Na przykład sekwencja \(2\); \(5\); \(8\); \(jedenaście\); \(14\)... jest postępem arytmetycznym, gdyż każdy kolejny element różni się od poprzedniego o trzy (można uzyskać z poprzedniego dodając trzy):

W tym postępie różnica \(d\) jest dodatnia (równa \(3\)), a zatem każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego. Takie postępy nazywane są wzrastający.

Jednak \(d\) może być również liczbą ujemną. Na przykład, w postępie arytmetycznym \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... różnica progresji \(d\) jest równa minus sześć.

I w tym przypadku każdy kolejny element będzie mniejszy od poprzedniego. Te progresje nazywane są malejące.

Notacja postępu arytmetycznego

Postęp jest oznaczony małą literą łacińską.

Liczby tworzące progresję nazywane są członkowie(lub elementy).

Oznacza się je tą samą literą co ciąg arytmetyczny, ale z indeksem liczbowym równym numerowi elementu w kolejności.

Na przykład ciąg arytmetyczny \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) składa się z elementów \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tak dalej.

Innymi słowy, dla progresji \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Rozwiązywanie problemów z postępem arytmetycznym

W zasadzie informacje przedstawione powyżej wystarczą już do rozwiązania prawie każdego problemu postępu arytmetycznego (w tym oferowanych w OGE).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny dane przez warunki \(b_1=7; d=4\). Znajdź \(b_5\).
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(b_5=23\)

Przykład (OGE). Podano trzy pierwsze wyrazy postępu arytmetycznego: \(62; 49; 36…\) Znajdź wartość pierwszego ujemnego wyrazu tego ciągu.
Rozwiązanie:

	Mamy dane pierwsze elementy ciągu i wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny. Oznacza to, że każdy element różni się od swojego sąsiada tą samą liczbą. Dowiedzmy się który, odejmując poprzedni od następnego elementu: \(d=49-62=-13\).
	Teraz możemy przywrócić naszą progresję do (pierwszego negatywnego) elementu, którego potrzebujemy.
	Gotowy. Możesz napisać odpowiedź.

Odpowiedź: \(-3\)

Przykład (OGE). Mając kilka kolejnych elementów ciągu arytmetycznego: \(…5; x; 10; 12,5...\) Znajdź wartość elementu oznaczonego literą \(x\).
Rozwiązanie:

	Aby znaleźć \(x\), musimy wiedzieć, jak bardzo następny element różni się od poprzedniego, innymi słowy, różnica w progresji. Znajdźmy go na podstawie dwóch znanych sąsiednich elementów: \(d=12,5-10=2,5\).
	I teraz możemy łatwo znaleźć to, czego szukamy: \(x=5+2,5=7,5\).
	Gotowy. Możesz napisać odpowiedź.

Odpowiedź: \(7,5\).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny definiują następujące warunki: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Znajdź sumę pierwszych sześciu wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie:

	Musimy znaleźć sumę pierwszych sześciu wyrazów progresji. Nie znamy jednak ich znaczenia, podany jest nam jedynie pierwszy element. Dlatego najpierw obliczamy wartości jedna po drugiej, korzystając z tego, co nam podano: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Po obliczeniu sześciu potrzebnych nam elementów znajdujemy ich sumę.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Znaleziono wymaganą kwotę.

Odpowiedź: \(S_6=9\).

Przykład (OGE). W postępie arytmetycznym \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Znajdź różnicę tego postępu.
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(d=7\).

Ważne wzory na postęp arytmetyczny

Jak widać, wiele problemów z postępem arytmetycznym można rozwiązać po prostu rozumiejąc najważniejszą rzecz - że ciąg arytmetyczny jest ciągiem liczb, a każdy kolejny element w tym łańcuchu uzyskuje się przez dodanie tej samej liczby do poprzedniej (tzw. różnica w postępie).

Czasami jednak zdarzają się sytuacje, w których podjęcie decyzji „od razu” jest bardzo niewygodne. Wyobraźmy sobie na przykład, że w pierwszym przykładzie musimy znaleźć nie piąty element \(b_5\), ale trzysta osiemdziesiąty szósty \(b_(386)\). Czy powinniśmy dodać cztery \(385\) razy? Lub wyobraź sobie, że w przedostatnim przykładzie musisz znaleźć sumę pierwszych siedemdziesięciu trzech elementów. Będziesz zmęczony liczeniem...

Dlatego w takich przypadkach nie rozwiązuje się sprawy „od razu”, ale stosuje się specjalne wzory wyprowadzone na postęp arytmetyczny. A najważniejsze to wzór na n-ty wyraz progresji i wzór na sumę \(n\) pierwszych wyrazów.

Wzór \(n\)tego wyrazu: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdzie \(a_1\) jest pierwszym wyrazem ciągu;
\(n\) – numer wymaganego elementu;
\(a_n\) – wyraz ciągu o numerze \(n\).

Formuła ta pozwala nam szybko znaleźć nawet trzysetny lub milionowy element, znając tylko pierwszy i różnicę progresji.

Przykład. Postęp arytmetyczny określony jest przez warunki: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Znajdź \(b_(246)\).
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(b_(246)=1850\).

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdzie

\(a_n\) – ostatni zsumowany wyraz;

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny jest określony przez warunki \(a_n=3,4n-0,6\). Znajdź sumę pierwszych \(25\) wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Aby obliczyć sumę pierwszych dwudziestu pięciu wyrazów, musimy znać wartość pierwszego i dwudziestego piątego wyrazu. Naszą progresję wyznacza wzór n-tego wyrazu w zależności od jego liczby (więcej szczegółów w artykule). Obliczmy pierwszy element, zastępując jedynką \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Teraz znajdźmy dwudziesty piąty wyraz, zastępując dwadzieścia pięć zamiast \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Cóż, teraz możemy łatwo obliczyć wymaganą kwotę.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odpowiedź jest gotowa.

Odpowiedź: \(S_(25)=1090\).

Na sumę \(n\) pierwszych wyrazów możesz uzyskać inny wzór: wystarczy \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) zamiast \(a_n\) zamień na to wzór \(a_n=a_1+(n-1)d\). Otrzymujemy:

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdzie

\(S_n\) – wymagana suma \(n\) pierwszych elementów;
\(a_1\) – pierwszy wyraz zsumowany;
\(d\) – różnica progresji;
\(n\) – całkowita liczba elementów.

Przykład. Znajdź sumę pierwszych \(33\)-ex wyrazów ciągu arytmetycznego: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(S_(33)=-231\).

Bardziej złożone problemy postępu arytmetycznego

Teraz masz wszystkie informacje potrzebne do rozwiązania niemal każdego problemu postępu arytmetycznego. Zakończmy temat rozważeniem problemów, w których trzeba nie tylko zastosować formuły, ale i trochę pomyśleć (w matematyce może się to przydać ☺)

Przykład (OGE). Znajdź sumę wszystkich ujemnych wyrazów progresji: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Rozwiązanie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Zadanie jest bardzo podobne do poprzedniego. Zaczynamy rozwiązywać to samo: najpierw znajdujemy \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Teraz chciałbym podstawić \(d\) do wzoru na sumę... i tu pojawia się mały niuans - nie wiemy \(n\). Innymi słowy, nie wiemy, ile terminów trzeba będzie dodać. Jak się dowiedzieć? Pomyślmy. Przestaniemy dodawać elementy, gdy osiągniemy pierwszy pozytywny element. Oznacza to, że musisz znaleźć numer tego elementu. Jak? Zapiszmy dla naszego przypadku wzór na obliczenie dowolnego elementu ciągu arytmetycznego: \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Potrzebujemy \(a_n\), aby stać się większym od zera. Dowiedzmy się, kiedy \(n\) to się stanie.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obie strony nierówności dzielimy przez \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Przenosimy minus jeden, nie zapominając o zmianie znaków
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Obliczmy...
\(n>65 333…\)		...i okazuje się, że pierwszy dodatni element będzie miał liczbę \(66\). Odpowiednio, ostatnia liczba ujemna ma \(n=65\). Na wszelki wypadek sprawdźmy to.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Musimy więc dodać pierwsze \(65\) elementy.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odpowiedź jest gotowa.

