Prezentacja na temat „Czytanie wykresów. Ujednolicony egzamin państwowy”

TEMAT „ODCZYTANIE WYKRESU FUNKCJI POCHODNEJ”

Cel lekcji: kształtowanie umiejętności wyznaczania własności pochodnej z wykresu funkcji, właściwości funkcji z wykresu pochodnej, porównywanie wykresu funkcji z wykresem jej pochodnej.

Materiały i ekwipunek: prezentacja komputerowa.

Plan lekcji

1. Organizowanie czasu.
2. Liczenie ustne „Złap błąd”
3. Powtórzenie materiału teoretycznego na temat „Własne wsparcie”
4. Trening umiejętności
5. Gra „Kompetencje”
6. Zreasumowanie.

Podczas zajęć.

1. Organizowanie czasu. Podczas studiowania tematu „Badanie funkcji za pomocą pochodnych” rozwijane były umiejętności znajdowania punktów krytycznych funkcji, pochodnej, określania za jej pomocą właściwości funkcji i budowania jej wykresu. Dzisiaj spojrzymy na ten temat od innej strony: jak określić właściwości samej funkcji poprzez wykres pochodnej funkcji. Nasze zadanie: nauczyć się poruszać po różnorodnych zadaniach egzaminu Unified State Exam związanych z wykresami funkcji i ich pochodnymi.
2. Liczenie werbalne

(2x2) / =2x; (3x-x 3) / =3-3x; X / =1 X

1. Powtórzenie materiału teoretycznego na dany temat. (narysuj w zeszycie małego mężczyznę, który będzie odzwierciedlał nastrój panujący na początku lekcji)

Powtórzmy niektóre własności funkcji: wzrost i spadek, ekstrema funkcji.

Wystarczający znak funkcji rosnącej (malejącej). Brzmi:

1. Jeżeli pochodna funkcji jest dodatnia w każdym punkcie przedziału X, to funkcja rośnie w przedziale X.
2. Jeżeli pochodna funkcji jest ujemna w każdym punkcie przedziału X, to funkcja maleje w przedziale X.

Warunki wystarczające na ekstremum:

Niech funkcja y=f(x) będzie ciągła na przedziale X i będzie miała punkt krytyczny x 0 wewnątrz tego przedziału. Jeżeli wtedy, przechodząc przez punkt x 0, pochodna wynosi:

a) zmienia znak z „+” na „-”, wówczas x 0 jest maksymalnym punktem funkcji,

b) następnie zmienia znak z „-” na „+”. x 0– minimalny punkt funkcji,

c) nie zmienia znaku, to w punkcie x 0 nie ma skrajności.

Pochodna funkcji sama w sobie jest funkcją. Oznacza to, że ma swój własny harmonogram.

X(mamy segment [ A; B]) znajduje się powyżej osi x, wówczas funkcja rośnie w tym przedziale.

Jeżeli wykres pochodnej na przedziale X znajduje się poniżej osi x, to funkcja maleje w tym przedziale. Co więcej, opcje wykresu pochodnych mogą się różnić.

Mając więc wykres pochodnej funkcji, możemy wyciągnąć wnioski na temat właściwości samej funkcji.

1. Rozwój umiejętności. Rozważmy problem:
2. Gra „Kompetencje”
3. Zreasumowanie. (narysuj w zeszycie małego człowieczka, zaznaczając nastrój na koniec lekcji) Rola „podsumowania” (powie, jaka myśl (wniosek, wynik...) na lekcji była jego zdaniem najważniejsza jeden)

Pobierać:

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

CZYTANIE WYKRESU FUNKCJI POCHODNEJ i czy w drodze do egzaminu Unified State Exam

Scenariusz lekcji Moment organizacyjny. Kalkulacja ustna „Złap błąd” Powtórzenie materiału teoretycznego na dany temat, notatki „Twoje wsparcie” Rozwój umiejętności Gra „Kompetencje” Podsumowanie.

