Modele matematyczne

Model matematyczny - przybliżone opiznaczenie obiektu modelującego, wyrażone za pomocąsymboliki matematycznej.

Modele matematyczne pojawiły się wraz z matematyką wiele wieków temu. Pojawienie się komputerów dało ogromny impuls rozwojowi modelowania matematycznego. Zastosowanie komputerów umożliwiło analizę i zastosowanie w praktyce wielu modeli matematycznych, które wcześniej nie nadawały się do badań analitycznych. Zaimplementowane matematycznie na komputerzemodel nieba zwany komputerowy model matematyczny, A prowadzenie ukierunkowanych obliczeń z wykorzystaniem modelu komputerowego zwany eksperyment obliczeniowy.

Etapy informatyki matematycznejdział są pokazane na rysunku. Pierwszyscena - zdefiniowanie celów modelowania. Cele te mogą być różne:

1. model jest potrzebny, aby zrozumieć, jak działa konkretny obiekt, jaka jest jego budowa, podstawowe właściwości, prawa rozwoju i interakcji
   ze światem zewnętrznym (zrozumienie);
2. model jest potrzebny, aby nauczyć się zarządzać obiektem (procesem) i określić najlepsze metody zarządzania dla danych celów i kryteriów (zarządzanie);
3. model jest potrzebny do przewidywania bezpośrednich i pośrednich skutków wdrożenia danych metod i form oddziaływania na obiekt (prognozowanie).

Wyjaśnijmy na przykładach. Niech przedmiotem badań będzie oddziaływanie strumienia cieczy lub gazu z ciałem stanowiącym przeszkodę w tym przepływie. Doświadczenie pokazuje, że siła oporu przepływu wywierana przez część ciała wzrasta wraz ze wzrostem prędkości przepływu, lecz przy pewnej wystarczająco dużej prędkości siła ta gwałtownie maleje, aby wraz z dalszym wzrostem prędkości ponownie wzrastać. Co spowodowało spadek siły oporu? Modelowanie matematyczne pozwala uzyskać jednoznaczną odpowiedź: w momencie gwałtownego spadku oporu wiry powstałe w przepływie cieczy lub gazu za opływowym korpusem zaczynają się od niego odrywać i są porywane przez przepływ.

Przykład z zupełnie innego obszaru: populacje dwóch gatunków osobników, które pokojowo współistniały w stabilnych liczebnościach i miały wspólne zaopatrzenie w żywność, „nagle” zaczynają gwałtownie zmieniać swoją liczebność. I tutaj modelowanie matematyczne pozwala (z pewnym stopniem wiarygodności) ustalić przyczynę (lub przynajmniej obalić pewną hipotezę).

Kolejnym możliwym celem modelowania jest opracowanie koncepcji zarządzania obiektem. Jaki tryb lotu samolotem wybrać, aby lot był bezpieczny i najbardziej opłacalny ekonomicznie? Jak zaplanować setki rodzajów prac przy budowie dużego obiektu, aby zakończyć je w jak najkrótszym czasie? Wiele takich problemów systematycznie pojawia się przed ekonomistami, projektantami i naukowcami.

Wreszcie, przewidywanie konsekwencji określonych oddziaływań na obiekt może być zarówno sprawą stosunkowo prostą w prostych układach fizycznych, jak i niezwykle złożoną – na granicy wykonalności – w układach biologicznych, ekonomicznych i społecznych. O ile stosunkowo łatwo jest odpowiedzieć na pytanie o zmiany sposobu rozprowadzania ciepła w cienkim pręcie pod wpływem zmian w stopie, z którego się składa, o tyle nieporównywalnie trudniej jest prześledzić (przewidzieć) środowiskowe i klimatyczne konsekwencje budowy dużego pręta elektrownia wodna czy społeczne skutki zmian w przepisach podatkowych. Być może i w tym przypadku metody modelowania matematycznego będą w przyszłości bardziej pomocne.

Druga faza: określenie parametrów wejściowych i wyjściowych modelu; podział parametrów wejściowych ze względu na stopień ważności wpływu ich zmian na wynik. Proces ten nazywa się rankingiem lub separacją według rangi (patrz. "Formalizowaniei modelowanie”).

Trzeci etap: budowa modelu matematycznego. Na tym etapie następuje przejście od abstrakcyjnego sformułowania modelu do sformułowania posiadającego określoną reprezentację matematyczną. Model matematyczny to równania, układy równań, układy nierówności, równania różniczkowe lub układy takich równań itp.

Czwarty etap: wybór metody badania modelu matematycznego. Najczęściej stosuje się tu metody numeryczne, które dobrze nadają się do programowania. Z reguły do ​​rozwiązania tego samego problemu nadaje się kilka metod, różniących się dokładnością, stabilnością itp. Powodzenie całego procesu modelowania często zależy od prawidłowego wyboru metody.

Piąty etap: opracowanie algorytmu, kompilacja i debugowanie programu komputerowego to proces trudny do sformalizowania. Spośród języków programowania wielu profesjonalistów preferuje FORTRAN do modelowania matematycznego: zarówno ze względu na tradycje, jak i ze względu na niezrównaną wydajność kompilatorów (do prac obliczeniowych) oraz dostępność ogromnych, starannie debugowanych i zoptymalizowanych bibliotek standardowych programów dla zapisanych w nim metod matematycznych . W użyciu są także języki takie jak PASCAL, BASIC, C, w zależności od charakteru zadania i upodobań programisty.

Szósty etap: testowanie programu. Działanie programu sprawdzane jest na zadaniu testowym ze znaną wcześniej odpowiedzią. To dopiero początek procedury testowej, którą trudno opisać w formalny sposób. Zazwyczaj testowanie kończy się, gdy użytkownik na podstawie swoich cech zawodowych uzna program za poprawny.

Siódmy etap: faktyczny eksperyment obliczeniowy, podczas którego ustala się, czy model odpowiada rzeczywistemu obiektowi (procesowi). Model jest wystarczająco adekwatny do procesu rzeczywistego, jeśli pewne charakterystyki procesu uzyskane na komputerze pokrywają się z charakterystykami uzyskanymi doświadczalnie z zadaną dokładnością. Jeżeli model nie odpowiada rzeczywistemu procesowi, wracamy do jednego z poprzednich etapów.

Klasyfikacja modeli matematycznych

Klasyfikacja modeli matematycznych może opierać się na różnych zasadach. Możesz klasyfikować modele według dziedzin nauki (modele matematyczne w fizyce, biologii, socjologii itp.). Można je klasyfikować ze względu na zastosowaną aparaturę matematyczną (modele oparte na równaniach różniczkowych zwyczajnych, równaniach różniczkowych cząstkowych, metodach stochastycznych, dyskretnych przekształceniach algebraicznych itp.). Wreszcie, jeśli wyjdziemy od ogólnych problemów modelowania w różnych naukach, niezależnie od aparatu matematycznego, najbardziej naturalna będzie następująca klasyfikacja:

• modele opisowe (opisowe);
• modele optymalizacyjne;
• modele wielokryterialne;
• modele gier.

Wyjaśnijmy to na przykładach.

Modele opisowe (opisowe).. Na przykład modelowanie ruchu komety, która najechała Układ Słoneczny, przeprowadza się w celu przewidzenia jej toru lotu, odległości, na jaką minie ona od Ziemi itp. W tym przypadku cele modelowania mają charakter opisowy, ponieważ nie ma możliwości wpływania na ruch komety ani czegokolwiek w niej zmieniać.

Modele optymalizacyjne służą do opisu procesów, na które można wpływać, próbując osiągnąć dany cel. W tym przypadku model zawiera jeden lub więcej parametrów, na które można wpływać. Przykładowo, zmieniając reżim termiczny w spichlerzu, można postawić sobie za cel wybór takiego reżimu, który pozwoli osiągnąć maksymalne bezpieczeństwo ziarna, tj. zoptymalizować proces przechowywania.

Modele wielokryterialne. Często konieczna jest optymalizacja procesu pod kątem kilku parametrów jednocześnie, a cele mogą być całkowicie sprzeczne. Przykładowo, znając ceny żywności i zapotrzebowanie danej osoby na żywność, należy organizować wyżywienie dla dużych grup ludzi (w wojsku, na obozach letnich dla dzieci itp.) fizjologicznie prawidłowo, a jednocześnie tak tanio, jak to możliwe możliwy. Oczywiste jest, że cele te w ogóle nie są zbieżne, tj. Podczas modelowania zastosowanych zostanie kilka kryteriów, pomiędzy którymi należy szukać równowagi.

Modele gier może dotyczyć nie tylko gier komputerowych, ale także bardzo poważnych spraw. Przykładowo przed bitwą dowódca, jeśli nie ma pełnych informacji na temat armii przeciwnika, musi opracować plan: w jakiej kolejności wprowadzić określone jednostki do bitwy itp., biorąc pod uwagę możliwą reakcję wroga. Istnieje specjalna gałąź współczesnej matematyki – teoria gier – która bada metody podejmowania decyzji w warunkach niepełnej informacji.

W ramach szkolnego kursu informatyki uczniowie zdobywają wstępną wiedzę na temat komputerowego modelowania matematycznego w ramach kursu podstawowego. W szkole średniej modelowanie matematyczne można pogłębiać w ramach kształcenia ogólnego obejmującego zajęcia z fizyki i matematyki, a także w ramach specjalistycznych zajęć do wyboru.

Głównymi formami nauczania komputerowego modelowania matematycznego w szkole średniej są wykłady, ćwiczenia laboratoryjne i testowe. Zazwyczaj praca nad stworzeniem i przygotowaniem do nauki każdego nowego modelu zajmuje 3-4 lekcje. W trakcie prezentacji materiału stawiane są problemy, które uczniowie muszą w przyszłości samodzielnie rozwiązać, a także w sposób ogólny zarysowuje się sposoby ich rozwiązania. Formułowane są pytania, na które należy uzyskać odpowiedzi podczas wykonywania zadań. Wskazana jest dodatkowa literatura, która pozwala uzyskać informacje pomocnicze w celu skuteczniejszej realizacji zadań.

Formą organizacji zajęć podczas studiowania nowego materiału jest zazwyczaj wykład. Po zakończeniu dyskusji na temat kolejnego modelu studenci mają do dyspozycji niezbędne informacje teoretyczne i zestaw zadań do dalszej pracy. Przygotowując się do wykonania zadania, uczniowie wybierają odpowiednią metodę rozwiązania i testują opracowany program przy użyciu jakiegoś znanego, prywatnego rozwiązania. W przypadku całkiem możliwych trudności w realizacji zadań udziela się konsultacji i proponuje się bardziej szczegółowe przestudiowanie tych odcinków w źródłach literackich.

