Skonstruuj przekrój czworościanu mnp. Czworościan

Dzisiaj ponownie przyjrzymy się, jak to zrobić skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną.
Rozważmy najprostszy przypadek (poziom obowiązkowy), gdy 2 punkty płaszczyzny przekroju należą do jednej ściany, a trzeci punkt należy do drugiej ściany.

Przypomnijmy algorytm konstruowania przekrojów tego typu (przypadek: 2 punkty należą do tej samej ściany).

1. Szukamy ściany zawierającej 2 punkty płaszczyzny przekroju. Narysuj linię prostą przechodzącą przez dwa punkty leżące na tej samej ścianie. Znajdujemy punkty jego przecięcia z krawędziami czworościanu. Część linii prostej kończąca się na powierzchni to bok przekroju.

2. Jeśli wielokąt można zamknąć, oznacza to, że przekrój został skonstruowany. Jeśli zamknięcie nie jest możliwe, znajdujemy punkt przecięcia skonstruowanej linii i płaszczyzny zawierającej trzeci punkt.

1. Widzimy, że punkty E i F leżą na tej samej ścianie (BCD), narysuj linię prostą EF na płaszczyźnie (BCD).
2. Znajdźmy punkt przecięcia prostej EF z krawędzią czworościanu BD, jest to punkt H.
3. Teraz musisz znaleźć punkt przecięcia prostej EF i płaszczyzny zawierającej trzeci punkt G, tj. płaszczyzna (ADC).
Prosta CD leży w płaszczyznach (ADC) i (BDC), co oznacza, że przecina prostą EF, a punkt K jest punktem przecięcia prostej EF i płaszczyzny (ADC).
4. Następnie znajdujemy jeszcze dwa punkty leżące w tej samej płaszczyźnie. Są to punkty G i K, oba leżą w płaszczyźnie lewej ściany bocznej. Rysujemy linię GK i zaznaczamy punkty, w których linia ta przecina krawędzie czworościanu. Są to punkty M i L.
4. Pozostaje „zamknąć” sekcję, czyli połączyć punkty leżące na tej samej powierzchni. Są to punkty M i H, a także L i F. Obydwa te odcinki są niewidoczne, rysujemy je linią przerywaną.

Przekrój okazał się czworokątem MHFL. Wszystkie jego wierzchołki leżą na krawędziach czworościanu. Wybierzmy wynikową sekcję.

Teraz sformułujmy „właściwości” poprawnie skonstruowanej sekcji:

1. Wszystkie wierzchołki wielokąta będącego przekrojem leżą na krawędziach czworościanu (równoległościanu, wielokąta).

2. Wszystkie boki przekroju leżą na ścianach wielościanu.
3. Każda ściana wielokąta może zawierać nie więcej niż jeden (jeden lub żaden!) bok przekroju