Odpowiedź: \(S_(65)=-630,5\).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny określony jest przez warunki: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Znajdź sumę od \(26\) do \(42\) elementu włącznie.
Rozwiązanie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	W tym zadaniu również trzeba znaleźć sumę elementów, ale zaczynając nie od pierwszego, ale od \(26\)-tego. Na taki przypadek nie mamy wzoru. Jak zdecydować? To proste - aby otrzymać sumę od \(26\)-tej do \(42\)-tej, musisz najpierw znaleźć sumę od \(1\)-tej do \(42\)-tej, a następnie odjąć z niego suma od pierwszej do (25) (patrz rysunek).
	Dla naszej progresji \(a_1=-33\) i różnicy \(d=4\) (w końcu dodajemy czwórkę do poprzedniego elementu, żeby znaleźć następny). Wiedząc o tym, znajdujemy sumę pierwszych \(42\)-y elementów.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Teraz suma pierwszych \(25\) elementów.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Na koniec obliczamy odpowiedź.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Odpowiedź: \(S=1683\).

W przypadku postępu arytmetycznego istnieje jeszcze kilka formuł, których nie rozważaliśmy w tym artykule ze względu na ich niską przydatność praktyczną. Można je jednak łatwo znaleźć.

Pierwszy poziom

Postęp arytmetyczny. Szczegółowa teoria z przykładami (2019)

Sekwencja numerów

Usiądźmy więc i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:
Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz (w naszym przypadku są). Nieważne, ile liczb zapiszemy, zawsze możemy powiedzieć, która jest pierwsza, która druga i tak dalej, aż do ostatniej, czyli możemy je policzyć. Oto przykład ciągu liczbowego:

Sekwencja numerów
Na przykład dla naszej sekwencji:

Przypisany numer jest specyficzny tylko dla jednego numeru w sekwencji. Innymi słowy, w sekwencji nie ma trzech sekund. Druga liczba (podobnie jak ta) jest zawsze taka sama.
Liczbę zawierającą liczbę nazywamy th wyrazem ciągu.

Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .

W naszym przypadku:

Załóżmy, że mamy ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.
Na przykład:

itp.
Ten ciąg liczb nazywany jest postępem arytmetycznym.
Termin „postęp” został wprowadzony przez rzymskiego autora Boecjusza już w VI wieku i był rozumiany szerzej jako nieskończony ciąg liczbowy. Nazwa „arytmetyka” została przeniesiona z teorii proporcji ciągłych, którą studiowali starożytni Grecy.

Jest to ciąg liczb, którego każdy element jest równy poprzedniemu dodanemu do tej samej liczby. Liczba ta nazywana jest różnicą postępu arytmetycznego i jest oznaczona.

Spróbuj określić, które ciągi liczbowe są ciągiem arytmetycznym, a które nie:

A)
B)
C)
D)

Rozumiem? Porównajmy nasze odpowiedzi:
Jest postęp arytmetyczny - b, c.
Nie jest postęp arytmetyczny - a, d.

Wróćmy do zadanego ciągu () i spróbujmy znaleźć wartość jego dziesiątego wyrazu. Istnieje dwa sposób, aby to znaleźć.

1. Metoda

Numer progresji możemy dodawać do poprzedniej wartości, aż dotrzemy do V wyrazu progresji. Dobrze, że nie mamy zbyt wiele do podsumowania – tylko trzy wartości:

Zatem termin opisywanego postępu arytmetycznego jest równy.

2. Metoda

Co by było, gdybyśmy musieli znaleźć wartość th wyrazu progresji? Sumowanie zajęłoby nam ponad godzinę i nie jest faktem, że przy dodawaniu liczb nie popełnialibyśmy błędów.
Oczywiście matematycy wymyślili sposób, dzięki któremu nie jest konieczne dodawanie różnicy postępu arytmetycznego do poprzedniej wartości. Przyjrzyj się bliżej narysowanemu obrazkowi... Z pewnością zauważyłeś już pewien wzór, a mianowicie:

Zobaczmy na przykład, z czego składa się wartość V wyrazu tego ciągu arytmetycznego:


Innymi słowy:

Spróbuj w ten sposób samodzielnie znaleźć wartość członka danego ciągu arytmetycznego.

Czy obliczyłeś? Porównaj swoje notatki z odpowiedzią:

Zauważ, że otrzymałeś dokładnie tę samą liczbę, co w poprzedniej metodzie, gdy do poprzedniej wartości dodaliśmy po kolei wyrazy ciągu arytmetycznego.
Spróbujmy „odpersonalizować” tę formułę - sformułujmy ją ogólnie i otrzymamy:

Równanie postępu arytmetycznego.

Postęp arytmetyczny może być rosnący lub malejący.

Wzrastający- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest większa od poprzedniej.
Na przykład:

Malejąco- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest mniejsza od poprzedniej.
Na przykład:

Wyprowadzony wzór jest używany do obliczania wyrazów zarówno rosnących, jak i malejących ciągu arytmetycznego.
Sprawdźmy to w praktyce.
Dany jest postęp arytmetyczny składający się z następujących liczb: Sprawdźmy, jaka będzie liczba th tego ciągu arytmetycznego, jeśli do jej obliczenia skorzystamy z naszego wzoru:

Od tego czasu:

Jesteśmy zatem przekonani, że wzór działa zarówno w malejącym, jak i rosnącym postępie arytmetycznym.
Spróbuj samodzielnie znaleźć th i th wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Porównajmy wyniki:

Właściwość postępu arytmetycznego

Skomplikujmy problem - wyprowadzimy własność postępu arytmetycznego.
Powiedzmy, że mamy następujący warunek:
- postęp arytmetyczny, znajdź wartość.
Spokojnie, mówisz i zaczynasz liczyć według znanego już wzoru:

Niech więc:

Całkowita racja. Okazuje się, że najpierw znajdujemy, potem dodajemy do pierwszej liczby i otrzymujemy to, czego szukamy. Jeśli postęp jest reprezentowany przez małe wartości, to nie ma w tym nic skomplikowanego, ale co jeśli w warunku podane zostaną liczby? Zgadzam się, istnieje możliwość popełnienia błędu w obliczeniach.
Zastanów się teraz, czy można rozwiązać to zadanie w jednym kroku, stosując dowolną formułę? Oczywiście, że tak i właśnie to postaramy się teraz przedstawić.

Oznaczmy wymagany wyraz ciągu arytmetycznego, gdyż wzór na jego znalezienie jest nam znany - jest to ten sam wzór, który wyprowadziliśmy na początku:
, Następnie:

• poprzedni termin progresji to:
• kolejny wyraz progresji to:

Podsumujmy poprzednie i kolejne terminy progresji:

Okazuje się, że sumą poprzednich i kolejnych wyrazów progresji jest podwójna wartość członu progresji znajdującego się pomiędzy nimi. Innymi słowy, aby znaleźć wartość składnika progresji ze znanymi wartościami poprzednimi i kolejnymi, należy je dodać i podzielić przez.

