Zobacz, co oznacza „być uwzględnionym w liczbie” w innych słownikach. Czy ta liczba jest wymierna? Odejmowanie

Intuicyjna idea liczby jest najwyraźniej tak stara jak sama ludzkość, chociaż w zasadzie niemożliwe jest wiarygodne prześledzenie wszystkich wczesnych etapów jej rozwoju. Zanim człowiek nauczył się liczyć lub wymyślił słowa oznaczające liczby, niewątpliwie posiadał wizualne, intuicyjne wyobrażenie o liczbie, które pozwalało mu odróżnić jedną osobę od dwóch osób lub między dwiema a wieloma osobami. To, że ludzie pierwotni znali początkowo tylko „jeden”, „dwa” i „wiele”, potwierdza fakt, że w niektórych językach, np. w greckim, istnieją trzy formy gramatyczne: liczba pojedyncza, liczba podwójna i mnogi. Później człowiek nauczył się rozróżniać dwa i trzy drzewa oraz trzy i cztery osoby. Liczenie było pierwotnie kojarzone z bardzo specyficznym zbiorem przedmiotów, a pierwszymi nazwami liczb były przymiotniki. Na przykład słowo „trzy” zostało użyte tylko w kombinacjach „trzy drzewa” lub „trzy osoby”; idea, że te zbiory mają coś wspólnego – pojęcie trójcy – wymaga wysokiego stopnia abstrakcji. O tym, że liczenie powstało przed pojawieniem się tego poziomu abstrakcji, świadczy fakt, że słowa „jeden” i „pierwszy”, a także „dwa” i „drugi” w wielu językach nie mają ze sobą nic wspólnego , choć wykraczające poza prymitywne liczenie „jeden”, „dwa”, „wiele”, słowa „trzy” i „trzeci”, „cztery” i „czwarty” wyraźnie wskazują na związek między liczebnikami głównymi i porządkowymi.

Nazwy liczb, wyrażające bardzo abstrakcyjne pojęcia, pojawiły się niewątpliwie później niż pierwsze prymitywne symbole oznaczające liczbę obiektów w danym zbiorze. W czasach starożytnych sporządzano prymitywne zapisy numeryczne w postaci nacięć na patyczku, węzłów na linie ułożonych w rzędzie kamyków i zrozumiano, że istnieje zgodność jeden do jednego pomiędzy elementami zbiór podlegający zliczeniu oraz symbole zapisu liczbowego. Jednak nazw liczb nie używano bezpośrednio do odczytywania takich zapisów liczbowych. Obecnie na pierwszy rzut oka rozpoznajemy agregaty dwóch, trzech i czterech elementów; Zestawy składające się z pięciu, sześciu czy siedmiu elementów są nieco trudniejsze do rozpoznania na pierwszy rzut oka. A poza tą granicą prawie niemożliwe jest ustalenie ich liczby naocznie i konieczna jest analiza w formie liczenia lub określonej struktury elementów. Wydaje się, że pierwszą techniką stosowaną w takich przypadkach było liczenie przywieszek: wycięcia na przywieszkach ułożono w określone grupy, podobnie jak podczas liczenia kart do głosowania często grupuje się je w paczki po pięć lub dziesięć sztuk. Liczenie na palcach było bardzo rozpowszechnione i jest całkiem możliwe, że nazwy niektórych liczb pochodzą właśnie od tej metody liczenia.

Ważną cechą liczenia jest powiązanie nazw liczb z określonym schematem liczenia. Przykładowo słowo „dwadzieścia trzy” nie jest jedynie terminem oznaczającym dobrze określoną (pod względem liczby elementów) grupę obiektów; jest to termin złożony oznaczający „dwa razy dziesięć i trzy”. Tutaj wyraźnie widać rolę liczby dziesiątki jako zbiorowej jednostki czy fundacji; i rzeczywiście, wielu ludzi liczy w dziesiątkach, ponieważ, jak zauważył Arystoteles, mamy dziesięć palców u rąk i nóg. Z tego samego powodu użyto zasad pięć lub dwadzieścia. Na bardzo wczesnych etapach rozwoju historii ludzkości za podstawę systemu liczbowego przyjęto liczby 2, 3 lub 4; czasami do niektórych pomiarów lub obliczeń używano zasad 12 i 60.

Człowiek zaczął liczyć na długo zanim nauczył się pisać, dlatego nie zachowały się żadne dokumenty pisane, które poświadczałyby słowa używane do oznaczania liczb w starożytności. Plemiona koczownicze charakteryzują się ustnymi nazwami liczb, w przypadku pisemnych potrzeba ich pojawiła się dopiero wraz z przejściem na siedzący tryb życia i utworzeniem społeczności rolniczych. Pojawiła się także potrzeba stworzenia systemu rejestrowania liczb i wtedy położono podwaliny pod rozwój matematyki.

Podstawowe typy liczb

W odróżnieniu od oktaw sedenje S nie mają właściwości alternatywności, ale zachowują właściwość skojarzenia mocy.

Reprezentować całość Liczba dodatnia x w pamięci komputera jest konwertowany na system liczb binarnych. Wynikowa liczba binarna x 2 jest zapisem maszynowym odpowiedniej liczby dziesiętnej x 10. Do zapisu liczb ujemnych stosuje się tzw. dodatkowy kod liczby, który uzyskuje się przez dodanie jedynki do odwróconej reprezentacji modułu danej liczby ujemnej w systemie liczb binarnych.

