Elementy trygonometrii sferycznej. Podstawowe wzory trygonometrii sferycznej. Wzory trygonometrii sferycznej
Dla części naszych klientów zakup biżuterii na wymiar to opłacalna inwestycja w kapitał rodzinny, w stabilną przyszłość dla dzieci i wnuków. Zwłaszcza dla innych klientów piękne damy ekskluzywna biżuteria to kolejny sposób na podkreślenie swojego stylu, urody i godnego pozazdroszczenia statusu społecznego. Dla mężczyzn jest to opcja okazania wybrańcowi miłości i uwagi.
GP Matwiewska Sfera i trygonometria sferyczna w starożytności i średniowiecznym wschodzie / Rozwój metod badań astronomicznych. Numer 8, Moskwa-Leningrad, 1979GP Matwiewska
Sfera i trygonometria sferyczna w starożytności i średniowiecznym wschodzie
1. W starożytności i średniowieczu potrzeby astronomii były najważniejszym bodźcem dla rozwoju wielu dziedzin matematyki, a przede wszystkim trygonometrii sferycznej, która była aparatem matematycznym do rozwiązywania konkretnych problemów astronomicznych. W miarę rozwoju astronomii, jej problemy stawały się coraz bardziej złożone i wymagania dotyczące dokładności obliczeń, aparat ten był stopniowo udoskonalany i odpowiednio wzbogacano treści trygonometrii sferycznej. Przedstawiano ją zarówno w traktatach astronomicznych – jako część wprowadzającą do astronomii – jak i w specjalnych dziełach matematycznych.
Szczególne znaczenie dla historii trygonometrii sferycznej mają starożytne greckie prace dotyczące sferyki - nauki obejmującej elementy astronomii, geometrii na kuli i trygonometrii. Już w IV wieku. pne mi. uzyskał pełny rozwój i został uznany za pomocniczą dyscyplinę astronomiczną. Najwcześniejsze znane prace na temat sfery powstały w IV wieku. pne mi. - I wiek N. mi. tak wybitni naukowcy starożytności, jak Autolykos, Euklides, Teodozjusz, Hypsicles, Menelaos.
Te eseje pozwalają wyraźnie się zapoznać etap początkowy rozwój trygonometrii sferycznej.
Wszystkie wyniki uzyskane przez Greków w dziedzinie astronomii i trygonometrii zostały, jak wiadomo, uogólnione w II wieku. w dziele Ptolemeusza zatytułowanym „Zbiór matematyczny w 13 księgach”. Później, prawdopodobnie w III wieku, nazwano ją „wielką” księgą, od której w średniowieczu wzięła się powszechnie przyjęta nazwa „Almagest”: tak ją wymawiano w łacina słowo „al-majisti” jest arabską formą słowa „megiste” (największy).
W przeciwieństwie do „wielkiej” księgi Ptolemeusza, dzieła jego poprzedników, niezbędne do obliczeń astronomicznych i połączone w późnym okresie hellenistycznym (nie później niż w IV wieku) w jeden zbiór, nazwano „Małą Astronomią”. Należało je przestudiować po Elementach Euklidesa, aby zrozumieć Almagest. Dlatego w literaturze arabskiej pojawiają się one pod nazwą „księgi średnie” (kutub al-mutawassita).
W tej kolekcji znajdują się dzieła Euklidesa „Dane”, „Optyka”, „Zjawiska” i pseudoeuklidesowe „Catoptrics”, dzieła Archimedesa („O kuli i cylindrze”, „Pomiar koła”, „Lematy” ), Aristarchus („O wielkościach i odległościach” Słońca i Księżyca), Hypsicles („O wschodach konstelacji wzdłuż ekliptyki”), Autolika („O poruszającej się kuli”, „O wschodach i zachodach gwiazd stałych ”), Teodozjusz („Sfery”, „W dni i noce”, „O mieszkaniach”) i Menelaos („Sfery”). Praca Menelaosa została dodana do Minor Astronomy, być może później.
Arabskie tłumaczenie ksiąg „średnich”, w tym dzieł dotyczących sfery, pojawiło się wśród pierwszych tłumaczeń dzieł klasyków nauki greckiej. Później były one wielokrotnie komentowane. Wśród tłumaczy i komentatorów można wymienić tak wybitnych naukowców, jak Costa ibn Luka (IX w.), al-Makhani (IX w.), Sabit ibn Korra (X w.), Ibn Irak (X-XI w.), Nasir ad-Din w -Tusi (XIII wiek) itp.
Do greckiej „drobnej astronomii” wschodni naukowcy dodali później prace „O pomiarze figur” Banu Musy, „Dane” i „Księgę o całym czworoboku” Thabita ibn Korry, „Traktat o całym czworoboku” autorstwa Nasir ad-Din al-Tusi.
Potrzeba głębokiej znajomości ksiąg „średnich” była dobrze dostrzegana przez wschodnich matematyków i astronomów i podkreślana była już w XVII wieku. w znanej encyklopedii bibliograficznej Hajji Khalifa „Unveiling the Titles of Books and Sciences”. Tekst tych traktatów oraz komentarze do nich zachowały się w licznych rękopisach arabskich. Należą do nich na przykład nie przestudiowany przez nikogo rękopis, zbiór przechowywany w Państwowej Bibliotece Publicznej im. M. E. Saltykov-Shchedrin w Leningradzie (zbiór Chanykowa, nr 144).
Już w 1902 roku słynny historyk matematyki A. Björnbo zauważył z żalem, że zbyt mało uwagi poświęca się tej dziedzinie nauki starożytnej, którą można określić jako „wprowadzenie do astronomii” i która znajduje odzwierciedlenie w „średniej” książki. W szczególności podkreślał potrzebę pełnoprawnego wydania krytycznego tekstu dzieł i w związku z tym poruszył kwestię studiowania ich arabskich wersji. Duża zasługa w badaniu „małej astronomii” należy do samego A. Björnbo, a także F. Gulcha, I.L. Heiberg, P. Tannery, A. Chvalina, J. Maugene itp. Jednak nie wszystko zostało jeszcze zrobione w tym kierunku. Dotyczy to zwłaszcza ksiąg „średnich” w interpretacji arabskiej.
Naukowcy wschodniego średniowiecza często dokonywali znaczących uzupełnień do dzieł greckich, przedstawiali własne dowody twierdzeń, a czasem wprowadzali nowe idee do starożytnej teorii. Z tego punktu widzenia na dużą uwagę zasługują arabskie wersje dzieł poświęconych sferyce. Szczególnie ważne jest przestudiowanie komentarzy do dzieła Menelaosa, opracowanych przez Abu Nasra ibn Iraq i Nasira ad-Din al-Tusi, które odegrały znaczącą rolę w historii trygonometrii sferycznej.
2. Najstarszymi dziełami na temat kuli, które do nas dotarły - i ogólnie dziełami matematycznymi Greków - są traktaty Autolikusa z Pitany (ok. 310 rpne) „O wirującej kuli” i „O wschodach słońca i Ustawienia.” Obydwa dotyczą zagadnień geometrii kuli w zastosowaniu do astronomii.
Autolik bada kulę obracającą się wokół osi i znajdujące się na niej przekroje kołowe: duże okręgi przechodzące przez oba bieguny, małe okręgi powstałe w wyniku przecięcia kuli płaszczyznami prostopadłymi do osi oraz duże okręgi przechodzące do niej ukośnie. Ruch punktów tych okręgów rozpatrywany jest w odniesieniu do pewnej ustalonej płaszczyzny tnącej przechodzącej przez środek. Łatwo tu dostrzec model sfery niebieskiej z południkami niebieskimi, równoleżnikami, równikiem, ekliptyką i horyzontem. Prezentacja prowadzona jest jednak językiem czysto geometrycznym i nie używa się terminologii astronomicznej.
