Jak znaleźć wysokość, znając trzy boki. Znajdź największą wysokość trójkąta

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, postępowaniem sądowym i/lub na podstawie żądań publicznych lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Jak znaleźć największy lub najniższa wysokość trójkąt? Im mniejsza wysokość trójkąta, tym większa jest wysokość do niego narysowana. Oznacza to, że największą z wysokości trójkąta jest ta poprowadzona do jego krótszego boku. - ten narysowany do największego boku trójkąta.

Aby znaleźć największą wysokość trójkąta , możemy podzielić obszar trójkąta przez długość boku, do którego narysowana jest ta wysokość (to znaczy przez długość najmniejszego boku trójkąta).

W związku z tym D Aby znaleźć najmniejszą wysokość trójkąta Pole trójkąta można podzielić przez długość jego najdłuższego boku.

Zadanie 1.

Znajdź najmniejszą wysokość trójkąta, którego boki wynoszą 7 cm, 8 cm i 9 cm.

Dany:

AC=7 cm, AB=8 cm, BC=9 cm.

Znajdź: najmniejszą wysokość trójkąta.

Rozwiązanie:

Najmniejsza wysokość trójkąta to wysokość poprowadzona do jego najdłuższego boku. Oznacza to, że musimy znaleźć wysokość AF narysowaną na boku BC.

Dla wygody notacji wprowadzamy notację

BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.

Wysokość trójkąta jest równa ilorazowi dwukrotnej powierzchni trójkąta podzielonej przez bok, do którego narysowana jest ta wysokość. można znaleźć za pomocą wzoru Herona. Dlatego

Obliczamy:

Odpowiedź:

Zadanie 2.

Znajdź najdłuższy bok trójkąta o bokach 1 cm, 25 cm i 30 cm.

Dany:

AC=25 cm, AB=11 cm, BC=30 cm.

Znajdować:

największa wysokość trójkąta ABC.

Rozwiązanie:

Największa wysokość trójkąta jest narysowana na jego najkrótszym boku.

Oznacza to, że musisz znaleźć wysokość CD narysowaną na boku AB.

Dla wygody oznaczmy

Prawie nigdy nie jest możliwe określenie wszystkich parametrów trójkąta bez dodatkowych konstrukcji. Konstrukcje te są unikalnymi cechami graficznymi trójkąta, które pomagają określić wielkość boków i kątów.

Definicja

Jedną z tych cech jest wysokość trójkąta. Wysokość to prostopadła poprowadzona od wierzchołka trójkąta do jego wierzchołka Przeciwna strona. Wierzchołek to jeden z trzech punktów, które wraz z trzema bokami tworzą trójkąt.

Definicja wysokości trójkąta może brzmieć następująco: wysokość to prostopadła poprowadzona od wierzchołka trójkąta do prostej zawierającej przeciwny bok.

Definicja ta brzmi bardziej skomplikowanie, ale trafniej oddaje sytuację. Faktem jest, że w trójkącie rozwartym nie można narysować wysokości wewnątrz trójkąta. Jak widać na rysunku 1, wysokość w tym przypadku jest zewnętrzna. Ponadto konstruowanie wysokości w trójkącie prostokątnym nie jest sytuacją standardową. W tym przypadku dwie z trzech wysokości trójkąta przejdą przez nogi, a trzecia od wierzchołka do przeciwprostokątnej.

Ryż. 1. Wysokość trójkąta rozwartego.

Zazwyczaj wysokość trójkąta jest oznaczona literą h. Wysokość jest również wskazana na innych rysunkach.

Jak znaleźć wysokość trójkąta?

Istnieją trzy standardowe sposoby obliczania wysokości trójkąta:

Poprzez twierdzenie Pitagorasa

Metodę tę stosuje się do trójkątów równobocznych i równoramiennych. Przeanalizujmy rozwiązanie trójkąta równoramiennego, a następnie powiedzmy, dlaczego to samo rozwiązanie obowiązuje w przypadku trójkąta równobocznego.

Dany: trójkąt równoramienny ABC o podstawie AC. AB=5, AC=8. Znajdź wysokość trójkąta.

Ryż. 2. Rysunek problemu.

W przypadku trójkąta równoramiennego ważne jest, aby wiedzieć, który bok jest podstawą. Określa to boki, które muszą być równe, a także wysokość, na której działają określone właściwości.

