Wyrażenia, równania i układy równań
z liczbami zespolonymi

Dzisiaj na lekcji opracujemy typowe działania z liczbami zespolonymi, a także opanujemy technikę rozwiązywania wyrażeń, równań i układów równań zawartych w tych liczbach. Ten warsztat jest kontynuacją lekcji, dlatego jeśli nie jesteś zaznajomiony z tematem, skorzystaj z powyższego linku. Cóż, sugeruję, aby bardziej przygotowani czytelnicy od razu się rozgrzali:

Przykład 1

Uprość wyrażenie , jeśli . Przedstaw wynik w formie trygonometrycznej i przedstaw go na płaszczyźnie zespolonej.

Rozwiązanie: więc musisz podstawić w "strasznym" ułamku, przeprowadzić uproszczenia i przetłumaczyć wynikowy Liczba zespolona w forma trygonometryczna. Plus cholera.

Jaki jest najlepszy sposób na podjęcie decyzji? Bardziej opłaca się zajmować się „wymyślnym” wyrażeniem algebraicznym etapami. Po pierwsze uwaga jest mniej rozproszona, a po drugie, jeśli zadanie nie zostanie zaliczone, znacznie łatwiej będzie znaleźć błąd.

1) Najpierw uprośćmy licznik. Zastąp w nim wartość, otwórz wsporniki i napraw fryzurę:

... Tak, okazało się takie Quasimodo z liczb zespolonych ...

Przypominam, że w trakcie przekształceń używa się rzeczy zupełnie naiwnych - zasady mnożenia wielomianów i banalnej już równości. Najważniejsze to być ostrożnym i nie mylić się ze znakami.

2) Teraz mianownik jest następny. Jeśli następnie:

Zwróć uwagę na to, jaka niezwykła interpretacja jest używana suma kwadratowa formuła. Alternatywnie możesz zmienić tutaj podformuła . Wyniki oczywiście będą się zgadzać.

3) I wreszcie całe wyrażenie. Jeśli następnie:

Aby pozbyć się ułamka, mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone z mianownikiem. Jednak do celów aplikacyjnych różnica wzorów kwadratów powinno być wstępnie (i na pewno!) umieść ujemną część rzeczywistą na 2 miejscu:

A teraz kluczowa zasada:

W ŻADNYM WYPADKU NIE SPIESZYMY SIĘ! Lepiej grać bezpiecznie i przepisać dodatkowy krok.
W wyrażeniach, równaniach i układach z liczbami zespolonymi domniemane obliczenia ustne najeżony jak zawsze!

Na ostatnim etapie nastąpił ładny skurcz i to po prostu świetny znak.

Notatka : ściśle mówiąc, nastąpiło tutaj dzielenie liczby zespolonej przez liczbę zespoloną 50 (przypomnijmy ). Do tej pory milczałem o tym niuansie i porozmawiamy o tym nieco później.

Oznaczmy nasze osiągnięcie literą

Przedstawmy wynik w formie trygonometrycznej. Ogólnie rzecz biorąc, tutaj możesz obejść się bez rysunku, ale gdy tylko jest to wymagane, bardziej racjonalne jest ukończenie go teraz:

Oblicz moduł liczby zespolonej:

Jeśli wykonasz rysunek w skali 1 jednostki. \u003d 1 cm (2 komórki tetrad), wówczas uzyskaną wartość można łatwo sprawdzić za pomocą zwykłej linijki.

Znajdźmy argument. Ponieważ numer znajduje się w 2. kwartale współrzędnych, to:

Kąt jest po prostu sprawdzany przez kątomierz. To niewątpliwy plus rysunku.

Tak więc: - pożądana liczba w formie trygonometrycznej.

Sprawdźmy:
, który miał zostać zweryfikowany.

Wygodnie jest znaleźć nieznane wartości sinusa i cosinusa przez tabela trygonometryczna.

Odpowiadać:

Podobny przykład rozwiązania „zrób to sam”:

Przykład 2

Uprość wyrażenie , gdzie . Narysuj wynikową liczbę na płaszczyźnie zespolonej i zapisz ją w formie wykładniczej.

Staraj się nie pomijać samouczków. Mogą wydawać się proste, ale bez treningu „wejście w kałużę” jest nie tylko łatwe, ale bardzo łatwe. Więc weźmy to w swoje ręce.

Często problem pozwala na więcej niż jedno rozwiązanie:

Przykład 3

Oblicz jeśli ,

Rozwiązanie: przede wszystkim zwróćmy uwagę na pierwotny warunek - jedna liczba jest przedstawiona w formie algebraicznej, a druga w formie trygonometrycznej, a nawet ze stopniami. Od razu przepiszmy to w bardziej znajomej formie: .

