliczyć objętość basenu, trzeba pomnożyć przez siebie jego długość, szerokość i wysokość. W naszym przypadku objętość basenu będzie równa kostkom... Łatwiej, prawda?

A teraz wyobraźcie sobie, jak leniwi i przebiegli są matematycy, gdyby to także uprościli. Sprowadziliśmy wszystko do jednej akcji. Zauważyli, że długość, szerokość i wysokość są równe i że ta sama liczba jest mnożona przez samą siebie... Co to oznacza? Oznacza to, że możesz skorzystać z dyplomu. Zatem to, co kiedyś liczyłeś palcem, robią w jednej akcji: trzy kostki są równe. Jest napisane tak: .

Jedyne co pozostaje to pamiętaj o tabeli stopni. Chyba że jesteś równie leniwy i przebiegły jak matematycy. Jeśli lubisz ciężko pracować i popełniać błędy, możesz dalej liczyć palcem.

Cóż, aby w końcu przekonać Cię, że stopnie naukowe zostały wymyślone przez rezygnujących i przebiegłych ludzi, aby rozwiązywać swoje problemy życiowe, a nie stwarzać problemy Tobie, oto jeszcze kilka przykładów z życia.

Przykład z życia wzięty nr 4

Masz milion rubli. Na początku każdego roku za każdy zarobiony milion zarabiasz kolejny milion. Oznacza to, że każdy milion, który masz, podwaja się na początku każdego roku. Ile pieniędzy będziesz mieć za lata? Jeśli teraz siedzisz i „liczysz palcem”, to jesteś osobą bardzo pracowitą i… głupią. Ale najprawdopodobniej dasz odpowiedź za kilka sekund, ponieważ jesteś mądry! A więc w pierwszym roku - dwa pomnożone przez dwa... w drugim roku - co się stało, przez kolejne dwa, w trzecim roku... Przestań! Zauważyłeś, że liczba jest mnożona przez samą siebie razy. Zatem dwa do potęgi piątej to milion! A teraz wyobraź sobie, że masz konkurencję i ten, kto najszybciej policzy, zgarnie te miliony... Warto pamiętać o sile liczb, nie sądzisz?

Przykład z życia wzięty nr 5

Masz milion. Na początku każdego roku za każdy zarobiony milion zarabiasz dwa dodatkowe. Świetnie, prawda? Każdy milion jest potrójny. Ile pieniędzy będziesz mieć za rok? Policzmy. Pierwszy rok - pomnóż przez, potem wynik przez kolejny... To już jest nudne, bo już wszystko zrozumiałeś: trzy mnoży się przez siebie razy. Zatem do potęgi czwartej jest to milion. Musisz tylko pamiętać, że trzy do potęgi czwartej to lub.

Teraz już wiesz, że podnosząc liczbę do potęgi, znacznie ułatwisz sobie życie. Przyjrzyjmy się bliżej, co możesz zrobić dzięki stopniom i co musisz o nich wiedzieć.

Terminy i pojęcia... żeby się nie pomylić

Najpierw zdefiniujmy pojęcia. Co myślisz, co to jest wykładnik? To bardzo proste – jest to liczba znajdująca się „na górze” potęgi liczby. Nie naukowe, ale jasne i łatwe do zapamiętania...

A jednocześnie co taka podstawa stopnia? Jeszcze prościej - jest to liczba znajdująca się poniżej, u podstawy.

Oto rysunek na dokładkę.

No cóż, ogólnie rzecz biorąc, aby uogólnić i lepiej zapamiętać... Stopień o podstawie „ ” i wykładniku „ ” czyta się jako „w stopniu” i zapisuje się w następujący sposób:

Potęga liczby z wykładnikiem naturalnym

Prawdopodobnie już zgadłeś: ponieważ wykładnik jest liczbą naturalną. Tak, ale co to jest Liczba naturalna? Podstawowy! Liczby naturalne to liczby używane do liczenia przy wymienianiu obiektów: jeden, dwa, trzy... Kiedy liczymy przedmioty, nie mówimy: „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem”. Nie mówimy też: „jedna trzecia” lub „przecinek zero”. To nie są liczby naturalne. Jak myślisz, jakie to liczby?

