Mam nadzieję, że po przestudiowaniu tego artykułu dowiesz się, jak znaleźć pierwiastki pełnego równania kwadratowego.

Za pomocą dyskryminatora rozwiązuje się tylko pełne równania kwadratowe; do rozwiązywania niekompletnych równania kwadratowe skorzystaj z innych metod, które znajdziesz w artykule „Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych”.

Jakie równania kwadratowe nazywane są kompletnymi? Ten równania postaci ax 2 + b x + c = 0, gdzie współczynniki a, b i c nie są równe zero. Zatem, aby rozwiązać pełne równanie kwadratowe, musimy obliczyć dyskryminator D.

D = b 2 – 4ac.

W zależności od wartości wyróżnika zapiszemy odpowiedź.

Jeżeli dyskryminator jest liczbą ujemną (D< 0),то корней нет.

Jeśli dyskryminator wynosi zero, to x = (-b)/2a. Kiedy dyskryminator Liczba dodatnia(D > 0),

wtedy x 1 = (-b - √D)/2a i x 2 = (-b + √D)/2a.

Na przykład. Rozwiązać równanie x 2– 4x + 4= 0.

re = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Odpowiedź: 2.

Rozwiąż równanie 2 x 2 + x + 3 = 0.

re = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Odpowiedź: brak korzeni.

Rozwiąż równanie 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Odpowiedź: – 3,5; 1.

Wyobraźmy sobie więc rozwiązanie pełnych równań kwadratowych przy użyciu diagramu na rysunku 1.

Za pomocą tych wzorów można rozwiązać dowolne pełne równanie kwadratowe. Trzeba tylko uważać równanie zapisano jako wielomian postaci standardowej

A x 2 + bx + c, w przeciwnym razie możesz popełnić błąd. Na przykład pisząc równanie x + 3 + 2x 2 = 0, możesz błędnie stwierdzić, że

a = 1, b = 3 i c = 2. Następnie

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 i wtedy równanie ma dwa pierwiastki. I to nie jest prawdą. (Patrz rozwiązanie przykładu 2 powyżej).

Jeżeli więc równanie nie jest zapisane jako wielomian postaci standardowej, to w pierwszej kolejności należy zapisać pełne równanie kwadratowe jako wielomian postaci standardowej (najpierw powinien pojawić się jednomian o największym wykładniku, czyli A x 2 , a potem mniej – bx a następnie darmowy członek Z.

Rozwiązując zredukowane równanie kwadratowe i równanie kwadratowe z parzystym współczynnikiem w drugim członie, możesz użyć innych wzorów. Zapoznajmy się z tymi formułami. Jeżeli w pełnym równaniu kwadratowym drugi wyraz ma parzysty współczynnik (b = 2k), to równanie można rozwiązać korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie na rysunku 2.

Pełne równanie kwadratowe nazywa się zredukowanym, jeśli współczynnik w x 2 jest równe jeden i równanie przyjmuje postać x 2 + px + q = 0. Takie równanie można podać do rozwiązania lub można je otrzymać dzieląc wszystkie współczynniki równania przez współczynnik A, stojąc przy x 2 .

Rysunek 3 przedstawia schemat rozwiązywania zredukowanego kwadratu
równania. Spójrzmy na przykład zastosowania formuł omówionych w tym artykule.

Przykład. Rozwiązać równanie

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Rozwiążmy to równanie, korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie na rysunku 1.

re = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3

Można zauważyć, że współczynnik x w tym równaniu jest liczbą parzystą, czyli b = 6 lub b = 2k, skąd k = 3. Następnie spróbujmy rozwiązać równanie korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie rysunku D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3. Zauważając, że wszystkie współczynniki w tym równaniu kwadratowym są podzielne przez 3 i wykonując dzielenie, otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe x 2 + 2x – 2 = 0 Rozwiąż to równanie korzystając ze wzorów na zredukowane równanie kwadratowe
równania rysunek 3.

re 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3.

Jak widać, rozwiązując to równanie za pomocą różnych wzorów, otrzymaliśmy tę samą odpowiedź. Dlatego po dokładnym opanowaniu wzorów pokazanych na schemacie na ryc. 1 zawsze będziesz w stanie rozwiązać dowolne pełne równanie kwadratowe.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Miejska budżetowa placówka oświatowa Gimnazjum nr 11

Tekst pracy publikujemy bez obrazów i formuł.
Pełna wersja praca dostępna jest w zakładce „Pliki Pracy” w formacie PDF

Historia równań kwadratowych

Babilon

Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego stopnia, ale także drugiego stopnia w starożytności spowodowana była koniecznością rozwiązywania problemów związanych ze znajdowaniem obszarów działki, wraz z rozwojem samej astronomii i matematyki. Równania kwadratowe można było rozwiązać około 2000 roku p.n.e. mi. Babilończycy. Zasady rozwiązywania tych równań podane w tekstach babilońskich są w zasadzie takie same jak współczesne, z tą różnicą, że w tekstach tych brakuje pojęcia liczby ujemnej i ogólnych metod rozwiązywania równań kwadratowych.

Starożytna Grecja

Rozwiązywano także równania kwadratowe Starożytna Grecja tacy naukowcy jak Diofantos, Euklides i Heron. Diofantos Diofant z Aleksandrii to starożytny grecki matematyk, który żył prawdopodobnie w III wieku naszej ery. Głównym dziełem Diofantosa jest „Arytmetyka” w 13 księgach. Euklides. Euklides to starożytny grecki matematyk, autor pierwszego teoretycznego traktatu matematycznego, który do nas dotarł, Czapla. Czapla – grecki matematyk i inżynier, który pojawił się pierwszy w Grecji w I wieku n.e. daje czysto algebraiczny sposób rozwiązania równania kwadratowego

Indie

Zagadnienia równań kwadratowych można znaleźć już w traktacie astronomicznym „Aryabhattiam”, opracowanym w 499 r. przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhattę. Inny indyjski uczony, Brahmagupta (VII w.), przedstawił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych sprowadzoną do jednej postaci kanonicznej: ax2 + bx = c, a > 0. (1) W równaniu (1) współczynniki mogą być ujemne. Reguła Brahmagupty jest zasadniczo taka sama jak nasza. W Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. Jedna ze starych indyjskich ksiąg tak mówi o takich konkursach: „Jak słońce swym blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak samo uczony człowiek przyćmi jego chwałę na zgromadzeniach publicznych, proponując i rozwiązując problemy algebraiczne”. Problemy często przedstawiano w formie poetyckiej.

Jest to jeden z problemów słynnego indyjskiego matematyka z XII wieku. Bhaskars.

„Stado rozbrykanych małp

A Dwunastu wzdłuż winorośli, jedząc do syta, dobrze się bawiło

Zaczęli skakać, zwisając

Część ósma do kwadratu

Ile było małp?

Bawiłem się na polanie

Powiedz mi, w tej paczce?

Rozwiązanie Bhaskary wskazuje, że autor wiedział, że pierwiastki równań kwadratowych są dwuwartościowe. Bhaskar zapisuje równanie odpowiadające zadaniu jako x2 - 64x = - 768 i aby uzupełnić lewą stronę tego równania do kwadratu, dodaje 322 do obu stron i otrzymuje: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Równania kwadratowe w XVII-wiecznej Europie

Wzory rozwiązywania równań kwadratowych wzorowane na Al-Khorezmi w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w Księdze liczydła, napisanej w 1202 roku przez włoskiego matematyka Leonarda Fibonacciego. To obszerne dzieło, odzwierciedlające wpływ matematyki, zarówno z krajów islamu, jak i starożytnej Grecji, wyróżnia się kompletnością i przejrzystością prezentacji. Autor samodzielnie opracował kilka nowych przykłady algebraiczne rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie wprowadził liczby ujemne. Jego książka przyczyniła się do szerzenia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele problemów z Księgi liczydła wykorzystano w prawie wszystkich podręcznikach europejskich XVI-XVII wieku. i częściowo XVIII. Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w postaci ogólnej jest dostępne u Viète, ale Viète rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. Oprócz pozytywnych, brane są pod uwagę również pierwiastki negatywne. Dopiero w XVII w. Dzięki pracom Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych naukowców metoda rozwiązywania równań kwadratowych nabiera nowoczesnej formy.