W jakiej formie należy przeprowadzić obliczenia? Wyrażenie oczywiście obejmuje pierwsze mnożenie i dalsze podnoszenie do dziesiątej potęgi w Formuła De Moivre, który jest sformułowany dla postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. Dlatego bardziej logiczne wydaje się przekonwertowanie pierwszej liczby. Znajdź jego moduł i argument:

Stosujemy zasadę mnożenia liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej:
Jeśli następnie

Poprawiając ułamek dochodzimy do wniosku, że można „skręcić” 4 obroty ( zadowolony.):

Drugi sposób rozwiązania jest przetłumaczenie drugiej liczby na formę algebraiczną , wykonaj mnożenie w postaci algebraicznej, przetłumacz wynik na postać trygonometryczną i użyj wzoru De Moivre.

Jak widać, jedna "dodatkowa" akcja. Ci, którzy chcą, mogą śledzić rozwiązanie do końca i upewnić się, że wyniki się zgadzają.

Warunek nie mówi nic o postaci wynikowej liczby zespolonej, więc:

Odpowiadać:

Ale „dla piękna” lub na żądanie wynik można łatwo przedstawić w formie algebraicznej:

Na własną rękę:

Przykład 4

Uprość wyrażenie

Tutaj trzeba pamiętać działania z uprawnieniami, chociaż w podręczniku szkoleniowym nie ma jednej użytecznej reguły, oto ona:.

I jeszcze jedna ważna uwaga: przykład można rozwiązać na dwa sposoby. Pierwsza opcja to praca z dwa liczby i znosić ułamki. Drugą opcją jest reprezentowanie każdej liczby w formularzu iloraz dwóch liczb: oraz pozbyć się czteropiętrowego. Z formalnego punktu widzenia nie ma znaczenia, jak decydować, ale jest znacząca różnica! Proszę dobrze się zastanowić:
jest liczbą zespoloną;
jest ilorazem dwóch liczb zespolonych ( i ), jednak w zależności od kontekstu można też powiedzieć: liczba reprezentowana jako iloraz dwóch liczb zespolonych.

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na koniec lekcji.

Wyrażenia są dobre, ale równania są lepsze:

Równania ze złożonymi współczynnikami

Czym różnią się od „zwykłych” równań? Współczynniki =)

W świetle powyższej uwagi zacznijmy od tego przykładu:

Przykład 5

Rozwiązać równanie

I natychmiastowa preambuła w pościgu: pierwotnie prawa strona równania jest ustawiona jako iloraz dwóch liczb zespolonych (i 13), dlatego niewłaściwą formą byłoby przepisanie warunku liczbą (chociaż nie spowoduje błędu). Nawiasem mówiąc, różnica ta jest wyraźniej widoczna w ułamkach - jeśli relatywnie rzecz biorąc , to wartość ta jest rozumiana przede wszystkim jako „pełny” złożony pierwiastek równania, a nie jako dzielnik liczby , a tym bardziej -- nie jako część liczby !

Rozwiązanie, w zasadzie można to również ułożyć krok po kroku, ale w tym przypadku gra nie jest warta świeczki. Wstępnym zadaniem jest uproszczenie wszystkiego, co nie zawiera nieznanego „Z”, w wyniku czego równanie zostanie zredukowane do postaci:

Pewnie uprość średni ułamek:

Przenosimy wynik na prawą stronę i znajdujemy różnicę:

Notatka : i znowu zwracam uwagę na sensowny punkt - tutaj nie odejmowaliśmy liczby od liczby, ale zsumowaliśmy ułamki do wspólnego mianownika! Należy zauważyć, że już w trakcie rozwiązania praca z liczbami nie jest zabroniona: jednak w rozważanym przykładzie taki styl jest bardziej szkodliwy niż użyteczny =)

Zgodnie z zasadą proporcji wyrażamy „z”:

Teraz możesz znowu dzielić i mnożyć przez wyrażenie sprzężone, ale podejrzanie podobne liczby licznika i mianownika sugerują następujący ruch:

Odpowiadać:

W celu weryfikacji podstawiamy otrzymaną wartość po lewej stronie pierwotnego równania i przeprowadzamy uproszczenia:

- uzyskano prawą stronę oryginalnego równania, więc pierwiastek został znaleziony poprawnie.

…Teraz…wybiorę dla ciebie coś bardziej interesującego…poczekaj:

Przykład 6

Rozwiązać równanie

Równanie to sprowadza się do postaci , a zatem jest liniowe. Myślę, że wskazówka jest jasna - idź!