Liczby takie jak „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem” odnoszą się do wszystkie liczby. Ogólnie rzecz biorąc, liczby całkowite obejmują wszystkie liczby naturalne, liczby przeciwne liczbom naturalnym (to znaczy wzięte ze znakiem minus) i liczbę. Zero jest łatwe do zrozumienia – wtedy, gdy nie ma nic. Co oznaczają liczby ujemne („minus”)? Ale zostały wymyślone przede wszystkim po to, aby wskazać długi: jeśli masz saldo na telefonie w rublach, oznacza to, że jesteś winien operatorowi ruble.

Wszystkie ułamki są liczby wymierne. Jak powstały, jak myślisz? Bardzo prosta. Kilka tysięcy lat temu nasi przodkowie odkryli, że nie posiadali liczb naturalnych pozwalających zmierzyć długość, wagę, powierzchnię itp. I wymyślili liczby wymierne... Ciekawe, prawda?

Istnieją również liczby niewymierne. Co to za liczby? Krótko mówiąc, bez końca dziesiętny. Na przykład, jeśli podzielisz obwód koła przez jego średnicę, otrzymasz liczbę niewymierną.

Streszczenie:

Zdefiniujmy pojęcie stopnia, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tzn. całkowita i dodatnia).

1. Każda liczba do pierwszej potęgi jest równa sobie:
2. Podniesienie liczby do kwadratu oznacza pomnożenie jej przez samą siebie:
3. Poszerzyć liczbę do sześcianu oznacza pomnożyć ją przez samą siebie trzykrotnie:

Definicja. Podnieś liczbę do stopień naturalny- oznacza pomnożenie liczby przez samą siebie razy:
.

Właściwości stopni

Skąd wzięły się te nieruchomości? Pokażę ci teraz.

Zobaczmy: co to jest I ?

Priorytet A:

Ile jest w sumie mnożników?

To bardzo proste: dodaliśmy mnożniki do czynników i otrzymaliśmy mnożniki.

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli: , co należało udowodnić.

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie:

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie: Warto o tym pamiętać w naszej regule Koniecznie muszą być te same powody!
Dlatego łączymy moce z bazą, ale pozostaje to osobnym czynnikiem:

tylko dla iloczynu mocy!

W żadnym wypadku nie możesz tak pisać.

2. to wszystko potęga liczby

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Okazuje się, że wyrażenie mnoży się przez siebie razy, czyli zgodnie z definicją jest to potęga liczby:

Zasadniczo można to nazwać „wyjęciem wskaźnika z nawiasów”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w sumie:

Przypomnijmy sobie skrócone wzory na mnożenie: ile razy chcieliśmy pisać?

Ale to w końcu nieprawda.

Moc o podstawie ujemnej

Do tego momentu omawialiśmy jedynie, jaki powinien być wykładnik.

Ale co powinno być podstawą?

W uprawnieniach naturalny wskaźnik może być podstawa Jakikolwiek numer. Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolne liczby, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet.

Zastanówmy się, które znaki („” lub „”) będą miały potęgę liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba jest dodatnia czy ujemna? A? ? W przypadku pierwszego wszystko jest jasne: niezależnie od tego, ile liczb dodatnich pomnożymy przez siebie, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Pamiętamy prostą zasadę z szóstej klasy: „minus za minus daje plus”. To znaczy, lub. Ale jeśli pomnożymy przez, to zadziała.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Czy udało Ci się?

Oto odpowiedzi: Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak straszne, jak się wydaje: w końcu nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​​​wynik zawsze będzie dodatni.

No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Podstawa nie jest równa, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już takie proste!

6 przykładów do ćwiczenia

Analiza rozwiązania 6 przykładów

Jeśli zignorujemy potęgę ósmą, co tutaj zobaczymy? Przypomnijmy program dla klasy 7. Pamiętasz? To jest wzór na skrócone mnożenie, czyli różnicę kwadratów! Otrzymujemy:

Przyjrzyjmy się uważnie mianownikowi. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznikowych, ale co jest nie tak? Kolejność terminów jest niewłaściwa. Gdyby zostały odwrócone, zasada mogłaby mieć zastosowanie.

Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

W magiczny sposób terminy zmieniły miejsca. To „zjawisko” dotyczy w równym stopniu każdego wyrażenia: łatwo możemy zmienić znaki w nawiasach.

Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

Cały nazywamy liczby naturalne, ich przeciwieństwa (to znaczy wzięte ze znakiem „ ”) i liczbę.

Dodatnia liczba całkowita i nie różni się niczym od naturalnego, wtedy wszystko wygląda dokładnie tak, jak w poprzedniej sekcji.

Przyjrzyjmy się teraz nowym przypadkom. Zacznijmy od wskaźnika równego.

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden:

Jak zawsze zadajmy sobie pytanie: dlaczego tak jest?

Rozważmy pewien stopień z podstawą. Weźmy na przykład i pomnóżmy przez:

Więc pomnożyliśmy liczbę przez i otrzymaliśmy to samo, co było - . Przez jaką liczbę należy pomnożyć, aby nic się nie zmieniło? Zgadza się, dalej. Oznacza.

To samo możemy zrobić z dowolną liczbą:

Powtórzmy regułę:

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden.

Ale są wyjątki od wielu zasad. I tutaj też jest - to jest liczba (jako podstawa).

Z jednej strony musi być równy dowolnemu stopniowi - bez względu na to, ile pomnożysz zero przez samo, nadal otrzymasz zero, to jasne. Ale z drugiej strony, jak każda liczba do potęgi zerowej, musi być równa. Ile w tym prawdy? Matematycy postanowili się nie angażować i odmówili podniesienia zera do potęgi zerowej. Oznacza to, że teraz nie możemy nie tylko podzielić przez zero, ale także podnieść go do potęgi zerowej.

Przejdźmy dalej. Oprócz liczb naturalnych i liczb, liczby całkowite obejmują również liczby ujemne. Aby zrozumieć, czym jest potęga ujemna, zróbmy to samo, co ostatnim razem: pomnóż jakąś liczbę normalną przez tę samą liczbę do potęgi ujemnej:

Stąd łatwo jest wyrazić, czego szukasz:

Rozszerzmy teraz otrzymaną regułę w dowolnym stopniu:

Sformułujmy więc regułę:

Liczba o potędze ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby o potędze dodatniej. Ale w tym samym czasie Podstawa nie może mieć wartości null:(ponieważ nie można dzielić przez).

Podsumujmy:

I. Wyrażenie nie jest w tym przypadku zdefiniowane. Jeśli następnie.

II. Dowolna liczba do potęgi zerowej jest równa jeden: .

III. Liczba różna od zera do potęgi ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej: .

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Cóż, jak zwykle przykłady niezależnych rozwiązań:

Analiza problemów w celu samodzielnego rozwiązania:

Wiem, wiem, liczby przerażają, ale na Unified State Exam trzeba być przygotowanym na wszystko! Rozwiąż te przykłady lub przeanalizuj ich rozwiązania, jeśli nie mogłeś ich rozwiązać, a na egzaminie nauczysz się łatwo sobie z nimi radzić!

Kontynuujmy poszerzanie zakresu liczb „odpowiednich” jako wykładnik.

Teraz rozważmy liczby wymierne. Jakie liczby nazywamy wymiernymi?

Odpowiedź: wszystko, co można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi, i.

Aby zrozumieć, co to jest „stopień ułamkowy”, rozważ ułamek:

Podnieśmy obie strony równania do potęgi:

Przypomnijmy sobie teraz zasadę dot „stopień do stopnia”:

Jaką liczbę należy podnieść do potęgi, aby otrzymać?

To sformułowanie jest definicją pierwiastka stopnia VII.

Przypomnę: pierwiastek z potęgi liczby () to liczba, która podniesiona do potęgi jest równa.

