Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność 3 liczb. LCM

Drugi numer: b=

Separator cyfr Brak separatora spacji „ ”.

Wynik:

Najmniejsza wspólna wielokrotność LCM ( A,B)=468

Nazywa się największą liczbę naturalną, przez którą liczby a i b dzielą się bez reszty Największy wspólny dzielnik(gcd) tych numerów. Oznaczone jako gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) lub hcf(a,b).

Najmniejsza wspólna wielokrotność(LCM) dwóch liczb całkowitych aib to najmniejsza liczba naturalna, która dzieli się przez aib bez reszty. Oznaczone jako LCM(a,b) lub lcm(a,b).

Wywoływane są liczby całkowite a i b względnie pierwsza jeśli nie mają wspólnych dzielników innych niż +1 i -1.

Największy wspólny dzielnik

Niech zostaną dane dwa liczby dodatnie A 1 i A 2 1). Konieczne jest znalezienie wspólnego dzielnika tych liczb, tj. znajdź taką liczbę λ , który dzieli liczby A 1 i A 2 jednocześnie. Opiszmy algorytm.

1) W tym artykule słowo liczba będzie oznaczać liczbę całkowitą.

Pozwalać A 1 ≥ A 2 i niech

Gdzie M 1 , A 3 to niektóre liczby całkowite, A 3 <A 2 (reszta z dzielenia A 1 włączone A 2 powinno być mniej A 2).

Udawajmy, że λ dzieli A 1 i A 2, zatem λ dzieli M 1 A 2 i λ dzieli A 1 −M 1 A 2 =A 3 (Twierdzenie 2 artykułu „Podzielność liczb. Znak podzielności”). Wynika z tego, że każdy wspólny dzielnik A 1 i A 2 jest wspólnym dzielnikiem A 2 i A 3. Odwrotna sytuacja jest również prawdą, jeśli λ wspólny dzielnik A 2 i A 3, zatem M 1 A 2 i A 1 =M 1 A 2 +A 3 są również podzielone na λ . Stąd wspólny dzielnik A 2 i A 3 jest także wspólnym dzielnikiem A 1 i A 2. Ponieważ A 3 <A 2 ≤A 1, to możemy powiedzieć, że jest to rozwiązanie problemu znalezienia wspólnego dzielnika liczb A 1 i A 2 zredukowano do prostszego problemu znalezienia wspólnego dzielnika liczb A 2 i A 3 .

Jeśli A 3 ≠0, to możemy dzielić A 2 włączone A 3. Następnie

Gdzie M 1 i A 4 to niektóre liczby całkowite, ( A 4 reszta z dzielenia A 2 włączone A 3 (A 4 <A 3)). Z podobnego rozumowania dochodzimy do wniosku, że wspólne dzielniki liczb A 3 i A Liczba 4 to to samo, co wspólne dzielniki liczb A 2 i A 3 , a także ze wspólnymi dzielnikami A 1 i A 2. Ponieważ A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , ... liczby, które stale maleją, a pomiędzy nimi jest skończona liczba liczb całkowitych A 2 i 0, a potem w pewnym momencie N, pozostała część podziału A n A n+1 będzie równe zero ( A n+2=0).

Każdy wspólny dzielnik λ liczby A 1 i A 2 jest także dzielnikiem liczb A 2 i A 3 , A 3 i A 4 , .... A n i A n+1 . Odwrotna sytuacja jest również prawdą, wspólne dzielniki liczb A n i A n+1 są także dzielnikami liczb A n-1 i A N , .... , A 2 i A 3 , A 1 i A 2. Ale wspólny dzielnik A n i A n+1 to liczba A n+1 , ponieważ A n i A n+1 jest podzielne przez A n+1 (pamiętaj o tym A n+2=0). Stąd A n+1 jest także dzielnikiem liczb A 1 i A 2 .

Należy pamiętać, że liczba A n+1 to największy dzielnik liczby A n i A n+1 , od największego dzielnika A n+1 jest sobą A n+1 . Jeśli A n + 1 można przedstawić jako iloczyn liczb całkowitych, wówczas liczby te są również wspólnymi dzielnikami liczb A 1 i A 2. Numer A n+1 są wywoływane Największy wspólny dzielnik liczby A 1 i A 2 .

Liczby A 1 i A Liczba 2 może być zarówno liczbą dodatnią, jak i ujemną. Jeżeli jedna z liczb jest równa zero, to największy wspólny dzielnik tych liczb będzie równy wartości bezwzględnej drugiej liczby. Największy wspólny dzielnik liczb zerowych nie jest zdefiniowany.

Powyższy algorytm nazywa się Algorytm Euklidesa znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb całkowitych.