Oczywiście… jak możesz bez tego żyć:

Równanie kwadratowe ze złożonymi współczynnikami

Na lekcji Liczby zespolone dla manekinów dowiedzieliśmy się, że równanie kwadratowe ze współczynnikami rzeczywistymi może mieć sprzężone pierwiastki złożone, po czym pojawia się logiczne pytanie: dlaczego w rzeczywistości same współczynniki nie mogą być złożone? Sformułuję ogólny przypadek:

Równanie kwadratowe z dowolnymi współczynnikami zespolonymi (1 lub 2 z których lub wszystkie trzy mogą być w szczególności ważne) To ma dwa i tylko dwa złożone korzenie (prawdopodobnie jeden z nich lub oba są ważne). Podczas gdy korzenie (zarówno rzeczywista, jak i niezerowa część urojona) mogą się pokrywać (być wielokrotnymi).

Równanie kwadratowe ze złożonymi współczynnikami rozwiązuje się w taki sam sposób jak równanie „szkoła”, z pewnymi różnicami w technice obliczeniowej:

Przykład 7

Znajdź pierwiastki równania kwadratowego

Rozwiązanie: jednostka urojona jest na pierwszym miejscu i w zasadzie można się jej pozbyć (mnożąc obie strony przez ) jednak nie ma takiej potrzeby.

Dla wygody piszemy współczynniki:

Nie tracimy „minusu” darmowego członka! ... To może nie być dla wszystkich jasne - przepiszę równanie w standardowej postaci :

Obliczmy wyróżnik:

Oto główna przeszkoda:

Zastosowanie ogólnej formuły do ​​ekstrakcji korzenia (patrz ostatni akapit artykułu) Liczby zespolone dla manekinów) komplikują poważne trudności związane z argumentacją radykalnej liczby zespolonej (Sam zobacz). Ale jest inny, „algebraiczny” sposób! Poszukamy korzenia w postaci:

Podnieśmy obie strony do kwadratu:

Dwie liczby zespolone są równe, jeśli ich części rzeczywiste i urojone są równe. W ten sposób otrzymujemy następujący system:

System jest łatwiejszy do rozwiązania, wybierając (bardziej dokładnym sposobem jest wyrażenie z drugiego równania - podstaw w pierwszym, otrzymanie i rozwiązanie równania dwukwadratowego). Zakładając, że autor problemu nie jest potworem, stawiamy to i są liczbami całkowitymi. Z pierwszego równania wynika, że ​​„x” modułowy więcej niż „y”. Ponadto pozytywny produkt mówi nam, że niewiadome są tego samego znaku. W oparciu o powyższe i skupiając się na drugim równaniu, zapisujemy wszystkie pary, które do niego pasują:

Oczywiście dwie ostatnie pary spełniają pierwsze równanie układu, a więc:

Kontrola pośrednia nie zaszkodzi:

który miał być sprawdzony.

Jako „działający” korzeń możesz wybrać każdy oznaczający. Oczywiste jest, że lepiej jest wziąć wersję bez „minusów”:

Odnajdujemy korzenie, nie zapominając przy okazji, że:

Odpowiadać:

Sprawdźmy, czy znalezione pierwiastki spełniają równanie :

1) Zastępca:

poprawna równość.

2) Zastępca:

poprawna równość.

W ten sposób rozwiązanie zostało znalezione poprawnie.

Zainspirowany właśnie omawianym problemem:

Przykład 8

Znajdź pierwiastki równania

Zauważ, że pierwiastek kwadratowy z czysto złożony liczby są doskonale wyodrębnione i przy użyciu ogólnego wzoru , gdzie , więc obie metody są pokazane w przykładzie. Druga użyteczna uwaga dotyczy faktu, że wstępne wyciągnięcie pierwiastka ze stałej wcale nie upraszcza rozwiązania.

A teraz możesz się zrelaksować - w tym przykładzie wysiądziesz z lekkim strachem :)

Przykład 9

Rozwiąż równanie i sprawdź

Rozwiązania i odpowiedzi na koniec lekcji.

Ostatni akapit artykułu poświęcony jest:

układ równań z liczbami zespolonymi

Rozluźniliśmy się i… nie obciążamy się =) Rozważmy najprostszy przypadek – układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi:

Przykład 10

Rozwiąż układ równań. Przedstaw odpowiedź w formie algebraicznej i wykładniczej, przedstaw korzenie na rysunku.

Rozwiązanie: sam warunek sugeruje, że system ma unikalne rozwiązanie, czyli musimy znaleźć dwie liczby, które spełniają do każdego równanie systemowe.

System można naprawdę rozwiązać w „dziecinny” sposób (wyrazić jedną zmienną w kategoriach innej) , ale jest znacznie wygodniejszy w użyciu Wzory Cramera. Obliczać główny wyznacznik systemy:

, dzięki czemu system posiada unikalne rozwiązanie.

