Równanie kwadratowe to równanie w postaci ax^2 + bx + c = 0, gdzie współczynniki a, b i c są liczbami dowolnymi, a a ≠ 0, w przeciwnym razie nie będzie to już równanie kwadratowe. Równania kwadratowe albo nie mają pierwiastków, albo mają dokładnie jeden pierwiastek, albo dwa różne pierwiastki. Pierwszym krokiem jest poszukiwanie dyskryminatora. Wzór: D = b^2 - 4ac. 1. Jeśli D< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >0, będą dwa pierwiastki. W przypadku pierwszej opcji jest jasne, że nie ma korzeni. Jeżeli dyskryminator D > 0, pierwiastki można znaleźć w następujący sposób: x12 = (-b +- √D) / 2a. Jeśli chodzi o drugą opcję, gdy D = 0, można zastosować powyższy wzór.

Równania kwadratowe zaczynają się uczyć na szkolnym kursie matematyki. Ale niestety nie każdy rozumie i wie, jak poprawnie rozwiązać równanie kwadratowe i obliczyć jego pierwiastki. Najpierw dowiedzmy się, czym jest równanie kwadratowe.

Co to jest równanie kwadratowe

Termin równanie kwadratowe zwykle oznacza równanie algebraiczne o postaci ogólnej. Równanie to ma następującą postać: ax2 + bx + c = 0, podczas gdy a, b i c są konkretnymi liczbami, x jest niewiadomą. Te trzy liczby nazywane są zwykle współczynnikami równania kwadratowego:

• a - pierwszy współczynnik;
• b - drugi współczynnik;
• c jest trzecim współczynnikiem.

Jak znaleźć pierwiastki równania kwadratowego

Aby obliczyć, jakie będą pierwiastki równania kwadratowego, należy znaleźć dyskryminator równania. Dyskryminator równania kwadratowego jest wyrażeniem równym i obliczanym przy użyciu wzoru b2 - 4ac. Jeżeli dyskryminator jest większy od zera, pierwiastek oblicza się ze wzoru: x = -b + - pierwiastek z dyskryminatora podzielony przez 2 a.

Rozważmy przykład równania 5x kwadrat - 8x +3 = 0

Dyskryminator jest równy osiem do kwadratu minus cztery razy pięć razy trzy, czyli = 64 - 4*5*3 = 64-60 = 4

x1 = 8 + pierwiastek z czterech podzielone przez dwa razy pięć = 8 +2/10 = 1

x2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0,6

Odpowiednio pierwiastki tego równania kwadratowego będą wynosić 1 i 0,6.

Pierwszy poziom

Równania kwadratowe. Kompleksowy przewodnik (2019)

W określeniu „równanie kwadratowe” słowem kluczowym jest „równanie kwadratowe”. Oznacza to, że równanie musi koniecznie zawierać zmienną (ten sam x) podniesiony do kwadratu i nie powinno być xów do trzeciej (lub większej) potęgi.

Rozwiązanie wielu równań sprowadza się do dokładnego rozwiązania równania kwadratowe.

Nauczmy się ustalać, że jest to równanie kwadratowe, a nie jakieś inne równanie.

Przykład 1.

Pozbądźmy się mianownika i pomnóżmy każdy wyraz równania przez

Przesuńmy wszystko na lewą stronę i ułóżmy wyrazy w malejącej kolejności potęg X

Teraz możemy śmiało powiedzieć, że to równanie jest kwadratowe!

Przykład 2.

Pomnóż lewą i prawą stronę przez:

To równanie, choć pierwotnie w nim występowało, nie jest kwadratowe!

Przykład 3.

Pomnóżmy wszystko przez:

Straszny? Czwarty i drugi stopień... Jeśli jednak dokonamy zamiany, zobaczymy, że mamy proste równanie kwadratowe:

Przykład 4.

Wydaje się, że tak jest, ale przyjrzyjmy się bliżej. Przesuńmy wszystko na lewą stronę:

Widzisz, skurczyło się - i teraz jest to proste równanie liniowe!

Teraz spróbuj samodzielnie ustalić, które z poniższych równań są równaniami kwadratowymi, a które nie:

Przykłady:

Odpowiedzi:

1. kwadrat;
2. kwadrat;
3. nie kwadratowy;
4. nie kwadratowy;
5. nie kwadratowy;
6. kwadrat;
7. nie kwadratowy;
8. kwadrat.

Matematycy tradycyjnie dzielą wszystkie równania kwadratowe na następujące typy:

• Uzupełnij równania kwadratowe- równania, w których współczynniki i oraz człon wolny c są różne od zera (jak w przykładzie). Ponadto wśród pełnych równań kwadratowych istnieją dany- są to równania, w których współczynnik (równanie z przykładu pierwszego jest nie tylko pełne, ale i zredukowane!)

• Niekompletne równania kwadratowe- równania, w których współczynnik i/lub człon wolny c są równe zeru:

  Są niekompletne, bo brakuje w nich jakiegoś elementu. Ale równanie musi zawsze zawierać x do kwadratu!!! W przeciwnym razie nie będzie to już równanie kwadratowe, ale jakieś inne równanie.

Dlaczego wpadli na taki podział? Wydawałoby się, że jest X do kwadratu i OK. Podział ten wyznaczają metody rozwiązania. Przyjrzyjmy się każdemu z nich bardziej szczegółowo.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Najpierw skupmy się na rozwiązywaniu niepełnych równań kwadratowych - są one znacznie prostsze!

Istnieją typy niekompletnych równań kwadratowych:

1. , w tym równaniu współczynnik jest równy.
2. , w tym równaniu wolny termin jest równy.
3. , w tym równaniu współczynnik i wolny wyraz są równe.

1. ja Ponieważ wiemy, jak wydobywać Pierwiastek kwadratowy, to wyrażmy z tego równania

Wyrażenie może być ujemne lub dodatnie. Liczba podniesiona do kwadratu nie może być ujemna, ponieważ przy mnożeniu dwóch liczb ujemnych lub dwóch dodatnich wynik zawsze będzie taki Liczba dodatnia, więc: jeśli, to równanie nie ma rozwiązań.

A jeśli, to otrzymamy dwa pierwiastki. Nie ma potrzeby zapamiętywania tych formuł. Najważniejsze jest to, że musisz wiedzieć i zawsze pamiętać, że nie może być mniej.

Spróbujmy rozwiązać kilka przykładów.

Przykład 5:

Rozwiązać równanie

Teraz pozostaje tylko wyodrębnić korzeń z lewej i prawej strony. W końcu pamiętasz, jak wyodrębnić korzenie?

Odpowiedź:

Nigdy nie zapominaj o korzeniach ze znakiem ujemnym!!!

Przykład 6:

Rozwiązać równanie

Odpowiedź:

Przykład 7:

Rozwiązać równanie

Oh! Kwadrat liczby nie może być ujemny, co oznacza, że ​​równanie

żadnych korzeni!

Dla takich równań, które nie mają pierwiastków, matematycy wymyślili specjalną ikonę - (pusty zbiór). A odpowiedź można zapisać w ten sposób:

Odpowiedź:

Zatem to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Nie ma tutaj żadnych ograniczeń, ponieważ nie wyodrębniliśmy katalogu głównego.
Przykład 8:

Rozwiązać równanie

Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:

Zatem,

To równanie ma dwa pierwiastki.

Odpowiedź:

Najprostszy rodzaj niekompletnych równań kwadratowych (chociaż wszystkie są proste, prawda?). Oczywiście to równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek:

Pominiemy tutaj przykłady.

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych

Przypominamy, że pełne równanie kwadratowe jest równaniem postaci równania gdzie

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych jest trochę trudniejsze (tylko trochę) niż te.

Pamiętać, Każde równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora! Nawet niekompletny.

Inne metody pomogą ci to zrobić szybciej, ale jeśli masz problemy z równaniami kwadratowymi, najpierw opanuj rozwiązanie za pomocą dyskryminatora.

1. Rozwiązywanie równań kwadratowych z wykorzystaniem dyskryminatora.

Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą tej metody jest bardzo proste, najważniejsze jest zapamiętanie sekwencji działań i kilku wzorów.

Jeśli to równanie ma pierwiastek, należy zwrócić szczególną uwagę na krok. Dyskryminator () informuje nas o liczbie pierwiastków równania.

• Jeśli, wówczas formuła w tym kroku zostanie zredukowana do. Zatem równanie będzie miało tylko pierwiastek.
• Jeśli, to nie będziemy w stanie wyodrębnić pierwiastka dyskryminatora na tym etapie. Oznacza to, że równanie nie ma pierwiastków.

Wróćmy do naszych równań i spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 9:

Rozwiązać równanie

Krok 1 pomijamy.

Krok 2.

Znajdujemy wyróżnik:

Oznacza to, że równanie ma dwa pierwiastki.

Krok 3.

Odpowiedź:

Przykład 10:

Rozwiązać równanie

Równanie przedstawiono w postaci standardowej, tj Krok 1 pomijamy.

Krok 2.

Znajdujemy wyróżnik:

Oznacza to, że równanie ma jeden pierwiastek.