Liczenie ustne „Znajdź błąd” (2x 2) / = x (3x-x 3) / = 3-3 2 4 x 2 - -5

Powtórzenie materiału teoretycznego na temat f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 - 5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 Dostateczny znak wzrostu (spadku) funkcji: Jeżeli pochodna funkcji jest dodatnia w każdym punkcie przedziału X, to funkcja rośnie na tym przedziale X. Jeżeli pochodna funkcji w każdym punkcie przedziału X jest ujemna, to funkcja maleje w przedziale X. Jeżeli wykres pochodnej funkcji na przedziale X znajduje się powyżej osi x, to funkcja rośnie ten interwał. Jeżeli wykres pochodnej na przedziale X znajduje się poniżej osi x, to funkcja maleje na tym przedziale.

f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 -5 -4 - 3 -2 - 1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 „Wsparcie własne” Rosnące Malejące Rosnące

f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) y x + 1 E jeżeli przy przejściu przez punkt x 0 pochodna: a) zmienia znak z „+” na „-”, to x 0 jest maksimum punktu funkcji, b) zmienia znak z „-” na „+”, wówczas x 0 jest punktem minimalnym funkcji, c) nie zmienia znaku, wówczas w punkcie x 0 nie ma ekstremum . Powtórzenie materiału teoretycznego na temat „Własne wsparcie” Warunek konieczny istnienia ekstremum: Jeżeli funkcja y=f (x) ma ekstremum w punkcie x=x0, to w tym punkcie pochodna jest albo równa 0 lub nie istnieje. maks. min

Rozwój umiejętności (rozwiązywanie problemów z otwartego banku Unified State Exam) zwiększające się interwały: (-5;-1), (2;8),(11;12) Odpowiedź: 6 1 f(x) f / (x) + + +

Malejące przedziały rozwoju umiejętności: (-1;0), (9;12) Odpowiedź: 3 2 f(x) f / (x) – – Rozwój umiejętności (rozwiązywanie problemów z otwartego banku egzaminów Unified State Exam)

Rozwój umiejętności Odpowiedź: -3 3 f(x) f / (x) Rozwój umiejętności (rozwiązywanie problemów z otwartego banku egzaminów Unified State Exam)

Rozwój umiejętności Odpowiedź: - 3 4 f(x) f / (x) Rozwój umiejętności (rozwiązywanie problemów z otwartego banku egzaminów Unified State Exam)

Rozwój umiejętności 5 f(x) f / (x) Rozwój umiejętności (rozwiązywanie problemów z otwartego banku egzaminów Unified State Exam)

Gra „Kompetencje” Uczestnicy: dwa zespoły – konkurujące ze sobą firmy.Zespoły wymyślają dla siebie 3 zadania na temat lekcji, wymieniają się zadaniami, wykonują je i pokazują rozwiązanie na tablicy. Jeśli przeciwnikowi się to nie uda, wówczas zespół zadający pytanie musi sam na nie odpowiedzieć. Każda firma ocenia pracę firmy konkurencyjnej w 5-punktowym systemie (każde zadanie i każda odpowiedź) Sponsorzy wiedzy: Petrova Gelena i Semenova Kunnai

Podsumowanie: Rysunek mężczyzny Podsumowując: co było najważniejsze na lekcji? co było interesujące? Czego się nauczyłeś? Kryteria oceny: 28-30 punktów – ocena „5” 20-27 punktów – ocena „4” 10-19 punktów – ocena „3” Poniżej 10 punktów – rekomendacja za żmudną pracę w przygotowaniu do Egzaminu Państwowego Unified

Temat: Ogólny przegląd kursu matematyki. Przygotowanie do egzaminów

Lekcja: Czytanie wykresu funkcji. Rozwiązywanie problemów B2

1. Wyjaśnienie pojęcia wykresu, technika czytania

W naszym życiu wykresy spotyka się dość często, weźmy na przykład prognozę pogody, która jest przedstawiana w formie wykresu zmian niektórych wskaźników, na przykład temperatury czy siły wiatru w czasie. Czytając ten wykres, nie zastanawiamy się dwa razy, nawet jeśli czytamy go po raz pierwszy w życiu. Możesz także podać przykład wykresu zmian kursów walut w czasie i wiele innych przykładów.

Zatem pierwszy wykres, któremu się przyjrzymy.

Ryż. 1. Ilustracja wykresu 1

Jak widać wykres ma 2 osie. Oś skierowana w prawo (poziomo) nazywana jest osią . Oś skierowana w górę (pionowo) nazywana jest osią .

Najpierw spójrzmy na oś. Na tym wykresie wzdłuż tej osi przedstawiono liczbę obrotów na minutę określonego silnika samochodowego. Może być równa itp. Na tej osi są też podziały, niektóre są oznaczone liczbami, inne są pośrednie i nie są oznaczone. Łatwo zgadnąć, że pierwsze dzielenie od zera to , trzecie itd.

Teraz spójrzmy na oś. Na tym wykresie wzdłuż tej osi naniesione są wartości liczbowe Newtona na metr (), wartości momentu obrotowego, które są równe itp. W tym przypadku cena podziału jest równa .