Przykład znalezienia największego wspólnego dzielnika dwóch liczb

Znajdź największy wspólny dzielnik dwóch liczb 630 i 434.

Krok 1. Podziel liczbę 630 przez 434. Reszta to 196.
Krok 2. Podziel liczbę 434 przez 196. Reszta to 42.
Krok 3. Podziel liczbę 196 przez 42. Reszta to 28.
Krok 4. Podziel liczbę 42 przez 28. Reszta to 14.
Krok 5. Podziel liczbę 28 przez 14. Reszta to 0.

W kroku 5 reszta dzielenia wynosi 0. Zatem największym wspólnym dzielnikiem liczb 630 i 434 jest 14. Zauważ, że liczby 2 i 7 są również dzielnikami liczb 630 i 434.

Liczby względnie pierwsze

Definicja 1. Niech największy wspólny dzielnik liczb A 1 i A 2 równa się jeden. Następnie te liczby są wywoływane liczby względnie pierwsze które nie mają wspólnego dzielnika.

Twierdzenie 1. Jeśli A 1 i A 2 liczby względnie pierwsze i λ pewna liczba, a następnie dowolny wspólny dzielnik liczb λa 1 i A 2 jest także wspólnym dzielnikiem liczb λ I A 2 .

Dowód. Rozważmy algorytm Euklidesa służący do znajdowania największego wspólnego dzielnika liczb A 1 i A 2 (patrz wyżej).

Z warunków twierdzenia wynika, że największy wspólny dzielnik liczb A 1 i A 2 i dlatego A n i A n+1 równa się 1. Tj. A n+1=1.

Pomnóżmy wszystkie te równości przez λ , Następnie

Niech wspólny dzielnik A 1 λ I A 2 jest δ . Następnie δ wchodzi jako czynnik A 1 λ , M 1 A 2 λ i w A 1 λ -M 1 A 2 λ =A 3 λ (Patrz „Podzielność liczb”, stwierdzenie 2). Dalej δ wchodzi jako czynnik A 2 λ I M 2 A 3 λ , a zatem wchodzi jako czynnik w A 2 λ -M 2 A 3 λ =A 4 λ .

Rozumując w ten sposób, jesteśmy o tym przekonani δ wchodzi jako czynnik A n-1 λ I M n-1 A N λ , a zatem w A n-1 λ −M n-1 A N λ =A n+1 λ . Ponieważ A n+1 =1, zatem δ wchodzi jako czynnik λ . Stąd numer δ jest wspólnym dzielnikiem liczb λ I A 2 .

Rozważmy szczególne przypadki Twierdzenia 1.

Konsekwencja 1. Pozwalać A I C Liczby pierwsze są względne B. Potem ich produkt AC jest liczbą pierwszą względem B.

Naprawdę. Z twierdzenia 1 AC I B mają takie same wspólne dzielniki jak C I B. Ale liczby C I B względnie pierwsze, tj. mają jeden wspólny dzielnik 1. Następnie AC I B mają również jeden wspólny dzielnik 1. Stąd AC I B wzajemnie proste.

Konsekwencja 2. Pozwalać A I B liczby względnie pierwsze i niech B dzieli ok. Następnie B dzieli i k.

Naprawdę. Z warunku asercji ok I B mają wspólny dzielnik B. Na mocy Twierdzenia 1, B musi być wspólnym dzielnikiem B I k. Stąd B dzieli k.

Wniosek 1 można uogólnić.

Konsekwencja 3. 1. Niech liczby A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m są liczbą pierwszą w stosunku do liczby B. Następnie A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m , iloczyn tych liczb jest liczbą pierwszą B.

2. Niech mamy dwa rzędy liczb

tak, że każda liczba w pierwszym wierszu jest liczbą pierwszą w stosunku do każdej liczby w drugim wierszu. Następnie produkt

Konieczne jest znalezienie takich liczb, które są podzielne przez każdą z tych liczb.

Jeżeli liczba jest podzielna przez A 1, to tak wygląda sa 1, gdzie S jakiś numer. Jeśli Q jest największym wspólnym dzielnikiem liczb A 1 i A 2, zatem

Gdzie S 1 to pewna liczba całkowita. Następnie

Jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb A 1 i A 2 .

A 1 i A 2 względnie pierwsze, to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb A 1 i A 2:

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.