Zgadza się, mamy ten sam numer. Zabezpieczmy materiał. Oblicz wartość progresji samodzielnie, nie jest to wcale trudne.

Dobrze zrobiony! O progresji wiesz prawie wszystko! Pozostaje znaleźć tylko jedną formułę, którą według legendy z łatwością wydedukował jeden z największych matematyków wszechczasów, „król matematyków” - Karl Gauss...

Kiedy Carl Gauss miał 9 lat, nauczyciel, zajęty sprawdzaniem prac uczniów w innych klasach, postawił na zajęciach następujące zadanie: „Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych od do (według innych źródeł do) włącznie”. Wyobraźcie sobie zdziwienie nauczyciela, gdy jeden z jego uczniów (był to Karl Gauss) minutę później podał poprawną odpowiedź na zadanie, podczas gdy większość kolegów śmiałka po długich obliczeniach otrzymała błędny wynik…

Młody Carl Gauss zauważył pewną prawidłowość, którą i Ty możesz łatwo zauważyć.
Załóżmy, że mamy postęp arytmetyczny składający się z -tych wyrazów: Musimy znaleźć sumę tych wyrazów postępu arytmetycznego. Oczywiście możemy ręcznie zsumować wszystkie wartości, ale co jeśli zadanie wymaga znalezienia sumy jej wyrazów, tak jak szukał Gauss?

Przedstawmy dany nam postęp. Przyjrzyj się bliżej wyróżnionym liczbom i spróbuj wykonać na nich różne operacje matematyczne.


Próbowałeś tego? Co zauważyłeś? Prawidłowy! Ich sumy są równe

A teraz powiedz mi, ile takich par jest w sumie w podanej nam progresji? Oczywiście dokładnie połowa wszystkich liczb.
Z faktu, że suma dwóch wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa i pary podobne są równe, otrzymujemy, że suma całkowita jest równa:
.
Zatem wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:

W niektórych problemach nie znamy terminu „th”, ale znamy różnicę w postępie. Spróbuj zastąpić wzór tego wyrazu wzorem na sumę.
Co dostałeś?

Dobrze zrobiony! Wróćmy teraz do problemu, który został zadany Carlowi Gaussowi: obliczcie sami, jaka jest suma liczb zaczynających się od th, a suma liczb zaczynających się od th.

Ile dostałeś?
Gauss stwierdził, że suma wyrazów jest równa i suma wyrazów. Czy tak zdecydowałeś?

W rzeczywistości wzór na sumę wyrazów postępu arytmetycznego został udowodniony przez starożytnego greckiego naukowca Diofantusa już w III wieku i przez cały ten czas dowcipni ludzie w pełni korzystali z właściwości postępu arytmetycznego.
Wyobraź sobie na przykład Starożytny Egipt i największy projekt budowlany tamtych czasów - budowa piramidy... Na zdjęciu jedna jej strona.

Gdzie tu jest postęp, mówisz? Przyjrzyj się uważnie i znajdź wzór w liczbie bloków piasku w każdym rzędzie ściany piramidy.


Dlaczego nie postęp arytmetyczny? Oblicz, ile bloków potrzeba do zbudowania jednej ściany, jeśli u podstawy ułożone zostaną cegły blokowe. Mam nadzieję, że nie będziesz liczyć, przesuwając palcem po monitorze, pamiętasz ostatnią formułę i wszystko, co mówiliśmy o postępie arytmetycznym?

W tym przypadku progresja wygląda następująco: .
Różnica postępu arytmetycznego.
Liczba wyrazów postępu arytmetycznego.
Podstawmy nasze dane do ostatnich wzorów (obliczmy liczbę bloków na 2 sposoby).

Metoda 1.

Metoda 2.

A teraz możesz obliczyć na monitorze: porównaj uzyskane wartości z liczbą bloków znajdujących się w naszej piramidzie. Rozumiem? Dobra robota, opanowałeś sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Oczywiście nie można zbudować piramidy z klocków u podstawy, ale z? Spróbuj obliczyć, ile cegieł piaskowych potrzeba do zbudowania ściany w tym stanie.
Czy udało Ci się?
Prawidłowa odpowiedź to bloki:

Szkolenie

Zadania:

1. Masza robi formę na lato. Z każdym dniem zwiększa liczbę przysiadów o. Ile razy Masza będzie robić przysiady w ciągu tygodnia, jeśli robiła przysiady na pierwszej sesji treningowej?
2. Jaka jest suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w.
3. Podczas przechowywania kłód logerzy układają je w stosy w taki sposób, aby każda Górna warstwa zawiera o jeden dziennik mniej niż poprzedni. Ile kłód znajduje się w jednym murze, jeśli fundamentem muru są kłody?

Odpowiedzi:

1. Zdefiniujmy parametry postępu arytmetycznego. W tym przypadku
   (tygodnie = dni).

   Odpowiedź: Za dwa tygodnie Masza powinna robić przysiady raz dziennie.

2. Pierwsza liczba nieparzysta, ostatnia liczba.
   Różnica postępu arytmetycznego.
   Liczba liczb nieparzystych jest równa połowie, sprawdźmy jednak ten fakt korzystając ze wzoru na znalezienie VII wyrazu ciągu arytmetycznego:

   Liczby zawierają liczby nieparzyste.
   Podstawmy dostępne dane do wzoru:

   Odpowiedź: Suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w jest równa.

3. Przypomnijmy sobie problem z piramidami. W naszym przypadku a , ponieważ każda górna warstwa jest zmniejszona o jeden log, to w sumie mamy kilka warstw.
   Podstawiamy dane do wzoru:

   Odpowiedź: W murze znajdują się kłody.

Podsumujmy to

1. - ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa. Może rosnąć lub maleć.
2. Znalezienie formuły Piąty wyraz ciągu arytmetycznego zapisuje się wzorem - , gdzie jest liczba liczb w ciągu.
3. Własność członków ciągu arytmetycznego- - gdzie jest liczbą numerów w toku.
4. Suma wyrazów postępu arytmetycznego można znaleźć na dwa sposoby:
   
   , gdzie jest liczbą wartości.

PROGRESJA ARYTMETYCZNA. ŚREDNI POZIOM

Sekwencja numerów

Usiądźmy i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:

Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz. Ale zawsze możemy powiedzieć, który jest pierwszy, który drugi i tak dalej, to znaczy możemy je policzyć. To jest przykład ciągu liczbowego.

Sekwencja numerów to zbiór liczb, z których każdej można przypisać unikalny numer.

Innymi słowy, każdą liczbę można powiązać z pewną liczbą naturalną i to niepowtarzalną. I nie przypiszemy tego numeru żadnemu innemu numerowi z tego zestawu.

Liczbę z liczbą nazywamy th członkiem ciągu.

Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .

Jest to bardzo wygodne, jeśli th-ty wyraz ciągu można określić za pomocą jakiegoś wzoru. Na przykład formuła

ustawia kolejność:

A formuła jest następującą sekwencją:

Na przykład postęp arytmetyczny jest ciągiem (pierwszy wyraz jest tutaj równy, a różnica jest). Lub (, różnica).

formuła n-tego terminu

Nazywamy formułą rekurencyjną, w której aby znaleźć th wyraz, trzeba znać poprzednie lub kilka poprzednich:

Aby znaleźć na przykład dziewiąty wyraz progresji za pomocą tego wzoru, będziemy musieli obliczyć poprzednie dziewięć. Na przykład pozwól. Następnie:

Czy teraz jest jasne, jaka jest formuła?

