Градиент функции двух переменных. Векторный анализ скалярное поле поверхности и линии уровня производная по направлению производная градиент скалярного поля основные свойства градиента инвариантное определение градиента правила вычисления градиента
Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных. Чтобы понять смысл производной по направлению, нужно сравнить производные по определению
Следовательно,
Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:
А сейчас - домашнее задание. В нём дана функция не трёх, а лишь двух переменных, но несколько иначе задан направляющий вектор. Так что придётся вновь повторить векторную алгебру .
Пример 2. Найти производную функции в точке M 0 (1; 2) по направлению вектора , где M 1 - точка с координатами (3; 0) .
Вектор, задающий направление производной, может быть дан и в такой форме, как в следующем примере - в виде разложения по ортам координатных осей , но эта хорошо знакомая тема из самого начала векторной алгебры.
Пример 3.
Найти производную функции
в точке M
0
(1; 1; 1)
по направлению вектора
.
Решение. Найдём направляющие косинусы вектора
Найдём частные производные функции в точке M 0 :
Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:
.
Градиент функции
Градиент функции нескольких переменных в точке M 0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M 0 и величину этого максимального роста.
Как найти градиент?
Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных , , этой функции в соответствующей точке:
.
То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей , в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.
Определение 1
Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$. Обозначение: $z=f(x,y)$.
Рассмотрим функцию $z=f(x,y)$, которая определена в некоторой области в пространстве $Oxy$.
Следовательно,
Определение 3
Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z)$.
Рассмотрим функцию $w=f(x,y,z)$, которая определена в некоторой области в пространстве $Oxyz$.
Для заданной функции определим вектор, для которого проекциями на оси координат являются значения частных производных заданной функции в некоторой точке $\frac{\partial z}{\partial x} ;\frac{\partial z}{\partial y} $.
Определение 4
Градиентом заданной функции $w=f(x,y,z)$ называется вектор $\overrightarrow{gradw} $ следующего вида:
Теорема 3
Пусть в некотором скалярном поле $w=f(x,y,z)$ определено поле градиентов
\[\overrightarrow{gradw} =\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \overrightarrow{i} +\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \overrightarrow{j} +\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \overrightarrow{k} .\]
Производная $\frac{\partial w}{\partial s} $ по направлению заданного вектора $\overrightarrow{s} $ равна проекции вектора градиента $\overrightarrow{gradw} $ на заданный вектор $\overrightarrow{s} $.
Пример 4
Решение:
Выражение для градиента находим по формуле
\[\overrightarrow{gradw} =\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \overrightarrow{i} +\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \overrightarrow{j} +\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \overrightarrow{k} .\]
\[\frac{\partial w}{\partial x} =2x;\frac{\partial w}{\partial y} =4y;\frac{\partial w}{\partial z} =2.\]
Следовательно,
\[\overrightarrow{gradw} =2x\cdot \overrightarrow{i} +4y\cdot \overrightarrow{j} +2\cdot \overrightarrow{k} .\]
Пример 5
Определить градиент заданной функции
в точке $M(1;2;1)$. Вычислить $\left(|\overrightarrow{gradz} |\right)_{M} $.
Решение:
Выражение для градиента в заданной точке находим по формуле
\[\left(\overrightarrow{gradw} \right)_{M} =\left(\frac{\partial w}{\partial x} \right)_{M} \cdot \overrightarrow{i} +\left(\frac{\partial w}{\partial y} \right)_{M} \cdot \overrightarrow{j} +\left(\frac{\partial w}{\partial z} \right)_{M} \cdot \overrightarrow{k} .\]
Частные производные имеют вид:
\[\frac{\partial w}{\partial x} =2x;\frac{\partial w}{\partial y} =4y;\frac{\partial w}{\partial z} =6z^{2} .\]
Производные в точке $M(1;2)$:
\[\frac{\partial w}{\partial x} =2\cdot 1=2;\frac{\partial w}{\partial y} =4\cdot 2=8;\frac{\partial w}{\partial z} =6\cdot 1^{2} =6.\]
Следовательно,
\[\left(\overrightarrow{gradw} \right)_{M} =2\cdot \overrightarrow{i} +8\cdot \overrightarrow{j} +6\cdot \overrightarrow{k} \]
\[\left(|\overrightarrow{gradw} |\right)_{M} =\sqrt{2^{2} +8^{2} +6^{2} } =\sqrt{4+64+36} =\sqrt{104} .\]
Перечислим некоторые свойства градиента:
Производная заданной функции в заданной точке по направлению некоторого вектора $\overrightarrow{s} $ имеет наибольшее значение, если направление данного вектора $\overrightarrow{s} $ совпадает с направлением градиента. При этом данное наибольшее значение производной совпадает с длиной вектора градиента, т.е. $|\overrightarrow{gradw} |$.