W eseju „On a Moving Sphere” zawierającym 12 zdań Autolik wprowadza pojęcie ruchu jednostajnego („punkt porusza się ruchem jednostajnym, jeśli pokonuje równe ścieżki w jednakowych momentach”) i odnosi to pojęcie do obracającej się kuli. Pokazuje przede wszystkim, że punkty jej powierzchni nieleżące na osi, przy równomiernym obrocie, opisują równoległe okręgi o tych samych biegunach co kula i o płaszczyznach prostopadłych do osi (Twierdzenie 1). Udowodniono ponadto, że w jednakowym czasie wszystkie punkty na powierzchni opisują podobne łuki (Twierdzenie 2) i odwrotnie, to znaczy, jeśli dwa łuki równoległych okręgów przechodzą w jednakowym czasie, to są one podobne (Twierdzenie 3).
Po wprowadzeniu pojęcia horyzontu – dużego koła oddzielającego część tej kuli widoczną dla obserwatora znajdującego się w środku kuli od niewidzialnej – Autolik rozważa ruch punktów powierzchniowych względem niego. Badane są różne możliwe położenia horyzontu, gdy jest on prostopadły do osi, przechodzi przez bieguny i jest nachylony do osi. W pierwszym przypadku (który ma miejsce na biegunie Ziemi) żaden punkt na powierzchni kuli o równomiernym obrocie nie będzie się wznosił ani opadał; wszystkie punkty części widzialnej zawsze pozostają widoczne, a wszystkie punkty części niewidzialnej zawsze pozostają niewidoczne (Twierdzenie 4).
W drugim przypadku, który ma miejsce na równiku Ziemi, wszystkie punkty na powierzchni kuli wznoszą się i zachodzą, spędzając ten sam czas nad i pod horyzontem (Twierdzenie 5).
Wreszcie w ostatnim – ogólnym – przypadku horyzont styka się z dwoma jednakowymi, równoległymi okręgami, z których ten leżący na widzialnym biegunie jest zawsze widoczny, a drugi zawsze niewidoczny (Twierdzenie 6). Punkty powierzchniowe znajdujące się pomiędzy tymi okręgami wznoszą się i zachodzą oraz przechodzą zawsze przez te same punkty horyzontu, poruszając się po okręgach prostopadłych do osi i nachylonych do horyzontu pod tym samym kątem (Twierdzenie 7). Każde duże koło zamocowane na powierzchni kuli, która styka się z tymi samymi równoległymi okręgami co horyzont, będzie pokrywać się z horyzontem, gdy kula się obraca (Twierdzenie 8). Ponadto ustalono, że jeśli horyzont jest nachylony do osi, to z dwóch punktów wznoszących się jednocześnie, ten, który znajduje się bliżej widocznego bieguna, ustawia się później, a jeśli dwa punkty ustawione jednocześnie, to ten położony bliżej widocznego bieguna słup wznosi się wcześniej.
Po wykazaniu dalej, że w przypadku, gdy horyzont jest nachylony do osi, wielkie koło przechodzące przez bieguny kuli (tj. południk) podczas swego obrotu dwukrotnie okaże się prostopadłe do horyzontu (Twierdzenie 10), Autolik formułuje i udowadnia twierdzenie (Stwierdzenie 11), które w istocie rozważa ekliptykę. Mówimy o tym, jak wznoszenie i zachodzenie punktów leżących na tym wielkim okręgu zależy od jego położenia względem horyzontu. Udowodniono, że jeśli oba są nachylone do osi, a ekliptyka styka się z dwoma okręgami na kuli, równoległymi do siebie i prostopadłymi do osi, większymi od tych, których dotyka horyzont, to punkty ekliptyki zawsze będą mają swoje wschody i zachody na odcinku horyzontu leżącym pomiędzy równoległymi okręgami stycznymi do ekliptyki.
Ostatnie zdanie głosi: jeśli nieruchomy okrąg na powierzchni kuli zawsze przecina inny okrąg obracający się wraz ze kulą, oba nie prostopadłe do osi i nie przechodzące przez bieguny, to są to koła wielkie.
Na omówionej powyżej pracy powstał traktat Autolika „O wschodach i zachodach słońca”, składający się z dwóch ksiąg. Opisuje ruchy gwiazd stałych (Księga 1), ze szczególnym uwzględnieniem dwunastu konstelacji znajdujących się na; Ekliptyka (Księga II). Dowiaduje się, kiedy gwiazdy o różnych pozycjach na sferze niebieskiej wschodzą i zachodzą oraz w jakich okolicznościach są widoczne lub niewidoczne.
Prace Autolika dotyczące sfery, mające charakter podręczników elementarnych, nie straciły na aktualności ani w starożytności, ani w średniowieczu. Treść traktatu „O ruchomej kuli” została opisana w szóstej księdze jego „Zbioru matematycznego” autorstwa Pappusa z Aleksandrii (III w. n.e.). O znaczeniu roli Autolika w rozwoju nauki pisano już w VI wieku. Symplicjusz i Jan Filopon. Grecki tekst obu jego dzieł zachował się w całości do dziś.
NA arabski Dzieła Autolika zostały przetłumaczone w IX i na początku X wieku. jednym z pierwszych dzieł greckich, które wzbudziło zainteresowanie uczonych wschodnich. Tłumaczenie traktatu „O ruchomej kuli” z greckiego oryginału wykonał słynny tłumacz Ishaq ibn Hunayn (zm. 910/911). Jego współczesny astronom, filozof i lekarz Kusta ibn Luqa al-Baalbaki (zm. 912) przetłumaczył traktat „O wschodach i zachodach słońca”. Tłumaczenia te zostały następnie zweryfikowane przez słynnego matematyka i astronoma Thabita ibn Qorrę (zm. 901). Później, w XIII w. Prace Autolika komentował wybitny naukowiec, kierownik Obserwatorium w Maragha Nasir ad-Din al-Tusi (1201 - 1274).
W Europie arabskie wersje dzieł Autolika stały się znane w XII wieku. Z tego czasu pochodzi łacińskie tłumaczenie traktatu „O ruchomej kuli”, dokonane przez największego średniowiecznego tłumacza Gerarda z Cremony (1114-1187).
Grecki tekst dzieł Autolicusa, zachowany w kilku rękopisach z X-XV wieku, przyciągnął uwagę naukowców w XVI wieku, kiedy pod wpływem idei humanizmu w Europie rozpoczęły się dokładne badania starożytnego dziedzictwa naukowego . Pierwszy raz łacina; tłumaczenie obu traktatów z oryginału greckiego ukazało się w encyklopedii włoskiego oświeciciela George'a Balli (G. Valla, ok. 1447-1500) w 1501 r., a następnie w zbiorze starożytnych dzieł na temat kuli, który ukazał się w r. 1558 w Mesynie przez Francesco Mavrolico (F. Maurolico, 1494-1575).
Aktywne prace nad publikacją dzieł matematycznych i astronomicznych autorów starożytnych prowadzono w tym okresie we Francji, gdzie rozpoczęto je z inicjatywy jednej z wybitnych postaci francuskiego renesansu, zagorzałego propagandysty nauki starożytnej P. Ramusa ( P. Ramus, Pierre de la Ramée, 1515-1572 ); Poświęcono mu pierwsze greckie wydanie dzieł Autolikusa, dokonane przez Konrada Dasypodiusa (Dasypodius, Conrad Rauchfuss, 1532-1600); została opublikowana w 1572 r. w Strasburgu wraz z tłumaczeniem łacińskim. Inny uczeń Ramusa, P. Forcadel (Pierre Forcadel, ok. 1520-1574), opublikował w 1572 roku francuskie tłumaczenie obu traktatów Autolicusa.
W latach 1587-1588 ukazało się kolejne wydanie łacińskie, wykonane przez I. Aurię na podstawie kilku rękopisów greckich z biblioteki watykańskiej, a w 1644 r. M. Mersenne (M. Megsenn, 1588-1648) opublikował skrócone łacińskie tłumaczenie dzieł Autolika, w tym innych dzieł greckich na matematyce i astronomii.
Kompletnego wydania krytycznego greckiego tekstu traktatów Autolika wraz z tłumaczeniem na łacinę dokonał w 1855 r. F. Gulch. Stało się to podstawą wydanego w 1931 roku niemieckiego przekładu A. Chvaliny.
Wreszcie w 1950 r. J. Maugene podjął się nowej edycji tekstu greckiego, opartej na dokładnym badaniu wszystkich zachowanych rękopisów; Tekst poprzedza dokładne studium historii europejskich wydań dzieł Autolika. Opublikowano w Bejrucie w 1971 r angielskie tłumaczenie ten tekst, co jednak wywołało ostrą krytykę ze strony O. Neugebauera.
Prace Autolika przyciągają uwagę wielu historyków astronomii i matematyki. Badana jest zarówno teoria Autolika, jak i teksty jego dzieł. Wykazano na przykład, że dwie książki składające się na „O wschodach i zachodach słońca” są najprawdopodobniej dwiema wersjami tego samego dzieła.
Arabskie wersje traktatów Autolika, należące do „księgów średnich”, są wciąż najmniej zbadane, chociaż istnieją w licznych rękopisach przechowywanych w różnych bibliotekach Europy i Azji.
3. W drugiej połowie IV w. pne e. ukazało się kolejne dzieło o sferyce, zbliżone treścią do dzieł Autolika, napisane przez jego młodszego, współczesnego mu Euklidesa, słynnego autora Elementów. W traktacie tym, zatytułowanym „Zjawiska”, Euklides w dużej mierze powtarza swojego poprzednika, ale związek między sferyką a astronomią praktyczną jest w nim wyrażony znacznie wyraźniej.
Zjawiska Euklidesa składają się z 18 zdań. Pierwsza formułuje stwierdzenie leżące u podstaw geocentrycznego układu świata, że Ziemię uważa się za centrum wszechświata. Ponieważ położenie obserwatora na powierzchni Ziemi należy uznać za dowolne, z tego stwierdzenia wynika, że w odniesieniu do całego wszechświata za Ziemię uważa się punkt, w którym znajduje się obserwator.
Powtórzywszy w zdaniach drugim i trzecim siódme twierdzenie Autolikusa z traktatu „O ruchomej kuli” Euklides przystępuje do badania wschodu i zachodu znaków zodiaku - 12 konstelacji znajdujących się na ekliptyce, tj. każdy z dwanaście łuków, ekliptyka, równa 30 ° i warunkowo odpowiadająca tym konstelacjom. Dowodzi (Twierdzenie 4), że jeśli ekliptyka nie przecina się z największym z zawsze widocznych okręgów na sferze niebieskiej, to znaczy, jeśli szerokość geograficzna miejsca obserwacji jest mniejsza niż 66°, to konstelacje, które wznoszą się jako pierwsze, również zachodzą na Pierwszy; jeśli się z nim przecina, czyli jeśli szerokość miejsca obserwacji jest większa niż 66°, to konstelacje położone na północy wschodzą wcześniej i zachodzą później niż te położone na południu (Twierdzenie 5). Zatem cechy wschodu i zachodu konstelacji zależą od szerokości geograficznej miejsca obserwacji, tj. Od kąta między osią świata a horyzontem.
Po dalszym wykazaniu, że wschody i zachody gwiazd znajdujących się na przeciwległych krańcach średnicy ekliptyki są sobie przeciwne (Twierdzenie 6), Euklides wyjaśnia jedenaste twierdzenie z traktatu Autolicusa „O poruszającej się kuli”: gwiazdy znajdujące się na ekliptyka podczas wschodu i zachodu przecina część horyzontu , zamkniętą między zwrotnikami, a to przecięcie następuje w stałych punktach (Twierdzenie 7).
Następnie udowadnia, że równe łuki znaków zodiaku wznoszą się i zachodzą na nierówne łuki horyzontu, tym większe, im bliżej równonocy się znajdują; w tym przypadku łuki jednakowo odległe od równika wznoszą się i zachodzą na równe łuki horyzontu (Twierdzenie 8).
Poniższe twierdzenia dotyczą czasu trwania wschodów i zachodów słońca różnych znaków zodiaku. Po pierwsze ustalono, że czas potrzebny do wzniesienia się połowy ekliptyki będzie różny w zależności od położenia początkowego punktu odniesienia (Twierdzenie 9). Odpowiada to stwierdzeniu o różnej długości dnia i nocy w różnych porach roku, kiedy świeci Słońce różne znaki zodiak Następnie brany jest pod uwagę czas potrzebny na wschody i zachody równych i przeciwnych znaków zodiaku.
Rozwiązanie kwestii postawionych przez Euklidesa było dla starożytnych astronomów niezwykle ważne, gdyż dotyczyło metod wyznaczania godziny dnia i nocy, ustalania kalendarza itp.
4. Tym samym w rozważanych dziełach Autolikusa i Euklidesa przedstawiono podstawy sferyki starożytnej Grecji – zarówno teoretyczne, jak i praktyczne. Obaj autorzy jednak poszli za wcześniejszym schematem, gdyż szereg propozycji dotyczących kuli przedstawili bez dowodów, najwyraźniej uznając je za znane. Możliwe, że autorem powszechnie uznawanego wówczas dzieła o sferyce był wielki matematyk i astronom Eudoksos z Knidos (ok. 408-355 p.n.e.).
To zaginione dzieło ocenia obecnie Spherica Teodozjusza, napisana później, ale niewątpliwie powtarzająca w zasadzie jej treść.
5. Jeśli chodzi o czas życia i biografię Teodozjusza, istnieją różne zdania, bazując na często sprzecznych doniesieniach historyków starożytnych, którzy błędnie połączyli kilka postaci noszących to imię w jedną osobę. Obecnie ustalono, że autor „Sferiki” pochodził z Bitinii, a nie z Trypolisu, jak dotychczas sądzono i na co wskazywały tytuły wielu wydań jego dzieł. Żył najprawdopodobniej w drugiej połowie II wieku. pne p.n.e., choć powszechnie nazywano go współczesnym Cyceronowi (ok. 50 r. p.n.e.).
Poza Sferami w greckim oryginale zachowały się jeszcze dwa dzieła Teodozjusza, także zaliczane do „księgów środkowych”. Największy traktat „O mieszkaniach” zawiera 12 zdań i poświęcony jest opisowi gwiaździstego nieba z punktu widzenia obserwatorów znajdujących się na różnych szerokościach geograficznych. Traktat drugi, zatytułowany „O dniach i nocach” i składający się z dwóch ksiąg, bada łuk ekliptyki, który słońce pokonuje w ciągu jednego dnia, i bada warunki niezbędne, aby na przykład dzień i noc były faktycznie sobie równi.
Dzieła te były badane i komentowane przez wielu arabskich uczonych, a w XVI wieku przyciągnęły uwagę Europy, kiedy odkryto ich greckie rękopisy. Pierwsza z nich została opublikowana w tłumaczeniu łacińskim w 1558 r. przez F. Mavroliko wraz z szeregiem innych dzieł o sferyce, następnie w 1572 r. K. Dasipodia opublikował we wspomnianej wyżej książce greckie i łacińskie sformułowania twierdzeń z tego traktatu . W tym samym 1572 roku ukazało się francuskie tłumaczenie dzieła Teodozjusza w wersji Dasypodia, dokonane przez P. Forcadela. Kolejne wydania łacińskie wykonano w 1587 r. (I. Auria) i 1644 r. (M, Mersenne). Pełny tekst grecki traktatu „O mieszkaniach” wraz z tłumaczeniem na łacinę opublikował dopiero w 1927 r. R. Fecht. W tej samej publikacji po raz pierwszy reprodukowany jest także oryginalny tekst dzieła „W dniach i nocach” oraz jego łacińskie tłumaczenie. Wcześniej znana była dzięki sformułowaniom zdań w języku greckim i łacińskim opublikowanym w 1572 r. przez C. Dasypodię oraz pełnemu przekładowi łacińskiemu w wydaniu I. Auria.
Największą sławę dzieła Teodozjusza zyskały jego Sferyki, które zajmują ważne miejsce w historii astronomii, trygonometrii sferycznej i geometrii nieeuklidesowej.
Teodozjusz szczegółowo bada właściwości linii na powierzchni kuli uzyskanych przez przecięcie jej przez różne płaszczyzny. Należy podkreślić, że trójkąt sferyczny nie pojawia się jeszcze w jego twórczości. Dzieło wzorowane jest na Elementach Euklidesa i składa się z trzech ksiąg. Księga pierwsza, zawierająca 23 zdania, rozpoczyna się od sześciu definicji. Kulę definiuje się jako „figurę bryłową ograniczoną jedną powierzchnią w taki sposób, że wszystkie linie proste padające na nią z jednego punktu leżącego na figurze są sobie równe”, czyli podobnie jak definiują okrąg w Elementach (Księga I, piętnasta definicja); Warto zauważyć, że sam Euklides w Księdze XI Żywiołów definiuje kulę inaczej – jako bryłę utworzoną przez obrót półkola wokół ustalonej średnicy (Księga XI, definicja 14). Poniżej znajduje się definicja środka kuli, jej osi i biegunów. Biegun okręgu narysowanego na kuli definiuje się jako: punkt na powierzchni kuli taki, że wszystkie linie poprowadzone przez niego do obwodu koła są sobie równe. Wreszcie szósta definicja dotyczy okręgów na kuli w jednakowej odległości od jej środka: według Teodozjusza są to okręgi takie, że prostopadłe poprowadzone od środka kuli do ich płaszczyzn są sobie równe.
Twierdzenia Księgi 1 są dość elementarne: sprawdzone; w szczególności, że każdy przekrój kuli przez płaszczyznę jest okręgiem, że linia prosta poprowadzona od środka kuli do środka przekroju kołowego jest prostopadła do płaszczyzny tego przekroju, że kula i płaszczyzna mają ten sam punkt kontaktowy itp.
Druga księga Sfery Teodozjusza rozpoczyna się od definicji dwóch okręgów na kuli stykających się ze sobą i zawiera 23 zdania na temat właściwości okręgów nachylonych do siebie.
Księga trzecia składa się z 14 zdań, bardziej złożonych niż poprzednie, a odnoszących się do układów równoległych i przecinających się okręgów na kuli. Tutaj zostaje wyjaśniona służebna rola sferika w odniesieniu do astronomii, chociaż wszystkie twierdzenia są formułowane i udowadniane czysto geometrycznie.
„Kula” Teodozjusza była szczegółowo badana w starożytności i średniowieczu. Komentował to Pappus z Aleksandrii (III w.) w szóstej księdze swojego Zbioru Matematycznego. W VI wieku. Jan Filoponus, recenzując prace dotyczące sfer Euklidesa, Autolikusa i Teodozjusza, zauważa, że ten ostatni daje najbardziej ogólne abstrakcyjne ujęcie tematu, całkowicie abstrahując od rzeczywistych obiektów astronomicznych. Autolik uważa jego zdaniem za przypadek bardziej szczególny, gdyż „nawet jeśli autor nie ma na myśli żadnego konkretnego obiektu, to dzięki połączeniu kulistej figury i ruchu zbliża się do rzeczywistości”. Najbardziej szczególne zagadnienie poruszane jest w „Zjawiskach” Euklidesa, gdyż obiekty badane przez astronomów – niebo, słońce, gwiazdy, planety – są całkiem realne.
Teodozjusz po raz pierwszy przetłumaczył Sferikę na język arabski w IX wieku. Kusta ibn Luqa al-Baalbaki; jego tłumaczenie, doprowadzone do piątego zdania księgi II, ukończył Thabit ibn Korrah al-Harrani.
Istnieje wiele komentarzy na ten temat, a także do innych dzieł Teodozjusza, opracowanych przez wschodnich naukowców z XIII-XV wieku. , wśród których możemy wymienić takich czołowych matematyków i astronomów jak Nasir ad-Din al-Tusi (1201 - 1274), Yahya ibn Muhammad ibn Abi Shukr Muhi ad-Din al-Maghribi (zm. ok. 1285), Muhammad ibn Ma' ruf ibn Ahmad Taqi ad-Din (1525/1526-1585) i inni.
Układ „Kule” Teodozjusza, należący do przedstawiciela słynnej szkoły naukowej Maragha z XIII wieku. Mukhi ad-Din al-Maghribi został zbadany i częściowo przetłumaczony na Francuski B. Kappa de Vaux. W traktacie tym zwrócono uwagę na terminologię astronomiczną stosowaną przy prezentacji i dowodzie twierdzeń Teodozjusza. Zatem tutaj związek między sferyką a astronomią jest jeszcze wyraźniejszy niż w greckim oryginale, co wyjaśnia jego znaczenie dla nauki Wschodu.
W Europie Spherica Teodozjusza stała się znana w XII wieku, kiedy ukazały się dwa łacińskie tłumaczenia tego dzieła z wersji arabskiej. Wykonywali je wybitni tłumacze pracujący w Hiszpanii, Gherardo z Cremony i Platon z Tivoli. Tłumaczenie tego ostatniego ukazało się w 1518 r. w Wenecji, następnie wznowione w 1529 r. pod redakcją I. Voegelina (zm. 1549) i w 1558 r. we wspomnianej już książce F. Mavroliko.
Grecki tekst Sfery został po raz pierwszy opublikowany w 1558 r. przez J. Pena, wraz z tłumaczeniem łacińskim. Publikacja ta pozwoliła wyjaśnić różnicę między arabską wersją dzieła Teodozjusza a oryginałem oraz ustalić, jakie uzupełnienia i zmiany w dowodzie twierdzeń wprowadzili uczeni wschodni. Jednakże grecki rękopis, z którego korzystał Pena, miał wiele niedociągnięć. Dlatego też w 1707 roku w Oksfordzie I. Hunt podjął się nowego, ulepszonego wydania, dokonując pewnych poprawek w innych rękopisach. Następnie grecki tekst dzieła (również z tłumaczeniem łacińskim) został przedrukowany jeszcze dwukrotnie: w 1862 r. przez E. Nicea i w 1927 r. przez I. Heiberga.
Począwszy od drugiej połowy XVI wieku, w języku łacińskim zaczęły pojawiać się skrócone i adaptowane wydania Sferyki, w których wyjaśniano twierdzenia za pomocą nowych pojęć matematycznych i trygonometrii sferycznej. W 1586 r. ukazało się w Rzymie wydanie X. Claviusa, a w XVII w. po niej pojawiło się kilka innych, w tym wydania M. Mersenne'a (1644) i I. Barrowa (1675), które zawiera kompletne, choć bardzo luźne, łacińskie tłumaczenie Sfery ze szczegółowymi dowodami, w których występuje symbolika algebraiczna.
W 1826 r. ukazała się „Sferika” w tłumaczeniu niemieckim E. Nicea. Drugie wydanie niemieckie dzieła przeprowadził w 1931 r. A. Chvalina (wraz z traktatami Autolika). Pierwsze francuskie tłumaczenie „Sferiki”, dokonane przez D. Henriona, ukazało się w 1615 r., kolejne było własnością J.B. Dugamel (J. V. Du Hamel), – w 1660 r.; wreszcie w 1927 r. ukazało się współczesne tłumaczenie P. Vera Eeckego.
Badaniu tekstu i treści Sfery Teodozjusza poświęcone były prace wielu historyków matematyki (A. Knocka, I. Heiberga, F. Gulcha, P. Tannery'ego, A. Björnbo i in.). do tego dzieła, opracowanego w III-VII wieku. i zachowane w rękopisach greckich z późniejszych czasów, rozważono związek między Sferami Teodozjusza a Zjawiskami Euklidesa i innymi dziełami autorów starożytnych. Wyniki tych badań pozwoliły na wyjaśnienie szeregu zagadnień dotyczących historii matematyki i astronomii, a także biografii Euklidesa, Autolikusa, Teodozjusza i niektórych komentatorów ich dzieł.
6. Treścią zbliżoną do dzieł greckich na temat kuli jest niewielkie dzieło Hypsiclesa z Aleksandrii (żyjącego między 200 a 100 rokiem p.n.e.), zatytułowane „O wzroście konstelacji wzdłuż ekliptyki” („Anaforik”). Hypsicles jest najbardziej znany jako autor traktatu o regularne wielościany, zawarte w Elementach Euklidesa jako księga XIV; inna jego praca, dotycząca liczb wielokątnych, która się nie zachowała, jest cytowana w Arytmetyce Diofantosa.
Traktat „O powstaniu konstelacji na ekliptyce”, składający się z sześciu zdań, rozwiązuje problem określenia czasu potrzebnego na wschod lub zachód każdego znaku zodiaku, zajmującego 1/12 ekliptyki, czyli „stopnia, ”, czyli 1/30 części ekliptyki. Odgrywał ważną rolę w rozumowaniu astrologicznym i dlatego był bardzo popularny w starożytności i średniowieczu. Problem można rozwiązać za pomocą trygonometrii sferycznej, ale Hypsikles, który jeszcze takich środków nie miał, rozwiązał go w przybliżeniu, korzystając ze znanych mu twierdzeń o liczbach wielokątnych. W tej pracy po raz pierwszy odnaleziono podział obwodu koła na 360 części, czego nie znaleziono u jego poprzedników, a zwłaszcza w Autoliku.
Traktat Hypsiklesa był jedną z „księgi środkowych” i został przetłumaczony na język arabski w IX wieku. Istnieje wiele rękopisów tego przekładu, jednak przez długi czas pozostawał on niezbadany i nie udało się dokładnie ustalić, czy dokonał go Kusta ibn Luqa, al-Kindi czy Ishaq ibn Hunayn. W XII wieku przetłumaczył arabską wersję dzieła na łacinę. Gerarda z Cremony.
Krytycznego wydania greckiego oryginału i łacińskiego tłumaczenia Gherarda z Cremony dokonał w 1888 r. C. Manicius. Wydanie drugie, wydane w 1966 r., zawiera tekst grecki, scholia i przekład V. De Falco, tekst arabski i tłumaczenie niemieckie M. Krause oraz artykuł wprowadzający O. Neugebauera.
7. Ze wszystkich starożytnych dzieł na temat sfer największą rolę w historii nauki odegrały „Sfery” Menelaosa, który pracował w Aleksandrii w I wieku. N. mi. i uogólnił wszystkie wyniki, jakie przed nim uzyskano w tej dziedzinie. Jego praca nie tylko objaśniła geometrię kuli, ale także po raz pierwszy wprowadziła trójkąt sferyczny, konsekwentnie udowadniała twierdzenia stanowiące podstawę trygonometrii sferycznej i stworzyła teoretyczne podstawy obliczeń trygonometrycznych.
Informacje o życiu Menelaosa są niezwykle skąpe. Wiadomo, że w 98 roku dokonał obserwacji astronomicznych w Rzymie. „Sferika”, jego główne dzieło, nie zachowała się w oryginale greckim i znana jest jedynie ze średniowiecznych tłumaczeń arabskich.
Spherica składa się z trzech ksiąg i jest wzorowana na Elementach Euklidesa. W pierwszej kolejności wprowadzone zostały definicje podstawowych pojęć, w tym pojęcia trójkąta sferycznego, które nie pojawia się we wcześniejszych dziełach greckich. Znaczna część eseju poświęcona jest badaniu właściwości tej figury.
Dowodząc twierdzeń o własnościach linii i figur na kuli, opiera się na definicjach i twierdzeniach ze Sfery Teodozjusza. W księdze drugiej twierdzenia te, a także propozycje sformułowane w formie astronomicznej w Zjawiskach Euklidesa i Anaforykach Hypsiklesa, zostały usystematyzowane i zaopatrzone w nowe rygorystyczne dowody.
Szczególnie ważną rolę w historii trygonometrii odegrało pierwsze zdanie księgi III, znane jako „twierdzenia Menelaosa” (a także „twierdzenia o zupełnym czworokącie”, „reguła sześciu wielkości”, „twierdzenia na poprzeczkach”). Według A. Braunmühla była to „podstawa wszelkiej trygonometrii sferycznej Greków”.
Twierdzenie Menelausa dla przypadku płaskiego formułuje się następująco: niech podane zostaną wzajemnie przecinające się proste AB, AC, BE i CD, tworzące figurę ACGB (rys. 1); wówczas zachodzą następujące zależności:
CE / AE = CG / DG * DB / AB, CA / AE = CD / DG * GB / BE
W przypadku sferycznym twierdzenie obejmuje, jak to było w zwyczaju w greckiej trygonometrii, cięciwy podwójnych łuków. Jeśli dana jest figura ACGB (rys. 2), utworzona przez łuki wielkich kół na powierzchni kuli, to zachodzą następujące zależności:
akord(2CE) / akord(2AE) = akord(2CG) / akord(2DG) * akord(2DB) / akord(2AB)
akord(2AC) / akord(2AE) = akord(2CD) / akord(2DG) * akord(2GB) / akord(2BE)
Menelaos udowodnił także kilka innych twierdzeń, które miały fundamentalne znaczenie dla rozwoju trygonometrii sferycznej. Należą do nich tzw. „reguła czterech wielkości” (zdanie drugie księgi III); jeśli dane są dwa trójkąty sferyczne ABC i DEG (rys. 3), których kąty A i D, C i G są odpowiednio równe (lub sumują się do 180°), to
akord (2AB) / akord (2BC) = akord (2DE) / akord (2EG)
Trzecie zdanie księgi III „Sfery” Menelaosa, znanej później jako „Reguły stycznych”, brzmi: co by było, gdyby dane były dwa prostokątne trójkąty sferyczne ABC i DEG (rys. 4), w których akord (2AB) / akord (2AC) = akord (2ED) / akord (2GD) * akord (2ВН) / akord (2ET) 1. Geiberg I.L. Nauki przyrodnicze i matematyka w starożytności klasycznej. Tłumaczenie z nim. SP Kondratiew, wyd. z przedmową AP Juszkiewicz, M-L., ONTI, 1936. 2. Sarton G. Docenienie nauki starożytnej i średniowiecznej w okresie renesansu, Filadelfia, 1953. 3 Steinschneider M. Die „mittleren” Bücher der Araber und ihre Bearbeiter, „Zeitschr. für Math. u. Phys.”, Bd 10, 1.865, 456-498. 4. Suter H. Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, „Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.”, N. 10, Lipsk, 1900. 5. Björnbo A. Studien über Menelaus Sphärik. Beiträge zur Geschichte der Sphärik und Trigonometrie der Griechen, „Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.”, H. 14, Lipsk, 1902. 6. Mogenet J. Autolycos de Pitane. Histoire du texte, suivie de l'édition critique des cechy de la Sphère en mouvement et des dźwignie et couchers, Louvain, 1950. 7. Theodosii Shpaericorum elementorum Libri III. Ex tradycja Mauro-lyci... Menelai Sphaericorum lib. III. Ex tradycja eiusdem. Maurolyci, Sphàericorum libri II. Autolici. De sphaera quae movetur liber. Teodozjusz. Autobus mieszkalny. Euclidis Phaenomena brevissime demonstrata. Demonstratio et praxis trium tabellarum scilicet sinus recti, foecundae, et beneficae ad spheraiia triangula pertinentum. Compendium mathematicae mira brevitate ex clarissimis autoribus. Sermo Maurolyci de sphaera. Messanae, 1558. 8. Mersenne M. Universae geometriae mixtaeque matematyczne streszczenie, Parisiis, 1644. 9. Auto1yсi. De Sphaera quae movetur liber. D.e ortibus et occasibus libri duet, willow cum scholiis antiquis o libris rękopis edidit, latina interpretacja i komentarz instruxit F. Hultsch, Lipsk, 1885. 10. Euklides. Opera omnia. wyd. J. L. Heiberg i H. Menge, t. VIII. Phaenomena et scripta musica, Lipsk, 1916. 11. Tannery P. Recherches sur l"histoire sur l"astronomie ancienne, Paryż, 1893. 12. Carra de Vaux B. Notice sur deux manuscrits arabes. I. Remaniement des sphériques de Théodose par labia ibn Muhammad ihn Abi Schukr Almaghribi Aidalusî, „Journal asiatique”, 8th sér., t. 17, 1894, 287-295.. 13. Teodozjusz Trypolit. Sphaerica. Hrsg, von J. L. Heiberg, "Abhandl. d. G.es. d. Wissenschaften zu Göttihgen", phil. hist, Klasse, N.F., Bd 19, nr 3, Berlin, 1927. 14. Hypsikles Die Aufgangszeiten der Gestirne, hrsg. und übers, von V. De Falco i M. Krause. Einführung von O. Neugebauer, "Abhandl. d. Akademie d. Wiss. zu Göttingen", phil-hist. Kl., F. 3, nr 62, Getynga, 1966. 15. Krause M. Die Sphärik von Menelaos von Alexandrien in der Verbesserung von Abu Nasr Mansur ur. Ali b. Irak z Untersuchungen zur Geschichte des Textes bei den islamischen Mathematikern, Berlin, 1936. Notatki Egzemplarz tej rzadkiej publikacji dostępny jest w Bibliotece. W I. Lenina. Egzemplarz jest dostępny w Bibliotece Akademii Nauk ZSRR. Trygonometria sferyczna dyscyplina matematyczna badająca zależności między kątami i bokami trójkątów sferycznych (patrz Geometria sferyczna). Pozwalać A, PNE - rogi i a, b, c - przeciwległych boków trójkąta sferycznego ABC(cm. Ryż.
). Kąty i boki trójkąta sferycznego są powiązane za pomocą następujących podstawowych wzorów: sałata A=co B sałata Z+ grzech B grzech Z sałata A, (2) sałata A = - sałata B jak C+ grzech B grzech Z sałata A, (2 1) grzech A sałata B = cos b grzech C- grzech B sałata Z sałata A, (3) grzech A sałata B=co B grzech C+ grzech B sałata Z sałata A; (3 1) w tych wzorach boki a, b, c mierzone odpowiednimi kątami środkowymi, długości tych boków są odpowiednio równe aR, bR, cR, Gdzie R- promień kuli. Zmiana oznaczeń kątów (i boków) zgodnie z zasadą permutacji kołowej: A→W→Z→A(A→B→Z→A),
Możesz napisać inne S. t. formuły podobne do wskazanych. Wzory teorii symetryczności pozwalają wyznaczyć pozostałe trzy elementy trójkąta sferycznego (w celu rozwiązania trójkąta). Dla prostokątnych trójkątów sferycznych ( A= 90°, A - przeciwprostokątna, pne - nogi) S. t. wzory są uproszczone, na przykład: grzech B= grzech A grzech W, (1") sałata a = sałata B sałata C, (2") grzech A sałata B= sałata B grzech C.
(3") Aby uzyskać wzory łączące elementy prostokątnego trójkąta sferycznego, można skorzystać z następującej reguły mnemonicznej (reguły Napeera): jeśli zastąpimy ramiona prostokątnego trójkąta sferycznego ich dopełnieniami i uporządkujemy elementy trójkąta (z wyłączeniem właściwy kąt A)
w okręgu w kolejności, w jakiej znajdują się w trójkącie (czyli w następujący sposób: Ty, 90° - B, 90° - c), wówczas cosinus każdego elementu jest równy iloczynowi sinusów elementów niesąsiadujących ze sobą, na przykład sałata A= grzech (90° - Z) grzech (90° - B) lub, po konwersji, sałata a = sałata B sałata Z(wzór 2”). Przy rozwiązywaniu problemów wygodne są następujące formuły Delambre, łączące wszystkie sześć elementów trójkąta sferycznego: Przy rozwiązywaniu wielu problemów astronomii sferycznej, w zależności od wymaganej dokładności, często wystarczy zastosować wzory przybliżone: w przypadku małych trójkątów sferycznych (czyli takich, których boki są małe w porównaniu z promieniem kuli) można zastosować wzory trygonometrii płaskiej; dla wąskich trójkątów kulistych (czyli np. tych z jednym bokiem). A, małe w porównaniu do innych) stosuje się następujące wzory:
(3’’) lub bardziej precyzyjne wzory: S. t. powstał znacznie wcześniej niż trygonometria płaska. Właściwości prostokątnych trójkątów sferycznych wyrażone wzorami (1")-(3") oraz różne przypadki ich rozwiązania znane były greckim naukowcom Menelaosowi (I w.) i Ptolemeuszowi (II w.). Greccy naukowcy zredukowali rozwiązanie ukośnych trójkątów sferycznych do rozwiązania prostokątnych. Azerbejdżański naukowiec Nasireddin Tuey (XIII w.) systematycznie badał wszystkie przypadki rozwiązywania ukośnych trójkątów sferycznych, wskazując po raz pierwszy rozwiązanie w dwóch najtrudniejszych przypadkach. Podstawowe wzory na ukośne trójkąty sferyczne odkryli arabski naukowiec Abul-Vefa (X w.) [wzór (1)], niemiecki matematyk I. Regiomontan (połowa XV w.) [wzory typu (2)] oraz Francuzi matematyk F. Vieta (2. poł. XVI w.) [wzory typu (2 1)] i L. Euler (Rosja, XVIII w.) [wzory typu (3) i (3 1)]. Euler (1753 i 1779) podał cały system formuł teorii teorii.Poszczególne, wygodne w praktyce formuły teorii teorii ustalili szkocki matematyk J. Napier (koniec XVI – początek XVII w.) i Anglicy matematyk G. Briggs (koniec XVI - początek XVII w.), XVII w.), rosyjski astronom A.I. Leksel (2. połowa XVIII w.), francuski astronom J. Delambre (koniec XVIII - początek XIX w.) itp. Wielka encyklopedia radziecka. - M .: Encyklopedia radziecka.
1969-1978
.
Trygonometria sferyczna jest gałęzią trygonometrii badającą zależności między kątami i długościami boków trójkątów sferycznych. Służy do rozwiązywania różnych problemów geodezyjnych i astronomicznych. Spis treści 1 Historia… Wikipedia Dział matematyki badający relacje między bokami i kątami trójkątów sferycznych (tj. trójkątów na powierzchni kuli) utworzonych przez przecięcie trzech wielkich okręgów. Trygonometria sferyczna jest ściśle powiązana z... ... Wielki słownik encyklopedyczny Bada właściwości trójkątów narysowanych na powierzchni kulistej. powierzchnie utworzone na kuli przez łuki okręgów. Słownik słów obcych zawartych w języku rosyjskim. Pawlenkow F., 1907 ... Słownik obcych słów języka rosyjskiego Dział matematyki badający relacje między bokami i kątami trójkątów sferycznych (tj. trójkątów na powierzchni kuli) utworzonych przez przecięcie trzech wielkich okręgów. Trygonometria sferyczna jest ściśle powiązana z... ... słownik encyklopedyczny Matematyka. dyscyplina badająca relacje między kątami i bokami trójkątów sferycznych (patrz Geometria sferyczna). Niech A, B, C będą kątami, a a, b, c przeciwległymi bokami trójkąta sferycznego ABC. Kąty i boki sfery trójkąt... Encyklopedia matematyczna Dziedzina matematyki zajmująca się badaniem zależności pomiędzy bokami i kątami obiektów kulistych. trójkąty (tj. trójkąty na powierzchni kuli) utworzone przez przecięcie trzech dużych okręgów. S. t. jest ściśle spokrewniony z kulistym. astronomia... Naturalna nauka. słownik encyklopedyczny Trójkąt sferyczny Kurtoza trójkąta sferycznego, czyli nadwyżka sferyczna w sf ... Wikipedia Twierdzenie Legendre'a z trygonometrii sferycznej pozwala uprościć rozwiązanie trójkąta sferycznego, jeśli wiadomo, że jego boki są wystarczająco małe w porównaniu z promieniem kuli, na której się on znajduje. Sformułowanie... Wikipedia Trójkąt sferyczny prostokątny z przeciwprostokątną c, nogami aib i kątem prostym C. Twierdzenie Pitagorasa o sferze sferycznej to twierdzenie ustalające związek między bokami prostokąta ... Wikipedia Wielkie koło zawsze dzieli kulę na dwie równe połowy. Środek wielkiego koła pokrywa się ze środkiem kuli... Wikipedia Aby rozwiązać wiele problemów nawigacyjnych, stosuje się wzory trygonometrii sferycznej. Na podstawie takich wzorów zestawiane są np. równania izolinii i gradientów niektórych parametrów nawigacyjnych; zadania mające na celu określenie lokalizacji statku; wyznaczane są wartości kątów i boków trójkąta paralaktycznego w celu uzyskania współrzędnych pozycji statku i poprawek kompasu z wykorzystaniem metod astronomii morskiej i nie tylko. Zadaniem trygonometrii sferycznej jest ustalenie zależności pomiędzy bokami i kątami trójkąta sferycznego. Trójkąt sferyczny uważa się za dany, jeśli znane są dowolne trzy jego elementy. Rozwiązanie trójkąta polega na wyznaczeniu jego nieznanych elementów. W większości przypadków rozwiązanie wykonuje się za pomocą tzw. podstawowych wzorów, do których zaliczają się: · wzór (twierdzenie) na cosinus boku; · wzór (twierdzenie) na cosinus kąta; wzór (twierdzenie) sinusów; · wzór kotangentów, zwany także wzorem czterech sąsiadujących ze sobą elementów; · formuła pięciu żywiołów. W niektórych przypadkach konieczne staje się zastosowanie dodatkowych formuł, do których zalicza się: wzory półobwodowe; · Wzory Delambre-Gaussa; Analogie Napiera (proporcje). Te grupy formuł mają pewne zalety: 1) są logarytmiczne, zatem nie wymagają stosowania tablic sum i różnic; 2) wymagane kąty uzyskuje się z najkorzystniejszych funkcji - stycznych, tj. podaj najmniejsze błędy przy obliczaniu kąta; 3) wybór jednej czwartej wymaganych kątów następuje już w rozwiązaniu, dlatego nie ma potrzeby analizowania wzoru na znaki. Wzór na cosinus boczny (twierdzenie cosinus): w trójkącie sferycznym cosinus boku jest równy iloczynowi cosinusów pozostałych dwóch boków plus iloczyn sinusów tych boków przez cosinus kąta między nimi. Wzór na cosinus boczny wiąże boki i jeden z kątów trójkąta sferycznego. W sumie istnieją trzy formuły: cos za = cos b cos do + grzech b grzech do cos A cos b = cos a cos do + grzech a grzech do cos B(3.1) cos do = cos a cos b + grzech a grzech b cos C Wzór na cosinus kąta (twierdzenie cosinus dla trójkąta biegunowego): w trójkącie sferycznym cosinus kąta jest równy iloczynowi ujemnemu cosinusów pozostałych dwóch kątów plus iloczyn sinusów tych kątów i cosinusa boku między nimi. Wzór na kąt cosinus wiąże ze sobą kąty i jeden z boków trójkąta sferycznego. W sumie istnieją trzy formuły: cos A = - cos B cos C + grzech B grzech C cos a cos B = - cos A cos C + grzech A grzech C cos b(3.2) cos C = - cos A cos B + grzech A grzech B cos do Wzór cotangens (wzór czterech sąsiadujących ze sobą elementów):iloczyn cotangensu skrajnego kąta przez sinus kąta środkowego jest równy iloczynowi cotangensu skrajnego boku przez sinus środkowego boku minus iloczyn cosinusów środkowych elementów. Formuła łączy cztery elementy leżące w rzędzie. ctg A sin B = ctg a sin c – cos c cos B ctg A sin C = ctg a sin b – cos b cos C ctg B sin A = ctg b sin c – cos c cos A(3.3) ctg B sin C = ctg b sin a – cos a cos C ctg C sin A = ctg do sin b – cos b cos A ctg C sin B = ctg do sin a – cos a cos B Wzór na sinusy (twierdzenie o sinusie): W trójkącie sferycznym sinusy boków są proporcjonalne do sinusów przeciwległych kątów. Analogie Napiera: Stosując analogie Napiera w połączeniu z twierdzeniem o sinusach, rozwiązuje się zwykle dwa rodzaje problemów dotyczących ukośnego trójkąta sferycznego - gdy znane są dwa boki i kąt leżący naprzeciwko jednego z nich, lub dwa kąty i bok przeciwny do jednego z nich. Jak wspomniano powyżej, zastosowanie tego typu formuł pozwala znaleźć nieznane elementy bez stosowania logarytmów sum i różnic. Jednakże użycie tylko tych dwóch grup wzorów powoduje konieczność wykorzystania wcześniej znalezionych elementów przy obliczaniu niektórych