W każdym wierszu dodajemy, pomnożyliśmy przez jakąś liczbę. Który? Bardzo proste: jest to numer bieżącego członka minus:

Teraz jest o wiele wygodniej, prawda? Sprawdzamy:

Zdecyduj sam:

W postępie arytmetycznym znajdź wzór na n-ty wyraz i znajdź setny wyraz.

Rozwiązanie:

Pierwszy wyraz jest równy. Jaka jest różnica? Oto co:

(Dlatego nazywa się to różnicą, bo jest równe różnicy kolejnych wyrazów postępu).

Zatem formuła:

Wtedy setny wyraz jest równy:

Jaka jest suma wszystkich liczb naturalnych od do?

Według legendy wielki matematyk Carl Gauss już jako 9-letni chłopiec obliczył tę kwotę w kilka minut. Zauważył, że suma pierwszej i ostatniej liczby jest równa, suma drugiej i przedostatniej jest taka sama, suma trzeciej i trzeciej od końca jest taka sama i tak dalej. Ile jest w sumie takich par? Zgadza się, to znaczy dokładnie połowa liczby wszystkich liczb. Więc,

Ogólny wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:

Przykład:
Znajdź sumę wszystkich dwucyfrowych wielokrotności.

Rozwiązanie:

Pierwsza taka liczba to ta. Każdą kolejną liczbę uzyskujemy poprzez dodanie do poprzedniej liczby. Zatem interesujące nas liczby tworzą ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem i różnicą.

Formuła wyrazu VII dla tej progresji:

Ile wyrazów jest w progresji, jeśli wszystkie muszą być dwucyfrowe?

Bardzo łatwe: .

Ostatni termin progresji będzie równy. Następnie suma:

Odpowiedź: .

Teraz zdecyduj sam:

1. Każdego dnia sportowiec przebiega więcej metrów niż poprzedniego dnia. Ile kilometrów przebiegnie w ciągu tygodnia, jeśli pierwszego dnia przebiegł km?
2. Rowerzysta pokonuje każdego dnia więcej kilometrów niż poprzedniego dnia. Pierwszego dnia przejechał km. Ile dni musi podróżować, aby pokonać kilometr? Ile kilometrów przejedzie ostatniego dnia swojej podróży?
3. Cena lodówki w sklepie spada co roku o tę samą kwotę. Oblicz, o ile cena lodówki spadała każdego roku, jeśli wystawiona na sprzedaż za ruble, sześć lat później została sprzedana za ruble.

Odpowiedzi:

1. Najważniejsze jest tu rozpoznanie postępu arytmetycznego i określenie jego parametrów. W tym przypadku (tygodnie = dni). Musisz określić sumę pierwszych wyrazów tej progresji:
   .
   Odpowiedź:
2. Tutaj jest podane: , należy znaleźć.
   Oczywiście musisz użyć tego samego wzoru na sumę, co w poprzednim zadaniu:
   .
   Zastąp wartości:

   Katalog główny najwyraźniej nie pasuje, więc odpowiedź brzmi.
   Obliczmy drogę przebytą w ciągu ostatniego dnia, korzystając ze wzoru na wyraz:
   (km).
   Odpowiedź:

3. Dany: . Znajdować: .
   To nie może być prostsze:
   (pocierać).
   Odpowiedź:

PROGRESJA ARYTMETYCZNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Jest to ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.

Postęp arytmetyczny może być rosnący () i malejący ().

Na przykład:

Wzór na znalezienie n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego

jest zapisywany wzorem, gdzie jest liczbą numerów w toku.

Własność członków ciągu arytmetycznego

Pozwala łatwo znaleźć wyraz ciągu, jeśli znane są wyrazy sąsiadujące z nim - gdzie jest liczba liczb w ciągu.

Suma wyrazów postępu arytmetycznego

Istnieją dwa sposoby znalezienia kwoty:

Gdzie jest liczba wartości.

Gdzie jest liczba wartości.

Temat „postęp arytmetyczny” jest realizowany w ramach kursu algebry ogólnej w szkołach w IX klasie. Temat ten jest ważny dla dalszych dogłębnych badań matematyki szeregów liczbowych. W tym artykule zapoznamy się z postępem arytmetycznym, jego różnicą, a także typowymi problemami, z jakimi mogą spotkać się uczniowie.

Pojęcie postępu algebraicznego

Postęp liczbowy to ciąg liczb, w którym każdy kolejny element można uzyskać z poprzedniego, jeśli zastosujemy jakieś prawa matematyczne. Istnieją dwa proste typy postępu: geometryczny i arytmetyczny, zwany także algebraicznym. Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo.

Wyobraźmy sobie kilka Liczba wymierna, oznaczmy go symbolem 1, gdzie indeks wskazuje jego numer seryjny w rozpatrywanym wierszu. Dodajmy inną liczbę do 1 i nazwijmy ją d. Następnie drugi element szeregu można przedstawić w następujący sposób: a 2 = a 1 + d. Teraz dodaj ponownie d, otrzymamy: a 3 = a 2 +d. Kontynuując tę ​​operację matematyczną, możesz uzyskać całą serię liczb, którą nazwiemy postępem arytmetycznym.

Jak można zrozumieć z powyższego, aby znaleźć n-ty element tego ciągu, należy skorzystać ze wzoru: a n = a 1 + (n-1)*d. Rzeczywiście, podstawiając wyrażenie n=1, otrzymamy a 1 = a 1, jeśli n = 2, to wzór jest następujący: a 2 = a 1 + 1*d i tak dalej.

Na przykład, jeśli różnica ciągu arytmetycznego wynosi 5, a 1 = 1, to oznacza to, że szereg liczbowy danego typu ma postać: 1, 6, 11, 16, 21, ... Jak już widać, że każdy z jej członków jest o 5 większy od poprzedniego.

Wzory na różnice w postępie arytmetycznym

Z powyższej definicji rozważanego ciągu liczb wynika, że ​​aby go zdefiniować, trzeba znać dwie liczby: a 1 i d. To drugie nazywa się różnicą tego postępu. W unikalny sposób determinuje zachowanie całej serii. Rzeczywiście, jeśli d jest dodatnie, to szereg liczbowy będzie stale rósł; przeciwnie, jeśli d jest ujemne, liczby w szeregu będą rosły tylko w wartości bezwzględnej, podczas gdy ich wartość bezwzględna będzie malała wraz ze wzrostem liczby n.

Jaka jest różnica w postępie arytmetycznym? Rozważmy dwa podstawowe wzory używane do obliczenia tej wartości:

1. d = a n+1 -a n, wzór ten wynika bezpośrednio z definicji rozpatrywanego szeregu liczb.
2. d = (-a 1 +a n)/(n-1), wyrażenie to otrzymamy, jeśli wyrazimy d ze wzoru podanego w poprzednim akapicie artykułu. Należy zauważyć, że to wyrażenie staje się niezdefiniowane (0/0), jeśli n=1. Wynika to z faktu, że aby określić jego różnicę, konieczna jest znajomość co najmniej 2 elementów szeregu.

Te dwa podstawowe wzory służą do rozwiązywania wszelkich problemów związanych ze znalezieniem różnicy progresji. Istnieje jednak jeszcze jedna formuła, o której również musisz wiedzieć.

Suma pierwszych elementów

Wzór, za pomocą którego można wyznaczyć sumę dowolnej liczby wyrazów ciągu algebraicznego, zgodnie z dowodami historycznymi, został po raz pierwszy uzyskany przez „księcia” matematyki w XVIII wieku, Carla Gaussa. Niemiecki naukowiec, będąc jeszcze chłopcem w klasie podstawowej wiejskiej szkoły, zauważył, że aby dodać liczby naturalne w szeregu od 1 do 100, należy najpierw zsumować pierwszy i ostatni element (wynikowa wartość będzie być równa sumie przedostatniego i drugiego, przedostatniego i trzeciego elementu itd.), a następnie liczbę tę należy pomnożyć przez liczbę tych kwot, czyli przez 50.