Odpowiedź:

Przykład 11:

Rozwiązać równanie

Równanie przedstawiono w postaci standardowej, tj Krok 1 pomijamy.

Krok 2.

Znajdujemy wyróżnik:

Oznacza to, że nie będziemy w stanie wyodrębnić pierwiastka dyskryminatora. Równanie nie ma pierwiastków.

Teraz wiemy, jak poprawnie zapisać takie odpowiedzi.

Odpowiedź:żadnych korzeni

2. Rozwiązywanie równań kwadratowych z wykorzystaniem twierdzenia Viety.

Jeśli pamiętasz, istnieje rodzaj równania, który nazywa się zredukowanym (gdy współczynnik a jest równy):

Równania takie bardzo łatwo rozwiązać korzystając z twierdzenia Viety:

Suma pierwiastków dany równanie kwadratowe jest równe i iloczyn pierwiastków jest równy.

Przykład 12:

Rozwiązać równanie

Równanie to można rozwiązać za pomocą twierdzenia Viety, ponieważ .

Suma pierwiastków równania jest równa, tj. otrzymujemy pierwsze równanie:

A iloczyn jest równy:

Skomponujmy i rozwiążmy system:

• I. Kwota jest równa;
• I. Kwota jest równa;
• I. Kwota jest równa.

i są rozwiązaniem układu:

Odpowiedź: ; .

Przykład 13:

Rozwiązać równanie

Odpowiedź:

Przykład 14:

Rozwiązać równanie

Podane jest równanie, które oznacza:

Odpowiedź:

RÓWNANIA KWADRATOWE. ŚREDNI POZIOM

Co to jest równanie kwadratowe?

Innymi słowy, równanie kwadratowe jest równaniem postaci, gdzie - niewiadoma, - niektóre liczby i.

Liczba nazywana jest najwyższą lub pierwszy współczynnik równanie kwadratowe, - drugi współczynnik, A - Wolny Członek.

Dlaczego? Ponieważ jeśli równanie natychmiast stanie się liniowe, ponieważ zniknie.

W tym przypadku i może być równe zeru. Na tym krześle równanie nazywa się niekompletnym. Jeśli wszystkie warunki są spełnione, oznacza to, że równanie jest kompletne.

Rozwiązania różnych typów równań kwadratowych

Metody rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych:

Najpierw przyjrzyjmy się metodom rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych - są prostsze.

Wyróżniamy następujące typy równań:

I. w tym równaniu współczynnik i wolny wyraz są równe.

II. , w tym równaniu współczynnik jest równy.

III. , w tym równaniu wolny termin jest równy.

Przyjrzyjmy się teraz rozwiązaniu dla każdego z tych podtypów.

Oczywiście to równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek:

Liczba podniesiona do kwadratu nie może być liczbą ujemną, ponieważ po pomnożeniu dwóch liczb ujemnych lub dwóch dodatnich wynik zawsze będzie liczbą dodatnią. Dlatego:

jeśli, to równanie nie ma rozwiązań;

jeśli mamy dwa korzenie

Nie ma potrzeby zapamiętywania tych formuł. Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że nie może być mniejsza.

Przykłady:

Rozwiązania:

Odpowiedź:

Nigdy nie zapominaj o korzeniach ze znakiem ujemnym!

Kwadrat liczby nie może być ujemny, co oznacza, że ​​równanie

żadnych korzeni.

Aby krótko zapisać, że problem nie ma rozwiązań, używamy ikony pustego zestawu.

Odpowiedź:

Zatem to równanie ma dwa pierwiastki: i.

Odpowiedź:

Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:

Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Oznacza to, że równanie ma rozwiązanie, gdy:

Zatem to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki: i.

Przykład:

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Rozważmy lewą stronę równania i znajdźmy pierwiastki:

Odpowiedź:

Metody rozwiązywania pełnych równań kwadratowych:

1. Dyskryminujący

Rozwiązywanie równań kwadratowych w ten sposób jest łatwe, najważniejsze jest zapamiętanie sekwencji działań i kilku wzorów. Pamiętaj, że każde równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora! Nawet niekompletny.

Czy zauważyłeś pierwiastek z wyróżnika we wzorze na pierwiastki? Ale dyskryminator może być ujemny. Co robić? Musimy zwrócić szczególną uwagę na krok 2. Dyskryminator informuje nas o liczbie pierwiastków równania.

• Jeśli, to równanie ma pierwiastki:
• Jeśli to równanie ma te same pierwiastki, a właściwie jeden pierwiastek:

  Takie korzenie nazywane są podwójnymi korzeniami.

• Jeśli, to pierwiastek dyskryminatora nie jest wyodrębniany. Oznacza to, że równanie nie ma pierwiastków.

Dlaczego możliwa jest różna liczba korzeni? Przejdźmy do geometrycznego znaczenia równania kwadratowego. Wykresem funkcji jest parabola:

W szczególnym przypadku, którym jest równanie kwadratowe, . Oznacza to, że pierwiastkami równania kwadratowego są punkty przecięcia z osią (osią) odciętej. Parabola może w ogóle nie przecinać osi lub może przecinać ją w jednym (gdy wierzchołek paraboli leży na osi) lub w dwóch punktach.

Ponadto współczynnik odpowiada za kierunek gałęzi paraboli. Jeśli, to gałęzie paraboli są skierowane w górę, a jeśli, to w dół.

Przykłady:

Rozwiązania:

Odpowiedź:

Odpowiedź: .

Odpowiedź:

Oznacza to, że nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: .

2. Twierdzenie Viety

Twierdzenie Viety jest bardzo łatwe w użyciu: wystarczy wybrać parę liczb, których iloczyn jest równy wolnemu członowi równania, a suma jest równa drugiemu współczynnikowi wziętemu z przeciwnym znakiem.

Należy pamiętać, że twierdzenie Viety można zastosować jedynie w zredukowane równania kwadratowe ().

Spójrzmy na kilka przykładów:

Przykład 1:

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Równanie to można rozwiązać za pomocą twierdzenia Viety, ponieważ . Inne współczynniki: ; .

Suma pierwiastków równania wynosi:

A iloczyn jest równy:

Wybierzmy pary liczb, których iloczyn jest równy i sprawdźmy, czy ich suma jest równa:

• I. Kwota jest równa;
• I. Kwota jest równa;
• I. Kwota jest równa.

i są rozwiązaniem układu:

Zatem i są pierwiastkami naszego równania.

Odpowiedź: ; .

Przykład nr 2:

Rozwiązanie:

Wybierzmy pary liczb, które dają iloczyn, a następnie sprawdźmy, czy ich suma jest równa:

i: dają w sumie.

i: dają w sumie. Aby uzyskać, wystarczy po prostu zmienić znaki rzekomych korzeni: a przecież i produkt.

Odpowiedź:

Przykład nr 3:

Rozwiązanie:

Wolny wyraz równania jest ujemny, dlatego iloczyn pierwiastków jest liczbą ujemną. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy jeden z pierwiastków jest ujemny, a drugi dodatni. Zatem suma pierwiastków jest równa różnice w ich modułach.

Wybierzmy pary liczb, które dają iloczyn, a których różnica jest równa:

i: ich różnica jest równa - nie pasuje;

oraz: - nie nadaje się;

oraz: - nie nadaje się;

oraz: - odpowiedni. Pozostaje tylko pamiętać, że jeden z pierwiastków jest ujemny. Ponieważ ich suma musi być równa, pierwiastek o mniejszym module musi być ujemny: . Sprawdzamy:

Odpowiedź:

Przykład nr 4:

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Podane jest równanie, które oznacza:

Wolny termin jest ujemny, a zatem iloczyn pierwiastków jest ujemny. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy jeden pierwiastek równania jest ujemny, a drugi dodatni.

Wybierzmy pary liczb, których iloczyn jest równy, a następnie określmy, które pierwiastki powinny mieć znak ujemny:

Oczywiście tylko korzenie i nadają się do pierwszego warunku:

Odpowiedź:

Przykład nr 5:

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Podane jest równanie, które oznacza:

Suma pierwiastków jest ujemna, co oznacza, że ​​przynajmniej jeden z pierwiastków jest ujemny. Ale ponieważ ich iloczyn jest dodatni, oznacza to, że oba pierwiastki mają znak minus.

Wybierzmy pary liczb, których iloczyn jest równy:

Oczywiście pierwiastkami są liczby i.

Odpowiedź:

Zgadzam się, bardzo wygodnie jest wymyślić korzenie ustnie, zamiast liczyć ten paskudny dyskryminator. Staraj się jak najczęściej korzystać z twierdzenia Viety.

Ale twierdzenie Viety jest potrzebne, aby ułatwić i przyspieszyć znalezienie pierwiastków. Aby móc z niego skorzystać, należy doprowadzić działania do automatyzmu. I w tym celu rozwiąż pięć kolejnych przykładów. Ale nie oszukuj: nie możesz używać dyskryminatora! Tylko twierdzenie Viety:

Rozwiązania zadań do samodzielnej pracy:

Zadanie 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Zgodnie z twierdzeniem Viety:

Tradycyjnie selekcję zaczynamy od utworu:

Nie nadaje się ze względu na ilość;

: ilość jest dokładnie taka, jakiej potrzebujesz.