Z powyższego wynika, że dowolna wielokrotność liczb A 1 , A 2 , A 3 musi być wielokrotnością liczb ε I A 3 i odwrotnie. Niech najmniejsza wspólna wielokrotność liczb ε I A 3 jest ε 1. Ponadto wielokrotność liczb A 1 , A 2 , A 3 , A Liczba 4 musi być wielokrotnością liczb ε 1 i A 4. Niech najmniejsza wspólna wielokrotność liczb ε 1 i A 4 jest ε 2. W ten sposób dowiedzieliśmy się, że wszystkie wielokrotności liczb A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m pokrywają się z wielokrotnościami określonej liczby ε n, co nazywa się najmniejszą wspólną wielokrotnością danych liczb.

W szczególnym przypadku, gdy liczby A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m względnie pierwsza, to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb A 1 , A 2, jak pokazano powyżej, ma postać (3). Dalej, ponieważ A 3 liczby pierwsze w odniesieniu do liczb A 1 , A 2, zatem A 3 jest liczbą pierwszą względną A 1 · A 2 (wniosek 1). Zatem najmniejsza wspólna wielokrotność liczb A 1 ,A 2 ,A 3 to liczba A 1 · A 2 · A 3. Argumentując w podobny sposób, dochodzimy do następujących twierdzeń.

Oświadczenie 1. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb względnie pierwszych A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m jest równe ich iloczynowi A 1 · A 2 · A 3 ··· A M .

Oświadczenie 2. Dowolna liczba, która jest podzielna przez każdą z liczb stosunkowo pierwszych A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m jest również podzielne przez ich iloczyn A 1 · A 2 · A 3 ··· A M .

Ale wiele liczb naturalnych jest równomiernie podzielnych przez inne liczby naturalne.

Na przykład:

Liczba 12 dzieli się przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12;

Liczba 36 dzieli się przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12, przez 18, przez 36.

Liczby, przez które liczba jest podzielna (dla 12 jest to 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazywane są dzielniki liczb. Dzielnik liczby naturalnej A jest liczbą naturalną, która dzieli daną liczbę A bez śladu. Nazywa się liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa dzielniki złożony .

Zauważ, że liczby 12 i 36 mają wspólne dzielniki. Oto liczby: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Największym dzielnikiem tych liczb jest 12. Wspólnym dzielnikiem tych dwóch liczb A I B to liczba, przez którą obie liczby są podzielne bez reszty A I B.

wspólna wielokrotność kilka liczb nazywa się liczbą podzielną przez każdą z tych liczb. Na przykład, liczby 9, 18 i 45 mają wspólną wielokrotność 180. Ale 90 i 360 są także ich wspólnymi wielokrotnościami. Wśród wszystkich wielokrotności wspólnych zawsze jest najmniejsza, w tym przypadku jest to 90. Liczba ta nazywana jest najmniejwspólna wielokrotność (LCM).

LCM jest zawsze liczbą naturalną, która musi być większa od największej z liczb, dla których jest zdefiniowana.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM). Nieruchomości.

Przemienność:

Łączność:

W szczególności, jeśli i są liczbami względnie pierwszymi, to:

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb całkowitych M I N jest dzielnikiem wszystkich innych wspólnych wielokrotności M I N. Ponadto zbiór wspólnych wielokrotności m, rz pokrywa się ze zbiorem wielokrotności LCM( m, rz).

Asymptotykę można wyrazić w postaci niektórych funkcji teorii liczb.

Więc, Funkcja Czebyszewa. I:

Wynika to z definicji i własności funkcji Landaua g(n).

Co wynika z prawa rozkładu liczb pierwszych.

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM).

NOC( a, b) można obliczyć na kilka sposobów:

1. Jeśli znany jest największy wspólny dzielnik, możesz wykorzystać jego związek z LCM:

2. Niech będzie znany rozkład kanoniczny obu liczb na czynniki pierwsze:

Gdzie p 1 ,...,p k są różnymi liczbami pierwszymi i d 1 ,...,d k I e 1,...,ek są nieujemnymi liczbami całkowitymi (mogą wynosić zero, jeśli odpowiadająca im liczba pierwsza nie występuje w rozwinięciu).

Następnie LCM ( A,B) oblicza się według wzoru:

Innymi słowy, rozwinięcie LCM zawiera wszystkie czynniki pierwsze, które są zawarte w co najmniej jednym z rozwinięć liczbowych a, b, i przyjmuje się największy z dwóch wykładników tego współczynnika.

Przykład:

Obliczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności kilku liczb można sprowadzić do kilku kolejnych obliczeń LCM dwóch liczb:

Reguła. Aby znaleźć LCM serii liczb, potrzebujesz:

- rozkłada liczby na czynniki pierwsze;

- przenieść największe rozwinięcie na czynniki żądanego iloczynu (iloczyn czynników największej liczby z podanych), a następnie dodać czynniki z rozwinięcia innych liczb, które nie występują w pierwszej liczbie lub w niej są mniejszą liczbę razy;

- wynikowy iloczyn czynników pierwszych będzie LCM podanych liczb.