Reprezentacja liczb rzeczywistych w pamięci komputera (w informatyce do ich określenia używa się terminu liczba zmiennoprzecinkowa) ma pewne ograniczenia związane ze stosowanym systemem liczbowym, a także ograniczoną ilością pamięci przeznaczonej na liczby. Zatem tylko niektóre liczby rzeczywiste mogą być dokładnie i bez strat odzwierciedlone w pamięci komputera. W najpopularniejszym schemacie liczba zmiennoprzecinkowa jest zapisywana jako blok bitów, z których część reprezentuje mantysę liczby, część – potęgę, a jeden bit jest przydzielany do reprezentowania znaku liczby (w razie potrzeby bit znaku może być nieobecny).

Aby DUŻO ułatwić sobie życie, gdy trzeba coś policzyć, zyskać cenny czas na egzaminie Unified State Exam lub Unified State Exam, aby popełnić mniej głupich błędów - przeczytaj tę sekcję!

Oto, czego się dowiesz:

jak liczyć szybciej, łatwiej i dokładniej za pomocągrupowanie liczbpodczas dodawania i odejmowania,
jak szybko mnożyć i dzielić bez błędów za pomocą zasady mnożenia i znaki podzielności,
jak znacznie przyspieszyć obliczenia za pomocą najmniejsza wspólna wielokrotność(NIE) i Największy wspólny dzielnik(UKŁON).

Opanowanie technik opisanych w tej sekcji może przechylić szalę w tę czy inną stronę... Niezależnie od tego, czy dostaniesz się na wymarzoną uczelnię, czy nie, Ty lub Twoi rodzice będziecie musieli zapłacić dużo pieniędzy za edukację lub zapiszecie się na budżet .

Zanurzmy się od razu... (Chodźmy!)

P.S. OSTATNIA WAŻNA RADA...

Ważna uwaga!Jeśli zamiast formuł widzisz Gobbledygook, wyczyść pamięć podręczną. Aby to zrobić, naciśnij CTRL+F5 (w systemie Windows) lub Cmd+R (na komputerze Mac).

Pęczek liczby całkowite składa się z 3 części:

liczby całkowite(przyjrzymy się im bardziej szczegółowo poniżej);
liczby przeciwne liczbom naturalnym(wszystko się ułoży, gdy tylko dowiesz się, jakie są liczby naturalne);
zero - " " (Gdzie byśmy byli bez niego?)

litera Z.

Liczby całkowite

„Bóg stworzył liczby naturalne, wszystko inne jest dziełem rąk ludzkich” (c) Niemiecki matematyk Kronecker.

Liczby naturalne są liczby, którymi liczymy przedmioty i na tym opiera się historia ich powstania – konieczność liczenia strzał, skórek itp.

1, 2, 3, 4...n

litera N.

W związku z tym ta definicja nie obejmuje (nie można policzyć czegoś, czego nie ma?), a zwłaszcza nie obejmuje wartości ujemnych (czy naprawdę jest jabłko?).

Poza tym nie wszystkie są uwzględnione liczby ułamkowe(nie możemy też powiedzieć „mam laptopa” ani „sprzedałem samochody”)

Każdy Liczba naturalna można zapisać za pomocą 10 cyfr:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Zatem 14 nie jest liczbą. To jest numer. Z jakich liczb się składa? Zgadza się, z liczb i...

Dodatek. Grupowanie podczas dodawania pozwala szybciej liczyć i popełniać mniej błędów

Co ciekawego możesz powiedzieć o tym zabiegu? Oczywiście odpowiesz teraz: „wartość sumy nie zmienia się w wyniku zmiany układu terminów”. Wydawałoby się, że to prymitywna zasada, znana jednak z pierwszej klasy przy rozwiązywaniu świetne przykłady To natychmiast zapomniane!

Nie zapomnij o nim -użyj grupowania, aby ułatwić sobie proces liczenia i zmniejszyć prawdopodobieństwo popełnienia błędów, ponieważ do egzaminu Unified State Examination nie będziesz mieć kalkulatora.

Przekonaj się, które wyrażenie jest łatwiejsze do ułożenia?

4 + 5 + 3 + 6
4 + 6 + 5 + 3

Oczywiście, że to drugie! Chociaż wynik jest taki sam. Ale! Biorąc pod uwagę drugą metodę, masz mniejsze szanse na popełnienie błędów i wszystko zrobisz szybciej!

Więc w głowie myślisz tak:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Odejmowanie. Grupowanie podczas odejmowania pozwala szybciej liczyć i popełniać mniej błędów

Podczas odejmowania możemy także pogrupować liczby, które odejmujemy, na przykład:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Co się stanie, jeśli w tym przykładzie odejmowanie występuje na zmianę z dodawaniem? Możesz także grupować, odpowiadać i to prawda. Tylko proszę nie zapomnieć o znakach przed liczbami, np.: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Pamiętaj: nieprawidłowo umieszczone znaki doprowadzą do błędnego wyniku.

Mnożenie. Jak mnożyć w głowie

Oczywiście zmiana miejsc czynników również nie zmieni wartości iloczynu:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Nie powiem Ci „używaj tego przy rozwiązywaniu przykładów” (sam dostałeś podpowiedź, prawda?), ale raczej powiem Ci, jak szybko pomnożyć pewne liczby w głowie. Przyjrzyj się więc uważnie tabeli:

I trochę więcej o mnożeniu. Oczywiście, że pamiętasz dwa specjalne okazje...Czy zgadniesz, co mam na myśli? Oto kilka informacji na ten temat:

O tak, spójrzmy na to jeszcze raz oznaki podzielności. W sumie istnieje 7 reguł opartych na kryteriach podzielności, z których pierwsze 3 już znasz!