Definicja równania kwadratowego

Równanie w postaci ax 2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c są liczbami, nazywa się kwadratowym.

Współczynniki równania kwadratowego

Liczby a, b, c są współczynnikami równania kwadratowego, a jest pierwszym współczynnikiem (przed x²), a ≠ 0, b jest drugim współczynnikiem (przed x), c jest wyrazem wolnym (bez x).

Które z tych równań nie jest równaniem kwadratowym??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x3 +6x -8= 0.

Rodzaje równań kwadratowych

Nazwa	Ogólna postać równania	Cecha (jakie są współczynniki)	Przykłady równań
	topór 2 + bx + c = 0	a, b, c - liczby inne niż 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Niekompletny
			x 2 - 1/5x = 0
Dany	x 2 + bx + do = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Zredukowane jest równaniem kwadratowym, w którym współczynnik wiodący jest równy jeden. Takie równanie można otrzymać dzieląc całe wyrażenie przez współczynnik wiodący A:

X 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Równanie kwadratowe nazywa się kompletnym, jeśli wszystkie jego współczynniki są różne od zera.

Równanie kwadratowe nazywa się niepełnym, w którym co najmniej jeden ze współczynników, z wyjątkiem współczynnika wiodącego (albo drugi współczynnik, albo człon wolny), jest równy zero.

Metody rozwiązywania równań kwadratowych

Metoda I Ogólny wzór na obliczanie pierwiastków

Aby znaleźć pierwiastki równania kwadratowego topór 2 + b + do = 0 Ogólnie rzecz biorąc, powinieneś użyć poniższego algorytmu:

Oblicz wartość dyskryminatora równania kwadratowego: to jest jego wyrażenie D= B 2 - 4ac

Wyprowadzenie wzoru:

Notatka: Jest oczywiste, że wzór na pierwiastek krotności 2 jest szczególnym przypadkiem wzoru ogólnego, otrzymanego przez podstawienie do niego równości D=0 i wniosek o braku pierwiastków rzeczywistych w D0 oraz (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = ja.

Przedstawiona metoda jest uniwersalna, ale nie jedyna. Do rozwiązania pojedynczego równania można podchodzić na różne sposoby, a preferencje zwykle zależą od osoby rozwiązującej. Ponadto często w tym celu niektóre z metod okazują się znacznie bardziej eleganckie, proste i mniej pracochłonne niż standardowe.

II metoda. Pierwiastki równania kwadratowego o współczynniku parzystym B III metoda. Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Metoda IV. Stosowanie częściowych stosunków współczynników

Istnieją szczególne przypadki równań kwadratowych, w których współczynniki są ze sobą powiązane, co znacznie ułatwia ich rozwiązanie.

Pierwiastki równania kwadratowego, w którym suma współczynnika wiodącego i składnika wolnego jest równa drugiemu współczynnikowi

Jeśli w równaniu kwadratowym topór 2 + bx + do = 0 suma pierwszego współczynnika i terminu wolnego jest równa drugiemu współczynnikowi: a+b=c, to jego pierwiastki to -1 i liczba przeciwna postawa termin wolny do współczynnika wiodącego ( -c/a).

Dlatego przed rozwiązaniem dowolnego równania kwadratowego należy sprawdzić możliwość zastosowania do niego tego twierdzenia: porównać sumę współczynnika wiodącego i składnika wolnego z drugim współczynnikiem.

Pierwiastki równania kwadratowego, którego suma wszystkich współczynników wynosi zero

Jeśli w równaniu kwadratowym suma wszystkich jego współczynników wynosi zero, wówczas pierwiastki takiego równania wynoszą 1, a stosunek wolnego członu do współczynnika wiodącego ( c/d).

Zatem przed rozwiązaniem równania standardowe metody, powinieneś sprawdzić możliwość zastosowania do niego tego twierdzenia: zsumuj wszystkie współczynniki tego równania i zobacz, czy suma ta jest równa zeru.

Metoda V. Rozkładanie trójmianu kwadratowego na czynniki liniowe

Jeżeli trójmian ma postać (styl wyświetlania ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) można w jakiś sposób przedstawić jako iloczyn czynników liniowych (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), wówczas możemy znaleźć pierwiastki równania topór 2 + bx + do = 0- w końcu będą to -m/k i n/l (styl wyświetlania (kx+m)(lx+n)=0Longleftrightarrow kx+m=0kubek lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n i po rozwiązaniu wskazanych równań liniowych otrzymujemy powyższe. Należy zauważyć, że trójmian kwadratowy nie zawsze rozkłada się na czynniki liniowe z rzeczywistymi współczynnikami: jest to możliwe, jeśli odpowiednie równanie ma rzeczywiste pierwiastki.

Rozważmy kilka szczególnych przypadków

Korzystanie ze wzoru na sumę kwadratową (różnicę).

Jeśli trójmian kwadratowy ma postać (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , to stosując do niego powyższy wzór, możemy rozłożyć go na współczynniki liniowe i , dlatego znajdź korzenie:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Izolowanie pełnego kwadratu sumy (różnicy)

Powyższy wzór stosuje się także metodą zwaną „wybieraniem pełnego kwadratu sumy (różnicy)”. W nawiązaniu do powyższego równania kwadratowego z wcześniej wprowadzonym zapisem oznacza to, co następuje:

Notatka: Jeśli zauważysz, wzór ten pokrywa się z zaproponowanym w rozdziale „Pierwiastki zredukowanego równania kwadratowego”, które z kolei można uzyskać ze wzoru ogólnego (1) zastępując równość a=1. Fakt ten nie jest przypadkowy: stosując opisaną metodę, choć po dodatkowym rozumowaniu, można wyprowadzić wzór ogólny, a także udowodnić właściwości dyskryminatora.

Metoda VI. Korzystanie z bezpośredniego i odwrotnego twierdzenia Vieta

Twierdzenie bezpośrednie Viety (patrz poniżej w części o tej samej nazwie) i jego twierdzenie odwrotne pozwalają rozwiązać powyższe równania kwadratowe ustnie, bez uciekania się do dość uciążliwych obliczeń przy użyciu wzoru (1).

Zgodnie z twierdzeniem odwrotnym każda para liczb (liczba) (displaystyle x_(1),x_(2))x 1, x 2, będąca rozwiązaniem poniższego układu równań, jest pierwiastkiem równania

W ogólnym przypadku, czyli dla nieredukowanego równania kwadratowego ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Twierdzenie bezpośrednie pomoże ci znaleźć liczby, które spełniają te równania ustnie. Za jego pomocą możesz określić oznaki korzeni, nie znając samych korzeni. Aby to zrobić, postępuj zgodnie z zasadą:

1) jeśli wolny termin jest ujemny, to pierwiastki mają inny znak, a największym modułem pierwiastków jest znak przeciwny do znaku drugiego współczynnika równania;

2) jeżeli wyraz wolny jest dodatni, to oba pierwiastki mają ten sam znak i jest to znak przeciwny do znaku drugiego współczynnika.