Najbardziej odpowiednią do praktycznej części nauczania modelowania komputerowego jest metoda projektów. Zadanie jest sformułowane dla ucznia w formie projektu edukacyjnego i realizowane jest w formie kilku lekcji, przy czym główną formą organizacyjną jest praca w laboratorium komputerowym. Modelowanie nauczania metodą projektów edukacyjnych można realizować na różnych poziomach. Pierwsza to problematyczna prezentacja procesu realizacji projektu, który prowadzi nauczyciel. Drugim jest realizacja projektu przez uczniów pod okiem nauczyciela. Trzecim jest samodzielne ukończenie edukacyjnego projektu badawczego przez studentów.

Wyniki pracy należy przedstawić w formie liczbowej, w postaci wykresów i diagramów. Jeśli to możliwe, proces jest prezentowany dynamicznie na ekranie komputera. Po zakończeniu obliczeń i otrzymaniu wyników poddaje się je analizie, porównuje ze znanymi faktami z teorii, potwierdza się wiarygodność i dokonuje się sensownej interpretacji, co następnie znajduje odzwierciedlenie w pisemnym raporcie.

Jeśli wyniki zadowalają ucznia i nauczyciela, to praca liczy zakończone, a jego końcowym etapem jest przygotowanie raportu. Raport zawiera krótkie informacje teoretyczne na badany temat, matematyczne sformułowanie problemu, algorytm rozwiązania i jego uzasadnienie, program komputerowy, wyniki programu, analizę wyników i wnioski oraz wykaz literatury.

Po skompletowaniu wszystkich raportów, podczas lekcji próbnej uczniowie składają krótkie sprawozdania z wykonanej pracy i bronią swojego projektu. Jest to skuteczna forma raportu przed klasą grupy realizującej projekt, obejmującego ustawienie problemu, zbudowanie modelu formalnego, wybór metod pracy z modelem, wdrożenie modelu na komputerze, pracę z gotowym modelem, interpretację wyniki i formułowanie prognoz. W rezultacie studenci mogą otrzymać dwie oceny: pierwszą - za opracowanie projektu i powodzenie jego obrony, drugą - za program, optymalność jego algorytmu, interfejsu itp. Studenci otrzymują także oceny z quizów teoretycznych.

Zasadniczym pytaniem jest, jakich narzędzi użyć na szkolnym kursie informatyki do modelowania matematycznego? Komputerowa implementacja modeli może być przeprowadzona:

• za pomocą edytora arkuszy kalkulacyjnych (najczęściej MS Excel);
• tworząc programy w tradycyjnych językach programowania (Pascal, BASIC itp.), a także w ich nowoczesnych wersjach (Delphi, Visual
  Podstawowy dla aplikacji itp.);
• korzystanie ze specjalnych pakietów aplikacji do rozwiązywania problemów matematycznych (MathCAD itp.).

Na poziomie szkoły podstawowej preferowana wydaje się metoda pierwsza. Jednak w szkole średniej, gdy programowanie jest obok modelowania kluczowym tematem w informatyce, wskazane jest wykorzystanie go jako narzędzia modelowania. W trakcie procesu programowania studentom udostępniane są szczegóły procedur matematycznych; Co więcej, są po prostu zmuszani do ich opanowania, co również przyczynia się do edukacji matematycznej. Jeśli chodzi o wykorzystanie specjalnych pakietów oprogramowania, jest to wskazane na specjalistycznym kursie informatyki jako uzupełnienie innych narzędzi.

Ćwiczenia :

• Zrób diagram kluczowych pojęć.

Wykład 1.

METODOLOGICZNE PODSTAWY MODELOWANIA

Aktualny stan problemu modelowania systemów

Koncepcje modelowania i symulacji

Modelowanie można uznać za zastąpienie badanego obiektu (oryginału) jego konwencjonalnym obrazem, opisem lub innym obiektem tzw Model i zapewnienie zachowania zbliżonego do oryginału w ramach pewnych założeń i dopuszczalnych błędów. Modelowanie zwykle przeprowadza się w celu zrozumienia właściwości oryginału poprzez badanie jego modelu, a nie samego obiektu. Oczywiście modelowanie jest uzasadnione, gdy jest prostsze niż stworzenie samego oryginału, lub gdy z jakichś powodów lepiej jest w ogóle nie tworzyć oryginału.

Pod Model rozumie się obiekt fizyczny lub abstrakcyjny, którego właściwości są w pewnym sensie podobne do właściwości badanego obiektu.W tym przypadku wymagania dotyczące modelu są określone przez rozwiązywany problem i dostępne środki. Istnieje szereg ogólnych wymagań dotyczących modeli:

2) kompletność – zapewnienie odbiorcy wszystkich niezbędnych informacji

o przedmiocie;

3) elastyczność - umiejętność odtwarzania różnych sytuacji we wszystkim

zakres zmian warunków i parametrów;

4) złożoność zabudowy musi być akceptowalna dla istniejącej

czas i oprogramowanie.

Modelowanie to proces konstruowania modelu obiektu i badania jego właściwości poprzez badanie modelu.

Zatem modelowanie obejmuje 2 główne etapy:

1) opracowanie modelu;

2) badanie modelu i wyciąganie wniosków.

Jednocześnie na każdym etapie rozwiązywane są różne zadania i

zasadniczo różne metody i środki.

W praktyce stosuje się różne metody modelowania. W zależności od sposobu realizacji wszystkie modele można podzielić na dwie duże klasy: fizyczną i matematyczną.

Modelowanie matematyczne Zwykle uważa się je za sposób badania procesów lub zjawisk przy użyciu ich modeli matematycznych.

Pod modelowanie fizyczne odnosi się do badania obiektów i zjawisk na modelach fizycznych, gdy badany proces jest odtwarzany z zachowaniem jego natury fizycznej lub wykorzystuje się inne zjawisko fizyczne podobne do badanego. W której modele fizyczne Z reguły zakładają rzeczywiste ucieleśnienie tych właściwości fizycznych oryginału, które są istotne w konkretnej sytuacji.Na przykład podczas projektowania nowego samolotu powstaje makieta posiadająca te same właściwości aerodynamiczne; Planując zabudowę, architekci wykonują makietę odzwierciedlającą przestrzenny układ jej elementów. W związku z tym nazywa się również modelowanie fizyczne prototypowanie.

Modelowanie półtrwania to badanie układów sterowalnych na kompleksach modelowych z uwzględnieniem w modelu rzeczywistego sprzętu. Oprócz sprzętu rzeczywistego model zamknięty obejmuje symulatory wpływów i zakłóceń, modele matematyczne środowiska zewnętrznego oraz procesy, dla których nie jest znany wystarczająco dokładny opis matematyczny. Włączenie rzeczywistych urządzeń lub rzeczywistych systemów do schematu modelowania złożonych procesów pozwala na redukcję niepewności apriorycznej i badanie procesów, dla których nie ma dokładnego opisu matematycznego. Stosując modelowanie półnaturalne, badania prowadzone są z uwzględnieniem małych stałych czasowych i liniowości właściwych dla rzeczywistego sprzętu. Podczas badania modeli przy użyciu prawdziwego sprzętu stosuje się tę koncepcję symulacja dynamiczna, podczas badania złożonych systemów i zjawisk - ewolucyjny, imitacja I modelowanie cybernetyczne.

Oczywiście rzeczywiste korzyści z modelowania można uzyskać tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:

1) model zapewnia prawidłowe (odpowiednie) wyświetlanie właściwości

oryginał, istotny z punktu widzenia badanej operacji;

2) model pozwala wyeliminować wymienione powyżej problemy nieodłącznie

prowadzenie badań na obiektach rzeczywistych.

2. Podstawowe pojęcia modelowania matematycznego

Rozwiązywanie problemów praktycznych metodami matematycznymi konsekwentnie realizuje się poprzez sformułowanie problemu (opracowanie modelu matematycznego), wybór metody badania powstałego modelu matematycznego i analizę uzyskanego wyniku matematycznego. Matematyczne sformułowanie problemu jest zwykle przedstawiane w postaci obrazów geometrycznych, funkcji, układów równań itp. Opis obiektu (zjawiska) można przedstawić za pomocą form ciągłych lub dyskretnych, deterministycznych, stochastycznych i innych form matematycznych.

Teoria modelowania matematycznego zapewnia identyfikację wzorców występowania różnych zjawisk w otaczającym świecie lub działaniu systemów i urządzeń poprzez ich matematyczny opis i modelowanie bez przeprowadzania badań w pełnej skali. W tym przypadku stosuje się przepisy i prawa matematyki, które opisują symulowane zjawiska, systemy lub urządzenia na pewnym poziomie ich idealizacji.

Model matematyczny (MM) to sformalizowany opis systemu (lub operacji) w jakimś abstrakcyjnym języku, na przykład w postaci zbioru zależności matematycznych lub diagramu algorytmu, tj. czyli taki opis matematyczny, który zapewnia symulację działania systemów lub urządzeń na poziomie dostatecznie zbliżonym do ich rzeczywistego zachowania uzyskanego podczas pełnowymiarowych testów systemów lub urządzeń.

Każdy MM opisuje rzeczywisty obiekt, zjawisko lub proces z pewnym stopniem zbliżenia do rzeczywistości. Rodzaj MM zależy zarówno od charakteru obiektu rzeczywistego, jak i od celów badań.

Modelowanie matematyczne zjawiska społeczne, ekonomiczne, biologiczne i fizyczne, obiekty, systemy i różne urządzenia jest jednym z najważniejszych sposobów zrozumienia przyrody i projektowania szerokiej gamy systemów i urządzeń. Znane są przykłady efektywnego wykorzystania modelowania w tworzeniu technologii nuklearnych, systemów lotniczych i kosmicznych, w prognozowaniu zjawisk atmosferycznych, oceanicznych, pogody itp.