Odpowiedź: ; .

Zadanie 2.

I znowu nasze ulubione twierdzenie Viety: suma musi być równa i iloczyn musi być równy.

Ale ponieważ tak nie musi być, ale zmieniamy znaki pierwiastków: i (w sumie).

Odpowiedź: ; .

Zadanie 3.

Hmm... Gdzie to jest?

Musisz przenieść wszystkie terminy do jednej części:

Suma pierwiastków jest równa iloczynowi.

OK, przestań! Równanie nie jest podane. Ale twierdzenie Viety ma zastosowanie tylko w danych równaniach. Najpierw musisz podać równanie. Jeśli nie potrafisz przewodzić, porzuć ten pomysł i rozwiąż go w inny sposób (na przykład poprzez dyskryminację). Przypomnę, że podanie równania kwadratowego oznacza zrównanie współczynnika wiodącego:

Świetnie. Wtedy suma pierwiastków jest równa i iloczynowi.

Tutaj wybór jest tak prosty, jak obieranie gruszek: w końcu jest to liczba pierwsza (przepraszam za tautologię).

Odpowiedź: ; .

Zadanie 4.

Wolny członek jest ujemny. Co jest w tym specjalnego? Faktem jest, że korzenie będą miały różne znaki. A teraz podczas selekcji sprawdzamy nie sumę pierwiastków, ale różnicę w ich modułach: ta różnica jest równa, ale iloczyn.

Zatem pierwiastki są równe i, ale jeden z nich to minus. Twierdzenie Viety mówi nam, że suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, to znaczy. Oznacza to, że mniejszy pierwiastek będzie miał minus: i, ponieważ.

Odpowiedź: ; .

Zadanie 5.

Co powinieneś zrobić najpierw? Zgadza się, podaj równanie:

Ponownie: wybieramy współczynniki liczby, a ich różnica powinna być równa:

Pierwiastki są równe i, ale jeden z nich to minus. Który? Ich suma powinna być równa, co oznacza, że ​​minus będzie miał większy pierwiastek.

Odpowiedź: ; .

Podsumuję:

1. Twierdzenie Viety jest używane tylko w podanych równaniach kwadratowych.
2. Korzystając z twierdzenia Viety, możesz znaleźć pierwiastki poprzez selekcję, ustnie.
3. Jeśli równanie nie zostanie podane lub nie zostanie znaleziona odpowiednia para czynników terminu wolnego, wówczas nie ma pełnych pierwiastków i należy je rozwiązać w inny sposób (na przykład poprzez dyskryminator).

3. Metoda wyboru całego kwadratu

Jeśli wszystkie wyrazy zawierające niewiadomą przedstawimy w postaci wyrazów ze skróconych wzorów na mnożenie – kwadratu sumy lub różnicy – ​​to po zastąpieniu zmiennych równanie można przedstawić w postaci niepełnego równania kwadratowego typu.

Na przykład:

Przykład 1:

Rozwiązać równanie: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

Przykład 2:

Rozwiązać równanie: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

W ogólna perspektywa transformacja będzie wyglądać następująco:

Oznacza to: .

Nic Ci nie przypomina? To dyskryminacja! Dokładnie w ten sposób otrzymaliśmy wzór na dyskryminację.

RÓWNANIA KWADRATOWE. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Równanie kwadratowe- jest to równanie postaci, w której - niewiadoma, - współczynniki równania kwadratowego, - człon wolny.

Pełne równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynniki nie są równe zeru.

Zredukowane równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynnik, czyli: .

Niekompletne równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynnik i/lub człon wolny c są równe zeru:

• jeśli współczynnik, równanie wygląda następująco: ,
• jeżeli istnieje wyraz wolny, równanie ma postać: ,
• jeśli i, równanie wygląda następująco: .

1. Algorytm rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych

1.1. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:

1) Wyraźmy niewiadomą: ,

2) Sprawdź znak wyrażenia:

• jeżeli, to równanie nie ma rozwiązań,
• jeśli, to równanie ma dwa pierwiastki.

1.2. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:

1) Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów: ,

2) Iloczyn jest równy zero, jeżeli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Zatem równanie ma dwa pierwiastki:

1.3. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:

To równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek: .

2. Algorytm rozwiązywania pełnych równań kwadratowych w postaci gdzie

2.1. Rozwiązanie wykorzystujące dyskryminator

1) Sprowadźmy równanie do postaci standardowej: ,

2) Obliczmy dyskryminator korzystając ze wzoru: , który wskazuje liczbę pierwiastków równania:

3) Znajdź pierwiastki równania:

• jeśli, to równanie ma pierwiastki, które można znaleźć według wzoru:
• jeśli, to równanie ma pierwiastek, który można znaleźć za pomocą wzoru:
• jeśli, to równanie nie ma pierwiastków.

2.2. Rozwiązanie wykorzystujące twierdzenie Viety

Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego (równanie postaci gdzie) jest równa, a iloczyn pierwiastków jest równy, tj. , A.

2.3. Rozwiązanie metodą wyboru pełnego kwadratu

Kontynuując temat „Rozwiązywanie równań”, materiał w tym artykule wprowadzi Cię w równania kwadratowe.

Przyjrzyjmy się wszystkiemu szczegółowo: istocie i zapisowi równania kwadratowego, zdefiniuj towarzyszące terminy, przeanalizuj schemat rozwiązywania równań niepełnych i pełnych, zapoznaj się ze wzorem pierwiastków i dyskryminatora, ustal połączenia między pierwiastkami i współczynnikami, i oczywiście podamy wizualne rozwiązanie praktycznych przykładów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Równanie kwadratowe, jego rodzaje

Definicja 1

Równanie kwadratowe jest równaniem zapisanym jako za x 2 + b x + do = 0, Gdzie X– zmienna, a, b i C– kilka liczb, podczas gdy A nie jest zerem.

Często równania kwadratowe nazywane są również równaniami drugiego stopnia, ponieważ w istocie równanie kwadratowe jest równaniem algebraicznym drugiego stopnia.

Podajmy przykład ilustrujący podaną definicję: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 itd. Są to równania kwadratowe.

Definicja 2

Liczby a, b i C są współczynnikami równania kwadratowego za x 2 + b x + do = 0, natomiast współczynnik A nazywany jest pierwszym lub starszym lub współczynnikiem przy x 2, b - drugim współczynnikiem lub współczynnikiem przy X, A C nazywany wolnym członkiem.

Na przykład w równaniu kwadratowym 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 współczynnik wiodący wynosi 6, drugi współczynnik − 2 , a wolny termin jest równy − 11 . Zwróćmy uwagę na fakt, że gdy współczynniki B i/lub c są ujemne, wówczas stosuje się skróconą formę 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ale nie 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Wyjaśnijmy również ten aspekt: ​​jeśli współczynniki A i/lub B równy 1 Lub − 1 , wówczas nie mogą brać wyraźnego udziału w pisaniu równania kwadratowego, co tłumaczy się osobliwościami pisania wskazanych współczynników liczbowych. Na przykład w równaniu kwadratowym y 2 - y + 7 = 0 współczynnik wiodący wynosi 1, a drugi współczynnik − 1 .

Równania kwadratowe zredukowane i nieredukowane

Ze względu na wartość pierwszego współczynnika równania kwadratowe dzielimy na zredukowane i nieredukowane.

Definicja 3

Zredukowane równanie kwadratowe jest równaniem kwadratowym, w którym współczynnik wiodący wynosi 1. Dla innych wartości współczynnika wiodącego równanie kwadratowe jest nieredukowane.

Podajmy przykłady: równania kwadratowe x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 są redukowane, w każdym z nich współczynnik wiodący wynosi 1.

9 x 2 - x - 2 = 0- nieredukowane równanie kwadratowe, od którego różni się pierwszy współczynnik 1 .

Każde niezredukowane równanie kwadratowe można przekształcić w równanie zredukowane, dzieląc obie strony przez pierwszy współczynnik (transformacja równoważna). Przekształcone równanie będzie miało te same pierwiastki co podane równanie niezredukowane lub też nie będzie miało pierwiastków.

Rozpatrzenie konkretnego przykładu pozwoli nam wyraźnie wykazać przejście od nieredukowanego równania kwadratowego do zredukowanego.

Przykład 1

Biorąc pod uwagę równanie 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . Konieczne jest przekształcenie pierwotnego równania do postaci zredukowanej.

Rozwiązanie

Zgodnie z powyższym schematem obie strony pierwotnego równania dzielimy przez wiodący współczynnik 6. Następnie otrzymujemy: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, a to jest to samo co: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 = 0 i dalej: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Stąd: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . W ten sposób otrzymuje się równanie równoważne podanemu.