Metoda VII. Metoda transferu

Tak zwana metoda „przenoszenia” pozwala sprowadzić rozwiązanie równań nieredukowanych i nieredukowalnych do postaci równań zredukowanych o współczynnikach całkowitych poprzez podzielenie ich przez współczynnik wiodący do rozwiązania równań zredukowanych o współczynnikach całkowitych. Jest następująco:

Następnie równanie rozwiązuje się ustnie w sposób opisany powyżej, po czym wraca się do pierwotnej zmiennej i znajduje pierwiastki równań (displaystyle y_(1)=ax_(1)) y 1 = topór 1 I y 2 = topór 2 .(styl wyświetlania y_(2)=ax_(2))

Znaczenie geometryczne

Wykres funkcji kwadratowej jest parabolą. Rozwiązaniami (pierwiastkami) równania kwadratowego są odcięte punktów przecięcia paraboli z osią odciętych. Jeśli parabola opisana funkcją kwadratową nie przecina osi x, równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych. Jeśli parabola przecina oś x w jednym punkcie (w wierzchołku paraboli), równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty (mówi się również, że równanie ma dwa zbieżne pierwiastki). Jeśli parabola przecina oś x w dwóch punktach, równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste (patrz ilustracja po prawej).

Jeśli współczynnik (styl wyświetlania a) A dodatni, gałęzie paraboli są skierowane w górę i odwrotnie. Jeżeli współczynnik (styl wyświetlania b) bpozytywny (jeśli pozytywny (styl wyświetlania a) A, jeśli jest ujemny, odwrotnie), to wierzchołek paraboli leży w lewej półpłaszczyźnie i odwrotnie.

Zastosowanie równań kwadratowych w życiu

Równanie kwadratowe jest szeroko stosowane. Jest stosowany w wielu obliczeniach, konstrukcjach, sporcie, a także wokół nas.

Rozważmy i podamy kilka przykładów zastosowania równania kwadratowego.

Sport. Wysokie skoki: podczas rozbiegu skoczka wykorzystywane są obliczenia związane z parabolą, aby uzyskać jak najbardziej wyraźny wpływ na poprzeczkę startu i wysoki lot.

Podobne obliczenia są potrzebne również przy rzucaniu. Zasięg lotu obiektu zależy od równania kwadratowego.

Astronomia. Trajektorię planet można wyznaczyć za pomocą równania kwadratowego.

Lot samolotem. Start samolotu jest głównym elementem lotu. Tutaj wykonujemy obliczenia dla niskiego oporu i przyspieszenia startu.

Równania kwadratowe wykorzystywane są także w różnych dziedzinach gospodarki, w programach do przetwarzania grafiki audio, wideo, wektorowej i rastrowej.

Wniosek

W wyniku przeprowadzonych prac okazało się, że równania kwadratowe przyciągały naukowców już w starożytności, spotykali się z nimi już przy rozwiązywaniu niektórych problemów i próbowali je rozwiązać. Rozważając różne drogi rozwiązując równania kwadratowe doszedłem do wniosku, że nie wszystkie są proste. Moim zdaniem jak najbardziej Najlepszym sposobem rozwiązywanie równań kwadratowych to rozwiązywanie za pomocą wzorów. Wzory są łatwe do zapamiętania, ta metoda jest uniwersalna. Potwierdziła się hipoteza, że ​​równania mają szerokie zastosowanie w życiu i matematyce. Po przestudiowaniu tematu wiele się dowiedziałem interesujące fakty o równaniach kwadratowych, ich zastosowaniu, zastosowaniu, rodzajach, rozwiązaniach. I chętnie będę je dalej studiować. Mam nadzieję, że pomoże mi to dobrze zdać egzaminy.

Wykaz używanej literatury

Materiały witryny:

Wikipedia

Otwórz lekcję.rf

Podręcznik matematyki elementarnej Wygodski M. Ya.

Dzięki temu programowi matematycznemu jest to możliwe rozwiązać równanie kwadratowe.

Program nie tylko daje odpowiedź na problem, ale także wyświetla proces rozwiązania na dwa sposoby:
- użycie dyskryminatora
- korzystając z twierdzenia Viety (jeśli to możliwe).

Co więcej, odpowiedź jest wyświetlana jako dokładna, a nie przybliżona.
Przykładowo dla równania \(81x^2-16x-1=0\) odpowiedź jest wyświetlana w postaci:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ i nie tak: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich przygotowujących się do egzaminu testy oraz egzaminy, podczas sprawdzania wiedzy przed Unified State Exam, aby rodzice mogli kontrolować rozwiązanie wielu problemów z matematyki i algebry. A może wynajęcie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz to zrobić jak najszybciej? Praca domowa na matematyce lub algebrze? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.

W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci, a jednocześnie wzrasta poziom edukacji w zakresie rozwiązywania problemów.

Jeśli nie znasz zasad wprowadzania wielomianu kwadratowego, zalecamy zapoznanie się z nimi.

Zasady wprowadzania wielomianu kwadratowego

Dowolna litera łacińska może działać jako zmienna.
Na przykład: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itp.

Liczby można wprowadzać jako liczby całkowite lub ułamkowe.
Ponadto, liczby ułamkowe można wprowadzić nie tylko jako ułamek dziesiętny, ale także jako ułamek zwykły.

Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
W ułamkach dziesiętnych część ułamkową można oddzielić od całości kropką lub przecinkiem.
Na przykład możesz wprowadzić ułamki dziesiętne w następujący sposób: 2,5x - 3,5x^2

Zasady wpisywania ułamków zwykłych.
Tylko liczba całkowita może pełnić funkcję licznika, mianownika i części całkowitej ułamka.

Mianownik nie może być ujemny.

Przy wprowadzaniu ułamka liczbowego licznik oddziela się od mianownika znakiem dzielenia: /
Cała część jest oddzielona od ułamka znakiem ampersandu: &
Wejście: 3 i 1/3 - 5 i 6/5z +1/7z^2
Wynik: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Podczas wprowadzania wyrażenia możesz używać nawiasów. W tym przypadku przy rozwiązywaniu równania kwadratowego wprowadzone wyrażenie jest najpierw upraszczane.
Na przykład: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Decydować

Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby rozwiązanie się pojawiło, musisz włączyć JavaScript.
Poniżej znajdują się instrukcje dotyczące włączania JavaScript w Twojej przeglądarce.

Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...

Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, możesz napisać o tym w Formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Równanie kwadratowe i jego pierwiastki. Niekompletne równania kwadratowe

Każde z równań
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
wygląda jak
\(ax^2+bx+c=0, \)
gdzie x jest zmienną, a, b i c są liczbami.
W pierwszym równaniu a = -1, b = 6 i c = 1,4, w drugim a = 8, b = -7 i c = 0, w trzecim a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takie równania nazywane są równania kwadratowe.

Definicja.
Równanie kwadratowe nazywa się równaniem w postaci ax 2 +bx+c=0, gdzie x jest zmienną, a, b i c to niektóre liczby, a \(a \neq 0 \).

Liczby a, b i c są współczynnikami równania kwadratowego. Liczbę a nazywa się pierwszym współczynnikiem, liczba b jest drugim współczynnikiem, a liczba c jest wyrazem wolnym.

W każdym z równań postaci ax 2 +bx+c=0, gdzie \(a\neq 0\), największą potęgą zmiennej x jest kwadrat. Stąd nazwa: równanie kwadratowe.

Należy zauważyć, że równanie kwadratowe nazywane jest również równaniem drugiego stopnia, ponieważ jego lewa strona jest wielomianem drugiego stopnia.

Nazywa się równanie kwadratowe, w którym współczynnik x 2 jest równy 1 dane równanie kwadratowe. Na przykład podane równania kwadratowe są równaniami
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jeżeli w równaniu kwadratowym ax 2 +bx+c=0 chociaż jeden ze współczynników b lub c jest równy zero, to takie równanie nazywa się niekompletne równanie kwadratowe. Zatem równania -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 są niepełnymi równaniami kwadratowymi. W pierwszym z nich b=0, w drugim c=0, w trzecim b=0 i c=0.