Przejdźmy teraz do samej funkcji (do linii przedstawionej na wykresie). Jak widać, ta linia odzwierciedla liczbę niutonów na metr, czyli jaki moment obrotowy będzie przy określonej prędkości obrotowej silnika na minutę. Jeśli przyjmiemy wartość 1000 obr./min. i od tego miejsca na wykresie idziemy w lewo, zobaczymy, że prosta przechodzi przez punkt 20, czyli wartość momentu obrotowego przy 1000 obr/min będzie równa (rysunek 2.2).

Jeśli przyjmiemy wartość 2000 obr/min, to linia przejdzie już w punkcie (rysunek 2.2).

Ryż. 2. Wyznaczanie momentu obrotowego na podstawie liczby obrotów na minutę

2. Pojęcie wartości maksymalnych i minimalnych, metoda znajdowania wartości maksymalnych i minimalnych funkcji z wykresu

Teraz wyobraźmy sobie, że naszym zadaniem jest znalezienie największej wartości z tego wykresu. Szukamy najwyższego punktu (), odpowiednio, najniższa wartość momentu obrotowego na tym wykresie zostanie uznana za 0. Aby znaleźć największą wartość funkcji na wykresie, należy wziąć pod uwagę największą wartość, jaką funkcja osiąga na pionie oś. Sprawdzamy, która wartość jest najwyższa i wzdłuż osi pionowej sprawdzamy, jaka będzie najwyższa osiągnięta liczba. Jeśli mówimy o najmniejszej wartości, to przeciwnie, bierzemy najniższy punkt i patrzymy na jego wartość wzdłuż osi pionowej.

Ryż. 3. Największa i najmniejsza wartość funkcji według wykresu

Największą wartością w tym przypadku jest odpowiednio , a najmniejszą odpowiednio 0. Ważne żeby nie pomylić i poprawnie wskazać wartość maksymalną, niektórzy wskazują maksymalną wartość 4000 obr/min, to nie jest wartość maksymalna, ale sedno przy którym pobierana jest wartość maksymalna (maksimum punktowe), największa wartość wynosi dokładnie .

Należy także zwrócić uwagę na oś pionową, jej jednostki miary, czyli gdyby np. zamiast Newtonów na metr () wskazano setki Newtonów na metr (), to wartość maksymalną należałoby pomnożyć przez sto itp.

Największe i najmniejsze wartości funkcji są bardzo ściśle powiązane z pochodną funkcji.

3. Dodatkowe informacje o funkcji pochodnej

Jeśli na rozpatrywanym odcinku funkcja rośnie, to pochodna funkcji na tym odcinku jest dodatnia lub równa zeru w skończonej liczbie punktów, najczęściej jest po prostu dodatnia. Podobnie, jeśli funkcja na rozpatrywanym odcinku maleje, to pochodna funkcji na tym odcinku jest ujemna lub równa zeru w skończonej liczbie punktów. W obu przypadkach jest odwrotnie.

4. Rozwiązywanie przykładów z ograniczeniami wzdłuż osi OX

Poniższy przykład stwarza pewne trudności ze względu na ograniczenie osi poziomej. Konieczne jest znalezienie największej i najmniejszej wartości w określonym segmencie.

Wykres przedstawia zmianę temperatury w czasie. Na osi poziomej widzimy czas i dni, a na osi pionowej temperaturę. Należy wyznaczyć najwyższą temperaturę powietrza w dniu 22 stycznia, czyli uwzględnić nie cały wykres, ale część dotyczącą 22 stycznia, czyli od godziny 00:00 22 stycznia do godziny 00:00 23 stycznia.

Ryż. 4. Wykres zmian temperatury

Ograniczając wykres staje się dla nas oczywiste, że maksymalna temperatura odpowiada punktowi .

5. Dodatkowy przykład, zadanie z egzaminu Unified State Exam

Podano wykres zmian temperatury w ciągu trzech dni. Na osi wołu – pora dnia i dzień miesiąca, na osi oy – temperatura powietrza w stopniach Celsjusza.

Musimy wziąć pod uwagę nie cały harmonogram, ale część dotyczącą 13 lipca, czyli od 00:00 13 lipca do 00:00 14 lipca.

Ryż. 5. Ilustracja przedstawiająca dodatkowy przykład

Jeśli nie wpiszesz ograniczeń opisanych powyżej, możesz otrzymać błędną odpowiedź, ale w danym przedziale maksymalna wartość jest oczywista: , i została osiągnięta o godzinie 12:00 w dniu 13 lipca.

6. Rozwiązywanie innych przykładów czytania wykresu funkcji

Przykład 3: ustal, kiedy po raz pierwszy spadło pięć milimetrów deszczu:

Wykres przedstawia dzienne opady w Kazaniu od 3 do 15 lutego 1909 r. Dni miesiąca są wyświetlane poziomo, a ilość opadów w milimetrach jest wyświetlana pionowo.