Własności wysokości trójkąta równoramiennego narysowanego do podstawy:

• Wysokość pokrywa się ze środkową i dwusieczną
• Dzieli podstawę na dwie równe części.

Wysokość oznaczamy jako ВD. Uważamy, że DC jest połową podstawy, ponieważ wysokość punktu D dzieli podstawę na pół. ST=4

Wysokość jest prostopadła, co oznacza, że ​​BDC jest trójkątem prostokątnym, a wysokość BH jest nogą tego trójkąta.

Obliczmy wysokość korzystając z twierdzenia Pitagorasa: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$

Każdy trójkąt równoboczny jest równoramienny, tylko jego podstawa jest równa jego bokom. Oznacza to, że możesz zastosować tę samą procedurę.

Przez obszar trójkąta

Metodę tę można zastosować w przypadku dowolnego trójkąta. Aby z niego skorzystać, musisz znać obszar trójkąta i bok, do którego narysowana jest wysokość.

Wysokości w trójkącie nie są równe, więc dla odpowiedniego boku będzie można obliczyć odpowiednią wysokość.

Wzór na pole trójkąta to: $$S=(1\over2)*bh$$, gdzie b to bok trójkąta, a h to wysokość narysowana na tym boku. Wyraźmy wysokość ze wzoru:

$$h=2*(S\nad b)$$

Jeśli pole wynosi 15, bok wynosi 5, wówczas wysokość wynosi $$h=2*(15\over5)=6$$

Poprzez funkcję trygonometryczną

Trzecia metoda jest odpowiednia, jeśli znany jest bok i kąt przy podstawie. Aby to zrobić, musisz użyć funkcji trygonometrycznej.

Ryż. 3. Rysunek problemu.

Kąt ВСН=300 i bok BC=8. Nadal mamy ten sam trójkąt prostokątny BCH. Użyjmy sinusa. Sinus to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej, co oznacza: BH/BC=cos BCH.

Kąt jest znany, podobnie jak bok. Wyraźmy wysokość trójkąta:

$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$

Wartość cosinus jest zwykle pobierana z tabel Bradisa, ale wartości funkcje trygonometryczne dla 30,45 i 60 stopni - liczby tabelaryczne.

Czego się nauczyliśmy?

Dowiedzieliśmy się, jaka jest wysokość trójkąta, jakie są wysokości i jak się je wyznacza. Rozwiązaliśmy typowe problemy i spisaliśmy trzy wzory na wysokość trójkąta.

Testuj w temacie

Ocena artykułu

Średnia ocena: 4.6. Łączna liczba otrzymanych ocen: 152.

Obliczanie wysokości trójkąta zależy od samej figury (równoramienny, równoboczny, pochyły, prostokątny). W praktycznej geometrii z reguły nie występują złożone formuły. Wystarczająco, żeby wiedzieć ogólna zasada obliczeń tak, aby można było je zastosować uniwersalnie do wszystkich trójkątów. Dziś przedstawimy Państwu podstawowe zasady obliczania wysokości figury, wzory obliczeniowe oparte na właściwościach wysokości trójkątów.

Co to jest wysokość?

Wysokość ma kilka charakterystycznych właściwości

1. Punkt, w którym łączą się wszystkie wysokości, nazywa się ortocentrum. Jeśli trójkąt jest spiczasty, wówczas ortocentrum znajduje się wewnątrz figury, jeśli jeden z kątów jest rozwarty, wówczas ortocentrum z reguły znajduje się na zewnątrz.
2. W trójkącie, w którym jeden kąt ma miarę 90°, ortocentrum i wierzchołek pokrywają się.
3. W zależności od rodzaju trójkąta istnieje kilka wzorów na znalezienie wysokości trójkąta.