Istnieją trzy typy niekompletnych równań kwadratowych:
1) ax 2 +c=0, gdzie \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, gdzie \(b \neq 0 \);
3) topór 2 =0.

Rozważmy rozwiązanie równań każdego z tych typów.

Aby rozwiązać niepełne równanie kwadratowe o postaci ax 2 +c=0 dla \(c \neq 0 \), przesuń jego wolny wyraz na prawą stronę i podziel obie strony równania przez a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Ponieważ \(c \neq 0 \), to \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jeśli \(-\frac(c)(a)>0\), to równanie ma dwa pierwiastki.

Jeśli \(-\frac(c)(a) Aby rozwiązać niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 +bx=0 z \(b \neq 0 \) uwzględnij jego lewą stronę i otrzymaj równanie
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (tablica)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(tablica) \right. \)

Oznacza to, że niepełne równanie kwadratowe w postaci ax 2 +bx=0 dla \(b \neq 0 \) zawsze ma dwa pierwiastki.

Niekompletne równanie kwadratowe w postaci ax 2 = 0 jest równoważne równaniu x 2 = 0 i dlatego ma pojedynczy pierwiastek 0.

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Zastanówmy się teraz, jak rozwiązać równania kwadratowe, w których zarówno współczynniki niewiadomych, jak i składnik wolny są różne od zera.

Rozwiążmy równanie kwadratowe w formie ogólnej i w rezultacie otrzymamy wzór na pierwiastki. Wzór ten można następnie wykorzystać do rozwiązania dowolnego równania kwadratowego.

Rozwiąż równanie kwadratowe ax 2 +bx+c=0

Dzieląc obie strony przez a, otrzymujemy równoważne zredukowane równanie kwadratowe
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Przekształćmy to równanie, wybierając kwadrat dwumianu:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Strzałka w prawo \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Strzałka w prawo \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radykalne wyrażenie nazywa się dyskryminator równania kwadratowego ax 2 +bx+c=0 („różniący” po łacinie – dyskryminator). Jest on oznaczony literą D, tj.
\(D = b^2-4ac\)

Teraz, stosując notację dyskryminacyjną, przepisujemy wzór na pierwiastki równania kwadratowego:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), gdzie \(D= b^2-4ac \)

To oczywiste, że:
1) Jeżeli D>0, to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki.
2) Jeżeli D=0, to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jeżeli D Zatem, w zależności od wartości wyróżnika, równanie kwadratowe może mieć dwa pierwiastki (dla D > 0), jeden pierwiastek (dla D = 0) lub nie mieć pierwiastków (dla D. Przy rozwiązywaniu równania kwadratowego za pomocą tego formułę, zaleca się wykonanie następującego sposobu:
1) obliczyć dyskryminator i porównać go z zerem;
2) jeżeli wyróżnik jest dodatni lub równy zeru, to stosujemy wzór na pierwiastek, jeżeli dyskryminator jest ujemny, to zapisujemy, że nie ma pierwiastków.

Twierdzenie Viety

Dane równanie kwadratowe ax 2 -7x+10=0 ma pierwiastki 2 i 5. Suma pierwiastków wynosi 7, a iloczyn wynosi 10. Widzimy, że suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi wziętemu z przeciwny znak, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu. Każde zredukowane równanie kwadratowe, które ma pierwiastki, ma tę właściwość.

Suma pierwiastków powyższego równania kwadratowego jest równa drugiemu współczynnikowi przyjętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu.

Te. Twierdzenie Viety stwierdza, że ​​pierwiastki x 1 i x 2 zredukowanego równania kwadratowego x 2 +px+q=0 mają właściwość:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Niektóre problemy matematyczne wymagają umiejętności obliczenia wartości pierwiastka kwadratowego. Takie problemy obejmują rozwiązywanie równań drugiego rzędu. W tym artykule przedstawimy skuteczna metoda obliczanie pierwiastków kwadratowych i wykorzystywanie ich podczas pracy ze wzorami na pierwiastki równania kwadratowego.

Co to jest pierwiastek kwadratowy?

W matematyce pojęcie to odpowiada symbolowi √. Dane historyczne mówią, że po raz pierwszy zastosowano go około pierwszej połowy XVI wieku w Niemczech (pierwsza niemiecka praca z algebry autorstwa Christopha Rudolfa). Naukowcy uważają, że określony symbol jest przekształcony Litera łacińska r (radix oznacza po łacinie „korzeń”).

Pierwiastek dowolnej liczby jest równy wartości, której kwadrat odpowiada wyrażeniu pierwiastkowemu. W języku matematyki definicja ta będzie wyglądać następująco: √x = y, jeśli y 2 = x.

Pierwiastek liczby dodatniej (x > 0) jest także liczbą dodatnią (y > 0), ale jeśli weźmiemy pierwiastek z liczby ujemnej (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Oto dwa proste przykłady:

√9 = 3, ponieważ 3 2 = 9; √(-9) = 3i, ponieważ i 2 = -1.

Iteracyjny wzór Herona na znajdowanie wartości pierwiastków kwadratowych

Powyższe przykłady są bardzo proste, a obliczenie w nich pierwiastków nie jest trudne. Trudności zaczynają pojawiać się już przy znalezieniu pierwiastka dowolnej wartości, której nie da się przedstawić w postaci kwadratu liczby naturalnej, np. √10, √11, √12, √13, nie mówiąc już o tym, że w praktyce jest to konieczne jest znalezienie pierwiastków dla liczb niecałkowitych: na przykład √(12,15), √(8,5) i tak dalej.

We wszystkich powyższych przypadkach należy zastosować specjalną metodę obliczania pierwiastka kwadratowego. Obecnie znanych jest kilka takich metod: na przykład rozwinięcie szeregu Taylora, dzielenie kolumnowe i inne. Ze wszystkich znanych metod być może najprostszą i najskuteczniejszą jest zastosowanie iteracyjnego wzoru Herona, znanego również jako babilońska metoda wyznaczania pierwiastków kwadratowych (istnieją dowody, że starożytni Babilończycy używali jej w swoich praktycznych obliczeniach).

Niech będzie konieczne wyznaczenie wartości √x. Wzór na znalezienie pierwiastka kwadratowego jest następujący:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), gdzie lim n->∞ (a n) => x.

Rozszyfrujmy ten zapis matematyczny. Aby obliczyć √x, należy przyjąć pewną liczbę a 0 (może być dowolna, ale aby szybko uzyskać wynik, należy ją tak dobrać, aby (a 0) 2 była jak najbliżej x. Następnie podstawimy ją do wskazany wzór do obliczenia pierwiastka kwadratowego i uzyskaj nową liczbę 1, która będzie już bliższa pożądanej wartości. Następnie musisz podstawić 1 do wyrażenia i uzyskać 2. Procedurę tę należy powtarzać aż do wymaganej uzyskuje się dokładność.

Przykład zastosowania iteracyjnej formuły Herona

Opisany powyżej algorytm uzyskiwania pierwiastka kwadratowego z danej liczby może dla wielu wydawać się dość skomplikowany i mylący, ale w rzeczywistości wszystko okazuje się znacznie prostsze, ponieważ formuła ta zbiega się bardzo szybko (szczególnie jeśli zostanie wybrana pomyślna liczba 0) .

Podajmy prosty przykład: musisz obliczyć √11. Wybierzmy 0 = 3, ponieważ 3 2 = 9, czyli bliżej 11 niż 4 2 = 16. Podstawiając do wzoru otrzymujemy:

za 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

za 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

za 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Nie ma sensu kontynuować obliczeń, ponieważ odkryliśmy, że 2 i 3 zaczynają się różnić dopiero na 5. miejscu po przecinku. Wystarczyło zatem zastosować wzór tylko 2 razy, aby obliczyć √11 z dokładnością do 0,0001.