Wzór, który odzwierciedla podany wynik w konkretnym przykładzie, można uogólnić na dowolny przypadek. Będzie to wyglądać następująco: S n = n/2*(a n + a 1). Należy zauważyć, że aby znaleźć wskazaną wartość, nie jest wymagana znajomość różnicy d, jeśli znane są dwa wyrazy ciągu (an i a 1).

Przykład nr 1. Określ różnicę, znając dwa wyrazy szeregu a1 i an

Pokażemy Ci, jak zastosować formuły wspomniane powyżej w artykule. Podajmy prosty przykład: różnica ciągu arytmetycznego jest nieznana, należy określić, ile będzie wynosić, jeśli a 13 = -5,6 i a 1 = -12,1.

Ponieważ znamy wartości dwóch elementów ciągu liczbowego, a jeden z nich jest liczbą pierwszą, możemy skorzystać ze wzoru nr 2, aby wyznaczyć różnicę d. Mamy: d =(-1*(-12,1)+(-5,6))/12 = 0,54167. W wyrażeniu użyliśmy wartości n=13, ponieważ termin o tej konkretnej liczbie porządkowej jest znany.

Powstała różnica wskazuje, że progresja rośnie, mimo że elementy podane w warunkach zadania mają wartość ujemną. Można zauważyć, że a 13 > a 1, chociaż |a 13 |<|a 1 |.

Przykład nr 2. Pozytywne warunki progresji w przykładzie nr 1

Wykorzystajmy wynik uzyskany w poprzednim przykładzie do rozwiązania nowego problemu. Formułuje się to następująco: od jakiego numeru seryjnego elementy progresji z przykładu nr 1 zaczną przyjmować wartości dodatnie?

Jak pokazano, postęp, w którym a 1 = -12,1 i d = 0,54167 jest rosnący, zatem od pewnej liczby liczby zaczną przyjmować tylko wartości dodatnie. Aby wyznaczyć tę liczbę n, należy rozwiązać prostą nierówność, którą zapisujemy matematycznie w następujący sposób: a n >0 lub korzystając z odpowiedniego wzoru przepisujemy nierówność: a 1 + (n-1)*d>0. Trzeba znaleźć nieznane n, wyraźmy to: n>-1*a 1 /d + 1. Teraz pozostaje zastąpić znane wartości różnicy i pierwszy wyraz ciągu. Otrzymujemy: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 lub n>23,338. Ponieważ n może przyjmować tylko wartości całkowite, z powstałej nierówności wynika, że ​​dowolne wyrazy w szeregu, które mają liczbę większą niż 23, będą dodatnie.

Sprawdźmy otrzymaną odpowiedź, korzystając z powyższego wzoru, aby obliczyć 23. i 24. element tego ciągu arytmetycznego. Mamy: a 23 = -12,1 + 22*0,54167 = -0,18326 (liczba ujemna); a 24 = -12,1 + 23*0,54167 =0,3584 (wartość dodatnia). Otrzymany wynik jest zatem poprawny: począwszy od n=24 wszystkie elementy szeregu liczbowego będą większe od zera.

Przykład nr 3. Ile kłód zmieści się?

Przedstawmy jeden ciekawy problem: podczas wycinki postanowiono ułożyć przetarte kłody jedna na drugiej, jak pokazano na poniższym rysunku. Ile kłód można ułożyć w ten sposób, wiedząc, że w sumie zmieści się 10 rzędów?

W tej metodzie składania kłód można zauważyć jedną ciekawą rzecz: każdy kolejny rząd będzie zawierał o jedną kłodę mniej niż poprzedni, czyli zachodzi postęp algebraiczny, którego różnica wynosi d = 1. Zakładając, że liczba kłód w każdym rzędzie należy do tego ciągu, a także biorąc pod uwagę, że a 1 = 1 (na samej górze zmieści się tylko jedna kłoda), znajdziemy liczbę 10. Mamy: a 10 = 1 + 1*(10-1) = 10. Oznacza to, że w 10. rzędzie, który leży na ziemi, będzie 10 kłód.

Całkowitą sumę tej „piramidalnej” struktury można obliczyć, korzystając ze wzoru Gaussa. Otrzymujemy: S 10 = 10/2*(10+1) = 55 logów.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Postęp arytmetyczny to ciąg liczb, w którym każda liczba jest większa (lub mniejsza) od poprzedniej o tę samą kwotę.

Temat ten często wydaje się skomplikowany i niezrozumiały. Indeksy literowe n-ty termin progresje, różnice w progresji - to wszystko jest w jakiś sposób zagmatwane, tak... Odkryjmy znaczenie postępu arytmetycznego i od razu wszystko stanie się lepsze.)

Pojęcie postępu arytmetycznego.

Postęp arytmetyczny jest pojęciem bardzo prostym i przejrzystym. Czy masz jakieś wątpliwości? Na próżno.) Przekonaj się sam.

Napiszę niedokończony ciąg liczb:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Czy możesz przedłużyć tę serię? Jakie liczby będą następne, po piątce? Wszyscy… hm… w skrócie, wszyscy zorientują się, że liczby 6, 7, 8, 9 itd. będą następne.

Skomplikujmy zadanie. Podaję niedokończony ciąg liczb:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Będziesz mógł złapać wzór, rozszerzyć serię i nazwać siódmy Numer wiersza?

Jeśli zdałeś sobie sprawę, że ta liczba to 20, gratulacje! Nie tylko ty to czułeś kluczowe punkty postępu arytmetycznego, ale także z sukcesem wykorzystał je w biznesie! Jeśli jeszcze tego nie zrozumiałeś, czytaj dalej.

Teraz przełóżmy kluczowe punkty z wrażeń na matematykę.)

Pierwszy kluczowy punkt.

Postęp arytmetyczny dotyczy szeregów liczb. Na początku jest to mylące. Jesteśmy przyzwyczajeni do rozwiązywania równań, rysowania wykresów i tak dalej... Ale tutaj przedłużamy szereg, znajdujemy numer szeregu...

W porządku. Tyle, że progresje to pierwsza znajomość z nową gałęzią matematyki. Sekcja nosi nazwę „Seria” i działa w szczególności z seriami liczb i wyrażeń. Przyzwyczaić się do tego.)

Drugi kluczowy punkt.

W postępie arytmetycznym każda liczba różni się od poprzedniej o tę samą kwotę.

W pierwszym przykładzie różnica ta wynosi jeden. Bez względu na to, jaką liczbę wybierzesz, będzie ona o jeden większa od poprzedniej. W drugim - trzy. Dowolna liczba jest o trzy większa od poprzedniej. Właściwie to właśnie ten moment daje nam możliwość uchwycenia wzoru i obliczenia kolejnych liczb.

Trzeci kluczowy punkt.

Ten moment nie jest uderzający, to prawda... Ale jest bardzo, bardzo ważny. Tutaj jest: Każdy numer progresji znajduje się na swoim miejscu. Jest pierwsza liczba, jest siódma, jest czterdziesta piąta itd. Jeśli losowo je pomieszasz, wzór zniknie. Zniknie także postęp arytmetyczny. Pozostała tylko seria liczb.

O to właśnie chodzi.