Dowolne dwie lub więcej liczb naturalnych mają swój własny LCM. Jeśli liczby nie są wielokrotnościami siebie lub nie mają tych samych współczynników w rozwinięciu, to ich LCM jest równy iloczynowi tych liczb.

Do czynników pierwszych liczby 28 (2, 2, 7) dodano współczynnik 3 (liczba 21), otrzymany iloczyn (84) będzie najmniejszą liczbą podzielną przez 21 i 28.

Do czynników pierwszych największej liczby 30 dodano współczynnik 5 liczby 25, otrzymany iloczyn 150 jest większy od największej liczby 30 i jest podzielny przez wszystkie podane liczby bez reszty. Jest to najmniejszy możliwy iloczyn (150, 250, 300...), którego wszystkie podane liczby są wielokrotnościami.

Liczby 2,3,11,37 są liczbami pierwszymi, więc ich LCM jest równy iloczynowi danych liczb.

reguła. Aby obliczyć LCM liczb pierwszych, należy pomnożyć wszystkie te liczby przez siebie.

Inna opcja:

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) kilku liczb, potrzebujesz:

1) przedstaw każdą liczbę jako iloczyn jej czynników pierwszych, na przykład:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapisz potęgi wszystkich czynników pierwszych:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapisz wszystkie pierwsze dzielniki (mnożniki) każdej z tych liczb;

4) wybrać największy stopień każdej z nich, występujący we wszystkich rozwinięciach tych liczb;

5) pomnóż te potęgi.

Przykład. Znajdź LCM liczb: 168, 180 i 3024.

Rozwiązanie. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Zapisujemy największe potęgi wszystkich dzielników pierwszych i mnożymy je:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Wielokrotność liczby to liczba, która dzieli się przez daną liczbę bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) grupy liczb to najmniejsza liczba, która jest równomiernie podzielna przez każdą liczbę w grupie. Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, należy znaleźć czynniki pierwsze podanych liczb. Ponadto LCM można obliczyć przy użyciu szeregu innych metod mających zastosowanie do grup dwóch lub więcej liczb.

Kroki

Szereg wielokrotności

Spójrz na te liczby. Opisaną tutaj metodę najlepiej zastosować, gdy podano dwie liczby mniejsze niż 10. Jeśli podano duże liczby, użyj innej metody.

Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 5 i 8. Są to małe liczby, więc można zastosować tę metodę.