Obecnie do obliczania pierwiastków powszechnie wykorzystuje się kalkulatory i komputery, warto jednak pamiętać o zaznaczonym wzorze, aby móc ręcznie obliczyć ich dokładną wartość.

Równania drugiego rzędu

Zrozumienie, czym jest pierwiastek kwadratowy i umiejętność jego obliczenia, wykorzystywane jest przy rozwiązywaniu równań kwadratowych. Równania te nazywane są równościami z jedną niewiadomą, forma ogólna co pokazano na poniższym rysunku.

Tutaj c, b i a reprezentują pewne liczby, a a nie może być równe zeru, a wartości c i b mogą być całkowicie dowolne, w tym równe zero.

Wszelkie wartości x, które spełniają równość wskazaną na rysunku, nazywane są jego pierwiastkami (nie należy mylić tego pojęcia z pierwiastkiem kwadratowym √). Ponieważ rozważane równanie jest drugiego rzędu (x 2), nie może być dla niego więcej niż dwóch pierwiastków. Przyjrzyjmy się dalej w artykule, jak znaleźć te korzenie.

Znajdowanie pierwiastków równania kwadratowego (wzór)

Ta metoda rozwiązywania rozważanego rodzaju równości nazywana jest również metodą uniwersalną lub metodą dyskryminacyjną. Można go używać do dowolnych równań kwadratowych. Wzór na dyskryminator i pierwiastki równania kwadratowego jest następujący:

Pokazuje, że pierwiastki zależą od wartości każdego z trzech współczynników równania. Co więcej, obliczenie x 1 różni się od obliczenia x 2 jedynie znakiem przed pierwiastkiem kwadratowym. Wyrażenie radykalne, które jest równe b 2 - 4ac, jest niczym innym jak wyróżnikiem omawianej równości. Dyskryminator we wzorze na pierwiastki równania kwadratowego odgrywa ważną rolę, ponieważ określa liczbę i rodzaj rozwiązań. Tak więc, jeśli jest równe zero, to będzie tylko jedno rozwiązanie, jeśli jest dodatnie, to równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki i ostatecznie ujemny dyskryminator prowadzi do dwóch zespolonych pierwiastków x 1 i x 2.

Twierdzenie Viety lub niektóre własności pierwiastków równań drugiego rzędu

Pod koniec XVI wieku jednemu z twórców współczesnej algebry, Francuzowi, badającemu równania drugiego rzędu, udało się uzyskać właściwości jej pierwiastków. Matematycznie można je zapisać w następujący sposób:

x 1 + x 2 = -b / a i x 1 * x 2 = c / a.

Obie równości każdy może łatwo otrzymać, wystarczy w tym celu wykonać odpowiednie działania matematyczne na pierwiastkach uzyskanych ze wzoru z dyskryminatorem.

Połączenie tych dwóch wyrażeń można słusznie nazwać drugim wzorem na pierwiastki równania kwadratowego, co pozwala odgadnąć jego rozwiązania bez użycia dyskryminatora. W tym miejscu należy zauważyć, że chociaż oba wyrażenia są zawsze poprawne, wygodnie jest ich używać do rozwiązywania równania tylko wtedy, gdy można je rozłożyć na czynniki.

Zadanie utrwalenia zdobytej wiedzy

Rozwiążmy zadanie matematyczne, w którym zademonstrujemy wszystkie techniki omówione w artykule. Warunki zadania są następujące: musisz znaleźć dwie liczby, których iloczyn wynosi -13, a suma wynosi 4.

Warunek ten od razu przypomina nam twierdzenie Viety, korzystając ze wzorów na sumę pierwiastków kwadratowych i ich iloczyn piszemy:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Jeśli założymy, że a = 1, to b = -4 i c = -13. Współczynniki te pozwalają nam utworzyć równanie drugiego rzędu:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Użyjmy wzoru z dyskryminatorem i uzyskajmy następujące pierwiastki:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Oznacza to, że problem został zredukowany do znalezienia liczby √68. Zauważ, że 68 = 4 * 17, zatem korzystając z pierwiastka kwadratowego otrzymujemy: √68 = 2√17.

Skorzystajmy teraz z rozważanego wzoru na pierwiastek kwadratowy: a 0 = 4, wówczas:

za 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

za 2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Nie ma potrzeby obliczania 3, ponieważ znalezione wartości różnią się tylko o 0,02. Zatem √68 = 8,246. Podstawiając to do wzoru na x 1,2, otrzymujemy:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 i x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Jak widać suma znalezionych liczb jest w rzeczywistości równa 4, ale jeśli znajdziemy ich iloczyn, to będzie on równy -12,999, co spełnia warunki zadania z dokładnością do 0,001.

Kontynuując temat „Rozwiązywanie równań”, materiał w tym artykule wprowadzi Cię w równania kwadratowe.

Przyjrzyjmy się wszystkiemu szczegółowo: istocie i zapisowi równania kwadratowego, zdefiniuj towarzyszące terminy, przeanalizuj schemat rozwiązywania równań niepełnych i pełnych, zapoznaj się ze wzorem pierwiastków i dyskryminatora, ustal połączenia między pierwiastkami i współczynnikami, i oczywiście podamy wizualne rozwiązanie praktycznych przykładów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Równanie kwadratowe, jego rodzaje

Definicja 1

Równanie kwadratowe jest równaniem zapisanym jako za x 2 + b x + do = 0, Gdzie X– zmienna, a, b i C– kilka liczb, podczas gdy A nie jest zerem.

Często równania kwadratowe nazywane są również równaniami drugiego stopnia, ponieważ w istocie równanie kwadratowe jest równaniem algebraicznym drugiego stopnia.

Podajmy przykład ilustrujący podaną definicję: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 itd. Są to równania kwadratowe.

Definicja 2

Liczby a, b i C są współczynnikami równania kwadratowego za x 2 + b x + do = 0, natomiast współczynnik A nazywany jest pierwszym lub starszym lub współczynnikiem przy x 2, b - drugim współczynnikiem lub współczynnikiem przy X, A C nazywany wolnym członkiem.

Na przykład w równaniu kwadratowym 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 współczynnik wiodący wynosi 6, drugi współczynnik − 2 , a wolny termin jest równy − 11 . Zwróćmy uwagę na fakt, że gdy współczynniki B i/lub c są ujemne, wówczas stosuje się skróconą formę 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ale nie 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Wyjaśnijmy również ten aspekt: ​​jeśli współczynniki A i/lub B równy 1 Lub − 1 , wówczas nie mogą brać wyraźnego udziału w pisaniu równania kwadratowego, co tłumaczy się osobliwościami pisania wskazanych współczynników liczbowych. Na przykład w równaniu kwadratowym y 2 - y + 7 = 0 współczynnik wiodący wynosi 1, a drugi współczynnik − 1 .

Równania kwadratowe zredukowane i nieredukowane

Ze względu na wartość pierwszego współczynnika równania kwadratowe dzielimy na zredukowane i nieredukowane.

Definicja 3

Zredukowane równanie kwadratowe jest równaniem kwadratowym, w którym współczynnik wiodący wynosi 1. Dla innych wartości współczynnika wiodącego równanie kwadratowe jest nieredukowane.

Podajmy przykłady: równania kwadratowe x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 są redukowane, w każdym z nich współczynnik wiodący wynosi 1.

9 x 2 - x - 2 = 0- nieredukowane równanie kwadratowe, od którego różni się pierwszy współczynnik 1 .

Każde niezredukowane równanie kwadratowe można przekształcić w równanie zredukowane, dzieląc obie strony przez pierwszy współczynnik (transformacja równoważna). Przekształcone równanie będzie miało te same pierwiastki co podane równanie niezredukowane lub też nie będzie miało pierwiastków.

Rozpatrzenie konkretnego przykładu pozwoli nam wyraźnie wykazać przejście od nieredukowanego równania kwadratowego do zredukowanego.