Tradycyjne informatyka

1. Jeśli p jest połową obwodu, to a, b, c są oznaczeniami boków wymaganej figury, h jest wysokością, to pierwszy i najprostszy wzór będzie wyglądał następująco: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c) .
2. W podręcznikach szkolnych często można spotkać zadania, w których znana jest wartość jednego z boków trójkąta oraz wielkość kąta pomiędzy tym bokiem a podstawą. Wtedy wzór na obliczenie wysokości będzie wyglądał następująco: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
3. Gdy zostanie podane pole trójkąta - S, a także długość podstawy - a, wówczas obliczenia będą tak proste, jak to tylko możliwe. Wysokość oblicza się ze wzoru: h = 2S/a.
4. Gdy dany jest promień okręgu opisanego wokół figury, najpierw obliczamy długości jego dwóch boków, a następnie przystępujemy do obliczenia zadanej wysokości trójkąta. W tym celu korzystamy ze wzoru: h = b ∙ c/2R, gdzie b i c to dwa boki trójkąta niebędące podstawą, a R to promień.

Wszystkie boki tej figury są równoważne, ich długości są równe, zatem kąty u podstawy również będą równe. Wynika z tego, że wysokości, które narysujemy na podstawach, również będą równe, są one jednocześnie środkowymi i dwusiecznymi. Mówienie w prostym języku, wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli podstawę na dwie części. Trójkąt o kącie prostym uzyskany po narysowaniu wysokości zostanie rozpatrzony za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Oznaczmy bok jako a i podstawę jako b, wówczas wysokość h = ½ √4 a2 − b2.

Jak znaleźć wysokość trójkąta równobocznego?

Wzór na trójkąt równoboczny (figurę, w której wszystkie boki są równej wielkości) można znaleźć na podstawie wcześniejszych obliczeń. Wystarczy zmierzyć długość jednego z boków trójkąta i oznaczyć go jako a. Następnie wysokość oblicza się ze wzoru: h = √3/2 a.

Jak znaleźć wysokość trójkąta prostokątnego?

Jak wiadomo, kąt w trójkącie prostokątnym wynosi 90°. Wysokość obniżona o jedną stronę jest jednocześnie drugą stroną. Na nich będą leżały wysokości trójkąta o kącie prostym. Aby uzyskać dane o wysokości, należy nieznacznie przekształcić istniejącą formułę pitagorejską, wyznaczając nogi - a i b, a także mierząc długość przeciwprostokątnej - c.

Znajdźmy długość nogi (bok, do którego wysokość będzie prostopadła): a = √ (c2 − b2). Długość drugiej nogi obliczamy dokładnie według tego samego wzoru: b =√ (c2 − b2). Następnie możesz zacząć obliczać wysokość trójkąta pod kątem prostym, po uprzednim obliczeniu obszaru figury - s. Wartość wysokości wynosi h = 2s/a.

Obliczenia z trójkątem skalenowym

Gdy trójkąt równoboczny ma kąty ostre, widoczna jest wysokość obniżona do podstawy. Jeśli trójkąt ma kąt rozwarty, wysokość może znajdować się poza figurą i musisz ją mentalnie kontynuować, aby uzyskać punkt połączenia wysokości i podstawy trójkąta. Najbardziej w prosty sposób zmierzyć wysokość oznacza obliczyć ją poprzez jeden z boków i wielkość kątów. Wzór jest następujący: h = b sin y + c sin ß.

Trójkąty.

Podstawowe koncepcje.

Trójkąt to figura składająca się z trzech odcinków i trzech punktów, które nie leżą na tej samej linii prostej.

Segmenty nazywane są imprezy, a punkty są szczyty.

Suma kątów trójkąt ma 180 stopni.

Wysokość trójkąta.

Wysokość trójkąta- jest to prostopadła poprowadzona z wierzchołka na przeciwną stronę.

W ostry trójkąt wysokość mieści się w trójkącie (ryc. 1).

W trójkącie prostokątnym ramiona są wysokościami trójkąta (ryc. 2).

W trójkącie rozwartym wysokość wykracza poza trójkąt (ryc. 3).

Własności wysokości trójkąta:

Dwusieczna trójkąta.

Dwusieczna trójkąta- jest to odcinek dzielący narożnik wierzchołka na pół i łączący wierzchołek z punktem po przeciwnej stronie (ryc. 5).

Właściwości dwusiecznej:

Mediana trójkąta.

Mediana trójkąta- jest to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku (ryc. 9a).

Środkowa linia trójkąta.

Środkowa linia trójkąta- jest to odcinek łączący środki jego dwóch boków (ryc. 10).

Środkowa linia trójkąta jest równoległa do trzeciego boku i równa jego połowie

Kąt zewnętrzny trójkąta.