Wielokrotność liczby to liczba, która dzieli się przez daną liczbę bez reszty. W tabliczce mnożenia można znaleźć wiele liczb.
- Na przykład liczby będące wielokrotnościami 5 to: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
Zapisz ciąg liczb będący wielokrotnością pierwszej liczby. Zrób to pod wielokrotnościami pierwszej liczby, aby porównać dwa rzędy liczb.
- Na przykład liczby będące wielokrotnościami 8 to: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.
Znajdź najmniejszą liczbę, która pojawia się w obu szeregach wielokrotności. Aby znaleźć sumę, konieczne może być napisanie długich serii wielokrotności. Najmniejsza liczba występująca w obu szeregach wielokrotności jest najmniejszą wspólną wielokrotnością.
- Na przykład najmniejsza liczba występująca w szeregu wielokrotności 5 i 8 to 40. Zatem 40 jest najmniejszą wspólną wielokrotnością 5 i 8.
Faktoryzacja pierwsza
1. Spójrz na te liczby. Opisaną tutaj metodę najlepiej zastosować, gdy podano dwie liczby większe niż 10. Jeśli podano mniejsze liczby, użyj innej metody.
  - Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 20 i 84. Każda z liczb jest większa niż 10, więc można zastosować tę metodę.
2. Rozłóż na czynniki pierwszą liczbę. Oznacza to, że musisz znaleźć takie liczby pierwsze, po pomnożeniu otrzymasz daną liczbę. Po znalezieniu czynników pierwszych zapisz je jako równość.
  - Na przykład, 2 × 10 = 20 (\ Displaystyle (\ mathbf (2)) \ razy 10 = 20) I 2 × 5 = 10 (\ Displaystyle (\ mathbf (2)) \ razy (\ mathbf (5)) = 10). Zatem czynnikami pierwszymi liczby 20 są liczby 2, 2 i 5. Zapisz je jako wyrażenie: .
3. Rozłóż drugą liczbę na czynniki pierwsze. Zrób to w taki sam sposób, jak rozłożyłeś pierwszą liczbę, czyli znajdź takie liczby pierwsze, które po pomnożeniu otrzymają tę liczbę.
  - Na przykład, 2 × 42 = 84 (\ Displaystyle (\ mathbf (2)) \ razy 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ Displaystyle (\ mathbf (7)) \ razy 6 = 42) I 3 × 2 = 6 (\ Displaystyle (\ mathbf (3)) \ razy (\ mathbf (2)) = 6). Zatem czynnikami pierwszymi liczby 84 są liczby 2, 7, 3 i 2. Zapisz je jako wyrażenie: .
4. Zapisz czynniki wspólne obu liczb. Zapisz takie czynniki, jak operacja mnożenia. Zapisując każdy czynnik, przekreśl go w obu wyrażeniach (wyrażeniach opisujących rozkład liczb na czynniki pierwsze).
  - Na przykład wspólny dzielnik obu liczb wynosi 2, więc napisz 2 × (\ Displaystyle 2 \ razy) i skreśl 2 w obu wyrażeniach.
  - Wspólnym czynnikiem obu liczb jest kolejny współczynnik 2, więc napisz 2 × 2 (\ Displaystyle 2 \ razy 2) i skreśl drugie 2 w obu wyrażeniach.
5. Dodaj pozostałe czynniki do operacji mnożenia. Są to czynniki, które nie są przekreślone w obu wyrażeniach, czyli czynniki, które nie są wspólne dla obu liczb.
  - Na przykład w wyrażeniu 20 = 2 × 2 × 5 (\ Displaystyle 20 = 2 \ razy 2 \ razy 5) obie dwójki (2) zostały przekreślone, ponieważ są to czynniki wspólne. Mnożnik 5 nie jest przekreślony, zatem zapisz operację mnożenia w następujący sposób: 2 × 2 × 5 (\ Displaystyle 2 \ razy 2 \ razy 5)
  - W wyrażeniu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ Displaystyle 84 = 2 \ razy 7 \ razy 3 \ razy 2) obie dwójki (2) są również przekreślone. Czynniki 7 i 3 nie są przekreślone, zatem zapisz operację mnożenia w następujący sposób: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ Displaystyle 2 \ razy 2 \ razy 5 \ razy 7 \ razy 3).
6. Oblicz najmniejszą wspólną wielokrotność. Aby to zrobić, pomnóż liczby w zapisanej operacji mnożenia.
  - Na przykład, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ Displaystyle 2 \ razy 2 \ razy 5 \ razy 7 \ razy 3 = 420). Zatem najmniejszą wspólną wielokrotnością 20 i 84 jest 420.
Znajdowanie wspólnych dzielników
1. Narysuj siatkę tak, jak w przypadku gry w kółko i krzyżyk. Taka siatka składa się z dwóch równoległych linii, które przecinają się (pod kątem prostym) z dwiema innymi równoległymi liniami. Spowoduje to powstanie trzech wierszy i trzech kolumn (siatka wygląda bardzo podobnie do znaku #). Wpisz pierwszą liczbę w pierwszym rzędzie i drugiej kolumnie. Wpisz drugą liczbę w pierwszym rzędzie i trzeciej kolumnie.
  - Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność 18 i 30. Wpisz 18 w pierwszym rzędzie i drugiej kolumnie, a 30 w pierwszym rzędzie i trzeciej kolumnie.
2. Znajdź wspólny dzielnik obu liczb. Zapisz to w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie. Lepiej jest szukać dzielników pierwszych, ale nie jest to warunek wstępny.
  - Na przykład 18 i 30 to liczby parzyste, więc ich wspólny dzielnik wynosi 2. Zatem wpisz 2 w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie.
3. Podziel każdą liczbę przez pierwszy dzielnik. Zapisz każdy iloraz pod odpowiednią liczbą. Iloraz jest wynikiem dzielenia dwóch liczb.
  - Na przykład, 18 ÷ 2 = 9 (\ Displaystyle 18 \ div 2 = 9), więc wpisz 9 pod 18.
  - 30 ÷ 2 = 15 (\ Displaystyle 30 \ div 2 = 15), więc napisz 15 poniżej 30.
4. Znajdź dzielnik wspólny dla obu ilorazów. Jeżeli nie ma takiego dzielnika, pomiń kolejne dwa kroki. W przeciwnym razie zapisz dzielnik w drugim wierszu i pierwszej kolumnie.
  - Na przykład 9 i 15 są podzielne przez 3, więc wpisz 3 w drugim rzędzie i pierwszej kolumnie.
5. Podziel każdy iloraz przez drugi dzielnik. Zapisz każdy wynik dzielenia pod odpowiednim ilorazem.
  - Na przykład, 9 ÷ 3 = 3 (\ Displaystyle 9 \ div 3 = 3), więc napisz 3 pod 9.
  - 15 ÷ 3 = 5 (\ Displaystyle 15 \ div 3 = 5), więc napisz 5 pod 15.
6. W razie potrzeby uzupełnij siatkę dodatkowymi komórkami. Powtarzaj powyższe kroki, aż ilorazy będą miały wspólny dzielnik.
7. Zakreśl liczby w pierwszej kolumnie i ostatnim rzędzie siatki. Następnie zapisz wyróżnione liczby jako operację mnożenia.
  - Na przykład liczby 2 i 3 znajdują się w pierwszej kolumnie, a liczby 3 i 5 w ostatnim wierszu, więc zapisz operację mnożenia w następujący sposób: 2 × 3 × 3 × 5 (\ Displaystyle 2 \ razy 3 \ razy 3 \ razy 5).
8. Znajdź wynik mnożenia liczb. Spowoduje to obliczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch podanych liczb.
  - Na przykład, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ Displaystyle 2 \ razy 3 \ razy 3 \ razy 5 = 90). Zatem najmniejszą wspólną wielokrotnością 18 i 30 jest 90.
Algorytm Euklidesa
1. Zapamiętaj terminologię związaną z operacją dzielenia. Dzielna to liczba, która jest dzielona. Dzielnik to liczba, przez którą należy dzielić. Iloraz jest wynikiem dzielenia dwóch liczb. Reszta to liczba, która pozostaje po podzieleniu dwóch liczb.
  - Na przykład w wyrażeniu 15 ÷ 6 = 2 (\ Displaystyle 15 \ div 6 = 2) odpoczynek. 3:
    15 jest podzielne
    6 jest dzielnikiem
    2 jest prywatne
    3 to reszta.