Budowa odcinków czworościanu i równoległościanu. Treść: 1. Cele i zadania. 2. Wstęp. 3. Pojęcie płaszczyzny cięcia. 4. Definicja przekroju. 5. Zasady budowy przekrojów. 6. Rodzaje przekrojów czworościanu. 7. Rodzaje przekrojów równoległościanu. 8. Zagadnienie konstrukcji przekroju czworościanu wraz z wyjaśnieniem. 9. Zadanie skonstruowania przekroju czworościanu z objaśnieniem. 10. Zadanie skonstruowania przekroju czworościanu za pomocą pytań pomocniczych. 11. Druga możliwość rozwiązania poprzedniego problemu. 12. Problem konstrukcji odcinka równoległościanu. 13. Problem budowy odcinka równoległościanu. 14. Życzenia dla uczniów. Cel pracy: Kształtowanie u studentów koncepcji przestrzennych. Cele: Zapoznanie z zasadami konstruowania przekrojów. Wykształcenie umiejętności konstruowania przekrojów czworościanu i równoległościanu w różnych przypadkach określenia płaszczyzny przekroju. Rozwijanie umiejętności stosowania zasad konstruowania przekrojów przy rozwiązywaniu problemów na tematy „Wielościany”. Aby rozwiązać wiele problemów geometrycznych, konieczne jest konstruowanie ich przekrojów w różnych płaszczyznach. Płaszczyzną przecięcia równoległościanu (czworościanu) jest dowolna płaszczyzna, po obu stronach której znajdują się punkty danego równoległościanu (czworościanu). L Płaszczyzna cięcia przecina ściany czworościanu (równoległościanu) wzdłuż odcinków. L Wielokąt, którego boki są tymi segmentami, nazywany jest odcinkiem czworościanu (równoległościanu). Aby skonstruować przekrój, należy skonstruować punkty przecięcia płaszczyzny cięcia z krawędziami i połączyć je segmentami. W takim przypadku należy wziąć pod uwagę następujące kwestie: 1. Można połączyć tylko dwa punkty leżące na płaszczyźnie jednej ściany. 2. Płaszczyzna cięcia przecina równoległe ściany wzdłuż równoległych segmentów. 3. Jeżeli na płaszczyźnie czołowej zaznaczony jest tylko jeden punkt należący do płaszczyzny przekroju, należy skonstruować dodatkowy punkt. Aby to zrobić, konieczne jest znalezienie punktów przecięcia już skonstruowanych linii z innymi liniami leżącymi na tych samych ścianach. Jakie wielokąty można uzyskać w przekroju? Czworościan ma 4 ściany.W przekrojach można uzyskać: Trójkąty Czworokąty Równoległościan ma 6 ścian Trójkąty Pięciokąty Z jego przekrojów można otrzymać: Czworościany Sześciokąty Skonstruuj przekrój czworościanu DABC z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M,N,K D M AA 1 Narysuj linię prostą przez punkty M i K, ponieważ leżą na tej samej twarzy (ADC). N K BB C C 2. Narysujmy linię prostą przechodzącą przez punkty K i N, ponieważ leżą na tej samej twarzy (CDB). 3. Kierując się podobnym rozumowaniem, rysujemy prostą MN. 4. MNK – sekcja wymagana. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty E, F, K. 1. Wykonujemy KF. 2. Wykonujemy FE. 3. Kontynuuj EF, kontynuuj AC. D F 4. EF AC =M 5. Wykonaj MK. E M C 6. MK AB=L A L K Reguły B 7. Narysuj EL EFKL – wymagany przekrój Skonstruuj przekrój czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty E, F, K. Którą linią prostą znajduje się punkt W którym można połączyć wynikowy Które granice można rozszerzyć jednocześnie, aby uzyskać punkty leżące w tym samym połączeniu? połączyć powstały dodatkowy punkt? twarze, nazwij sekcję. dodatkowy punkt? D i E AC ELFK FSEK i punkt K oraz FK F L C M A E K B Reguły Metoda druga Skonstruuj przekrój czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty E, F, K. D F L C A E K B Zasady Pierwsza metoda O Metoda nr 1. Metoda numer 2. Wniosek: niezależnie od metody budowy, przekroje są takie same. Zbuduj odcinki równoległościanu za pomocą płaszczyzny przechodzącej przez punkty B1, M, N Reguły B1 D1 C1 A1 P K B D A E N C O M 1. MN 3.MN ∩ BA=O 2. Kontynuuj 4. B1O MN,BA 5. B1O ∩ A1A=K 6. KM 7. Kontynuuj MN i BD. 8. MN ∩ BD=E 9. B1E 10. B1E ∩ D1D=P, PN Równoległościan i czworościan, sekcje Dyktowanie na temat „Czworościan, równoległościan” Opcja I Opcja II 1. Jaką powierzchnię nazywamy czworościanem? równoległościan? 2. Jakie są ściany, krawędzie i wierzchołki równoległościanu? czworościan? 3. Podaj własność równoległościanu dotyczącą przekątnych. o krawędziach. Dyktando na temat „Czworościan, równoległościan” Opcja I 4. Które krawędzie czworościanu nazywane są przeciwległymi? Opcja II 4. Które ściany równoległościanu nazywamy sąsiadującymi? 5. Narysuj obraz równoległościanu. czworościan. Wymień wszystkie elementy i podaj ich ilość. Skonstruuj odcinek równoległościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M, A, D. В1 D1 E A1 С1 В А М D С 1. AD 2. MD 3. ME AD, ponieważ (ABC) (A1B1C1) 4. AE AEMD – sekcja. Konstruowanie odcinków czworościanu Rozwiążmy problem D M B A C Rozwiążmy problem K M L A N Rozwiążmy problem D AC BD B A M C Rozwiążmy problem D M K ABC B A K N Jaka inna opcja jest możliwa? C Rozwiąż zadanie D M B A K N C Rozwiąż zadanie D M ABC K N ACD B N A M C Rozwiąż zadanie D M ABC K N ACD N B A M C Zadanie domowe powtórz kroki 1 – 14, przygotuj się do testu nr 74, 75(b), 107, 79 Konstrukcja odcinków równoległościanu Rozwiąż problem B1 C1 М АА1В1В A1 D1 M (BDD1) B A C D Rozwiąż problem C1 B1 A1 D1 B A C D Rozwiąż problem B1 A1 C1 D1 B A C D Rozwiąż problem B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Rozwiąż problem B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Rozwiąż problem B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Rozwiąż zadanie B1 C1 A1 D1 M B N A C K D 1. Wszystkie wierzchołki przekroju leżą na krawędziach wielościanu. 2. Wszystkie boki przekroju leżą na ścianach wielościanu. 3. Każda ściana zawiera nie więcej niż jedną stronę przekroju. 10 10 10 10 WIELE NAUCZYŁEŚ SIĘ I DUŻO WIDZIAŁEŚ! Zatem do dzieła, bądźcie dobrzy i twórzcie! DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ.