Ale reszta wcale nie jest trudna do zapamiętania.

7 znaków podzielności liczb, które pomogą Ci szybko policzyć w głowie!

Oczywiście znasz trzy pierwsze zasady.
Czwartą i piątą łatwo zapamiętać - dzieląc przez, sprawdzamy, czy suma cyfr tworzących liczbę jest przez to podzielna.
Dzieląc przez, patrzymy na dwie ostatnie cyfry liczby – czy liczba, przez którą dają, jest podzielna?
Dzieląc przez, liczba musi być jednocześnie podzielna przez i przez. To cała mądrość.

Czy zastanawiasz się teraz: „po co mi to wszystko”?

Po pierwsze, odbywa się Unified State Exam bez kalkulatora a te zasady pomogą Ci poruszać się po przykładach.

Po drugie, słyszałeś o problemach NWD I NOC? Czy ten skrót jest znajomy? Zacznijmy pamiętać i rozumieć.

Największy wspólny dzielnik (NWD) - potrzebny do skracania ułamków i wykonywania szybkich obliczeń

Załóżmy, że masz dwie liczby: i. Jaka jest największa liczba, przez którą obie te liczby są podzielne? Odpowiesz bez wahania, bo wiesz, że:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Jakie są wspólne liczby w rozwinięciu? Zgadza się, 2 * 2 = 4. To była twoja odpowiedź. Mając na uwadze ten prosty przykład, nie zapomnisz algorytmu wyszukiwania NWD. Spróbuj „zbudować” to w swojej głowie. Stało się?

Aby znaleźć GCD, musisz:

Podziel liczby na czynniki pierwsze (te liczby, których nie można podzielić przez nic innego poza nimi samymi lub na przykład przez 3, 7, 11, 13 itd.).
Pomnóż je.

Czy rozumiesz, dlaczego potrzebowaliśmy znaków podzielności? Abyś spojrzał na liczbę i mógł zacząć dzielić bez reszty.

Na przykład znajdźmy GCD liczb 290 i 485

Pierwsza liczba - .

Patrząc na to od razu widać, że jest podzielny przez, zapiszmy to:

Nie da się podzielić na nic innego, ale można - i otrzymujemy:

290 = 29 * 5 * 2

Weźmy inną liczbę - 485.

Zgodnie z kryteriami podzielności musi być podzielny przez bez reszty, ponieważ kończy się na. Dzielić:

Przeanalizujmy pierwotną liczbę.

Nie można go podzielić przez (ostatnia cyfra jest nieparzysta),
- nie jest podzielna przez, co oznacza, że liczba również nie jest podzielna przez,
przez i przez również nie jest podzielna (suma cyfr wchodzących w skład liczby nie jest podzielna przez i przez)
nie jest również podzielna przez, ponieważ nie jest podzielna przez i,
nie jest podzielna przez i, ponieważ nie jest podzielna przez i.
nie da się całkowicie podzielić

Oznacza to, że liczbę można rozłożyć tylko na i.

Teraz znajdźmy NWD te numery. Jaka to liczba? Prawidłowy, .

Będziemy ćwiczyć?

Zadanie nr 1. Znajdź gcd liczb 6240 i 6800

1) Dzielę przez natychmiast, ponieważ obie liczby są w 100% podzielne przez:

Zadanie nr 2. Znajdź gcd liczb 345 i 324

Nie mogę tu szybko znaleźć wspólny dzielnik, więc po prostu rozkładam to na czynniki pierwsze (tak małe, jak to możliwe):

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) - oszczędza czas, pomaga rozwiązywać problemy w niestandardowy sposób

Załóżmy, że masz dwie liczby - i. Jaka jest najmniejsza liczba, którą można podzielić przez bez śladu(czyli całkowicie)? Trudne do wyobrażenia? Oto wizualna wskazówka dla Ciebie:

Czy pamiętasz, co oznacza ta litera? Zgadza się, po prostu wszystkie liczby. Więc co najmniejsza liczba pasuje na miejsce x? :

W tym przypadku.

Od tego prosty przykład Następuje kilka zasad.

Zasady szybkiego odnajdywania Narodowych Komitetów Olimpijskich

Zasada 1: Jeśli jedna z dwóch liczb naturalnych jest podzielna przez inną liczbę, wówczas większa z tych dwóch liczb jest ich najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Znajdź następujące liczby:

NOC (7;21)
NOC (6;12)
NOC (5;15)
NOC (3;33)

Oczywiście poradziłeś sobie z tym zadaniem bez trudności i otrzymałeś odpowiedzi - i.

Pamiętaj, że w regule mówimy o DWÓCH liczbach, jeśli liczb jest więcej, reguła nie działa.

Na przykład LCM (7;14;21) nie jest równe 21, ponieważ nie jest podzielne przez.

Zasada 2. Jeśli dwie (lub więcej) liczby są względnie pierwsze, to najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa ich iloczynowi.

Znajdować NOC następujące liczby:

NOC (1;3;7)
NOC (3;7;11)
NOC (2;3;7)
NOC (3;5;2)

Czy policzyłeś? Oto odpowiedzi - , ; .