Wyrażenia i zadania matematyczne wymagają dużej wiedzy dodatkowej. NOC jest jednym z głównych, szczególnie często używanych w temacie.Temat jest badany w szkole średniej, choć zrozumienie materiału nie jest szczególnie trudne, dla osoby zaznajomionej z potęgami i tabliczką mnożenia wybór nie będzie trudny niezbędne liczby i znajdź wynik.

Definicja

Wspólna wielokrotność to liczba, którą można całkowicie podzielić na dwie liczby jednocześnie (a i b). Najczęściej liczbę tę uzyskuje się poprzez pomnożenie pierwotnych liczb a i b. Liczba musi być podzielna przez obie liczby jednocześnie, bez odchyleń.

NOK to krótka nazwa, wzięta od pierwszych liter.

Sposoby uzyskania numeru

Aby znaleźć LCM, metoda mnożenia liczb nie zawsze jest odpowiednia, znacznie lepiej nadaje się do prostych liczb jednocyfrowych lub dwucyfrowych. Zwyczajowo dzieli się na czynniki, im większa liczba, tym więcej będzie czynników.

Przykład 1

W najprostszym przykładzie szkoły zwykle przyjmują proste liczby jednocyfrowe lub dwucyfrowe. Na przykład musisz rozwiązać następujące zadanie, znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 7 i 3, rozwiązanie jest dość proste, wystarczy je pomnożyć. W rezultacie jest liczba 21, mniejszej liczby po prostu nie ma.

Przykład nr 2

Druga opcja jest znacznie trudniejsza. Podano liczby 300 i 1260, znalezienie LCM jest obowiązkowe. Aby rozwiązać zadanie, zakłada się następujące działania:

Rozkład pierwszej i drugiej liczby na najprostsze czynniki. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Pierwszy etap został zakończony.

Drugi etap polega na pracy z już uzyskanymi danymi. Każda z otrzymanych liczb musi brać udział w obliczeniu wyniku końcowego. Dla każdego czynnika z liczb pierwotnych pobierana jest największa liczba wystąpień. LCM jest liczbą wspólną, więc czynniki z liczb muszą zostać w niej powtórzone do końca, nawet te, które występują w jednym przypadku. Obie liczby początkowe mają w swoim składzie cyfry 2, 3 i 5, w różnym stopniu, 7 występuje tylko w jednym przypadku.

Aby obliczyć wynik końcowy, należy uwzględnić w równaniu każdą liczbę w największej z jej przedstawionych potęg. Pozostaje tylko pomnożyć i uzyskać odpowiedź, przy prawidłowym wypełnieniu zadanie składa się z dwóch etapów bez wyjaśnienia:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

To całe zadanie, jeśli spróbujesz obliczyć żądaną liczbę poprzez pomnożenie, odpowiedź na pewno nie będzie poprawna, ponieważ 300 * 1260 = 378 000.

