Pierwiastek kwadratowy arytmetyczny i jego własności. Pojęcie pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej Definicja pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej.

Rozważ równanie x 2 = 4. Rozwiąż je graficznie. Aby to zrobić, w jednym układzie współrzędnych konstruujemy parabolę y = x 2 i linię prostą y = 4 (ryc. 74). Przecinają się w dwóch punktach A (- 2; 4) i B (2; 4). Odcięte punktów A i B są pierwiastkami równania x 2 = 4. Zatem x 1 = - 2, x 2 = 2.

Rozumując dokładnie w ten sam sposób, znajdujemy pierwiastki równania x 2 = 9 (patrz ryc. 74): x 1 = - 3, x 2 = 3.

Spróbujmy teraz rozwiązać równanie x 2 = 5; ilustracja geometryczna jest pokazana na ryc. 75. Oczywiste jest, że to równanie ma dwa pierwiastki x 1 i x 2, a liczby te, podobnie jak w dwóch poprzednich przypadkach, są równe pod względem wartości bezwzględnej i przeciwne pod względem znaku (x 1 - - x 2) - Ale w przeciwieństwie do poprzedniego przypadkach, gdzie pierwiastki równania znaleziono bez trudności (a można je było znaleźć bez użycia wykresów), w przypadku równania x 2 = 5 tak nie jest: zgodnie z rysunkiem nie możemy wskazać wartości korzenie, możemy jedynie ustalić, że jeden korzeń znajduje się nieco po lewej stronie są 2 kropki, a drugi trochę po prawej stronie

punkty 2.

Co to za liczba (kropka) znajdująca się tuż na prawo od punktu 2, która po podniesieniu do kwadratu daje 5? Oczywiste jest, że nie jest to 3, ponieważ 3 · 2 = 9, tj. okazuje się, że jest więcej niż potrzeba (9 > 5).

Oznacza to, że interesująca nas liczba znajduje się pomiędzy liczbami 2 i 3. Natomiast pomiędzy liczbami 2 i 3 znajduje się nieskończona liczba liczb wymiernych, np. itp. Być może wśród nich znajdzie się taki ułamek jak ? Wtedy nie będziemy mieli problemów z równaniem x 2 - 5, możemy to zapisać

Ale tutaj czeka nas niemiła niespodzianka. Okazuje się, że nie ma ułamka, dla którego zachodzi równość
Dowód powyższego twierdzenia jest dość trudny. Niemniej jednak przedstawiamy go, ponieważ jest piękny i pouczający, a także bardzo pożyteczna jest próba jego zrozumienia.

Załóżmy, że istnieje ułamek nieredukowalny, dla którego zachodzi równość. Następnie, tj. m 2 = 5n 2. Ostatnia równość oznacza, że liczba naturalna m 2 jest podzielna przez 5 bez reszty (w ilorazie będzie to n2).

W konsekwencji liczba m 2 kończy się albo liczbą 5, albo liczbą 0. Ale wtedy liczba naturalna m również kończy się albo liczbą 5, albo liczbą 0, tj. liczba m jest podzielna przez 5 bez reszty. Innymi słowy, jeśli liczbę m podzielimy przez 5, wówczas iloraz da liczbę naturalną k. To znaczy,
że m = 5 tys.
Nowy wygląd:
m 2 = 5 n 2 ;
Podstawmy 5k zamiast m w pierwszej równości:

(5k) 2 = 5n 2, czyli 25k 2 = 5n 2 lub n 2 = 5k 2.
Ostatnia równość oznacza, że liczba. 5n 2 dzieli się przez 5 bez reszty. Rozumując jak wyżej, dochodzimy do wniosku, że liczba n jest również podzielna przez 5 bez reszty.
Zatem m jest podzielne przez 5, n jest podzielne przez 5, co oznacza, że ułamek można zmniejszyć (o 5). Założyliśmy jednak, że ułamek jest nieredukowalny. O co chodzi? Dlaczego po prawidłowym rozumowaniu doszliśmy do absurdu lub, jak często mówią matematycy, dostaliśmy sprzeczność!Tak, ponieważ początkowe założenie było błędne, jak gdyby istniał ułamek nieredukowalny, dla którego zachodzi równość
Stąd wnioskujemy: nie ma takiego ułamka.
Metoda dowodu, którą właśnie zastosowaliśmy, nazywa się w matematyce metodą dowodu przez sprzeczność. Jego istota jest następująca. Musimy udowodnić pewne twierdzenie i zakładamy, że nie jest ono prawdziwe (matematycy mówią: „załóżmy, że jest odwrotnie” – nie w znaczeniu „nieprzyjemne”, ale w sensie „przeciwieństwa tego, co jest wymagane”).
Jeśli w wyniku prawidłowego rozumowania dojdziemy do sprzeczności z warunkiem, to dochodzimy do wniosku: nasze założenie jest fałszywe, co oznacza, że to, co musieliśmy udowodnić, jest prawdziwe.

Zatem mając tylko liczby wymierne (a innych liczb jeszcze nie znamy) nie możemy rozwiązać równania x 2 = 5.
Spotkawszy się po raz pierwszy z taką sytuacją, matematycy zdali sobie sprawę, że muszą wymyślić sposób, aby opisać ją językiem matematycznym. Wprowadzili nowy symbol, który nazwali pierwiastkiem kwadratowym i za pomocą tego symbolu zapisano pierwiastki równania x 2 = 5 w następujący sposób:

Brzmi ono: „pierwiastek kwadratowy z 5”). Teraz dla dowolnego równania w postaci x 2 = a, gdzie a > O, możesz znaleźć pierwiastki - są to liczby , (ryc. 76).