Ryż. 6. Dzienne opady

Zacznijmy od porządku. Na trzecim widzimy, że spadło nieco więcej niż 0, ale mniej niż 1 mm. opadów, 4 mm opadów spadło 4 itd. Liczba 5 pojawia się po raz pierwszy 11 dnia. Dla wygody można wirtualnie narysować linię prostą naprzeciw tej piątki; po raz pierwszy przetnie ona wykres 11 lutego – to jest prawidłowa odpowiedź.

Przykład 4: ustal, w jakim dniu cena uncji złota była najniższa

Wykres przedstawia cenę złota na koniec notowań giełdowych w każdym dniu od 5 do 28 marca 1996 r. Dni miesiąca są wyświetlane poziomo, pionowo,

w związku z tym cena uncji złota w dolarach amerykańskich.

Linie pomiędzy punktami są narysowane wyłącznie dla przejrzystości; informacje niosą wyłącznie same punkty.

Ryż. 7. Wykres zmian ceny złota na giełdzie

7. Rozwiązanie dodatkowego przykładu

Dodatkowy przykład: określ, w którym punkcie odcinka funkcja przyjmuje największą wartość:

Pochodna pewnej funkcji jest podana na wykresie.

Ryż. 8. Ilustracja przedstawiająca dodatkowy przykład

Pochodną definiuje się na przedziale

Jak widać pochodna funkcji na danym odcinku jest ujemna i równa zero w lewym punkcie brzegowym. Jak wiemy, jeśli pochodna funkcji jest ujemna, to funkcja na rozpatrywanym przedziale maleje, zatem nasza funkcja maleje na całym rozpatrywanym przedziale, w tym przypadku przyjmuje największą wartość w skrajnej lewej granicy. Odpowiedź: okres.

Przyjrzeliśmy się więc pojęciu wykresu funkcji, zbadaliśmy, jakie są osie na wykresie, jak znaleźć wartość funkcji na wykresie, jak znaleźć największą i najmniejszą wartość.

Mordkovich A. G. Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Drop. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. i wsp. Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Oświecenie.

Ujednolicony egzamin państwowy. Festiwal Pomysłów Pedagogicznych. Studia są łatwe. RF.

Wykres (ryc. 9) przedstawia średnią miesięczną temperaturę powietrza w Jekaterynburgu (Swierdłowsku) w każdym miesiącu 1973 r. Oś pozioma wskazuje miesiące, a oś pionowa wskazuje temperaturę w stopniach Celsjusza. Na podstawie wykresu określ najniższą średnią miesięczną temperaturę w okresie od maja do grudnia 1973 r. włącznie. Podaj odpowiedź w stopniach Celsjusza.

Ryż. 9. Wykres temperatur

Korzystając z tego samego wykresu (ryc. 9), określ różnicę pomiędzy najwyższą i najniższą średnią miesięczną temperaturą w roku 1973. Podaj odpowiedź w stopniach Celsjusza. Wykres (ryc. 10) przedstawia proces nagrzewania silnika spalinowego w temperaturze otoczenia 15 stopni. Oś odciętych pokazuje czas w minutach, jaki upłynął od uruchomienia silnika, a oś y pokazuje temperaturę silnika w stopniach Celsjusza. Obciążenie można podłączyć do silnika, gdy temperatura silnika osiągnie 45 stopni. Jaka jest minimalna liczba minut, którą należy odczekać przed podłączeniem obciążenia do silnika?

Ryż. 10. Harmonogram rozgrzewania silnika

SHAYMARDANOVA TATIANA VASILIEVNA

Wysoko wykwalifikowany nauczyciel matematyki. kategorie

Gimnazjum nr 1 w Jełabudze

TEMAT „ODCZYTANIE WYKRESU FUNKCJI POCHODNEJ”

Cel lekcji: kształtowanie umiejętnościoraz umiejętności wyznaczania własności pochodnej z wykresu funkcji, właściwości funkcji z wykresu pochodnej, porównywania wykresu funkcji z wykresem jej pochodnej.

Literatura:

Algebra oraz początek analizy klasy 10 w 2 częściach, część 1: podręcznik dla szkół ogólnokształcących (poziom profilu) / pod red. A.G. Mordkovicha. – 4. wyd. kor. -M.: Mnemosyne, 2007. – 340 stron.

Algebra oraz początek analizy klasy 10 w 2 częściach, część 2: zeszyt zadań dla placówek kształcenia ogólnego (poziom profilu) / pod red. A.G. Mordkovicha. – 4. wyd. kor. -M.: Mnemosyne, 2007. – 336 stron.

Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam - 2010 / pod red. F.F. Łysenko, S.Yu.Kulabukhova. – Rostów nad Donem: Legion – M., 2009 – 480 s. (Przygotowanie do ujednoliconego egzaminu państwowego)

Materiały i ekwipunek: komputer prezentacja.

Plan lekcji:

Organizowanie czasu.

Powtórzenie materiału teoretycznego na dany temat.

Głównym elementem.

Konsolidacja zdobytej wiedzy.

Zreasumowanie.

Podczas zajęć.

1 . Organizowanie czasu.

Podczas studiowania tematu „Badanie funkcji za pomocą pochodnych”doskonalono umiejętności znajdowania punktów krytycznych funkcji, pochodnej, wyznaczaniawykorzystanie właściwości funkcji i zbudowanie jej wykresu. Dzisiaj spojrzymy na ten temat od innej strony: jak określić właściwości samej funkcji poprzez wykres pochodnej funkcji. Nasze zadanie: nauczyć się poruszać w różnorodnych zadaniach związanych z wykresami funkcji i ich pochodnymi.

2. Powtórzenie materiału teoretycznego na dany temat.

Powtórzmy niektóre własności funkcji: rosnące i malejące, ekstrema Funkcje.

- Jaką funkcję nazywa się zwiększaniem (zmniejszaniem) przedziału?

Funkcja rośnie na przedziale, jeśli dla dowolnych wartości argumentu z tego przedziału większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji.

Funkcja maleje na przedziale, jeśli dla dowolnych wartości argumentu z tego przedziału większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji.

Jaki jest maksymalny punkt funkcji?

Punkt funkcji ciągłej, w którym wzrost funkcji zmienia się w spadek, jest punktem maksymalnym.

- Podaj definicję punktu minimalnego funkcji.

Punkt, w którym spadek zmienia się w wzrost, jest punktem minimalnym .

- Rozważmy problem:

Rysunek 1 przedstawia wykres funkcjiy=F(X) . Funkcja jest zdefiniowana na przedziale [-2;9]

Zbadaj funkcję pod kątem monotoniczności, wyznacz ekstrema funkcji.

Odpowiedź: funkcja rośnie na każdym z przedziałów [-2;2] i , maleje w przedziale Xmaks = 2, X min = 5.

- Jakie jest geometryczne znaczenie pochodnej?

Pochodna funkcji w punkcie styczności jest równa nachyleniu stycznej narysowanej do wykresu funkcji w tym punkcie, czyli tangensowi kąta nachylenia stycznej do dodatniego kierunku odciętej.

- Jaki znak ma pochodna funkcji rosnąca (malejąca) na przedziale? X?

Dla funkcji rosnącej na przedziale X nachylenie stycznej jest dodatnie, to znaczy pochodna jest dodatnia w każdym punkcie przedziału X.

Dla funkcji malejącej na przedziale X nachylenie stycznej jest ujemne, to znaczy pochodna jest ujemna w każdym punkcie przedziału X.

- Sformułuj warunek konieczny istnienia ekstremum.

Jeśli funkcja y = F ( X ) ma ekstremum w tym punkcie X= x 0 , to w tym momencie pochodna albo jest równa 0, albo nie istnieje.

- Zgodnie z wykresem funkcjiy=F(X) (Ryc.2) proszę wskazać:

a) przy jakich wartościach x jest pochodną funkcji równą 0;

b) dla jakich wartości x jest pochodna dodatnia;

c) dla jakich wartości x jest pochodna ujemna;

d) w których punktach pochodna nie istnieje.

Odpowiedź: A) F " (2)=0, F " (5)=0, F " (8)=0;

b) pochodna jest dodatnia na przedziałach: (- ∞; 2), (2; 5), (8; 11); c) pochodna jest ujemna na przedziałach: (5; 8), (11;+ ∞);

d) pochodna nie istnieje w punkcie x=11.

Mając więc wykres funkcji, możemy określić właściwości pochodnej funkcji.

3. Część główna.

Kształtowanie wiedzy, umiejętności i zdolności.

Przeciwnie, ze znaku pochodnej można wyciągnąć wniosek o naturze monotoniczności funkcji i jej ekstremach.

W tym celu istnieje wystarczający znak funkcji rosnącej (malejącej). Brzmi:

Jeżeli pochodna funkcji jest dodatnia w każdym punkcie przedziału X, to funkcja rośnie w przedziale X.

Jeżeli pochodna funkcji jest ujemna w każdym punkcie przedziału X, to funkcja maleje w przedziale X.