Jednak tak poważne obszary modelowania często wymagają superkomputerów i lat pracy dużych zespołów naukowców w celu przygotowania danych do modelowania i ich debugowania. Jednak w tym przypadku modelowanie matematyczne złożonych systemów i urządzeń nie tylko pozwala zaoszczędzić pieniądze na badaniach i testach, ale może także wyeliminować katastrofy ekologiczne - pozwala na przykład porzucić testowanie broni nuklearnej i termojądrowej na rzecz jej modelowania matematycznego lub testowanie systemów lotniczych przed ich faktycznym lotem.Pomiędzy Dlatego modelowanie matematyczne na poziomie rozwiązywania prostszych problemów, np. z zakresu mechaniki, elektrotechniki, elektroniki, radiotechniki i wielu innych dziedzin nauki i technologii, stało się obecnie dostępne do działania na nowoczesnych komputerach PC. A korzystając z uogólnionych modeli, możliwa staje się symulacja dość złożonych systemów, na przykład systemów i sieci telekomunikacyjnych, systemów radarowych lub radionawigacyjnych.

Cel modelowania matematycznego to analiza rzeczywistych procesów (w przyrodzie lub technologii) za pomocą metod matematycznych. To z kolei wymaga sformalizowania badania procesu MM.Model może być wyrażeniem matematycznym zawierającym zmienne, których zachowanie jest podobne do zachowania układu rzeczywistego.Model może zawierać elementy losowości uwzględniające prawdopodobieństwa możliwe działania dwóch lub więcej „graczy”, jak na przykład w grach teoretycznych; lub może reprezentować rzeczywiste zmienne wzajemnie połączonych części systemu operacyjnego.

Modelowanie matematyczne do badania charakterystyk systemów można podzielić na analityczne, symulacyjne i łączone. Z kolei MM dzielą się na symulacyjne i analityczne.

Modelowanie analityczne

Dla modelowanie analityczne Charakterystyczne jest, że procesy funkcjonowania systemu zapisywane są w postaci pewnych zależności funkcjonalnych (równania algebraiczne, różniczkowe, całkowe). Model analityczny można badać następującymi metodami:

1) analityczne, gdy dążą do uzyskania w formie ogólnej jawnych zależności dla charakterystyk systemów;

2) numeryczne, gdy nie można znaleźć rozwiązania równań w postaci ogólnej i rozwiązuje się je dla określonych danych początkowych;

3) jakościowy, gdy w przypadku braku rozwiązania zostaną znalezione niektóre jego właściwości.

Modele analityczne można uzyskać jedynie dla stosunkowo prostych systemów. W przypadku złożonych systemów często pojawiają się duże problemy matematyczne. Aby zastosować metodę analityczną, idą do znacznego uproszczenia pierwotnego modelu. Badania z wykorzystaniem modelu uproszczonego pozwalają jednak uzyskać jedynie wyniki orientacyjne. Modele analityczne matematycznie poprawnie odzwierciedlają związek pomiędzy zmiennymi i parametrami wejściowymi i wyjściowymi. Jednak ich struktura nie odzwierciedla wewnętrznej struktury obiektu.

Podczas modelowania analitycznego jego wyniki prezentowane są w postaci wyrażeń analitycznych. Na przykład poprzez połączenie RC- podłączenie do źródła stałego napięcia mi(R, C I mi- elementy tego modelu) możemy stworzyć analityczne wyrażenie na zależność napięcia od czasu ty(T) na kondensatorze C:

To liniowe równanie różniczkowe (DE) jest modelem analitycznym tego prostego obwodu liniowego. Jego rozwiązanie analityczne, pod warunkiem początkowym ty(0) = 0, co oznacza rozładowany kondensator C na początku modelowania pozwala znaleźć pożądaną zależność - w postaci wzoru:

ty(T) = mi(1− byłyP(- T/RC)). (2)

Jednak nawet w tym najprostszym przykładzie rozwiązanie DE (1) lub zastosowanie wymaga pewnych wysiłków systemy matematyki komputerowej(SCM) z obliczeniami symbolicznymi – systemy algebry komputerowej. Do tego zupełnie banalny przypadek rozwiązuje problem modelowania liniowego RC-obwód daje wyrażenie analityczne (2) o dość ogólnej postaci - nadaje się do opisu działania obwodu dla dowolnych wartości znamionowych komponentów R, C I mi i opisuje wykładniczy ładunek kondensatora C poprzez rezystor R ze źródła stałego napięcia mi.

Oczywiście znalezienie rozwiązań analitycznych podczas modelowania analitycznego okazuje się niezwykle cenne dla identyfikacji ogólnych wzorców teoretycznych prostych obwodów liniowych, układów i urządzeń, jednak jego złożoność gwałtownie wzrasta w miarę zwiększania się wpływów na model oraz kolejności i liczby równania stanu opisujące wzrost modelowanego obiektu. Można uzyskać mniej lub bardziej widoczne rezultaty modelując obiekty drugiego lub trzeciego rzędu, jednak przy wyższym rzędzie wyrażenia analityczne stają się zbyt kłopotliwe, złożone i trudne do zrozumienia. Na przykład nawet prosty wzmacniacz elektroniczny często składa się z kilkudziesięciu elementów. Jednak wiele współczesnych SCM to na przykład systemy matematyki symbolicznej Klon, Mathematica lub środowisko MATLAB, są w stanie w dużym stopniu zautomatyzować rozwiązywanie złożonych problemów modelowania analitycznego.

Jednym z rodzajów modelowania jest modelowanie numeryczne, która polega na uzyskaniu niezbędnych danych ilościowych o zachowaniu się systemów lub urządzeń dowolną odpowiednią metodą numeryczną, taką jak metoda Eulera lub Runge-Kutty. W praktyce modelowanie układów i urządzeń nieliniowych metodami numerycznymi okazuje się znacznie skuteczniejsze niż modelowanie analityczne poszczególnych prywatnych obwodów, układów czy urządzeń liniowych. Np. do rozwiązania układów DE (1) lub DE w bardziej złożonych przypadkach nie da się uzyskać rozwiązania w formie analitycznej, ale korzystając z numerycznych danych symulacyjnych można uzyskać w miarę kompletne dane o zachowaniu symulowanych układów i urządzeń, a także as skonstruuj wykresy zależności opisujące to zachowanie.

Modelowanie symulacyjne

Na imitacja 10i modelowaniu algorytm realizujący model odtwarza proces funkcjonowania systemu w czasie. Symulowane są elementarne zjawiska składające się na proces, z zachowaniem ich logicznej struktury i sekwencji zdarzeń w czasie.

Główną przewagą modeli symulacyjnych nad modelami analitycznymi jest możliwość rozwiązywania bardziej złożonych problemów.

Modele symulacyjne ułatwiają uwzględnienie obecności elementów dyskretnych lub ciągłych, charakterystyk nieliniowych, wpływów losowych itp. Dlatego metoda ta jest szeroko stosowana na etapie projektowania złożonych systemów. Głównym środkiem realizacji modelowania symulacyjnego jest komputer, który pozwala na cyfrowe modelowanie układów i sygnałów.

W tym kontekście zdefiniujmy wyrażenie „ modelowanie komputerowe”, co jest coraz częściej stosowane w literaturze. Załóżmy, że modelowanie komputerowe to modelowanie matematyczne z wykorzystaniem technologii komputerowej. W związku z tym technologia modelowania komputerowego obejmuje wykonanie następujących czynności:

1) określenie celu modelowania;

2) opracowanie modelu koncepcyjnego;

3) formalizacja modelu;

4) programowa implementacja modelu;

5) planowanie eksperymentów modelowych;

6) realizację planu doświadczenia;

7) analiza i interpretacja wyników modelowania.

Na modelowanie symulacyjne zastosowany MM odtwarza algorytm („logikę”) funkcjonowania badanego systemu w czasie dla różnych kombinacji wartości parametrów systemu i środowiska zewnętrznego.

Przykładem najprostszego modelu analitycznego jest równanie prostoliniowego ruchu jednostajnego. Badając taki proces za pomocą modelu symulacyjnego, należy zastosować obserwację zmian przebytej ścieżki w czasie, oczywiście w niektórych przypadkach bardziej preferowane jest modelowanie analityczne, w innych - symulacja (lub kombinacja obu). Aby dokonać pomyślnego wyboru, należy odpowiedzieć na dwa pytania.

Jaki jest cel modelowania?

Do jakiej klasy można zaliczyć modelowane zjawisko?

Odpowiedzi na oba te pytania można uzyskać już w trakcie dwóch pierwszych etapów modelowania.

Modele symulacyjne nie tylko właściwościami, ale także strukturą odpowiadają modelowanemu obiektowi. W tym przypadku istnieje jednoznaczna i oczywista zgodność pomiędzy procesami uzyskanymi na modelu a procesami zachodzącymi na obiekcie. Wadą symulacji jest to, że rozwiązanie problemu w celu uzyskania dobrej dokładności zajmuje dużo czasu.

Wynikiem modelowania symulacyjnego działania układu stochastycznego są realizacje zmiennych losowych lub procesów. Dlatego, aby znaleźć charakterystykę systemu, wymagane są wielokrotne powtórzenia i późniejsze przetwarzanie danych. Najczęściej w tym przypadku stosuje się rodzaj symulacji - statystyczny

modelowanie(lub metoda Monte Carlo), tj. reprodukcja czynników losowych, zdarzeń, wielkości, procesów, pól w modelach.

Na podstawie wyników modelowania statystycznego wyznaczane są szacunki probabilistycznych kryteriów jakości, ogólnych i szczegółowych, charakteryzujących funkcjonowanie i efektywność zarządzanego systemu. Modelowanie statystyczne jest szeroko stosowane do rozwiązywania problemów naukowych i stosowanych w różnych dziedzinach nauki i technologii. Metody modelowania statystycznego znajdują szerokie zastosowanie w badaniu złożonych układów dynamicznych, ocenie ich funkcjonowania i efektywności.

Ostatni etap modelowania statystycznego polega na matematycznym przetwarzaniu uzyskanych wyników. Wykorzystuje się tu metody statystyki matematycznej (estymacja parametryczna i nieparametryczna, testowanie hipotez). Przykładem estymatora parametrycznego jest średnia próbki miary wydajności. Wśród metod nieparametrycznych powszechne metoda histogramu.

Rozważany schemat opiera się na wielokrotnych testach statystycznych systemu i metodach statystyki niezależnych zmiennych losowych.Schemat ten nie zawsze jest naturalny w praktyce i optymalny pod względem kosztów. Skrócenie czasu testowania systemu można osiągnąć poprzez zastosowanie dokładniejszych metod oceny. Jak wiadomo ze statystyki matematycznej, szacunki efektywne mają największą dokładność dla danej liczebności próby. Ogólną metodą uzyskiwania takich szacunków jest filtrowanie optymalne i metoda największej wiarygodności.W problemach modelowania statystycznego przetwarzanie implementacji procesów losowych jest konieczne nie tylko do analizy procesów wyjściowych.