Odpowiedź: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Równania kwadratowe zupełne i niezupełne

Przejdźmy do definicji równania kwadratowego. W nim to określiliśmy a ≠ 0. Podobny warunek jest konieczny dla równania za x 2 + b x + do = 0 był dokładnie kwadratowy, gdyż o godz a = 0 zasadniczo przekształca się w równanie liniowe b x + do = 0.

W przypadku, gdy współczynniki B I C są równe zeru (co jest możliwe zarówno indywidualnie, jak i łącznie), równanie kwadratowe nazywa się niepełnym.

Definicja 4

Niekompletne równanie kwadratowe- takie równanie kwadratowe za x 2 + b x + do = 0, gdzie co najmniej jeden ze współczynników B I C(lub oba) wynosi zero.

Pełne równanie kwadratowe– równanie kwadratowe, w którym wszystkie współczynniki liczbowe nie są równe zero.

Porozmawiajmy, dlaczego rodzaje równań kwadratowych mają dokładnie te nazwy.

Gdy b = 0, równanie kwadratowe przyjmuje postać za x 2 + 0 x + do = 0, czyli to samo co za x 2 + do = 0. Na c = 0 równanie kwadratowe zapisuje się jako za x 2 + b x + 0 = 0, co jest równoważne za x 2 + b x = 0. Na b = 0 I c = 0 równanie przybierze postać a x 2 = 0. Otrzymane przez nas równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, ani obu. Właściwie to właśnie ten fakt dał nazwę tego typu równaniom – niepełne.

Na przykład x 2 + 3 x + 4 = 0 i - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 są pełnymi równaniami kwadratowymi; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – niepełne równania kwadratowe.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Podana powyżej definicja pozwala wyróżnić następujące typy niepełnych równań kwadratowych:

• a x 2 = 0, to równanie odpowiada współczynnikom b = 0 i c = 0;
• a · x 2 + do = 0 przy b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 przy c = 0.

Rozważmy kolejno rozwiązanie każdego rodzaju niepełnego równania kwadratowego.

Rozwiązanie równania a x 2 =0

Jak wspomniano powyżej, równanie to odpowiada współczynnikom B I C, równy zeru. Równanie a x 2 = 0 można przekształcić w równoważne równanie x2 = 0, które otrzymujemy dzieląc obie strony pierwotnego równania przez liczbę A, nierówny zero. Oczywistym faktem jest pierwiastek równania x2 = 0 to jest zero, ponieważ 0 2 = 0 . Równanie to nie ma innych pierwiastków, co można wytłumaczyć właściwościami stopnia: dla dowolnej liczby P, nierówny zero, nierówność jest prawdziwa p2 > 0, z czego wynika, że ​​kiedy p ≠ 0 równość p2 = 0 nigdy nie zostanie osiągnięty.

Definicja 5

Zatem dla niepełnego równania kwadratowego a x 2 = 0 istnieje pojedynczy pierwiastek x = 0.

Przykład 2

Na przykład rozwiążmy niepełne równanie kwadratowe − 3 x 2 = 0. Jest to równoważne równaniu x2 = 0, jego jedynym korzeniem jest x = 0, to pierwotne równanie ma jeden pierwiastek – zero.

W skrócie rozwiązanie jest zapisane w następujący sposób:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rozwiązanie równania a x 2 + c = 0

Następne w kolejce jest rozwiązanie niepełnych równań kwadratowych, gdzie b = 0, c ≠ 0, czyli równania postaci za x 2 + do = 0. Przekształćmy to równanie, przesuwając wyraz z jednej strony równania na drugą, zmieniając znak na przeciwny i dzieląc obie strony równania przez liczbę różną od zera:

• przenosić C po prawej stronie, co daje równanie za x 2 = - do;
• podziel obie strony równania przez A, kończymy na x = - c a .

Nasze przekształcenia są równoważne, zatem otrzymane równanie jest również równoważne pierwotnemu, co pozwala na wyciągnięcie wniosków na temat pierwiastków równania. Od jakich wartości A I C wartość wyrażenia - c a zależy: może mieć znak minus (na przykład if a = 1 I c = 2, następnie - c a = - 2 1 = - 2) lub znak plus (na przykład if za = - 2 I c = 6, następnie - do za = - 6 - 2 = 3); to nie jest zero, ponieważ c ≠ 0. Zatrzymajmy się bardziej szczegółowo nad sytuacjami, gdy - ok< 0 и - c a > 0 .

W przypadku gdy - ok< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P równość p 2 = - c a nie może być prawdziwa.

Wszystko jest inne, gdy - c a > 0: pamiętaj o pierwiastku kwadratowym i stanie się oczywiste, że pierwiastkiem równania x 2 = - c a będzie liczbą - c a, ponieważ - c a 2 = - c a. Nietrudno zrozumieć, że liczba - - c a jest także pierwiastkiem równania x 2 = - c a: rzeczywiście - - c a 2 = - c a.

Równanie nie będzie miało innych pierwiastków. Możemy to wykazać za pomocą metody sprzeczności. Na początek zdefiniujmy oznaczenia pierwiastków znalezione powyżej jako x 1 I − x 1. Załóżmy, że równanie x 2 = - c a również ma pierwiastek x 2, co różni się od korzeni x 1 I − x 1. Wiemy to podstawiając do równania X pierwiastki, przekształcamy równanie w uczciwą równość liczbową.

Dla x 1 I − x 1 piszemy: x 1 2 = - c a , i dla x 2- x 2 2 = - do za . Bazując na własnościach równości liczbowych, odejmujemy jeden poprawny wyraz równości od drugiego, co da nam: x 1 2 - x 2 2 = 0. Używamy właściwości operacji na liczbach, aby przepisać ostatnią równość jako (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Wiadomo, że iloczyn dwóch liczb wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z liczb jest równa zero. Z powyższego wynika, że x 1 - x 2 = 0 i/lub x 1 + x 2 = 0, czyli to samo x2 = x1 i/lub x 2 = - x 1. Powstała oczywista sprzeczność, ponieważ początkowo uznano, że pierwiastek równania x 2 różni się od x 1 I − x 1. Udowodniliśmy więc, że równanie nie ma innych pierwiastków niż x = - c a i x = - - c a.

Podsumujmy wszystkie powyższe argumenty.

Definicja 6

Niekompletne równanie kwadratowe za x 2 + do = 0 jest równoważne równaniu x 2 = - c a, które:

• nie będzie miał korzeni w - ok< 0 ;
• będzie miał dwa pierwiastki x = - c a i x = - - c a dla - c a > 0.

Podajmy przykłady rozwiązywania równań za x 2 + do = 0.

Przykład 3

Biorąc pod uwagę równanie kwadratowe 9 x 2 + 7 = 0. Konieczne jest znalezienie rozwiązania.

Rozwiązanie

Przesuńmy wolny wyraz na prawą stronę równania, wtedy równanie przyjmie postać 9x2 = - 7.
Podzielmy obie strony otrzymanego równania przez 9 , dochodzimy do x 2 = - 7 9 . Po prawej stronie widzimy liczbę ze znakiem minus, co oznacza: dane równanie nie ma pierwiastków. Następnie oryginalne niekompletne równanie kwadratowe 9 x 2 + 7 = 0 nie będzie mieć korzeni.

Odpowiedź: równanie 9 x 2 + 7 = 0 nie ma korzeni.

Przykład 4

Trzeba rozwiązać równanie − x 2 + 36 = 0.

Rozwiązanie

Przesuńmy 36 na prawą stronę: − x 2 = − 36.
Podzielmy obie części przez − 1 , otrzymujemy x2 = 36. Po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia, z której możemy to wywnioskować x = 36 lub x = - 36 .
Wyodrębnijmy pierwiastek i zapiszmy wynik końcowy: niepełne równanie kwadratowe − x 2 + 36 = 0 ma dwa korzenie x=6 Lub x = - 6.

Odpowiedź: x=6 Lub x = - 6.

Rozwiązanie równania a x 2 +b x=0

Przeanalizujmy trzeci typ niepełnych równań kwadratowych, kiedy c = 0. Aby znaleźć rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego za x 2 + b x = 0, zastosujemy metodę faktoryzacji. Rozłóżmy wielomian znajdujący się po lewej stronie równania na czynniki, usuwając wspólny czynnik z nawiasów X. Ten krok umożliwi przekształcenie pierwotnego niepełnego równania kwadratowego na jego odpowiednik x (a x + b) = 0. A to równanie z kolei jest równoważne zbiorowi równań x = 0 I a x + b = 0. Równanie a x + b = 0 liniowy i jego pierwiastek: x = - b za.

Definicja 7

Zatem niepełne równanie kwadratowe za x 2 + b x = 0 będzie miał dwa korzenie x = 0 I x = - b za.

Wzmocnijmy materiał przykładem.

Przykład 5

Konieczne jest znalezienie rozwiązania równania 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Rozwiązanie

Wyciągniemy to X poza nawiasami otrzymujemy równanie x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . To równanie jest równoważne równaniom x = 0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0. Teraz powinieneś rozwiązać powstałe równanie liniowe: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Zapisz krótko rozwiązanie równania w następujący sposób:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 lub 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 lub x = 3 3 7

Odpowiedź: x = 0, x = 3 3 7.