Warunki wystarczające na ekstremum:

Niech funkcjay= F( X) jest ciągła w przedziale X i ma punkt krytyczny x wewnątrz tego przedziału 0 . Następnie, jeśli podczas przejścia przez pochodną punktu x 0:

a) zmienia znak z „+” na „-”, następnie x 0 – maksymalny punkt funkcji,

b) zmienia znak z „-” następnie do „+”.x 0 – minimalny punkt funkcji,

c) nie zmienia znaku, to w punkciex 0 nie ma skrajności.

Pochodna funkcji sama w sobie jest funkcją. Oznacza to, że ma swój własny harmonogram.

X(mamy segment [A;B ]) znajduje się powyżej osi x, wówczas funkcja rośnie w tym przedziale.

Jeżeli wykres pochodnej na przedziale X znajduje się poniżej osi x, to funkcja maleje w tym przedziale.Co więcej, opcje wykresu pochodnych mogą się różnić.

Zachowanie wykresu pochodnej funkcji na[A; B ]

Funkcja wzrastaFunkcja jest malejąca

Mając więc wykres pochodnej funkcji, możemy wyciągnąć wnioski na temat właściwości samej funkcji.

Rozważmy kilka zadań związanych z odczytywaniem wykresu pochodnej funkcji.

Zadanie 1. Ile ekstremów ma funkcja? Na= F ( X) , podane na całej osi liczbowej? Przeglądaj funkcjęy= F( X) dla monotonii. Określ długość przedziału funkcji malejącejF ( X) . (Ryż. 3)

Pochodna jest równa 0 w punktach: 3, 5, 9. Są to punkty krytyczne.

Jeżeli pochodna na jakimś przedziale jest dodatnia, to funkcja na tym przedziale rośnie. Na tym rysunku są to przedziały: (- ∞; 3),

(5; 9), (9; + ∞).

Funkcja jest ciągła w punktach, dlatego dodajemy końce przedziałów: (- ∞; 3],, . Jego długość wynosi 2.

W punkcie x=3 pochodna zmienia znak z „+” na „-”. To jest maksymalny punkt.

W punkcie x=5 pochodna zmienia znak z „-”do „+”. To jest minimalny punkt.

W punkcie x=9 pochodna nie zmienia znaku. Nie jest to punkt ekstremalny.

Zadanie 2. Funkcja jest zdefiniowana naR. NA Ryż. 4– wykres jej pochodnej. Wskaż największy punkt minimalny funkcji Na= F(X) .

Punktem minimalnym funkcji jest punkt, w którym pochodna zmienia znak od „-” do „+”.

Rysunek pokazuje, że istnieją dwa takie punkty: -2 i 10. Największy z nich to 10.

Zadanie 3. Funkcjonowaćy=F(X) zdefiniowany w przedziale (-5; 9). NA Ryc.5 pokazano wykres jego pochodnej. Znajdź punktx 0 , w którym funkcja Na= F(X) przyjmuje największą wartość.

Pochodna funkcji jest określona na przedziale (-5; 9) i w tym punkcie przyjmuje wartość 0 X=4.

Na przedziale (-5; 4) pochodna jest dodatnia, zatem funkcja rośnie na przedziale (-5; 4), a ponieważ w punkcie 4 funkcja jest ciągła, to rośnie także na przedziale (-5; 4].

Na przedziale (4; 9) pochodna jest ujemna, zatem funkcja maleje na tym przedziale, zatem pochodna funkcji jest ujemna na tym przedziale. Funkcja rośnie na przedziale , rośnie na przedziale [a; + ∞), co oznacza, że ​​pochodna funkcji jest ujemna na przedziale (- ∞;a), dodatnia na przedziale (a; + ∞) To jest prosta 3.

4. Konsolidacja zdobytej wiedzy.

Oferujemy aparatura treningowana poruszany temat.

5. Podsumowanie.

Zbadaliśmy związek monotoniczności funkcji ze znakiem jej pochodnej z warunkami wystarczającymi na istnienie ekstremum. Przeanalizowaliśmy różne zadania czytania wykresu funkcji pochodnej, które można znaleźć w tekstach jednolitego egzaminu państwowego.Wszystkie zadania, które rozważaliśmy, są dobre, ponieważ ich wykonanie nie zajmuje dużo czasu. Podczas jednolitego egzaminu państwowego jest to bardzo ważne: szybko i poprawnie zapisz odpowiedź

Wszystkie zadania, które rozważaliśmy, są dobre, ponieważ nie trzeba spędzać na nich dużo czasu. A podczas jednolitego egzaminu państwowego jest to bardzo ważne: szybko i poprawnie zapisz odpowiedź na pytanie problemu.