Podkreślmy też, że liczba nie jest ani liczbą całkowitą, ani ułamkiem.
Oznacza to, że nie jest to liczba wymierna, jest to liczba o nowym charakterze, o czym będziemy mówić szczegółowo później, w rozdziale 5.
Na razie zauważmy, że nowa liczba znajduje się pomiędzy liczbami 2 i 3, ponieważ 2 2 = 4, czyli mniej niż 5; 3 2 = 9, a to jest więcej niż 5. Możesz wyjaśnić:

W rzeczywistości 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Ty też możesz
sprecyzować:

rzeczywiście 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
W praktyce zwykle uważa się, że liczba ta jest równa 2,23 lub jest równa 2,24, tyle że nie jest to zwykła równość, ale przybliżona równość, co jest oznaczone symbolem „”.
Więc,

Omawiając rozwiązanie równania x 2 = a, zetknęliśmy się z dość typowym dla matematyki stanem rzeczy. Znajdując się w niestandardowej, nienormalnej (jak lubią mawiać kosmonauci) sytuacji i nie znajdując wyjścia z niej znanymi sposobami, matematycy wymyślają nowy termin i nowe oznaczenie (nowy symbol) dla opracowanego przez siebie modelu matematycznego pierwsze spotkanie; innymi słowy, wprowadzają nową koncepcję, a następnie badają jej właściwości
koncepcje. Tym samym nowe pojęcie i jego oznaczenie stają się własnością języka matematycznego. Postępowaliśmy w ten sam sposób: wprowadziliśmy termin „pierwiastek kwadratowy z liczby a”, wprowadziliśmy symbol go oznaczający, a nieco później zbadamy właściwości nowego pojęcia. Na razie wiemy tylko jedno: jeśli a > 0,
to jest liczba dodatnia spełniająca równanie x 2 = a. Innymi słowy, jest to liczba dodatnia, która po podniesieniu do kwadratu daje liczbę a.
Ponieważ równanie x 2 = 0 ma pierwiastek x = 0, zgodziliśmy się to założyć
Teraz jesteśmy gotowi podać ścisłą definicję.
Definicja. Pierwiastek kwadratowy z nie Liczba ujemna a jest liczbą nieujemną, której kwadrat jest równy a.

Liczba ta jest oznaczana liczbą i nazywana jest liczbą radykalną.
Jeśli więc a jest liczbą nieujemną, to:

Jeśli< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Zatem wyrażenie ma sens tylko dla a > 0.
Mówią, że - ten sam model matematyczny (ta sama zależność między liczbami nieujemnymi
(aib), ale tylko drugi jest opisany w dalszej części w prostym języku niż pierwszy (używa prostszych znaków).

Operację znajdowania pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej nazywa się pierwiastkowaniem kwadratowym. Ta operacja jest odwrotnością kwadratury. Porównywać:

Należy jeszcze raz zauważyć, że w tabeli pojawiają się tylko liczby dodatnie, zgodnie z definicją pierwiastka kwadratowego. I chociaż np. (- 5) 2 = 25 jest prawdziwą równością, przejdź od tego do zapisu za pomocą pierwiastka kwadratowego (tj. zapisz to).
to jest zabronione. A-przeorat, . jest liczbą dodatnią, co oznacza .
Często mówią nie Pierwiastek kwadratowy" i "arytmetyczny pierwiastek kwadratowy". Pomijamy termin „arytmetyka” dla zwięzłości.

D) W przeciwieństwie do poprzednich przykładów, nie możemy tego wskazać Dokładna wartość liczby. Jasne jest tylko, że jest większa niż 4, ale mniejsza niż 5, ponieważ

4 2 = 16 (to mniej niż 17) i 5 2 = 25 (to więcej niż 17).
Jednak przybliżoną wartość liczby można znaleźć za pomocą mikrokalkulatora, który zawiera operację wyodrębnienia pierwiastka kwadratowego; wartość ta wynosi 4,123.
Więc,
Liczba, podobnie jak liczba omówiona powyżej, nie jest wymierna.
e) Nie można tego obliczyć, ponieważ nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej; wpis jest bez sensu. Proponowane zadanie jest nieprawidłowe.
e) ponieważ 31 > 0 i 31 2 = 961. W takich przypadkach należy skorzystać z tabeli kwadratów liczb naturalnych lub mikrokalkulatora.
g) ponieważ 75 > 0 i 75 2 = 5625.
W najprostszych przypadkach wartość pierwiastka oblicza się od razu: itd. W bardziej skomplikowanych przypadkach trzeba skorzystać z tabeli kwadratów liczb lub przeprowadzić obliczenia za pomocą mikrokalkulatora. A co jeśli nie masz pod ręką stolika ani kalkulatora? Odpowiedzmy na to pytanie, rozwiązując następujący przykład.

Przykład 2. Oblicz
Rozwiązanie.
Pierwszy etap. Nietrudno zgadnąć, że odpowiedzią będzie 50 z ogonem. W rzeczywistości 50 2 = 2500 i 60 2 = 3600, podczas gdy liczba 2809 mieści się pomiędzy liczbami 2500 a 3600.

Druga faza. Znajdźmy „ogon”, tj. ostatnią cyfrę żądanego numeru. Na razie wiemy, że jeśli weźmiemy pierwiastek, to odpowiedzią może być 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 lub 59. Musimy sprawdzić tylko dwie liczby: 53 i 57, ponieważ tylko one, po podniesieniu do kwadratu wynik będzie czterocyfrową liczbą kończącą się na 9, czyli tą samą liczbą, która kończy się na 2809.
Mamy 532 = 2809 - właśnie tego nam potrzeba (mieliśmy szczęście, od razu trafiliśmy w dziesiątkę). Zatem = 53.
Odpowiedź:

53
Przykład 3. Boki trójkąta prostokątnego mają długość 1 cm i 2 cm. Jaka jest przeciwprostokątna tego trójkąta? (ryc. 77)

Rozwiązanie.

Skorzystajmy ze znanego z geometrii twierdzenia Pitagorasa: suma kwadratów długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa kwadratowi długości jego przeciwprostokątnej, czyli a 2 + b 2 = c 2, gdzie a , b to nogi, c to przeciwprostokątna prawego trójkąta.