Oznacza to, że pierwiastkiem potęgi th jest odwrotna operacja podniesienia do potęgi: .

Okazało się, że. Oczywiście ten szczególny przypadek można rozszerzyć: .

Teraz dodajemy licznik: co to jest? Odpowiedź jest łatwa do uzyskania, korzystając z reguły mocy do potęgi:

Ale czy podstawa może być dowolną liczbą? W końcu nie można wyodrębnić pierwiastka ze wszystkich liczb.

Nic!

Pamiętajmy o zasadzie: każda liczba podniesiona do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią. Oznacza to, że nie da się wyodrębnić pierwiastków parzystych z liczb ujemnych!

Oznacza to, że takich liczb nie można podnieść do potęgi ułamkowej o parzystym mianowniku, to znaczy wyrażenie nie ma sensu.

A co z wyrażeniem?

Ale tutaj pojawia się problem.

Liczbę można przedstawić w postaci innych, redukowalnych ułamków, na przykład lub.

I okazuje się, że istnieje, ale nie istnieje, ale to tylko dwa różne zapisy o tej samej liczbie.

Albo inny przykład: raz, potem możesz to zapisać. Jeśli jednak zapiszemy wskaźnik inaczej, znów wpadniemy w kłopoty: (czyli otrzymaliśmy zupełnie inny wynik!).

Aby uniknąć takich paradoksów, zastanawiamy się tylko dodatni wykładnik podstawowy z wykładnikiem ułamkowym.

Więc jeśli:

• - Liczba naturalna;
• - liczba całkowita;

Przykłady:

Wymierne wykładniki są bardzo przydatne do przekształcania wyrażeń z pierwiastkami, na przykład:

5 przykładów do przećwiczenia

Analiza 5 przykładów do szkolenia

Cóż, teraz najtrudniejsza część. Teraz się o tym przekonamy stopień z niewymiernym wykładnikiem.

Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same, jak w przypadku stopnia z wymiernym wykładnikiem, z wyjątkiem

Przecież z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, gdzie i są liczbami całkowitymi (tzn. wszystkie liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem wymiernych).

Badając stopnie z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi i wymiernymi, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach.

Na przykład stopień z wykładnikiem naturalnym to liczba pomnożona przez siebie kilka razy;

...liczbę do potęgi zerowej- jest to jakby liczba pomnożona raz przez siebie, to znaczy nie zaczęli jej jeszcze mnożyć, co oznacza, że ​​​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła - dlatego wynikiem jest tylko pewna „pusta liczba” , czyli liczba;

...stopień ujemnej liczby całkowitej- to tak, jakby nastąpił jakiś „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Nawiasem mówiąc, w nauce często stosuje się stopień ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą.

Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach; będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

GDZIE JESTEŚMY NA PEWNO, ŻE DOJEDZIESZ! (jeśli nauczysz się rozwiązywać takie przykłady :))

Na przykład:

Zdecyduj sam:

Analiza rozwiązań:

1. Zacznijmy od zwykłej zasady podnoszenia potęgi do potęgi:

Teraz spójrz na wskaźnik. Czy on ci niczego nie przypomina? Przypomnijmy sobie wzór na skrócone mnożenie różnicy kwadratów:

W tym przypadku,

Okazało się, że:

Odpowiedź: .

2. Ułamki zwykłe w wykładnikach redukujemy do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy na przykład:

Odpowiedź: 16

3. Nic specjalnego, używamy zwykłych właściwości stopni:

POZIOM ZAAWANSOWANY

Określenie stopnia

Stopień jest wyrażeniem postaci: , gdzie:

• — podstawa stopnia;
• - wykładnik.

Stopień ze wskaźnikiem naturalnym (n = 1, 2, 3,...)

Podniesienie liczby do potęgi naturalnej n oznacza pomnożenie liczby przez nią samą razy:

Stopień z wykładnikiem całkowitym (0, ±1, ±2,...)