Bardzo ważna jest także kontrola charakterystyki wejściowych wpływów losowych. Kontrola polega na sprawdzaniu zgodności rozkładów wygenerowanych procesów z zadanymi rozkładami. Problem ten jest często formułowany jako problem testowania hipotez.

Ogólnym trendem w modelowaniu komputerowym złożonych układów sterowanych jest chęć skrócenia czasu modelowania, a także prowadzenia badań w czasie rzeczywistym. Wygodne jest reprezentowanie algorytmów obliczeniowych w formie rekurencyjnej, co pozwala na ich realizację w tempie otrzymywania bieżących informacji.

ZASADY PODEJŚCIA SYSTEMOWEGO W MODELOWANIU

Podstawowe zasady teorii systemów

Podstawowe zasady teorii systemów powstały podczas badania układów dynamicznych i ich elementów funkcjonalnych. System rozumiany jest jako grupa wzajemnie powiązanych elementów, które współdziałają w celu wykonania z góry określonego zadania. Analiza systemów pozwala na określenie najbardziej realistycznych sposobów wykonania danego zadania, zapewniających maksymalne spełnienie postawionych wymagań.

Elementy stanowiące podstawę teorii systemów nie są tworzone na podstawie hipotez, ale odkrywane eksperymentalnie. Aby przystąpić do budowy systemu niezbędna jest ogólna charakterystyka procesów technologicznych. To samo dotyczy zasad tworzenia matematycznie sformułowanych kryteriów, jakie musi spełniać proces lub jego opis teoretyczny. Modelowanie jest jedną z najważniejszych metod badań naukowych i eksperymentów.

Przy konstruowaniu modeli obiektów stosuje się podejście systemowe, będące metodologią rozwiązywania złożonych problemów, polegającą na rozpatrywaniu obiektu jako systemu działającego w określonym środowisku. Podejście systematyczne polega na ujawnieniu integralności obiektu, identyfikacji i badaniu jego struktury wewnętrznej, a także powiązań ze środowiskiem zewnętrznym. W tym przypadku obiekt jest przedstawiany jako część świata rzeczywistego, która jest izolowana i badana w powiązaniu z problemem konstruowania modelu. Ponadto podejście systemowe zakłada konsekwentne przejście od ogółu do szczegółu, gdy podstawą rozważań jest cel projektowy, a obiekt rozpatrywany jest w odniesieniu do otoczenia.

Obiekt złożony można podzielić na podsystemy, będące częściami obiektu spełniającymi następujące wymagania:

1) podsystem jest funkcjonalnie niezależną częścią obiektu. Jest powiązany z innymi podsystemami, wymienia z nimi informacje i energię;

2) dla każdego podsystemu można określić funkcje lub właściwości, które nie pokrywają się z właściwościami całego systemu;

3) każdy z podsystemów może zostać poddany dalszemu podziałowi na poziom elementów.

Przez element rozumie się w tym przypadku podsystem niższego poziomu, którego dalszy podział jest niewłaściwy z punktu widzenia rozwiązywanego problemu.

Zatem system można zdefiniować jako reprezentację obiektu w postaci zestawu podsystemów, elementów i połączeń w celu jego tworzenia, badań lub udoskonalania. W tym przypadku powiększona reprezentacja systemu, obejmująca główne podsystemy i połączenia między nimi, nazywana jest makrostrukturą, a szczegółowe ujawnienie wewnętrznej struktury systemu aż do poziomu elementów nazywa się mikrostrukturą.

Wraz z systemem zwykle występuje nadsystem - system wyższego poziomu, w skład którego wchodzi dany obiekt, a funkcję dowolnego systemu można określić jedynie za pośrednictwem nadsystemu.

Należy podkreślić koncepcję środowiska jako zbioru obiektów świata zewnętrznego, które w istotny sposób wpływają na efektywność systemu, ale nie są częścią systemu i jego nadsystemu.

W związku z systemowym podejściem do budowania modeli stosuje się pojęcie infrastruktury, które opisuje relację systemu z jego otoczeniem (otoczeniem).W tym przypadku identyfikacja, opis i badanie właściwości obiektu, które są istotne w ramach określonego zadania nazywa się stratyfikację obiektu, a każdy model obiektu jest jego warstwowym opisem.

W podejściu systemowym ważne jest określenie struktury systemu, tj. zbiór powiązań pomiędzy elementami systemu, odzwierciedlający ich interakcję. Aby to zrobić, najpierw rozważymy strukturalne i funkcjonalne podejście do modelowania.

W podejściu strukturalnym ujawnia się skład wybranych elementów systemu i powiązania między nimi. Zestaw elementów i połączeń pozwala nam ocenić strukturę systemu. Najbardziej ogólnym opisem konstrukcji jest opis topologiczny. Pozwala określić elementy systemu i ich połączenia za pomocą wykresów. Mniej ogólny jest opis funkcjonalny, gdy uwzględnia się poszczególne funkcje, czyli algorytmy zachowania systemu. W tym przypadku wdrażane jest podejście funkcjonalne, które definiuje funkcje, jakie realizuje system.

W oparciu o podejście systemowe można zaproponować sekwencję rozwoju modelu, w której wyróżnia się dwa główne etapy projektowania: makroprojekt i mikroprojekt.

Na etapie makroprojektu budowany jest model środowiska zewnętrznego, identyfikowane są zasoby i ograniczenia, dobierany jest model systemu oraz kryteria oceny adekwatności.

Etap mikroprojektu zależy w dużej mierze od konkretnego wybranego typu modelu. Ogólnie rzecz biorąc, polega ona na tworzeniu systemów modelowania informacyjnego, matematycznego, technicznego i programowego. Na tym etapie ustalane są główne parametry techniczne utworzonego modelu, szacuje się czas potrzebny na pracę z nim oraz koszt zasobów potrzebnych do uzyskania określonej jakości modelu.

Niezależnie od rodzaju modelu, przy jego konstruowaniu należy kierować się szeregiem zasad systematycznego podejścia:

1) konsekwentne przechodzenie przez kolejne etapy tworzenia modelu;

2) koordynacja informacji, zasobów, niezawodności i innych cech;

3) prawidłowe powiązanie pomiędzy różnymi poziomami konstrukcji modelu;

4) integralność poszczególnych etapów projektowania modelu.

Pojęcie modelu i symulacji.

Model w szerokim znaczeniu- jest to dowolny obraz, mentalny odpowiednik lub ustalony obraz, opis, diagram, rysunek, mapa itp. dowolnej objętości, procesu lub zjawiska, używany jako jego substytut lub przedstawiciel. Sam przedmiot, proces lub zjawisko nazywa się oryginałem tego modelu.

Modelowanie - jest to badanie dowolnego obiektu lub układu obiektów poprzez konstruowanie i badanie ich modeli. Polega to na wykorzystaniu modeli do określenia lub wyjaśnienia cech oraz racjonalizacji metod konstruowania nowo budowanych obiektów.

Każda metoda badań naukowych opiera się na idei modelowania, metody teoretyczne wykorzystują różnego rodzaju modele symboliczne, abstrakcyjne, a metody eksperymentalne wykorzystują modele przedmiotowe.

W trakcie badań złożone zjawisko rzeczywiste zostaje zastąpione jakąś uproszczoną kopią lub diagramem, czasem taka kopia służy jedynie zapamiętaniu i rozpoznaniu pożądanego zjawiska na kolejnym spotkaniu. Czasami skonstruowany diagram odzwierciedla pewne istotne cechy, pozwala zrozumieć mechanizm zjawiska i pozwala przewidzieć jego zmianę. Różne modele mogą odpowiadać temu samemu zjawisku.

Zadaniem badacza jest przewidzenie natury zjawiska i przebiegu procesu.

Czasem zdarza się, że obiekt jest dostępny, ale eksperymenty z nim są kosztowne lub prowadzą do poważnych konsekwencji dla środowiska. Wiedzę o takich procesach uzyskuje się za pomocą modeli.

Ważne jest to, że sama natura nauki polega na badaniu nie jednego konkretnego zjawiska, ale szerokiej klasy powiązanych ze sobą zjawisk. Zakłada potrzebę sformułowania pewnych ogólnych twierdzeń kategorycznych, które nazywane są prawami. Naturalnie przy takim sformułowaniu wiele szczegółów jest pomijanych. Aby wyraźniej zidentyfikować wzór, świadomie sięgają po szorstkość, idealizację i szkicowość, czyli badają nie samo zjawisko, ale jego mniej lub bardziej dokładną kopię lub model. Wszystkie prawa są prawami dotyczącymi modeli i dlatego nie jest zaskakujące, że z biegiem czasu niektóre teorie naukowe zostają uznane za nieodpowiednie. Nie prowadzi to jednak do upadku nauki, gdyż jeden model został zastąpiony innym bardziej nowoczesny.

Szczególną rolę w nauce odgrywają modele matematyczne, materiały budowlane i narzędzia tych modeli - koncepcje matematyczne. Gromadziły się i ulepszały przez tysiące lat. Współczesna matematyka zapewnia niezwykle potężne i uniwersalne środki badawcze. Prawie każde pojęcie w matematyce, każdy przedmiot matematyczny, począwszy od pojęcia liczby, jest modelem matematycznym. Konstruując model matematyczny badanego obiektu lub zjawiska, identyfikuje się te jego cechy, cechy i szczegóły, które z jednej strony zawierają mniej lub bardziej pełną informację o obiekcie, a z drugiej pozwalają na formację matematyczną. Formalizacja matematyczna oznacza, że ​​cechy i szczegóły obiektu można powiązać z odpowiednimi, adekwatnymi pojęciami matematycznymi: liczbami, funkcjami, macierzami i tak dalej. Następnie odkryte i przyjęte w badanym obiekcie powiązania i zależności pomiędzy jego poszczególnymi częściami i składnikami można zapisać za pomocą zależności matematycznych: równości, nierówności, równań. Rezultatem jest matematyczny opis badanego procesu lub zjawiska, czyli jego model matematyczny.

Badanie modelu matematycznego zawsze wiąże się z pewnymi zasadami działania na badane obiekty. Reguły te odzwierciedlają relacje pomiędzy przyczynami i skutkami.