nieznanych elementów. Aby nie wykorzystywać wcześniej znalezionych elementów dwóch ostatnich typów problemów, można zastosować następujące algorytmy: Gdy znane są na przykład dwa boki i kąt leżący naprzeciwko jednego z nich a, b, A, obliczane są wielkości pomocnicze G I H: łóżko dziecięce G = cos A tan b tan H = tan A cos b grzech B = grzech A grzech b cosec a grzech (c-G) = cos a sekunda b grzech G(3.6) sin (C+H) = cot a tan b sin H Gdy znane są dwa kąty i strona przeciwna do jednego z nich, oblicza się wielkości pomocnicze K i M: bo się opalam B tan M = tan a cos B Następnie nieznane wielkości oblicza się korzystając ze wzorów: grzech b = grzech grzech B cosec A grzech (C-K) = cos A sec B grzech K (3.7) grzech (c+M) = łóżko A tan B grzech M TRYGONOMETRIA SFERYCZNA– dyscyplina matematyczna badająca zależności pomiędzy kątami i bokami trójkątów kulistych. Trygonometria (po grecku „mierzenie trójkątów”) zaczęła się od tej, najbardziej złożonej części. Różne przypadki rozwiązywania trójkątów sferycznych zostały po raz pierwszy przedstawione na piśmie przez greckiego astronoma Hipparcha z Nicei w połowie II wieku. BC niestety dzieło Hipparcha do nas nie dotarło. Właściwości prostokątnych trójkątów sferycznych znali już Menelaos (I w.) i Klaudiusz Ptolemeusz (ok. 90 – ok. 160), twórcy panującego przed Kopernikiem układu geocentrycznego świata. W Almagest (Wielkie Zgromadzenie) Ptolemeusz (ok. 150) również zawiera wiele informacji z dzieł Hipparcha. W X wieku Bagdadzki naukowiec Muhammad z Bujan, znany jako Abu-l-Vefa, sformułował twierdzenie o sinusach. Nasir-ed-Din z Tus (1201–1274) systematycznie przeglądał wszystkie przypadki rozwiązywania skośnych trójkątów sferycznych i wskazywał szereg nowych rozwiązań. W XII wieku Wiele dzieł astronomicznych zostało przetłumaczonych z języka arabskiego na łacinę, co umożliwiło zapoznanie się z nimi Europejczykom. Ale niestety wiele pozostało nieprzetłumaczonych, a wybitny niemiecki astronom i matematyk Johann Muller (1436–1476), którego współcześni znali pod nazwiskiem Regiomontanus (tak tłumaczy się na łacinę nazwę jego rodzinnego miasta Królewca), 200 lat po tym, jak Nasir-ed-Dina ponownie odkrył jego twierdzenia. François Viète (1540–1603) i Leonhard Euler (1707–1783) również wnieśli znaczący wkład w rozwój trygonometrii sferycznej. Przed Eulerem twierdzenia formułowano wyłącznie geometrycznie - to Euler (1753 i 1779) dał cały system wzorów na trygonometrię sferyczną. Pozwalać A,W I Z- kąty i A,B I C - przeciwległych boków trójkąta sferycznego ABC(ryc. 1). Z dowolnych trzech elementów można wyznaczyć pozostałe trzy (w przeciwieństwie do geometrii „płaskiej”, gdzie trzy kąty nie definiują trójkąta). Poniższe wzory trygonometrii sferycznej wiążą kąty i boki trójkąta (tzn. pozwalają rozwiązać trójkąt): Dla prostokątnych trójkątów sferycznych ( A= 90°, A– przeciwprostokątna, B I Z– nogi) wzory trygonometrii sferycznej są uproszczone: grzech B= grzech A grzech B, sałata A=co B sałata C, grzech A sałata B=co B grzech C. Aby uzyskać wzory łączące elementy prostokątnego trójkąta sferycznego, można skorzystać z następującej reguły mnemonicznej (reguły Napeera): jeśli zastąpimy ramiona prostokątnego trójkąta sferycznego ich dopełnieniami do 90, zignorujmy kąt prosty A i ułóż pozostałe pięć elementów w okrąg (ryc. 2) w takiej kolejności, w jakiej znajdują się w trójkącie, tj. B,A,C, 90° – B, 90° – C, wówczas cosinus każdego elementu będzie równy iloczynowi cotangensów sąsiednich elementów lub iloczynowi sinusów elementów niesąsiadujących. Na przykład, cos B= ctg (90° – C)ctg A lub ponieważ B= tg C ctg A po konwersji ;
sałata A= grzech(90° – C) grzech (90° – B) lub cos A=co B sałata C. Przy rozwiązywaniu problemów wygodne są następujące formuły D'Alemberta, łączące wszystkie sześć elementów trójkąta sferycznego: grzech ½ A cos ½ ( B– C) = grzech ½ A grzech ½ ( B+ C), grzech ½ A grzech ½ ( B– C) = cos ½ A grzech ½ ( B– C),.
Wzory trygonometrii sferycznej są szeroko stosowane w astronomii sferycznej. Nie da się obejść bez tych wzorów, ponieważ wszystkie pomiary związane z lokalizacją opraw na niebie są pomiarami pośrednimi. Przez długi czas trygonometrię sferyczną uważano po prostu za dziedzinę astronomii. Marina Fedosowa Trójkąty kuliste. Na powierzchni kuli najkrótszą odległość między dwoma punktami mierzy się po obwodzie wielkiego koła, to znaczy okręgu, którego płaszczyzna przechodzi przez środek kuli. Wierzchołki trójkąta sferycznego są punktami przecięcia trzech promieni wychodzących ze środka kuli i powierzchni kulistej. Strony A, B, C Trójkątem sferycznym nazywamy te kąty pomiędzy promieniami, które są mniejsze (jeżeli jeden z tych kątów jest równy , wówczas trójkąt sferyczny degeneruje się w półkole wielkiego koła). Każdy bok trójkąta odpowiada łukowi wielkiego koła na powierzchni kuli (patrz rysunek). Kąty A, B, C trójkąt kulisty, przeciwległe boki A, B, C odpowiednio, są to z definicji kąty mniejsze niż , między łukami wielkich kół odpowiadającymi bokom trójkąta lub kątami między płaszczyznami określonymi przez te promienie. Trygonometria sferyczna bada zależności między bokami i kątami trójkątów sferycznych (na przykład na powierzchni Ziemi i na sferze niebieskiej). Jednak fizycy i inżynierowie w wielu problemach wolą stosować transformacje rotacyjne niż trygonometrię sferyczną. Własności trójkątów sferycznych. Każdy bok i kąt trójkąta sferycznego są z definicji mniejsze. Geometria na powierzchni kuli jest nieeuklidesowa; w każdym trójkącie sferycznym suma boków mieści się w przedziale od 0 do , a suma kątów pomiędzy i . W każdym trójkącie sferycznym większy kąt leży naprzeciw większego boku. Suma dowolnych dwóch boków jest większa niż trzeci bok, suma dowolnych dwóch kątów jest mniejsza niż plus trzeci kąt.
LITERATURA
Zobacz, co „trygonometria sferyczna” znajduje się w innych słownikach:
Książki
(3.5)
Trygonometria sferyczna