Jeśli wykładnik jest Dodatnia liczba całkowita numer:

Budowa do stopnia zerowego:

Wyrażenie jest nieokreślone, ponieważ z jednej strony w dowolnym stopniu jest to, a z drugiej strony dowolna liczba do th stopnia jest tym.

Jeśli wykładnik jest ujemna liczba całkowita numer:

(ponieważ nie można dzielić przez).

Jeszcze raz o zerach: wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.

Przykłady:

Potęga z wykładnikiem wymiernym

• - Liczba naturalna;
• - liczba całkowita;

Przykłady:

Właściwości stopni

Aby ułatwić rozwiązywanie problemów, spróbujmy zrozumieć: skąd wzięły się te właściwości? Udowodnijmy je.

Zobaczmy: co jest i?

Priorytet A:

Zatem po prawej stronie tego wyrażenia otrzymujemy następujący iloczyn:

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli:

co było do okazania

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : .

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : Ważne jest, aby pamiętać, że w naszej regule Koniecznie muszą być te same powody. Dlatego łączymy moce z bazą, ale pozostaje to osobnym czynnikiem:

Kolejna ważna uwaga: ta zasada - tylko dla iloczynu mocy!

W żadnym wypadku nie możesz tak pisać.

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Przegrupujmy tę pracę w następujący sposób:

Okazuje się, że wyrażenie mnoży się przez siebie razy, czyli zgodnie z definicją jest to potęga liczby:

Zasadniczo można to nazwać „wyjęciem wskaźnika z nawiasów”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w całości: !

Przypomnijmy sobie skrócone wzory na mnożenie: ile razy chcieliśmy pisać? Ale to w końcu nieprawda.

Moc o podstawie ujemnej.

Do tego momentu omawialiśmy jedynie, jak to powinno wyglądać indeks stopni. Ale co powinno być podstawą? W uprawnieniach naturalny wskaźnik może być podstawa Jakikolwiek numer .

Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolne liczby, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet. Zastanówmy się, które znaki („” lub „”) będą miały potęgę liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba jest dodatnia czy ujemna? A? ?

W przypadku pierwszego wszystko jest jasne: niezależnie od tego, ile liczb dodatnich pomnożymy przez siebie, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Pamiętamy prostą zasadę z szóstej klasy: „minus za minus daje plus”. To znaczy, lub. Ale jeśli pomnożymy przez (), otrzymamy - .

I tak w nieskończoność: przy każdym kolejnym mnożeniu znak będzie się zmieniał. Możemy sformułować co następuje proste zasady:

1. nawet stopień, - liczba pozytywny.
2. Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
3. Liczba dodatnia w dowolnym stopniu jest liczbą dodatnią.
4. Zero do dowolnej potęgi jest równe zero.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Czy udało Ci się? Oto odpowiedzi:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak straszne, jak się wydaje: w końcu nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​​​wynik zawsze będzie dodatni. No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Podstawa nie jest równa, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już takie proste. Tutaj musisz dowiedzieć się, co jest mniejsze: lub? Jeśli o tym pamiętamy, staje się jasne, co oznacza, że ​​podstawa jest mniejsza od zera. Oznacza to, że stosujemy zasadę 2: wynik będzie ujemny.

I znowu używamy definicji stopnia:

Wszystko jest jak zwykle - zapisujemy definicję stopni i dzielimy je między sobą, dzielimy na pary i otrzymujemy:

Zanim przyjrzymy się ostatniej regule, rozwiążmy kilka przykładów.

Oblicz wyrażenia:

Rozwiązania :

Jeśli zignorujemy potęgę ósmą, co tutaj zobaczymy? Przypomnijmy program dla klasy 7. Pamiętasz? To jest wzór na skrócone mnożenie, czyli różnicę kwadratów!