Powtarzam, że lepiej się nie spieszyć i przepisywać kroki tak szczegółowo, jak to możliwe:

Mnożymy licznik i mianownik przez jednostkę urojoną i otrzymujemy pierwszy pierwiastek:

Podobnie:

Odpowiednie prawe strony, p.t.p.

Wykonajmy rysunek:

Reprezentujemy korzenie w formie wykładniczej. Aby to zrobić, musisz znaleźć ich moduły i argumenty:

1) - arcus tangens z "dwójki" jest obliczany "źle", więc zostawiamy to tak:

FEDERALNA AGENCJA EDUKACJI

PAŃSTWOWA INSTYTUCJA EDUKACYJNA

WYŻSZE WYKSZTAŁCENIE ZAWODOWE

„PAŃSTWOWY UNIWERSYTET PEDAGOGICZNY W WORONEZH”

KRZESŁO AGLEBRY I GEOMETRII

Liczby zespolone

(wybrane zadania)

KOŃCOWA PRACA KWALIFIKACYJNA

specjalność 050201.65 matematyka

(z dodatkową specjalnością 050202.65 informatyka)

Ukończone przez: studenta V roku

fizyczne i matematyczne

Wydział

Doradca naukowy:

WORONEZ - 2008

1. Wstęp……………………………………………………...…………..…

2. Liczby zespolone (wybrane zagadnienia)

2.1. Liczby zespolone w postaci algebraicznej….……...……….….

2.2. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych…………..…

2.3. Postać trygonometryczna liczb zespolonych

2.4. Zastosowanie teorii liczb zespolonych do rozwiązywania równań III i IV stopnia…………………..…………………………………………………………

2.5. Liczby zespolone i parametry………...……………………...….

3. Wniosek………………………………………………………….................

4. Wykaz referencji………………………….………………….............

1. Wstęp

W programie matematycznym kursu szkolnego teorię liczb wprowadza się na przykładach zbiorów liczb naturalnych, liczb całkowitych, wymiernych, niewymiernych, tj. na zbiorze liczb rzeczywistych, których obrazy wypełniają całą oś liczbową. Ale już w 8 klasie nie ma wystarczającej ilości liczb rzeczywistych, rozwiązując równania kwadratowe z ujemnym wyróżnikiem. Dlatego konieczne było uzupełnienie zasobu liczb rzeczywistych liczbami zespolonymi, dla których pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej ma sens.

Wybór tematu „Liczby zespolone”, jako temat mojej końcowej pracy kwalifikacyjnej, polega na tym, że pojęcie liczby zespolonej poszerza wiedzę uczniów o systemach liczbowych, o rozwiązywaniu szerokiej klasy problemów zarówno treści algebraicznych, jak i geometrycznych, o rozwiązywanie równań algebraicznych dowolnego stopnia oraz rozwiązywanie problemów z parametrami.

W tej pracy dyplomowej rozważane jest rozwiązanie 82 problemów.

Pierwsza część głównej sekcji „Liczby zespolone” zawiera rozwiązania problemów z liczbami zespolonymi w postaci algebraicznej, definiuje operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, koniugacji liczb zespolonych w postaci algebraicznej, stopień jednostki urojonej, moduł liczby zespolonej, a także określa wyciąganie reguł pierwiastek kwadratowy od liczby zespolonej.

W drugiej części rozwiązywane są problemy interpretacji geometrycznej liczb zespolonych w postaci punktów lub wektorów płaszczyzny zespolonej.

Trzecia część dotyczy operacji na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej. Stosowane są formuły: De Moivre i ekstrakcja pierwiastka z liczby zespolonej.

Czwarta część poświęcona jest rozwiązywaniu równań III i IV stopnia.

Przy rozwiązywaniu zadań z ostatniej części "Liczby i parametry zespolone" są wykorzystywane i konsolidowane informacje podane w poprzednich częściach. Szereg problemów w tym rozdziale poświęcony jest wyznaczaniu rodzin prostych na płaszczyźnie zespolonej, podanych równaniami (nierównościami) z parametrem. W części ćwiczeń należy rozwiązać równania z parametrem (nad polem C). Istnieją zadania, w których zmienna złożona spełnia jednocześnie szereg warunków. Cechą rozwiązywania problemów tego działu jest sprowadzenie wielu z nich do rozwiązywania równań (nierówności, układów) drugiego stopnia, irracjonalnych, trygonometrycznych z parametrem.

Cechą prezentacji materiału z każdej części jest wstępne wprowadzenie podstaw teoretycznych, a następnie ich praktyczne zastosowanie w rozwiązywaniu problemów.