Budowa modelu matematycznego jest centralnym etapem badań lub projektowania każdego systemu. Od jakości modelu zależy cała późniejsza analiza obiektu. Budowa modelu nie jest procedurą formalną. Zależy to w dużej mierze od badacza, jego doświadczenia i gustu i zawsze opiera się na pewnym materiale doświadczalnym. Model musi być wystarczająco dokładny, adekwatny i wygodny w użyciu.

Modelowanie matematyczne.

Klasyfikacja modeli matematycznych.

Modele matematyczne mogą byćdeterministyczny I stochastyczny .

Zdecydowany Model i są modelami, w których ustalana jest zgodność jeden do jednego pomiędzy zmiennymi opisującymi obiekt lub zjawisko.

Podejście to opiera się na wiedzy o mechanizmach funkcjonowania obiektów. Często modelowany obiekt jest złożony i rozszyfrowanie jego mechanizmu może być bardzo pracochłonne i czasochłonne. W tym przypadku postępują następująco: przeprowadzają eksperymenty na oryginale, przetwarzają uzyskane wyniki i bez zagłębiania się w mechanizm i teorię modelowanego obiektu, wykorzystując metody statystyki matematycznej i teorii prawdopodobieństwa, ustalają powiązania pomiędzy zmiennymi opisującymi obiekt. W tym przypadku otrzymaszstochastyczny Model . W stochastyczny modelu związek między zmiennymi jest losowy, czasami ma charakter fundamentalny. Wpływ ogromnej liczby czynników, ich kombinacja prowadzi do losowego zestawu zmiennych opisujących obiekt lub zjawisko. Zgodnie z charakterem modów model jeststatystyczny I dynamiczny.

StatystycznyModelzawiera opis zależności pomiędzy głównymi zmiennymi modelowanego obiektu w stanie ustalonym, bez uwzględnienia zmian parametrów w czasie.

W dynamicznymodeleopisano zależności pomiędzy głównymi zmiennymi modelowanego obiektu podczas przejścia z jednego trybu do drugiego.

Są modele oddzielny I ciągły, I mieszany typ. W ciągły zmienne przyjmują wartości z określonego przedziału, woddzielnyzmienne przyjmują izolowane wartości.

Modele liniowe- wszystkie funkcje i relacje opisujące model liniowo zależą od zmiennych inie liniowyW przeciwnym razie.

Modelowanie matematyczne.

Wymagania ,p przedstawione do modeli.

1. Wszechstronność- charakteryzuje kompletność reprezentacji modelowej badanych właściwości obiektu rzeczywistego.

1. Adekwatność to zdolność do odzwierciedlenia pożądanych właściwości obiektu z błędem nie większym niż zadany.
2. Dokładność ocenia się na podstawie stopnia zgodności wartości cech obiektu rzeczywistego z wartościami tych cech uzyskanymi za pomocą modeli.
3. Ekonomiczny - zdeterminowany zużyciem zasobów pamięci komputera oraz czasem jego realizacji i działania.

Modelowanie matematyczne.

Główne etapy modelowania.

1. Opis problemu.

Określenie celu analizy i sposobu jego osiągnięcia oraz opracowanie ogólnego podejścia do badanego problemu. Na tym etapie wymagane jest głębokie zrozumienie istoty zadania. Czasami prawidłowe ustawienie problemu jest nie mniej trudne niż jego rozwiązanie. Inscenizacja nie jest procesem formalnym, nie ma ogólnych zasad.

2. Zapoznanie się z podstawami teoretycznymi i zebranie informacji o obiekcie pierwotnym.

Na tym etapie wybierana lub rozwijana jest odpowiednia teoria. Jeżeli go nie ma, pomiędzy zmiennymi opisującymi przedmiot powstają związki przyczynowo-skutkowe. Określane są dane wejściowe i wyjściowe oraz przyjmowane są założenia upraszczające.

3. Formalizacja.

Polega na wyborze systemu symboli i za jego pomocą zapisania zależności pomiędzy elementami obiektu w postaci wyrażeń matematycznych. Ustala się klasę problemów, do której można zaklasyfikować powstały model matematyczny obiektu. Wartości niektórych parametrów mogą nie zostać jeszcze określone na tym etapie.

4. Wybór metody rozwiązania.

Na tym etapie ustalane są ostateczne parametry modeli z uwzględnieniem warunków pracy obiektu. Dla powstałego problemu matematycznego wybiera się metodę rozwiązania lub opracowuje się specjalną metodę. Przy wyborze metody bierze się pod uwagę wiedzę użytkownika, jego preferencje i preferencje programisty.

5. Implementacja modelu.

Po opracowaniu algorytmu pisany jest program, który jest debugowany, testowany i uzyskuje się rozwiązanie pożądanego problemu.

6. Analiza otrzymanych informacji.

Porównuje się otrzymane i oczekiwane rozwiązania oraz monitoruje błąd modelowania.

7. Sprawdzenie adekwatności obiektu rzeczywistego.

Porównuje się wyniki uzyskane z modelualbo z dostępnymi informacjami o obiekcie, albo przeprowadza się eksperyment, a jego wyniki porównuje się z wynikami obliczeń.

Proces modelowania jest iteracyjny. W przypadku niezadowalających wyników etapów 6. Lub 7. następuje powrót do jednego z wcześniejszych etapów, co mogło doprowadzić do opracowania nieudanego modelu. Ten etap, jak i wszystkie kolejne, są udoskonalane i takie udoskonalanie modelu następuje do momentu uzyskania zadowalających wyników.

Model matematyczny to przybliżony opis dowolnej klasy zjawisk lub obiektów świata rzeczywistego w języku matematyki. Głównym celem modelowania jest eksploracja tych obiektów i przewidywanie wyników przyszłych obserwacji. Jednak modelowanie to także metoda rozumienia otaczającego nas świata, pozwalająca na jego kontrolę.

Modelowanie matematyczne i związany z nim eksperyment komputerowy są niezbędne w przypadkach, gdy eksperyment na pełną skalę jest z tego czy innego powodu niemożliwy lub trudny. Nie da się na przykład przeprowadzić w historii naturalnego eksperymentu, który sprawdzałby, „co by się stało, gdyby…”. Nie da się sprawdzić poprawności tej czy innej teorii kosmologicznej. Eksperymentowanie z rozprzestrzenianiem się choroby takiej jak dżuma lub przeprowadzenie eksplozji nuklearnej w celu zbadania jej konsekwencji jest możliwe, ale jest mało prawdopodobne. Wszystko to można jednak wykonać na komputerze, konstruując najpierw modele matematyczne badanych zjawisk.

1.1.2 2. Główne etapy modelowania matematycznego

1) Budowa modelu. Na tym etapie określa się jakiś obiekt „niematematyczny” - zjawisko naturalne, projekt, plan ekonomiczny, proces produkcyjny itp. W tym przypadku z reguły jasny opis sytuacji jest trudny. W pierwszej kolejności identyfikowane są główne cechy zjawiska oraz powiązania między nimi na poziomie jakościowym. Następnie znalezione zależności jakościowe formułuje się w języku matematyki, czyli budowany jest model matematyczny. To najtrudniejszy etap modelowania.

2) Rozwiązanie problemu matematycznego, do którego prowadzi model. Na tym etapie dużą wagę przywiązuje się do opracowania algorytmów i metod numerycznych rozwiązywania problemu na komputerze, za pomocą których można znaleźć wynik z wymaganą dokładnością i w akceptowalnym czasie.

3) Interpretacja uzyskanych konsekwencji z modelu matematycznego.Konsekwencje wyprowadzone z modelu w języku matematyki są interpretowane w języku przyjętym w tej dziedzinie.

4) Sprawdzenie adekwatności modelu.Na tym etapie określa się, czy wyniki eksperymentów zgadzają się z teoretycznymi konsekwencjami modelu w określonym zakresie dokładności.

5) Modyfikacja modelu.Na tym etapie albo model jest skomplikowany, aby był bardziej adekwatny do rzeczywistości, albo uproszczony, aby uzyskać rozwiązanie praktycznie akceptowalne.

1.1.3 3. Klasyfikacja modeli

Modele można klasyfikować według różnych kryteriów. Przykładowo, ze względu na charakter rozwiązywanych problemów, modele można podzielić na funkcjonalne i strukturalne. W pierwszym przypadku wszystkie wielkości charakteryzujące zjawisko lub obiekt wyrażane są ilościowo. Ponadto niektóre z nich traktuje się jako zmienne niezależne, inne zaś jako funkcje tych wielkości. Model matematyczny to zwykle układ równań różnego typu (różniczkowych, algebraicznych itp.), które ustalają ilościowe zależności między rozważanymi wielkościami. W drugim przypadku model charakteryzuje strukturę złożonego obiektu składającego się z poszczególnych części, pomiędzy którymi zachodzą pewne powiązania. Zazwyczaj powiązań tych nie da się zmierzyć. Do konstruowania takich modeli wygodnie jest posłużyć się teorią grafów. Wykres to obiekt matematyczny reprezentujący zbiór punktów (wierzchołków) na płaszczyźnie lub w przestrzeni, z których część jest połączona liniami (krawędziami).

Ze względu na charakter danych wyjściowych i wyników modele predykcyjne można podzielić na deterministyczne i probabilistyczno-statystyczne. Modele pierwszego typu dokonują pewnych, jednoznacznych przewidywań. Modele drugiego typu opierają się na informacjach statystycznych, a uzyskane za ich pomocą przewidywania mają charakter probabilistyczny.

MODELOWANIE MATEMATYCZNE I OGÓLNE MODELE KOMPUTERYZACYJNE LUB SYMULACYJNE

Teraz, gdy w kraju następuje niemal powszechna informatyzacja, słyszymy wypowiedzi specjalistów różnych zawodów: „Jeśli wprowadzimy komputer, to wszystkie problemy zostaną natychmiast rozwiązane”. Ten punkt widzenia jest całkowicie błędny, same komputery, bez matematycznych modeli niektórych procesów, nie będą w stanie nic zrobić, a o powszechnej informatyzacji można tylko marzyć.

Na poparcie powyższego postaramy się uzasadnić potrzebę modelowania, w tym modelowania matematycznego, ujawnimy jego zalety w poznaniu człowieka i przetwarzaniu świata zewnętrznego, zidentyfikujemy istniejące braki i przejdziemy... do modelowania symulacyjnego, tj. modelowanie za pomocą komputera. Ale wszystko jest w porządku.

Na początek odpowiedzmy sobie na pytanie: czym jest model?

Model to przedmiot materialny lub mentalnie reprezentowany, który w procesie poznania (badania) zastępuje oryginał, zachowując pewne typowe właściwości, ważne dla tego badania.