Jak rozumiesz, nie zawsze jest możliwe tak łatwe wybranie tego samego x, dlatego w przypadku liczb nieco bardziej złożonych istnieje następujący algorytm:

Będziemy ćwiczyć?

Znajdźmy najmniejszą wspólną wielokrotność - LCM (345; 234)

Znajdź samodzielnie najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM).

Jakie odpowiedzi otrzymałeś?

Oto co dostałem:

Ile czasu spędziłeś na szukaniu NOC? Mój czas to 2 minuty, naprawdę wiem jedna sztuczka, które sugeruję otworzyć już teraz!

Jeśli jesteś bardzo uważny, prawdopodobnie zauważyłeś, że szukaliśmy już podanych liczb NWD i możesz wziąć faktoryzację tych liczb z tego przykładu, upraszczając w ten sposób swoje zadanie, ale to nie wszystko.

Spójrz na zdjęcie, może przyjdą Ci do głowy inne myśli:

Dobrze? Dam ci wskazówkę: spróbuj pomnożyć NOC I NWD między sobą i zapisz wszystkie czynniki, które pojawią się podczas mnożenia. Czy udało Ci się? Powinieneś otrzymać taki łańcuch:

Przyjrzyj się temu bliżej: porównaj mnożniki z tym, jak i są ułożone.

Jaki wniosek możesz z tego wyciągnąć? Prawidłowy! Jeśli pomnożymy wartości NOC I NWD między sobą, wówczas otrzymujemy iloczyn tych liczb.

W związku z tym posiadanie liczb i znaczenia NWD(Lub NOC), możemy znaleźć NOC(Lub NWD) według tego schematu:

1. Znajdź iloczyn liczb:

2. Podziel powstały produkt przez nasz NWD (6240; 6800) = 80:

To wszystko.

Zapiszmy regułę w postaci ogólnej:

Spróbuj znaleźć NWD, jeżeli wiadomo, że:

Czy udało Ci się? .

Liczby ujemne to „liczby fałszywe” i ich rozpoznawanie przez ludzkość.

Jak już rozumiesz, są to liczby przeciwne do naturalnych, czyli:

Liczby ujemne można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić - zupełnie jak liczby naturalne. Wydawałoby się, co jest w nich takiego wyjątkowego? Ale faktem jest, że liczby ujemne „zdobyły” należne im miejsce w matematyce aż do XIX wieku (do tego momentu istniało mnóstwo kontrowersji na temat ich istnienia, czy nie).

Sama liczba ujemna powstała w wyniku takiej operacji na liczbach naturalnych, jak „odejmowanie”. Rzeczywiście, odejmij od tego, a otrzymasz liczbę ujemną. Dlatego zbiór liczb ujemnych nazywany jest często „rozszerzeniem zbioru”. liczby naturalne».

Liczby ujemne przez długi czas nie były rozpoznawane przez ludzi. Więc, Starożytny Egipt, Babilon i Starożytna Grecja- luminarze swoich czasów nie rozpoznawali liczb ujemnych, a w przypadku uzyskania pierwiastków ujemnych w równaniu (na przykład takim jak nasze) pierwiastki odrzucano jako niemożliwe.

Liczby ujemne najpierw zyskały prawo do istnienia w Chinach, a następnie w VII wieku w Indiach. Jak myślisz, jaki jest powód tego uznania? Zgadza się, liczby ujemne zaczęły oznaczać długi (w przeciwnym razie niedobory). Uważano, że liczby ujemne są wartością tymczasową, która w rezultacie zmieni się na dodatnią (czyli pieniądze nadal zostaną zwrócone pożyczkodawcy). Jednak indyjski matematyk Brahmagupta traktował już liczby ujemne na równi z dodatnimi.

W Europie użyteczność liczb ujemnych, a także fakt, że mogą one oznaczać długi, odkryto znacznie później, być może tysiąclecie. Pierwsza wzmianka została odnotowana w 1202 roku w „Księdze liczydła” Leonarda z Pizy (od razu powiem, że autor książki nie ma nic wspólnego z Krzywą Wieżą w Pizie, ale liczby Fibonacciego są jego dziełem (pseudonim Leonarda z Pizy to Fibonacci)). Co więcej, Europejczycy doszli do wniosku, że liczby ujemne mogą oznaczać nie tylko długi, ale także brak czegokolwiek, choć nie wszyscy to dostrzegali.

Tak więc w XVII wieku Pascal w to wierzył. Jak myślisz, jak to uzasadnił? To prawda, że „nic nie może być mniejsze niż NIC”. Echem tamtych czasów pozostaje fakt, że liczbę ujemną i operację odejmowania oznaczamy tym samym symbolem – minusem „-”. I prawda: . Czy liczba „ ” jest dodatnia, od której się odejmuje, czy ujemna, do której się sumuje?... Coś z serii „Co będzie pierwsze: kura czy jajko?” To taka specyficzna filozofia matematyczna.

Liczby ujemne zapewniły sobie prawo do istnienia wraz z pojawieniem się geometrii analitycznej, czyli innymi słowy, kiedy matematycy wprowadzili takie pojęcie jak oś liczb.

Od tego momentu nadeszła równość. Wciąż jednak było więcej pytań niż odpowiedzi, np.:

proporcja

Proporcję tę nazywa się „paradoksem Arnauda”. Pomyśl o tym, co jest w tym podejrzanego?