Następnie na zajęciach warto rozważyć kluczowe zadanie: korzystając z podanego wykresu pochodnej, uczniowie muszą wymyślić (oczywiście przy pomocy nauczyciela) różne pytania związane z właściwościami samej funkcji. Naturalnie kwestie te są omawiane, w razie potrzeby poprawiane, podsumowywane, zapisywane w notatniku, po czym rozpoczyna się etap rozwiązywania tych zadań. W tym miejscu należy zadbać o to, aby uczniowie nie tylko podali poprawną odpowiedź, ale potrafili ją uzasadnić (udowodnić), korzystając z odpowiednich definicji, właściwości i reguł.
Podajmy przykład takiego zadania: na tablicy (np. za pomocą rzutnika) przedstawiany jest uczniom wykres pochodnej, na jego podstawie sformułowano 10 zadań (odrzucano pytania nie do końca poprawne lub powielane).
Funkcja y = f(x) jest zdefiniowana i ciągła na przedziale [–6; 6].
Korzystając z wykresu pochodnej y = f”(x), wyznacz:

1) liczba przedziałów funkcji rosnącej y = f(x);
2) długość przedziału malejącej funkcji y = f(x);
3) liczba punktów ekstremalnych funkcji y = f(x);
4) maksymalny punkt funkcji y = f(x);
5) punkt krytyczny (stacjonarny) funkcji y = f(x), który nie jest punktem ekstremalnym;
6) odciętą punktu wykresu, w którym funkcja y = f(x) przyjmuje największą wartość na odcinku;
7) odciętą punktu wykresu, w którym funkcja y = f(x) przyjmuje najmniejszą wartość na odcinku [–2; 2];
8) liczbę punktów na wykresie funkcji y = f(x), w których styczna jest prostopadła do osi Oy;
9) liczbę punktów na wykresie funkcji y = f(x), w których styczna tworzy kąt 60° z dodatnim kierunkiem osi Ox;
10) odcięta punktu wykresu funkcji y = f(x), przy którym nachylenie stycznej przyjmuje najmniejszą wartość.
Odpowiedź: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
Aby utrwalić umiejętność badania właściwości funkcji, uczniowie mogą zabrać do domu zadanie polegające na czytaniu tego samego wykresu, tyle że w jednym przypadku jest to wykres funkcji, a w drugim wykres jej pochodnej.

Artykuł powstał dzięki wsparciu forum administratorów systemów i programistów. Na „CyberForum.ru” znajdziesz fora na takie tematy jak programowanie, komputery, dyskusja o oprogramowaniu, programowanie stron internetowych, nauka, elektronika i sprzęt AGD, kariera i biznes, rekreacja, ludzie i społeczeństwo, kultura i sztuka, dom i gospodarka, samochody , motocykle i wiele innych. Na forum możesz uzyskać bezpłatną pomoc. Więcej informacji można znaleźć na stronie internetowej, która znajduje się pod adresem: http://www.cyberforum.ru/ Differential-equations/.

Funkcja y = f(x) jest zdefiniowana i ciągła na przedziale [–6; 5]. Obrazek przedstawia:
a) wykres funkcji y = f(x);
b) wykres pochodnej y = f”(x).
Ustal z harmonogramu:
1) minimalne punkty funkcji y = f(x);
2) liczba przedziałów malejącej funkcji y = f(x);
3) odciętą punktu wykresu funkcji y = f(x), w którym przyjmuje ona największą wartość na odcinku;
4) liczba punktów na wykresie funkcji y = f(x), w których styczna jest równoległa do osi Ox (lub pokrywa się z nią).
Odpowiedzi:
a) 1) –3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
b) 1) –2; 4,6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
Aby przeprowadzić kontrolę, możesz zorganizować pracę w parach: każdy uczeń przygotowuje wcześniej dla swojego partnera wykres pochodnej na karcie, a poniżej zadaje 4-5 pytań w celu ustalenia właściwości funkcji. Na lekcjach wymieniają się kartkami, wykonują zaproponowane zadania, po czym każdy sprawdza i ocenia pracę swojego partnera.

Slajd 12

Symetria względem prostej y=x

Wykresy tych funkcji rosną przy > 1 i maleją przy 0

Slajd 13

Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji y=2-x. Proszę wskazać ten rysunek. Wykres funkcji wykładniczej Wykres funkcji wykładniczej przechodzi przez punkt (0, 1) Ponieważ podstawa stopnia jest mniejsza niż 1, funkcja ta musi być malejąca.