Dobrze zbudowany model jest bardziej dostępny do badań niż rzeczywisty obiekt. Niedopuszczalne są na przykład eksperymenty z gospodarką kraju w celach edukacyjnych, niezbędny jest model.

Podsumowując to, co zostało powiedziane, możemy odpowiedzieć na pytanie: do czego służą modele? W celu

• zrozumieć, jak działa obiekt (jego struktura, właściwości, prawa rozwoju, interakcja ze światem zewnętrznym).
• nauczyć się zarządzać obiektem (procesem) i określić najlepsze strategie
• przewidzieć skutki uderzenia w obiekt.

Co jest pozytywnego w każdym modelu? Pozwala zdobyć nową wiedzę o przedmiocie, lecz niestety jest ona w takim czy innym stopniu niepełna.

Modelsformułowany w języku matematyki przy użyciu metod matematycznych nazywany jest modelem matematycznym.

Punktem wyjścia do jego budowy jest zwykle jakiś problem, np. ekonomiczny. Powszechne są zarówno matematyczne opisowe, jak i optymalizacyjne, charakteryzujące się różnorodnością procesy gospodarcze i zjawiska, na przykład:

• alokacja zasobów
• racjonalne cięcie
• transport
• konsolidacja przedsiębiorstw
• planowanie sieci.

Jak zbudowany jest model matematyczny?

• W pierwszej kolejności formułowany jest cel i przedmiot badania.
• Po drugie, wyróżniono najważniejsze cechy odpowiadające temu celowi.
• Po trzecie, relacje pomiędzy elementami modelu opisywane są w sposób werbalny.
• Następnie następuje sformalizowanie relacji.
• Obliczenia przeprowadza się przy użyciu modelu matematycznego, a powstałe rozwiązanie analizuje się.

Za pomocą tego algorytmu można rozwiązać dowolny problem optymalizacyjny, w tym wielokryterialny, tj. taki, w którym realizuje się nie jeden, ale kilka celów, w tym sprzecznych.

Podajmy przykład. Teoria kolejkowania - problem kolejkowania. Konieczne jest zrównoważenie dwóch czynników – kosztu utrzymania urządzeń serwisowych oraz kosztu utrzymania porządku. Po zbudowaniu formalnego opisu modelu dokonuje się obliczeń metodami analitycznymi i obliczeniowymi. Jeśli model jest dobry, to odpowiedzi znalezione za jego pomocą są adekwatne do systemu modelowania, jeśli jest zły, to należy go poprawić i wymienić. Kryterium adekwatności jest praktyka.

Modele optymalizacyjne, w tym wielokryterialne, mają wspólną cechę - znany jest cel (lub kilka celów), do osiągnięcia którego często trzeba mieć do czynienia ze złożonymi systemami, gdzie nie tyle chodzi o rozwiązywanie problemów optymalizacyjnych, ile o badanie i przewidywanie stanów w zależności od wybranych strategii zarządzania. I tu stajemy przed trudnościami w realizacji poprzedniego planu. Są one następujące:

• złożony system zawiera wiele połączeń pomiędzy elementami
• na system rzeczywisty wpływają czynniki losowe, których uwzględnienie analitycznie jest niemożliwe
• możliwość porównania oryginału z modelem istnieje dopiero na początku i po użyciu aparatu matematycznego, gdyż wyniki pośrednie mogą nie mieć odpowiedników w systemie rzeczywistym.

W związku z wymienionymi trudnościami, jakie pojawiają się podczas badania złożonych systemów, praktyka wymagała bardziej elastycznej metody i okazało się - „Modelowanie symulacyjne”.

Zazwyczaj przez model symulacyjny rozumie się zbiór programów komputerowych opisujących funkcjonowanie poszczególnych bloków systemu oraz zasady współdziałania pomiędzy nimi. Zastosowanie zmiennych losowych powoduje konieczność powtarzania eksperymentów z systemem symulacyjnym (na komputerze) i późniejszej analizy statystycznej uzyskanych wyników. Bardzo częstym przykładem wykorzystania modeli symulacyjnych jest rozwiązywanie problemu kolejek metodą MONTE CARLO.

Praca z systemem symulacyjnym jest zatem eksperymentem przeprowadzanym na komputerze. Jakie są zalety?

– Większa bliskość systemu rzeczywistego niż modele matematyczne;

–Zasada blokowa umożliwia weryfikację każdego bloku przed jego włączeniem do całego systemu;

–Stosowanie zależności o bardziej złożonym charakterze, których nie da się opisać prostymi zależnościami matematycznymi.

Wymienione zalety determinują wady

– zbudowanie modelu symulacyjnego trwa dłużej, jest trudniejsze i droższe;

– do pracy z systemem symulacyjnym niezbędne jest posiadanie odpowiedniego dla zajęć komputera;

– interakcja pomiędzy użytkownikiem a modelem symulacyjnym (interfejsem) nie powinna być zbyt skomplikowana, wygodna i dobrze znana;

-budowa modelu symulacyjnego wymaga głębszego zbadania rzeczywistego procesu niż modelowanie matematyczne.

Powstaje pytanie: czy modelowanie symulacyjne może zastąpić metody optymalizacyjne? Nie, ale wygodnie je uzupełnia. Model symulacyjny to program implementujący określony algorytm, w celu optymalizacji sterowania, przy którym najpierw rozwiązuje się problem optymalizacyjny.

Zatem ani komputer, ani model matematyczny, ani sam algorytm jego badania nie są w stanie rozwiązać wystarczająco złożonego problemu. Ale razem stanowią siłę, która pozwala nam rozumieć otaczający nas świat i zarządzać nim w interesie człowieka.

1.2 Klasyfikacja modeli

1.2.1 Klasyfikacja uwzględniająca czynnik czasu i obszar zastosowania (Makarova N.A.) Model statyczny - to jak jednorazowy snapshot informacji o obiekcie (wynik jednej ankiety) Dynamiczny model-pozwala zobaczyć zmiany obiektu w czasie (Karta w klinice) Modele można również klasyfikować według do jakiego obszaru wiedzy należą?(biologiczne, historyczne, środowiskowe itp.) Wróć na górę

1.2.2 Klasyfikacja według obszaru zastosowania (Makarova N.A.) Edukacyjny- wizualny podręczniki, symulatory och, wycie programy Doświadczony modele obniżone kopie (samochód w tunelu aerodynamicznym) Naukowe i techniczne synchrofasotron, stanowisko do testowania sprzętu elektronicznego Hazard- gospodarczy, sport, gry biznesowe Imitacja- Nie Po prostu odzwierciedlają rzeczywistość, ale ją naśladują (leki testuje się na myszach, w szkołach przeprowadza się eksperymenty itp. Ta metoda modelowania nazywa się prób i błędów Wróć na górę

1.2.3 Klasyfikacja według metody prezentacji Makarov N.A.) Materiał modele- W przeciwnym razie można nazwać tematem. Dostrzegają geometryczne i fizyczne właściwości oryginału i zawsze mają prawdziwe ucieleśnienie Informacja modele nie są dozwolone dotknij lub zobacz. Opierają się wyłącznie na informacjach .I informacyjne Model to zbiór informacji charakteryzujących właściwości i stany obiektu, procesu, zjawiska, a także jego związek ze światem zewnętrznym. Model werbalny - model informacji w formie mentalnej lub mówionej. Ikonowy informacje o modelu model wyrażony znakami ,tj.. za pomocą dowolnego języka formalnego. Model komputera - M Model realizowany za pomocą środowiska programowego.

1.2.4 Klasyfikacja modeli podana w książce „Earth Informatics” (Gein A.G.)) „...oto pozornie proste zadanie: ile czasu zajmie przeprawa przez pustynię Karakum? Odpowiedź jest oczywiście zależy od sposobu podróżowania. Jeśli podróżować na wielbłądy, wtedy zajmie to jeden semestr, drugi, jeśli pojedziesz samochodem, trzeci, jeśli polecisz samolotem. A co najważniejsze, do zaplanowania podróży wymagane są różne modele. W pierwszym przypadku wymagany model można znaleźć we wspomnieniach znanych badaczy pustyni: w końcu nie można obejść się bez informacji o oazach i szlakach wielbłądów. W drugim przypadku niezastąpione są informacje zawarte w atlasie drogowym. W trzecim możesz skorzystać z rozkładu lotów. Te trzy modele różnią się – wspomnienia, atlas i harmonogram – charakterem prezentacji informacji. W pierwszym przypadku model reprezentowany jest przez słowny opis informacji (model opisowy), w drugim - jak fotografia z życia (model w pełnej skali), w trzeciej - tabela zawierająca symbole: godziny odjazdu i przyjazdu, dzień tygodnia, cenę biletu (tzw. model znaku) Podział ten jest jednak bardzo arbitralny – w pamiętnikach można znaleźć mapy i diagramy (elementy modelu pełnowymiarowego), na mapach znajdują się symbole (elementy modelu symbolicznego), w schemacie znajduje się dekodowanie symboli (elementy modelu opisowego). Zatem ta klasyfikacja modeli… naszym zdaniem jest bezproduktywna” Moim zdaniem fragment ten ukazuje opisowy (wspaniały język i styl prezentacji) i niejako sokratesowy styl nauczania, wspólny wszystkim książkom Heina (Wszyscy tak myślą. Całkowicie się z Tobą zgadzam, ale jeśli przyjrzysz się uważnie...). W takich książkach dość trudno jest znaleźć jasny system definicji (nie jest to zamierzeniem autora). W podręczniku pod redakcją N.A. Makarova demonstruje inne podejście – definicje pojęć są wyraźnie podkreślone i nieco statyczne.