Na tej lekcji przyjrzymy się czworościanowi i jego elementom (krawędź czworościanu, powierzchnia, ściany, wierzchołki). I rozwiążemy kilka problemów związanych z konstruowaniem przekrojów czworościanu za pomocą metoda ogólna do budowy sekcji.

Temat: Równoległość linii i płaszczyzn

Lekcja: czworościan. Zagadnienia konstrukcji przekrojów czworościanu

Jak zbudować czworościan? Weźmy dowolny trójkąt ABC. Dowolny punkt D, nie leżącego w płaszczyźnie tego trójkąta. Otrzymujemy 4 trójkąty. Powierzchnia utworzona przez te 4 trójkąty nazywana jest czworościanem (ryc. 1.). Wewnętrzne punkty ograniczone tą powierzchnią są również częścią czworościanu.

Ryż. 1. Czworościan ABCD

Elementy czworościanu
A,B, C, D - wierzchołki czworościanu.
AB, AC, OGŁOSZENIE, PNE., BD, płyta CD - krawędzie czworościanu.
ABC, ABD, BDC, ADC - twarze czworościanu.

Komentarz: można brać na płasko ABC za podstawa czworościanu, a następnie wskaż D Jest wierzchołek czworościanu. Każda krawędź czworościanu jest przecięciem dwóch płaszczyzn. Na przykład żebro AB- to jest przecięcie płaszczyzn ABD I ABC. Każdy wierzchołek czworościanu jest przecięciem trzech płaszczyzn. Wierzchołek A leży w płaszczyznach ABC, ABD, ADZ. Kropka A jest przecięciem trzech wyznaczonych płaszczyzn. Fakt ten zapisano w następujący sposób: A= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Definicja czworościanu

Więc, czworościan to powierzchnia utworzona przez cztery trójkąty.