Производная заданной функции по направлению вектора, который перпендикулярен к вектору градиента, т.е. $\overrightarrow{gradw} $, равна 0. Так как $\varphi =\frac{\pi }{2} $, то $\cos \varphi =0$; следовательно, $\frac{\partial w}{\partial s} =|\overrightarrow{gradw} |\cdot \cos \varphi =0$.
Из школьного курса математики известно, что вектор на плоскости представляет собой направленный отрезок. Его начало и конец имеют по две координаты. Координаты вектора рассчитываются путем вычитания из координат конца координат начала.
Понятие вектора может быть распространено и на n-мерное пространство (вместо двух координат будет n координат).
Градиентом grad z функции z = f(х 1 , х 2 , …х n) называется вектор частных производных функции в точке, т.е. вектор с координатами .
Можно доказать, что градиент функции характеризует направление наискорейшего роста уровня функции в точке.
Например, для функции z = 2х 1 + х 2 (см. рисунок 5.8) градиент в любой точке будет иметь координаты (2; 1). Построить его на плоскости можно различными способами, взяв в качестве начала вектора любую точку. Например, можно соединить точку (0; 0) с точкой (2; 1), или точку (1; 0) с точкой (3; 1), или точку (0; 3) с точкой (2; 4), или т.п. (см. рисунок 5.8). Все построенные таким образом вектора будут иметь координаты (2 – 0; 1 – 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
Из рисунка 5.8 хорошо видно, что уровень функции растет в направлении градиента, поскольку построенные линии уровня соответствуют значениям уровня 4 > 3 > 2.
Рисунок 5.8 - Градиент функции z = 2х 1 + х 2
Рассмотрим другой пример – функцию z = 1/(х 1 х 2). Градиент этой функции уже не будет всегда одинаковым в разных точках, поскольку его координаты определяются формулами (-1/(х 1 2 х 2); -1/(х 1 х 2 2)).
На рисунке 5.9 представлены линии уровня функции z = 1/(х 1 х 2) для уровней 2 и 10 (прямая 1/(х 1 х 2) = 2 обозначена пунктиром, а прямая
1/(х 1 х 2) = 10 – сплошной линией).
Рисунок 5.9 - Градиенты функции z = 1/(х 1 х 2) в различных точках
Возьмем, например, точку (0,5; 1) и вычислим градиент в этой точке: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; -2). Заметим, что точка (0,5; 1) лежит на линии уровня 1/(х 1 х 2) = 2, ибо z = f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Чтобы изобразить вектор (-4; -2) на рисунке 5.9, соединим точку (0,5; 1) с точкой (-3,5; -1), ибо
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Возьмем другую точку на той же самой линии уровня, например, точку (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Вычислим градиент в этой точке
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Чтобы изобразить его на рисунке 5.9, соединим точку (1; 0,5) с точкой (-1; -3,5), ибо (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; -4).
Возьмем еще одну точку на той же самой линии уровня, но только теперь в неположительной координатной четверти. Например, точку (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Градиент в этой точке будет равен
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Изобразим его на рисунке 5.9, соединив точку (-0,5; -1) с точкой (3,5; 1), ибо (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4; 2).
1 0 Градиент направлен по нормали к поверхности уровня (или к линии уровня, если поле плоское).
2 0 Градиент направлен в сторону возрастания функции поля.
3 0 Модуль градиента равен наибольшей производной по направлениювданной точке поля:
Эти свойства дают инвариантную характеристику градиента. Они говорят о том, что вектор gradU указывает направление и величину наибольшего изменения скалярного поля в данной точке.
Замечание 2.1. Если функция U(x,y) есть функция двух переменных, то вектор
лежит в плоскости oxy.
Пусть U=U(x,y,z) и V=V(x,y,z) дифференцируемых в точке М 0 (x,y,z) функции. Тогда имеет место следующие равенства:
а) grad()= ; б) grad(UV)=VgradU+UgradV;
в) grad(U V)=gradU gradV; г) г) grad = , V ;
д) gradU( = gradU, где , U=U() имеет производную по .
Пример 2.1. Дана функция U=x 2 +y 2 +z 2 . Определить градиент функции в точке М(-2;3;4).
Решение. Согласно формуле (2.2) имеем
Поверхностями уровня данного скалярного поля являются семейство сфер x 2 +y 2 +z 2 , вектор gradU=(-4;6;8) есть нормальный вектор плоскостей.
Пример 2.2. Найти градиент скалярного поля U=x-2y+3z.
Решение. Согласно формуле (2.2) имеем
Поверхностями уровня данного скалярного поля являются плоскости
x-2y+3z=С; вектор gradU=(1;-2;3) есть нормальный вектор плоскостей этого семейства.
Пример 2.3. Найти наибольшую крутизну подъема поверхности U=x y в точке М(2;2;4).
Решение. Имеем:
Пример 2.4. Найти единичный вектор нормали к поверхности уровня скалярного поля U=x 2 +y 2 +z 2 .
Решение. Поверхности уровня данного скалярного Поля-сфера x 2 +y 2 +z 2 =С (С>0).
Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, так что
Определяет вектор нормали к поверхности уровня в точке М(x,y,z). Для единичного вектора нормали получаем выражение
Пример 2.5. Найти градиент поля U= , где и постоянные векторы, r –радиус вектор точки.
Решение. Пусть
Тогда: . По правилу дифференцирования определителя получаем
Следовательно,
Пример 2.6. Найти градиент расстояния , где P(x,y,z) - изучаемая точка поля, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) - некоторая фиксированная точка.
Решение. Имеем - единичный вектор направления .
Пример 2.7. Найти угол между градиентами функций в точке М 0 (1,1).
Решение. Находим градиенты данных функций в точке М 0 (1,1), имеем
; Угол между gradU и gradV в точке М 0 определяется из равенства
Отсюда =0.
Пример 2.8. Найти производную по направлению, радиус- вектор равен
Решение. Находим градиент этой функции:
Подставляя (2.5) в (2.4), получим
Пример 2.9. Найти в точке М 0 (1;1;1) направление наибольшего изменения скалярного поля U=xy+yz+xz и величину этого наибольшего изменения в этой точке.
Решение. Направление наибольшего изменения поля указывается вектором grad U(M). Находим его:
И, значит, . Это вектор определяет направление наибольшего возрастания данного поля в точке М 0 (1;1;1). Величина наибольшего изменения поля в этой точке равна
Пример 3.1. Найти векторные линии векторного поля где -постоянный вектор.
Решение. Имеем так что
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на х, второй-на у, третий- на z и сложим почленно. Используя свойство пропорций, получим
Отсюда xdx+ydy+zdz=0, а значит
x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Умножив теперь числитель и знаменатель первой дроби (3.3) на с 1 , второй –на с 2 , третий на с 3 и сложив почленно, получим
Откуда с 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0
И, следовательно, с 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2 -const.
Искомые уравнения векторных линий
Эти уравнения показывают, что векторные линии получаются в результате пересечения сфер, имеющих общий центр в начале координат, с плоскостями, перпендикулярными вектору . Отсюда следует, что векторные линии являются окружностями, центры которых находятся на прямой, проходящей через начало координат в направлении вектора с. Плоскости окружностей перпендикулярны указанной прямой.
Пример 3.2. Найти векторную линию поля проходящую через точку (1,0,0).
Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий
Отсюда имеем . Решая первое уравнение . Или если ввести параметр t, то будем иметь В этом случае уравнение принимает вид или dz=bdt, откуда z=bt+c 2 .
Градиентом функции в точке называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным и, обозначается.
Если рассмотреть единичный вектор e=(), то согласно формуле (3) производная по направлению есть скалярное произведение градиента и единичного вектора, задающего направление. Известно, что скалярное произведение двух векторов максимально, если они одинаково направлены. Следовательно, градиент функции в данной точке характеризует направление и величину максимального роста функции в этой точке.
Теорема. Если функция дифференцируема и в точке М 0 величина градиента отлична от нуля, то градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку и направлен в сторону возрастания функции при этом
ВЫВОД: 1) Производная функции в точке по направлению, определяемому градиентом этой функции в указанной точке, имеет максимальное значение по сравнению с производной в этой точке по любому другому направлению.
- 2) Значение производной функции по направлению, которое определяет градиент этой функции в данной точке, равно.
- 3) Зная градиент функции в каждой точке, можно с некоторой погрешностью строить линии уровня. Начнем с точки М 0 . Построим градиент в этой точке. Зададим направление, перпендикулярное градиенту. Построим малую часть линии уровня. Рассмотрим близкую точку М 1 , построим градиент в ней и так далее.