Badanie:

6300 / 300 = 21 - prawda;

6300/1260 = 5 jest prawidłowe.

Poprawność wyniku ustala się poprzez sprawdzenie - podzielenie LCM przez obie liczby pierwotne, jeżeli w obu przypadkach liczba jest liczbą całkowitą, to odpowiedź jest prawidłowa.

Co oznacza NOC w matematyce

Jak wiadomo, w matematyce nie ma ani jednej bezużytecznej funkcji, ta nie jest wyjątkiem. Najczęstszym celem tej liczby jest doprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. Czego zwykle uczy się w klasach 5-6 szkoły średniej. Jest to również dodatkowo wspólny dzielnik wszystkich wielokrotności, jeśli takie warunki występują w problemie. Takie wyrażenie może znaleźć wielokrotność nie tylko dwóch liczb, ale także znacznie większej liczby - trzech, pięciu i tak dalej. Im więcej liczb, tym więcej działań w zadaniu, ale złożoność tego nie wzrasta.

Na przykład, biorąc pod uwagę liczby 250, 600 i 1500, musisz znaleźć ich całkowity LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ten przykład szczegółowo opisuje faktoryzację, bez redukcji.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Aby skomponować wyrażenie należy wymienić wszystkie czynniki, w tym przypadku podane są 2, 5, 3 - dla wszystkich tych liczb należy określić stopień maksymalny.

Uwaga: wszystkie mnożniki należy doprowadzić do pełnego uproszczenia, o ile to możliwe, rozkładając się do poziomu pojedynczych cyfr.

Badanie:

1) 3000 / 250 = 12 - prawda;

2) 3000 / 600 = 5 - prawda;

3) 3000 / 1500 = 2 jest poprawne.

Ta metoda nie wymaga żadnych sztuczek ani genialnych umiejętności, wszystko jest proste i jasne.

Inny sposób

W matematyce wiele jest ze sobą powiązanych, wiele można rozwiązać na dwa lub więcej sposobów, to samo dotyczy znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności, LCM. Poniższą metodę można zastosować w przypadku prostych liczb dwucyfrowych i jednocyfrowych. Tworzona jest tabela, w której mnożnik wprowadza się pionowo, mnożnik poziomo, a iloczyn jest wskazany w przecinających się komórkach kolumny. Możesz odzwierciedlić tabelę za pomocą linii, pobierana jest liczba, a wyniki pomnożenia tej liczby przez liczby całkowite są zapisywane w wierszu, od 1 do nieskończoności, czasami wystarczy 3-5 punktów, poddawana jest druga i kolejne liczby do tego samego procesu obliczeniowego. Wszystko dzieje się, dopóki nie zostanie znaleziona wspólna wielokrotność.

Biorąc pod uwagę liczby 30, 35, 42, musisz znaleźć LCM, który łączy wszystkie liczby:

1) Wielokrotności 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.

2) Wielokrotności 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.

3) Wielokrotności 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.

Można zauważyć, że wszystkie liczby są dość różne, jedyna wspólna liczba to 210, więc będzie to LCM. Wśród procesów związanych z tym obliczeniem znajduje się także największy wspólny dzielnik, który jest obliczany według podobnych zasad i często spotykany w problemach sąsiadujących. Różnica jest niewielka, ale na tyle znacząca, LCM polega na obliczeniu liczby, która jest podzielna przez wszystkie podane wartości początkowe, a GCD zakłada obliczenie największej wartości, przez którą dzieli się liczby początkowe.

Uczniowie dostają mnóstwo zadań z matematyki. Wśród nich bardzo często pojawiają się zadania o następującym sformułowaniu: są dwie wartości. Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność danych liczb? Umiejętność wykonywania takich zadań jest konieczna, ponieważ nabyte umiejętności służą do pracy z ułamkami o różnych mianownikach. W artykule przeanalizujemy, jak znaleźć LCM i podstawowe pojęcia.

Zanim znajdziesz odpowiedź na pytanie, jak znaleźć LCM, musisz zdefiniować pojęcie wielokrotności. Najczęściej formułowanie tego pojęcia wygląda następująco: wielokrotność jakiejś wartości A jest liczbą naturalną, która będzie podzielna przez A bez reszty. Zatem dla 4, 8, 12, 16, 20 itd. aż do wymaganego limitu.

W takim przypadku liczba dzielników dla określonej wartości może być ograniczona i istnieje nieskończenie wiele wielokrotności. Tę samą wartość mają także walory przyrodnicze. Jest to wskaźnik, który jest przez nie dzielony bez reszty. Zajmując się koncepcją najmniejszej wartości dla niektórych wskaźników, przejdźmy do tego, jak ją znaleźć.