Oznacza,

Ten przykład pokazuje, że wprowadzenie pierwiastki kwadratowe- nie kaprys matematyków, ale obiektywna konieczność: in prawdziwe życie Istnieją sytuacje, których modele matematyczne zawierają operację wyodrębnienia pierwiastka kwadratowego. Być może najważniejsza z tych sytuacji dotyczy
rozwiązywanie równań kwadratowych. Do tej pory, napotykając równania kwadratowe ax 2 + bx + c = 0, albo uwzględnialiśmy lewą stronę (co nie zawsze się sprawdzało), albo stosowaliśmy metody graficzne (co też nie jest zbyt wiarygodne, choć piękne). A właściwie znaleźć
pierwiastki x 1 i x 2 równania kwadratowego ax 2 + bx + c = 0 we wzorach matematycznych stosuje się

zawierające, jak widać, pierwiastek kwadratowy.Wzory te są stosowane w praktyce w następujący sposób. Niech np. musimy rozwiązać równanie 2x 2 + bx - 7 = 0. Tutaj a = 2, b = 5, c = - 7. Zatem
b2 - 4ac = 5 2 - 4. 2. (- 7) = 81. Następnie znajdujemy . Oznacza,

Zauważyliśmy powyżej, że nie jest to liczba wymierna.
Matematycy nazywają takie liczby irracjonalnymi. Dowolna liczba w postaci jest irracjonalna, jeśli nie można wyciągnąć pierwiastka kwadratowego. Na przykład, itp. - liczby niewymierne. W Rozdziale 5 porozmawiamy więcej o liczbach wymiernych i niewymiernych. Liczby wymierne i niewymierne razem tworzą zbiór liczb rzeczywistych, tj. zbiór wszystkich tych liczb, którymi operujemy w prawdziwym życiu (w rzeczywistości
ness). Na przykład wszystkie te liczby są liczbami rzeczywistymi.
Tak jak zdefiniowaliśmy pojęcie pierwiastka kwadratowego powyżej, możemy również zdefiniować pojęcie pierwiastka sześciennego: pierwiastek sześcienny z liczby nieujemnej a jest liczbą nieujemną, której sześcian jest równy a. Innymi słowy, równość oznacza, że b 3 = a.

Tego wszystkiego będziemy się uczyć na kursie algebry w 11. klasie.

W tym artykule przedstawimy pojęcie pierwiastka liczby. Będziemy postępować sekwencyjnie: zaczniemy od pierwiastka kwadratowego, stamtąd przejdziemy do opisu pierwiastka sześciennego, po czym uogólnimy pojęcie pierwiastka, określając n-ty pierwiastek. Jednocześnie wprowadzimy definicje, oznaczenia, podamy przykłady pierwiastków oraz podamy niezbędne wyjaśnienia i komentarze.

Pierwiastek kwadratowy, arytmetyczny pierwiastek kwadratowy

Aby zrozumieć definicję pierwiastka z liczby, a w szczególności pierwiastka kwadratowego, musisz mieć . W tym miejscu często spotykamy się z drugą potęgą liczby – kwadratem liczby.

Zacznijmy definicje pierwiastków kwadratowych.

Definicja

Pierwiastek kwadratowy z a jest liczbą, której kwadrat jest równy a.

Aby przynieść przykłady pierwiastków kwadratowych, weź kilka liczb, na przykład 5, −0,3, 0,3, 0, i podnieś je do kwadratu, otrzymamy odpowiednio liczby 25, 0,09, 0,09 i 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 i 0 2 =0,0=0). Następnie, zgodnie z definicją podaną powyżej, liczba 5 jest pierwiastkiem kwadratowym z liczby 25, liczby -0,3 i 0,3 są pierwiastkami kwadratowymi z 0,09, a 0 jest pierwiastkiem kwadratowym z zera.

Należy zauważyć, że dla żadnej liczby a nie istnieje a, którego kwadrat jest równy a. Mianowicie, dla dowolnej liczby ujemnej a nie ma liczby rzeczywistej b, której kwadrat jest równy a. W rzeczywistości równość a=b 2 jest niemożliwa dla dowolnego ujemnego a, ponieważ b 2 jest liczbą nieujemną dla dowolnego b. Zatem, w zbiorze liczb rzeczywistych nie ma pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej. Inaczej mówiąc, na zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie jest zdefiniowany i nie ma żadnego znaczenia.

Prowadzi to do logicznego pytania: „Czy istnieje pierwiastek kwadratowy z dowolnego nieujemnego a”? Odpowiedź brzmi tak. Fakt ten można uzasadnić konstruktywną metodą wyznaczenia wartości pierwiastka kwadratowego.

Następnie pojawia się kolejne logiczne pytanie: „Jaka jest liczba wszystkich pierwiastków kwadratowych danej liczby nieujemnej a - jeden, dwa, trzy, a nawet więcej”? Oto odpowiedź: jeśli a wynosi zero, to jedynym pierwiastkiem kwadratowym z zera jest zero; jeśli a jest liczbą dodatnią, to liczba pierwiastków kwadratowych liczby a wynosi dwa, a pierwiastki wynoszą . Uzasadnijmy to.

Zacznijmy od przypadku a=0. Najpierw pokażmy, że zero jest rzeczywiście pierwiastkiem kwadratowym z zera. Wynika to z oczywistej równości 0 2 =0·0=0 i definicji pierwiastka kwadratowego.

Teraz udowodnijmy, że 0 jest jedynym pierwiastkiem kwadratowym z zera. Zastosujmy metodę odwrotną. Załóżmy, że istnieje pewna niezerowa liczba b, która jest pierwiastkiem kwadratowym z zera. Wtedy musi być spełniony warunek b 2 = 0, co jest niemożliwe, gdyż dla dowolnego niezerowego b wartość wyrażenia b 2 jest dodatnia. Doszliśmy do sprzeczności. To dowodzi, że 0 jest jedynym pierwiastkiem kwadratowym z zera.

Przejdźmy do przypadków, w których a jest liczbą dodatnią. Powiedzieliśmy powyżej, że z dowolnej liczby nieujemnej zawsze istnieje pierwiastek kwadratowy. Niech pierwiastkiem kwadratowym z a będzie liczba b. Powiedzmy, że istnieje liczba c, która jest również pierwiastkiem kwadratowym z a. Wtedy z definicji pierwiastka kwadratowego prawdziwe są równości b 2 = a i c 2 = a, z czego wynika, że b 2 −c 2 =a−a=0, ale ponieważ b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , wtedy (b−c)·(b+c)=0 . Otrzymana równość jest ważna właściwości operacji na liczbach rzeczywistych możliwe tylko wtedy, gdy b−c=0 lub b+c=0 . Zatem liczby b i c są równe lub przeciwne.