Oczywiście, w nowy temat pojawiają się nowe terminy i oznaczenia. Musisz je poznać. Inaczej nie zrozumiesz zadania. Na przykład będziesz musiał zdecydować o czymś takim:

Zapisz pierwsze sześć wyrazów ciągu arytmetycznego (a n), jeśli a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirujesz?) Listy, jakieś indeksy... A zadanie, swoją drogą, nie mogło być prostsze. Musisz tylko zrozumieć znaczenie terminów i oznaczeń. Teraz opanujemy tę sprawę i wrócimy do zadania.

Terminy i oznaczenia.

Postęp arytmetyczny to ciąg liczb, w którym każda liczba różni się od poprzedniej o tę samą kwotę.

Ta ilość nazywa się . Przyjrzyjmy się tej koncepcji bardziej szczegółowo.

Różnica postępu arytmetycznego.

Różnica postępu arytmetycznego to kwota, o jaką dowolny numer progresji więcej Poprzedni.

Jeden ważny punkt. Proszę zwrócić uwagę na słowo "więcej". Matematycznie oznacza to, że każdy numer progresji jest poprzez dodanie różnica postępu arytmetycznego do poprzedniej liczby.

Powiedzmy, że do obliczenia drugi numery serii, musisz Pierwszy numer dodać właśnie tę różnicę w postępie arytmetycznym. Do obliczeń piąty- różnica jest konieczna dodać Do czwarty, cóż, itp.

Różnica postępu arytmetycznego Może pozytywny, wtedy każda liczba w szeregu okaże się prawdziwa więcej niż poprzednio. Ten postęp nazywa się wzrastający. Na przykład:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Tutaj uzyskuje się każdą liczbę poprzez dodanie Liczba dodatnia, +5 do poprzedniego.

Różnica może być negatywny, wtedy każda liczba w serii będzie mniej niż poprzednio. Ten postęp nazywa się (nie uwierzysz!) malejące.

Na przykład:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Tutaj również uzyskuje się każdą liczbę poprzez dodanie do poprzedniej, ale już liczbą ujemną, -5.

Swoją drogą, pracując z progresją, bardzo przydatne jest od razu określenie jej charakteru – czy jest ona rosnąca, czy malejąca. To bardzo pomaga w podjęciu decyzji, dostrzeżeniu błędów i skorygowaniu ich, zanim będzie za późno.

Różnica postępu arytmetycznego zwykle oznaczone literą D.

Jak znaleźć D? Bardzo prosta. Konieczne jest odjęcie od dowolnej liczby w serii poprzedni numer. Odejmować. Nawiasem mówiąc, wynik odejmowania nazywa się „różnicą”).

Zdefiniujmy np. D dla zwiększenia postępu arytmetycznego:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Bierzemy dowolną liczbę z szeregu, na przykład 11. Odejmujemy od niej poprzedni numer te. 8:

To jest poprawna odpowiedź. W przypadku tego postępu arytmetycznego różnica wynosi trzy.

Możesz to wziąć dowolny numer progresji, ponieważ dla konkretnego postępu D-zawsze to samo. Przynajmniej gdzieś na początku rzędu, przynajmniej w środku, przynajmniej gdziekolwiek. Nie możesz wziąć tylko pierwszej cyfry. Po prostu dlatego, że jest to pierwsza liczba żadnego poprzedniego.)

Swoją drogą, wiedząc to d=3, znalezienie siódmej liczby tego ciągu jest bardzo proste. Do piątej liczby dodajemy 3 – otrzymamy szóstą, będzie to 17. Do szóstej liczby dodamy trzy, otrzymamy siódmą liczbę – dwadzieścia.

Zdefiniujmy D dla malejącego postępu arytmetycznego:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Przypominam, że niezależnie od znaków, należy ustalić D potrzebujesz z dowolnego numeru usuń poprzednią. Wybierz dowolny numer progresji, na przykład -7. Jego poprzednia liczba to -2. Następnie:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Różnicą ciągu arytmetycznego może być dowolna liczba: całkowita, ułamkowa, niewymierna, dowolna liczba.

Inne terminy i oznaczenia.

Każdy numer w serii jest wywoływany członek ciągu arytmetycznego.

Każdy członek postępu ma swój numer. Liczby są ściśle uporządkowane, bez żadnych sztuczek. Pierwszy, drugi, trzeci, czwarty itd. Na przykład w progresji 2, 5, 8, 11, 14, ... dwa to pierwszy wyraz, pięć to drugi, jedenaście to czwarty, cóż, rozumiesz...) Proszę jasno zrozumieć - same liczby może być absolutnie wszystko, całe, ułamkowe, ujemne, cokolwiek, ale numeracja liczb- ściśle w porządku!

Jak napisać progresję w ogólna perspektywa? Bez problemu! Każda liczba w serii jest zapisana jako litera. Do oznaczenia postępu arytmetycznego zwykle używa się litery A. Numer członkowski jest oznaczony indeksem w prawym dolnym rogu. Terminy piszemy oddzielone przecinkami (lub średnikami), w następujący sposób:

1, 2, 3, 4, 5,.....

1- to jest pierwsza liczba, 3- trzeci itd. Nic fajnego. Serię tę można w skrócie zapisać w następujący sposób: (jakiś).

Progresje się zdarzają skończone i nieskończone.

Ostateczny progresja ma ograniczoną liczbę członków. Pięć, trzydzieści osiem, nieważne. Ale to liczba skończona.

Nieskończony progresja - ma nieskończoną liczbę członków, jak można się domyślić.)

Możesz napisać końcowy postęp w serii w ten sposób, ze wszystkimi terminami i kropką na końcu:

1, 2, 3, 4, 5.

Lub w ten sposób, jeśli jest wielu członków:

1, 2, ... 14, 15.

W krótkim wpisie będziesz musiał dodatkowo wskazać liczbę członków. Na przykład (dla dwudziestu członków) w ten sposób:

(n), n = 20

Nieskończony postęp można rozpoznać po elipsie na końcu wiersza, jak w przykładach z tej lekcji.

Teraz możesz rozwiązać zadania. Zadania są proste i służą wyłącznie zrozumieniu znaczenia ciągu arytmetycznego.

Przykłady zadań z postępu arytmetycznego.

Przyjrzyjmy się szczegółowo zadaniu podanemu powyżej:

1. Zapisz pierwsze sześć wyrazów ciągu arytmetycznego (an), jeśli a 2 = 5, d = -2,5.

Przetłumaczymy zadanie na zrozumiały język. Dany jest nieskończony postęp arytmetyczny. Znana jest druga liczba tej progresji: za 2 = 5. Znana jest różnica w postępie: d = -2,5. Musimy znaleźć pierwszy, trzeci, czwarty, piąty i szósty wyraz tej progresji.

Dla jasności napiszę serię zgodnie z warunkami problemu. Pierwsze sześć terminów, gdzie drugi termin to pięć:

1,5,3,4,5,6,....

3 = 2 + D

Zastąp wyrażeniem za 2 = 5 I d = -2,5. Nie zapomnij o minusie!

3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Trzecia kadencja okazała się krótsza niż druga. Wszystko jest logiczne. Jeśli liczba jest większa niż poprzednia negatywny wartość, co oznacza, że ​​​​sama liczba będzie mniejsza niż poprzednia. Postęp maleje. OK, weźmy to pod uwagę.) Liczymy czwarty wyraz naszego szeregu:

4 = 3 + D

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + D

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + D

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Obliczono więc terminy od trzeciego do szóstego. Rezultatem jest następująca seria:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Pozostaje znaleźć pierwszy wyraz 1 Przez słynne drugie. To krok w drugą stronę, w lewo.) Czyli różnica ciągu arytmetycznego D nie należy dodawać 2, A na wynos:

1 = 2 - D

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Otóż ​​to. Odpowiedź na zadanie:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Na marginesie chciałbym zauważyć, że rozwiązaliśmy to zadanie nawracający sposób. To straszne słowo oznacza jedynie poszukiwanie członka progresji zgodnie z poprzednim (sąsiednim) numerem. Poniżej przyjrzymy się innym sposobom pracy z progresją.