Narożnik zewnętrzny trójkąta jest równa sumie dwóch niesąsiadujących ze sobą kątów wewnętrznych (ryc. 11).

Kąt zewnętrzny trójkąta jest większy od dowolnego kąta niesąsiadującego.

Trójkąt prostokątny.

Trójkąt prostokątny to trójkąt mający kąt prosty (ryc. 12).

Nazywa się bok trójkąta prostokątnego leżący naprzeciw kąta prostego przeciwprostokątna.

Pozostałe dwie strony są nazywane nogi.

Proporcjonalne odcinki w trójkącie prostokątnym.

1) W trójkącie prostokątnym wysokość obliczona z prosty kąt, tworzy trzy podobne trójkąty: ABC, ACH i HCB (ryc. 14a). Odpowiednio kąty utworzone przez wysokość są równe kątom A i B.

Ryc.14a

Trójkąt równoramienny.

Trójkąt równoramienny to trójkąt, którego dwa boki są równe (ryc. 13).

Te równe strony nazywane są boki, a trzeci - podstawa trójkąt.

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. (W naszym trójkącie kąt A jest równy kątowi C).

W trójkącie równoramiennym środkowa narysowana do podstawy jest zarówno dwusieczną, jak i wysokością trójkąta.

Trójkąt równoboczny.

Trójkąt równoboczny to trójkąt, w którym wszystkie boki są równe (ryc. 14).

Właściwości trójkąta równobocznego:

Niezwykłe właściwości trójkątów.

Trójkąty mają unikalne właściwości, które pomogą Ci skutecznie rozwiązywać problemy dotyczące tych kształtów. Niektóre z tych właściwości opisano powyżej. Ale powtarzamy je jeszcze raz, dodając do nich kilka innych wspaniałych funkcji:

Znaki równości trójkątów.

Pierwszy znak równości: jeżeli dwa boki i kąt między nimi jednego trójkąta są równe dwóm bokom i kątowi między nimi drugiego trójkąta, to takie trójkąty są przystające.

Drugi znak równości: jeśli bok i sąsiednie kąty jednego trójkąta są równe bokowi i sąsiednim kątom innego trójkąta, to takie trójkąty są przystające.

Trzeci znak równości: Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są równe trzem bokom innego trójkąta, to takie trójkąty są przystające.

Nierówność trójkąta.

W każdym trójkącie każdy bok jest mniejszy niż suma dwóch pozostałych boków.

Twierdzenie Pitagorasa.

W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg:

C 2 = A 2 + B 2 .

Pole trójkąta.

1) Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu jego boku i wysokości narysowanej na ten bok:

aha
S = ——
2

2) Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu dowolnych dwóch jego boków i sinusa kąta między nimi:

1
S = — AB · AC · grzech A
2

Trójkąt opisany na okręgu.

Okrąg nazywa się wpisanym w trójkąt, jeśli dotyka wszystkich jego boków (ryc. 16). A).

Trójkąt wpisany w okrąg.

Mówi się, że trójkąt jest wpisany w okrąg, jeżeli dotyka go wszystkimi wierzchołkami (ryc. 17) A).

Sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego (ryc. 18).

Zatoka kąt ostry X naprzeciwko noga do przeciwprostokątnej.
Oznacza się to następująco: grzechX.

Cosinus kąt ostry X trójkąta prostokątnego to stosunek przylegający noga do przeciwprostokątnej.
Oznaczane następująco: cos X.

Tangens kąt ostry X- jest to stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej.
Jest on oznaczony następująco: tgX.

Cotangens kąt ostry X- jest to stosunek sąsiedniej strony do strony przeciwnej.
Jest on oznaczony następująco: ctgX.

Zasady:

Noga naprzeciwko rogu X, jest równe iloczynowi przeciwprostokątnej i grzechu X:

b = do grzech X

Noga przylegająca do rogu X, jest równy iloczynowi przeciwprostokątnej i cos X:

a = do sałata X

Noga naprzeciwko rogu X, jest równe iloczynowi drugiej nogi przez tg X:

b = a tg X

Noga przylegająca do rogu X, jest równe iloczynowi drugiej nogi przez ctg X:

a = b· ctg X.

Dla dowolnego kąta ostrego X:

grzech (90° - X) = sałata X

cos (90° - X) = grzech X