Wyznaczanie przemieszczeń podczas zginania metodą Vereshchagina. Wyznaczanie przemieszczeń metodą Vereshchagina Mnożenie diagramów według reguły Vereshchagina

Istnieje kilka sposobów (metod) wyznaczania przemieszczeń zginających: metoda parametrów początkowych; metoda energetyczna; Metoda Mohra i metoda Vereshchagina. Metoda grafoanalityczna Vereshchagina jest w zasadzie szczególnym przypadkiem metody Mohra do rozwiązywania stosunkowo prostych problemów, dlatego nazywana jest również metodą Mohra – Vereshchagina. Ze względu na zwięzłość naszego kursu rozważymy tylko tę metodę.

Napiszmy wzór Wierieszczagina

y = (1/EJ)*ω g *M 1g, (1,14)

Gdzie y – ruch w interesującej Cię sekcji;

E – moduł sprężystości; J- osiowy moment bezwładności;

Ryc.1.21

E.J. sztywność zginania belki; ω g– obszar wykresu obciążenia momentów; M 1g– moment wzięty z pojedynczego wykresu pod środkiem ciężkości ładunku.

Jako przykład wyznaczmy ugięcie belki wspornikowej pod działaniem siły przyłożonej na swobodnym końcu belki.

Skonstruujmy wykres obciążenia momentów.

M(z) = - F* z. 0 ≤ z ≤ l.

M(0) = 0. M(l) = - F* l.

ω g– pole wykresu obciążenia, czyli pole powstałego trójkąta.

ω g= - F* l* l/2 = - F* l 2 /2.

M 1g– można uzyskać tylko z jednej działki.

Zasada konstruowania pojedynczego diagramu:

1) wszystkie siły zewnętrzne zostały usunięte z belki;

2) w interesującym nas fragmencie przykładana jest siła jednostkowa (bezwymiarowa) w kierunku zamierzonego przemieszczenia;

3) skonstruuj diagram na podstawie tej siły jednostkowej.

Środek ciężkości trójkąta prostokątnego leży 2/3 od wierzchołka. Ze środka ciężkości wykresu obciążenia schodzimy do schematu jednostkowego i zaznaczamy M 1g. Z podobieństwa trójkątów możemy pisać

M 1g/(- 1*l) = 2/3 l/ l, stąd M 1g= - 2/3 l.

Otrzymane wyniki podstawimy do wzoru (1.14).

y = (1/EJ)*ω g *M 1g= (1/EJ)*(- F* l 2 /2)*(- 2/3 l) = F*l 3 /3EJ.

Obliczenia przemieszczeń przeprowadza się po obliczeniu wytrzymałości, dzięki czemu znane są wszystkie niezbędne dane. Podstawiając wartości liczbowe parametrów do otrzymanego wzoru, znajdziesz przemieszczenie belki mm.

Rozważmy jeszcze jeden problem.

Załóżmy, że zdecydujesz się zrobić poprzeczkę o długości 1,5 m z okrągłego pręta do gimnastyki. Konieczne jest wybranie średnicy pręta. Ponadto chcesz wiedzieć, jak bardzo ta wędka ugnie się pod Twoim ciężarem.

Dany:

F= 800 N (≈ 80 kg); Stal 20Х13 (stal nierdzewna), posiadająca σ w = 647 MPa;

E= 8*10 4 MPa; l = 1,5 m; A= 0,7 m; B= 0,8 m.

Akceptujemy warunki pracy konstrukcji wysokiego ryzyka (sam kręcisz się na poprzeczce). n = 5.

Odpowiednio

[σ] = σ in / n = 647/5 = 130 MPa.

Ryc.1.22

Rozwiązanie:

Schemat projektowy pokazano na ryc. 1.22.

Wyznaczmy reakcje podpór.

∑M B = 0. R A *l – F*b = 0.

R A = F*b/l = 800*0,8/1,5 = 427 N.

∑M A = 0. R B *l – F*a = 0.

R B = F*a/l = 800*0,7/1,5 = 373 N.

Badanie

∑F Y = 0. R A + R B – F = 427 + 373 - 800 = 0.

Reakcje zostały znalezione prawidłowo.

Zbudujmy wykres momentów zginających

(to będzie schemat ładunku).

M(z 1) = R ZA * z 1. 0 ≤ z 1 ≤ za.

M(0) = 0. M(a) = R A * a = 427*0,7 = 299 N*m.

M(z 2) = R ZA *(a + z 2) – F* z 2. 0 ≤ z 2 ≤ b.

M(0) = R A * a = 427*0,7 = 299 N*m.

M(b)=R A *(a +b) – F* b = 427*1,5 – 800* 0,8 = 0.

Z warunku wytrzymałości piszemy

Wх ≥ Mg/[σ] = 299*10 3 / 130 = 2300 mm 3.

Dla przekroju okrągłego Szer. = 0,1 d 3, stąd

d ≥ 3 √10 Wх= 3 √ 23000 = 28,4 mm ≈ 30 mm.

Określmy ugięcie pręta.

Schemat projektowy i schemat pojedynczy pokazano na ryc. 1.22.

Korzystając z zasady niezależności działania sił i odpowiednio niezależności przemieszczeń, piszemy

y = r 1 + r 2

y 1 = (1/EJ)*ω g 1 *M 1g 1= (1/EJ)* F* a 2 * b/(2*l)* 2*a* b /(3*l) =

F* a 3 * b 2 /(3* EJ* l 2) = 800*700 3 *800 2 /(3*8*10 4 *0,05*30 4 *1500 2) = 8 mm.

y 2 = (1/EJ)*ω g 2 *M 1g 2= (1/EJ)* F* a* b 2 /(2*l)* 2*a* b /(3*l) = F* a 2 * b 3 /(3* EJ* l 2)

= 800*700 2 *800 3 /(3*8*10 4 *0,05*30 4 *1500 2) = 9 mm.

y = y 1 + y 2 = 8 + 9 = 17 mm.