Na końcu pracy znajduje się wykaz wykorzystanej literatury. W większości z nich materiał teoretyczny jest przedstawiony wystarczająco szczegółowo i w przystępny sposób, rozważane są rozwiązania niektórych problemów oraz zadania praktyczne dla samodzielnego rozwiązania. Chciałbym zwrócić szczególną uwagę na takie źródła jak:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Liczby zespolone i ich zastosowania: Podręcznik. . Materiał podręcznik do nauki prezentowane w formie wykładów i ćwiczeń praktycznych.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Wybrane problemy i twierdzenia matematyki elementarnej. Arytmetyka i algebra. Książka zawiera 320 problemów z zakresu algebry, arytmetyki i teorii liczb. Zadania te ze swej natury różnią się znacznie od standardowych zadań szkolnych.

2. Liczby zespolone (wybrane zagadnienia)

2.1. Liczby zespolone w postaci algebraicznej

Rozwiązanie wielu problemów z matematyki i fizyki sprowadza się do rozwiązywania równań algebraicznych, tj. równania postaci

,

gdzie a0 , a1 , …, an są liczbami rzeczywistymi. Dlatego badanie równań algebraicznych jest jednym z najważniejszych pytań w matematyce. Na przykład równanie kwadratowe z ujemnym wyróżnikiem nie ma prawdziwych pierwiastków. Najprostszym takim równaniem jest równanie

.

Aby to równanie miało rozwiązanie, konieczne jest rozwinięcie zbioru liczb rzeczywistych przez dodanie do niego pierwiastka równania

.

Oznaczmy ten korzeń jako

. Tak więc z definicji , lub ,

W konsekwencji,

. nazywana jest jednostką urojoną. Z jego pomocą i za pomocą pary liczb rzeczywistych powstaje wyraz formy.

Otrzymane wyrażenie nazwano liczbami zespolonymi, ponieważ zawierały zarówno części rzeczywiste, jak i urojone.

Tak więc liczby zespolone nazywamy wyrażeniami postaci

, i są liczbami rzeczywistymi i są symbolem spełniającym warunek . Liczba nazywana jest częścią rzeczywistą liczby zespolonej, a liczba jest jej częścią urojoną. Symbole , służą do ich oznaczenia.

Liczby zespolone postaci

są liczbami rzeczywistymi, a zatem zbiór liczb zespolonych zawiera zbiór liczb rzeczywistych.

Liczby zespolone postaci

nazywane są czysto urojonymi. Dwie liczby zespolone postaci i nazywane są równymi, jeśli ich części rzeczywiste i urojone są równe, tj. jeśli równości , .

Zapis algebraiczny liczb zespolonych umożliwia wykonywanie na nich operacji zgodnie ze zwykłymi zasadami algebry.

Stosowanie równań jest szeroko rozpowszechnione w naszym życiu. Wykorzystywane są w wielu obliczeniach, budowie konstrukcji, a nawet sporcie. Równania były używane przez człowieka od czasów starożytnych i od tego czasu ich użycie tylko wzrosło. Dla jasności rozwiążmy następujący problem:

Oblicz \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] jeśli \

Przede wszystkim zwróćmy uwagę na to, że jedna liczba jest reprezentowana w formie algebraicznej, druga w formie trygonometrycznej. Należy go uprościć i sprowadzić do następującej formy

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Wyrażenie \ mówi, że przede wszystkim mnożymy i podnosimy do dziesiątej potęgi według formuły Moivre. Wzór ten został sformułowany dla postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. Otrzymujemy:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Stosując się do zasad mnożenia liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej, wykonamy następujące czynności:

W naszym przypadku:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Poprawiając ułamek \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\], dochodzimy do wniosku, że możliwe jest "skręcenie" 4 zwojów \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Odpowiedź: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Równanie to można rozwiązać w inny sposób, który sprowadza się do sprowadzenia drugiej liczby do postaci algebraicznej, a następnie wykonania mnożenia w postaci algebraicznej, przełożenia wyniku na postać trygonometryczną i zastosowania wzoru Moivre'a:

Gdzie mogę rozwiązać online układ równań z liczbami zespolonymi?

Możesz rozwiązać układ równań na naszej stronie https: // site. Darmowy solver online pozwoli Ci rozwiązać równanie online o dowolnej złożoności w kilka sekund. Wszystko, co musisz zrobić, to po prostu wprowadzić swoje dane do solvera. Możesz również obejrzeć instrukcję wideo i dowiedzieć się, jak rozwiązać równanie na naszej stronie internetowej. A jeśli masz jakieś pytania, możesz je zadać w naszej grupie Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Dołącz do naszej grupy, zawsze chętnie Ci pomożemy.