Jeżeli założymy, że istnieje liczba d, która jest kolejnym pierwiastkiem kwadratowym z liczby a, to rozumując podobnie do już podanych, dowodzimy, że d jest równe liczbie b lub liczbie c. Zatem liczba pierwiastków kwadratowych liczby dodatniej wynosi dwa, a pierwiastki kwadratowe są liczbami przeciwnymi.

Dla wygody pracy z pierwiastkami kwadratowymi pierwiastek ujemny jest „oddzielony” od pierwiastka dodatniego. W tym celu wprowadza się definicja arytmetycznego pierwiastka kwadratowego.

Definicja

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej a jest liczbą nieujemną, której kwadrat jest równy a.

Zapis arytmetycznego pierwiastka kwadratowego z a to . Znak ten nazywa się arytmetycznym znakiem pierwiastka kwadratowego. Nazywa się go również znakiem radykalnym. Dlatego czasami można usłyszeć zarówno „root”, jak i „radykalny”, co oznacza ten sam przedmiot.

Nazywa się liczbę znajdującą się pod znakiem pierwiastka arytmetycznego liczba radykalna, a wyrażenie pod znakiem głównym to radykalne wyrażenie, podczas gdy termin „liczba radykalna” jest często zastępowany przez „wyrażenie radykalne”. Na przykład w zapisie liczba 151 jest liczbą rodnikową, a w zapisie wyrażenie a jest wyrażeniem radykalnym.

Podczas czytania często pomija się słowo „arytmetyka”, na przykład wpis czyta się jako „pierwiastek kwadratowy z siedmiu przecinek dwadzieścia dziewięć”. Słowo „arytmetyka” jest używane tylko wtedy, gdy chce podkreślić, że mówimy konkretnie o dodatnim pierwiastku kwadratowym z liczby.

W świetle wprowadzonej notacji z definicji arytmetycznego pierwiastka kwadratowego wynika, że dla dowolnej liczby nieujemnej a .

Pierwiastki kwadratowe liczby dodatniej a zapisuje się przy użyciu arytmetycznego znaku pierwiastka kwadratowego as i . Na przykład pierwiastki kwadratowe z 13 to i . Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z zera wynosi zero, czyli . W przypadku liczb ujemnych a nie będziemy przywiązywać znaczenia do zapisu, dopóki się nie przestudiujemy Liczby zespolone . Na przykład wyrażenia i są bez znaczenia.

Na podstawie definicji pierwiastka kwadratowego wykazano właściwości pierwiastków kwadratowych, które są często wykorzystywane w praktyce.

Podsumowując ten punkt, zauważamy, że pierwiastki kwadratowe liczby a są rozwiązaniami postaci x 2 = a w odniesieniu do zmiennej x.

Pierwiastek sześcienny liczby

Definicja pierwiastka sześciennego liczby a podaje się analogicznie do definicji pierwiastka kwadratowego. Tylko że opiera się na koncepcji sześcianu liczby, a nie kwadratu.

Definicja

Pierwiastek sześcienny a jest liczbą, której sześcian jest równy a.

Dajmy przykłady pierwiastków sześciennych. Aby to zrobić, weź kilka liczb, na przykład 7, 0, −2/3, i pokrój je w kostkę: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Następnie, opierając się na definicji pierwiastka sześciennego, możemy powiedzieć, że liczba 7 to pierwiastek sześcienny z 343, 0 to pierwiastek sześcienny zera, a -2/3 to pierwiastek sześcienny z -8/27.

Można wykazać, że pierwiastek sześcienny z liczby, w przeciwieństwie do pierwiastka kwadratowego, istnieje zawsze, nie tylko dla nieujemnej liczby a, ale także dla dowolnej liczby rzeczywistej a. Aby to zrobić, możesz zastosować tę samą metodę, o której wspomnieliśmy podczas badania pierwiastków kwadratowych.

Co więcej, istnieje tylko jeden pierwiastek sześcienny podany numer A. Udowodnimy ostatnie stwierdzenie. Aby to zrobić, rozpatrzmy oddzielnie trzy przypadki: a jest liczbą dodatnią, a=0 i a jest liczbą ujemną.

Łatwo pokazać, że jeśli a jest dodatnie, pierwiastek sześcienny a nie może być ani liczbą ujemną, ani zerem. Rzeczywiście, niech b będzie pierwiastkiem sześciennym a, to z definicji możemy zapisać równość b 3 = a. Jest oczywiste, że ta równość nie może być prawdziwa dla ujemnego b i dla b=0, ponieważ w tych przypadkach b 3 =b·b·b będzie odpowiednio liczbą ujemną lub zerem. Zatem pierwiastek sześcienny liczby dodatniej a wynosi Liczba dodatnia.

Załóżmy teraz, że oprócz liczby b istnieje jeszcze jeden pierwiastek sześcienny z liczby a, oznaczmy ją jako c. Następnie c 3 = a. Zatem b 3 −c 3 =a−a=0, ale b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(jest to skrócona formuła mnożenia różnica sześcianów), skąd (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Otrzymana równość jest możliwa tylko wtedy, gdy b−c=0 lub b 2 +b·c+c 2 =0. Z pierwszej równości mamy b=c, a druga równość nie ma rozwiązań, ponieważ jej lewa strona jest liczbą dodatnią dla dowolnych liczb dodatnich b i c jako suma trzech wyrazów dodatnich b 2, b·c i c 2. Dowodzi to wyjątkowości pierwiastka sześciennego liczby dodatniej a.

Gdy a=0, pierwiastkiem sześciennym liczby a jest tylko liczba zero. Rzeczywiście, jeśli założymy, że istnieje liczba b, która jest niezerowym pierwiastkiem sześciennym z zera, wówczas musi zachodzić równość b 3 = 0, co jest możliwe tylko wtedy, gdy b = 0.

Dla ujemnego a można podać argumenty podobne do argumentów dla dodatniego a. Najpierw pokazujemy, że pierwiastek sześcienny liczby ujemnej nie może być równy ani liczbie dodatniej, ani zerowi. Po drugie, zakładamy, że istnieje drugi pierwiastek sześcienny liczby ujemnej i pokazujemy, że będzie on koniecznie pokrywał się z pierwszym.

Zatem zawsze istnieje pierwiastek sześcienny dowolnej liczby rzeczywistej a i jest on unikalny.