Slajd 14

Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji y=log5 (x-4). Podaj numer tego harmonogramu. Wykres funkcji logarytmicznej y=log5x przechodzi przez punkt (1;0), to jeśli x -4 = 1, to = 0, x = 1 + 4, x = 5. (5;0) – punkt przecięcia wykresu z osią OX Jeżeli x -4 = 5, to y = 1, x = 5 + 4, x = 9, Wykres funkcji logarytmicznej 9 5 1

Slajd 15

Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale (-6;7). Na rysunku przedstawiono wykres pochodnej tej funkcji. Wszystkie styczne równoległe do prostej y = 5-2x (lub pokrywające się z nią) są rysowane na wykresie funkcji. Wskaż liczbę punktów na wykresie funkcji, w których narysowane są te styczne. K = tga = f'(xo) Według warunku k = -2 Zatem f'(xo) = -2 Rysujemy prostą y = -2. Przecina ona wykres w dwóch punktach, czyli stycznych do funkcji rysowane są w dwóch punktach. Wyznaczanie liczby stycznych do wykresu funkcji na podstawie wykresu jej pochodnej

Slajd 16

Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale [-7;3]. Rysunek przedstawia wykres jego pochodnej. Znajdź liczbę punktów na wykresie funkcji y=f(x), w których styczne do wykresu są równoległe do osi x lub z nią pokrywają się. Współczynnik kątowy linii równoległych do odciętej lub pokrywających się z nią wynosi zero. Zatem K=tg a = f `(xo)=0 Oś OX przecina ten wykres w czterech punktach. Wyznaczanie liczby tangensów funkcji na podstawie wykresu jej pochodnej

Slajd 17

Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale (-6;6). Rysunek przedstawia wykres jego pochodnej. Znajdź liczbę punktów na wykresie funkcji y=f(x), w których styczne do wykresu są nachylone pod kątem 135 do dodatniego kierunku osi x. K = tg 135o= f'(xo) tg 135o=tg(180o-45o)=-tg45o=-1 Zatem f`(xo)=-1 Narysuj prostą y=-1. Przecina ona wykres w trzech punktach , co oznacza styczną do funkcji realizowanej w trzech punktach. Wyznaczanie liczby tangensów funkcji na podstawie wykresu jej pochodnej

Slajd 18

Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale [-2;6]. Rysunek przedstawia wykres pochodnej tej funkcji. Wskaż odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) ma najmniejszy współczynnik kątowy k=tg a=f'(xo) Pochodna funkcji przyjmuje najmniejszą wartość y=-3 w punkcie x=2. Zatem styczna do wykresu ma najmniejsze nachylenie w punkcie x=2. Wyznaczanie nachylenia stycznej z wykresu pochodnej funkcji -3 2

Slajd 19

Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale [-7;3]. Rysunek przedstawia wykres pochodnej tej funkcji. Wskaż odciętą, przy której styczna do wykresu funkcji y=f(x) ma największe nachylenie. k=tg a=f’(xo) Pochodna funkcji przyjmuje największą wartość y=3 w punkcie x=-5. Zatem styczna do wykresu ma największe nachylenie w punkcie x = -5. Wyznaczanie nachylenia stycznej z wykresu pochodnej funkcji 3 -5

Slajd 20

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) i styczną do niej w punkcie z odciętą xo. Znajdź wartość pochodnej f `(x) w punkcie xo f ’(xo) =tg a Ponieważ na rysunku a jest kątem rozwartym, to tan a

Slajd 21

Znalezienie minimum (maksimum) funkcji z wykresu jej pochodnej

W punkcie x=4 pochodna zmienia znak z minus na plus. Oznacza to, że x = 4 jest punktem minimalnym funkcji y = f (x) 4 W punktach x = 1 pochodna zmienia znak z plusa. minusMeanx=1 to maksymalny punkt funkcji y=f(x))

Slajd 22

Niezależna praca

Rys.11) Znajdź dziedzinę definicji funkcji. 2) Rozwiąż nierówność f(x) ≥ 0 3) Wyznacz przedziały spadku funkcji. Rys. 2 – wykres pochodnej funkcji y=f(x) 4) Znajdź punkty minimalne funkcji. 5) Wskaż odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) ma największy współczynnik kąta. Ryc.11) Znajdź zakres wartości funkcji. 2) Rozwiąż nierówność f(x)≤ 0 3) Wyznacz przedziały wzrostu funkcji. Rys. 2 – wykres pochodnej funkcji y=f(x) 4) Znajdź maksimum punktów funkcji. 5) Wskaż odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) ma najmniejsze nachylenie. 1 Opcja 2 Opcja