Krawędź czworościanu- linia przecięcia dwóch płaszczyzn czworościanu.

Z 6 zapałek utwórz 4 równe trójkąty. Nie da się rozwiązać problemu w samolocie. A jest to łatwe do zrobienia w kosmosie. Weźmy czworościan. 6 zapałek to jego krawędzie, cztery ściany czworościanu i będą cztery równe trójkąty. Problem jest rozwiązany.

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Kropka M należy do krawędzi czworościanu AB, kropka N należy do krawędzi czworościanu WD i okres R należy do krawędzi DZ(ryc. 2.). Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną MNP.

Ryż. 2. Rysunek do zadania 2 - Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną

Rozwiązanie:
Rozważmy ścianę czworościanu DSłońce. Z tej strony N I P należą do twarzy DSłońce, a zatem czworościan. Ale zgodnie z warunkiem punktu N., P należą do płaszczyzny cięcia. Oznacza, NP- jest to linia przecięcia dwóch płaszczyzn: płaszczyzna twarzy DSłońce i płaszczyzna cięcia. Załóżmy, że linie proste NP I Słońce nie równolegle. Leżą w tej samej płaszczyźnie DSłońce. Znajdźmy punkt przecięcia linii NP I Słońce. Oznaczmy to mi(ryc. 3.).

Ryż. 3. Rysunek problemu 2. Znalezienie punktu E

Kropka mi należy do płaszczyzny przekroju MNP, ponieważ leży na prostej NP i linię prostą NP leży całkowicie w płaszczyźnie przekroju MNP.

Wskaż także mi leży w samolocie ABC, ponieważ leży na prostej Słońce wyjść z samolotu ABC.

Rozumiemy to JEŚĆ- linia przecięcia płaszczyzn ABC I MNP, od punktów mi I M leżą jednocześnie w dwóch płaszczyznach - ABC I MNP. Połączmy kropki M I mi i jedź dalej prosto JEŚĆ do przecięcia z linią AC. Punkt przecięcia linii JEŚĆ I AC oznaczmy Q.

Więc w tym przypadku NPQМ- wymagana sekcja.

Ryż. 4. Rysunek problemu 2. Rozwiązanie problemu 2

Rozważmy teraz przypadek, kiedy NP równoległy PNE.. Jeśli prosto NP równolegle do jakiejś linii, na przykład linii prostej Słońce wyjść z samolotu ABC, potem prosto NP równolegle do całej płaszczyzny ABC.

Żądana płaszczyzna przekroju przechodzi przez linię prostą NP, równolegle do płaszczyzny ABC, i przecina płaszczyznę po linii prostej MQ. Zatem linia przecięcia MQ równolegle do linii NP. Dostajemy NPQМ- wymagana sekcja.

Kropka M leży na boku ADW czworościan ABCD. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez ten punkt M równolegle do podstawy ABC.

Ryż. 5. Rysunek do zadania 3 Skonstruuj przekrój czworościanu z płaszczyzną

Rozwiązanie:
Płaszczyzna cięcia φ równolegle do płaszczyzny ABC zgodnie z warunkiem oznacza to, że ten samolot φ równolegle do linii AB, AC, Słońce.
W samolocie ABD przez punkt M zróbmy bezpośredni PQ równoległy AB(ryc. 5). Prosty PQ leży w samolocie ABD. Podobnie w samolocie ACD przez punkt R zróbmy bezpośredni PR równoległy AC. Mam rację R. Dwie przecinające się linie PQ I PR samolot PQR odpowiednio równoległe do dwóch przecinających się linii AB I AC samolot ABC, czyli samoloty ABC I PQR równoległy. PQR- wymagana sekcja. Problem jest rozwiązany.

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Kropka M- punkt wewnętrzny, punkt na ścianie czworościanu ABD. N- punkt wewnętrzny odcinka DZ(ryc. 6.). Skonstruuj punkt przecięcia linii N.M. i samoloty ABC.