Dyskryminator, wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Aby znaleźć rozwiązania równań kwadratowych, istnieje wzór na pierwiastek:

Definicja 8

x = - b ± D 2 · a, gdzie re = b 2 - 4 za do– tzw. dyskryminator równania kwadratowego.

Zapisanie x = - b ± D 2 · a zasadniczo oznacza, że ​​x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Przydatne byłoby zrozumienie, w jaki sposób wyprowadzono tę formułę i jak ją zastosować.

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Stańmy przed zadaniem rozwiązania równania kwadratowego za x 2 + b x + do = 0. Przeprowadźmy szereg równoważnych przekształceń:

• podziel obie strony równania przez liczbę A, różny od zera, otrzymujemy następujące równanie kwadratowe: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Wybierzmy cały kwadrat po lewej stronie wynikowego równania:
  x 2 + b za · x + do a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · za 2 - b 2 · za 2 + do a = = x + b 2 · za 2 - b 2 · za 2 + ok
  Następnie równanie przyjmie postać: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Teraz można przenieść dwa ostatnie wyrazy na prawą stronę, zmieniając znak na przeciwny, po czym otrzymujemy: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Na koniec przekształcamy wyrażenie zapisane po prawej stronie ostatniej równości:
  b 2 · za 2 - do za = b 2 4 · za 2 - do za = b 2 4 · za 2 - 4 · za · do 4 · za 2 = b 2 - 4 · za · do 4 · za 2 .

W ten sposób dochodzimy do równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , równoważne pierwotnemu równaniu za x 2 + b x + do = 0.

Rozwiązanie takich równań sprawdziliśmy w poprzednich akapitach (rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych). Zdobyte już doświadczenie pozwala wyciągnąć wniosek dotyczący pierwiastków równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• z b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• gdy b 2 - 4 · a · do 4 · a 2 = 0 równanie ma postać x + b 2 · a 2 = 0, wtedy x + b 2 · a = 0.

Stąd oczywisty jest jedyny pierwiastek x = - b 2 · a;

• dla b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 prawdziwe będzie: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 lub x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · do 4 · za 2 , co jest tym samym co x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · do 4 · za 2 lub x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · do 4 · za 2 , tj. równanie ma dwa pierwiastki.

Można stwierdzić, że obecność lub brak pierwiastków równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (a zatem pierwotne równanie) zależy od znaku wyrażenia b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 zapisane po prawej stronie. A znak tego wyrażenia jest określony przez znak licznika (mianownik 4 za 2 zawsze będzie dodatni), czyli znak wyrażenia b 2 - 4 za do. To wyrażenie b 2 - 4 za do podana jest nazwa - wyróżnik równania kwadratowego i litera D jest zdefiniowana jako jego oznaczenie. Tutaj możesz zapisać istotę wyróżnika - na podstawie jego wartości i znaku można stwierdzić, czy równanie kwadratowe będzie miało pierwiastki rzeczywiste, a jeśli tak, to jaka jest liczba pierwiastków - jeden czy dwa.

Wróćmy do równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · do 4 · a 2 . Przepiszmy to używając notacji dyskryminacyjnej: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Sformułujmy jeszcze raz nasze wnioski:

Definicja 9

• Na D< 0 równanie nie ma rzeczywistych pierwiastków;
• Na D=0 równanie ma pojedynczy pierwiastek x = - b 2 · a ;
• Na D > 0 równanie ma dwa pierwiastki: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 lub x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Bazując na własnościach rodników, pierwiastki te można zapisać w postaci: x = - b 2 · a + D 2 · a lub - b 2 · a - D 2 · a. A kiedy otworzymy moduły i doprowadzimy ułamki do wspólnego mianownika, otrzymamy: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Zatem wynikiem naszego rozumowania było wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, dyskryminator D obliczone według wzoru re = b 2 - 4 za do.

Wzory te umożliwiają wyznaczenie obu pierwiastków rzeczywistych, gdy dyskryminator jest większy od zera. Gdy dyskryminator wynosi zero, zastosowanie obu wzorów da ten sam pierwiastek, co jedyne rozwiązanie równania kwadratowego. W przypadku, gdy dyskryminator jest ujemny, jeśli spróbujemy skorzystać ze wzoru na pierwiastek kwadratowy, staniemy przed koniecznością obliczenia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, co wyprowadzi nas poza zakres liczb rzeczywistych. W przypadku ujemnego dyskryminatora równanie kwadratowe nie będzie miało rzeczywistych pierwiastków, ale możliwa jest para złożonych pierwiastków sprzężonych, określonych tymi samymi wzorami pierwiastkowymi, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych

Możliwe jest rozwiązanie równania kwadratowego poprzez natychmiastowe użycie wzoru na pierwiastek, ale zwykle robi się to, gdy konieczne jest znalezienie złożonych pierwiastków.

W większości przypadków oznacza to zwykle poszukiwanie nie złożonych, ale rzeczywistych pierwiastków równania kwadratowego. Wtedy optymalnie jest przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego najpierw wyznaczyć dyskryminator i upewnić się, że nie jest on ujemny (w przeciwnym razie dojdziemy do wniosku, że równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych), a następnie przystąpić do obliczania wartość korzeni.

Powyższe rozumowanie pozwala na sformułowanie algorytmu rozwiązywania równania kwadratowego.

Definicja 10

Aby rozwiązać równanie kwadratowe za x 2 + b x + do = 0, niezbędny:

• według formuły re = b 2 - 4 za do znajdź wartość dyskryminującą;
• w D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• dla D = 0 znajdź jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru x = - b 2 · a ;
• dla D > 0 wyznacz dwa pierwiastki rzeczywiste równania kwadratowego korzystając ze wzoru x = - b ± D 2 · a.

Zauważ, że gdy dyskryminator wynosi zero, możesz użyć wzoru x = - b ± D 2 · a, da to taki sam wynik jak wzór x = - b 2 · a.

Spójrzmy na przykłady.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Podajmy rozwiązanie przykładów dla różne znaczenia dyskryminujący.

Przykład 6

Musimy znaleźć pierwiastki równania x 2 + 2 x - 6 = 0.

Rozwiązanie

Zapiszmy współczynniki liczbowe równania kwadratowego: a = 1, b = 2 i do = - 6. Następnie postępujemy zgodnie z algorytmem, tj. Zacznijmy obliczać dyskryminator, za który podstawimy współczynniki a, b I C do wzoru dyskryminacyjnego: re = b 2 - 4 · za · do = 2 2 - 4 · 1 · (- 6) = 4 + 24 = 28 .

Otrzymujemy więc D > 0, co oznacza, że ​​pierwotne równanie będzie miało dwa pierwiastki rzeczywiste.
Aby je znaleźć, używamy wzoru na pierwiastek x = - b ± D 2 · a i podstawiając odpowiednie wartości, otrzymujemy: x = - 2 ± 28 2 · 1. Uprośćmy powstałe wyrażenie, usuwając czynnik ze znaku pierwiastka, a następnie redukując ułamek:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 lub x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 lub x = - 1 - 7

Odpowiedź: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Przykład 7

Trzeba rozwiązać równanie kwadratowe − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Rozwiązanie

Zdefiniujmy dyskryminator: re = 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) = 784 - 784 = 0. Przy tej wartości dyskryminatora pierwotne równanie będzie miało tylko jeden pierwiastek, określony wzorem x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Odpowiedź: x = 3,5.

Przykład 8

Trzeba rozwiązać równanie 5 lat 2 + 6 lat + 2 = 0

Rozwiązanie

Współczynniki liczbowe tego równania będą wynosić: a = 5, b = 6 i c = 2. Używamy tych wartości, aby znaleźć dyskryminator: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4 . Obliczony dyskryminator jest ujemny, więc oryginalne równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków.

W przypadku, gdy zadaniem jest wskazanie pierwiastków zespolonych, stosujemy wzór na pierwiastek, wykonując działania na liczbach zespolonych:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 lub x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i lub x = - 3 5 - 1 5 · ja.

Odpowiedź: nie ma prawdziwych korzeni; pierwiastki zespolone są następujące: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

W programie szkolnym nie ma standardowego wymogu poszukiwania pierwiastków złożonych, dlatego jeśli w trakcie rozwiązywania dyskryminator okaże się ujemny, od razu zapisuje się odpowiedź, że pierwiastków rzeczywistych nie ma.

Wzór na pierwiastek dla parzystych drugich współczynników

Wzór na pierwiastek x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) pozwala otrzymać inny, bardziej zwarty wzór, pozwalający znaleźć rozwiązania równań kwadratowych o parzystym współczynniku dla x ( lub ze współczynnikiem postaci 2 · n, na przykład 2 3 lub 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokażmy, jak wyprowadzony jest ten wzór.

Stańmy przed zadaniem znalezienia rozwiązania równania kwadratowego a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Postępujemy zgodnie z algorytmem: wyznaczamy dyskryminator D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), a następnie korzystamy ze wzoru na pierwiastek:

x = - 2 n ± re 2 za, x = - 2 n ± 4 n 2 - za do 2 za, x = - 2 n ± 2 n 2 - za do 2 za, x = - n ± n 2 - a · do za .