1.2.5 Klasyfikacja modeli podana w instrukcji A.I. Bochkina Istnieje niezwykle duża liczba metod klasyfikacji .P przynieś tylko niektóre z najbardziej znanych terenów i znaki: dyskrecja I ciągłość, macierz i modele skalarne, modele statyczne i dynamiczne, modele analityczne i informacyjne, modele podmiotowe i figuratywno-znakowe, wielkoskalowe i nieskalowe... Każdy znak daje pewne wiedza o właściwościach zarówno modelu, jak i symulowanej rzeczywistości. Znak może służyć jako wskazówka dotycząca sposobu zakończonego lub zbliżającego się modelowania. Dyskrecja i ciągłość Dyskrecja - cecha charakterystyczna modeli komputerowych .Mimo wszystko komputer może znajdować się w skończonej, choć bardzo dużej liczbie stanów. Dlatego nawet jeśli obiekt jest ciągły (czas), w modelu będzie się zmieniał skokowo. Można to rozważyć ciągłość znak modeli innych niż komputerowe. Szansa i determinizm . Niepewność, wypadek początkowo sprzeciwia się komputerowemu światu: Algorytm uruchomiony ponownie musi zostać powtórzony i dać ten sam rezultat. Jednak do symulacji procesów losowych stosuje się czujniki liczb pseudolosowych. Wprowadzenie losowości do problemów deterministycznych prowadzi do potężnych i interesujących modeli (obliczanie pola przez losowy rzut). Macierzyństwo - skalarność. Dostępność parametrów matryca model wskazuje na jego większą złożoność i być może dokładność w porównaniu do skalarny. Przykładowo, jeśli nie zidentyfikujemy wszystkich grup wiekowych w populacji kraju, biorąc pod uwagę jej zmianę jako całość, otrzymamy model skalarny (na przykład model Malthusa), jeśli go wyizolujemy, otrzymamy macierz (płeć -wiek) modelu. To właśnie model macierzowy pozwolił wyjaśnić wahania dzietności po wojnie. Statyczna dynamika. Te właściwości modelu są zwykle z góry określone przez właściwości rzeczywistego obiektu. Nie ma tu wolności wyboru. Tylko statyczny model może być krokiem w kierunku dynamiczny, lub niektóre zmienne modelu można na razie uznać za niezmienione. Na przykład satelita porusza się po Ziemi, na jego ruch wpływa Księżyc. Jeśli weźmiemy pod uwagę, że Księżyc jest nieruchomy podczas obrotu satelity, otrzymamy prostszy model. Modele analityczne. Opis procesów analitycznie, wzory i równania. Ale próbując zbudować wykres, wygodniej jest mieć tabele wartości funkcji i argumentów. Modele symulacyjne. Imitacja modele pojawiły się dawno temu w postaci pomniejszonych kopii statków, mostów itp. pojawiły się dawno temu, ale ostatnio są rozważane w połączeniu z komputerami. Wiedząc, jak połączone elementów modelu analitycznie i logicznie łatwiej jest nie rozwiązywać układu pewnych zależności i równań, lecz wyświetlić w pamięci komputera rzeczywisty układ, uwzględniając powiązania pomiędzy elementami pamięci. Modele informacyjne. Informacja Modele są zwykle przeciwstawiane matematycznym, a raczej algorytmicznym. Istotny jest tu stosunek objętości danych do algorytmów. Jeśli danych jest więcej lub są one ważniejsze, mamy model informacyjny, w przeciwnym razie - matematyczny. Modele tematyczne. Jest to przede wszystkim model dziecięcy - zabawka. Ikoniczne modele. Jest to przede wszystkim model w ludzkim umyśle: symboliczny, jeśli dominują obrazy graficzne, oraz ikonowy, jeśli jest więcej słów i/lub liczb. Modele znaków graficznych są budowane na komputerze. Modele w skali. DO na dużą skalę modele to modele przedmiotowe lub figuratywne, które powtarzają kształt obiektu (mapy).

Aby zbudować model matematyczny, potrzebujesz:

1. dokładnie przeanalizuj rzeczywisty obiekt lub proces;
2. podkreślić jego najważniejsze cechy i właściwości;
3. zdefiniować zmienne, tj. parametry, których wartości wpływają na główne cechy i właściwości obiektu;
4. opisać zależność podstawowych właściwości obiektu, procesu lub systemu od wartości zmiennych za pomocą relacji logiczno-matematycznych (równania, równości, nierówności, konstrukcje logiczno-matematyczne);
5. podkreślać wewnętrzne powiązania obiektu, procesu lub systemu za pomocą ograniczeń, równań, równości, nierówności, konstrukcji logicznych i matematycznych;
6. identyfikować powiązania zewnętrzne i opisywać je za pomocą ograniczeń, równań, równości, nierówności, konstrukcji logicznych i matematycznych.

Modelowanie matematyczne, oprócz badania obiektu, procesu lub układu i sporządzenia jego opisu matematycznego, obejmuje również:

1. zbudowanie algorytmu modelującego zachowanie obiektu, procesu lub systemu;
2. sprawdzenie adekwatności modelu i obiektu, procesu lub systemu na podstawie eksperymentów obliczeniowych i pełnoskalowych;
3. dopasowanie modelu;
4. za pomocą modelu.

Opis matematyczny badanych procesów i systemów zależy od:

1. charakter rzeczywistego procesu lub układu i jest opracowywany w oparciu o prawa fizyki, chemii, mechaniki, termodynamiki, hydrodynamiki, elektrotechniki, teorii plastyczności, teorii sprężystości itp.
2. wymaganą niezawodność i dokładność badań i badań rzeczywistych procesów i systemów.

Konstruowanie modelu matematycznego zwykle rozpoczyna się od zbudowania i analizy najprostszego, najbardziej surowego modelu matematycznego rozważanego obiektu, procesu lub systemu. W przyszłości, jeśli zajdzie taka potrzeba, model zostanie udoskonalony, a jego zgodność z obiektem zostanie pełniejsza.

Weźmy prosty przykład. Konieczne jest określenie powierzchni biurka. Zwykle odbywa się to poprzez zmierzenie jego długości i szerokości, a następnie pomnożenie uzyskanych liczb. Ta elementarna procedura oznacza w rzeczywistości, że rzeczywisty obiekt (powierzchnia stołu) zostaje zastąpiony abstrakcyjnym modelem matematycznym - prostokątem. Wymiary uzyskane poprzez pomiar długości i szerokości powierzchni stołu przypisuje się do prostokąta, a powierzchnię takiego prostokąta przyjmuje się w przybliżeniu jako wymaganą powierzchnię stołu. Jednak prostokątny model biurka jest najprostszym i najbardziej prymitywnym modelem. Jeśli podchodzisz do problemu poważniej, zanim użyjesz modelu prostokątnego do określenia powierzchni stołu, model ten należy sprawdzić. Kontrolę można przeprowadzić w następujący sposób: zmierzyć długości przeciwległych boków stołu, a także długości jego przekątnych i porównać je ze sobą. Jeśli przy wymaganym stopniu dokładności długości przeciwnych boków i długości przekątnych są równe parami, wówczas powierzchnię stołu można naprawdę uznać za prostokąt. W przeciwnym razie model prostokątny będzie musiał zostać odrzucony i zastąpiony ogólnym modelem czworobocznym. Przy większych wymaganiach dotyczących dokładności może zaistnieć konieczność jeszcze dalszego udoskonalenia modelu, np. uwzględnienia zaokrągleń narożników stołu.

Na tym prostym przykładzie wykazano, że model matematyczny nie jest jednoznacznie determinowany przez obiekt, proces lub system.

LUB (do wyjaśnienia jutro)

Sposoby rozwiązywania matematyki. Modele:

1. Budowa modelu w oparciu o prawa natury (metoda analityczna)

2. Sposób formalny z wykorzystaniem metod statystycznych. Wyniki przetwarzania i pomiarów (podejście statystyczne)

3. Budowa modelu w oparciu o model elementów (układy złożone)

1, Analityczny - użyj po wystarczającym przestudiowaniu. Ogólny schemat jest znany. Modele.

2. eksperyment. W przypadku braku informacji.

3. Imitacja m. – bada właściwości przedmiotu. Ogólnie.

Przykład konstrukcji modelu matematycznego.

Model matematyczny jest matematyczną reprezentacją rzeczywistości.

Modelowanie matematyczne to proces konstruowania i badania modeli matematycznych.

Wszystkie nauki przyrodnicze i społeczne wykorzystujące matematykę zasadniczo zajmują się modelowaniem matematycznym: zastępują obiekt jego modelem matematycznym, a następnie badają ten drugi. Powiązanie modelu matematycznego z rzeczywistością odbywa się za pomocą łańcucha hipotez, idealizacji i uproszczeń. Z reguły metodami matematycznymi opisuje się obiekt idealny, skonstruowany na etapie sensownego modelowania.

Dlaczego potrzebne są modele?

Bardzo często podczas badania dowolnego obiektu pojawiają się trudności. Sam oryginał jest czasem niedostępny, niewskazane jest jego używanie lub przyciągnięcie oryginału jest kosztowne. Wszystkie te problemy można rozwiązać za pomocą symulacji. W pewnym sensie model może zastąpić badany obiekt.

Najprostsze przykłady modeli

§ Fotografię można nazwać modelem osoby. Aby rozpoznać daną osobę wystarczy zobaczyć jej zdjęcie.

§ Architekt stworzył makietę nowej dzielnicy mieszkalnej. Ruchem ręki może przenosić wieżowiec z jednej części do drugiej. W rzeczywistości nie byłoby to możliwe.

Typy modeli

Modele można podzielić na materiał" I doskonały. powyższe przykłady są modelami materiałowymi. Idealne modele często mają kultowe kształty. Rzeczywiste pojęcia zastępuje się pewnymi znakami, które można łatwo zapisać na papierze, w pamięci komputera itp.

Modelowanie matematyczne

Modelowanie matematyczne należy do klasy modelowania symbolicznego. Ponadto modele można tworzyć z dowolnych obiektów matematycznych: liczb, funkcji, równań itp.

Budowa modelu matematycznego

§ Można wyróżnić kilka etapów konstruowania modelu matematycznego:

1. Zrozumienie problemu, określenie najważniejszych dla nas cech, właściwości, ilości i parametrów.

2. Wprowadzenie notacji.

3. Opracowanie systemu ograniczeń, jakie muszą spełniać wprowadzone wartości.

4. Formułowanie i zapisywanie warunków, jakie musi spełniać pożądane rozwiązanie optymalne.

Proces modelowania nie kończy się na stworzeniu modelu, a dopiero na nim się zaczyna. Po skompilowaniu modelu wybierają metodę znalezienia odpowiedzi i rozwiązania problemu. po znalezieniu odpowiedzi porównuje się ją z rzeczywistością. A może się zdarzyć, że odpowiedź nie będzie zadowalająca, wówczas model zostanie zmodyfikowany lub nawet wybrany zostanie zupełnie inny model.

Przykład modelu matematycznego

Zadanie

Stowarzyszenie produkcyjne, w skład którego wchodzą dwie fabryki mebli, musi unowocześnić swój park maszynowy. Ponadto pierwsza fabryka mebli musi wymienić trzy maszyny, a druga siedem. Zamówienia można składać w dwóch fabrykach obrabiarek. Pierwszy zakład może wyprodukować nie więcej niż 6 maszyn, drugi zakład przyjmie zamówienie, jeśli będzie ich co najmniej trzy. Musisz określić sposób składania zamówień.