Porozmawiajmy razem, że „” to więcej niż „”, prawda? Zatem zgodnie z logiką lewa strona proporcji powinna być większa od prawej, ale są równe... To jest paradoks.

W efekcie matematycy byli zgodni do tego stopnia, że Karl Gauss (tak, tak, to ten sam, który obliczył sumę (lub) liczby) położył temu kres w 1831 roku – stwierdził, że liczby ujemne mają takie same prawa jak liczby dodatnie jednostkowe, a to, że nie dotyczą wszystkich rzeczy, nic nie znaczy, bo ułamków też nie stosuje się do wielu rzeczy (nie zdarza się, żeby kopacz kopał dół, nie można było kupić biletu do kina itp.) .).

Matematycy uspokoili się dopiero w XIX wieku, kiedy teorię liczb ujemnych stworzyli William Hamilton i Hermann Grassmann.

Są tak kontrowersyjne, te liczby ujemne.

Pojawienie się „pustki”, czyli biografia zera.

W matematyce jest to liczba specjalna. Na pierwszy rzut oka to nic: dodaj lub odejmij - nic się nie zmieni, ale wystarczy dodać to po prawej stronie do „ ”, a wynikowa liczba będzie kilka razy większa niż pierwotna. Mnożąc przez zero, zamieniamy wszystko w nic, ale dzieląc przez „nic”, to znaczy nie możemy. Jednym słowem magiczna liczba)

Historia zera jest długa i skomplikowana. W pismach Chińczyków z drugiego tysiąclecia naszej ery znaleziono ślad zera. a jeszcze wcześniej wśród Majów. Pierwsze użycie symbolu zera w dzisiejszej postaci zaobserwowano wśród greckich astronomów.

Istnieje wiele wersji wyjaśniających, dlaczego wybrano to określenie „nic”. Niektórzy historycy skłonni są wierzyć, że jest to omikron, tj. Pierwsza litera greckiego słowa oznaczającego nic to ouden. Według innej wersji słowo „obol” (moneta prawie bezwartościowa) dało życie symbolowi zera.

Zero (lub null) jako symbol matematyczny po raz pierwszy pojawia się wśród Indian (zauważ, że liczby ujemne zaczęły się tam „rozwijać”). Pierwsze wiarygodne dowody na zapis zera pochodzą z roku 876, a w nich „ ” jest składnikiem liczby.

Zero też przyszło do Europy późno – dopiero w 1600 roku i podobnie jak liczby ujemne napotkało opór (co zrobić, tacy są Europejczycy).

„Zero było często znienawidzone, od dawna budziło strach, a nawet było zakazane” – pisze amerykański matematyk Charles Safe. Tak więc turecki sułtan Abdul Hamid II pod koniec XIX wieku. nakazał swoim cenzorom wymazać wzór woda H2O ze wszystkich podręczników chemii, przyjmując literę „O” za zero i nie chcąc, aby jego inicjały zostały zdyskredytowane przez bliskość znienawidzonego zera”.

W Internecie można znaleźć zdanie: „Zero jest najpotężniejszą siłą we Wszechświecie, może wszystko! Zero porządkuje w matematyce, ale też wprowadza do niej chaos.” Absolutnie słuszna uwaga :)

Podsumowanie sekcji i podstawowe wzory

Zbiór liczb całkowitych składa się z 3 części:

liczby naturalne (przyjrzymy się im bardziej szczegółowo poniżej);
liczby przeciwne liczbom naturalnym;
zero - " "

Oznaczono zbiór liczb całkowitych litera Z.

1. Liczby naturalne

Liczby naturalne to liczby, których używamy do liczenia obiektów.

Oznaczono zbiór liczb naturalnych litera N.

W przypadku operacji na liczbach całkowitych będziesz potrzebować umiejętności znajdowania GCD i LCM.

Największy wspólny dzielnik (GCD)

Aby znaleźć GCD, musisz:

Rozłóż liczby na czynniki pierwsze (te liczby, których nie można podzielić przez nic innego poza nimi samymi lub na przykład przez itp.).
Zapisz czynniki wchodzące w skład obu liczb.
Pomnóż je.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM)

Aby znaleźć NOC, potrzebujesz:

Dziel liczby na czynniki pierwsze (już wiesz, jak to zrobić bardzo dobrze).
Zapisz czynniki biorące udział w rozwinięciu jednej z liczb (lepiej wziąć najdłuższy łańcuch).
Dodaj do nich brakujące czynniki z rozwinięć pozostałych liczb.
Znajdź iloczyn uzyskanych czynników.

2. Liczby ujemne

Są to liczby przeciwne do naturalnych, czyli:

Teraz chcę cię usłyszeć...

Mam nadzieję, że doceniłeś bardzo przydatne „sztuczki” w tej sekcji i zrozumiałeś, w jaki sposób pomogą ci one na egzaminie.

A co ważniejsze - w życiu. Nie mówię o tym, ale uwierz mi, to prawda. Umiejętność szybkiego i bezbłędnego liczenia ratuje Cię w wielu sytuacjach życiowych.

Teraz twoja kolej!

Napisz, czy będziesz wykorzystywał w obliczeniach metody grupowania, testy podzielności, GCD i LCM?

Może już je używaliście? Gdzie i jak?

Być może masz pytania. Lub sugestie.

Napisz w komentarzu jak podoba Ci się artykuł.

I powodzenia na egzaminach!

No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.

Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Aby odnieść sukces zdanie jednolitego egzaminu państwowego, o przyjęcie na studia z ograniczonym budżetem i, co najważniejsze, na całe życie.

Nie będę Cię do niczego przekonywał, powiem tylko jedno...

Ludzie, którzy otrzymali dobre wykształcenie, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy go nie otrzymali. To jest statystyka.

Ale to nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że otwiera się przed nimi o wiele więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...

Ale pomyśl samodzielnie...

Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?

Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.

Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.

Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy z czasem.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.

To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółowa analiza i decyduj, decyduj, decyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.

Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.

Jak? Istnieją dwie opcje:

Odblokuj wszystkie ukryte zadania w tym artykule - Kup artykuł - 299 rub.
Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach podręcznika - Kup podręcznik - 499 RUR

Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.

Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez CAŁY okres istnienia witryny.

Podsumowując...

Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.

„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż je!

Najprostsza liczba to Liczba naturalna. Są używane w życiu codziennym do liczenia obiekty, tj. obliczyć ich liczbę i kolejność.

Co to jest liczba naturalna: liczby naturalne nazwij liczby, do których jesteś przyzwyczajony liczenie sztuk lub wskazanie numeru seryjnego dowolnej pozycji ze wszystkich jednorodnych rzeczy.

Liczby całkowite- są to liczby zaczynające się od jedynki. Tworzą się naturalnie podczas liczenia.Na przykład 1,2,3,4,5... -pierwsze liczby naturalne.

Najmniejsza liczba naturalna- jeden. Nie ma największej liczby naturalnej. Podczas liczenia liczby Zero nie jest używane, więc zero jest liczbą naturalną.

Seria liczb naturalnych jest ciągiem wszystkich liczb naturalnych. Zapisywanie liczb naturalnych:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

W szeregu naturalnym każda liczba jest większa od poprzedniej.

Ile liczb jest w ciągu naturalnym? Szereg naturalny jest nieskończony, największa liczba naturalna nie istnieje.

Dziesiętny, ponieważ 10 jednostek dowolnej cyfry tworzy 1 jednostkę najwyższej cyfry. Pozycjonując tak jak znaczenie cyfry zależy od jej miejsca w liczbie, tj. z kategorii, w której jest napisane.

Klasy liczb naturalnych.

Dowolną liczbę naturalną można zapisać za pomocą 10 cyfr arabskich:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Aby odczytać liczby naturalne, dzieli się je, zaczynając od prawej strony, na grupy po 3 cyfry każda. 3 najpierw liczby po prawej stronie to klasa jednostek, kolejne 3 to klasa tysięcy, następnie klasy milionów, miliardów iitp. Każda cyfra klasy nazywa się jejwypisać.

Porównanie liczb naturalnych.

Z 2 liczb naturalnych mniejsza jest liczba, która zostanie wywołana wcześniej podczas liczenia. Na przykład, numer 7 mniej 11 (napisane tak:7 < 11 ). Gdy jedna liczba jest większa od drugiej, zapisuje się to w następujący sposób:386 > 99 .

Tabela cyfr i klas liczb.


Jednostka I klasy	Pierwsza cyfra jednostki Druga cyfra dziesiątek Trzecie miejsce w setkach
II klasa tys	Pierwsza cyfra jednostki tysięcy Druga cyfra dziesiątek tysięcy Trzecia kategoria setki tysięcy
Miliony trzeciej klasy	Pierwsza cyfra jednostki milionów Druga kategoria – dziesiątki milionów Trzecia kategoria: setki milionów
Miliardy czwartej klasy	Pierwsza cyfra jednostki miliardów Druga kategoria – dziesiątki miliardów Trzecia kategoria: setki miliardów

Liczby od klasy 5. i wyższej są uważane za duże liczby. Jednostki piątej klasy to biliony, szóstej klasa – biliardy, klasa 7 – kwintyliony, klasa 8 – sekstyliony, klasa 9 – eptilliony.

Podstawowe własności liczb naturalnych.

Przemienność dodawania . za + b = b + a
Przemienność mnożenia. ab = ba
Łączność dodawania. (a + b) + do = za + (b + c)
Łączność mnożenia.
Rozdzielność mnożenia względem dodawania:

Działania na liczbach naturalnych.

4. Dzielenie liczb naturalnych jest operacją odwrotną mnożenia.

Jeśli b ∙ do = a, To

Wzory na dzielenie:

a: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(A∙ b) : do = (a:c) ∙ b

(A∙ b) : do = (b:c) ∙ a

Wyrażenia numeryczne i równości numeryczne.

Notacja, w której liczby są połączone znakami akcji, to wyrażenie numeryczne.

Na przykład 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Rekordy, w których 2 wyrażenia numeryczne są połączone znakiem równości, to równości numeryczne. Równość ma lewą i prawą stronę.

Kolejność wykonywania operacji arytmetycznych.

Dodawanie i odejmowanie liczb to operacje pierwszego stopnia, natomiast mnożenie i dzielenie to operacje drugiego stopnia.

Jeżeli wyrażenie liczbowe składa się z działań tylko jednego stopnia, są one wykonywane sekwencyjnie od lewej do prawej.

Gdy wyrażenia składają się z działań tylko pierwszego i drugiego stopnia, wówczas akcje są wykonywane w pierwszej kolejności drugiego stopnia, a następnie - działania pierwszego stopnia.

Jeżeli w wyrażeniu znajdują się nawiasy, w pierwszej kolejności wykonywane są działania w nich zawarte.