Ryż. 6. Rysunek do zadania 4

Rozwiązanie:
Aby rozwiązać ten problem, zbudujemy płaszczyznę pomocniczą DMN. Niech będzie prosto DM przecina w punkcie prostą AB DO(ryc. 7.). Następnie, SKD- to jest fragment samolotu DMN i czworościan. W samolocie DMN kłamstwa i prosto N.M. i wynikową linię prostą SK. Więc jeśli N.M. nie równolegle SK, to w pewnym momencie się przetną R. Kropka R i pojawi się pożądany punkt przecięcia linii N.M. i samoloty ABC.

Ryż. 7. Rysunek problemu 4. Rozwiązanie problemu 4

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. M- wewnętrzny punkt twarzy ABD. R- wewnętrzny punkt twarzy ABC. N- punkt wewnętrzny krawędzi DZ(ryc. 8.). Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M, N I R.

Ryż. 8. Rysunek do zadania 5 Skonstruuj przekrój czworościanu z płaszczyzną

Rozwiązanie:
Rozważmy pierwszy przypadek, gdy linia prosta MN nie jest równoległy do płaszczyzny ABC. W poprzednim zadaniu znaleźliśmy punkt przecięcia prostej MN i samoloty ABC. O to chodzi DO, uzyskuje się to za pomocą płaszczyzny pomocniczej DMN, tj. my robimy DM i mamy punkt F. Wykonujemy CF i na skrzyżowaniu MN zdobywamy punkt DO.

Ryż. 9. Rysunek problemu 5. Znalezienie punktu K

Zróbmy bezpośredni KR. Prosty KR leży zarówno w płaszczyźnie przekroju, jak i w płaszczyźnie ABC. Zdobycie punktów P 1 I R2. Złączony P 1 I M i jako kontynuacja rozumiemy sedno M 1. Łączenie kropki R2 I N. W rezultacie otrzymujemy pożądaną sekcję P 1 P 2 NM 1. W pierwszym przypadku problem został rozwiązany.
Rozważmy drugi przypadek, gdy linia prosta MN równolegle do płaszczyzny ABC. Samolot MNP przechodzi przez linię prostą MN równolegle do płaszczyzny ABC i przecina płaszczyznę ABC wzdłuż jakiejś linii prostej R 1 R 2, potem prosto R 1 R 2 równolegle do danej linii MN(ryc. 10.).

Ryż. 10. Rysunek problemu 5. Wymagana sekcja

Teraz narysujmy linię prostą R1 M i mamy punkt M 1.P 1 P 2 NM 1- wymagana sekcja.

Przyjrzeliśmy się więc czworościanowi i rozwiązaliśmy kilka typowych problemów z czworościanem. W następnej lekcji przyjrzymy się równoległościanowi.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie V, poprawione i rozszerzone - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s. : chory. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i specjalizowany)

2. Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: chory. Geometria. Klasy 10-11: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - wydanie 6, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s. :il. Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego obejmujący pogłębioną i specjalistyczną naukę matematyki

Dodatkowe zasoby internetowe

2. Jak skonstruować przekrój czworościanu. Matematyka ().

3. Festiwal idei pedagogicznych ().

Rozwiązuj w domu zadania na temat „Czworościan”, jak znaleźć krawędź czworościanu, ściany czworościanu, wierzchołki i powierzchnię czworościanu

1. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i specjalistyczny) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie V, poprawione i rozszerzone - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il. Zadania 18, 19, 20 s. 50

2. Punkt miżyłka MAMA czworościan MAVS. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty PNE I mi.

3. W czworościanie MABC punkt M należy do ściany AMV, punkt P należy do ściany BMC, punkt K należy do krawędzi AC. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M, R, K.

4. Jakie kształty można uzyskać w wyniku przecięcia czworościanu z płaszczyzną?