Niech wyrażenie n 2 - a · c będzie oznaczone jako D 1 (czasami jest oznaczone jako D "). Następnie wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 · n przyjmie postać:

x = - n ± re 1 a, gdzie re 1 = n 2 - a · do.

Łatwo zauważyć, że D = 4 · D 1 lub D 1 = D 4. Innymi słowy, D 1 to jedna czwarta dyskryminatora. Oczywiście znak D 1 jest taki sam jak znak D, co oznacza, że ​​znak D 1 może również służyć jako wskaźnik obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Definicja 11

Zatem, aby znaleźć rozwiązanie równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n, konieczne jest:

• znajdź re 1 = n 2 - a · do;
• w D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• gdy D 1 = 0, określ jedyny pierwiastek równania za pomocą wzoru x = - n a;
• dla D 1 > 0 wyznacz dwa pierwiastki rzeczywiste za pomocą wzoru x = - n ± D 1 a.

Przykład 9

Konieczne jest rozwiązanie równania kwadratowego 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Rozwiązanie

Drugi współczynnik danego równania możemy przedstawić jako 2 · (− 3) . Następnie przepisujemy podane równanie kwadratowe jako 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, gdzie a = 5, n = − 3 i c = − 32.

Obliczmy czwartą część dyskryminatora: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Otrzymana wartość jest dodatnia, co oznacza, że ​​równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Wyznaczmy je za pomocą odpowiedniego wzoru na pierwiastek:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 lub x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 lub x = - 2

Można by przeprowadzić obliczenia, stosując zwykły wzór na pierwiastki równania kwadratowego, ale w tym przypadku rozwiązanie byłoby bardziej kłopotliwe.

Odpowiedź: x = 3 1 5 lub x = - 2 .

Upraszczanie postaci równań kwadratowych

Czasami można zoptymalizować postać pierwotnego równania, co uprości proces obliczania pierwiastków.

Na przykład równanie kwadratowe 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 jest wyraźnie wygodniejsze do rozwiązania niż 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Częściej upraszczanie postaci równania kwadratowego odbywa się poprzez pomnożenie lub podzielenie jego obu stron przez określoną liczbę. Na przykład powyżej pokazaliśmy uproszczoną reprezentację równania 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, otrzymaną poprzez podzielenie obu stron przez 100.

Taka transformacja jest możliwa, gdy współczynniki równania kwadratowego nie są wzajemnie liczby pierwsze. Następnie zwykle dzielimy obie strony równania przez największą wspólny dzielnik wartości bezwzględne jego współczynników.

Jako przykład używamy równania kwadratowego 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Określmy GCD wartości bezwzględnych jego współczynników: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Podzielmy obie strony pierwotnego równania kwadratowego przez 6 i otrzymamy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Mnożąc obie strony równania kwadratowego, zwykle pozbywasz się współczynników ułamkowych. W tym przypadku mnożą się przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników jego współczynników. Przykładowo, jeśli każdą część równania kwadratowego 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 pomnożymy przez LCM (6, 3, 1) = 6, to zostanie to zapisane w prostszej formie x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Na koniec zauważamy, że prawie zawsze pozbywamy się minusa przy pierwszym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki każdego wyrazu równania, co osiąga się poprzez pomnożenie (lub podzielenie) obu stron przez - 1. Na przykład z równania kwadratowego − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 można przejść do jego uproszczonej wersji 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Zależność pierwiastków i współczynników

Znany nam już wzór na pierwiastki równań kwadratowych x = - b ± D 2 · a wyraża pierwiastki równania poprzez jego współczynniki liczbowe. Na podstawie tego wzoru mamy możliwość określenia innych zależności pomiędzy pierwiastkami i współczynnikami.

Najbardziej znane i stosowane wzory to twierdzenie Viety:

x 1 + x 2 = - b a i x 2 = do a.

W szczególności dla danego równania kwadratowego sumą pierwiastków jest drugi współczynnik z przeciwny znak, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu. Na przykład, patrząc na postać równania kwadratowego 3 x 2 - 7 x + 22 = 0, można od razu ustalić, że suma jego pierwiastków wynosi 7 3, a iloczyn pierwiastków wynosi 22 3.

Można także znaleźć wiele innych powiązań między pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego można wyrazić za pomocą współczynników:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b za 2 - 2 do za = b 2 za 2 - 2 do za = b 2 - 2 za do 2.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Zagadnienia równań kwadratowych są przedmiotem zajęć szkolnych i uniwersyteckich. Mam na myśli równania postaci a*x^2 + b*x + c = 0, gdzie X- zmienna, a, b, c – stałe; A<>0. Zadanie polega na znalezieniu pierwiastków równania.

Znaczenie geometryczne równania kwadratowego

Wykres funkcji reprezentowanej przez równanie kwadratowe jest parabolą. Rozwiązaniami (pierwiastkami) równania kwadratowego są punkty przecięcia paraboli z osią odciętej (x). Z tego wynika, że ​​możliwe są trzy przypadki:
1) parabola nie ma punktów przecięcia z osią odciętych. Oznacza to, że znajduje się w górnej płaszczyźnie z gałęziami skierowanymi do góry lub na dole z gałęziami opuszczonymi. W takich przypadkach równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych (ma dwa pierwiastki zespolone).

2) parabola ma jeden punkt przecięcia z osią Wołu. Taki punkt nazywa się wierzchołkiem paraboli, a równanie kwadratowe w nim uzyskuje wartość minimalną lub maksymalną. W tym przypadku równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek rzeczywisty (lub dwa identyczne pierwiastki).

3) Ostatni przypadek jest bardziej interesujący w praktyce - istnieją dwa punkty przecięcia paraboli z osią odciętych. Oznacza to, że istnieją dwa rzeczywiste pierwiastki równania.

Na podstawie analizy współczynników potęg zmiennych można wyciągnąć ciekawe wnioski dotyczące położenia paraboli.

1) Jeżeli współczynnik a jest większy od zera, wówczas ramiona paraboli są skierowane w górę, jeżeli jest ujemny, ramiona paraboli są skierowane w dół.

2) Jeżeli współczynnik b jest większy od zera, to wierzchołek paraboli leży w lewej półpłaszczyźnie, jeżeli przyjmuje wartość ujemną, to w prawej.

Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego

Przenieśmy stałą z równania kwadratowego

dla znaku równości otrzymujemy wyrażenie

Pomnóż obie strony przez 4a

Aby uzyskać pełny kwadrat po lewej stronie, dodaj b^2 po obu stronach i wykonaj transformację

Stąd znajdziemy

Wzór na dyskryminator i pierwiastki równania kwadratowego

Wyróżnikiem jest wartość wyrażenia pierwiastkowego.Jeśli jest dodatnia, równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, obliczone ze wzoru Gdy dyskryminator wynosi zero, równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie (dwa zbiegające się pierwiastki), które można łatwo uzyskać z powyższego wzoru na D = 0. Gdy dyskryminator jest ujemny, równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych. Jednak rozwiązania równania kwadratowego znajdują się w płaszczyźnie zespolonej, a ich wartość oblicza się za pomocą wzoru

Twierdzenie Viety

Rozważmy dwa pierwiastki równania kwadratowego i na ich podstawie zbudujmy równanie kwadratowe.Samo twierdzenie Viety łatwo wynika z zapisu: jeśli mamy równanie kwadratowe postaci wówczas suma jego pierwiastków jest równa współczynnikowi p wziętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków równania jest równy członowi swobodnemu q. Formuła powyższego będzie wyglądać następująco: Jeśli w klasycznym równaniu stała a jest różna od zera, należy przez nią podzielić całe równanie, a następnie zastosować twierdzenie Viety.

Rozkład równań kwadratowych na czynniki

Niech zadanie będzie ustawione: rozłóż na czynniki równanie kwadratowe. Aby to zrobić, najpierw rozwiązujemy równanie (znajdujemy pierwiastki). Następnie podstawiamy znalezione pierwiastki do wzoru na rozwinięcie równania kwadratowego, co rozwiąże problem.

Zagadnienia równań kwadratowych

Zadanie 1. Znajdź pierwiastki równania kwadratowego

x^2-26x+120=0 .

Rozwiązanie: Zapisz współczynniki i podstaw je do wzoru dyskryminacyjnego

Pierwiastkiem tej wartości jest 14, łatwo ją znaleźć za pomocą kalkulatora lub zapamiętać przy częstym używaniu, jednak dla wygody na końcu artykułu podam listę kwadratów liczb, które często można spotkać w takie problemy.
Podstawiamy znalezioną wartość do wzoru pierwiastkowego

i otrzymujemy

Zadanie 2. Rozwiązać równanie

2x2 +x-3=0.

Rozwiązanie: Mamy pełne równanie kwadratowe, zapisujemy współczynniki i znajdujemy dyskryminator


Korzystając ze znanych wzorów, znajdujemy pierwiastki równania kwadratowego

Zadanie 3. Rozwiązać równanie

9x2 -12x+4=0.