W przypadku bardziej złożonych schematów obliczeniowych wykresy momentów należy podzielić na większą liczbę części lub aproksymować za pomocą trójkątów i prostokątów. W rezultacie rozwiązanie sprowadza się do sumy rozwiązań podobnych do podanych powyżej.

W ogólnym przypadku (pręt o zmiennym przekroju, złożony układ obciążeń) całkę Mohra wyznacza się całkowaniem numerycznym. W wielu praktycznych przypadkach, gdy sztywność przekroju jest stała na długości pręta, całkę Mohra można obliczyć, korzystając z reguły Vereshchagina. Rozważmy definicję całki Mohra w przekroju od a do 6 (ryc. 9.18).

Ryż. 9.18. Reguła Wierieszczagina do obliczania całki Mohra

Wykresy momentu z pojedynczego współczynnika siły składają się z odcinków prostych. Bez utraty ogólności zakładamy, że w obrębie obszaru

gdzie A i B to parametry linii:

Całka Mohra na rozpatrywanym przekroju stałym ma postać

gdzie F jest obszarem pod krzywą (obszar wykresu momentów zginających od sił zewnętrznych w przekroju z).

gdzie jest odcięta środka ciężkości obszaru.

Równość (109) obowiązuje, gdy znak nie zmienia się w obrębie obszaru i można go uznać za element obszaru diagramu. Teraz z relacji (107) -(109) otrzymujemy

Moment od obciążenia jednostkowego w przekroju

Tabela pomocnicza dotycząca stosowania reguły Vereshchagina znajduje się na ryc. 9.19.

Notatki. 1. Jeśli diagram działania sił zewnętrznych na odcinek jest liniowy (na przykład pod działaniem sił i momentów skupionych), wówczas regułę można zastosować w odwrotnej formie: pomnóż obszar diagramu przez pojedynczy współczynnik siły według rzędnej wykresu odpowiadającej środkowi ciężkości obszaru. Wynika to z powyższego dowodu.

2. Regułę Wierieszczagina można rozszerzyć na całkę Mohra w postaci ogólnej (równanie (103)).

Ryż. 9.19. Pola i położenie środków ciężkości na wykresach momentów

Ryż. 9.20. Przykłady wyznaczania kątów odchylenia i obrotu z wykorzystaniem reguły Wierieszczagina

Główny wymóg jest następujący: w przekroju współczynniki siły wewnętrznej obciążenia jednostkowego muszą być funkcjami liniowymi wzdłuż osi pręta (wykresy liniowe!).

Przykłady. 1. Określ ugięcie w punkcie A pręta wspornikowego pod działaniem skupionego momentu M (ryc. 9.20, a).

Ugięcie w punkcie A określa się ze wzoru (dla uproszczenia indeks pominięto)

Znak minus wynika z faktu, że mają różne znaki.

2. Wyznaczyć ugięcie w punkcie A pręta wspornika pod działaniem rozłożonego obciążenia.

Ugięcie określa się ze wzoru

Wykresy momentu zginającego M i siły ścinającej Q od obciążenia zewnętrznego pokazano na rys. 9.20, b, poniżej na tym rysunku znajdują się diagramy pod działaniem siły jednostkowej. Dalej znajdujemy

3. Wyznaczyć ugięcie w punkcie A i kąt obrotu w punkcie B dla belki dwupodporowej obciążonej momentem skupionym (rys. 9.20.).

Ugięcie określa się ze wzoru (zaniedbujemy odkształcenie przy ścinaniu)

Ponieważ wykres momentu z siły jednostkowej nie jest przedstawiony jedną linią; następnie dzielimy całkę na dwie części:

Kąt obrotu w punkcie B jest równy

Komentarz. Z powyższych przykładów jasno wynika, że metoda Vereshchagina w prostych przypadkach pozwala szybko określić ugięcia i kąty obrotu. Ważne jest jedynie zastosowanie jednej zasady znaków. Jeśli przy zginaniu pręta zgodzimy się na skonstruowanie wykresów momentów zginających na „rozciągniętym włóknie” (patrz rys. 9.20), to od razu łatwo dostrzec dodatnie i ujemne wartości momentów.

Szczególną zaletą reguły Vereshchagina jest to, że można ją stosować nie tylko do wędek, ale także do ram (rozdział 17).

Ograniczenia w stosowaniu reguły Wierieszczagina.

Ograniczenia te wynikają z wyprowadzenia wzoru (110), ale zwróćmy na nie uwagę jeszcze raz.

1. Wykres momentu zginającego od obciążenia jednostkowego powinien mieć postać jednej linii prostej. Na ryc. 9.21 i pokazuje przypadek, gdy warunek ten nie jest spełniony. Całkę Mohra należy obliczyć oddzielnie dla odcinków I i II.

2. Moment zginający od obciążenia zewnętrznego w przekroju musi mieć ten sam znak. Na ryc. Rysunek 9.21, b pokazuje przypadek, w którym regułę Vereshchagina należy zastosować dla każdego odcinka osobno. To ograniczenie nie dotyczy momentu od pojedynczego obciążenia.

Ryż. 9.21. Ograniczenia w stosowaniu reguły Vereshchagina: a - diagram ma przerwę; b - schemat ma różne znaki; c - pręt ma różne przekroje

3. Sztywność pręta w obrębie przekroju musi być stała, w przeciwnym razie integrację należy rozszerzyć oddzielnie na odcinki o stałej sztywności. Ograniczeń stałej sztywności można uniknąć, sporządzając wykresy.