Aby rozwiązywać problemy z liczbami zespolonymi, musisz zrozumieć podstawowe definicje. główne zadanie tego artykułu poglądowego - wyjaśnienie, czym są liczby zespolone, oraz przedstawienie metod rozwiązywania podstawowych problemów z liczbami zespolonymi. Tak więc liczba zespolona jest liczbą postaci z = a + bi, gdzie a, b- liczby rzeczywiste, które nazywane są odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej i oznaczają a = Re(z), b=Im(z).
i nazywana jest jednostką urojoną. ja 2 \u003d -1. W szczególności dowolną liczbę rzeczywistą można uznać za złożoną: a = a + 0i, gdzie a jest prawdziwe. Jeśli a = 0 oraz b ≠ 0, wtedy liczba nazywana jest czysto urojoną.

Wprowadzamy teraz operacje na liczbach zespolonych.
Rozważ dwie liczby zespolone z 1 = a 1 + b 1 i oraz z 2 = a 2 + b 2 i.

Rozważać z = a + bi.

Zbiór liczb zespolonych rozszerza zbiór liczb rzeczywistych, co z kolei rozszerza zbiór liczby wymierne itp. Ten łańcuch osadzeń widać na rysunku: N – liczby naturalne, Z – liczby całkowite, Q – wymierne, R – rzeczywiste, C – zespolone.

Reprezentacja liczb zespolonych

Notacja algebraiczna.

Rozważ liczbę zespoloną z = a + bi, ta forma zapisu liczby zespolonej nazywa się algebraiczny. Tę formę pisania omówiliśmy już szczegółowo w poprzednim rozdziale. Dość często korzystam z poniższego rysunku poglądowego

forma trygonometryczna.

Z rysunku widać, że liczba z = a + bi można napisać inaczej. To oczywiste, że a = rcos(φ), b = żywica(φ), r=|z|, W konsekwencji z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) nazywa się argumentem liczby zespolonej. Ta reprezentacja liczby zespolonej nazywa się forma trygonometryczna. Notacja trygonometryczna jest czasami bardzo wygodna. Na przykład wygodnie jest go używać do podnoszenia liczby zespolonej do potęgi całkowitej, a mianowicie, jeśli z = rcos(φ) + rsin(φ)i, następnie z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ta formuła nazywa się Formuła de Moivre'a.

Forma demonstracyjna.

Rozważać z = rcos(φ) + rsin(φ)i jest liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, zapisujemy ją w innej postaci z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, ostatnia równość wynika ze wzoru Eulera, więc otrzymaliśmy nową formę zapisywania liczby zespolonej: z = re iφ, który jest nazywany wskazujący. Ta forma zapisu jest również bardzo wygodna przy podnoszeniu liczby zespolonej do potęgi: z n = r n e inφ, tutaj n niekoniecznie jest liczbą całkowitą, ale może być dowolną liczbą rzeczywistą. Ta forma pisania jest dość często używana do rozwiązywania problemów.

Podstawowe twierdzenie algebry wyższej

Wyobraź sobie, że mamy równanie kwadratowe x 2 + x + 1 = 0 . Oczywiście wyróżnik tego równania jest ujemny i nie ma pierwiastków rzeczywistych, ale okazuje się, że to równanie ma dwa różne pierwiastki złożone. Zatem główne twierdzenie wyższej algebry mówi, że każdy wielomian stopnia n ma co najmniej jeden pierwiastek złożony. Wynika z tego, że każdy wielomian stopnia n ma dokładnie n pierwiastków złożonych, biorąc pod uwagę ich wielokrotność. Twierdzenie to jest bardzo ważnym wynikiem w matematyce i jest szeroko stosowane. Prostym wnioskiem z tego twierdzenia jest to, że istnieje dokładnie n różnych n-stopniowych pierwiastków jedności.

Główne rodzaje zadań

W tej sekcji omówimy główne typy proste zadania do liczb zespolonych. Konwencjonalnie problemy na liczbach zespolonych można podzielić na następujące kategorie.

• Wykonywanie prostych operacji arytmetycznych na liczbach zespolonych.
• Znajdowanie pierwiastków wielomianów w liczbach zespolonych.
• Podnoszenie liczb zespolonych do potęgi.
• Ekstrakcja pierwiastków z liczb zespolonych.
• Zastosowanie liczb zespolonych do rozwiązywania innych problemów.

Rozważmy teraz ogólne metody rozwiązywania tych problemów.

Wykonywanie najprostszych operacji arytmetycznych na liczbach zespolonych odbywa się według zasad opisanych w pierwszym podrozdziale, ale jeśli liczby zespolone przedstawiane są w postaci trygonometrycznej lub wykładniczej, to w takim przypadku można je zamienić na postać algebraiczną i wykonać operacje według znanych zasad.