Otrzymujemy:

Przyjrzyjmy się uważnie mianownikowi. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznikowych, ale co jest nie tak? Kolejność terminów jest niewłaściwa. Jeżeli zostałyby odwrócone, zastosowanie miałaby zasada 3. Ale jak? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

Jeśli pomnożysz to przez, nic się nie zmieni, prawda? Ale teraz okazuje się, że jest tak:

W magiczny sposób terminy zmieniły miejsca. To „zjawisko” dotyczy w równym stopniu każdego wyrażenia: łatwo możemy zmienić znaki w nawiasach. Ale ważne jest, aby pamiętać: Wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie! Nie da się tego zastąpić, zmieniając tylko jedną wadę, która nam się nie podoba!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

A teraz ostatnia zasada:

Jak to udowodnimy? Oczywiście jak zwykle: rozwińmy pojęcie stopnia i uprośćmy je:

Cóż, teraz otwórzmy nawiasy. Ile jest razem liter? razy przez mnożniki – o czym ci to przypomina? To nic innego jak definicja operacji mnożenie: Były tam tylko mnożniki. Oznacza to, że z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem:

Przykład:

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

Oprócz informacji o stopniach dla poziomu średniego przeanalizujemy stopień z irracjonalnym wykładnikiem. Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same, jak w przypadku stopnia z wymiernym wykładnikiem, z wyjątkiem - wszak z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka, gdzie i są liczbami całkowitymi (czyli , liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem liczb wymiernych).

Badając stopnie z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi i wymiernymi, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach. Na przykład stopień z wykładnikiem naturalnym to liczba pomnożona przez siebie kilka razy; liczba do potęgi zerowej jest jakby liczbą pomnożoną raz przez siebie, to znaczy nie zaczęli jej jeszcze mnożyć, co oznacza, że ​​​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła - dlatego wynik jest tylko pewnym „pusta liczba”, czyli liczba; stopień z wykładnikiem całkowitym ujemnym - to tak, jakby nastąpił jakiś „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Niezwykle trudno jest wyobrazić sobie stopień z irracjonalnym wykładnikiem (tak jak trudno wyobrazić sobie przestrzeń 4-wymiarową). Jest to raczej obiekt czysto matematyczny, który matematycy stworzyli, aby rozszerzyć pojęcie stopnia na całą przestrzeń liczb.

Nawiasem mówiąc, w nauce często stosuje się stopień ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą. Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach; będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

Co więc zrobimy, jeśli zobaczymy irracjonalny wykładnik? Robimy wszystko, żeby się tego pozbyć! :)

Na przykład:

Zdecyduj sam:

1)

2)

3)

Odpowiedzi:

1. Pamiętajmy o różnicy we wzorze kwadratów. Odpowiedź: .
2. Sprowadzamy ułamki zwykłe do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy np.: .
3. Nic specjalnego, używamy zwykłych właściwości stopni:

PODSUMOWANIE ROZDZIAŁU I PODSTAWOWE WZORY

Stopień zwane wyrażeniem postaci: , gdzie:

Stopień z wykładnikiem całkowitym

stopień, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tj. liczba całkowita i dodatnia).

Potęga z wykładnikiem wymiernym

stopień, którego wykładnikiem są liczby ujemne i ułamkowe.

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

stopień, którego wykładnikiem jest nieskończony ułamek dziesiętny lub pierwiastek.

Właściwości stopni

Cechy stopni.

• Liczba ujemna podniesiona do nawet stopień, - liczba pozytywny.
• Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
• Liczba dodatnia w jakimkolwiek stopniu jest liczbą dodatnią.
• Zero jest równe dowolnej potędze.
• Każda liczba do potęgi zerowej jest równa.

TERAZ MASZ SŁOWO...

Jak podoba Ci się artykuł? Napisz poniżej w komentarzu, czy Ci się podobało, czy nie.

Opowiedz nam o swoich doświadczeniach z używaniem właściwości stopnia.

Być może masz pytania. Lub sugestie.

Napisz w komentarzach.

I powodzenia na egzaminach!

• 02.12.2015

  Czujnik temperatury chłodnicy (wentylatora) zaczyna działać, gdy temperatura wzrośnie do ustawionej wartości i wyłącza się, gdy spadnie. Zasilanie do chłodnicy dostarczane jest poprzez przekaźnik (12 V, 200 omów). Czujnik temperatury jest termistorem o ujemnym współczynniku temperaturowym. Jako komparator zastosowano wzmacniacz operacyjny LM311. Wraz ze wzrostem temperatury rezystancja termistora maleje, a zatem napięcie spada o ...