Wyznaczanie przemieszczeń w układach składających się z elementów prostoliniowych o stałej sztywności można znacznie uprościć stosując specjalną technikę obliczania całki formy. Ze względu na to, że podcałka obejmuje iloczyn wysiłków będący rzędnymi diagramów skonstruowanych dla pojedynczego i rzeczywistego stanu, technika ta nazywana jest metodą mnożenia diagramów.

Można go zastosować w przypadku, gdy jeden z powielonych diagramów jest np. prostoliniowy; w tym przypadku (ryc. Drugi diagram może mieć dowolny kształt (prosty, łamany lub krzywoliniowy).

Podstawmy wartość do wyrażenia

gdzie jest obszar różnicowy diagramu (ryc. 17.11).

Całka reprezentuje moment statyczny obszaru diagramu względem osi (ryc. 17.11).

Ten moment statyczny można wyrazić inaczej:

gdzie jest odciętą środka ciężkości obszaru diagramu

Ale ponieważ (patrz ryc. 17.11)

(26.11)

Zatem wynik pomnożenia dwóch diagramów jest równy iloczynowi pola jednego z nich przez rzędną drugiego (prostoliniowego) diagramu, wziętą pod środek ciężkości obszaru pierwszego diagramu.

Metodę mnożenia diagramów zaproponował w 1925 roku A. N. Vereshchagin, student Moskiewskiego Instytutu Inżynierów Kolejnictwa, dlatego nazywa się ją regułą (lub metodą) Vereshchagina.

Należy zauważyć, że lewa strona wyrażenia (26.11) różni się od całki Mohra brakiem sztywności przekroju. W związku z tym wynik mnożenia wykresów wykonanych według reguły Vereshchagina w celu wyznaczenia pożądanego przemieszczenia należy podzielić przez wartość sztywności.

Bardzo ważne jest, aby pamiętać, że rzędna musi zostać wzięta ze diagramu liniowego. Jeśli oba diagramy są proste, wówczas rzędną można pobrać z dowolnego diagramu. Jeśli więc chcesz pomnożyć diagramy prostoliniowe i (ryc. 18.11, a), to nie ma znaczenia, co wziąć: iloczyn obszaru diagramu przez rzędną pod jego środkiem ciężkości ze schematu lub iloczyn Qkyt powierzchni Q diagramu przez rzędną pod (lub powyżej) jego środka ciężkości z diagramu

Kiedy mnoży się dwa diagramy w kształcie trapezu, nie ma potrzeby znajdowania położenia środka ciężkości obszaru jednego z nich. Należy podzielić jeden ze diagramów na dwa trójkąty i pomnożyć pole każdego z nich przez rzędną pod jego środkiem ciężkości z drugiego diagramu. Przykładowo, w przypadku pokazanym na rys. 11.18.b, otrzymujemy

(27.11)

W nawiasach tego wzoru iloczyn lewych rzędnych obu diagramów i iloczyn prawych rzędnych przyjmuje się ze współczynnikiem równym dwa, a iloczyny rzędnych znajdujących się po różnych stronach - ze współczynnikiem równym jeden.

Korzystając ze wzoru (27.11), możesz pomnożyć diagramy przypominające „skręcone” trapezy; w tym przypadku iloczyny rzędnych o tych samych znakach są przyjmowane ze znakiem plus, a te, które mają różne znaki, ze znakiem minus. W przypadku pokazanym na przykład na rys. 18.11, b, wynik mnożenia diagramów w postaci „skręconego” i zwykłego trapezu jest równy , a w przypadku pokazanym na ryc. 18.11, g, równy

Wzór (27.11) stosuje się także wówczas, gdy jeden lub oba mnożone diagramy mają kształt trójkąta. W takich przypadkach trójkąt jest traktowany jak trapez z jedną skrajną rzędną równą zero. Wynik na przykład pomnożenia diagramów pokazanych na ryc. 18.11, d, równy

Mnożenie diagramu w postaci „skręconego” trapezu przez dowolny inny diagram można wykonać dzieląc „skręcony trapez na dwa trójkąty, jak pokazano na ryc. 18.11, tj.

Gdy jeden z wykresów (ryc. 19.11) jest zarysowany wzdłuż kwadratowej paraboli (z równomiernie rozłożonego obciążenia q), wówczas do pomnożenia przez inny wykres jest on traktowany jako suma (w przypadku pokazanym na ryc. 19.11, a) lub różnica (w przypadku pokazanym na ryc. 19.11, b) diagramy trapezowe i paraboliczne

Wynik mnożenia diagramów pokazanych na ryc. 19,11, a, jest równe po podstawieniu do niego, które otrzymujemy

Wynik mnożenia diagramów pokazanych na ryc. 19,11, b, jest równe po podstawieniu do niego - i otrzymujemy

W obu otrzymanych wyrażeniach w nawiasach podano sumy iloczynów skrajnych rzędnych obu wykresów z poczwórnym iloczynem środkowych rzędnych.

Zdarzają się przypadki, gdy żaden z zwielokrotnionych diagramów nie jest prosty, ale jeden z nich (lub oba) jest ograniczony łamanymi liniami prostymi. W takich przypadkach, aby pomnożyć diagramy, najpierw dzieli się je na sekcje, w ramach których co najmniej jeden diagram jest prosty. I tak na przykład mnożąc diagramy pokazane na ryc. 20.11, a, b, można je podzielić na dwie części i wynik mnożenia przedstawić w postaci sumy.Można, mnożąc te same diagramy, podzielić je na trzy części, jak pokazano na ryc. 20.11, c, d; w tym przypadku wynik mnożenia diagramów jest równy

Korzystając z reguły Vereshchagina, należy obliczyć pola różnych figur geometrycznych i określić położenie ich środków ciężkości. W związku z tym w tabeli. Rysunek 1.11 pokazuje wartości powierzchni i współrzędne środków ciężkości najczęstszych figur geometrycznych.