Z tego prostego zadania można wyciągnąć jeden ważny wniosek.

Pamiętać:

Jeśli znamy choć jeden wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, to możemy znaleźć dowolny wyraz tego ciągu.

Pamiętasz? Ten prosty wniosek pozwala rozwiązać większość problemów kursu szkolnego na ten temat. Wszystkie zadania krążą wokół trzy główne parametry: element postępu arytmetycznego, różnica w postępie, numer elementu ciągu. Wszystko.

Oczywiście cała poprzednia algebra nie jest anulowana.) Nierówności, równania i inne rzeczy są powiązane z progresją. Ale zgodnie z samym postępem- wszystko kręci się wokół trzech parametrów.

Jako przykład przyjrzyjmy się niektórym popularnym zadaniom na ten temat.

2. Zapisz skończony postęp arytmetyczny w postaci szeregu, jeśli n=5, d = 0,4 i a 1 = 3,6.

Tutaj wszystko jest proste. Wszystko zostało już dane. Trzeba pamiętać, jak liczone są elementy ciągu arytmetycznego, liczyć je i zapisywać. Wskazane jest, aby nie pominąć słów w warunkach zadania: „końcowy” i „ n=5”. Aby nie liczyć, dopóki nie zrobi ci się całkowicie siny na twarzy.) W tej progresji jest tylko 5 (pięciu) członków:

za 2 = za 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

za 3 = za 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

4 = 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

5 = 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Pozostaje zapisać odpowiedź:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Kolejne zadanie:

3. Ustal, czy liczba 7 będzie członkiem ciągu arytmetycznego (an), jeśli a1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kto wie? Jak coś ustalić?

Jak-jak... Zapisz progresję w formie serii i zobacz, czy będzie tam siódemka, czy nie! Liczymy:

za 2 = za 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

za 3 = za 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

4 = 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Teraz wyraźnie widać, że mamy dopiero siedem lat Prześlizgnął się między 6,5 a 7,7! Siedem nie mieściło się w naszym szeregu liczb, a zatem siedem nie będzie członkiem danej progresji.

Odpowiedź: nie.

Oto problem oparty na realna opcja GIA:

4. Zapisano kilka kolejnych wyrazów postępu arytmetycznego:

...; 15; X; 9; 6; ...

Oto seria napisana bez końca i początku. Żadnych numerów członkowskich, żadnej różnicy D. W porządku. Aby rozwiązać problem, wystarczy zrozumieć znaczenie ciągu arytmetycznego. Spójrzmy i zobaczmy, co jest możliwe wiedzieć z tej serii? Jakie są trzy główne parametry?

Numery członkowskie? Nie ma tu ani jednej liczby.

Ale są trzy liczby i - uwaga! - słowo "spójny" w stanie. Oznacza to, że liczby są ściśle uporządkowane, bez przerw. Czy w tym rzędzie jest dwóch? sąsiedni znane liczby? Tak, mam! Są to 9 i 6. Możemy zatem obliczyć różnicę postępu arytmetycznego! Odejmij od sześciu poprzedni numer, tj. dziewięć:

Pozostały już tylko drobnostki. Jaka liczba będzie poprzednia dla X? Piętnaście. Oznacza to, że X można łatwo znaleźć poprzez proste dodanie. Dodaj różnicę postępu arytmetycznego do 15:

To wszystko. Odpowiedź: x=12

Sami rozwiązujemy następujące problemy. Uwaga: te problemy nie są oparte na wzorach. Czysto po to, żeby zrozumieć znaczenie postępu arytmetycznego.) Po prostu zapisujemy serię cyfr i liter, patrzymy i wymyślamy.

5. Znajdź pierwszy dodatni wyraz ciągu arytmetycznego, jeśli a 5 = -3; d = 1,1.

6. Wiadomo, że liczba 5,5 należy do ciągu arytmetycznego (an), gdzie a 1 = 1,6; d = 1,3. Określ liczbę n tego elementu.

7. Wiadomo, że w postępie arytmetycznym a 2 = 4; za 5 = 15,1. Znajdź 3.

8. Zapisano kilka kolejnych wyrazów postępu arytmetycznego:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Znajdź termin progresji wskazany literą x.

9. Pociąg ruszył ze stacji, równomiernie zwiększając prędkość o 30 metrów na minutę. Jaka będzie prędkość pociągu za pięć minut? Podaj odpowiedź w km/h.

10. Wiadomo, że w postępie arytmetycznym a 2 = 5; za 6 = -5. Znajdź 1.

Odpowiedzi (w nieładzie): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Wszystko się udało? Niesamowity! Na kolejnych lekcjach możesz opanować progresję arytmetyczną na wyższym poziomie.

Czy nie wszystko się udało? Bez problemu. W sekcji specjalnej 555 wszystkie te problemy są rozwiązywane kawałek po kawałku.) I oczywiście opisano prostą praktyczną technikę, która natychmiast jasno, wyraźnie i na pierwszy rzut oka podkreśla rozwiązanie takich zadań!

Nawiasem mówiąc, w układance pociągu są dwa problemy, o które ludzie często się potykają. Jeden dotyczy wyłącznie postępów, a drugi jest ogólny dla wszelkich problemów z matematyki, a także fizyki. Jest to tłumaczenie wymiarów z jednego na drugi. Pokazuje, jak należy rozwiązać te problemy.

Na tej lekcji przyjrzeliśmy się elementarnemu znaczeniu ciągu arytmetycznego i jego głównym parametrom. To wystarczy, aby rozwiązać prawie wszystkie problemy na ten temat. Dodać D do liczb, napisz serię, wszystko zostanie rozwiązane.

Rozwiązanie z palcami sprawdza się w przypadku bardzo krótkich fragmentów rzędu, jak w przykładach w tym samouczku. Jeżeli szereg jest dłuższy, obliczenia stają się bardziej skomplikowane. Na przykład, jeśli w zadaniu 9 w pytaniu zastępujemy "pięć minut" NA „trzydzieści pięć minut” problem znacznie się pogorszy.)

Są też zadania, które w istocie są proste, ale absurdalne pod względem obliczeniowym, na przykład:

Dany jest postęp arytmetyczny (an). Znajdź 121, jeśli a 1 = 3 i d = 1/6.

I co, będziemy dodawać 1/6 wiele, wiele razy?! Możesz się zabić!?

Możesz.) Jeśli nie znasz prostej formuły, dzięki której możesz rozwiązać takie zadania w ciągu minuty. Ta formuła będzie na następnej lekcji. I tam ten problem został rozwiązany. W minutę.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Temat „postęp arytmetyczny” jest realizowany w ramach kursu algebry ogólnej w szkołach w IX klasie. Temat ten jest ważny dla dalszych dogłębnych badań matematyki szeregów liczbowych. W tym artykule zapoznamy się z postępem arytmetycznym, jego różnicą, a także typowymi problemami, z jakimi mogą spotkać się uczniowie.

Pojęcie postępu algebraicznego

Postęp liczbowy to ciąg liczb, w którym każdy kolejny element można uzyskać z poprzedniego, jeśli zastosujemy jakieś prawa matematyczne. Istnieją dwa proste typy postępu: geometryczny i arytmetyczny, zwany także algebraicznym. Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo.