Na przykład 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Współczesna symbioza fizyki i matematyki prowadzi także do radykalnego przemyślenia podstawowych pojęć stosowanych w matematyce, wśród których to pojęcie ma najbardziej podstawowe znaczenie.

Co zawiera się w pojęciu liczby

Liczby są głównym przedmiotem wiedzy fizycznej. Numer studiów fizycznych. Fizyka bada skutki, które powstają w wyniku istnienia liczby. Liczba jest formą istnienia czasu w przyrodzie. Liczba jest prawdziwym przedmiotem fizyki. Liczba jest jednocześnie falą i cząstką. Liczba jest przedmiotem rzeczywistym, elementem czasu, rzeczą, przedmiotem czasu, który z punktu widzenia badacza jest zarówno falą, jak i cząstką. Liczba jest zatem obiektem, który przeprowadza procesy oscylacyjne i falowe. Liczba promieniuje.

Formą istnienia liczby jest oscylacja - oscylacje harmoniczne, mechaniczne oscylacje harmoniczne, swobodne oscylacje harmoniczne w elektrycznym obwodzie oscylacyjnym, oscylacje tłumione i wymuszone.

Pojęcie liczby. Fizyka kwantowa bardziej niż jakakolwiek inna dziedzina fizyki zbliżyła się do prawdziwego, choć nieoczywistego przedmiotu współczesnej fizyki – liczb. Prawdziwym przedmiotem fizyki jest liczba.

Przestrzeń składa się z liczb. Jedną rzeczywistą nieskończonością szeregu liczbowego (nieskończonością policzalną) jest przestrzeń sama w sobie.

Jedną prawdziwą nieskończonością szeregu liczbowego jest „pole”. Nieskończony szereg liczbowy jest spójnością „natury”, jest procesem czasu jako materią wszelkiej realizacji. Liczba, uniwersalna i konkretna, to rzeczywistość ukryta pod nazwą „ciało” w mechanice klasycznej. Jest tylko liczba. Wewnętrzne relacje szeregu liczbowego tworzą przezroczystą przestrzeń fizyki.

V. I. Shilov

„Prędkość”, „przyspieszenie”, „impuls”, „bezwładność”, „energia”, „ruch termiczny”, „praca”, „fluktuacja”, „pole elektryczne”, „ładunek elektryczny”, „ Elektryczność", "dielektryk", "półprzewodnik", "plazma", "pole magnetyczne", "atom", "indukcja", "prąd elektryczny", "oscylacje", "fale", "promieniowanie cieplne", "foton", " radioaktywność”, „podstawowe oddziaływania cząstek elementarnych” – a wszystko to mierzy się liczbami.

Liczba jest zatem pierwotnym przedmiotem fizyki, zbieżnym z istotą matematyki. Wszelkie eksperymenty fizyczne są eksperymentami „wewnątrz” szeregu liczbowego, eksperymentami z konkretnymi liczbami, eksperymentami z zakresu oddziaływania liczb, eksperymentami opartymi na rzeczywistej nieskończoności jednego, ale rzeczywiście istniejącego szeregu liczbowego.

Sama różnica w rodzajach liczb polega na rzeczywistej fizycznej rzeczywistości procesów fizycznych prezentowanych w gałęziach współczesnej fizyki. Różnica w typach liczb jest rzeczywistą formą różnicy w interakcjach fizycznych i typach materia fizyczna.

Rodzaje liczb odzwierciedlają całą różnorodność procesów fizycznych i są badaną formą tej różnorodności. Więc:

Podzielność liczby jest specyficzną fizyczną istotą procesu fizycznego.

Niepodzielna liczba pierwsza jest ostatnim prawdziwym przedmiotem fizyki.

Brak zaufania do konsultanta

Bardzo silne emocje (złość, depresja, lęk)

Poczucie zawstydzenia, wstydu

Różnice kulturowe, płciowe, religijne

Gadatliwość

84. Cele parafrazowania NIE obejmują:

Zmiana treści wypowiedzi klienta tak, aby nabrały terapeutycznego, sugestywnego brzmienia

85. Która z poniższych zasad należy do podstawowych zasad parafrazowania?

zwięzłość

ograniczenie się do rzeczy istotnych z punktu widzenia konsultanta

Skoncentruj się na treściach istotnych dla klienta

wprowadzenie elementu sugestywnego do dialogu

86. Które ze stwierdzeń poprawnie określa odzwierciedlenie uczuć klienta w pracy konsultanta:

Wyjaśnienie uczuć i doświadczeń wyrażanych przez klienta

Wyrażanie przez konsultanta uczuć, o których mówi klient, językiem komunikacji niewerbalnej

Wyrażanie uczuć, jakie powinna mieć dana osoba w sytuacji opisanej przez klienta

87. Cele stosowania techniki odzwierciedlania uczuć NIE obejmują:

A) pomoc klientowi w zidentyfikowaniu jego uczuć

B) zachęta do rozmowy o uczuciach związanych z problemem

C) pomagają zmniejszyć stres emocjonalny

D) wykazanie klientowi nieadekwatności i nieprzystosowania jego uczuć

D) wykazanie empatycznego zrozumienia problemu klienta

E) stworzenie u klienta poczucia bezpieczeństwa?