Jako przykład rozważmy zastosowanie metody Vereshchagina do wyznaczenia ugięcia punktu C (pod wpływem siły ) belki pokazanej na ryc. 16.11, a; Uwzględniamy jednocześnie działanie momentów zginających i sił poprzecznych.

Stan pojedynczy belki oraz wykresy występujących w niej sił wewnętrznych wywołanych obciążeniem i siłą jednostkową pokazano na rys. 16.11, b, b, d, e, f.

Zgodnie ze wzorem (24.11), stosując metodę Vereshchagina przy mnożeniu diagramów, znajdujemy

Wynik ten pokrywa się z wynikiem uzyskanym poprzez całkowanie.

Wyznaczmy teraz przemieszczenie poziome punktu C ramy pokazanej na rys. 21.11, o. Momenty bezwładności przekrojów słupków ramy i poprzeczki pokazano na rysunku; .

Rzeczywisty stan ramy pokazany jest na rys. 21.11, o. Wykres momentów zginających dla tego stanu (wykres obciążenia) pokazano na rys. 21.11, ur.

W pojedynczym stanie do punktu C ramy przykładana jest siła równa jedności w kierunku pożądanego przemieszczenia (tj. poziomego).

Tabela 1.11

(patrz skan)

Wykres momentów zginających M dla tego stanu (wykres jednostkowy) pokazano na rys. 21.11, o godz.

Nie można wskazać na wykresach znaków momentów zginających, gdyż wiadomo, że rzędne wykresów naniesione są po stronie sprasowanych włókien każdego elementu.

Mnożąc schemat obciążenia przez schemat jednostkowy zgodnie z metodą Vereshchagina (ryc. 21.11, b, c) i biorąc pod uwagę różne wartości momentów bezwładności przekrojów stojaków i poprzeczki ramy, znajdujemy wymagane przemieszczenie punktu C:

Przy mnożeniu diagramów przyjmuje się znak minus, ponieważ diagramy i M znajdują się po różnych stronach elementów ramy, a zatem momenty zginające i M mają różne znaki.

Ujemna wartość powstałego przemieszczenia punktu C oznacza, że punkt ten nie przesuwa się w kierunku siły jednostkowej (ryc. 21.11, c), ale w przeciwnym kierunku, tj. w prawo.

Podamy teraz kilka praktycznych wskazówek dotyczących stosowania całki Mohra w różnych przypadkach obliczania przemieszczeń.

Zaleca się wyznaczanie przemieszczeń w belkach, których sztywność przekroju jest stała na całej długości lub w poszczególnych przekrojach, obliczając całkę Mohra z reguły Vereshchagina. To samo dotyczy ram wykonanych z prętów prostych o sztywności stałej lub zmiennej skokowej.

Jeżeli sztywność przekrojów elementu konstrukcyjnego zmienia się w sposób ciągły na jego długości, przemieszczenia należy określić poprzez bezpośrednie (analityczne) obliczenie całki Mohra. Konstrukcję taką można w przybliżeniu obliczyć zastępując ją układem z elementami o sztywności skokowo zmiennej, po czym można zastosować metodę Wierieszczagina do określenia przemieszczeń.

Metodę Vereshchagina można zastosować nie tylko do wyznaczania przemieszczeń, ale także do wyznaczania energii potencjalnej.

Jest oczywiste, że różnorodność stosowanych obciążeń i projektów geometrycznych konstrukcji prowadzi do różnych, z punktu widzenia geometrii, zwielokrotnionych diagramów. Aby zastosować regułę Vereshchagina, musisz znać obszary figur geometrycznych i współrzędne ich środków ciężkości. Rysunek 29 pokazuje niektóre z głównych opcji pojawiających się w praktycznych obliczeniach.

Aby pomnożyć diagramy o skomplikowanych kształtach, należy je rozbić na proste. Na przykład, aby pomnożyć dwa diagramy przypominające trapez, należy podzielić jeden z nich na trójkąt i prostokąt, pomnożyć pole każdego z nich przez rzędną drugiego diagramu, znajdującą się pod odpowiednim środkiem grawitację i dodaj wyniki. To samo dotyczy mnożenia zakrzywionego trapezu przez dowolny diagram liniowy.

Jeżeli powyższe kroki wykonamy w formie ogólnej, otrzymamy wzory dla tak złożonych przypadków, które są wygodne do zastosowania w praktycznych obliczeniach (ryc. 30). Zatem wynik pomnożenia dwóch trapezów (ryc. 30, a):

Ryż. 29

Za pomocą wzoru (2.21) można także mnożyć diagramy mające postać „skręconych” trapezów (ryc. 30, b), ale w tym przypadku iloczyn rzędnych znajdujących się po przeciwnych stronach osi diagramu jest brany pod uwagę z minus.

Jeżeli jeden z pomnożonych wykresów zarysowano wzdłuż paraboli kwadratowej (co odpowiada obciążeniu równomiernie rozłożonym obciążeniem), to przy mnożeniu przez drugi (koniecznie liniowy) wykres traktuje się go jako sumę (ryc. 30, c) lub różnica (ryc. 30, d) diagramów trapezowych i parabolicznych. Wynik mnożenia w obu przypadkach określa wzór:

(2.22)

ale wartość f jest określana inaczej (ryc. 30, c, d).

Ryż. trzydzieści

Może się zdarzyć, że żaden z zwielokrotnionych diagramów nie jest prostoliniowy, ale przynajmniej jeden z nich jest ograniczony łamanymi liniami prostymi. Aby pomnożyć takie diagramy, najpierw dzieli się je na sekcje, w ramach których co najmniej jeden diagram jest prostoliniowy.

Rozważmy zastosowanie reguły Vereshchagina na konkretnych przykładach.