Rozwiązanie: Mamy pełne równanie kwadratowe. Wyznaczanie dyskryminatora

Mamy przypadek, w którym korzenie się pokrywają. Znajdź wartości pierwiastków za pomocą wzoru

Zadanie 4. Rozwiązać równanie

x^2+x-6=0 .

Rozwiązanie: W przypadkach, gdy współczynniki x są małe, wskazane jest zastosowanie twierdzenia Viety. Z jego warunku otrzymujemy dwa równania

Z drugiego warunku dowiadujemy się, że iloczyn musi być równy -6. Oznacza to, że jeden z pierwiastków jest ujemny. Mamy następujące możliwa para rozwiązania(-3;2), (3;-2) . Uwzględniając pierwszy warunek, odrzucamy drugą parę rozwiązań.
Pierwiastki równania są równe

Zadanie 5. Znajdź długości boków prostokąta, jeśli jego obwód wynosi 18 cm, a pole 77 cm2.

Rozwiązanie: Połowa obwodu prostokąta jest równa sumie jego sąsiednich boków. Oznaczmy x jako większy bok, wtedy 18-x będzie jego mniejszym bokiem. Pole prostokąta jest równe iloczynowi tych długości:
x(18-x)=77;
Lub
x 2 -18x+77=0.
Znajdźmy dyskryminator równania

Obliczanie pierwiastków równania

Jeśli x=11, To 18 lat = 7, jest również odwrotnie (jeśli x=7, to 21-ki=9).

Zadanie 6. Rozłóż na czynniki równanie kwadratowe 10x 2 -11x+3=0.

Rozwiązanie: Obliczmy pierwiastki równania, w tym celu znajdziemy dyskryminator

Podstawiamy znalezioną wartość do wzoru pierwiastkowego i obliczamy

Stosujemy wzór na rozkład równania kwadratowego przez pierwiastki

Otwierając nawiasy uzyskujemy tożsamość.

Równanie kwadratowe z parametrem

Przykład 1. Przy jakich wartościach parametrów A , czy równanie (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 ma jeden pierwiastek?

Rozwiązanie: Poprzez bezpośrednie podstawienie wartości a=3 widzimy, że nie ma ona rozwiązania. Następnie skorzystamy z faktu, że przy zerowym dyskryminatorze równanie ma jeden pierwiastek z krotności 2. Zapiszmy dyskryminator

Uprośćmy to i przyrównajmy do zera

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe ze względu na parametr a, którego rozwiązanie można łatwo uzyskać korzystając z twierdzenia Viety. Suma pierwiastków wynosi 7, a ich iloczyn wynosi 12. Za pomocą prostego wyszukiwania ustalamy, że liczby 3,4 będą pierwiastkami równania. Ponieważ już na początku obliczeń odrzuciliśmy rozwiązanie a=3, jedynym poprawnym będzie - a=4. Zatem dla a=4 równanie ma jeden pierwiastek.

Przykład 2. Przy jakich wartościach parametrów A , równanie a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ma więcej niż jeden pierwiastek?

Rozwiązanie: Rozważmy najpierw punkty osobliwe, będą to wartości a=0 i a=-3. Gdy a=0 równanie zostanie uproszczone do postaci 6x-9=0; x=3/2 i będzie jeden pierwiastek. Dla a= -3 otrzymujemy tożsamość 0=0.
Obliczmy dyskryminator

i znajdź wartość a, przy której jest ona dodatnia

Z pierwszego warunku otrzymujemy a>3. W drugim przypadku znajdujemy dyskryminator i pierwiastki równania


Wyznaczmy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Podstawiając punkt a=0 otrzymujemy 3>0 . Zatem poza przedziałem (-3;1/3) funkcja jest ujemna. Nie zapomnij o tym a=0, które należy wykluczyć, ponieważ pierwotne równanie ma jeden pierwiastek.
W rezultacie otrzymujemy dwa przedziały spełniające warunki zadania

W praktyce będzie wiele podobnych zadań, spróbuj samodzielnie rozwiązać zadania i nie zapomnij wziąć pod uwagę warunków, które wzajemnie się wykluczają. Dobrze przestudiuj wzory rozwiązywania równań kwadratowych, często są one potrzebne w obliczeniach w różnych problemach i naukach.

W nowoczesne społeczeństwo umiejętność wykonywania operacji na równaniach zawierających kwadrat zmiennej może być przydatna w wielu obszarach działalności i jest szeroko stosowana w praktyce w opracowaniach naukowo-technicznych. Dowody na to można znaleźć w projektowaniu statków morskich i rzecznych, samolotów i rakiet. Za pomocą takich obliczeń określa się trajektorie ruchu szerokiej gamy ciał, w tym obiektów kosmicznych. Przykłady rozwiązań równań kwadratowych wykorzystywane są nie tylko w prognozowaniu ekonomicznym, przy projektowaniu i budowie budynków, ale także w najzwyklejszych okolicznościach życia codziennego. Mogą przydać się na pieszych wędrówkach, na imprezach sportowych, w sklepach przy zakupach i w innych bardzo częstych sytuacjach.

Rozłóżmy wyrażenie na czynniki składowe

Stopień równania określa się na podstawie maksymalnej wartości stopnia zmiennej zawartej w wyrażeniu. Jeśli jest równe 2, wówczas takie równanie nazywa się kwadratowym.

Jeśli mówimy językiem formuł, to wskazane wyrażenia, niezależnie od tego, jak wyglądają, zawsze można sprowadzić do postaci, gdy lewa strona wyrażenia składa się z trzech wyrazów. Wśród nich: ax 2 (czyli zmienna do kwadratu ze współczynnikiem), bx (niewiadoma bez kwadratu ze współczynnikiem) i c (składowa wolna, czyli zwykła liczba). Wszystko to po prawej stronie jest równe 0. W przypadku, gdy taki wielomian nie ma jednego ze składników składowych, z wyjątkiem osi 2, nazywa się go niepełnym równaniem kwadratowym. W pierwszej kolejności należy rozważyć przykłady rozwiązań takich problemów, w których wartości zmiennych są łatwe do znalezienia.

Jeśli wyrażenie wygląda tak, jakby miało dwa wyrazy po prawej stronie, a dokładniej ax 2 i bx, najłatwiejszym sposobem znalezienia x jest wyciągnięcie zmiennej z nawiasów. Teraz nasze równanie będzie wyglądać następująco: x(ax+b). Dalej staje się oczywiste, że albo x=0, albo problem sprowadza się do znalezienia zmiennej z wyrażenia: ax+b=0. Jest to podyktowane jedną z właściwości mnożenia. Reguła mówi, że iloczyn dwóch czynników daje 0 tylko wtedy, gdy jeden z nich wynosi zero.

Przykład

x=0 lub 8x - 3 = 0

W rezultacie otrzymujemy dwa pierwiastki równania: 0 i 0,375.

Równania tego rodzaju mogą opisywać ruch ciał pod wpływem grawitacji, które zaczęły się przemieszczać od pewnego punktu przyjętego za początek współrzędnych. Tutaj zapis matematyczny przyjmuje następującą postać: y = v 0 t + gt 2 /2. Podstawiając niezbędne wartości, przyrównując prawą stronę do 0 i znajdując możliwe niewiadome, możesz dowiedzieć się, ile czasu upływa od momentu wzniesienia się ciała do momentu jego upadku, a także wiele innych wielkości. Ale o tym porozmawiamy później.

Faktoring wyrażenia

Opisana powyżej reguła umożliwia rozwiązanie tych problemów w bardziej złożonych przypadkach. Spójrzmy na przykłady rozwiązywania równań kwadratowych tego typu.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ten trójmian kwadratowy jest kompletny. Najpierw przekształćmy wyrażenie i rozłóżmy je na czynniki. Są dwa z nich: (x-8) i (x-25) = 0. W rezultacie mamy dwa pierwiastki 8 i 25.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych w klasie 9 pozwalają tej metodzie znaleźć zmienną w wyrażeniach nie tylko drugiego, ale nawet trzeciego i czwartego rzędu.

Na przykład: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Rozkładając prawą stronę na czynniki ze zmienną, powstają trzy z nich, czyli (x+1), (x-3) i (x+ 3).

W rezultacie staje się oczywiste, że to równanie ma trzy pierwiastki: -3; -1; 3.

Pierwiastek kwadratowy

Innym przypadkiem niepełnego równania drugiego rzędu jest wyrażenie przedstawione w języku liter w taki sposób, że prawa strona jest zbudowana ze składowych ax 2 i c. Tutaj, aby uzyskać wartość zmiennej, wolny termin przenosi się na prawą stronę, a następnie z obu stron równości wyodrębnia się pierwiastek kwadratowy. Należy zauważyć, że w tym przypadku zwykle istnieją dwa pierwiastki równania. Jedynymi wyjątkami mogą być równości, które w ogóle nie zawierają członu z, gdzie zmienna jest równa zeru, a także warianty wyrażeń, gdy prawa strona okazuje się ujemna. W tym drugim przypadku nie ma żadnych rozwiązań, ponieważ powyższych czynności nie można wykonać za pomocą korzeni. Należy rozważyć przykłady rozwiązań równań kwadratowych tego typu.