Wyobraźmy sobie jakąś liczbę wymierną, oznaczmy ją symbolem a1, gdzie indeks wskazuje jej numer seryjny w rozważanym szeregu. Dodajmy inną liczbę do a1 i nazwijmy ją d. Wtedy drugi element szeregu można przedstawić następująco: a2 = a1+d. Teraz dodaj ponownie d, otrzymamy: a3 = a2+d. Kontynuując tę ​​operację matematyczną, możesz uzyskać całą serię liczb, którą nazwiemy postępem arytmetycznym.

Jak można zrozumieć z powyższego, aby znaleźć n-ty element tego ciągu, należy skorzystać ze wzoru: an = a1 + (n-1)*d. Rzeczywiście, podstawiając do wyrażenia n=1, otrzymamy a1 = a1, jeśli n = 2, to wzór będzie następujący: a2 = a1 + 1*d i tak dalej.

Na przykład, jeśli różnica ciągu arytmetycznego wynosi 5, a a1 = 1, oznacza to, że szereg liczbowy rozważanego typu ma postać: 1, 6, 11, 16, 21, ... Jak możesz zobacz, każdy z jego członków jest o 5 większy od poprzedniego.

Wzory na różnice w postępie arytmetycznym

Z powyższej definicji rozważanego ciągu liczb wynika, że ​​aby go zdefiniować, trzeba znać dwie liczby: a1 i d. To drugie nazywa się różnicą tego postępu. W unikalny sposób determinuje zachowanie całej serii. Rzeczywiście, jeśli d jest dodatnie, to szereg liczbowy będzie stale rósł; przeciwnie, jeśli d jest ujemne, liczby w szeregu będą rosły tylko w wartości bezwzględnej, podczas gdy ich wartość bezwzględna będzie malała wraz ze wzrostem liczby n.

Jaka jest różnica w postępie arytmetycznym? Rozważmy dwa podstawowe wzory używane do obliczenia tej wartości:

d = an+1-an, wzór ten wynika bezpośrednio z definicji rozpatrywanego szeregu liczb.

d = (-a1+an)/(n-1), wyrażenie to otrzymamy jeśli wyrazimy d ze wzoru podanego w poprzednim akapicie artykułu. Należy zauważyć, że to wyrażenie staje się niezdefiniowane (0/0), jeśli n=1. Wynika to z faktu, że aby określić jego różnicę, konieczna jest znajomość co najmniej 2 elementów szeregu.

Te dwa podstawowe wzory służą do rozwiązywania wszelkich problemów związanych ze znalezieniem różnicy progresji. Istnieje jednak jeszcze jedna formuła, o której również musisz wiedzieć.

Suma pierwszych elementów

Wzór, za pomocą którego można wyznaczyć sumę dowolnej liczby wyrazów ciągu algebraicznego, zgodnie z dowodami historycznymi, został po raz pierwszy uzyskany przez „księcia” matematyki w XVIII wieku, Carla Gaussa. Niemiecki naukowiec, będąc jeszcze chłopcem w klasie podstawowej wiejskiej szkoły, zauważył, że aby dodać liczby naturalne w szeregu od 1 do 100, należy najpierw zsumować pierwszy i ostatni element (wynikowa wartość będzie być równa sumie przedostatniego i drugiego, przedostatniego i trzeciego elementu itd.), a następnie liczbę tę należy pomnożyć przez liczbę tych kwot, czyli przez 50.

Wzór, który odzwierciedla podany wynik w konkretnym przykładzie, można uogólnić na dowolny przypadek. Będzie to wyglądać następująco: Sn = n/2*(an+a1). Należy zauważyć, że aby znaleźć wskazaną wartość, nie jest wymagana znajomość różnicy d, jeśli znane są dwa wyrazy ciągu (an i a1).

Przykład nr 1. Określ różnicę, znając dwa wyrazy szeregu a1 i an

Pokażemy Ci, jak zastosować formuły wspomniane powyżej w artykule. Podajmy prosty przykład: różnica ciągu arytmetycznego jest nieznana, należy określić, ile będzie wynosić, jeśli a13 = -5,6 i a1 = -12,1.

Ponieważ znamy wartości dwóch elementów ciągu liczbowego, a jeden z nich jest liczbą pierwszą, możemy skorzystać ze wzoru nr 2, aby wyznaczyć różnicę d. Mamy: d =(-1*(-12,1)+(-5,6))/12 = 0,54167. W wyrażeniu użyliśmy wartości n=13, ponieważ termin o tej konkretnej liczbie porządkowej jest znany.

Powstała różnica wskazuje, że progresja rośnie, mimo że elementy podane w warunkach zadania mają wartość ujemną. Jasne jest, że a13>a1, chociaż |a13|<|a1|.

Przykład nr 2. Pozytywne warunki progresji w przykładzie nr 1

Wykorzystajmy wynik uzyskany w poprzednim przykładzie do rozwiązania nowego problemu. Formułuje się to następująco: od jakiego numeru seryjnego elementy progresji z przykładu nr 1 zaczną przyjmować wartości dodatnie?

Jak pokazano, postęp w którym a1 = -12,1 i d = 0,54167 jest rosnący, zatem od pewnej liczby liczby zaczną przyjmować wyłącznie wartości dodatnie. Aby wyznaczyć tę liczbę n, należy rozwiązać prostą nierówność, którą zapisujemy matematycznie w następujący sposób: an>0 lub korzystając z odpowiedniego wzoru przepisujemy nierówność: a1 + (n-1)*d>0. Należy znaleźć nieznane n, wyraźmy to: n>-1*a1/d + 1. Teraz pozostaje zastąpić znane wartości różnicy i pierwszy wyraz ciągu. Otrzymujemy: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 lub n>23,338. Ponieważ n może przyjmować tylko wartości całkowite, z powstałej nierówności wynika, że ​​dowolne wyrazy w szeregu, które mają liczbę większą niż 23, będą dodatnie.

Sprawdźmy otrzymaną odpowiedź, korzystając z powyższego wzoru, aby obliczyć 23. i 24. element tego ciągu arytmetycznego. Mamy: a23=-12,1 + 22*0,54167 = -0,18326 (liczba ujemna); a24=-12,1 + 23*0,54167 =0,3584 (wartość dodatnia). Otrzymany wynik jest zatem poprawny: począwszy od n=24 wszystkie elementy szeregu liczbowego będą większe od zera.

Przykład nr 3. Ile kłód zmieści się?

Przedstawmy jeden ciekawy problem: podczas wycinki postanowiono ułożyć przetarte kłody jedna na drugiej, jak pokazano na poniższym rysunku. Ile kłód można ułożyć w ten sposób, wiedząc, że w sumie zmieści się 10 rzędów?

W tej metodzie składania kłód można zauważyć jedną ciekawą rzecz: każdy kolejny rząd będzie zawierał o jedną kłodę mniej niż poprzedni, czyli zachodzi postęp algebraiczny, którego różnica wynosi d = 1. Zakładając, że liczba kłód w każdym rzędzie należy do tego ciągu, a także biorąc pod uwagę, że a1 = 1 (na samej górze zmieści się tylko jedna kłoda), znajdujemy liczbę a10. Mamy: a10 = 1 + 1*(10-1) = 10. Oznacza to, że w 10. rzędzie, który leży na ziemi, będzie 10 kłód.

Całkowitą sumę tej „piramidalnej” struktury można obliczyć, korzystając ze wzoru Gaussa. Otrzymujemy: S10 = 10/2*(10+1) = 55 logów.