Znalezienie NOC

Najmniejsza wielokrotność dwóch lub więcej wykładników to najmniejsza liczba naturalna, która jest w pełni podzielna przez wszystkie podane liczby.

Istnieje kilka sposobów znalezienia takiej wartości. Rozważmy następujące metody:

Jeśli liczby są małe, wpisz w wierszu wszystkie podzielne przez nie. Powtarzaj tę czynność, aż znajdziesz między nimi coś wspólnego. W zapisie są one oznaczone literą K. Na przykład dla 4 i 3 najmniejsza wielokrotność to 12.
Jeśli są one duże lub trzeba znaleźć wielokrotność 3 lub więcej wartości, wówczas należy zastosować inną technikę, która polega na rozłożeniu liczb na czynniki pierwsze. Najpierw ułóż największy ze wskazanych, a następnie całą resztę. Każdy z nich ma swoją własną liczbę mnożników. Jako przykład rozłóżmy 20 (2*2*5) i 50 (5*5*2). W przypadku mniejszych z nich podkreśl czynniki i dodaj do największego. Wynikiem będzie liczba 100, która będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością powyższych liczb.
Przy znajdowaniu 3 liczb (16, 24 i 36) zasady są takie same jak w przypadku pozostałych dwóch. Rozwińmy każdy z nich: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Tylko dwie dwójki z rozkładu liczby 16 nie zostały uwzględnione w rozkładzie największej liczby.Dodajemy je i otrzymujemy 144, co jest najmniejszym wynikiem dla wcześniej wskazanych wartości liczbowych.

Teraz wiemy, jaka jest ogólna technika znajdowania najmniejszej wartości dla dwóch, trzech lub więcej wartości. Istnieją jednak również metody prywatne, pomagając w poszukiwaniu NKOli, jeśli poprzednie nie pomogły.

Jak znaleźć GCD i NOC.

Prywatne sposoby znalezienia

Jak w przypadku każdej sekcji matematycznej, istnieją szczególne przypadki znajdowania LCM, które są pomocne w określonych sytuacjach:

jeżeli jedna z liczb jest podzielna przez pozostałe bez reszty, to równa się jej najniższa wielokrotność tych liczb (NOC 60 i 15 równa się 15);
Liczby względnie pierwsze nie mają wspólnych dzielników pierwszych. Ich najmniejsza wartość jest równa iloczynowi tych liczb. Zatem dla liczb 7 i 8 będzie to 56;
ta sama zasada obowiązuje w innych przypadkach, także specjalnych, o których można przeczytać w literaturze specjalistycznej. Powinno to obejmować także przypadki rozkładu liczb złożonych, które są tematem odrębnych artykułów, a nawet prac doktorskich.

Przypadki specjalne są mniej powszechne niż przykłady standardowe. Ale dzięki nim możesz nauczyć się pracować z ułamkami o różnym stopniu złożoności. Dotyczy to szczególnie ułamków., gdzie są różne mianowniki.

Kilka przykładów

Spójrzmy na kilka przykładów, dzięki którym zrozumiesz zasadę znajdowania najmniejszej wielokrotności:

Znajdujemy LCM (35; 40). Najpierw układamy 35 = 5*7, następnie 40 = 5*8. Do najmniejszej liczby dodajemy 8 i otrzymujemy NOC 280.
NOC (45; 54). Układamy każdy z nich: 45 = 3*3*5 i 54 = 3*3*6. Dodajemy liczbę 6 do 45. Otrzymujemy NOC równy 270.
No i ostatni przykład. Jest ich 5 i 4. Nie ma dla nich prostych wielokrotności, zatem najmniejszą wspólną wielokrotnością w tym przypadku będzie ich iloczyn równy 20.

Dzięki przykładom możesz zrozumieć, jak zlokalizowany jest NOC, jakie są niuanse i jakie jest znaczenie takich manipulacji.

Znalezienie NOC jest znacznie prostsze, niż mogłoby się początkowo wydawać. W tym celu stosuje się zarówno proste rozwinięcie, jak i mnożenie prostych wartości względem siebie.. Umiejętność pracy z tą sekcją matematyki pomaga w dalszym studiowaniu zagadnień matematycznych, zwłaszcza ułamków o różnym stopniu złożoności.

Nie zapomnij o okresowym rozwiązywaniu przykładów różnymi metodami, rozwija to aparat logiczny i pozwala zapamiętać wiele terminów. Poznaj metody znajdowania takiego wskaźnika, a będziesz w stanie dobrze pracować z resztą sekcji matematycznych. Miłej nauki matematyki!

Wideo

Ten film pomoże Ci zrozumieć i zapamiętać, jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność.