Gradient funkcji dwóch zmiennych. Analiza wektorowa Pole skalarne powierzchni i linie poziomu pochodna kierunkowa pochodna gradientu pola skalarnego podstawowe właściwości niezmiennika gradientu definicja gradientu zasady obliczania gradientu

Pojęcie Kierunkowa pochodna rozważane dla funkcji dwóch i trzech zmiennych. Aby zrozumieć znaczenie pochodnej kierunkowej, należy porównać pochodne z definicji

Stąd,

Teraz możemy znaleźć pochodną kierunkową tej funkcji, korzystając z jej wzoru:

A teraz - zadanie domowe. Daje funkcję nie trzech, ale tylko dwóch zmiennych, ale wektor kierunkowy jest określony nieco inaczej. Więc będziesz musiał zrobić to jeszcze raz algebra wektorowa .

Przykład 2. Znajdź pochodną funkcji w punkcie M0 (1; 2) w kierunku wektora, gdzie M1 - punkt o współrzędnych (3; 0).

Wektor określający kierunek pochodnej można podać także w postaci jak w poniższym przykładzie - w postaci rozwinięcie wektorów jednostkowych osi współrzędnych, ale jest to temat znany od samego początku algebry wektorowej.

Przykład 3. Znajdź pochodną funkcji w tym punkcie M0 (1; 1; 1) w kierunku wektora.

Rozwiązanie. Znajdźmy cosinus kierunku wektora

Znajdźmy pochodne cząstkowe funkcji w punkcie M0 :

Dlatego pochodną kierunkową tej funkcji możemy znaleźć korzystając z jej wzoru:

Funkcja gradientu

Gradient funkcji kilku zmiennych w jednym punkcie M0 charakteryzuje kierunek maksymalnego wzrostu tej funkcji w punkcie M0 oraz wielkość tego maksymalnego wzrostu.

Jak znaleźć gradient?

Trzeba ustalić wektor, którego rzuty na osie współrzędnych są wartościami pochodne cząstkowe, , ta funkcja w odpowiednim punkcie:

Czyli powinno się udać reprezentacja wektora za pomocą wektorów jednostkowych osi współrzędnych, w którym pochodna cząstkowa odpowiadająca jej osi jest mnożona przez każdą jednostkę.

Definicja 1

Jeżeli dla każdej pary $(x,y)$ wartości dwóch zmiennych niezależnych z jakiejś dziedziny przypisana jest pewna wartość $z$, to mówimy, że $z$ jest funkcją dwóch zmiennych $(x,y) $. Notacja: $z=f(x,y)$.

Rozważmy funkcję $z=f(x,y)$, która jest zdefiniowana w pewnym obszarze w przestrzeni $Oxy$.

Stąd,

Definicja 3

Jeżeli dla każdej potrójnej $(x,y,z)$ wartości trzech zmiennych niezależnych z jakiejś dziedziny przypisana jest pewna wartość $w$, to mówimy, że $w$ jest funkcją trzech zmiennych $(x, y,z)$ w tym obszarze.

Przeznaczenie:$w=f(x,y,z)$.

Rozważmy funkcję $w=f(x,y,z)$, która jest zdefiniowana w pewnym obszarze w przestrzeni $Oxyz$.

Dla danej funkcji definiujemy wektor, dla którego rzutami na osie współrzędnych są wartości pochodnych cząstkowych danej funkcji w pewnym punkcie $\frac(\partial z)(\partial x) ;\frac( \częściowe z)(\częściowe y) $.

Definicja 4

Gradient danej funkcji $w=f(x,y,z)$ jest wektorem $\overrightarrow(gradw)$ postaci:

Twierdzenie 3

Niech pole gradientów będzie zdefiniowane w jakimś polu skalarnym $w=f(x,y,z)$

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\częściowe w)(\częściowe z) \cdot \overrightarrow(k).\]

Pochodna $\frac(\partial w)(\partial s) $ w kierunku danego wektora $\overrightarrow(s) $ jest równa rzutowi wektora gradientu $\overrightarrow(gradw) $ na dany wektor $\overrightarrow(s) $.

Przykład 4

Rozwiązanie:

Wyrażenie gradientu można znaleźć za pomocą wzoru

\[\frac(\częściowe w)(\częściowe x) =2x;\frac(\częściowe w)(\częściowe y) =4y;\frac(\częściowe w)(\częściowe z) =2.\]

Stąd,

\[\overrightarrow(gradw) =2x\cdot \overrightarrow(i) +4y\cdot \overrightarrow(j) +2\cdot \overrightarrow(k) .\]

Przykład 5

Wyznacz gradient danej funkcji

w punkcie $M(1;2;1)$. Oblicz $\left(|\overrightarrow(gradz) |\right)_(M) $.

Rozwiązanie:

Wyrażenie na gradient w danym punkcie można znaleźć za pomocą wzoru

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =\left(\frac(\partial w)(\partial x) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(i) +\left (\frac(\częściowe w)(\częściowe y) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(j) +\left(\frac(\częściowe w)(\częściowe z) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(k).\]

Pochodne cząstkowe mają postać:

\[\frac(\częściowe w)(\częściowe x) =2x;\frac(\częściowe w)(\częściowe y) =4y;\frac(\częściowe w)(\częściowe z) =6z^(2) .\]

Instrumenty pochodne w punkcie $M(1;2)$:

\[\frac(\częściowe w)(\częściowe x) =2\cdot 1=2;\frac(\częściowe w)(\częściowe y) =4\cdot 2=8;\frac(\częściowe w)( \częściowe z) =6\cdot 1^(2) =6.\]

Stąd,

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =2\cdot \overrightarrow(i) +8\cdot \overrightarrow(j) +6\cdot \overrightarrow(k) \]

\[\left(|\overrightarrow(gradw) |\right)_(M) =\sqrt(2^(2) +8^(2) +6^(2) ) =\sqrt(4+64+36 ) =\sqrt(104).\]

Wymieńmy niektóre właściwości gradientu:

Pochodna danej funkcji w danym punkcie w kierunku jakiegoś wektora $\overrightarrow(s) $ ma największą wartość, jeżeli kierunek tego wektora $\overrightarrow(s) $ pokrywa się z kierunkiem gradientu. W tym przypadku ta największa wartość pochodnej pokrywa się z długością wektora gradientu, tj. $|\overrightarrow(gradw) |$.

Pochodna danej funkcji w kierunku wektora prostopadłego do wektora gradientu, tj. $\overrightarrow(gradw) $ jest równe 0. Ponieważ $\varphi =\frac(\pi )(2) $, to $\cos \varphi =0$; dlatego $\frac(\partial w)(\partial s) =|\overrightarrow(gradw) |\cdot \cos \varphi =0$.

Ze szkolnych zajęć z matematyki wiemy, że wektor na płaszczyźnie jest odcinkiem skierowanym. Jego początek i koniec mają dwie współrzędne. Współrzędne wektora oblicza się odejmując współrzędne początkowe od współrzędnych końcowych.

Pojęcie wektora można rozszerzyć na przestrzeń n-wymiarową (zamiast dwóch współrzędnych będzie n współrzędnych).

Gradient grad z funkcji z = f(x 1, x 2, ...x n) jest wektorem pochodnych cząstkowych funkcji w punkcie, tj. wektor ze współrzędnymi.

Można udowodnić, że gradient funkcji charakteryzuje kierunek najszybszego wzrostu poziomu funkcji w punkcie.

Na przykład dla funkcji z = 2x 1 + x 2 (patrz rysunek 5.8) gradient w dowolnym punkcie będzie miał współrzędne (2; 1). Można go skonstruować na płaszczyźnie na różne sposoby, przyjmując dowolny punkt jako początek wektora. Na przykład możesz połączyć punkt (0; 0) z punktem (2; 1) lub punkt (1; 0) z punktem (3; 1) lub punkt (0; 3) z punktem (2; 4), czy tak dalej. (Patrz rysunek 5.8). Wszystkie tak skonstruowane wektory będą miały współrzędne (2 – 0; 1 – 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Z rysunku 5.8 wyraźnie widać, że poziom funkcji wzrasta w kierunku gradientu, ponieważ zbudowane linie poziomu odpowiadają wartościom poziomu 4 > 3 > 2.

Rysunek 5.8 - Gradient funkcji z = 2x 1 + x 2

Rozważmy inny przykład - funkcję z = 1/(x 1 x 2). Gradient tej funkcji nie będzie już zawsze taki sam w różnych punktach, ponieważ jej współrzędne są określone wzorami (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

Rysunek 5.9 przedstawia linie poziomu funkcji z = 1/(x 1 x 2) dla poziomów 2 i 10 (prosta 1/(x 1 x 2) = 2 jest oznaczona linią przerywaną, a linia prosta
1/(x 1 x 2) = 10 – linia ciągła).

Rysunek 5.9 - Gradienty funkcji z = 1/(x 1 x 2) w różnych punktach

Weźmy na przykład punkt (0,5; 1) i oblicz nachylenie w tym punkcie: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Zauważ, że punkt (0,5; 1) leży na linii poziomu 1/(x 1 x 2) = 2, ponieważ z = f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Aby zobrazować wektor ( -4; -2) na rysunku 5.9 łączymy punkt (0,5; 1) z punktem (-3,5; -1), ponieważ
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Weźmy inny punkt na tej samej linii poziomu, na przykład punkt (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Obliczmy gradient w tym punkcie
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Aby zobrazować to na rysunku 5.9, łączymy punkt (1; 0,5) z punktem (-1; -3,5), ponieważ (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).

Weźmy inny punkt na tej samej linii poziomu, ale tylko teraz w ćwiartce współrzędnych niedodatnich. Na przykład punkt (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Nachylenie w tym punkcie będzie równe
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Przedstawmy to na rysunku 5.9, łącząc punkt (-0,5; -1) z punktem (3,5; 1), ponieważ (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

1 0 Nachylenie jest skierowane normalnie do płaskiej powierzchni (lub do linii poziomu, jeśli pole jest płaskie).

2 0 Gradient jest ukierunkowany na zwiększenie funkcji pola.

3 0 Moduł gradientu jest równy największej pochodnej kierunku w danym punkcie pola:

Właściwości te zapewniają niezmienną charakterystykę gradientu. Mówią, że wektor gradU wskazuje kierunek i wielkość największej zmiany pola skalarnego w danym punkcie.

Uwaga 2.1. Jeżeli funkcja U(x,y) jest funkcją dwóch zmiennych, to wektor

leży w płaszczyźnie tlenowej.

Niech U=U(x,y,z) i V=V(x,y,z) będą różniczkowalne w punkcie M 0 (x,y,z). Zachodzą wówczas następujące równości:

a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) stopień = , V ;

e) gradU( = gradU, gdzie , U=U() ma pochodną po .

Przykład 2.1. Podana jest funkcja U=x 2 +y 2 +z 2. Wyznacz gradient funkcji w punkcie M(-2;3;4).

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (2.2) mamy

Płaskie powierzchnie tego pola skalarnego to rodzina kul x 2 +y 2 +z 2 , wektor gradU=(-4;6;8) jest wektorem normalnym płaszczyzn.

Przykład 2.2. Znajdź gradient pola skalarnego U=x-2y+3z.

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (2.2) mamy

Płaskie powierzchnie danego pola skalarnego są płaszczyznami

x-2y+3z=C; wektor gradU=(1;-2;3) jest wektorem normalnym płaszczyzn tej rodziny.

Przykład 2.3. Znajdź największą stromość wzniesienia powierzchni U=x y w punkcie M(2;2;4).

Rozwiązanie. Mamy:

Przykład 2.4. Znajdź jednostkowy wektor normalny do płaskiej powierzchni pola skalarnego U=x 2 +y 2 +z 2 .

Rozwiązanie. Poziome powierzchnie danego skalara. Kula polowa x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Nachylenie jest skierowane prostopadle do poziomej powierzchni, tzw

Definiuje wektor normalny do powierzchni poziomej w punkcie M(x,y,z). Dla jednostkowego wektora normalnego otrzymujemy wyrażenie

Przykład 2.5. Znajdź gradient pola U=, gdzie i są wektorami stałymi, r jest wektorem promienia punktu.

Rozwiązanie. Pozwalać

Następnie: . Z reguły różniczkowania wyznacznika otrzymujemy

Stąd,

Przykład 2.6. Znajdź gradient odległości, gdzie P(x,y,z) jest badanym punktem pola, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) jest jakimś stałym punktem.

Rozwiązanie. Mamy - wektor kierunku jednostkowego.

Przykład 2.7. Znajdź kąt między gradientami funkcji w punkcie M 0 (1,1).

Rozwiązanie. Znajdujemy gradienty tych funkcji w punkcie M 0 (1,1), mamy

; Z równości wyznacza się kąt pomiędzy gradU i gradV w punkcie M 0

Zatem =0.

Przykład 2.8. Znajdź pochodną kierunkową, której wektor promienia jest równy

Rozwiązanie. Znajdź gradient tej funkcji:

Podstawiając (2.5) do (2.4) otrzymujemy

Przykład 2.9. Znajdź w punkcie M 0 (1;1;1) kierunek największej zmiany pola skalarnego U=xy+yz+xz i wielkość tej największej zmiany w tym punkcie.

Rozwiązanie. Kierunek największej zmiany pola wyznacza gradient wektora U(M). Znajdujemy to:

I to oznacza, że... Wektor ten wyznacza kierunek największego wzrostu tego pola w punkcie M 0 (1;1;1). Wielkość największej zmiany pola w tym punkcie jest równa

Przykład 3.1. Znajdź linie wektorowe pola wektorowego, gdzie jest wektorem stałym.

Rozwiązanie. Mamy tak, że

Pomnóż licznik i mianownik pierwszego ułamka przez x, drugiego przez y, trzeciego przez z i dodaj wyraz po wyrazie. Korzystając z własności proporcji, otrzymujemy

Stąd xdx+ydy+zdz=0, co oznacza

x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. Teraz mnożąc licznik i mianownik pierwszego ułamka (3.3) przez c 1, drugiego przez c 2, trzeciego przez c 3 i dodając wyraz po wyrazie, otrzymujemy

Skąd 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

A zatem przy 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2-stała.

Wymagane równania prostych wektorowych

Równania te pokazują, że linie wektorowe uzyskuje się przez przecięcie kul mających wspólny środek w początku układu współrzędnych z płaszczyznami prostopadłymi do wektora. Wynika z tego, że linie wektorowe to okręgi, których środki leżą na linii prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych w kierunku wektora c. Płaszczyzny okręgów są prostopadłe do określonej linii.

Przykład 3.2. Znajdź linię pola wektorowego przechodzącą przez punkt (1,0,0).

Rozwiązanie. Równania różniczkowe prostych wektorowych

Dlatego mamy. Rozwiązanie pierwszego równania. Lub jeśli wprowadzimy parametr t, to będziemy mieli w tym przypadku równanie w postaci lub dz=bdt, skąd z=bt+c 2.

Funkcja gradientu w punkcie jest wektorem, którego współrzędne są równe odpowiednim pochodnym cząstkowym i, oznaczonym.

Jeśli weźmiemy pod uwagę wersor e=(), to zgodnie ze wzorem (3) pochodną kierunkową jest iloczyn skalarny gradientu i wersora wyznaczającego kierunek. Wiadomo, że iloczyn skalarny dwóch wektorów jest maksymalny, jeśli mają ten sam kierunek. W konsekwencji gradient funkcji w danym punkcie charakteryzuje kierunek i wielkość maksymalnego wzrostu funkcji w tym punkcie.

Twierdzenie . Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie M 0 wartość gradientu jest różna od zera, wówczas gradient jest prostopadły do linii poziomu przechodzącej przez dany punkt i jest skierowany w stronę wzrostu funkcji

WNIOSEK: 1) Pochodna funkcji w punkcie w kierunku wyznaczonym przez gradient tej funkcji w określonym punkcie ma wartość maksymalną w porównaniu z pochodną w tym punkcie w dowolnym innym kierunku.

2) Wartość pochodnej funkcji w kierunku, która określa gradient tej funkcji w danym punkcie, jest równa.
3) Znając gradient funkcji w każdym punkcie, można z pewnym błędem skonstruować linie poziome. Zacznijmy od punktu M 0. Zbudujmy w tym momencie gradient. Ustalmy kierunek prostopadły do gradientu. Zbudujmy małą część linii poziomu. Rozważmy punkt zamknięty M 1, skonstruujmy w nim gradient i tak dalej.