Dajmy Definicja pierwiastka sześciennego arytmetycznego.

Definicja

Arytmetyczny pierwiastek sześcienny liczby nieujemnej a jest liczbą nieujemną, której sześcian jest równy a.

Arytmetyczny pierwiastek sześcienny liczby nieujemnej a oznacza się jako , znak nazywa się znakiem arytmetycznego pierwiastka sześciennego, liczba 3 w tym zapisie nazywa się indeks główny. Liczba pod znakiem głównym to liczba radykalna, wyrażenie pod znakiem głównym to radykalne wyrażenie.

Chociaż arytmetyczny pierwiastek sześcienny definiuje się tylko dla liczb nieujemnych a, wygodnie jest również stosować zapis, w którym liczby ujemne znajdują się pod znakiem pierwiastka arytmetycznego sześcianu. Rozumiemy je następująco: , gdzie a jest liczbą dodatnią. Na przykład, .

Porozmawiamy o właściwościach pierwiastków sześciennych w ogólnym artykule o właściwościach korzeni.

Obliczanie wartości pierwiastka sześciennego nazywa się wyciąganiem pierwiastka sześciennego i czynność tę omówiono w artykule wyodrębnianie pierwiastka: metody, przykłady, rozwiązania.

Podsumowując ten punkt, powiedzmy, że pierwiastek sześcienny liczby a jest rozwiązaniem postaci x 3 = a.

n-ty pierwiastek, pierwiastek arytmetyczny stopnia n

Uogólnijmy pojęcie pierwiastka liczby - wprowadzamy definicja n-tego pierwiastka dla n.

Definicja

n-ty pierwiastek a jest liczbą, której n-ta potęga jest równa a.

Z tę definicję jasne jest, że pierwiastkiem pierwszego stopnia liczby a jest sama liczba a, ponieważ przy badaniu stopnia c naturalny wskaźnik zaakceptowaliśmy 1 = a .

Powyżej przyjrzeliśmy się szczególnym przypadkom n-tego pierwiastka dla n=2 i n=3 - pierwiastek kwadratowy i pierwiastek sześcienny. Oznacza to, że pierwiastek kwadratowy jest pierwiastkiem drugiego stopnia, a pierwiastek sześcienny jest pierwiastkiem trzeciego stopnia. Aby zbadać pierwiastki n-tego stopnia dla n=4, 5, 6, ..., wygodnie jest podzielić je na dwie grupy: pierwsza grupa - pierwiastki stopni parzystych (czyli dla n = 4, 6, 8 , ...), druga grupa - pierwiastkuje stopnie nieparzyste (czyli przy n=5, 7, 9, ...). Wynika to z faktu, że pierwiastki potęg parzystych są podobne do pierwiastków kwadratowych, a pierwiastki potęg nieparzystych są podobne do pierwiastków sześciennych. Zajmijmy się nimi jeden po drugim.

Zacznijmy od pierwiastków, których potęgami są liczby parzyste 4, 6, 8, ... Jak już powiedzieliśmy, są one podobne do pierwiastka kwadratowego z liczby a. Oznacza to, że pierwiastek dowolnego stopnia parzystego liczby a istnieje tylko dla nieujemnego a. Ponadto, jeśli a=0, to pierwiastek a jest niepowtarzalny i równy zero, a jeśli a>0, to istnieją dwa pierwiastki stopnia parzystego liczby a i są to liczby przeciwne.

Uzasadnijmy ostatnie stwierdzenie. Niech b będzie pierwiastkiem parzystym (oznaczymy to jako 2·m, gdzie m jest liczbą naturalną) liczby a. Załóżmy, że istnieje liczba c - kolejny pierwiastek stopnia 2·m z liczby a. Wtedy b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Znamy jednak postać b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 do 2 +b 2 m−6 do 4 +…+c 2 m−2), wtedy (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 do 2 +b 2 m−6 do 4 +…+c 2 m−2)=0. Z tej równości wynika, że b−c=0, lub b+c=0, lub b 2 m−2 +b 2 m−4 do 2 +b 2 m−6 do 4 +…+c 2 m−2 =0. Pierwsze dwie równości oznaczają, że liczby b i c są równe lub b i c są przeciwne. A ostatnia równość obowiązuje tylko dla b=c=0, gdyż po jej lewej stronie znajduje się wyrażenie, które jest nieujemne dla dowolnego b i c jako suma liczb nieujemnych.

Jeśli chodzi o pierwiastki n-tego stopnia dla nieparzystego n, są one podobne do pierwiastka sześciennego. Oznacza to, że pierwiastek dowolnego stopnia nieparzystego liczby a istnieje dla dowolnej liczby rzeczywistej a, a dla danej liczby a jest unikalny.

Niepowtarzalność pierwiastka stopnia nieparzystego 2·m+1 liczby a udowadniamy przez analogię z dowodem jednoznaczności pierwiastka sześciennego z a. Tylko tutaj zamiast równości za 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) stosuje się równość postaci b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Wyrażenie w ostatnim nawiasie można przepisać jako b 2 m +c 2 m +b do (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b do (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b do (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Na przykład przy m=2 mamy b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b-c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Gdy oba aib są dodatnie lub obydwa ujemne, ich iloczyn jest liczbą dodatnią, wówczas wyrażenie b 2 +c 2 +b·c w najwyższych zagnieżdżonych nawiasach jest dodatnie jako suma liczb dodatnich. Przechodząc teraz kolejno do wyrażeń w nawiasach poprzednich stopni zagnieżdżenia, jesteśmy przekonani, że są one również dodatnie jako suma liczb dodatnich. W rezultacie otrzymujemy, że równość b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 możliwe tylko wtedy, gdy b−c=0, czyli gdy liczba b jest równa liczbie c.

Czas zrozumieć zapis n-tych pierwiastków. W tym celu jest podany definicja pierwiastka arytmetycznego n-tego stopnia.

Definicja

Pierwiastek arytmetyczny n-tego stopnia liczby nieujemnej a jest liczbą nieujemną, której n-ta potęga jest równa a.

Spojrzałem jeszcze raz na znak... I jedziemy!

Zacznijmy od czegoś prostego:

Tylko minutę. to, co oznacza, że możemy to zapisać w ten sposób:

Rozumiem? Oto kolejny dla Ciebie:

Czy pierwiastki otrzymanych liczb nie zostały dokładnie wyodrębnione? Nie ma problemu – oto kilka przykładów:

A co jeśli nie ma dwóch, ale więcej mnożników? Ten sam! Wzór na mnożenie pierwiastków działa z dowolną liczbą czynników:

Teraz całkowicie samodzielnie:

Odpowiedzi: Dobrze zrobiony! Zgadzam się, wszystko jest bardzo proste, najważniejsze jest poznanie tabliczki mnożenia!

Podział korzeni

Omówiliśmy już mnożenie pierwiastków, teraz przejdźmy do własności dzielenia.

Przypomnę, że formuła w ogólna perspektywa na to wygląda:

Co oznacza że pierwiastek ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków.

Cóż, spójrzmy na kilka przykładów:

To wszystko, czym jest nauka. Oto przykład:

Nie wszystko jest tak gładkie jak w pierwszym przykładzie, ale jak widać, nie ma tu nic skomplikowanego.

A co jeśli natkniesz się na to wyrażenie:

Wystarczy zastosować formułę w odwrotnym kierunku:

Oto przykład:

Możesz także spotkać się z tym wyrażeniem:

Wszystko jest takie samo, tylko tutaj musisz pamiętać, jak tłumaczyć ułamki zwykłe (jeśli nie pamiętasz, spójrz na temat i wróć!). Pamiętasz? Teraz zdecydujmy!

Jestem pewien, że poradziłeś sobie ze wszystkim, teraz spróbujmy podnieść korzenie do stopni.

Potęgowanie

Co się stanie, jeśli pierwiastek kwadratowy zostanie podniesiony do kwadratu? To proste, pamiętaj o znaczeniu pierwiastka kwadratowego z liczby - jest to liczba, której pierwiastek kwadratowy jest równy.

Jeśli więc podniesiemy do kwadratu liczbę, której pierwiastek kwadratowy jest równy, co otrzymamy?

Ależ oczywiście, !

Spójrzmy na przykłady:

To proste, prawda? A co jeśli korzeń jest w innym stopniu? W porządku!

Postępuj zgodnie z tą samą logiką i pamiętaj o właściwościach i możliwych działaniach ze stopniami.

Przeczytaj teorię na temat „”, a wszystko stanie się dla ciebie niezwykle jasne.

Oto na przykład wyrażenie:

W tym przykładzie stopień jest parzysty, ale co, jeśli jest nieparzysty? Ponownie zastosuj właściwości wykładników i rozłóż wszystko na czynniki:

Wszystko wydaje się jasne, ale jak wyodrębnić pierwiastek z liczby do potęgi? Tutaj na przykład jest tak:

Całkiem proste, prawda? A co jeśli stopień jest większy niż dwa? Kierujemy się tą samą logiką, wykorzystując właściwości stopni:

Czy wszystko jest jasne? Następnie samodzielnie rozwiąż przykłady:

A oto odpowiedzi:

Wejście pod znakiem korzenia

Czego nie nauczyliśmy się robić z korzeniami! Pozostaje tylko poćwiczyć wprowadzanie liczby pod znakiem głównym!

To naprawdę proste!

Załóżmy, że mamy zapisaną liczbę

Co możemy z tym zrobić? No cóż, oczywiście ukryj trójkę pod pierwiastkiem, pamiętając, że trójka to pierwiastek kwadratowy!

Dlaczego tego potrzebujemy? Tak, tylko po to, aby poszerzyć nasze możliwości przy rozwiązywaniu przykładów:

Jak podoba Ci się ta właściwość korzeni? Czy to znacznie ułatwia życie? Dla mnie to dokładnie prawda! Tylko Musimy pamiętać, że pod pierwiastkiem kwadratowym możemy wpisać tylko liczby dodatnie.

Rozwiąż sam ten przykład -
Czy udało Ci się? Zobaczmy, co powinieneś otrzymać:

Dobrze zrobiony! Udało Ci się wpisać numer pod znakiem głównym! Przejdźmy do czegoś równie ważnego – przyjrzyjmy się, jak porównać liczby zawierające pierwiastek kwadratowy!

Porównanie korzeni

Dlaczego musimy nauczyć się porównywać liczby zawierające pierwiastek kwadratowy?

Bardzo prosta. Często w dużych i długich wyrażeniach spotykanych na egzaminie otrzymujemy irracjonalną odpowiedź (pamiętacie, co to jest? Rozmawialiśmy już o tym dzisiaj!)

Otrzymane odpowiedzi musimy umieścić na osi współrzędnych, aby np. określić, który przedział jest odpowiedni do rozwiązania równania. I tu pojawia się problem: na egzaminie nie ma kalkulatora, a bez niego jak sobie wyobrazić, która liczba jest większa, a która mniejsza? Otóż to!

Na przykład określ, co jest większe: lub?

Nie możesz tego stwierdzić od razu. Cóż, skorzystajmy z rozłożonej właściwości wprowadzania liczby pod znakiem głównym?

Wtedy idź przed siebie:

Cóż, oczywiście, im większa liczba pod znakiem pierwiastka, tym większy jest sam pierwiastek!

Te. Jeśli następnie, .

Z tego stanowczo wnioskujemy, że. I nikt nas nie przekona, że jest inaczej!

Wyodrębnianie pierwiastków z dużych liczb

Wcześniej wpisaliśmy mnożnik pod znakiem pierwiastka, ale jak go usunąć? Wystarczy rozłożyć to na czynniki i wyodrębnić to, co wyodrębnisz!

Można było pójść inną ścieżką i rozszerzyć się na inne czynniki:

Nieźle, prawda? Każde z tych podejść jest prawidłowe, zdecyduj, jak chcesz.

Faktoring jest bardzo przydatny przy rozwiązywaniu takich niestandardowych problemów jak ten:

Nie bójmy się, ale działajmy! Rozłóżmy każdy czynnik pod pierwiastkiem na osobne czynniki:

Teraz spróbujcie sami (bez kalkulatora! Nie będzie tego na egzaminie):

Czy to jest koniec? Nie zatrzymujmy się w połowie!

To wszystko, to nie jest takie straszne, prawda?

Stało się? Dobra robota, zgadza się!

Teraz wypróbuj ten przykład:

Ale ten przykład jest twardym orzechem do zgryzienia, więc nie możesz od razu wymyślić, jak do niego podejść. Ale oczywiście możemy sobie z tym poradzić.

No cóż, zacznijmy faktoring? Od razu zauważmy, że liczbę można dzielić przez (pamiętaj o znakach podzielności):

Teraz spróbuj sam (ponownie, bez kalkulatora!):

No cóż, zadziałało? Dobra robota, zgadza się!

Podsumujmy to

Pierwiastek kwadratowy (arytmetyczny pierwiastek kwadratowy) z liczby nieujemnej to liczba nieujemna, której kwadrat jest równy.
.
Jeśli po prostu wyciągniemy z czegoś pierwiastek kwadratowy, zawsze otrzymamy jeden wynik nieujemny.
Właściwości pierwiastka arytmetycznego:
Porównując pierwiastki kwadratowe, należy pamiętać, że im większa liczba pod znakiem pierwiastka, tym większy jest sam pierwiastek.

Jak pierwiastek kwadratowy? Wszystko jasne?

Staraliśmy się bez problemu wytłumaczyć Ci wszystko, co musisz wiedzieć na egzaminie z pierwiastka kwadratowego.

Twoja kolej. Napisz do nas czy ten temat jest dla Ciebie trudny czy nie.

Dowiedziałeś się czegoś nowego, czy wszystko było już jasne?

Piszcie w komentarzach i życzymy powodzenia na egzaminach!

Pojęcie pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej

Rozważ równanie x2 = 4. Rozwiąż je graficznie. Aby to zrobić w jednym systemie współrzędne Skonstruujmy parabolę y = x2 i linię prostą y = 4 (ryc. 74). Przecinają się w dwóch punktach A (- 2; 4) i B (2; 4). Odcięte punktów A i B są pierwiastkami równania x2 = 4. Zatem x1 = - 2, x2 = 2.

Rozumując dokładnie w ten sam sposób, znajdujemy pierwiastki równania x2 = 9 (patrz ryc. 74): x1 = - 3, x2 = 3.

Spróbujmy teraz rozwiązać równanie x2 = 5; ilustracja geometryczna jest pokazana na ryc. 75. Oczywiste jest, że równanie to ma dwa pierwiastki x1 i x2, a liczby te, podobnie jak w dwóch poprzednich przypadkach, są równe co do wartości bezwzględnej i przeciwne pod względem znaku (x1 - - x2) - Ale w przeciwieństwie do poprzednich przypadków, gdzie pierwiastki równania znaleziono bez trudu (a można je było znaleźć bez użycia wykresów), tak nie jest w przypadku równania x2 = 5: z rysunku nie możemy wskazać wartości pierwiastków, możemy jedynie ustalić, że jeden źródło znajduje się nieco na lewo od punktu - 2, a drugi znajduje się nieco na prawo od punktu 2.

Ale tutaj czeka nas niemiła niespodzianka. Okazuje się, że nie ma czegoś takiego ułamki DIV_ADBLOCK32">

Załóżmy, że istnieje ułamek nieredukowalny, dla którego zachodzi równość https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, tj. m2 = 5n2. Oznacza to ostatnia równość Liczba naturalna m2 jest podzielne przez 5 bez reszty (w ilorazie staje się n2).

W rezultacie liczba m2 kończy się albo liczbą 5, albo liczbą 0. Ale wtedy liczba naturalna m również kończy się albo liczbą 5, albo liczbą 0, tj. liczba m jest podzielna przez 5 bez reszty. Innymi słowy, jeśli liczbę m podzielimy przez 5, wówczas iloraz da liczbę naturalną k. Oznacza to, że m = 5k.

Nowy wygląd:

Podstawmy 5k zamiast m w pierwszej równości:

(5k)2 = 5n2, czyli 25k2 = 5n2 lub n2 = 5k2.

Ostatnia równość oznacza, że liczba. 5n2 dzieli się przez 5 bez reszty. Rozumując jak wyżej, dochodzimy do wniosku, że liczba n jest również podzielna przez 5 bez reszta.

Zatem m jest podzielne przez 5, n jest podzielne przez 5, co oznacza, że ułamek można zmniejszyć (o 5). Założyliśmy jednak, że ułamek jest nieredukowalny. O co chodzi? Dlaczego po prawidłowym rozumowaniu doszliśmy do absurdu lub, jak często mówią matematycy, dostaliśmy sprzeczność!Tak, ponieważ początkowe założenie było błędne, jak gdyby istniał ułamek nieredukowalny, dla którego zachodzi równość ).

Jeśli w wyniku prawidłowego rozumowania dojdziemy do sprzeczności z warunkiem, to dochodzimy do wniosku: nasze założenie jest fałszywe, co oznacza, że to, co musieliśmy udowodnić, jest prawdziwe.

Więc mając tylko liczby wymierne(a innych liczb jeszcze nie znamy), nie będziemy w stanie rozwiązać równania x2 = 5.

Spotkawszy się po raz pierwszy z taką sytuacją, matematycy zdali sobie sprawę, że muszą wymyślić sposób, aby opisać ją językiem matematycznym. Wprowadzili nowy symbol, który nazwali pierwiastkiem kwadratowym i za pomocą tego symbolu zapisano pierwiastki równania x2 = 5 w następujący sposób: ). Teraz dla dowolnego równania w postaci x2 = a, gdzie a > O, można znaleźć pierwiastki - są to liczby https://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!} ani całość, ani ułamek.
Oznacza to, że nie jest to liczba wymierna, jest to liczba o nowym charakterze, o czym będziemy mówić szczegółowo później, w rozdziale 5.
Na razie zauważmy, że nowa liczba znajduje się pomiędzy liczbami 2 i 3, ponieważ 22 = 4, czyli mniej niż 5; Z2 = 9, a to więcej niż 5. Możesz wyjaśnić:

Należy jeszcze raz zauważyć, że w tabeli pojawiają się tylko liczby dodatnie, zgodnie z definicją pierwiastka kwadratowego. I chociaż np. = 25 jest prawdziwą równością, to przejdź od niej do zapisu z wykorzystaniem pierwiastka kwadratowego (tj. napisz to. .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!} jest liczbą dodatnią, co oznacza https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. Wiadomo tylko, że jest większa niż 4, ale mniejsza niż 5, ponieważ 42 = 16 (to mniej niż 17) i 52 = 25 (to więcej niż 17).
Jednak przybliżoną wartość liczby można znaleźć za pomocą mikro kalkulator, który zawiera operację pierwiastka kwadratowego; wartość ta wynosi 4,123.