• 06.04.2015

  Mikroukład K1182GG3R jest układem scalonym samooscylatora półmostkowego wysokiego napięcia. Jest produkowany przy użyciu unikalnej technologii bipolarnej opracowanej dla klasy układów scalonych przeznaczonych do stosowania w sieciach prądu przemiennego do 240 V. Układ scalony przetwarza napięcie stałe (w szczególności wyprostowane napięcie sieciowe) na napięcie o wysokiej częstotliwości 30-50 kHz i umożliwia tworzenie galwanicznie izolowanych zasilaczy wtórnych o mocy do 12 W. Dane znamionowe elementu dla napięcia wejściowego 220 V...

• 14.07.2015

  Jak wiadomo napięcie sieci pokładowej pojazdu mieści się w przedziale od 12 do 14,4 V, co narzuca ograniczenie mocy stosowanych wzmacniaczy AF. Aby zwiększyć moc wyjściową wzmacniacza, konieczne jest zastosowanie konwertera napięcia. Układ TDA1562Q pozwala łatwo rozwiązać ten problem. Moc wyjściowa wzmacniacza w TDA1562Q wynosi 18 W (14,4 V Rн = 4 Ohm), wraz ze wzrostem mocy wzmacniacz przechodzi w ...

• 23.09.2014

  Maszyna współpracuje z 7 żarówkami i tworzy efekt linii świetlnej, która najpierw stopniowo wyrasta od centralnego punktu świetlnego, a następnie stopniowo zanika od środka ku brzegom. Maszyna steruje żarówkami o mocy 15W 220V. Obwód składa się z multiwibratora ustawiającego częstotliwość pulsacji, trzech linii opóźniających i czterech tyrystorów wyjściowych. Częstotliwość powtarzania pulsacji zależy od...

Można podnosić tylko do dodatnich potęg całkowitych. Aby to zrobić, naciśnij klawisz [C], wprowadź cyfrę, a następnie naciśnij klawisze [X] i [=]. Liczba zostanie podniesiona do stopień 2. Kolejne naciśnięcia klawisza [=] podniosą wprowadzoną liczbę do potęgi 3, 4, 5 itd., aż do przepełnienia siatki bitów. W tym drugim przypadku na wskaźniku zaświeci się segment E lub BŁĄD, a wyniku nie można uznać za wiarygodny.

Jeśli wykładnik jest znaczący, możesz policzyć naciśnięcia klawisza [=] za pomocą drugiego kalkulatora. Kolejno naciśnij na nim klawisze , [+] i [=]. Kolejne naciśnięcia klawisza [=] powodują pojawienie się na wskaźniku cyfr 2, 3, 4, 5 itd. Pozostaje tylko nacisnąć synchronicznie klawisze [=] na obu kalkulatorach, aby odczyty wskaźników drugiego urządzenia odpowiadały potędze, do której podniesiona jest liczba na pierwszym.

Do budowy w stopień na naukowych kalkulator przy odwrotnej notacji polskiej należy najpierw nacisnąć klawisz [C], następnie liczbę do podniesienia, następnie przycisk strzałki w górę (na urządzeniach HP - oznaczony Enter), następnie wykładnik, a na końcu klawisz. Jeśli napis ten nie znajduje się na samym klawiszu, ale nad nim, należy nacisnąć przed nim klawisz [F]. Można to odróżnić od naukowego z zapisem arytmetycznym poprzez brak klawisza [=].

W przypadku korzystania z kalkulatora naukowego z zapisem algebraicznym należy najpierw nacisnąć klawisz [C], a następnie liczbę do podniesienia stopień, następnie klawisz (w razie potrzeby razem z klawiszem [F], jak wskazano powyżej), następnie wykładnik, a na końcu klawisz [=].