88. Zasady odzwierciedlania uczuć obejmują (wszystkie 5)

Precyzyjny dobór słów

Skupienie się na rzeczywistych uczuciach klienta

Zwięzłość

Używanie pozytywnego języka

Zaufanie

89. Które stwierdzenie poprawnie opisuje istotę techniki przywiązywania uczuć do treści:

Proces ten pomaga wyjaśnić uczucia i połączyć je ze zdarzeniami, które je spowodowały.

90. Połączenie uczuć ze zdarzeniami, które je spowodowały, osiągnięte poprzez połączenie uczuć z treścią, pomaga:

Jest to umiejętność werbalna, która łączy odzwierciedlanie uczuć z parafrazowaniem treści.. Proces ten pomaga wyjaśnić uczucia i połączyć je ze zdarzeniami, które je spowodowały, zmniejszając w ten sposób poczucie chaosu i wyjaśniając przedmioty pracy.

91. Użycie zwrotów wprowadzających typu: „Wydawało mi się, że... miałem przypuszczenie...” itp.:

jest niepożądane w pracy konsultanta, gdyż podkreśla jego niepewność

2. -podkreśla prawo klienta do zaakceptowania lub nie zaakceptowania tego, co mówi konsultant

3. niepożądane, gdyż może znacznie opóźnić rozmowę konsultacyjną

92. O co konsultant powinien sobie zadać zanim zada klientowi pytanie wyjaśniające:

Czy boi się milczenia klienta?

Czy mu się znudziło?

Czy problem klienta sprawia, że konsultant czuje się niezręcznie i chce zmienić temat?

Czy konsultant próbuje naprawić sytuację, czy uratować klienta przed problemem?

93. Proces interwencji kryzysowej ma na celu:

Rozwiąż problem

Złagodzić emocjonalne objawy kryzysu????

Zmniejsz znaczenie problemu w percepcji klienta

94. Główne postanowienia dotyczące interwencji kryzysowej obejmują wszystkie poniższe Z WYJĄTKIEM:

Interwencja kryzysowa koncentruje się na problemie, a nie na osobie

Interwencja kryzysowa nie jest psychoterapią

Interwencja kryzysowa jest możliwa tylko wtedy, gdy zostanie zastosowana do bieżącej sytuacji

Jedną z najważniejszych taktyk jest pomoc klientowi w powiązaniu uczuć z treścią problemu.

Problem musi być jasno zdefiniowany

95. Trójetapowy model interwencji kryzysowej obejmuje etapy:

Zrozumienie – wyjaśnienie – zaproponowanie optymalnego rozwiązania

96. Jedną z najczęstszych pułapek interwencji kryzysowej jest przyjmowanie przez doradcę roli „ratownika”; Zazwyczaj jest to sygnalizowane przez:

Poczucie obowiązku rozwiązania problemu klienta

Unikanie intensywnego stresu emocjonalnego lub konfliktu z klientem

Poczucie wstydu i/lub winy doradcy za działania klienta

97. Które z poniższych stwierdzeń opisuje sposoby uniknięcia roli „ratownika” w interwencji kryzysowej:

Pomoc tylko jeśli jest umowa

Pamiętaj, że klient nie jest bezradny

Pomoc w dostępie do zasobów wewnętrznych

Nie bierz na siebie więcej niż 50% pracy

Nie rób rzeczy, których tak naprawdę nie chcesz robić

98. Które z poniższych stwierdzeń klientów przedstawiają kluczowe sformułowania dotyczące pułapek doradczych:

Naprawdę muszę to wszystko przemyśleć.

Nie oczekuję od Ciebie żadnych rad. Muszę tylko porozmawiać.

99. Jeśli ktoś mówi o samobójstwie, nie popełni go.

Fakt NIE

100. Wszyscy samobójcy to ludzie chorzy psychicznie.

Fakt NIE

101. Spośród dziesięciu osób, które popełniły samobójstwo, osiem wyraźnie ostrzegło o swoich zamiarach.

102. Intencje samobójcze oznaczają zdecydowaną decyzję danej osoby o popełnieniu samobójstwa.

Fakt NIE

103.Poprawa po kryzysie samobójczym oznacza, że zagrożenie samobójstwem minęło.

104. Najczęściej decyzja o samobójstwie nie jest jednoznaczna.

105. Prawdziwi samobójcy nie ostrzegają o swoich zamiarach.

Fakt NIE

106.Samobójstwa częściej zdarzają się wśród ludzi bogatych i odwrotnie, wśród ludzi bardzo biednych.

107. Osoba w stanie samobójczym ostrzega i daje wiele sygnałów o swoich zamiarach.

108. Osoba w stanie samobójczym jest głęboko nieszczęśliwa, ale niekoniecznie chora.

109. Większość samobójstw ma miejsce w ciągu około trzech miesięcy od zakończenia kryzysu i rozpoczęcia poprawy, kiedy wydaje się, że energia realizuje zamiary

110. Wskaźnik samobójstw jest taki sam we wszystkich warstwach społeczno-ekonomicznych społeczeństwa.

111. Który z poniższych czynników zwiększa ryzyko samobójstwa?:

Doświadczenie utraty lub rozpadu bliskiego związku

Doświadczanie bieżących lub spodziewanych zmian w stanie zdrowia lub warunków życia (starzenie się, emerytura, problemy finansowe itp.)

Choroby objawiające się silnym bólem i/lub niepełnosprawnością

Nadużywanie lub uzależnienie od substancji

Depresja

Przypadki samobójstw w rodzinie

Historia zachowań samobójczych

Wszystkie powyższe