Przykład 1.5.1.

Niech określony region gospodarczy wytwarza kilka (n) rodzajów produktów wyłącznie we własnym zakresie i tylko dla ludności tego regionu. Zakłada się, że proces technologiczny został opracowany i zbadano zapotrzebowanie ludności na te dobra. Konieczne jest określenie rocznej wielkości produkcji produktu, biorąc pod uwagę fakt, że wielkość ta musi zapewniać zarówno spożycie końcowe, jak i przemysłowe.

Stwórzmy model matematyczny tego problemu. Zgodnie z jej warunkami podaje się: rodzaje wyrobów, zapotrzebowanie na nie oraz proces technologiczny; musisz znaleźć objętość wyjściową każdego rodzaju produktu.

Oznaczmy znane wielkości:

C I– zapotrzebowanie ludności na I produkt ( I=1,...,N); A ja- ilość I produkt potrzebny do wytworzenia jednostki j produktu przy zastosowaniu danej technologii ( I=1,...,N ; J=1,...,N);

X I – głośność wyjściowa I-ty produkt ( I=1,...,N); całość Z =(C 1 ,..., C N ) zwany wektorem popytu, liczbami A ja– współczynniki technologiczne i całość X =(X 1 ,..., X N ) – wektor zwolnienia.

Zgodnie z warunkami problemu, wektor X rozdzielone na dwie części: do spożycia końcowego (wektor Z ) i do reprodukcji (wektor x-s ). Obliczmy tę część wektora X co przechodzi w reprodukcję. Według naszych oznaczeń do produkcji X J ilość j-tego dostarczonego produktu A ja · X J wielkie ilości I-ty produkt.

Następnie kwotę A ja1 · X 1 +...+ A W · X N pokazuje tę wartość I-ty produkt, który jest potrzebny do całego wydania X =(X 1 ,..., X N ).

Zatem musi być spełniona równość:

Rozszerzając to rozumowanie na wszystkie typy produktów, dochodzimy do pożądanego modelu:

Rozwiązywanie tego układu n równań liniowych dla X 1 ,...,X N i znajdź wymagany wektor zwolnienia.

Aby zapisać ten model w postaci bardziej zwartej (wektorowej), wprowadzamy następującą notację:

Kwadrat (
) -macierz A zwaną matrycą technologiczną. Łatwo sprawdzić, że nasz model zostanie teraz zapisany w następujący sposób: x-s=Ach Lub

(1.6)

Otrzymaliśmy klasyczny model” Wejście wyjście ”, którego autorem jest słynny amerykański ekonomista V. Leontiev.

Przykład 1.5.2.

Rafineria ropy naftowej oferuje dwa gatunki ropy: gatunek A w ilości 10 sztuk, gatunek W- 15 jednostek. Podczas rafinacji oleju otrzymuje się dwa materiały: benzynę (oznaczamy B) i olej opałowy ( M). Istnieją trzy opcje procesu technologicznego przetwarzania:

I: 1 jednostka A+ 2 jednostki W daje 3 jednostki. B+ 2 jednostki M

II: 2 jednostki. A+ 1 jednostka W daje 1 jednostkę. B+ 5 jednostek M

III: 2 rozdziały A+ 2 jednostki W daje 1 jednostkę. B+ 2 jednostki M

Cena benzyny wynosi 10 dolarów za sztukę, olej opałowy – 1 dolara za sztukę.

Należy określić najkorzystniejszą kombinację procesów technologicznych przerobu dostępnej ilości oleju.

Przed modelowaniem wyjaśnijmy następujące punkty. Z uwarunkowań problemu wynika, że ​​„opłacalność” procesu technologicznego dla zakładu należy rozumieć w sensie uzyskania maksymalnych przychodów ze sprzedaży jego gotowych produktów (benzyna i olej opałowy). W związku z tym jasne jest, że „decyzja o wyborze (podjęciu)” zakładu polega na ustaleniu, jaką technologię zastosować i ile razy. Oczywiście możliwych opcji jest całkiem sporo.

Oznaczmy nieznane wielkości:

X I– ilość użycia I proces technologiczny (i=1,2,3). Pozostałe parametry modelu (zasoby ropy, ceny benzyny i oleju opałowego) znany.

Teraz jedna konkretna decyzja dotycząca rośliny sprowadza się do wyboru jednego wektora X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , dla którego przychody zakładu są równe (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) dolarów Tutaj 32 dolary to dochód uzyskany z jednego zastosowania pierwszego procesu technologicznego (10 dolarów 3 jednostki. B+ 1 dolar · 2 jednostki. M= 32 USD). Podobne znaczenie mają współczynniki 15 i 12 odpowiednio dla drugiego i trzeciego procesu technologicznego. Rozliczanie rezerw ropy naftowej prowadzi do następujących warunków:

dla odmiany A:

dla odmiany W:,

gdzie w pierwszej nierówności współczynniki 1, 2, 2 to wskaźniki zużycia oleju klasy A na jednorazowe wykorzystanie w procesach technologicznych I,II,III odpowiednio. Podobne znaczenie mają współczynniki drugiej nierówności dla oleju klasy B.

Model matematyczny jako całość ma postać:

Znajdź taki wektor x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) Zmaksymalizować

f(x) =32x 1 +15x 2 +12x 3

z zastrzeżeniem następujących warunków:

Skrócona forma tego wpisu to:

pod ograniczeniami

(1.7)

Mamy tak zwany problem programowania liniowego.

Model (1.7.) jest przykładem modelu optymalizacyjnego typu deterministycznego (o dobrze zdefiniowanych elementach).

Przykład 1.5.3.

Inwestor musi określić najlepszy zestaw akcji, obligacji i innych papierów wartościowych, który będzie mógł kupić za określoną kwotę, aby uzyskać określony zysk przy minimalnym ryzyku dla siebie. Zysk na dolara zainwestowanego w papier wartościowy J- rodzaj, charakteryzujący się dwoma wskaźnikami: oczekiwanym zyskiem i rzeczywistym zyskiem. Dla inwestora pożądane jest, aby oczekiwany zysk na dolara inwestycji nie był niższy niż dana wartość dla całego zestawu papierów wartościowych B.

Należy pamiętać, że aby poprawnie modelować to zadanie, matematyk musi posiadać pewną podstawową wiedzę z zakresu portfelowej teorii papierów wartościowych.

Oznaczmy znane parametry problemu:

N– liczba rodzajów papierów wartościowych; A J– rzeczywisty zysk (liczba losowa) z j-tego rodzaju zabezpieczenia; – oczekiwany zysk z J-Ty rodzaj zabezpieczenia.

Oznaczmy nieznane wielkości :

y J - środki przeznaczone na zakup papierów wartościowych tego typu J.

Stosując naszą notację, cała zainwestowana kwota jest wyrażona jako . Aby uprościć model, wprowadzamy nowe wielkości

.

Zatem, X I- jest to udział wszystkich środków przeznaczonych na nabycie danego rodzaju papierów wartościowych J.

Jest oczywiste, że

Z warunków problemu jasno wynika, że ​​celem inwestora jest osiągnięcie określonego poziomu zysku przy minimalnym ryzyku. W istocie ryzyko jest miarą odchylenia rzeczywistego zysku od oczekiwanego. Można ją zatem utożsamiać z kowariancją zysków dla papierów wartościowych typu i i typu j. Tutaj M jest oznaczeniem oczekiwań matematycznych.

Model matematyczny pierwotnego problemu ma postać:

pod ograniczeniami

,
,
,
. (1.8)

Otrzymaliśmy dobrze znany model Markowitza do optymalizacji struktury portfela papierów wartościowych.

Model (1.8.) jest przykładem modelu optymalizacyjnego typu stochastycznego (z elementami losowości).

Przykład 1.5.4.

Na podstawie organizacji branżowej wyróżnia się n typów jednego z produktów asortymentu minimalnego. Do sklepu należy przynieść tylko jeden rodzaj danego produktu. Musisz wybrać rodzaj produktu, który jest odpowiedni do wprowadzenia do sklepu. Jeśli rodzaj produktu J będzie popyt, sklep zarobi na jego sprzedaży R J, jeśli nie ma popytu - strata Q J .

Przed modelowaniem omówimy kilka podstawowych punktów. W tym problemie decydentem (DM) jest sklep. Jednak wynik (maksymalny zysk) zależy nie tylko od jego decyzji, ale także od tego, czy na importowany produkt będzie popyt, to znaczy, czy zostanie on zakupiony przez ludność (zakłada się, że z jakiegoś powodu sklep nie mają możliwość zbadania zapotrzebowania ludności). Zatem populację można uznać za drugiego decydenta, wybierającego rodzaj produktu zgodnie ze swoimi preferencjami. Najgorsza „decyzja” populacji dotycząca sklepu to: „na importowane towary nie ma popytu”. Aby więc uwzględnić wszystkie możliwe sytuacje, sklep musi uznać populację za swojego „wroga” (warunkowo), dążąc do odwrotnego celu - minimalizacji zysku sklepu.

Mamy więc problem z podejmowaniem decyzji, gdy dwóch uczestników dąży do przeciwnych celów. Wyjaśnijmy, że sklep wybiera jeden z rodzajów towarów na sprzedaż (istnieje n opcji decyzyjnych), a populacja wybiera jeden z rodzajów towarów, na który jest największy popyt ( N możliwości rozwiązania).

Aby skompilować model matematyczny, narysujmy tabelę N linie i N kolumny (łącznie N 2 komórki) i uzgodnij, że wiersze odpowiadają wyborowi sklepu, a kolumny wyborowi populacji. Potem komórka (i, j) odpowiada sytuacji, którą wybierze sklep I rodzaj produktu ( I-ta linia), a populacja wybiera J rodzaj produktu ( J- kolumna). W każdej komórce zapisujemy numeryczną ocenę (zysk lub stratę) odpowiedniej sytuacji z punktu widzenia sklepu:

Liczby Q I napisany z minusem dla odzwierciedlenia straty sklepu; w każdej sytuacji „zysk” populacji (warunkowo) jest równy „zyskowi” sklepu, branemu pod przeciwny znak.

Skrócona forma tego modelu to:

(1.9)

Mamy tak zwaną grę matrix. Model (1.9.) jest przykładem modeli podejmowania decyzji w grach.