Na koniec, jeśli używasz dwuwierszowego kalkulatora formuł, wprowadź całe wyrażenie dokładnie tak, jak pojawia się na papierze w górnym wierszu. Aby wejść na budowę zaloguj się stopień Użyj klawisza lub [^] w zależności od typu urządzenia. Po naciśnięciu klawisza [=] wynik zostanie wyświetlony w dolnej linii.

W przypadku braku kalkulatora podbicia do stopień możesz korzystać z komputera. Aby to zrobić, uruchom na nim program wirtualny kalkulator: w systemie Windows - Calc, w systemie Linux - XCalc, KCalc, Galculator itp. Przełącz program w tryb inżynieryjny, jeśli nie zostało to wcześniej zrobione. Kalkulator XCalc można przełączyć na tryb odwróconej notacji polskiej, uruchamiając go za pomocą polecenia xcalc -rpn. Nie zaleca się używania kompilatorów języka Pascal jako kalkulatorów - wywoływanie poleceń do stopień nie ma żadnego i odpowiedni algorytm należy zaimplementować ręcznie. W interpreterach języka BASIC, na przykład UBasic, do wykonania tej operacji używany jest znak ^.

Nowoczesne procesory komputerowe są w stanie wykonywać setki bilionów operacji na sekundę. Oczywiste jest, że takie proste problemy, jak podniesienie liczby do stopień, dla nich to nic. Rozwiązuje się je mimochodem przy wykonywaniu poważnych zadań, na przykład tworzenia grafiki do wirtualnych światów. Ale panem komputera jest użytkownik, a skoro chce robić takie drobnostki, supersmok musi udawać kotka, udając program kalkulatora.

Będziesz potrzebować

• System operacyjny Windows.

Instrukcje

Wprowadź oryginalny numer. W tym interfejsie przypisane są operacje polegające na podnoszeniu kwadratu i sześcianie oddzielne przyciski, więc aby je wykonać wystarczy kliknąć na przyciski z symbolami x² lub x³.

Jeżeli wykładnik jest większy od trzech, po wpisaniu podstawy należy kliknąć na przycisk z symbolem xʸ. Następnie wprowadź wykładnik i naciśnij klawisz Enter lub kliknij przycisk ze znakiem równości. Kalkulator wykona niezbędne obliczenia i wyświetli wynik.

Istnieje inny sposób podniesienia liczby do stopień, co raczej można nazwać sztuczką. Aby z niego skorzystać, wprowadź oryginalną liczbę i kliknij przycisk wyodrębniający pierwiastek dowolnego stopnia ʸ√x. Następnie wprowadź liczbę dziesiętną będącą wynikiem podzielenia jedności przez wykładnik. Na przykład, aby podnieść do piątej stopień powinna to być liczba 1/5=0,2. Naciśnij przycisk Enter i uzyskaj wynik konstrukcji stopień.

Wideo na ten temat

Stopień liczby omawiane w szkole na lekcjach algebry. W prawdziwym życiu taka operacja jest rzadko wykonywana. Na przykład przy obliczaniu pola kwadratu lub objętości sześcianu stosuje się stopnie, ponieważ długość, szerokość i wysokość sześcianu są wielkościami równymi. W przeciwnym razie potęgowanie ma najczęściej charakter stosowany w produkcji.

Będziesz potrzebować

• Papier, długopis, kalkulator inżynieryjny, tabele mocy, oprogramowanie (na przykład edytor arkuszy kalkulacyjnych Excel).

Instrukcje

Niech X = 125 i stopień liczby, tj. n = 3. Oznacza to, że liczbę 125 należy pomnożyć przez samą siebie 3 razy.
125^3 = 125*125*125 = 1 953 125
Więcej .
3^4 = 3*3*3*3 = 81

Pracując z liczbą ujemną, należy uważać na znaki. Należy pamiętać, że potęga parzysta (n) da znak plus, potęga nieparzysta da znak plus.
Na przykład
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

Zero stopnia (n = 0) z dowolnego liczby zawsze będzie równy jeden.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1Jeśli n = 1, liczba nie musi być mnożona przez samą siebie.
Będzie
7^1 = 7
329^1 = 329