W tym przypadku pierwiastkami równania będą liczby -4 i 4.

Obliczanie powierzchni gruntu

Potrzeba tego rodzaju obliczeń pojawiła się już w starożytności, gdyż rozwój matematyki w tamtych odległych czasach w dużej mierze determinowany był koniecznością określania z największą dokładnością powierzchni i obwodów działek.

Warto także rozważyć przykłady rozwiązywania równań kwadratowych w oparciu o tego typu problemy.

Załóżmy, że istnieje prostokątna działka, której długość jest o 16 metrów większa niż szerokość. Powinieneś znaleźć długość, szerokość i obwód działki, jeśli wiesz, że jej powierzchnia wynosi 612 m2.

Aby rozpocząć, utwórzmy najpierw niezbędne równanie. Oznaczmy przez x szerokość obszaru, wówczas jego długość będzie wynosić (x+16). Z tego co napisano wynika, że ​​pole wyznaczamy za pomocą wyrażenia x(x+16), które zgodnie z warunkami naszego zadania wynosi 612. Oznacza to, że x(x+16) = 612.

Rozwiązywania pełnych równań kwadratowych, a właśnie tym jest to wyrażenie, nie można wykonać w ten sam sposób. Dlaczego? Chociaż lewa strona nadal zawiera dwa czynniki, ich iloczyn wcale nie jest równy 0, dlatego zastosowano tutaj inne metody.

Dyskryminujący

Przede wszystkim dokonajmy zatem niezbędnych przekształceń wygląd tego wyrażenia będzie wyglądać następująco: x 2 + 16x - 612 = 0. Oznacza to, że otrzymaliśmy wyrażenie w postaci odpowiadającej wcześniej podanemu wzorcowi, gdzie a=1, b=16, c=-612.

Może to być przykład rozwiązywania równań kwadratowych przy użyciu dyskryminatora. Tutaj niezbędne obliczenia są produkowane zgodnie ze schematem: D = b 2 - 4ac. Ta wielkość pomocnicza nie tylko pozwala znaleźć wymagane wielkości w równaniu drugiego rzędu, ale określa liczbę możliwych opcji. Jeśli D > 0, są dwa z nich; dla D=0 istnieje jeden pierwiastek. W przypadku D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korzeniach i ich formule

W naszym przypadku dyskryminator wynosi: 256 - 4(-612) = 2704. Sugeruje to, że nasz problem ma rozwiązanie. Jeśli znasz k, rozwiązanie równań kwadratowych należy kontynuować według poniższego wzoru. Pozwala obliczyć pierwiastki.

Oznacza to, że w przedstawionym przypadku: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcja w tym dylemacie nie może być rozwiązaniem, ponieważ wymiarów działki nie można mierzyć w ilościach ujemnych, co oznacza, że ​​x (czyli szerokość działki) wynosi 18 m. Stąd obliczamy długość: 18 +16=34, a obwód 2(34+ 18)=104(m2).

Przykłady i zadania

Kontynuujemy naukę równań kwadratowych. Przykłady i szczegółowe rozwiązania kilku z nich zostaną podane poniżej.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Przesuńmy wszystko na lewą stronę równości, dokonajmy transformacji, czyli otrzymamy rodzaj równania, które zwykle nazywa się równaniem standardowym i przyrównajmy je do zera.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Dodając podobne, wyznaczamy dyskryminator: D = 49 - 48 = 1. Oznacza to, że nasze równanie będzie miało dwa pierwiastki. Obliczmy je według powyższego wzoru, co oznacza, że ​​pierwsza z nich będzie równa 4/3, a druga 1.

2) Teraz rozwiążmy tajemnice innego rodzaju.

Dowiedzmy się, czy są tu jakieś pierwiastki x 2 - 4x + 5 = 1? Aby uzyskać wyczerpującą odpowiedź, sprowadźmy wielomian do odpowiedniej zwykłej postaci i obliczmy dyskryminator. W powyższym przykładzie nie jest konieczne rozwiązywanie równania kwadratowego, gdyż nie to w ogóle jest istotą problemu. W tym przypadku D = 16 - 20 = -4, co oznacza, że ​​tak naprawdę nie ma pierwiastków.

Twierdzenie Viety

Równania kwadratowe wygodnie jest rozwiązywać za pomocą powyższych wzorów i dyskryminatora, gdy z wartości tego ostatniego pobiera się pierwiastek kwadratowy. Ale nie zawsze tak się dzieje. Istnieje jednak wiele sposobów uzyskania wartości zmiennych w tym przypadku. Przykład: rozwiązywanie równań kwadratowych z wykorzystaniem twierdzenia Viety. Jej imię pochodzi od osoby, która żyła w XVI wieku we Francji i zrobiła błyskotliwą karierę dzięki swoim talentom matematycznym i koneksjom na dworze. Jego portret można zobaczyć w artykule.

Schemat, który zauważył słynny Francuz, był następujący. Udowodnił, że pierwiastki równania sumują się liczbowo do -p=b/a, a ich iloczyn odpowiada q=c/a.

Przyjrzyjmy się teraz konkretnym zadaniom.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Dla uproszczenia przekształćmy wyrażenie:

x 2 + 7x - 18 = 0

Skorzystajmy z twierdzenia Viety, da nam to co następuje: suma pierwiastków wynosi -7, a ich iloczyn wynosi -18. Stąd dowiadujemy się, że pierwiastkami równania są liczby -9 i 2. Po sprawdzeniu upewnimy się, że te wartości zmiennych rzeczywiście pasują do wyrażenia.

Wykres paraboli i równanie

Pojęcia funkcji kwadratowej i równań kwadratowych są ze sobą ściśle powiązane. Przykłady tego zostały już podane wcześniej. Przyjrzyjmy się teraz niektórym zagadkom matematycznym nieco bardziej szczegółowo. Każde równanie opisanego typu można przedstawić wizualnie. Taka zależność, narysowana w postaci wykresu, nazywa się parabolą. Jego różne typy przedstawiono na poniższym rysunku.

Każda parabola ma wierzchołek, czyli punkt, z którego wychodzą jej gałęzie. Jeśli a>0, idą wysoko do nieskończoności, a gdy a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Wizualne reprezentacje funkcji pomagają rozwiązywać dowolne równania, w tym równania kwadratowe. Ta metoda nazywa się graficzną. Wartość zmiennej x to współrzędna odciętej w punktach, w których linia wykresu przecina się z 0x. Współrzędne wierzchołka można znaleźć korzystając ze wzoru x 0 = -b/2a. A podstawiając wynikową wartość do pierwotnego równania funkcji, możesz znaleźć y 0, czyli drugą współrzędną wierzchołka paraboli, która należy do osi rzędnych.

Przecięcie gałęzi paraboli z osią odciętych

Przykładów rozwiązywania równań kwadratowych jest mnóstwo, ale są też ogólne wzorce. Przyjrzyjmy się im. Widać, że przecięcie wykresu z osią 0x dla a>0 jest możliwe tylko wtedy, gdy 0 przyjmuje wartości ujemne. I dla<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inaczej D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Z wykresu paraboli można również określić pierwiastki. Jest też odwrotnie. Oznacza to, że jeśli uzyskanie wizualnej reprezentacji funkcji kwadratowej nie jest łatwe, możesz zrównać prawą stronę wyrażenia z 0 i rozwiązać powstałe równanie. A znając punkty przecięcia z osią 0x, łatwiej jest skonstruować wykres.

Z historii

Używając równań zawierających kwadratową zmienną, w dawnych czasach nie tylko wykonywano obliczenia matematyczne i wyznaczano pola figur geometrycznych. Starożytni potrzebowali takich obliczeń do wielkich odkryć w fizyce i astronomii, a także do sporządzania prognoz astrologicznych.

Jak sugerują współcześni naukowcy, mieszkańcy Babilonu byli jednymi z pierwszych, którzy rozwiązali równania kwadratowe. Stało się to cztery wieki przed naszą erą. Oczywiście ich obliczenia radykalnie różniły się od obecnie przyjętych i okazały się znacznie bardziej prymitywne. Na przykład mezopotamscy matematycy nie mieli pojęcia o istnieniu liczb ujemnych. Nie byli także zaznajomieni z innymi subtelnościami, które zna każdy współczesny uczeń.

Być może nawet wcześniej niż naukowcy z Babilonu, mędrzec z Indii Baudhayama zaczął rozwiązywać równania kwadratowe. Stało się to około ośmiu wieków przed erą Chrystusa. To prawda, że ​​\u200b\u200brównania drugiego rzędu, metody rozwiązywania, które podał, były najprostsze. Oprócz niego, w dawnych czasach podobnymi zagadnieniami interesowali się chińscy matematycy. W Europie równania kwadratowe zaczęto rozwiązywać dopiero na początku XIII wieku, ale później w swoich pracach wykorzystywali je tak wielcy uczeni, jak Newton, Kartezjusz i wielu innych.