Przykład 1

Biorąc pod uwagę równanie 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . Konieczne jest przekształcenie pierwotnego równania do postaci zredukowanej.

Rozwiązanie

Zgodnie z powyższym schematem obie strony pierwotnego równania dzielimy przez wiodący współczynnik 6. Następnie otrzymujemy: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, a to jest to samo co: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 = 0 i dalej: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Stąd: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . W ten sposób otrzymuje się równanie równoważne podanemu.

Odpowiedź: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Równania kwadratowe zupełne i niezupełne

Przejdźmy do definicji równania kwadratowego. W nim to określiliśmy a ≠ 0. Podobny warunek jest konieczny dla równania za x 2 + b x + do = 0 był dokładnie kwadratowy, gdyż o godz a = 0 zasadniczo przekształca się w równanie liniowe b x + do = 0.

W przypadku, gdy współczynniki B I C są równe zeru (co jest możliwe zarówno indywidualnie, jak i łącznie), równanie kwadratowe nazywa się niepełnym.

Definicja 4

Niekompletne równanie kwadratowe- takie równanie kwadratowe za x 2 + b x + do = 0, gdzie co najmniej jeden ze współczynników B I C(lub oba) wynosi zero.

Pełne równanie kwadratowe– równanie kwadratowe, w którym wszystkie współczynniki liczbowe nie są równe zero.

Porozmawiajmy, dlaczego rodzaje równań kwadratowych mają dokładnie te nazwy.

Gdy b = 0, równanie kwadratowe przyjmuje postać za x 2 + 0 x + do = 0, czyli to samo co za x 2 + do = 0. Na c = 0 równanie kwadratowe zapisuje się jako za x 2 + b x + 0 = 0, co jest równoważne za x 2 + b x = 0. Na b = 0 I c = 0 równanie przybierze postać a x 2 = 0. Otrzymane przez nas równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, ani obu. Właściwie to właśnie ten fakt dał nazwę tego typu równaniom – niepełne.

Na przykład x 2 + 3 x + 4 = 0 i - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 są pełnymi równaniami kwadratowymi; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – niepełne równania kwadratowe.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Podana powyżej definicja pozwala wyróżnić następujące typy niepełnych równań kwadratowych:

• a x 2 = 0, to równanie odpowiada współczynnikom b = 0 i c = 0;
• a · x 2 + do = 0 przy b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 przy c = 0.

Rozważmy kolejno rozwiązanie każdego rodzaju niepełnego równania kwadratowego.

Rozwiązanie równania a x 2 =0

Jak wspomniano powyżej, równanie to odpowiada współczynnikom B I C, równy zeru. Równanie a x 2 = 0 można przekształcić w równoważne równanie x2 = 0, które otrzymujemy dzieląc obie strony pierwotnego równania przez liczbę A, nierówny zero. Oczywistym faktem jest pierwiastek równania x2 = 0 to jest zero, ponieważ 0 2 = 0 . Równanie to nie ma innych pierwiastków, co można wytłumaczyć właściwościami stopnia: dla dowolnej liczby P, nierówny zero, nierówność jest prawdziwa p2 > 0, z czego wynika, że ​​kiedy p ≠ 0 równość p2 = 0 nigdy nie zostanie osiągnięty.

Definicja 5

Zatem dla niepełnego równania kwadratowego a x 2 = 0 istnieje unikalny pierwiastek x = 0.

Przykład 2

Na przykład rozwiążmy niepełne równanie kwadratowe − 3 x 2 = 0. Jest to równoważne równaniu x2 = 0, jego jedynym korzeniem jest x = 0, to pierwotne równanie ma jeden pierwiastek – zero.

W skrócie rozwiązanie jest zapisane w następujący sposób:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rozwiązanie równania a x 2 + c = 0

Następne w kolejce jest rozwiązanie niepełnych równań kwadratowych, gdzie b = 0, c ≠ 0, czyli równania postaci za x 2 + do = 0. Przekształćmy to równanie, przesuwając wyraz z jednej strony równania na drugą, zmieniając znak na przeciwny i dzieląc obie strony równania przez liczbę różną od zera:

• przenosić C po prawej stronie, co daje równanie za x 2 = - do;
• podziel obie strony równania przez A, kończymy na x = - c a .

Nasze przekształcenia są równoważne, zatem otrzymane równanie jest również równoważne pierwotnemu, co pozwala na wyciągnięcie wniosków na temat pierwiastków równania. Od jakich wartości A I C wartość wyrażenia - c a zależy: może mieć znak minus (na przykład if a = 1 I c = 2, następnie - c a = - 2 1 = - 2) lub znak plus (na przykład if za = - 2 I c = 6, następnie - do za = - 6 - 2 = 3); to nie jest zero, ponieważ c ≠ 0. Zatrzymajmy się bardziej szczegółowo nad sytuacjami, gdy - ok< 0 и - c a > 0 .

W przypadku gdy - ok< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P równość p 2 = - c a nie może być prawdziwa.

Wszystko jest inne, gdy - c a > 0: pamiętaj o pierwiastku kwadratowym i stanie się oczywiste, że pierwiastkiem równania x 2 = - c a będzie liczbą - c a, ponieważ - c a 2 = - c a. Nietrudno zrozumieć, że liczba - - c a jest także pierwiastkiem równania x 2 = - c a: rzeczywiście - - c a 2 = - c a.

Równanie nie będzie miało innych pierwiastków. Możemy to wykazać za pomocą metody sprzeczności. Na początek zdefiniujmy oznaczenia pierwiastków znalezione powyżej jako x 1 I − x 1. Załóżmy, że równanie x 2 = - c a również ma pierwiastek x 2, co różni się od korzeni x 1 I − x 1. Wiemy to podstawiając do równania X jego pierwiastki, przekształcamy równanie w uczciwą równość liczbową.

Dla x 1 I − x 1 piszemy: x 1 2 = - c a , i dla x 2- x 2 2 = - do za . Bazując na własnościach równości liczbowych, odejmujemy jeden poprawny wyraz równości od drugiego, co da nam: x 1 2 - x 2 2 = 0. Używamy właściwości operacji na liczbach, aby przepisać ostatnią równość jako (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Wiadomo, że iloczyn dwóch liczb wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z liczb jest równa zero. Z powyższego wynika, że x 1 - x 2 = 0 i/lub x 1 + x 2 = 0, czyli to samo x2 = x1 i/lub x 2 = - x 1. Powstała oczywista sprzeczność, ponieważ początkowo uznano, że pierwiastek równania x 2 różni się od x 1 I − x 1. Udowodniliśmy więc, że równanie nie ma innych pierwiastków niż x = - c a i x = - - c a.

Podsumujmy wszystkie powyższe argumenty.

Definicja 6

Niekompletne równanie kwadratowe za x 2 + do = 0 jest równoważne równaniu x 2 = - c a, które:

• nie będzie miał korzeni w - ok< 0 ;
• będzie miał dwa pierwiastki x = - c a i x = - - c a dla - c a > 0.

Podajmy przykłady rozwiązywania równań za x 2 + do = 0.

Przykład 3

Biorąc pod uwagę równanie kwadratowe 9 x 2 + 7 = 0. Konieczne jest znalezienie rozwiązania.

Rozwiązanie

Przesuńmy wolny wyraz na prawą stronę równania, wtedy równanie przyjmie postać 9x2 = - 7.
Podzielmy obie strony otrzymanego równania przez 9 , dochodzimy do x 2 = - 7 9 . Po prawej stronie widzimy liczbę ze znakiem minus, co oznacza: dane równanie nie ma pierwiastków. Następnie oryginalne niekompletne równanie kwadratowe 9 x 2 + 7 = 0 nie będzie mieć korzeni.