Liczba, podobnie jak liczba omówiona powyżej, nie jest wymierna.
e) Nie można tego obliczyć, ponieważ nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej; wpis jest bez sensu. Proponowane zadanie jest nieprawidłowe.
mi) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Zadanie" width="80" height="33 id=">!}, ponieważ 75 > 0 i 752 = 5625.

W najprostszych przypadkach wartość pierwiastka kwadratowego oblicza się natychmiast:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Zadanie" width="65" height="42 id=">!}
Rozwiązanie.
Pierwszy etap. Nietrudno zgadnąć, że odpowiedzią będzie 50 z ogonem. W rzeczywistości 502 = 2500 i 602 = 3600, podczas gdy liczba 2809 mieści się pomiędzy liczbami 2500 a 3600.

Powierzchnia kwadratowej działki wynosi 81 dm². Znajdź jego stronę. Załóżmy, że długość boku kwadratu wynosi X decymetry. Następnie powierzchnia działki wynosi X² decymetrów kwadratowych. Ponieważ zgodnie z warunkiem powierzchnia ta wynosi 81 dm² X² = 81. Długość boku kwadratu jest liczbą dodatnią. Liczba dodatnia, której kwadrat wynosi 81, to liczba 9. Przy rozwiązywaniu zadania należało znaleźć liczbę x, której kwadrat wynosi 81, czyli rozwiązać równanie X² = 81. To równanie ma dwa pierwiastki: X 1 = 9 i X 2 = - 9, ponieważ 9² = 81 i (- 9)² = 81. Obie liczby 9 i - 9 nazywane są pierwiastkami kwadratowymi z 81.

Zauważ, że jeden z pierwiastków kwadratowych X= 9 jest liczbą dodatnią. Nazywa się to arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym z 81 i oznacza się √81, więc √81 = 9.

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby A jest liczbą nieujemną, której kwadrat jest równy A.

Na przykład liczby 6 i - 6 są pierwiastkami kwadratowymi z liczby 36. Jednak liczba 6 jest arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym z 36, ponieważ 6 jest liczbą nieujemną, a 6² = 36. Liczba - 6 nie jest liczbą pierwiastek arytmetyczny.

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby A oznaczone następująco: √ A.

Znak ten nazywany jest arytmetycznym znakiem pierwiastka kwadratowego; A- zwane wyrażeniem radykalnym. Wyrażenie √ A Czytać w ten sposób: arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby A. Na przykład √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. W przypadkach, gdy jest jasne, że mówimy o pierwiastku arytmetycznym, mówią krótko: „pierwiastek kwadratowy z A«.

Czynność znajdowania pierwiastka kwadratowego z liczby nazywa się pierwiastkiem kwadratowym. To działanie jest odwrotnością kwadratury.

Możesz podnieść dowolną liczbę do kwadratu, ale nie możesz wyciągnąć pierwiastka kwadratowego z żadnej liczby. Na przykład nie można wyodrębnić pierwiastka kwadratowego z liczby - 4. Jeśli taki pierwiastek istniał, to oznaczając go literą X, otrzymalibyśmy niepoprawną równość x² = - 4, ponieważ po lewej stronie znajduje się liczba nieujemna, a po prawej liczba ujemna.

Wyrażenie √ A ma sens tylko wtedy ≥ 0. Definicję pierwiastka kwadratowego można w skrócie zapisać jako: √ ≥ 0, (√A)² = A. Równość (√ A)² = A ważne dla ≥ 0. Zatem, aby zapewnić pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej A równa się B, tj. w tym, że √ A =B, musisz sprawdzić, czy spełnione są dwa następujące warunki: b ≥ 0, B² = A.

Pierwiastek kwadratowy ułamka

Obliczmy. Zauważ, że √25 = 5, √36 = 6 i sprawdźmy, czy zachodzi równość.

Ponieważ i , to równość jest prawdziwa. Więc, .

Twierdzenie: Jeśli A≥ 0 i B> 0, czyli pierwiastek ułamka jest równy pierwiastkowi licznika podzielonemu przez pierwiastek mianownika. Należy udowodnić, że: i .

Od √ A≥0 i √ B> 0, zatem .

O własności podnoszenia ułamka zwykłego do potęgi i definicji pierwiastka kwadratowego twierdzenie zostało udowodnione. Spójrzmy na kilka przykładów.

Oblicz, korzystając ze sprawdzonego twierdzenia .

Drugi przykład: Udowodnij to , Jeśli A ≤ 0, B < 0. .

Inny przykład: Oblicz.

Konwersja pierwiastka kwadratowego

Usunięcie mnożnika spod znaku pierwiastka. Niech zostanie podane wyrażenie. Jeśli A≥ 0 i B≥ 0, to korzystając z twierdzenia o pierwiastku iloczynowym możemy napisać:

Ta transformacja nazywa się usunięciem czynnika ze znaku pierwiastka. Spójrzmy na przykład;

Oblicz o godz X= 2. Bezpośrednie podstawienie X= 2 w wyrażeniu radykalnym prowadzi do skomplikowanych obliczeń. Obliczenia te można uprościć, usuwając najpierw czynniki spod znaku pierwiastka: . Podstawiając teraz x = 2, otrzymujemy:.

Tak więc, usuwając czynnik spod znaku pierwiastka, radykalne wyrażenie jest reprezentowane w postaci iloczynu, w którym jeden lub więcej czynników jest kwadratami liczb nieujemnych. Następnie zastosuj twierdzenie o pierwiastku iloczynu i wyjmij pierwiastek z każdego czynnika. Rozważmy przykład: Uprość wyrażenie A = √8 + √18 - 4√2, usuwając czynniki w pierwszych dwóch wyrazach spod znaku pierwiastka, otrzymamy: Podkreślamy tę równość ważne tylko wtedy, gdy A≥ 0 i B≥ 0. jeśli A < 0, то .