Znalezienie pierwiastków wielomianów zwykle sprowadza się do znalezienia pierwiastków równania kwadratowego. Załóżmy, że mamy równanie kwadratowe, jeśli jego wyróżnik jest nieujemny, to jego pierwiastki będą rzeczywiste i zostaną znalezione zgodnie z dobrze znanym wzorem. Jeśli wyróżnik jest ujemny, wtedy D = -1∙a 2, gdzie a jest pewną liczbą, wtedy wyróżnik możemy przedstawić w postaci D = (ia) 2, W konsekwencji √D = i|a|, a następnie możesz użyć znanego już wzoru na pierwiastki równania kwadratowego.

Przykład. Wróćmy do powyższego równania kwadratowego x 2 + x + 1 = 0.
Dyskryminujący - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Teraz możemy łatwo znaleźć korzenie:

Podnoszenie liczb zespolonych do potęgi można wykonać na kilka sposobów. Jeśli chcesz podnieść liczbę zespoloną w formie algebraicznej do małej potęgi (2 lub 3), możesz to zrobić przez bezpośrednie mnożenie, ale jeśli stopień jest większy (w zadaniach często jest znacznie większy), musisz zapisz tę liczbę w postaci trygonometrycznej lub wykładniczej i użyj znanych już metod.

Przykład. Rozważ z = 1 + i i podnieś do potęgi dziesiątej.
Piszemy z w postaci wykładniczej: z = √2 e iπ/4 .
Następnie z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Wróćmy do postaci algebraicznej: z 10 = -32i.

Wyciąganie pierwiastków z liczb zespolonych jest operacją odwrotną potęgowania, więc odbywa się to w podobny sposób. Aby wyodrębnić pierwiastki, często używa się wykładniczej formy pisania liczby.

Przykład. Znajdź wszystkie pierwiastki stopnia 3 jedności. Aby to zrobić, znajdujemy wszystkie pierwiastki równania z 3 = 1, szukamy pierwiastków w formie wykładniczej.
Podstaw w równaniu: r 3 e 3iφ = 1 lub r 3 e 3iφ = e 0 .
Stąd: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, stąd φ = 2πk/3.
Różne pierwiastki uzyskuje się przy φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Stąd 1 , e i2π/3 , e i4π/3 są pierwiastkami.
Lub w formie algebraicznej:

Ostatni typ problemów obejmuje ogromną różnorodność problemów i nie ma ogólnych metod ich rozwiązywania. Oto prosty przykład takiego zadania:

Znajdź kwotę sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Wprawdzie sformułowanie tego problemu nie odnosi się do liczb zespolonych, ale za ich pomocą można go łatwo rozwiązać. Aby go rozwiązać, używane są następujące reprezentacje:


Jeśli teraz podstawimy tę reprezentację do sumy, to problem sprowadzi się do sumowania zwykłego postępu geometrycznego.

Wniosek

Liczby zespolone są szeroko stosowane w matematyce, w tym artykule przeglądowym omówiono podstawowe operacje na liczbach zespolonych, opisano kilka typów standardowych problemów i krótko opisano ogólne metody ich rozwiązywania, w celu bardziej szczegółowego zbadania możliwości liczb zespolonych zaleca się korzystać z literatury specjalistycznej.

Literatura

Usługa rozwiązywania równań online pomoże Ci rozwiązać dowolne równanie. Korzystając z naszej strony, nie tylko uzyskasz odpowiedź na równanie, ale także zobaczysz szczegółowe rozwiązanie, czyli wyświetlenie krok po kroku procesu uzyskiwania wyniku. Nasza usługa przyda się uczniom szkół średnich i ich rodzicom. Uczniowie będą mogli przygotować się do sprawdzianów, egzaminów, sprawdzić swoją wiedzę, a rodzice będą mogli kontrolować rozwiązywanie równań matematycznych przez swoje dzieci. Umiejętność rozwiązywania równań jest obowiązkowym wymogiem dla studentów. Usługa pomoże Ci w samouczeniu się i pogłębianiu wiedzy z zakresu równań matematycznych. Dzięki niemu możesz rozwiązać dowolne równanie: kwadratowe, sześcienne, irracjonalne, trygonometryczne itp. serwis internetowy ale bezcenne, ponieważ oprócz poprawnej odpowiedzi otrzymujesz szczegółowe rozwiązanie każdego równania. Korzyści z rozwiązywania równań online. Na naszej stronie internetowej możesz rozwiązać dowolne równanie całkowicie bezpłatnie. Usługa jest w pełni automatyczna, nie musisz niczego instalować na swoim komputerze, wystarczy wprowadzić dane, a program wyda rozwiązanie. Wszelkie błędy obliczeniowe lub błędy typograficzne są wykluczone. U nas bardzo łatwo jest rozwiązać dowolne równanie online, więc upewnij się, że korzystasz z naszej strony do rozwiązywania wszelkiego rodzaju równań. Wystarczy wprowadzić dane, a obliczenia zostaną zakończone w ciągu kilku sekund. Program działa niezależnie, bez ingerencji człowieka, a Ty otrzymujesz dokładną i szczegółową odpowiedź. Rozwiązywanie równania w ogólna perspektywa. W takim równaniu zmienne współczynniki i pożądane pierwiastki są ze sobą powiązane. Najwyższa potęga zmiennej określa kolejność takiego równania. Na tej podstawie do rozwiązywania równań stosuje się różne metody i twierdzenia. Rozwiązywanie tego typu równań polega na znalezieniu pożądanych pierwiastków w postaci ogólnej. Nasza usługa pozwala rozwiązać nawet najbardziej złożone równania algebraiczne online. Możesz uzyskać zarówno ogólne rozwiązanie równania, jak i prywatne dla wartości liczbowych określonych współczynników. Aby rozwiązać równanie algebraiczne na stronie wystarczy poprawnie wypełnić tylko dwa pola: lewą i prawą część danego równania. Równania algebraiczne ze zmiennymi współczynnikami mają nieskończoną liczbę rozwiązań, a ustalając pewne warunki, ze zbioru rozwiązań wybiera się poszczególne. Równanie kwadratowe. Równanie kwadratowe ma postać ax^2+bx+c=0 dla a>0. Rozwiązanie równań w formie kwadratowej implikuje znalezienie wartości x, przy których spełniona jest równość ax ^ 2 + bx + c \u003d 0. Aby to zrobić, wartość dyskryminatora znajduje się według wzoru D=b^2-4ac. Jeśli dyskryminator jest mniejszy od zera, to równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych (pierwiastki pochodzą z ciała liczb zespolonych), jeśli jest równe zero, to równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty, a jeśli dyskryminator jest większy od zera, to równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki, które można znaleźć według wzoru: D \u003d -b + -sqrt / 2a. Aby rozwiązać równanie kwadratowe online, wystarczy wprowadzić współczynniki takiego równania (liczby całkowite, ułamki zwykłe lub wartości dziesiętne). Jeśli w równaniu występują znaki odejmowania, należy umieścić minus przed odpowiednimi członami równania. Możesz także rozwiązać równanie kwadratowe online w zależności od parametru, czyli zmiennych we współczynnikach równania. Nasza usługa online do wyszukiwania wspólne rozwiązania. Równania liniowe. Do rozwiązywania równań liniowych (lub układów równań) w praktyce stosuje się cztery główne metody. Opiszmy szczegółowo każdą metodę. Metoda substytucyjna. Rozwiązywanie równań metodą substytucji wymaga wyrażenia jednej zmiennej w kategoriach pozostałych. Następnie wyrażenie jest zastępowane innymi równaniami systemu. Stąd podstawiana jest nazwa metody rozwiązania, czyli zamiast zmiennej jej wyrażenie przez pozostałe zmienne. W praktyce metoda wymaga skomplikowanych obliczeń, choć jest łatwa do zrozumienia, więc rozwiązanie takiego równania online zaoszczędzi czas i ułatwi obliczenia. Wystarczy podać liczbę niewiadomych w równaniu i uzupełnić dane z równań liniowych, wtedy usługa dokona obliczeń. Metoda Gaussa. Metoda opiera się na najprostszych przekształceniach układu w celu uzyskania równoważnego układu trójkątnego. Niewiadome są z niej wyznaczane jedna po drugiej. W praktyce wymagane jest rozwiązanie takiego równania online za pomocą szczegółowy opis, dzięki której dobrze opanujesz metodę Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych. Zapisz układ równań liniowych w odpowiednim formacie i uwzględnij liczbę niewiadomych, aby poprawnie rozwiązać układ. Metoda Cramera. Ta metoda rozwiązuje układy równań w przypadkach, w których układ ma unikalne rozwiązanie. Główna rzecz działanie matematyczne tutaj jest obliczenie wyznaczników macierzy. Rozwiązywanie równań metodą Cramera odbywa się online, natychmiast otrzymujesz wynik wraz z pełnym i szczegółowym opisem. Wystarczy wypełnić system współczynnikami i wybrać liczbę nieznanych zmiennych. metoda macierzowa. Metoda ta polega na zebraniu współczynników dla niewiadomych w macierzy A, niewiadomych w kolumnie X i wyrazów wolnych w kolumnie B. W ten sposób układ równań liniowych sprowadza się do równania macierzowego postaci AxX=B. To równanie ma unikalne rozwiązanie tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy A jest niezerowy, w przeciwnym razie układ nie ma rozwiązań lub nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązanie równań metodą macierzową polega na znalezieniu macierzy odwrotnej A.