Przykład 15. Określ ugięcie w środku przęsła i kąt obrotu lewego odcinka nośnego belki obciążonego równomiernie rozłożonym obciążeniem (ryc. 31, a) za pomocą metody Vereshchagina.

Kolejność obliczeń metodą Vereshchagina jest taka sama jak w metodzie Mohra, dlatego rozważymy trzy stany belki: ładunek - pod działaniem obciążenia rozłożonego q; odpowiada to schematowi M q (ryc. 31, b) i dwóm indywidualnym stanom - pod działaniem siły
zastosowany w punkcie C (rys
, ryc. 31, c) i moment
, zastosowany w punkcie B (schemat
, ryc. 31, d).

Ugięcie belki w środku przęsła:

Podobny wynik uzyskano wcześniej metodą Mohra (patrz przykład 13). Należy zwrócić uwagę, że mnożenie wykresów wykonano dla połowy belki, a następnie ze względu na symetrię wynik podwojono. Jeśli pole całego diagramu M q pomnożymy przez rzędną diagramu znajdującą się pod jego środkiem ciężkości
(
na ryc. 31, c), wówczas wielkość przemieszczenia będzie zupełnie inna i niepoprawna od wykresu
ograniczone linią przerywaną. O niedopuszczalności takiego podejścia wskazano już powyżej.

A obliczając kąt obrotu przekroju w punkcie B, można pomnożyć obszar diagramu M q przez rzędną diagramu znajdującą się pod jego środkiem ciężkości
(
, ryc. 31, d), ponieważ schemat
ograniczone linią prostą:

Wynik ten pokrywa się także z wynikiem uzyskanym wcześniej metodą Mohra (patrz przykład 13).

Ryż. 31

Przykład 16. Określ poziome i pionowe ruchy punktu A w ramie (ryc. 32, a).

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, aby rozwiązać problem, należy wziąć pod uwagę trzy stany ramy: cargo i dwa pojedyncze. Wykres momentów M F odpowiadających stanowi pierwszemu przedstawiono na ryc. 32, b. Aby obliczyć przemieszczenie poziome, przykładamy siłę w punkcie A w kierunku pożądanego przemieszczenia (tj. poziomo)
i obliczyć siłę przemieszczenia pionowego
nakładać pionowo (ryc. 32, c, d). Odpowiednie diagramy
I
pokazano na ryc. 32, d, f.

Poziomy ruch punktu A:

Podczas obliczania
w przekroju AB trapez (schemat M F) dzieli się na trójkąt i prostokąt, po czym trójkąt ze schematu
„pomnożona” przez każdą z tych liczb. W części BC trapez krzywoliniowy dzieli się na trójkąt krzywoliniowy i prostokąt, a w części SD stosuje się wzór (2.21) do mnożenia diagramów.

Znak „-” uzyskany podczas obliczeń
, oznacza, że punkt A nie przemieszcza się poziomo w lewo (w tym kierunku działa siła).
) i w prawo.

Tutaj znak „-” oznacza, że punkt A porusza się w dół, a nie w górę.

Należy pamiętać, że diagramy pojedynczych momentów są zbudowane na podstawie siły
, mają wymiar długości i diagramy jednostkowe momentów zbudowane z chwili
, są bezwymiarowe.

Przykład 17. Określ przemieszczenie pionowe punktu A układu płasko-przestrzennego (ryc. 33, a).

Ryc.23

Jak wiadomo (patrz rozdział 1), w przekrojach prętów układu płasko-przestrzennego powstają trzy współczynniki siły wewnętrznej: siła poprzeczna Q y, moment zginający M x i moment obrotowy M cr. Ponieważ wpływ siły poprzecznej na wielkość przemieszczenia jest nieznaczny (patrz przykład 14, ryc. 27), przy obliczaniu przemieszczenia metodą Mohra i Vereshchagina pozostają tylko dwa z sześciu członów.

Aby rozwiązać problem, skonstruujemy wykresy momentów zginających M x, q i momentów M cr, q od obciążenia zewnętrznego (ryc. 33, b), a następnie w punkcie A przyłożymy siłę
w kierunku pożądanego ruchu, tj. pionowy (ryc. 33, c) i skonstruować pojedyncze wykresy momentów zginających
i momenty obrotowe
(ryc. 33, d). Strzałki na wykresach momentów obrotowych pokazują kierunki skręcenia odpowiednich odcinków układu płaszczyzna-przestrzeń.

Pionowy ruch punktu A:

Przy mnożeniu wykresów momentu obrotowego iloczyn jest przyjmowany ze znakiem „+”, jeśli strzałki wskazujące kierunek skręcania są współkierunkowe, a w przeciwnym razie ze znakiem „-”.

EE „BSUIR”

Katedra Grafiki Inżynierskiej

ABSTRAKCYJNY

na temat:

„OZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ METODĄ MOR. Reguła Wiereszczagina”

Mińsk, 2008

Rozważmy teraz ogólną metodę wyznaczania przemieszczeń, odpowiednią dla każdego układu odkształcalnego liniowo pod dowolnym obciążeniem. Metodę tę zaproponował wybitny niemiecki naukowiec O. Mohr.

Załóżmy, że chcemy wyznaczyć przemieszczenie pionowe punktu A belki pokazanej na rys. 7.13, o. Stan zadany (obciążenia) oznaczamy literą k. Wybierzmy stan pomocniczy tej samej belki z jednostką

siła działająca w punkcie A i w kierunku pożądanego przemieszczenia. Stan pomocniczy oznaczamy literą i (ryc. 7.13,6).

Obliczmy pracę sił zewnętrznych i wewnętrznych stanu pomocniczego na przemieszczenia spowodowane działaniem sił stanu obciążenia.

Praca sił zewnętrznych będzie równa iloczynowi siły jednostkowej i pożądanego przemieszczenia ya

a praca sił wewnętrznych w wartości bezwzględnej jest równa całce

(1)

Wzór (7.33) jest wzorem Mohra (całką Mohra), pozwalającym wyznaczyć przemieszczenie w dowolnym punkcie układu odkształcalnego liniowo.

We wzorze tym całka MiMk jest dodatnia, jeśli oba momenty zginające mają ten sam znak, i ujemna, jeśli Mi i Mk mają różne znaki.

Gdybyśmy mieli wyznaczyć przemieszczenie kątowe w punkcie A, to w stanie i musielibyśmy przyłożyć moment równy jedności (bez wymiaru) w punkcie A.

Oznaczając literą Δ dowolny ruch (liniowy lub kątowy), zapisujemy wzór Mohra (całkę) w postaci

(2)

W ogólnym przypadku wyrażenia analityczne Mi i Mk mogą być różne w różnych przekrojach belki lub ogólnie układu sprężystego. Dlatego zamiast wzoru (2) należy zastosować wzór bardziej ogólny

(3)

Jeżeli pręty układu nie pracują przy zginaniu, ale przy rozciąganiu (ściskaniu), jak np. w kratownicach, to wzór Mohra ma postać

(4)

W tym wzorze iloczyn NiNK jest dodatni, jeśli obie siły są rozciągające lub obie są ściskające. Jeżeli pręty pracują jednocześnie przy zginaniu i rozciąganiu (ściskaniu), to w zwykłych przypadkach, jak pokazują obliczenia porównawcze, przemieszczenia można określić uwzględniając jedynie momenty zginające, ponieważ wpływ sił wzdłużnych jest bardzo mały.

Z tych samych powodów, jak wspomniano wcześniej, w zwykłych przypadkach wpływ sił ścinających można pominąć.

Zamiast bezpośrednio obliczać całkę Mohra, można zastosować technikę grafoanalityczną „metodę mnożenia diagramów” lub regułę Vereshchagina.

Rozważmy dwa wykresy momentów zginających, z których jeden Mk ma dowolny zarys, a drugi Mi jest prostoliniowy (ryc. 7.14, aib).

(5)

Wartość MKdz jest obszarem elementarnym dωk diagramu Mk (zacienionym na rysunku). Zatem,

(6)

stąd,

(8)

Ale reprezentuje moment statyczny obszaru diagramu Mk względem pewnej osi y przechodzącej przez punkt O, równy ωkzc, gdzie ωk jest obszarem diagramu momentu; zc to odległość od osi Y do środka ciężkości diagramu Mk. Z rysunku wynika, że

gdzie Msi jest rzędną wykresu Mi, znajdującą się pod środkiem ciężkości wykresu Mk (pod punktem C). Stąd,

(10)

tj. wymagana całka jest równa iloczynowi pola powierzchni diagramu Mk (dowolny kształt) przez rzędną prostoliniowego diagramu Msi znajdującego się pod jego środkiem ciężkości. Wartość ωкМсi uważa się za dodatnią, jeśli oba wykresy znajdują się po tej samej stronie pręta, i ujemną, jeśli znajdują się po różnych stronach pręta. Dodatni wynik mnożenia wykresów oznacza, że kierunek ruchu pokrywa się z kierunkiem jednostkowej siły (lub momentu).

Należy pamiętać, że rzędną Msi należy przyjmować na wykresie liniowym. W szczególnym przypadku, gdy oba diagramy są prostoliniowe, można pomnożyć pole dowolnego z nich przez odpowiednią rzędną drugiego.

W przypadku prętów o zmiennym przekroju zasada mnożenia diagramów Vereshchagina nie ma zastosowania, ponieważ w tym przypadku nie jest już możliwe usunięcie wartości EJ spod znaku całki. W tym przypadku należy wyrazić EJ jako funkcję odciętej przekroju i następnie obliczyć całkę Mohra (1).

Przy stopniowej zmianie sztywności pręta całkowanie (lub mnożenie wykresów) przeprowadza się dla każdego przekroju oddzielnie (z własną wartością EJ), a następnie wyniki sumuje się.

W tabeli 1 pokazuje pola niektórych prostych diagramów i współrzędne ich środka ciężkości.

Tabela 1

Rodzaj diagramu	Obszar diagramu	Odległość od środka ciężkości

Aby przyspieszyć obliczenia, możesz skorzystać z gotowych diagramów tabliczki mnożenia (tabela 2).

W tej tabeli, w komórkach na przecięciu odpowiednich diagramów elementarnych, podane są wyniki mnożenia tych diagramów.

Przy rozbiciu złożonego diagramu na elementarne, przedstawione w tabeli. 1 i 7.2 należy pamiętać, że wykresy paraboliczne uzyskano na podstawie działania tylko jednego obciążenia rozłożonego.

W przypadkach, gdy na złożonym schemacie przekroje zakrzywione uzyskuje się w wyniku jednoczesnego działania skupionych momentów, sił i równomiernie rozłożonego obciążenia, aby uniknąć błędów, złożony schemat należy najpierw „ułożyć warstwowo”, tj. podzielić na pewną liczbę niezależne wykresy: od działania skupionych momentów, sił i od działania równomiernie rozłożonego obciążenia.

Można także zastosować inną technikę, która nie wymaga stratyfikacji diagramów, a jedynie wymaga wybrania krzywoliniowej części diagramu wzdłuż cięciwy łączącej jego skrajne punkty.

Obie metody zademonstrujemy na konkretnym przykładzie.

Załóżmy, że chcesz określić przemieszczenie pionowe lewego końca belki (rys. 7.15).

Całkowity schemat obciążenia przedstawiono na rys. 7.15, o.

Tabela 7.2

Schemat działania siły jednostkowej w punkcie A pokazano na ryc. 7.15, miasto

Aby wyznaczyć przemieszczenie pionowe w punkcie A, należy pomnożyć wykres obciążenia przez wykres siły jednostkowej. Zauważamy jednak, że w przekroju BC schematu całkowitego wykres krzywoliniowy uzyskuje się nie tylko w wyniku działania równomiernie rozłożonego obciążenia, ale także w wyniku działania siły skupionej P. W rezultacie w przekroju BC jest nie będzie już elementarnym diagramem parabolicznym podanym w tabelach 7.1 i 7.2, ale według zasadniczo złożonego diagramu, dla którego dane w tych tablicach są nieaktualne.

Dlatego konieczne jest rozwarstwienie złożonego diagramu zgodnie z ryc. 7.15 oraz do schematów elementarnych przedstawionych na ryc. 7,15, b i 7,15, c.

Schemat wg rys. 7.15, b uzyskano wyłącznie z siły skupionej, wykres według ryc. 7.15, c - tylko od działania równomiernie rozłożonego obciążenia.

Teraz możesz pomnożyć diagramy za pomocą tabeli. 1 lub 2.

Aby to zrobić, należy pomnożyć diagram trójkątny zgodnie z ryc. 7.15, b do schematu trójkątnego zgodnie z ryc. 7.15, d i dodaj do tego wynik pomnożenia diagramu parabolicznego na ryc. 7.15, na schemacie trapezowym przekroju BC wg ryc. 7.15, d, ponieważ w przekroju AB rzędne diagramu zgodnie z ryc. 7,15, in są równe zeru.

Pokażemy teraz drugi sposób mnożenia diagramów. Spójrzmy jeszcze raz na diagram na ryc. 7.15, o. Weźmy początek odniesienia w części B. Pokazujemy, że w granicach krzywej LMN momenty zginające można otrzymać jako sumę algebraiczną momentów zginających odpowiadających prostej LN i momentów zginających wykresu parabolicznego LNML, jak dla belki prostej o długości a, obciążonej równomiernie rozłożonym obciążeniem q:

Największa rzędna w środku będzie równa .

Aby to udowodnić, zapiszmy rzeczywiste wyrażenie na moment zginający w przekroju w odległości z od punktu B

(A)

Zapiszmy teraz w tym samym dziale wyrażenie na moment zginający, otrzymany jako suma algebraiczna rzędnych prostej LN i paraboli LNML.

Równanie prostej LN

gdzie k jest tangensem kąta nachylenia tej linii

W konsekwencji równanie momentów zginających otrzymane jako suma algebraiczna równania prostej LN i paraboli LNMN ma postać

co pokrywa się z wyrażeniem (A).

Mnożąc diagramy zgodnie z regułą Vereshchagina, należy pomnożyć trapez BLNC przez trapez ze diagramu jednostkowego w sekcji BC (patrz ryc. 7.15, d) i odjąć wynik mnożenia diagramu parabolicznego LNML (powierzchnia ) przez ten sam trapez ze schematu jednostkowego. Ten sposób układania diagramów warstw jest szczególnie korzystny, gdy zakrzywiona część diagramu znajduje się w jednym ze środkowych odcinków belki.

Przykład 7.7. Wyznaczyć przemieszczenia pionowe i kątowe belki wspornikowej w miejscu przyłożenia obciążenia (rys. 7.16).

Rozwiązanie. Konstruujemy wykres momentów zginających dla stanu obciążenia (ryc. 7.16, a).

Aby określić przemieszczenie pionowe, wybieramy stan pomocniczy belki z siłą jednostkową w miejscu przyłożenia obciążenia.

Z tej siły konstruujemy wykres momentów zginających (ryc. 7.16, b). Wyznaczanie przemieszczeń pionowych metodą Mohra

Wartość momentu zginającego pod wpływem obciążenia

Wartość momentu zginającego od siły jednostkowej

Zastępujemy te wartości МР i Mi pod znakiem całki i całkujemy

Ten sam wynik uzyskano wcześniej inną metodą.

Dodatnia wartość ugięcia wskazuje, że punkt przyłożenia obciążenia P przesuwa się w dół (w kierunku siły jednostkowej). Gdybyśmy skierowali siłę jednostkową od dołu do góry, mielibyśmy Mi = 1z i w wyniku całkowania otrzymalibyśmy ugięcie ze znakiem minus. Znak minus wskazywałby, że ruch nie jest w górę, ale w dół, jak ma to miejsce w rzeczywistości.

Obliczmy teraz całkę Mohra, mnożąc diagramy zgodnie z regułą Vereshchagina.

Ponieważ oba diagramy są prostoliniowe, nie ma znaczenia, z którego diagramu wziąć pole, a z którego rzędną.

Obszar diagramu obciążenia jest równy

Środek ciężkości na tym schemacie znajduje się w odległości 1/3l od osadzania. Wyznaczamy rzędną wykresu momentów z siły jednostkowej, znajdującej się pod

środek ciężkości wykresu obciążenia. Łatwo sprawdzić, że jest ona równa 1/3l.

Stąd.

Ten sam wynik uzyskuje się z tabeli całek. Wynik mnożenia diagramów jest dodatni, ponieważ oba diagramy znajdują się na dole pręta. W konsekwencji punkt przyłożenia obciążenia przesuwa się w dół, czyli wzdłuż przyjętego kierunku siły jednostkowej.

Aby wyznaczyć przemieszczenie kątowe (kąt obrotu), wybieramy stan pomocniczy belki, w którym na końcu belki działa moment skupiony równy jedności.

Dla tego przypadku konstruujemy wykres momentów zginających (ryc. 7.16, c). Przemieszczenie kątowe określamy mnożąc wykresy. Załaduj obszar diagramu

Współrzędne diagramu z jednego momentu są wszędzie równe jedności, dlatego pożądany kąt obrotu przekroju jest równy

Ponieważ oba wykresy znajdują się poniżej, wynik pomnożenia wykresów jest dodatni. W ten sposób końcowy odcinek belki obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara (w kierunku momentu jednostkowego).

Przykład: Metodą Mohra-Vereshchagina wyznacz ugięcie w punkcie D belki pokazanej na rys. 7.17..

Rozwiązanie. Budujemy warstwowy wykres momentów z obciążenia, czyli budujemy osobne wykresy z działania każdego obciążenia. W takim przypadku dla wygody mnożenia diagramów wskazane jest zbudowanie warstwowych (elementarnych) diagramów względem przekroju, którego ugięcie określa się w tym przypadku względem przekroju D.

Na ryc. 7.17 a przedstawia wykres momentów zginających od reakcji A (przekrój AD) i od obciążenia P = 4 T (przekrój DC). Schematy zbudowane są na sprasowanym włóknie.

Na ryc. 7.17, b pokazuje wykresy momentów z reakcji B (przekrój BD), z lewej strony równomiernie rozłożonego obciążenia (przekrój AD) i z równomiernie rozłożonego obciążenia działającego na przekrój BC. Schemat ten pokazano na ryc. 7.17, b w obszarze DC poniżej.

Następnie wybieramy stan pomocniczy belki, dla którego przykładamy siłę jednostkową w punkcie D, w którym określa się ugięcie (ryc. 7.17, c). Wykres momentów siły jednostkowej pokazano na ryc. 7.17, d. Pomnóżmy teraz diagramy od 1 do 7 przez diagramy 8 i 9, korzystając z tabliczki mnożenia diagramów, biorąc pod uwagę znaki.

W tym przypadku wykresy znajdujące się po jednej stronie belki mnoży się ze znakiem plus, a diagramy znajdujące się po przeciwnych stronach belki ze znakiem minus.

Mnożąc diagram 1 i diagram 8 otrzymujemy

Mnożąc wykres 5 przez wykres 8, otrzymujemy

Mnożenie wykresów 2 i 9 daje

Pomnóż diagramy 4 i 9

Pomnóż wykresy 6 i 9

Podsumowując wyniki mnożenia diagramów, otrzymujemy

Znak minus wskazuje, że punkt D nie przemieszcza się w dół, gdy siła jednostkowa jest skierowana, ale w górę.

Ten sam wynik uzyskano wcześniej stosując równanie uniwersalne.

Oczywiście w tym przykładzie możliwe było stratyfikację diagramu tylko w przekroju AD, ponieważ w przekroju DB całkowity diagram jest prostoliniowy i nie ma potrzeby jego stratyfikacji. W sekcji BC rozwarstwienie nie jest wymagane, ponieważ z siły jednostkowej w tej sekcji wykres jest równy zeru. Aby wyznaczyć ugięcie w punkcie C, konieczne jest rozwarstwienie wykresu na przekroju BC.

Przykład. Wyznaczyć przemieszczenia pionowe, poziome i kątowe przekroju A złamanego pręta pokazanego na rys. 7.18, o. Sztywność przekroju poprzecznego przekroju pionowego pręta wynosi EJ1, sztywność przekroju poprzecznego przekroju poziomego wynosi EJ2.

Rozwiązanie. Konstruujemy wykres momentów zginających od obciążenia. Pokazano to na ryc. 7.18, b (patrz przykład 6.9). Aby określić przemieszczenie pionowe przekroju A, wybieramy stan pomocniczy układu pokazany na rys. 7.18, ok. W punkcie A przykładana jest jednostkowa siła pionowa skierowana w dół.

Wykres momentów zginających dla tego stanu pokazano na rys. 7.18, ok.

Przemieszczenia pionowe wyznaczamy metodą Mohra, stosując metodę mnożenia wykresów. Ponieważ na pręcie pionowym w stanie pomocniczym nie ma wykresu M1, mnożymy tylko wykresy odnoszące się do pręta poziomego. Pole diagramu bierzemy ze stanu obciążenia, a rzędną ze stanu pomocniczego. Przemieszczenie pionowe jest

Ponieważ oba diagramy znajdują się poniżej, wynik mnożenia przyjmujemy ze znakiem plus. W konsekwencji punkt A przesuwa się w dół, czyli w kierunku jednostkowej siły pionowej.

Aby określić poziomy ruch punktu A, wybieramy stan pomocniczy z poziomą siłą jednostkową skierowaną w lewo (ryc. 7.18, d). Zaprezentowano tam wykres momentów dla tego przypadku.

Mnożymy diagramy MP i M2 i otrzymujemy

Wynik mnożenia diagramów jest dodatni, ponieważ pomnożone diagramy znajdują się po tej samej stronie prętów.

Aby wyznaczyć przemieszczenie kątowe, wybieramy stan pomocniczy układu zgodnie z rys. 7.18.5 i skonstruuj wykres momentów zginających dla tego stanu (na tym samym rysunku). Mnożymy diagramy MP i M3:

Wynik mnożenia jest dodatni, ponieważ pomnożone diagramy znajdują się po jednej stronie.

W rezultacie sekcja A obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Te same wyniki można uzyskać stosując tabele
mnożenie diagramów.

Widok zdeformowanego pręta pokazano na ryc. 7.18, e, podczas gdy przemieszczenia są znacznie zwiększone.

LITERATURA

Feodosiew V.I. Wytrzymałość materiałów. 1986

Belyaev N.M. Wytrzymałość materiałów. 1976

Kraskovsky E.Ya., Druzhinin Yu.A., Filatova E.M. Obliczanie i projektowanie mechanizmów przyrządów i systemów komputerowych. 1991

Rabotnov Yu.N. Mechanika ciał odkształcalnych. 1988

Stepin PA Wytrzymałość materiałów. 1990