Odpowiedź: równanie 9 x 2 + 7 = 0 nie ma korzeni.

Przykład 4

Trzeba rozwiązać równanie − x 2 + 36 = 0.

Rozwiązanie

Przesuńmy 36 na prawą stronę: − x 2 = − 36.
Podzielmy obie części przez − 1 , otrzymujemy x2 = 36. Po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia, z której możemy to wywnioskować x = 36 lub x = - 36 .
Wyodrębnijmy pierwiastek i zapiszmy wynik końcowy: niepełne równanie kwadratowe − x 2 + 36 = 0 ma dwa korzenie x=6 Lub x = - 6.

Odpowiedź: x=6 Lub x = - 6.

Rozwiązanie równania a x 2 +b x=0

Przeanalizujmy trzeci typ niepełnych równań kwadratowych, kiedy c = 0. Aby znaleźć rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego za x 2 + b x = 0, zastosujemy metodę faktoryzacji. Rozłóżmy wielomian znajdujący się po lewej stronie równania na czynniki, usuwając wspólny czynnik z nawiasów X. Ten krok umożliwi przekształcenie pierwotnego niepełnego równania kwadratowego na jego odpowiednik x (a x + b) = 0. A to równanie z kolei jest równoważne zbiorowi równań x = 0 I a x + b = 0. Równanie a x + b = 0 liniowy i jego pierwiastek: x = - b za.

Definicja 7

Zatem niepełne równanie kwadratowe za x 2 + b x = 0 będzie miał dwa korzenie x = 0 I x = - b za.

Wzmocnijmy materiał przykładem.

Przykład 5

Konieczne jest znalezienie rozwiązania równania 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Rozwiązanie

Wyciągniemy to X poza nawiasami otrzymujemy równanie x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . To równanie jest równoważne równaniom x = 0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0. Teraz powinieneś rozwiązać powstałe równanie liniowe: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Zapisz krótko rozwiązanie równania w następujący sposób:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 lub 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 lub x = 3 3 7

Odpowiedź: x = 0, x = 3 3 7.

Dyskryminator, wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Aby znaleźć rozwiązania równań kwadratowych, istnieje wzór na pierwiastek:

Definicja 8

x = - b ± D 2 · a, gdzie re = b 2 - 4 za do– tzw. dyskryminator równania kwadratowego.

Zapisanie x = - b ± D 2 · a zasadniczo oznacza, że ​​x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Przydatne byłoby zrozumienie, w jaki sposób wyprowadzono tę formułę i jak ją zastosować.

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Stańmy przed zadaniem rozwiązania równania kwadratowego za x 2 + b x + do = 0. Przeprowadźmy szereg równoważnych przekształceń:

• podziel obie strony równania przez liczbę A, różny od zera, otrzymujemy następujące równanie kwadratowe: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Wybierzmy cały kwadrat po lewej stronie wynikowego równania:
  x 2 + b za · x + do a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · za 2 - b 2 · za 2 + do a = = x + b 2 · za 2 - b 2 · za 2 + ok
  Następnie równanie przyjmie postać: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Teraz można przenieść dwa ostatnie wyrazy na prawą stronę, zmieniając znak na przeciwny, po czym otrzymujemy: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Na koniec przekształcamy wyrażenie zapisane po prawej stronie ostatniej równości:
  b 2 · za 2 - do za = b 2 4 · za 2 - do za = b 2 4 · za 2 - 4 · za · do 4 · za 2 = b 2 - 4 · za · do 4 · za 2 .

W ten sposób dochodzimy do równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , równoważne pierwotnemu równaniu za x 2 + b x + do = 0.

Rozwiązanie takich równań sprawdziliśmy w poprzednich akapitach (rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych). Zdobyte już doświadczenie pozwala wyciągnąć wniosek dotyczący pierwiastków równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• z b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• gdy b 2 - 4 · a · do 4 · a 2 = 0 równanie ma postać x + b 2 · a 2 = 0, wtedy x + b 2 · a = 0.

Stąd oczywisty jest jedyny pierwiastek x = - b 2 · a;

• dla b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 prawdziwe będzie: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 lub x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · do 4 · za 2 , co jest tym samym co x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · do 4 · za 2 lub x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · do 4 · za 2 , tj. równanie ma dwa pierwiastki.

Można stwierdzić, że obecność lub brak pierwiastków równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (a zatem pierwotne równanie) zależy od znaku wyrażenia b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 zapisane po prawej stronie. A znak tego wyrażenia jest określony przez znak licznika (mianownik 4 za 2 zawsze będzie dodatni), czyli znak wyrażenia b 2 - 4 za do. To wyrażenie b 2 - 4 za do podana jest nazwa - wyróżnik równania kwadratowego i litera D jest zdefiniowana jako jego oznaczenie. Tutaj możesz zapisać istotę wyróżnika - na podstawie jego wartości i znaku można stwierdzić, czy równanie kwadratowe będzie miało pierwiastki rzeczywiste, a jeśli tak, to jaka jest liczba pierwiastków - jeden czy dwa.

Wróćmy do równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · do 4 · a 2 . Przepiszmy to używając notacji dyskryminacyjnej: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Sformułujmy jeszcze raz nasze wnioski:

Definicja 9

• Na D< 0 równanie nie ma rzeczywistych pierwiastków;
• Na D=0 równanie ma pojedynczy pierwiastek x = - b 2 · a ;
• Na D > 0 równanie ma dwa pierwiastki: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 lub x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Bazując na własnościach rodników, pierwiastki te można zapisać w postaci: x = - b 2 · a + D 2 · a lub - b 2 · a - D 2 · a. A kiedy otworzymy moduły i doprowadzimy ułamki do wspólnego mianownika, otrzymamy: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Zatem wynikiem naszego rozumowania było wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, dyskryminator D obliczone według wzoru re = b 2 - 4 za do.

Wzory te umożliwiają wyznaczenie obu pierwiastków rzeczywistych, gdy dyskryminator jest większy od zera. Gdy dyskryminator wynosi zero, zastosowanie obu wzorów da ten sam pierwiastek, co jedyne rozwiązanie równania kwadratowego. W przypadku, gdy dyskryminator jest ujemny, jeśli spróbujemy skorzystać ze wzoru na pierwiastek równania kwadratowego, staniemy przed koniecznością wyodrębnienia Pierwiastek kwadratowy od liczby ujemnej, co wyprowadzi nas poza liczby rzeczywiste. W przypadku ujemnego dyskryminatora równanie kwadratowe nie będzie miało rzeczywistych pierwiastków, ale możliwa jest para złożonych pierwiastków sprzężonych, określonych tymi samymi wzorami pierwiastkowymi, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych

Możliwe jest rozwiązanie równania kwadratowego poprzez natychmiastowe użycie wzoru na pierwiastek, ale zwykle robi się to, gdy konieczne jest znalezienie złożonych pierwiastków.

W większości przypadków oznacza to zwykle poszukiwanie nie złożonych, ale rzeczywistych pierwiastków równania kwadratowego. Wtedy optymalnie jest przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego najpierw wyznaczyć dyskryminator i upewnić się, że nie jest on ujemny (w przeciwnym razie dojdziemy do wniosku, że równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych), a następnie przystąpić do obliczania wartość korzeni.

Powyższe rozumowanie pozwala na sformułowanie algorytmu rozwiązywania równania kwadratowego.

Definicja 10

Aby rozwiązać równanie kwadratowe za x 2 + b x + do = 0, niezbędny:

• według formuły re = b 2 - 4 za do znajdź wartość dyskryminacyjną;
• w D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• dla D = 0 znajdź jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru x = - b 2 · a ;
• dla D > 0 wyznacz dwa pierwiastki rzeczywiste równania kwadratowego korzystając ze wzoru x = - b ± D 2 · a.

Zauważ, że gdy dyskryminator wynosi zero, możesz użyć wzoru x = - b ± D 2 · a, da to taki sam wynik jak wzór x = - b 2 · a.

Spójrzmy na przykłady.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Podajmy rozwiązanie przykładów dla różne znaczenia dyskryminujący.

Przykład 6

Musimy znaleźć pierwiastki równania x 2 + 2 x - 6 = 0.

Rozwiązanie

Zapiszmy współczynniki liczbowe równania kwadratowego: a = 1, b = 2 i do = - 6. Następnie postępujemy zgodnie z algorytmem, tj. Zacznijmy obliczać dyskryminator, za który podstawimy współczynniki a, b I C do wzoru dyskryminacyjnego: re = b 2 - 4 · za · do = 2 2 - 4 · 1 · (- 6) = 4 + 24 = 28 .

Otrzymujemy więc D > 0, co oznacza, że ​​pierwotne równanie będzie miało dwa pierwiastki rzeczywiste.
Aby je znaleźć, używamy wzoru na pierwiastek x = - b ± D 2 · a i podstawiając odpowiednie wartości, otrzymujemy: x = - 2 ± 28 2 · 1. Uprośćmy powstałe wyrażenie, usuwając czynnik ze znaku pierwiastka, a następnie redukując ułamek:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 lub x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 lub x = - 1 - 7

Odpowiedź: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Przykład 7

Trzeba rozwiązać równanie kwadratowe − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Rozwiązanie

Zdefiniujmy dyskryminator: re = 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) = 784 - 784 = 0. Przy tej wartości dyskryminatora pierwotne równanie będzie miało tylko jeden pierwiastek, określony wzorem x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Odpowiedź: x = 3,5.

Przykład 8

Trzeba rozwiązać równanie 5 lat 2 + 6 lat + 2 = 0

Rozwiązanie

Współczynniki liczbowe tego równania będą wynosić: a = 5, b = 6 i c = 2. Używamy tych wartości, aby znaleźć dyskryminator: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4 . Obliczony dyskryminator jest ujemny, więc oryginalne równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków.

W przypadku, gdy zadaniem jest wskazanie pierwiastków zespolonych, stosujemy wzór na pierwiastek, wykonując działania na liczbach zespolonych:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 lub x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i lub x = - 3 5 - 1 5 · ja.

Odpowiedź: nie ma prawdziwych korzeni; pierwiastki zespolone są następujące: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

W programie szkolnym nie ma standardowego wymogu poszukiwania pierwiastków złożonych, dlatego jeśli w trakcie rozwiązywania dyskryminator okaże się ujemny, od razu zapisuje się odpowiedź, że pierwiastków rzeczywistych nie ma.

Wzór na pierwiastek dla parzystych drugich współczynników

Wzór na pierwiastek x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) pozwala otrzymać inny, bardziej zwarty wzór, pozwalający znaleźć rozwiązania równań kwadratowych o parzystym współczynniku dla x ( lub ze współczynnikiem postaci 2 · n, na przykład 2 3 lub 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokażmy, jak wyprowadzony jest ten wzór.

Stańmy przed zadaniem znalezienia rozwiązania równania kwadratowego a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Postępujemy zgodnie z algorytmem: wyznaczamy dyskryminator D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), a następnie korzystamy ze wzoru na pierwiastek:

x = - 2 n ± re 2 za, x = - 2 n ± 4 n 2 - za do 2 za, x = - 2 n ± 2 n 2 - za do 2 za, x = - n ± n 2 - a · do za .

Niech wyrażenie n 2 - a · c będzie oznaczone jako D 1 (czasami jest oznaczone jako D "). Następnie wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 · n przyjmie postać:

x = - n ± re 1 a, gdzie re 1 = n 2 - a · do.

Łatwo zauważyć, że D = 4 · D 1 lub D 1 = D 4. Innymi słowy, D 1 to jedna czwarta dyskryminatora. Oczywiście znak D 1 jest taki sam jak znak D, co oznacza, że ​​znak D 1 może również służyć jako wskaźnik obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Definicja 11

Zatem, aby znaleźć rozwiązanie równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n, konieczne jest:

• znajdź re 1 = n 2 - a · do;
• w D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• gdy D 1 = 0, określ jedyny pierwiastek równania za pomocą wzoru x = - n a;
• dla D 1 > 0 wyznacz dwa pierwiastki rzeczywiste za pomocą wzoru x = - n ± D 1 a.

Przykład 9

Konieczne jest rozwiązanie równania kwadratowego 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Rozwiązanie

Drugi współczynnik danego równania możemy przedstawić jako 2 · (− 3) . Następnie przepisujemy podane równanie kwadratowe jako 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, gdzie a = 5, n = − 3 i c = − 32.

Obliczmy czwartą część dyskryminatora: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Otrzymana wartość jest dodatnia, co oznacza, że ​​równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Wyznaczmy je za pomocą odpowiedniego wzoru na pierwiastek:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 lub x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 lub x = - 2

Można by przeprowadzić obliczenia, stosując zwykły wzór na pierwiastki równania kwadratowego, ale w tym przypadku rozwiązanie byłoby bardziej kłopotliwe.

Odpowiedź: x = 3 1 5 lub x = - 2 .

Upraszczanie postaci równań kwadratowych

Czasami można zoptymalizować postać pierwotnego równania, co uprości proces obliczania pierwiastków.

Na przykład równanie kwadratowe 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 jest wyraźnie wygodniejsze do rozwiązania niż 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Częściej upraszczanie postaci równania kwadratowego odbywa się poprzez pomnożenie lub podzielenie jego obu stron przez określoną liczbę. Na przykład powyżej pokazaliśmy uproszczoną reprezentację równania 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, otrzymaną poprzez podzielenie obu stron przez 100.

Taka transformacja jest możliwa, gdy współczynniki równania kwadratowego nie są wzajemnie liczby pierwsze. Następnie zwykle dzielimy obie strony równania przez największą wspólny dzielnik wartości bezwzględne jego współczynników.

Jako przykład używamy równania kwadratowego 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Określmy GCD wartości bezwzględnych jego współczynników: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Podzielmy obie strony pierwotnego równania kwadratowego przez 6 i otrzymamy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Mnożąc obie strony równania kwadratowego, zwykle pozbywasz się współczynników ułamkowych. W tym przypadku mnożą się przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników jego współczynników. Przykładowo, jeśli każdą część równania kwadratowego 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 pomnożymy przez LCM (6, 3, 1) = 6, to zostanie to zapisane w prostszej formie x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Na koniec zauważamy, że prawie zawsze pozbywamy się minusa przy pierwszym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki każdego wyrazu równania, co osiąga się poprzez pomnożenie (lub podzielenie) obu stron przez - 1. Na przykład z równania kwadratowego − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 można przejść do jego uproszczonej wersji 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Zależność pierwiastków i współczynników

Znany nam już wzór na pierwiastki równań kwadratowych x = - b ± D 2 · a wyraża pierwiastki równania poprzez jego współczynniki liczbowe. Na podstawie tego wzoru mamy możliwość określenia innych zależności pomiędzy pierwiastkami i współczynnikami.

Najbardziej znane i stosowane wzory to twierdzenie Viety:

x 1 + x 2 = - b a i x 2 = do a.

W szczególności dla danego równania kwadratowego sumą pierwiastków jest drugi współczynnik o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu. Na przykład, patrząc na postać równania kwadratowego 3 x 2 - 7 x + 22 = 0, można od razu ustalić, że suma jego pierwiastków wynosi 7 3, a iloczyn pierwiastków wynosi 22 3.

Można także znaleźć wiele innych powiązań między pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego można wyrazić za pomocą współczynników:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b za 2 - 2 do za = b 2 za 2 - 2 do za = b 2 - 2 za do 2.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter